Equation of pair of straight lines Questions in Gujarati

(B) $x$ અને $y$ માં દ્વિઘાત સમપરિમાણીય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો $h^2 \geq ab$ હોય,તો આ સમીકરણ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી બે રેખાઓની જોડ દર્શાવે છે.

(B) આપેલ છે કે રેખાઓ $2x^2 - xy + by^2 = 0$ પૈકીની એક રેખા $(-4, -2)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
સમીકરણમાં $(-4, -2)$ બિંદુ મૂકતા:
$2(-4)^2 - (-4)(-2) + b(-2)^2 = 0$
$2(16) - (8) + b(4) = 0$
$32 - 8 + 4b = 0$
$24 + 4b = 0$
$4b = -24$
$b = -6$
તેથી,$b^2 = (-6)^2 = 36$.
આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) ધારો કે રેખાઓ $L: y=mx$,$L_1: y=k_1x$,અને $L_2: y=k_2x$ છે. $L_1 \perp L_2$ હોવાથી,$k_1k_2 = -1$ અથવા $k_2 = -\frac{1}{k_1}$ થાય.
$L$ અને $L_1$ નું સંયુક્ત સમીકરણ $(y-mx)(y-k_1x) = y^2 - (m+k_1)xy + mk_1x^2 = 0$ છે. તેને $2x^2+axy+3y^2=0$ સાથે સરખાવતા,આપેલ સમીકરણને $y^2 + \frac{a}{3}xy + \frac{2}{3}x^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય. તેથી,$mk_1 = \frac{2}{3}$ અને $-(m+k_1) = \frac{a}{3}$ થાય.
$L$ અને $L_2$ નું સંયુક્ત સમીકરણ $(y-mx)(y-k_2x) = y^2 - (m+k_2)xy + mk_2x^2 = 0$ છે. તેને $2x^2+bxy-3y^2=0$ સાથે સરખાવતા,આપેલ સમીકરણને $y^2 - \frac{b}{3}xy - \frac{2}{3}x^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય. તેથી,$mk_2 = -\frac{2}{3}$ અને $-(m+k_2) = -\frac{b}{3}$ થાય.
આપણને $k_1 = \frac{2}{3m}$ અને $k_2 = -\frac{2}{3m}$ મળે છે. $k_1k_2 = -1$ હોવાથી,$(\frac{2}{3m})(-\frac{2}{3m}) = -1$ $\Rightarrow \frac{4}{9m^2} = 1$ $\Rightarrow m^2 = \frac{4}{9}$ $\Rightarrow m = \pm \frac{2}{3}$ મળે.
કિસ્સો $1$: $m = \frac{2}{3}$. તો $k_1 = 1$ અને $k_2 = -1$ મળે.
તેથી $a = -5$ અને $b = -1$ મળે.
આમ,$a^2+b^2 = (-5)^2 + (-1)^2 = 25+1 = 26$.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડી $x^2 - 4xy + y^2 = 0$ છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1, h = -2, b = 1$ મળે છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખાઓ પરના લંબ અંતરનો ગુણાકાર $d_1 d_2 = \frac{|ax_1^2 + 2hx_1y_1 + by_1^2|}{\sqrt{(a-b)^2 + 4h^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $x_1 = 1, y_1 = -1, a = 1, h = -2, b = 1$.
$d_1 d_2 = \frac{|1(1)^2 + 2(-2)(1)(-1) + 1(-1)^2|}{\sqrt{(1-1)^2 + 4(-2)^2}} = \frac{|1 + 4 + 1|}{\sqrt{0 + 16}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

(C) બાજુઓનું સમીકરણ $(x^2+7xy+2y^2)(y-1)=0$ છે.
આથી બાજુઓ $x^2+7xy+2y^2=0$ અને $y-1=0$ છે.
રેખાઓ $x^2+7xy+2y^2=0$ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે.
ઢાળનો સરવાળો $m_1+m_2 = -7/2$ અને ગુણાકાર $m_1m_2 = 1/2$ છે.
શિરોબિંદુઓ: $V_1 = (1/m_1, 1)$,$V_2 = (1/m_2, 1)$,અને $V_3 = (0,0)$.
મધ્યકેન્દ્ર $(G_x, G_y) = (\frac{1/m_1+1/m_2+0}{3}, \frac{1+1+0}{3})$.
$G_x = \frac{m_1+m_2}{3m_1m_2} = \frac{-7/2}{3/2} = -7/3$.
$G_y = 2/3$.
તેથી,મધ્યકેન્દ્ર $(-\frac{7}{3}, \frac{2}{3})$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $\frac{x^2}{a} + \frac{2xy}{h} + \frac{y^2}{b} = 0$ છે. $x^2$ વડે ભાગતા,$\frac{1}{a} + \frac{2}{h}(\frac{y}{x}) + \frac{1}{b}(\frac{y}{x})^2 = 0$ મળે. ધારો કે $m = \frac{y}{x}$ એ ઢાળ છે. તેથી $\frac{1}{b}m^2 + \frac{2}{h}m + \frac{1}{a} = 0$.
ધારો કે ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે. આપેલ છે કે $m_2 = 2m_1$.
દ્વિઘાત સમીકરણ પરથી,બીજનો સરવાળો $m_1 + m_2 = -\frac{2b}{h}$.
તેથી,$3m_1 = -\frac{2b}{h} \implies m_1 = -\frac{2b}{3h}$.
બીજનો ગુણાકાર $m_1 m_2 = \frac{b}{a}$.
તેથી,$2m_1^2 = \frac{b}{a} \implies 2(-\frac{2b}{3h})^2 = \frac{b}{a}$.
$2(\frac{4b^2}{9h^2}) = \frac{b}{a} \implies \frac{8b^2}{9h^2} = \frac{b}{a}$.
$b$ વડે ભાગતા,$\frac{8b}{9h^2} = \frac{1}{a} \implies \frac{ab}{h^2} = \frac{9}{8}$.

