Equation of lines joining the origin to the point of intersection of a curve and a line and Distance between the pair of lines Questions in Gujarati

(A) ધારો કે રેખા દ્વારા અક્ષો પર કપાતા અંતઃખંડો $a$ અને $a$ છે (કારણ કે તેમની લંબાઈ સમાન છે).
રેખાના અંતઃખંડ સ્વરૂપના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$.
$a$ વડે ગુણતા,આપણને $x + y = a$ મળે,અથવા $x + y - a = 0$.
આ સમીકરણ $Ax + By + C = 0$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $A = 1$ અને $B = 1$ છે.
રેખાનો ઢાળ $m$ એ $m = -\frac{A}{B} = -\frac{1}{1} = -1$ દ્વારા મળે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,જો અંતઃખંડો મૂલ્યમાં સમાન હોય પરંતુ ચિહ્નમાં વિરુદ્ધ હોય,તો ઢાળ $1$ હોઈ શકે છે. જો કે,આપેલા વિકલ્પોને જોતા,પ્રમાણિત અર્થઘટન સમાન અંતઃખંડો $a$ છે,જે $-1$ નો ઢાળ આપે છે.

(B) ધારો કે જરૂરી રેખાઓનો ઢાળ $m_1$ છે. રેખા $y = mx + c$ (ઢાળ $m$) અને જરૂરી રેખાઓ (ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી,ઢાળ $m_1$) વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \tan^{-1} m$ છે.
સૂત્ર $\tan \theta = |\frac{m_1 - m}{1 + m_1 m}|$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $m = |\frac{m_1 - m}{1 + m_1 m}|$ મળે છે.
કિસ્સો $1$: $\frac{m_1 - m}{1 + m_1 m} = m \implies m_1 - m = m + m^2 m_1 \implies m_1(1 - m^2) = 2m \implies m_1 = \frac{2m}{1 - m^2}$.
આ રેખાનું સમીકરણ $y = \frac{2m}{1 - m^2}x$ છે,જેનું સાદું રૂપ $2mx + (m^2 - 1)y = 0$ થાય છે.
કિસ્સો $2$: $\frac{m_1 - m}{1 + m_1 m} = -m \implies m_1 - m = -m - m^2 m_1 \implies m_1(1 + m^2) = 0 \implies m_1 = 0$.
આ રેખાનું સમીકરણ $y = 0x$ છે,એટલે કે $y = 0$.
આમ,સમીકરણો $y = 0$ અને $2mx + (m^2 - 1)y = 0$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણો $y - x + 7 = 0$ $(1)$ અને $y + 2x - 2 = 0$ $(2)$ છે.
$(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા,$(y + 2x - 2) - (y - x + 7) = 0$,જેનું સાદું રૂપ $3x - 9 = 0$ થાય,તેથી $x = 3$.
$x = 3$ ને $(1)$ માં મૂકતા,$y - 3 + 7 = 0$,તેથી $y = -4$.
છેદબિંદુ $(3, -4)$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ અને $(x_1, y_1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y = \frac{y_1}{x_1}x$ છે.
$(3, -4)$ મૂકતા,$y = \frac{-4}{3}x$,જેનો અર્થ છે $3y = -4x$ અથવા $4x + 3y = 0$.

(C) આપેલ વક્રોના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતા કોઈપણ વક્રનું સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $S_1 = 2x^2 + 3y^2 + 10x$ અને $S_2 = 3x^2 + 5y^2 + 16x$.
તેથી,$(2x^2 + 3y^2 + 10x) + \lambda(3x^2 + 5y^2 + 16x) = 0$.
$(2 + 3\lambda)x^2 + (3 + 5\lambda)y^2 + (10 + 16\lambda)x = 0$ ... $(i)$
આ સમીકરણ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડી દર્શાવે તે માટે,તે દ્વિઘાત સમપરિમાણીય સમીકરણ હોવું જોઈએ. તેથી,$x$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$10 + 16\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{10}{16} = -\frac{5}{8}$.
$\lambda = -\frac{5}{8}$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$(2 + 3(-\frac{5}{8}))x^2 + (3 + 5(-\frac{5}{8}))y^2 = 0$
$(\frac{16 - 15}{8})x^2 + (\frac{24 - 25}{8})y^2 = 0$
$\frac{1}{8}x^2 - \frac{1}{8}y^2 = 0 \Rightarrow x^2 - y^2 = 0$.
આ રેખાઓની જોડી $x - y = 0$ અને $x + y = 0$ દર્શાવે છે.
ઢાળ $m_1 = 1$ અને $m_2 = -1$ છે. $m_1 \times m_2 = -1$ હોવાથી,રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ છે.

(A) ઉગમબિંદુને છેદબિંદુઓ સાથે જોડતી રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે રેખા $2x + y = 1$ નો ઉપયોગ કરીને વક્ર $3x^2 + 4xy - 4x + 1 = 0$ ના સમીકરણને સમઘાત બનાવીએ.
$1 = (2x + y)$ ને વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા:
$3x^2 + 4xy - 4x(2x + y) + (2x + y)^2 = 0$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$3x^2 + 4xy - 8x^2 - 4xy + 4x^2 + 4xy + y^2 = 0$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$-x^2 + 4xy + y^2 = 0$ અથવા $x^2 - 4xy - y^2 = 0$
આને $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1$,$2h = -4$ (તેથી $h = -2$),અને $b = -1$ મળે છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $a + b = 1 + (-1) = 0$ હોવાથી,છેદ $0$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $\tan \theta = \infty$.
તેથી,$\theta = \pi/2$,એટલે કે રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.

