Equation of pair of straight lines Questions in Gujarati

(A) દ્વિઘાત સમીકરણનું સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $2x^2 + 4xy - ky^2 + 4x + 2y - 1 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 2, h = 2, b = -k, g = 2, f = 1, c = -1$ મળે છે.
રેખાઓની જોડી માટેની શરત $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(2)(-k)(-1) + 2(1)(2)(2) - 2(1)^2 - (-k)(2)^2 - (-1)(2)^2 = 0$.
$2k + 8 - 2 + 4k + 4 = 0$.
$6k + 10 = 0$.
$6k = -10$.
$k = -\frac{10}{6} = -\frac{5}{3}$.

(D) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $x^2 + xy - 12y^2 = 0$ છે.
અલગ સમીકરણો મેળવવા માટે,આપણે દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવો પાડીશું:
$x^2 + 4xy - 3xy - 12y^2 = 0$
$x(x + 4y) - 3y(x + 4y) = 0$
$(x + 4y)(x - 3y) = 0$
તેથી,રેખાઓના અલગ સમીકરણો $x + 4y = 0$ અને $x - 3y = 0$ છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે જો નિશ્ચાયક $\Delta = \begin{vmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{vmatrix} = 0$ હોય.
આપેલ સમીકરણ $2x^2 + 5xy + 3y^2 + 6x + 7y + k = 0$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$a = 2, b = 3, c = k, h = 5/2, g = 3, f = 7/2$ મળે છે.
નિશ્ચાયકની શરતમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$\begin{vmatrix} 2 & 5/2 & 3 \\ 5/2 & 3 & 7/2 \\ 3 & 7/2 & k \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$4(12k - 49) - 5(10k - 42) - 6 = 0$
$48k - 196 - 50k + 210 - 6 = 0$
$-2k + 8 = 0$
$k = 4$.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે જો નિશ્ચાયક $\Delta = \begin{vmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{vmatrix} = 0$ હોય.
આપેલ સમીકરણ $3x^2 + xy - y^2 - 3x + 6y + k = 0$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$a=3, h=1/2, b=-1, g=-3/2, f=3, c=k$ મળે છે.
રેખાઓની જોડી માટેની શરત: $\begin{vmatrix} 3 & 1/2 & -3/2 \\ 1/2 & -1 & 3 \\ -3/2 & 3 & k \end{vmatrix} = 0$.
નિશ્ચાયકને સરળ બનાવવા માટે હારને $2$ વડે ગુણતા: $\frac{1}{4} \begin{vmatrix} 6 & 1 & -3 \\ 1 & -2 & 6 \\ -3 & 6 & 2k \end{vmatrix} = 0$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $6(-4k - 36) - 1(2k + 18) - 3(6 - 6) = 0$.
$-24k - 216 - 2k - 18 = 0$.
$-26k - 234 = 0$.
$26k = -234$.
$k = -9$.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ એ બે સીધી રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે જો $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ હોય.
આપેલ સમીકરણ $px^2 + xy + y^2 - x - 2y + 0 = 0$ ને વ્યાપક સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
$a = p, h = \frac{1}{2}, b = 1, g = -\frac{1}{2}, f = -1, c = 0$.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા:
$p(1)(0) + 2(-1)(-\frac{1}{2})(\frac{1}{2}) - p(-1)^2 - 1(-\frac{1}{2})^2 - 0(\frac{1}{2})^2 = 0$.
$0 + \frac{1}{2} - p - \frac{1}{4} = 0$.
$-p + \frac{1}{4} = 0$.
$p = \frac{1}{4}$.

(A) સામાન્ય દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ રેખાઓની જોડી દર્શાવે તે માટેની શરત $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $2x^2 + 7xy + 3y^2 - 9x - 7y + k = 0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
$a = 2, b = 3, c = k, h = 7/2, g = -9/2, f = -7/2$.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા:
$(2)(3)(k) + 2(-7/2)(-9/2)(7/2) - 2(-7/2)^2 - 3(-9/2)^2 - k(7/2)^2 = 0$.
$6k + 441/4 - 49/2 - 243/4 - 49k/4 = 0$.
છેદ દૂર કરવા માટે આખા સમીકરણને $4$ વડે ગુણતા:
$24k + 441 - 98 - 243 - 49k = 0$.
$-25k + 100 = 0$.
$25k = 100$.
$k = 4$.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ એ બે સીધી રેખાઓ દર્શાવે છે જો $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ હોય.
આપેલ સમીકરણ $12x^2 - 10xy + 2y^2 + 11x - 5y + k = 0$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
$a = 12, b = 2, c = k, h = -5, g = 11/2, f = -5/2$.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા:
$(12)(2)(k) + 2(-5/2)(11/2)(-5) - 12(-5/2)^2 - 2(11/2)^2 - k(-5)^2 = 0$
$24k - 25k + 2 = 0 \implies k = 2$.