(C) બાજુઓનું સમીકરણ $(x^2+7xy+2y^2)(y-1)=0$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે બાજુઓ $x^2+7xy+2y^2=0$ અને $y-1=0$ છે.
$x^2+7xy+2y^2=0$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતી બે રેખાઓ દર્શાવે છે.
ત્રીજી રેખા $y=1$ છે.
શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે:
$1$. $L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ: $(0,0)$.
$2$. $L_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $y=1$ મૂકતા $x^2+7x+2=0$ મળે. જેના બીજ $x_1, x_2$ છે.
શિરોબિંદુઓ $V_2 = (x_1, 1)$ અને $V_3 = (x_2, 1)$ છે.
બીજનો સરવાળો $x_1+x_2 = -7$.
મધ્યકેન્દ્ર $(G_x, G_y) = (\frac{0+x_1+x_2}{3}, \frac{0+1+1}{3}) = (\frac{-7}{3}, \frac{2}{3})$.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2-y^2-x+3y-2=0$ છે.
આપણે સમીકરણને પદોના જૂથ બનાવીને ફરીથી લખી શકીએ: $x^2 - (y^2 - 3y + 2) = 0$.
$y$ માં દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા: $y^2 - 3y + 2 = (y-1)(y-2)$.
તેથી,$x^2 - (y-1)(y-2) = 0$.
વિકલ્પ $D$ ને વિસ્તૃત કરતા: $(x-y+1)(x+y-2) = x^2 - y^2 - x + 3y - 2$.
આ આપેલ સમીકરણ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,રેખાઓ $x-y+1=0$ અને $x+y-2=0$ છે.

(C) રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2=0$ છે.
એક રેખા ધન યામ અક્ષો વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગે છે,જે રેખા $y=x$ (ઢાળ $m=1$) છે.
$y=x$ એ સમીકરણનું બીજ હોવાથી,આપણે $y=x$ ને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$ax^2+2hx(x)+b(x^2)=0$
$ax^2+2hx^2+bx^2=0$
$(a+2h+b)x^2=0$
આ તમામ $x$ માટે સાચું હોવા માટે,સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$a+2h+b=0$.

(C) રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે.
એક રેખા ધન યામ અક્ષો વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગે છે,જે રેખા $y = x$ (ઢાળ $m = 1$) છે.
$y = x$ એ સમપરિમાણીય સમીકરણનું બીજ હોવાથી,આપણે $y = x$ ને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$ax^2 + 2hx(x) + bx^2 = 0$
$ax^2 + 2hx^2 + bx^2 = 0$
$(a + 2h + b)x^2 = 0$
આ બધા $x$ માટે સાચું હોવા માટે,સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$a + 2h + b = 0$
તેથી,$a + b = -2h$.

(C) આપેલ સમીકરણ $2x^2 + xy - 6y^2 - 2x + 17y - 12 = 0$ છે.
તેને રેખાઓની જોડીના વ્યાપક સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 2$,$g = -1$,અને $c = -12$ મળે છે.
રેખાઓની જોડી દ્વારા બનતા $x$-અંતઃખંડની લંબાઈનું સૂત્ર $\frac{2\sqrt{g^2 - ac}}{a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\text{લંબાઈ} = \frac{2\sqrt{(-1)^2 - 2(-12)}}{2} = \frac{2\sqrt{1 + 24}}{2} = \sqrt{25} = 5$.
આમ,$x$-અંતઃખંડની લંબાઈ $5$ છે.

(A) આપેલ રેખાઓનું સમીકરણ $a^2 x^2 + 2hxy + b^2 y^2 = 0$ છે.
ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m$ અને $2m$ છે.
સમીકરણ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ માટે,ઢાળનો સરવાળો $m_1 + m_2 = -\frac{2H}{B}$ અને ગુણાકાર $m_1 m_2 = \frac{A}{B}$ થાય.
અહીં,$A = a^2$,$2H = 2h$,અને $B = b^2$.
તેથી,$m + 2m = -\frac{2h}{b^2}$ $\Rightarrow 3m = -\frac{2h}{b^2}$ $\Rightarrow m = -\frac{2h}{3b^2}$ $(i)$.
વળી,$m \times 2m = \frac{a^2}{b^2} \Rightarrow 2m^2 = \frac{a^2}{b^2}$ (ii).
$(i)$ ની કિંમત (ii) માં મૂકતા: $2 \left(-\frac{2h}{3b^2}\right)^2 = \frac{a^2}{b^2}$.
$2 \left(\frac{4h^2}{9b^4}\right) = \frac{a^2}{b^2} \Rightarrow \frac{8h^2}{9b^4} = \frac{a^2}{b^2}$.
$\frac{h^2}{a^2 b^2} = \frac{9}{8} \Rightarrow \frac{h}{ab} = \sqrt{\frac{9}{8}} = \frac{3}{2\sqrt{2}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{3}{2\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$.