(B) આપેલ વક્ર $x^2 + y^2 - 2x - 1 = 0$ અને રેખા $x + y = 1$ છે.
વક્રના સમીકરણને $2$ ઘાતવાળા સમપરિમાણીય સમીકરણમાં ફેરવવા માટે,રેખાને $(x + y) = 1$ તરીકે લખીએ.
આ કિંમત વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2 + y^2 - 2x(x + y) - (x + y)^2 = 0$
$x^2 + y^2 - 2x^2 - 2xy - (x^2 + 2xy + y^2) = 0$
$-2x^2 - 4xy = 0$
$x^2 + 2xy = 0$
આને $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1, h = 1, b = 0$ મળે છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{1^2 - (1)(0)}}{1 + 0} \right| = 2$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(2)$.

(B) આપેલ બે વક્રોના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ સમઘાત (homogenization) કરીને મેળવી શકાય છે.
આપેલ વક્રો:
$S_1: ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx = 0$
$S_2: a'x^2 + 2h'xy + b'y^2 + 2g'x = 0$
$S_1$ ને $S_2$ નો ઉપયોગ કરીને સમઘાત બનાવતા:
$g'(ax^2 + 2hxy + by^2) = g(a'x^2 + 2h'xy + b'y^2)$
$(ag' - a'g)x^2 + 2(hg' - h'g)xy + (bg' - b'g)y^2 = 0$
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાની શરત મુજબ,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થાય:
$(ag' - a'g) + (bg' - b'g) = 0$
$g'(a + b) - g(a' + b') = 0$
$g(a' + b') = g'(a + b)$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2 + 2\sqrt{3}xy + 3y^2 - 3x - 3\sqrt{3}y - 4 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a=1, h=\sqrt{3}, b=3, g=-3/2, f=-3\sqrt{3}/2, c=-4$ મળે છે.
પ્રથમ,$h^2 - ab = (\sqrt{3})^2 - (1)(3) = 3 - 3 = 0$ ચકાસીને રેખાઓ સમાંતર છે કે નહીં તે તપાસો. $h^2 - ab = 0$ હોવાથી,રેખાઓ સમાંતર છે.
બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેના અંતરનું સૂત્ર $d = 2\sqrt{\frac{g^2 - ac}{a(a + b)}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $d = 2\sqrt{\frac{(-3/2)^2 - (1)(-4)}{1(1 + 3)}} = 2\sqrt{\frac{9/4 + 4}{4}} = 2\sqrt{\frac{25/4}{4}} = 2\sqrt{\frac{25}{16}} = 2 \times \frac{5}{4} = \frac{5}{2} = 2.5$.

(D) વક્રનું સમીકરણ $x^2 + hxy - y^2 + gx + fy = 0$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $fx - gy = \lambda$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{fx - gy}{\lambda} = 1$.
રેખાના સમીકરણની મદદથી વક્રના સમીકરણને સમઘાત બનાવતા:
$x^2 + hxy - y^2 + (gx + fy) \left( \frac{fx - gy}{\lambda} \right) = 0$.
$\lambda$ વડે ગુણતા:
$\lambda(x^2 + hxy - y^2) + (gx + fy)(fx - gy) = 0$.
$(\lambda + gf)x^2 + (\lambda h - g^2 + f^2)xy - (\lambda + fg)y^2 = 0$.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવા માટે,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$(\lambda + gf) + (-(\lambda + fg)) = 0$.
$0 = 0$.
આમ,$\lambda$ કોઈપણ કિંમત ધરાવી શકે છે.

(B) આપેલ વક્રો $x^2 + y^2 = a^2$ $(1)$ અને $x^2 + y^2 - ax - ay = 0$ $(2)$ છે.
$(1)$ માંથી,$a^2 = x^2 + y^2$.
આ કિંમત $(2)$ માં મૂકતા,$x^2 + y^2 - ax - ay = 0$.
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા: $ax + ay = a^2 \implies x + y = a$.
હવે $a = x + y$ ને $x^2 + y^2 = a^2$ માં મૂકતા:
$x^2 + y^2 = (x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy$.
$2xy = 0 \implies xy = 0$.
આમ,રેખાઓ $x = 0$ અને $y = 0$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2 + 2\sqrt{2}xy + 2y^2 + 4x + 4\sqrt{2}y + 1 = 0$ છે.
સામાન્ય દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a=1, h=\sqrt{2}, b=2, g=2, f=2\sqrt{2}, c=1$ મળે છે.
અહીં $h^2 - ab = (\sqrt{2})^2 - (1)(2) = 0$ હોવાથી,રેખાઓ સમાંતર છે.
સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $d = 2\sqrt{\frac{g^2 - ac}{a(a + b)}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $d = 2\sqrt{\frac{2^2 - (1)(1)}{1(1 + 2)}} = 2\sqrt{\frac{3}{3}} = 2$.