(D) આપેલ બે બાજુઓનું સમીકરણ $x^2 - 7xy + 6y^2 = 0$ છે.
અવયવ પાડતા,$(x - 6y)(x - y) = 0$ મળે.
તેથી,બે બાજુઓ $x - 6y = 0$ અને $x - y = 0$ છે,જે ઉગમબિંદુ $A(0, 0)$ પર છેદે છે.
ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(0, 0)$,$B(x_1, y_1)$,અને $C(x_2, y_2)$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $G$ એ $\left(\frac{0 + x_1 + x_2}{3}, \frac{0 + y_1 + y_2}{3}\right) = (1, 0)$ દ્વારા મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $x_1 + x_2 = 3$ અને $y_1 + y_2 = 0$.
$B(x_1, y_1)$ એ $x - 6y = 0$ પર હોવાથી,$x_1 = 6y_1$ મળે.
$C(x_2, y_2)$ એ $x - y = 0$ પર હોવાથી,$x_2 = y_2$ મળે.
આ કિંમતો મધ્યકેન્દ્રના સમીકરણોમાં મૂકતા:
$6y_1 + y_2 = 3$ અને $y_1 + y_2 = 0 \Rightarrow y_2 = -y_1$.
$y_2 = -y_1$ ને $6y_1 + y_2 = 3$ માં મૂકતા,$5y_1 = 3$ મળે,તેથી $y_1 = \frac{3}{5}$ અને $x_1 = \frac{18}{5}$.
પછી $y_2 = -\frac{3}{5}$ અને $x_2 = -\frac{3}{5}$.
ત્રીજી બાજુ $BC$ એ $B\left(\frac{18}{5}, \frac{3}{5}\right)$ અને $C\left(-\frac{3}{5}, -\frac{3}{5}\right)$ માંથી પસાર થાય છે.
ઢાળ $m = \frac{2}{7}$ છે.
સમીકરણ $y + \frac{3}{5} = \frac{2}{7}(x + \frac{3}{5})$ સાદું રૂપ આપતા $2x - 7y - 3 = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે બે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે. આપેલ છે કે $m_2 = 5m_1$.
સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ પરથી,$m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ અને $m_1 m_2 = \frac{a}{b}$ મળે.
સરવાળામાં $m_2 = 5m_1$ મૂકતા: $m_1 + 5m_1 = 6m_1 = -\frac{2h}{b} \implies m_1 = -\frac{h}{3b}$.
ગુણાકારમાં $m_2 = 5m_1$ મૂકતા: $m_1(5m_1) = 5m_1^2 = \frac{a}{b} \implies m_1^2 = \frac{a}{5b}$.
$m_1$ માટેના પદનો વર્ગ કરતા: $(-\frac{h}{3b})^2 = \frac{a}{5b} \implies \frac{h^2}{9b^2} = \frac{a}{5b}$.
બંને બાજુ $45b^2$ વડે ગુણતા: $5h^2 = 9ab$.

(B) આપેલ સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે,જ્યાં $a = 2$,$2h = -5$,અને $b = 1$ છે.
$ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ ને લંબ અને ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડનું સમીકરણ $bx^2 - 2hxy + ay^2 = 0$ થાય છે.
કિંમતો $a = 2$,$b = 1$,અને $2h = -5$ મૂકતા:
$1x^2 - (-5)xy + 2y^2 = 0$
$x^2 + 5xy + 2y^2 = 0$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2 - 4y^2 = 0$ ને $(x - 2y)(x + 2y) = 0$ તરીકે અવયવ પાડી શકાય છે,જે બે રેખાઓ દર્શાવે છે: $x - 2y = 0$ અને $x + 2y = 0$.
આ રેખાઓ ઉગમબિંદુ $A(0, 0)$ પર છેદે છે.
ત્રીજી રેખા $x = a$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે છેદબિંદુઓ શોધીએ:
$1$. $x - 2y = 0$ અને $x = a$ નું છેદબિંદુ: $a - 2y = 0 \implies y = \frac{a}{2}$. તેથી,$C = (a, \frac{a}{2})$.
$2$. $x + 2y = 0$ અને $x = a$ નું છેદબિંદુ: $a + 2y = 0 \implies y = -\frac{a}{2}$. તેથી,$B = (a, -\frac{a}{2})$.
$3$. $x - 2y = 0$ અને $x + 2y = 0$ નું છેદબિંદુ $A = (0, 0)$ છે.
ત્રિકોણનો પાયો $x = a$ રેખા પરનો ઊભો રેખાખંડ $BC$ છે. પાયાની લંબાઈ $|\frac{a}{2} - (- \frac{a}{2})| = |a| = a$ છે.
શિરોબિંદુ $A$ થી પાયા $BC$ સુધીની ઊંચાઈ એ $x = 0$ થી $x = a$ સુધીનું આડું અંતર છે,જે $a$ છે.
ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times a \times a = \frac{a^2}{2}$.