(D) રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2=0$ છે. ધારો કે ઢાળ $m$ અને $m^2$ છે.
ઢાળનો સરવાળો: $m+m^2 = -\frac{2h}{b} \quad (1)$
ઢાળનો ગુણાકાર: $m \cdot m^2 = m^3 = \frac{a}{b} \quad (2)$
$(1)$ પરથી,$m(1+m) = -\frac{2h}{b}$. બંને બાજુ ઘન લેતા:
$m^3(1+m)^3 = -\frac{8h^3}{b^3}$
$m^3(1+m^3+3m(1+m)) = -\frac{8h^3}{b^3}$
$m^3 = \frac{a}{b}$ અને $m(1+m) = -\frac{2h}{b}$ મૂકતા:
$\frac{a}{b} \left(1 + \frac{a}{b} + 3\left(-\frac{2h}{b}\right)\right) = -\frac{8h^3}{b^3}$
$\frac{a}{b} \left(\frac{b+a-6h}{b}\right) = -\frac{8h^3}{b^3}$
$a(a+b-6h) = -8h^3$
$a^2+ab-6ah = -8h^3$
$abh$ વડે ભાગતા:
$\frac{a+b}{h} + \frac{8h^2}{ab} = 6$.

(A) ધારો કે સમીકરણ $a y^4+b x y^3+c x^2 y^2+d x^3 y+e x^4 = 0$ છે.
ધારો કે આ સમીકરણના અવયવો $(a x^2+p x y-a y^2)(x^2+q x y+y^2) = 0$ તરીકે પાડી શકાય છે.
સમાન પદોના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$b = aq - p$,$c = -pq$,$d = aq + p$,અને $e = -a$.
તેથી,$b + d = 2aq$ અને $e - a = -2a$.
વધુમાં,$ad + be = 2ap$ અને $a + c + e = -pq$.
હવે,$(b+d)(ad+be) = (2aq)(2ap) = 4a^2pq$ પદને ધ્યાનમાં લો.
તે જ રીતે,$-(e-a)^2(a+c+e) = -(-2a)^2(-pq) = 4a^2pq$.
તેથી,$(b+d)(ad+be) = -(e-a)^2(a+c+e)$.
આમ,$(b+d)(ad+be) + (e-a)^2(a+c+e) = 0$ મળે છે.

(C) રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
રેખાઓ લંબ હોવા માટે,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $a+b=0$.
આપેલ છે કે $l+(-2)=0$,તેથી $l=2$.
હવે સમીકરણ $2x^2+3xy-2y^2-5x+5y+k=0$ બને છે.
આ રેખાઓની જોડી દર્શાવે તે માટે,શરત $abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2=0$ સંતોષાવી જોઈએ.
અહીં $a=2, b=-2, c=k, h=\frac{3}{2}, g=-\frac{5}{2}, f=\frac{5}{2}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $(2)(-2)(k) + 2(\frac{5}{2})(-\frac{5}{2})(\frac{3}{2}) - 2(\frac{5}{2})^2 - (-2)(-\frac{5}{2})^2 - k(\frac{3}{2})^2 = 0$.
$-4k - \frac{75}{4} - \frac{50}{4} + \frac{50}{4} - \frac{9k}{4} = 0$.
$-4k - \frac{9k}{4} - \frac{75}{4} = 0$.
$-\frac{25k}{4} = \frac{75}{4}$.
$k = -3$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2 - 2\sqrt{3}xy + 2y^2 = 0$ છે. આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે.
સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1$,$h = -\sqrt{3}$,અને $b = 2$ મળે છે.
રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{3 - 2}}{1 + 2} \right| = \frac{2}{3}$ મળે છે.
જોકે,પ્રશ્નમાં ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ આપેલ છે,જેનો અર્થ $\tan \theta = \sqrt{3}$ થાય.
પ્રશ્નના માળખાને જોતા,આપેલ સમીકરણમાં ભૂલ જણાય છે. યોગ્ય ગણતરી મુજબ સાચો જવાબ $3\sqrt{2} + 6$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2=0$ છે. $x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $b(\frac{y}{x})^2+2h(\frac{y}{x})+a=0$ મળે છે. ધારો કે $m = \frac{y}{x}$,તેથી $bm^2+2hm+a=0$. બીજ $m_1$ અને $m_2$ એ રેખાઓના ઢાળ દર્શાવે છે. દ્વિઘાત સૂત્ર મુજબ $m = \frac{-2h \pm \sqrt{4h^2-4ab}}{2b}$. કારણ કે $h^2=ab$,તેથી વિવેચક $4h^2-4ab = 0$ થાય. આમ,$m_1 = m_2 = -\frac{2h}{2b} = -\frac{h}{b}$. તેથી ઢાળનો ગુણોત્તર $m_1:m_2 = 1:1$ છે.