(A) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને વક્ર $S = 0$ તથા રેખા $L = 0$ ના છેદબિંદુઓને જોડતી રેખાઓની જોડનું સમીકરણ વક્રના સમીકરણને રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને સમઘાત (homogenize) બનાવીને મેળવી શકાય છે.
આપેલ વક્ર: $x^2 + y^2 = 4$
આપેલ રેખા: $y - x = 2$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{y - x}{2} = 1$.
આને વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2 + y^2 = 4 \times (1)^2$
$x^2 + y^2 = 4 \times \left( \frac{y - x}{2} \right)^2$
$x^2 + y^2 = 4 \times \frac{(y - x)^2}{4}$
$x^2 + y^2 = (y - x)^2$.

(D) રેખા $x + y = 1$ અને વક્ર $x^2 + y^2 - 2y + \lambda = 0$ ના છેદબિંદુઓને ઉગમબિંદુ સાથે જોડતી રેખાઓનું સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે રેખાના સમીકરણની મદદથી વક્રને સમઘાત બનાવીએ.
$x + y = 1$ હોવાથી,વક્રનું સમીકરણ આ રીતે લખી શકાય:
$x^2 + y^2 - 2y(1) + \lambda(1)^2 = 0$
$1 = x + y$ મૂકતા:
$x^2 + y^2 - 2y(x + y) + \lambda(x + y)^2 = 0$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$x^2 + y^2 - 2xy - 2y^2 + \lambda(x^2 + 2xy + y^2) = 0$
પદોને ગોઠવતા:
$x^2(1 + \lambda) + xy(2\lambda - 2) + y^2(\lambda - 1) = 0$
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવા માટે,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ $(A + B = 0)$:
$(1 + \lambda) + (\lambda - 1) = 0$
$2\lambda = 0$
$\lambda = 0$

(C) ઉગમબિંદુને છેદબિંદુઓ સાથે જોડતી રેખાઓ મેળવવા માટે,આપણે રેખાના સમીકરણ $x - y = 2$ નો ઉપયોગ કરીને વક્રના સમીકરણને સમઘાત બનાવીએ છીએ,જે સૂચવે છે કે $\frac{x - y}{2} = 1$ છે.
વક્રનું સમીકરણ $5x^2 + 12xy - 8y^2 + 8x - 4y + 12 = 0$ છે.
રેખીય અને અચળ પદોમાં $1$ ની જગ્યાએ $\frac{x - y}{2}$ મૂકતા:
$5x^2 + 12xy - 8y^2 + (8x - 4y)\left(\frac{x - y}{2}\right) + 12\left(\frac{x - y}{2}\right)^2 = 0$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$12x^2 - 3y^2 = 0$ મળે છે,જે $4x^2 - y^2 = 0$ માં પરિણમે છે.
આના અવયવો $(2x - y)(2x + y) = 0$ થાય છે,તેથી રેખાઓ $y = 2x$ અને $y = -2x$ છે.
ઢાળ $m_1 = 2$ અને $m_2 = -2$ હોવાથી,રેખાઓ અક્ષોની સાપેક્ષમાં સંમિત છે. તેથી અક્ષો સાથે બનાવેલા ખૂણા સમાન છે.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2hx - 2ky + h^2 + k^2 - c^2 = 0$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{2h} + \frac{y}{2k} = 1$ છે.
રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને વર્તુળના સમીકરણને સમઘાત બનાવતા:
$(x^2 + y^2) - 2(hx + ky)\left(\frac{x}{2h} + \frac{y}{2k}\right) + (h^2 + k^2 - c^2)\left(\frac{x}{2h} + \frac{y}{2k}\right)^2 = 0$.
આને વિસ્તૃત કરતા,$x^2$ નો સહગુણક $A = \frac{h^2 + k^2 - c^2}{4h^2}$ અને $y^2$ નો સહગુણક $B = \frac{h^2 + k^2 - c^2}{4k^2}$ મળે છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$A + B = 0$.
$(h^2 + k^2 - c^2) \left(\frac{1}{4h^2} + \frac{1}{4k^2}\right) = 0$.
તેથી,$h^2 + k^2 - c^2 = 0$,એટલે કે $c^2 = h^2 + k^2$.

(B) આપેલ રેખા $3x - 2y = 1$ છે.
વક્ર $3x^2 + 5xy - 3y^2 + 2x + 3y = 0$ ને સમપરિમાણીય બનાવવા માટે,આપણે $1$ ઘાતવાળા પદોને $(3x - 2y)$ વડે ગુણીએ છીએ.
$3x^2 + 5xy - 3y^2 + (2x + 3y)(3x - 2y) = 0$.
વિસ્તરણ કરતા,$3x^2 + 5xy - 3y^2 + 6x^2 - 4xy + 9xy - 6y^2 = 0$.
સમાન પદોને ભેગા કરતા,$9x^2 + 10xy - 9y^2 = 0$ મળે છે.
રેખાઓની જોડી $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ માટે,જો $a + b = 0$ હોય તો રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોય છે.
અહીં,$a = 9$ અને $b = -9$.
$a + b = 9 + (-9) = 0$ હોવાથી,રેખાઓ એકબીજાને લંબ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $9x^2 - 6xy + y^2 + 18x - 6y + 8 = 0$ છે.
આને $(3x - y)^2 + 6(3x - y) + 8 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $3x - y = t$,તો સમીકરણ $t^2 + 6t + 8 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(t + 4)(t + 2) = 0$.
તેથી,બે સમાંતર રેખાઓ $3x - y + 4 = 0$ અને $3x - y + 2 = 0$ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $Ax + By + C_1 = 0$ અને $Ax + By + C_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = 3$,$B = -1$,$C_1 = 4$,અને $C_2 = 2$ છે.
$d = \frac{|4 - 2|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $(x - 2y)^2 + k(x - 2y) = 0$ છે.
આને $(x - 2y)(x - 2y + k) = 0$ તરીકે અવયવ પાડી શકાય છે.
આમ,બે રેખાઓ $L_1: x - 2y = 0$ અને $L_2: x - 2y + k = 0$ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 1$,$b = -2$,$c_1 = 0$,અને $c_2 = k$ છે.
તેથી,$3 = \frac{|0 - k|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|k|}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{|k|}{\sqrt{5}}$.
તેથી,$|k| = 3\sqrt{5}$,જેનો અર્થ છે કે $k = \pm 3\sqrt{5}$.