(A) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $6x^2 + 41xy - 7y^2 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 6$,$2h = 41$,અને $b = -7$ મળે છે.
ધારો કે બે રેખાઓના ઢાળ $m_1 = \tan \alpha$ અને $m_2 = \tan \beta$ છે.
રેખાઓની જોડી $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ માટે,ઢાળનો ગુણાકાર $m_1 m_2 = \frac{a}{b}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\tan \alpha \cdot \tan \beta = \frac{6}{-7} = -\frac{6}{7}$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $a = \sec^2 \theta - \sin^2 \theta$,$2h = -2 \tan \theta$,અને $b = \sin^2 \theta$ છે.
ધારો કે $m_1$ અને $m_2$ રેખાઓના ઢાળ છે. તેથી $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b} = \frac{2 \tan \theta}{\sin^2 \theta}$ અને $m_1 m_2 = \frac{a}{b} = \frac{\sec^2 \theta - \sin^2 \theta}{\sin^2 \theta} = \sec^2 \theta \csc^2 \theta - 1$ થાય.
ઢાળનો તફાવત $|m_1 - m_2| = \sqrt{(m_1 + m_2)^2 - 4m_1 m_2}$ છે.
$|m_1 - m_2| = \sqrt{\left(\frac{2 \tan \theta}{\sin^2 \theta}\right)^2 - 4(\sec^2 \theta \csc^2 \theta - 1)} = 2$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2 - y^2 - x - \lambda y - 2 = 0$ છે।
સામાન્ય દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a = 1, b = -1, c = -2, h = 0, g = -\frac{1}{2}, f = -\frac{\lambda}{2}$.
રેખાયુગ્મ માટેની શરત $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ છે।
કિંમતો મૂકતા:
$(1)(-1)(-2) + 2(-\frac{\lambda}{2})(-\frac{1}{2})(0) - (1)(-\frac{\lambda}{2})^2 - (-1)(-\frac{1}{2})^2 - (-2)(0)^2 = 0$.
$2 + 0 - \frac{\lambda^2}{4} + \frac{1}{4} = 0$.
$2 + \frac{1}{4} = \frac{\lambda^2}{4}$.
$\frac{9}{4} = \frac{\lambda^2}{4}$.
$\lambda^2 = 9 \Rightarrow \lambda = \pm 3$.

(B) આપેલ સમીકરણ $ax^2 - y^2 + 4x - y = 0$ છે.
તેને સામાન્ય દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 + 2Gx + 2Fy + C = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$A = a, B = -1, H = 0, G = 2, F = -\frac{1}{2}, C = 0$.
સમીકરણ રેખાઓની જોડી દર્શાવે તે માટેની શરત $ABC + 2FGH - AF^2 - BG^2 - CH^2 = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$(a)(-1)(0) + 2(-\frac{1}{2})(2)(0) - a(-\frac{1}{2})^2 - (-1)(2)^2 - (0)(0)^2 = 0$.
$0 + 0 - \frac{a}{4} + 4 = 0$.
$\frac{a}{4} = 4$.
$a = 16$.