(B) આપેલ રેખાયુગ્મ $2x^2 + xy - y^2 - x + 2y - 1 = 0$ છે.
સમઘાત ભાગના અવયવ પાડતા $2x^2 + xy - y^2 = (2x - y)(x + y)$ મળે.
ધારો કે રેખાઓ $(2x - y + c_1)(x + y + c_2) = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને રેખાઓ $(2x - y + 1)(x + y - 1) = 0$ મળે છે.
આ રેખાઓના ઢાળ $m_1 = 2$ અને $m_2 = -1$ છે.
$(1, 1)$ માંથી પસાર થતી અને આ રેખાઓને લંબ રેખાઓના ઢાળ $m_1' = -1/2$ અને $m_2' = 1$ થશે.
આ રેખાઓના સમીકરણો $(y - 1) = -1/2(x - 1) \Rightarrow x + 2y - 3 = 0$ અને $(y - 1) = 1(x - 1) \Rightarrow x - y = 0$ છે.
તેમનું સંયુક્ત સમીકરણ $(x + 2y - 3)(x - y) = 0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2 + xy - 2y^2 - 3x + 3y = 0$ મળે છે.
આને $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 3y = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1, 2h = 1, b = -2, 2g = -3$ મળે છે.
આમ,$\frac{b}{a} = \frac{-2}{1} = -2$.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ એ રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે જો નિશ્ચાયક $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ હોય.
આપેલ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
$a = 2, b = -2, c = -3, h = \frac{3}{2}, g = -\frac{5}{2}, f_{given} = \frac{f}{2}$.
શરત $\Delta = 0$ માં કિંમતો મૂકતા:
$12 - \frac{15f}{4} - \frac{f^2}{2} + \frac{25}{2} + \frac{27}{4} = 0$
$2f^2 + 15f - 125 = 0$
$(f - 5)(2f + 25) = 0$
તેથી,$f = 5$ અથવા $f = -\frac{25}{2}$ મળે છે.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે જો નિશ્ચાયક $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ થાય.
આપેલ સમીકરણ $2x^2 + 3xy - 2y^2 - 5x + 2fy - 3 = 0$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
$a = 2, h = \frac{3}{2}, b = -2, g = -\frac{5}{2}, f = f, c = -3$.
શરત $\Delta = 0$ માં આ કિંમતો મૂકતા:
$(2)(-2)(-3) + 2(f)(-\frac{5}{2})(\frac{3}{2}) - 2(f)^2 - (-2)(-\frac{5}{2})^2 - (-3)(\frac{3}{2})^2 = 0$
$12 - \frac{15f}{2} - 2f^2 + 12.5 + 6.75 = 0$
$-2f^2 - 7.5f + 31.25 = 0$
સાદુરૂપ આપતા $8f^2 + 30f - 125 = 0$ મળે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા $f = \frac{5}{2}$ અથવા $f = -\frac{25}{4}$ મળે.
વિકલ્પો તપાસતા,$\frac{5}{2}$ એ વિકલ્પ $D$ માં છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $8 x^2-24 x y+18 y^2-6 x+9 y-5=0$ છે.
આપણે દ્વિઘાત ભાગને $(2 \sqrt{2} x - 3 \sqrt{2} y)^2 = 2(4 x^2 - 12 x y + 9 y^2) = 2(2 x - 3 y)^2$ તરીકે લખી શકીએ.
ધારો કે $2 x - 3 y = t$. તો સમીકરણ $2 t^2 - 3 t - 5 = 0$ બને છે.
અવયવ પાડતા: $2 t^2 - 5 t + 2 t - 5 = 0 \implies t(2 t - 5) + 1(2 t - 5) = 0 \implies (t + 1)(2 t - 5) = 0$.
$t = 2 x - 3 y$ પાછું મૂકતા,આપણને $(2 x - 3 y + 1)(2(2 x - 3 y) - 5) = 0$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $(2 x - 3 y + 1)(4 x - 6 y - 5) = 0$ થાય છે.
આ સમીકરણ બે રેખાઓ દર્શાવે છે અને તેમના ઢાળ $m_1 = \frac{2}{3}$ અને $m_2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ સમાન હોવાથી,આ રેખાઓ સમાંતર છે.

(B) સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2=0$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતી બે રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે.
રેખા $1$ એ $(0,0)$ અને $(2,3)$ માંથી પસાર થાય છે. તેનું સમીકરણ $y = \frac{3}{2}x \Rightarrow 3x - 2y = 0$ છે.
રેખા $2$ એ $(0,0)$ અને $(4,5)$ માંથી પસાર થાય છે. તેનું સમીકરણ $y = \frac{5}{4}x \Rightarrow 5x - 4y = 0$ છે.
તેથી સંયુક્ત સમીકરણ $(3x - 2y)(5x - 4y) = 0$ થાય.
વિસ્તરણ કરતા,$15x^2 - 22xy + 8y^2 = 0$ મળે.
સરખામણી કરતા,$a = 15$,$2h = -22$ અને $b = 8$ મળે.
તેથી,$a + 2h + b = 15 - 22 + 8 = 1$.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ: $2x^2 + 4xy - 4y^2 - 6x - 8y + 7 = 0$.
$Y$-અક્ષ પરના અંતઃખંડની લંબાઈ શોધવા માટે $x = 0$ મૂકો.
સમીકરણમાં $x = 0$ મૂકતા: $-4y^2 - 8y + 7 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $4y^2 + 8y - 7 = 0$ થાય છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$y = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 4(4)(-7)}}{8} = \frac{-8 \pm \sqrt{176}}{8} = -1 \pm \frac{\sqrt{11}}{2}$.
અંતઃખંડની લંબાઈ એ બે ઉકેલો $y_1$ અને $y_2$ વચ્ચેનો તફાવત છે: $|y_1 - y_2| = |(-1 + \frac{\sqrt{11}}{2}) - (-1 - \frac{\sqrt{11}}{2})| = \sqrt{11}$.