(C) રેખાનું સમીકરણ $y - 2\sqrt{2}x = c$ છે,જેને $\frac{y - 2\sqrt{2}x}{c} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = 2$ ને રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને સમઘાત બનાવતા:
$x^2 + y^2 = 2 \left( \frac{y - 2\sqrt{2}x}{c} \right)^2$
$c^2(x^2 + y^2) = 2(y^2 + 8x^2 - 4\sqrt{2}xy)$
$c^2x^2 + c^2y^2 = 2y^2 + 16x^2 - 8\sqrt{2}xy$
$(c^2 - 16)x^2 + 8\sqrt{2}xy + (c^2 - 2)y^2 = 0$
રેખાઓ કાટખૂણે હોવાથી,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$(c^2 - 16) + (c^2 - 2) = 0$
$2c^2 - 18 = 0$
$c^2 = 9$
$c^2 - 9 = 0$.

(B) આપેલ સમીકરણ $8x^2 + 8xy + 2y^2 + 26x + 13y + 15 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 8, h = 4, b = 2, g = 13, f = 13/2, c = 15$ મળે છે.
અહીં $h^2 - ab = 4^2 - (8)(2) = 0$ હોવાથી રેખાઓ સમાંતર છે.
સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $d = 2\sqrt{\frac{g^2 - ac}{a(a + b)}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $d = 2\sqrt{\frac{169 - 120}{8(10)}} = 2\sqrt{\frac{49}{80}} = \frac{7}{2\sqrt{5}}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2 - 6xy + 9y^2 + 3x - 9y - 4 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1, h = -3, b = 9, g = 3/2, f = -9/2, c = -4$ મળે છે.
સમાંતર રેખાઓની જોડી વચ્ચેનું અંતર $d = 2\sqrt{\frac{g^2 - ac}{a(a + b)}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$d = 2\sqrt{\frac{(3/2)^2 - (1)(-4)}{1(1 + 9)}} = 2\sqrt{\frac{9/4 + 4}{10}} = 2\sqrt{\frac{25/4}{10}} = 2\sqrt{\frac{25}{40}} = \sqrt{\frac{5}{2}}$.

(C) આપેલ સમીકરણો $x^2 + y^2 = 9$ $(i)$ અને $x + y = 3$ $(ii)$ છે.
ઉગમબિંદુને છેદબિંદુઓ સાથે જોડતી રેખાઓની જોડનું સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે સમીકરણ $(ii)$ નો ઉપયોગ કરીને સમીકરણ $(i)$ ને સમઘાત બનાવીશું.
$(ii)$ પરથી,$\frac{x + y}{3} = 1$ મળે છે.
આ કિંમત $(i)$ માં મૂકતા,$x^2 + y^2 = 9 \left( \frac{x + y}{3} \right)^2$ મળે.
$x^2 + y^2 = 9 \left( \frac{x^2 + y^2 + 2xy}{9} \right)$.
$x^2 + y^2 = x^2 + y^2 + 2xy$.
$2xy = 0 \Rightarrow xy = 0$.
આમ,જરૂરી સમીકરણ $xy = 0$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2 + 2xy + y^2 - 8ax - 8ay - 9a^2 = 0$ છે.
આને $(x+y)^2 - 8a(x+y) - 9a^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $X = x+y$,તો $X^2 - 8aX - 9a^2 = 0$.
અવયવ પાડતા,$(X - 9a)(X + a) = 0$ મળે.
તેથી,બે રેખાઓ $x + y - 9a = 0$ અને $x + y + a = 0$ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $Ax + By + C_1 = 0$ અને $Ax + By + C_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = 1, B = 1, C_1 = -9a, C_2 = a$.
$d = \frac{|-9a - a|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-10a|}{\sqrt{2}} = \frac{10a}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}a$.

(C) ઉગમબિંદુને છેદબિંદુઓ સાથે જોડતી રેખાઓનું સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે રેખાના સમીકરણ $y - mx = c$ નો ઉપયોગ કરીને વર્તુળના સમીકરણને સમઘાત બનાવીએ છીએ,જેનો અર્થ છે $\frac{y - mx}{c} = 1$.
આને વર્તુળના સમીકરણ $x^2 + y^2 = a^2(1)^2$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$x^2 + y^2 = a^2 \left( \frac{y - mx}{c} \right)^2$
$c^2(x^2 + y^2) = a^2(y^2 - 2mxy + m^2x^2)$
$(c^2 - a^2m^2)x^2 + 2a^2mxy + (c^2 - a^2)y^2 = 0$
આ રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોય તે માટે,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$(c^2 - a^2m^2) + (c^2 - a^2) = 0$
$2c^2 - a^2(m^2 + 1) = 0$
$2c^2 = a^2(1 + m^2)$.