(D) આપેલ સમીકરણ $9x^2 - 6xy + y^2 + 18x - 6y + 8 = 0$ છે.
આપણે દ્વિઘાત ભાગને $(3x - y)^2 + 6(3x - y) + 8 = 0$ તરીકે લખી શકીએ.
ધારો કે $t = 3x - y$,તો સમીકરણ $t^2 + 6t + 8 = 0$ બને છે.
અવયવ પાડતા,$(t + 4)(t + 2) = 0$ મળે છે.
આમ,બે સમાંતર રેખાઓ $3x - y + 4 = 0$ અને $3x - y + 2 = 0$ છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $ax + by + c_1 = 0$ અને $ax + by + c_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 3$,$b = -1$,$c_1 = 4$,અને $c_2 = 2$ છે.
$d = \frac{|4 - 2|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{10}}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2(\sec^2 \theta - \sin^2 \theta) - 2xy \tan \theta + y^2 \sin^2 \theta = 0$ છે.
સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = \sec^2 \theta - \sin^2 \theta$,$h = -\tan \theta$,અને $b = \sin^2 \theta$ મળે.
ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે. તો $m_1 + m_2 = \frac{2 \tan \theta}{\sin^2 \theta}$ અને $m_1 m_2 = \frac{\sec^2 \theta - \sin^2 \theta}{\sin^2 \theta}$.
ઢાળના તફાવતનો વર્ગ $(m_1 - m_2)^2 = (m_1 + m_2)^2 - 4m_1 m_2$ થાય.
ગણતરી કરતા,$(m_1 - m_2)^2 = 4$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $4xy + 6x - 8y + c = 0$ છે.
આને $(x - 2)(y + 1.5) = \frac{12 - c}{4}$ તરીકે લખી શકાય.
લંબચોરસની બાજુઓ $x = 2$ અને $y = -1.5$ છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $|2 \times (-1.5)| = 3$ થાય.
વિકલ્પ $C$ મુજબ,$|c|/4 = 12/4 = 3$ થાય છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $4xy + 6x - 8y + c = 0$ છે.
આ સમીકરણને અવયવ પાડતા: $(2y + 3)(x - 2) = -\frac{12 + c}{2}$ મળે.
રેખાઓ યામ અક્ષો સાથે લંબચોરસ બનાવે તે માટે,રેખાઓ $x = 2$ અને $y = -1.5$ સ્વરૂપમાં હોવી જોઈએ.
લંબચોરસની બાજુઓ $2$ અને $1.5$ છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $2 \times 1.5 = 3$ થાય.
અહીં $c = -12$ હોવાથી,$|c/4| = |-12/4| = 3$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $3$ ઘાતનું સમપરિમાણીય સમીકરણ છે,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી ત્રણ રેખાઓ દર્શાવે છે.
સમીકરણને $x^3$ વડે ભાગતા,$2 + \frac{y}{x} + (\frac{y}{x})^3 = 0$ મળે.
ધારો કે $m = \frac{y}{x}$,તો $m^3 + m + 2 = 0$.
અવલોકન કરતા,$m = -1$ એ એક બીજ છે.
તેથી,ત્રીજી રેખાનો ઢાળ $-1$ છે.

(A) આપેલ રેખાઓની જોડી: $4xy + 2x + 6y + 3 = 0$.
અવયવ પાડતા:
$2x(2y + 1) + 3(2y + 1) = 0$
$(2x + 3)(2y + 1) = 0$.
તેથી,રેખાઓ $x = -\frac{3}{2}$ અને $y = -\frac{1}{2}$ છે.
$x = -\frac{3}{2}$ ને લંબ રેખા $y = 1$ છે,જે $(2,1)$ માંથી પસાર થાય છે.
$y = -\frac{1}{2}$ ને લંબ રેખા $x = 2$ છે,જે $(2,1)$ માંથી પસાર થાય છે.
આ બંને રેખાઓનું સંયુક્ત સમીકરણ $(y - 1)(x - 2) = 0$ છે.
જેનું સાદું રૂપ $xy - x - 2y + 2 = 0$ થાય છે.

(B) ધારો કે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી બે રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ છે.
રેખા $L_1$ એ $x+2y+7=0$ ને લંબ છે. $x+2y+7=0$ નો ઢાળ $m = -1/2$ છે. તેથી,$L_1$ નો ઢાળ $m_1 = 2$ છે. $L_1$ નું સમીકરણ $y = 2x$ અથવા $2x-y=0$ છે.
રેખા $L_2$ એ $3x+4y+5=0$ ને સમાંતર છે. $3x+4y+5=0$ નો ઢાળ $m = -3/4$ છે. તેથી,$L_2$ નો ઢાળ $m_2 = -3/4$ છે. $L_2$ નું સમીકરણ $y = -3/4x$ અથવા $3x+4y=0$ છે.
રેખાઓની જોડીનું સંયુક્ત સમીકરણ $(2x-y)(3x+4y) = 0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $6x^2 + 8xy - 3xy - 4y^2 = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $6x^2 + 5xy - 4y^2 = 0$ થાય છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $\lambda x^2-10 x y+12 y^2+5 x-16 y-3=0$ છે.
તેને વ્યાપક દ્વિઘાત સમીકરણ $a x^2+2 h x y+b y^2+2 g x+2 f y+c=0$ સાથે સરખાવતા:
$a=\lambda, h=-5, b=12, g=\frac{5}{2}, f=-8, c=-3$ મળે છે.
રેખાયુગ્મ દર્શાવવા માટેની શરત $abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2=0$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda(12)(-3) + 2(-8)(\frac{5}{2})(-5) - \lambda(-8)^2 - 12(\frac{5}{2})^2 - (-3)(-5)^2 = 0$.
$-36\lambda + 200 - 64\lambda - 75 + 75 = 0$.
$-100\lambda + 200 = 0$.
$100\lambda = 200$.
$\lambda = 2$.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડી $3x^2 + 11xy - 4y^2 = 0$ છે.
અવયવ પાડતા,$(3x - y)(x + 4y) = 0$ મળે.
આ રેખાઓના ઢાળ $m_1 = 3$ અને $m_2 = -\frac{1}{4}$ છે.
તેમને લંબ રેખાઓના ઢાળ $m_1' = -\frac{1}{3}$ અને $m_2' = 4$ થશે.
આ રેખાઓ $(1, 1)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,તેમના સમીકરણો:
$y - 1 = -\frac{1}{3}(x - 1) \Rightarrow x + 3y - 4 = 0$
$y - 1 = 4(x - 1) \Rightarrow 4x - y - 3 = 0$
સંયુક્ત સમીકરણ $(x + 3y - 4)(4x - y - 3) = 0$ છે.
વિસ્તરણ કરતા: $4x^2 + 11xy - 3y^2 - 19x - 5y + 12 = 0$.
સરખામણી કરતા $a = 4, h = \frac{11}{2}, b = -3, g = -\frac{19}{2}, f = -\frac{5}{2}$ મળે.
$2(a - h + b - g + f - 12) = 2(4 - \frac{11}{2} - 3 + \frac{19}{2} - \frac{5}{2} - 12) = -19$.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ રેખાઓની જોડ દર્શાવે છે જો નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોય,જ્યાં $\Delta = \begin{vmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{vmatrix} = 0$.
આપેલ સમીકરણ $ax^2-34xy-5y^2+2x+26y-5=0$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$a=a$,$h=-17$,$b=-5$,$g=1$,$f=13$,અને $c=-5$ મળે છે.
નિશ્ચાયકમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$\begin{vmatrix} a & -17 & 1 \\ -17 & -5 & 13 \\ 1 & 13 & -5 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$a(25 - 169) + 17(85 - 13) + 1(-221 + 5) = 0$
$-144a + 1224 - 216 = 0$
$-144a + 1008 = 0$
$a = 7$.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ રેખાયુગ્મ દર્શાવે જો $\Delta = abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2 = 0$ થાય.
આપેલ સમીકરણ $x^2+pxy+y^2-5x-7y+6=0$ ને સરખાવતા:
$a=1, b=1, c=6, h=\frac{p}{2}, g=-\frac{5}{2}, f=-\frac{7}{2}$.
શરત $\Delta=0$ માં કિંમતો મૂકતા:
$(1)(1)(6) + 2(-\frac{7}{2})(-\frac{5}{2})(\frac{p}{2}) - 1(-\frac{7}{2})^2 - 1(-\frac{5}{2})^2 - 6(\frac{p}{2})^2 = 0$
$6 + \frac{35p}{4} - \frac{49}{4} - \frac{25}{4} - \frac{6p^2}{4} = 0$
$4$ વડે ગુણતા:
$24 + 35p - 49 - 25 - 6p^2 = 0$
$-6p^2 + 35p - 50 = 0$
$6p^2 - 35p + 50 = 0$
$(2p-5)(3p-10) = 0$
આમ,$p = \frac{5}{2}$ અથવા $p = \frac{10}{3}$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $\frac{5}{2}$ છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ એ બે રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે જો નિશ્ચાયક $\Delta = abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2 = 0$ થાય.
આપેલ સમીકરણ $x^2+pxy+y^2-5x-7y+6=0$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
$a=1, b=1, c=6, h=\frac{p}{2}, g=-\frac{5}{2}, f=-\frac{7}{2}$.
શરત $\Delta = 0$ માં આ કિંમતો મૂકતા:
$(1)(1)(6) + 2(-\frac{7}{2})(-\frac{5}{2})(\frac{p}{2}) - (1)(-\frac{7}{2})^2 - (1)(-\frac{5}{2})^2 - (6)(\frac{p}{2})^2 = 0$.
$6 + \frac{35p}{4} - \frac{49}{4} - \frac{25}{4} - \frac{6p^2}{4} = 0$.
$4$ વડે ગુણતા:
$24 + 35p - 49 - 25 - 6p^2 = 0$.
$-6p^2 + 35p - 50 = 0$.
$6p^2 - 35p + 50 = 0$.
$(2p-5)(3p-10) = 0$.
આમ,$p = \frac{5}{2}$ અથવા $p = \frac{10}{3}$.