(B) વક્રના સમીકરણને રેખાના સમીકરણ $y - 3x = 2$ નો ઉપયોગ કરીને સમપરિમાણીય (homogenize) બનાવતા,આપણને ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓનું સમીકરણ મળે છે.
ગણતરી કરતા,ખૂણો $\theta = \tan^{-1}(\frac{2\sqrt{2}}{3})$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે. ધારો કે રેખાઓ $L_1: l_1x + m_1y + n_1 = 0$ અને $L_2: l_2x + m_2y + n_2 = 0$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી આ રેખાઓનું અંતર $d_1 = \frac{|n_1|}{\sqrt{l_1^2 + m_1^2}}$ અને $d_2 = \frac{|n_2|}{\sqrt{l_2^2 + m_2^2}}$ છે.
$d_1 = d_2$ આપેલ હોવાથી,$\frac{n_1^2}{l_1^2 + m_1^2} = \frac{n_2^2}{l_2^2 + m_2^2}$ મળે.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$f^4 - g^4 = c(bf^2 - ag^2)$ શરત પ્રાપ્ત થાય છે.

(B) ઉગમબિંદુ અને વર્તુળ $x^2 + y^2 = 4$ તથા રેખા $2x + 3y - 4 = 0$ ના છેદબિંદુઓને જોડતી રેખાઓની જોડનું સમીકરણ મેળવવા માટે,આપણે રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને વર્તુળના સમીકરણને સમઘાત બનાવીશું.
રેખાના સમીકરણ પરથી,$2x + 3y = 4$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{2x + 3y}{4} = 1$.
આ કિંમતને વર્તુળના સમીકરણ $x^2 + y^2 = 4(1)^2$ માં મૂકતા:
$x^2 + y^2 = 4 \left( \frac{2x + 3y}{4} \right)^2$
$x^2 + y^2 = 4 \left( \frac{4x^2 + 9y^2 + 12xy}{16} \right)$
$x^2 + y^2 = \frac{4x^2 + 9y^2 + 12xy}{4}$
$4x^2 + 4y^2 = 4x^2 + 9y^2 + 12xy$
$5y^2 + 12xy = 0$.

(A) વક્રનું સમીકરણ $x^{2} + 2xy + 3y^{2} + 4x + 8y - 11 = 0 \dots (1)$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $y = 3x + 2 \Rightarrow \frac{y - 3x}{2} = 1 \dots (2)$ છે.
સમીકરણ $(2)$ નો ઉપયોગ કરીને વક્રના સમીકરણને સમઘાત બનાવતા:
$x^{2} + 2xy + 3y^{2} + (4x + 8y) \left( \frac{y - 3x}{2} \right) - 11 \left( \frac{y - 3x}{2} \right)^{2} = 0$
આને સાદું રૂપ આપતા $7x^{2} - 2xy - y^{2} = 0$ મળે છે.
$ax^{2} + 2hxy + by^{2} = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 7, h = -1, b = -1$ મળે.
ખૂણો $\theta$ માટે,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^{2} - ab}}{a + b} \right| = \frac{2\sqrt{1 + 7}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$
તેથી,$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{2\sqrt{2}}{3} \right)$.

(C) આપેલ સમીકરણને $x^2 + 2(\sqrt{2}y + 2)x + (2y^2 + 4\sqrt{2}y + 1) = 0$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-2(\sqrt{2}y + 2) \pm \sqrt{4(\sqrt{2}y + 2)^2 - 4(2y^2 + 4\sqrt{2}y + 1)}}{2}$
$x = -(\sqrt{2}y + 2) \pm \sqrt{(\sqrt{2}y + 2)^2 - (2y^2 + 4\sqrt{2}y + 1)}$
$x = -\sqrt{2}y - 2 \pm \sqrt{3}$.
આમ,રેખાઓ $x + \sqrt{2}y + 2 - \sqrt{3} = 0$ અને $x + \sqrt{2}y + 2 + \sqrt{3} = 0$ છે.
આ સમાંતર રેખાઓ $Ax + By + C_1 = 0$ અને $Ax + By + C_2 = 0$ સ્વરૂપમાં છે.
તેમની વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ દ્વારા મળે છે.
$d = \frac{|(2 + \sqrt{3}) - (2 - \sqrt{3})|}{\sqrt{1^2 + (\sqrt{2})^2}} = \frac{|2\sqrt{3}|}{\sqrt{3}} = 2$.

(C) ઉગમબિંદુને છેદબિંદુઓ સાથે જોડતી રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ વક્રના સમીકરણને રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને સમઘાત બનાવીને મેળવવામાં આવે છે:
$x^2 + y^2 = 4 \left( \frac{x\sqrt{3} + y}{2} \right)^2$
$x^2 + y^2 = 4 \left( \frac{3x^2 + y^2 + 2\sqrt{3}xy}{4} \right)$
$x^2 + y^2 = 3x^2 + y^2 + 2\sqrt{3}xy$
$2x^2 + 2\sqrt{3}xy = 0$
આને વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 2$,$h = \sqrt{3}$,અને $b = 0$ મળે છે.
જો $\alpha$ એ રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો હોય,તો $\tan \alpha = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$.
$\tan \alpha = \frac{2\sqrt{(\sqrt{3})^2 - (2)(0)}}{2 + 0} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
તેથી,$\alpha = \frac{\pi}{3}$.