(A) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે.
આ રેખાઓ વાસ્તવિક હોવા માટેની શરત $h^2 - ab \geq 0$ છે.
$2x^2 - pxy + 2y^2 = 0$ ની સરખામણી સામાન્ય સમીકરણ સાથે કરતા,$a = 2$,$2h = -p$ (તેથી $h = -p/2$),અને $b = 2$ મળે છે.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા:
$(-p/2)^2 - (2)(2) \geq 0$
$\frac{p^2}{4} - 4 \geq 0$
$p^2 - 16 \geq 0$
$(p - 4)(p + 4) \geq 0$
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે છે જ્યારે $p \leq -4$ અથવા $p \geq 4$ હોય.
તેથી,$p \in (-\infty, -4] \cup [4, \infty)$.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણનું વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x^2-4xy-y^2+6x+2y+k=0$ સાથે સરખાવતા:
$a=1, h=-2, b=-1, g=3, f=1, c=k$.
રેખાયુગ્મ દર્શાવવા માટેની શરત $\Delta = abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2=0$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$(1)(-1)(k) + 2(1)(3)(-2) - 1(1)^2 - (-1)(3)^2 - k(-2)^2 = 0$
$-k - 12 - 1 + 9 - 4k = 0$
$-5k - 4 = 0$
$5k = -4$
$k = -\frac{4}{5}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2 + \alpha y^2 + 2 \beta y - a^2 = 0$ છે.
તેને રેખાઓની જોડીના વ્યાપક સમીકરણ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 + 2Gx + 2Fy + C = 0$ સાથે સરખાવતા,$A=1, B=\alpha, H=0, G=0, F=\beta, C=-a^2$ મળે.
રેખાઓ લંબ હોવા માટેની શરત $A+B=0$ છે.
તેથી,$1 + \alpha = 0 \Rightarrow \alpha = -1$.
રેખાઓની જોડી દર્શાવવા માટેની શરત $ABC + 2FGH - AF^2 - BG^2 - CH^2 = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(1)(\alpha)(-a^2) + 2(\beta)(0)(0) - (1)(\beta)^2 - (\alpha)(0)^2 - (-a^2)(0)^2 = 0$.
આનું સાદું રૂપ $-\alpha a^2 - \beta^2 = 0$ થાય.
$\alpha = -1$ મૂકતા,$-(-1)a^2 - \beta^2 = 0$ મળે,જેનો અર્થ $a^2 - \beta^2 = 0$ થાય.
તેથી,$\beta^2 = a^2$,જે દર્શાવે છે કે $\beta = \pm a$. વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $\beta = a$ છે.

(D) પ્રથમ રેખાઓની જોડી $xy+x+y+1=0$ દ્વારા આપવામાં આવી છે. આના અવયવ પાડતા,આપણને $x(y+1)+1(y+1)=0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $(x+1)(y+1)=0$. આમ,રેખાઓ $x=-1$ અને $y=-1$ છે.
બીજી રેખાઓની જોડી $xy+3x+3y+9=0$ દ્વારા આપવામાં આવી છે. આના અવયવ પાડતા,આપણને $x(y+3)+3(y+3)=0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $(x+3)(y+3)=0$. આમ,રેખાઓ $x=-3$ અને $y=-3$ છે.
ચતુષ્કોણ બનાવતી ચાર રેખાઓ $x=-1, x=-3, y=-1$ અને $y=-3$ છે.
શિરોલંબ રેખાઓ $x=-1$ અને $x=-3$ વચ્ચેનું અંતર $|-1 - (-3)| = 2$ છે.
આડી રેખાઓ $y=-1$ અને $y=-3$ વચ્ચેનું અંતર $|-1 - (-3)| = 2$ છે.
જેથી સામસામેની બાજુઓ સમાંતર છે અને શિરોલંબ રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર આડી રેખાઓ વચ્ચેના અંતર જેટલું જ હોવાથી,આ ચતુષ્કોણ એક ચોરસ છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને $m_1 = \frac{2}{3}$ તથા $m_2 = -\frac{2}{3}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાઓના સમીકરણો $y = m_1 x$ અને $y = m_2 x$ છે.
ઢાળની કિંમતો મૂકતા,આપણને $y = \frac{2}{3}x \Rightarrow 2x - 3y = 0$ અને $y = -\frac{2}{3}x \Rightarrow 2x + 3y = 0$ મળે છે.
સંયુક્ત સમીકરણ આ બે રેખીય સમીકરણોનો ગુણાકાર છે:
$(2x - 3y)(2x + 3y) = 0$.
નિત્યસમ $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(2x)^2 - (3y)^2 = 0$.
તેથી,$4x^2 - 9y^2 = 0$.

(B) પ્રથમ,$3x^2 + 8xy - 3y^2 + 2x - 4y - 1 = 0$ રેખાઓની જોડીના અવયવ પાડો.
સમીકરણને $3x^2 + (8y + 2)x - (3y^2 + 4y + 1) = 0$ તરીકે લખો.
$x$ માટે દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{-(8y+2) \pm \sqrt{(8y+2)^2 + 4(3)(3y^2+4y+1)}}{2(3)}$.
વિવેચકનું સાદું રૂપ આપતા: $(64y^2 + 32y + 4) + (36y^2 + 48y + 12) = 100y^2 + 80y + 16 = (10y+4)^2$.
આમ,$x = \frac{-8y-2 \pm (10y+4)}{6}$.
આનાથી બે રેખાઓ મળે છે: $3x - y - 1 = 0$ અને $x + 3y + 1 = 0$.
આ રેખાઓના ઢાળ $m_1 = 3$ અને $m_2 = -1/3$ છે. $m_1 \times m_2 = -1$ હોવાથી,આ બે રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.
ત્રીજી રેખા $4x - 3y - 2 = 0$ છે,જેનો ઢાળ $m_3 = 4/3$ છે.
પ્રથમ બે રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેઓ ત્રીજી રેખા સાથે મળીને કાટકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે.

(C) ધારો કે રેખાઓના ઢાળ અનુક્રમે $m$ અને $3m$ છે,જે સમીકરણ $ax^2+4xy+y^2=0$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$Ax^2+2Hxy+By^2=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A=a$,$2H=4 \Rightarrow H=2$,અને $B=1$ મળે છે.
ઢાળનો સરવાળો $m+3m = -\frac{2H}{B} = -\frac{4}{1} = -4$ થાય છે.
$4m = -4 \Rightarrow m = -1$.
ઢાળનો ગુણાકાર $m(3m) = \frac{A}{B} = \frac{a}{1} = a$ થાય છે.
$3m^2 = a$.
$m = -1$ મૂકતા,આપણને $3(-1)^2 = a \Rightarrow a = 3$ મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $3x^2 + axy - 2y^2 = 0$ છે.
$x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $3 + a(\frac{y}{x}) - 2(\frac{y}{x})^2 = 0$ મળે છે.
ધારો કે $m = \frac{y}{x}$ એ રેખાઓનો ઢાળ છે. તેથી $2m^2 - am - 3 = 0$.
એક રેખા $x$-અક્ષ સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી તેનો ઢાળ $m = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણમાં $m = \sqrt{3}$ મૂકતા:
$2(\sqrt{3})^2 - a(\sqrt{3}) - 3 = 0$
$2(3) - a\sqrt{3} - 3 = 0$
$6 - 3 = a\sqrt{3}$
$3 = a\sqrt{3}$
$a = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.

(C) $PQ$ નો ઢાળ $m$ ધારો. $PQ \perp PR$ હોવાથી અને $PQR$ સમદ્વિબાજુ હોવાથી,$PR$ નો ઢાળ $-1/m$ છે. $PQ$ અને $QR$ ($2x + y = 3$,ઢાળ $-2$) વચ્ચેનો ખૂણો $45^\circ$ છે. $\tan 45^\circ = |(m - (-2)) / (1 + m(-2))| = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $|(m + 2) / (1 - 2m)| = 1$ મળે છે. ઉકેલતા $m = -1/3$ અને $m = 3$ મળે છે. $P(2, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખાઓના સમીકરણો $(3x - y - 5) = 0$ અને $(x + 3y - 5) = 0$ છે. તેમનું સંયુક્ત સમીકરણ $(3x - y - 5)(x + 3y - 5) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $3x^2 - 3y^2 + 8xy - 20x - 10y + 25 = 0$ થાય છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2-5xy+4y^2=0$ છે.
અવયવ પાડતા: $(x-y)(x-4y)=0$.
રેખાઓ $L_1: x-y=0$ અને $L_2: x-4y=0$ છે.
$(2,1)$ માંથી પસાર થતી અને $x-y=0$ ને લંબ રેખા: $x+y-3=0$.
$(2,1)$ માંથી પસાર થતી અને $x-4y=0$ ને લંબ રેખા: $4x+y-9=0$.
સંયુક્ત સમીકરણ: $(x+y-3)(4x+y-9)=0$.
વિસ્તરણ કરતા: $4x^2+5xy+y^2-21x-12y+27=0$.

(B) આપેલ રેખાયુગ્મનું સમીકરણ $2 x^2+3 x y+2 y^2+10 x+5 y=0$ છે.
તે $a x^2+2 h x y+b y^2+2 g x+2 f y+c=0$ ના સ્વરૂપમાં છે.
અહીં $a=2$,$2h=3$ (તેથી $h=\frac{3}{2}$),અને $b=2$ છે.
ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને આપેલ રેખાયુગ્મને લંબ રેખાયુગ્મનું સમીકરણ $b x^2-2 h x y+a y^2=0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $2 x^2-3 x y+2 y^2=0$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $2x^2 - xy - y^2 = 0$ છે.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા:
$2x^2 - 2xy + xy - y^2 = 0$
$2x(x - y) + y(x - y) = 0$
$(2x + y)(x - y) = 0$.
રેખાઓ $2x + y = 0$ અને $x - y = 0$ ને સમાંતર છે.
ધારો કે જરૂરી રેખાઓ $(2x + y + k_1) = 0$ અને $(x - y + k_2) = 0$ છે.
આ રેખાઓ $(1, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણે બિંદુ મૂકીએ:
પ્રથમ રેખા માટે: $2(1) + 0 + k_1 = 0 \Rightarrow k_1 = -2$.
બીજી રેખા માટે: $1 - 0 + k_2 = 0 \Rightarrow k_2 = -1$.
સંયુક્ત સમીકરણ $(2x + y - 2)(x - y - 1) = 0$ છે.
ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા:
$2x^2 - xy - y^2 - 4x + y + 2 = 0$.