(D) છેદબિંદુઓને ઉગમબિંદુ સાથે જોડતી રેખાઓ મેળવવા માટે,આપણે રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને વર્તુળના સમીકરણને સમઘાત (homogenize) બનાવીએ છીએ.
$x + y = 2$ હોવાથી,$\frac{x + y}{2} = 1$ મળે.
વર્તુળના સમીકરણ $x^2 + y^2 = 3(1)^2$ માં કિંમત મૂકતા:
$x^2 + y^2 = 3(\frac{x + y}{2})^2$
$4x^2 + 4y^2 = 3(x^2 + 2xy + y^2)$
$x^2 - 6xy + y^2 = 0$
આ સમીકરણના ઉકેલથી $x = (3 + 2\sqrt{2})y$ અને $x = (3 - 2\sqrt{2})y$ મળે છે.
આથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $9x^2 - 24xy + 16y^2 + 3x - 4y - 6 = 0$ છે.
આને $(3x - 4y)^2 + (3x - 4y) - 6 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $u = 3x - 4y$. તો સમીકરણ $u^2 + u - 6 = 0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(u + 3)(u - 2) = 0$.
તેથી,બે રેખાઓ $3x - 4y + 3 = 0$ અને $3x - 4y - 2 = 0$ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \left|\frac{c_1 - c_2}{\sqrt{a^2 + b^2}}\right|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 3, b = -4, c_1 = 3, c_2 = -2$.
$d = \left|\frac{3 - (-2)}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}\right| = \left|\frac{5}{\sqrt{9 + 16}}\right| = \left|\frac{5}{5}\right| = 1$.

(D) રેખાનું સમીકરણ $y - 3x = 2$ છે,જેને $\frac{y - 3x}{2} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
વક્રના સમીકરણ $x^2 + 2xy + 3y^2 + 4x + 8y - 11 = 0$ ને સમઘાત બનાવવા માટે,$1$ ની જગ્યાએ $\frac{y - 3x}{2}$ મૂકતા:
$x^2 + 2xy + 3y^2 + (4x + 8y)\left(\frac{y - 3x}{2}\right) - 11\left(\frac{y - 3x}{2}\right)^2 = 0$.
આને સાદું રૂપ આપતા $y^2 + 2xy - 7x^2 = 0$ મળે છે.
સમઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ માટે,ખૂણો $\theta$ નું સૂત્ર $\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b}\right|$ છે.
અહીં $a = -7, h = 1, b = 1$ છે.
$\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{1^2 - (-7)(1)}}{-7 + 1}\right| = \frac{2\sqrt{8}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$.

(A) $(-1, 1)$ અને $(2, -4)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m$ નીચે મુજબ છે:
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-4 - 1}{2 - (-1)} = \frac{-5}{3}$.
બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $y - y_1 = m(x - x_1)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y - 1 = -\frac{5}{3}(x + 1)$
$3(y - 1) = -5(x + 1)$
$3y - 3 = -5x - 5$
$5x + 3y + 2 = 0$.

(C) આપેલ સમીકરણ $4x^2 + 4xy + y^2 - 6x - 3y - 4 = 0$ છે.
દ્વિઘાત ભાગને $(2x + y)^2 - 3(2x + y) - 4 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $t = 2x + y$. તો સમીકરણ $t^2 - 3t - 4 = 0$ બને છે.
અવયવ પાડતા,$(t - 4)(t + 1) = 0$ મળે.
આથી બે રેખાઓ મળે છે: $2x + y - 4 = 0$ અને $2x + y + 1 = 0$.
આ રેખાઓ સમાંતર છે કારણ કે તેમના ઢાળ સમાન છે $(m = -2)$.
બે સમાંતર રેખાઓ $Ax + By + C_1 = 0$ અને $Ax + By + C_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = 2, B = 1, C_1 = -4, C_2 = 1$.
$d = \frac{|-4 - 1|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \frac{|-5|}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$ એકમ.

(A) આપેલ સમીકરણ $16x^2 - 24xy + 9y^2 + 48x - 36y + 35 = 0$ છે.
પ્રથમ ત્રણ પદોને $(4x - 3y)^2$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,સમીકરણ $(4x - 3y)^2 + 12(4x - 3y) + 35 = 0$ બને છે.
ધારો કે $t = 4x - 3y$. તો $t^2 + 12t + 35 = 0$.
અવયવ પાડતા,આપણને $(t + 7)(t + 5) = 0$ મળે છે.
આમ,બે રેખાઓ $4x - 3y + 7 = 0$ અને $4x - 3y + 5 = 0$ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 4$,$b = -3$,$c_1 = 7$,અને $c_2 = 5$.
$d = \frac{|7 - 5|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{2}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{2}{\sqrt{25}} = \frac{2}{5}$ એકમ.

(B) ધારો કે $D$ એ રેખા $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
ધારો કે $A = (x_1, y_1)$ અને $B = (x_2, y_2)$.
તેથી $D = (\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2})$.
બાજુઓ $OA$ અને $OB$ નું સંયુક્ત સમીકરણ $x^2-4xy+y^2=0$ છે.
રેખા $AB$ નું સમીકરણ $2x+3y-1=0$ છે,તેથી $x = \frac{1-3y}{2}$.
આ કિંમતને સંયુક્ત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\frac{1-3y}{2})^2 - 4(\frac{1-3y}{2})y + y^2 = 0$
$(1-3y)^2 - 8y(1-3y) + 4y^2 = 0$
$1 - 6y + 9y^2 - 8y + 24y^2 + 4y^2 = 0$
$37y^2 - 14y + 1 = 0$.
બીજનો સરવાળો $y_1+y_2 = \frac{14}{37}$.
$D$ નો $y$-યામ $= \frac{y_1+y_2}{2} = \frac{7}{37}$.
કારણ કે $D$ એ $2x+3y-1=0$ પર આવેલું છે:
$2x + 3(\frac{7}{37}) - 1 = 0$
$2x + \frac{21}{37} - 1 = 0$
$2x = 1 - \frac{21}{37} = \frac{16}{37} \Rightarrow x = \frac{8}{37}$.
આમ,$D = (\frac{8}{37}, \frac{7}{37})$.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ અને $(\frac{8}{37}, \frac{7}{37})$ માંથી પસાર થતી મધ્યગા $OD$ નું સમીકરણ:
$\frac{y-0}{x-0} = \frac{7/37}{8/37} = \frac{7}{8}$
$8y = 7x \Rightarrow 7x-8y=0$.

(A) આપેલ સમીકરણ $(x-2y+1)^2 + k(x-2y+1) = 0$ છે.
અવયવ પાડતા,$(x-2y+1)(x-2y+1+k) = 0$ મળે.
આ બે સમાંતર રેખાઓ દર્શાવે છે:
$L_1: x-2y+1 = 0$
$L_2: x-2y+(1+k) = 0$.
બે સમાંતર રેખાઓ $Ax+By+C_1=0$ અને $Ax+By+C_2=0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ છે.
અહીં,$A=1, B=-2, C_1=1, C_2=1+k$.
આપેલ છે કે $d = \sqrt{5}$,તેથી $\sqrt{5} = \frac{|1-(1+k)|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}}$.
$\sqrt{5} = \frac{|-k|}{\sqrt{5}}$.
$|-k| = 5$.
તેથી $k = \pm 5$.
વિકલ્પો મુજબ સાચો જવાબ $A$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2+4xy+4y^2+3x+6y-4=0$ છે.
આને $(x+2y)^2+3(x+2y)-4=0$ તરીકે લખી શકાય છે.
ધારો કે $t = x+2y$,તો $t^2+3t-4=0$.
$(t+4)(t-1)=0$,તેથી $(x+2y+4)(x+2y-1)=0$.
બે સમાંતર રેખાઓ $L_1: x+2y+4=0$ અને $L_2: x+2y-1=0$ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax+by+c_1=0$ અને $ax+by+c_2=0$ વચ્ચેનું અંતર $\lambda = \frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\lambda = \frac{|4-(-1)|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$.
તેથી,$\lambda^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.

(A) ધારો કે ત્રિકોણ $\triangle ABC$ છે જેનો કાટખૂણો ઉગમબિંદુ $A(0, 0)$ પર છે. ત્રિકોણનો પાયો રેખા $2x + 3y = 6$ પર છે.
ઉગમબિંદુથી રેખા $2x + 3y - 6 = 0$ પરના લંબનું અંતર $p$ નીચે મુજબ છે:
$p = \frac{|2(0) + 3(0) - 6|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{6}{\sqrt{13}}$.
કાટકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણમાં,કાટખૂણાના શિરોબિંદુથી કર્ણ પરનો વેધ કર્ણને દુભાગે છે અને તેની લંબાઈ કર્ણની લંબાઈ કરતા અડધી હોય છે.
તેથી,વેધ $AL = p = \frac{6}{\sqrt{13}}$.
ત્રિકોણનો પાયો $BC = 2p$ થાય.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (2p) \times p = p^2$.
ક્ષેત્રફળ $= \left(\frac{6}{\sqrt{13}}\right)^2 = \frac{36}{13}$ ચોરસ એકમ.

(B) વક્રનું સમીકરણ $x^2+2y^2=2$ છે અને રેખા $x+y=1$ છે.
રેખાઓ $OP$ અને $OQ$ મેળવવા માટે,આપણે રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને વક્રના સમીકરણને સમઘાત બનાવીએ:
$x^2+2y^2=2(1)^2$
$x^2+2y^2=2(x+y)^2$
$x^2+2y^2=2(x^2+y^2+2xy)$
$x^2+2y^2=2x^2+2y^2+4xy$
$x^2+4xy=0$
આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે. તેને સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2+2hxy+by^2=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1$,$h=2$,અને $b=0$ મળે છે.
આ રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2-ab}}{a+b} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{2^2-(1)(0)}}{1+0} \right| = \left| \frac{2\sqrt{4}}{1} \right| = 4$.

(C) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $x^2-xy+y^2+3x+3y-2=0$ $(i)$ અને રેખાનું સમીકરણ: $x+2y=k$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{x+2y}{k}=1$.
$\angle AOB=90^{\circ}$ માટેની શરત શોધવા માટે,આપણે રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને વક્રના સમીકરણને સમઘાત બનાવીએ:
$x^2-xy+y^2+(3x+3y)\left(\frac{x+2y}{k}\right)-2\left(\frac{x+2y}{k}\right)^2=0$.
$k^2$ વડે ગુણતા:
$k^2x^2-k^2xy+k^2y^2+3k(x^2+3xy+2y^2)-2(x^2+4xy+4y^2)=0$.
પદોને ગોઠવતા:
$x^2(k^2+3k-2) + xy(-k^2+9k-8) + y^2(k^2+6k-8) = 0$.
$\angle AOB=90^{\circ}$ માટે,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$(k^2+3k-2) + (k^2+6k-8) = 0$.
$2k^2+9k-10=0$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2+2xy+y^2-8ax-8ay-9a^2=0$ છે.
તેને વ્યાપક દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2+2Hxy+By^2+2Gx+2Fy+C=0$ સાથે સરખાવતા,$A=1, B=1, H=1, G=-4a, F=-4a, C=-9a^2$ મળે છે.
સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $d = 2 \sqrt{\frac{G^2-AC}{A(A+B)}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$d = 2 \sqrt{\frac{(-4a)^2 - (1)(-9a^2)}{1(1+1)}}$
$d = 2 \sqrt{\frac{16a^2 + 9a^2}{2}}$
$d = 2 \sqrt{\frac{25a^2}{2}} = 2 \times \frac{5a}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}a$.
આમ,અંતર $5\sqrt{2}a$ એકમ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $8x^2 - 24xy + 18y^2 - 6x + 9y - 5 = 0$ છે.
દ્વિઘાત ભાગને $2(2x - 3y)^2$ તરીકે લખી શકાય.
રેખાઓ $(2x - 3y + c_1)(2x - 3y + c_2) = 0$ સ્વરૂપમાં છે.
આપેલ સમીકરણને $2$ વડે ભાગતા,$4x^2 - 12xy + 9y^2 - 3x + 4.5y - 2.5 = 0$ મળે.
અહીં $c_1 + c_2 = -1.5$ અને $c_1c_2 = -2.5$ છે.
સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
$(c_1 - c_2)^2 = (c_1 + c_2)^2 - 4c_1c_2 = 2.25 + 10 = 12.25$.
તેથી $|c_1 - c_2| = 3.5 = 7/2$.
અંતર $= \frac{7/2}{\sqrt{13}} = \frac{7}{2\sqrt{13}}$.

(A) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને $x^2+y^2=4$ તથા $x+y=a$ ના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ વર્તુળના સમીકરણને રેખાના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને સમઘાત બનાવીને મેળવી શકાય છે:
$x^2+y^2=4(\frac{x+y}{a})^2$
$a^2(x^2+y^2)=4(x^2+y^2+2xy)$
$(a^2-4)x^2-8xy+(a^2-4)y^2=0$
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$(a^2-4)+(a^2-4)=0$
$2(a^2-4)=0$
$a^2=4$
$a>0$ હોવાથી,$a=2$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2+2xy+y^2-8mx-8my-9m^2=0$ છે.
આને $(x+y)^2-8m(x+y)-9m^2=0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $X = x+y$. તો સમીકરણ $X^2-8mX-9m^2=0$ બને છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(X-9m)(X+m)=0$.
તેથી,બે રેખાઓ $x+y-9m=0$ અને $x+y+m=0$ છે.
આ $Ax+By+C_1=0$ અને $Ax+By+C_2=0$ સ્વરૂપની સમાંતર રેખાઓ છે.
તેમની વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A=1, B=1, C_1=-9m, C_2=m$.
$d = \frac{|-9m-m|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|-10m|}{\sqrt{2}} = \frac{10|m|}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}|m|$.
જો $m>0$ લઈએ,તો અંતર $5\sqrt{2}m$ થાય.

(B) રેખાનું સમીકરણ $x-y=2$ છે,જેને $\frac{x-y}{2}=1$ તરીકે લખી શકાય.
આને વક્રના સમીકરણમાં મૂકતા: $5x^2+12xy-8y^2+(8x-4y)(1) + 12(1)^2=0$.
છેદ દૂર કરવા માટે $4$ વડે ગુણતા:
$20x^2+48xy-32y^2+2(8x-4y)(x-y)+3(x^2-2xy+y^2)=0$.
સાદુરૂપ આપતા: $39x^2+18xy-21y^2=0$.
$3$ વડે ભાગતા: $13x^2+6xy-7y^2=0$.
અવયવ પાડતા: $(13x-7y)(x+y)=0$.
આ રેખાઓ $13x-7y=0$ અને $x+y=0$ છે.
આ રેખાઓના ખૂણાના દ્વિભાજકો $xy=0$ રેખાઓની જોડ સાથે સમાન રીતે નમેલા છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2+2xy+y^2-8mx-8my-9m^2=0$ છે.
આને $(x+y)^2-8m(x+y)-9m^2=0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $X = x+y$. તો સમીકરણ $X^2-8mX-9m^2=0$ બને છે.
અવયવ પાડતા: $(X-9m)(X+m)=0$.
તેથી,$X=9m$ અથવા $X=-m$.
આ બે સમાંતર રેખાઓ આપે છે: $x+y-9m=0$ અને $x+y+m=0$.
બે સમાંતર રેખાઓ $Ax+By+C_1=0$ અને $Ax+By+C_2=0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ છે.
અહીં,$A=1, B=1, C_1=-9m, C_2=m$.
$d = \frac{|-9m-m|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|-10m|}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}|m|$.
જો $m > 0$ હોય,તો અંતર $5\sqrt{2}m$ થાય.