(A) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $6x^2 - xy + 4cy^2 = 0$ $(i)$ છે.
રેખા $3x + 4y = 0$ નો ઢાળ $m_1 = -\frac{3}{4}$ છે.
સમપરિમાણ સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ માટે,ઢાળનો ગુણાકાર $m_1 m_2 = \frac{a}{b}$ થાય.
અહીં,$a = 6$,$2h = -1$,અને $b = 4c$. તેથી,$m_1 m_2 = \frac{6}{4c} = \frac{3}{2c}$.
$m_1 = -\frac{3}{4}$ મૂકતા,$(-\frac{3}{4}) m_2 = \frac{3}{2c}$,જેનો અર્થ છે કે $m_2 = -\frac{2}{c}$.
ઢાળનો સરવાળો $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b} = -\frac{-1}{4c} = \frac{1}{4c}$ થાય.
$m_1$ અને $m_2$ ની કિંમતો મૂકતા: $-\frac{3}{4} - \frac{2}{c} = \frac{1}{4c}$.
$4c$ વડે ગુણતા,$-3c - 8 = 1$ મળે.
$-3c = 9$,તેથી $c = -3$.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડનું સમીકરણ ${x^2} - 2cxy - 7{y^2} = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$,$2h = -2c$,અને $b = -7$ મળે છે.
ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
ઢાળનો સરવાળો $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b} = -\frac{-2c}{-7} = -\frac{2c}{7}$ થાય.
ઢાળનો ગુણાકાર $m_1m_2 = \frac{a}{b} = \frac{1}{-7} = -\frac{1}{7}$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ,ઢાળનો સરવાળો તેમના ગુણાકાર કરતાં ચાર ગણો છે:
$m_1 + m_2 = 4(m_1m_2)$
$-\frac{2c}{7} = 4 \times (-\frac{1}{7})$
$-\frac{2c}{7} = -\frac{4}{7}$
$2c = 4$
$c = 2$.

(B) આપેલ સમીકરણ $ax^2 - bxy - y^2 = 0$ છે.
ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1 = \tan \alpha$ અને $m_2 = \tan \beta$ છે.
સમીકરણને $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$A = a$,$2H = -b$,અને $B = -1$ મળે છે.
રેખાઓની જોડીના ગુણધર્મો મુજબ,ઢાળનો સરવાળો $m_1 + m_2 = -\frac{2H}{B} = -\frac{-b}{-1} = -b$ થાય છે.
ઢાળનો ગુણાકાર $m_1 m_2 = \frac{A}{B} = \frac{a}{-1} = -a$ થાય છે.
$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{m_1 + m_2}{1 - m_1 m_2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
કિંમતો મૂકતા,$\tan(\alpha + \beta) = \frac{-b}{1 - (-a)} = \frac{-b}{1 + a}$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $xy + y = 0$ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા,આપણને $y(x + 1) = 0$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે બે રેખાઓ $y = 0$ અને $x = -1$ છે.
રેખા $y = 0$ એ $x$-અક્ષ છે,જે $y$-અક્ષને લંબ છે,તેથી તે $y$-અક્ષ સાથે $90^o$ નો ખૂણો બનાવે છે.
રેખા $x = -1$ એ $y$-અક્ષને સમાંતર શિરોલંબ રેખા છે,તેથી તે $y$-અક્ષ સાથે $0^o$ નો ખૂણો બનાવે છે.
આમ,ખૂણાઓ $0^o$ અને $90^o$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $2x^2 - 3xy + y^2 = 0$ છે.
$x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $2 - 3(\frac{y}{x}) + (\frac{y}{x})^2 = 0$ મળે છે.
ધારો કે $m = \frac{y}{x} = \tan \theta$. તેથી $m^2 - 3m + 2 = 0$.
રેખાઓના ઢાળ $m_1 = \tan \alpha$ અને $m_2 = \tan \beta$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ પરથી,બીજનો સરવાળો $m_1 + m_2 = 3$ અને બીજનો ગુણાકાર $m_1 m_2 = 2$ છે.
આપણે $\cot^2 \alpha + \cot^2 \beta = \frac{1}{m_1^2} + \frac{1}{m_2^2} = \frac{m_1^2 + m_2^2}{(m_1 m_2)^2}$ શોધવાનું છે.
નિત્યસમ $m_1^2 + m_2^2 = (m_1 + m_2)^2 - 2m_1 m_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{(m_1 + m_2)^2 - 2m_1 m_2}{(m_1 m_2)^2} = \frac{(3)^2 - 2(2)}{(2)^2} = \frac{9 - 4}{4} = \frac{5}{4}$.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^2 - 2xy \tan A - y^2 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1$,$2h = -2 \tan A$,અને $b = -1$ મળે છે.
ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
ઢાળનો સરવાળો $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$m_1 + m_2 = -\frac{-2 \tan A}{-1} = -2 \tan A$ મળે છે.
આપેલ છે કે ઢાળનો સરવાળો $4$ છે,તેથી $-2 \tan A = 4$.
આમ,$\tan A = -2$,જેનો અર્થ છે કે $A = \tan^{-1}(-2)$.

(C) આપેલ સમીકરણ ત્રીજા ઘાતનું સમપરિમાણીય સમીકરણ છે,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી ત્રણ સીધી રેખાઓ દર્શાવે છે.
ધારો કે ત્રણ રેખાઓ $L_1, L_2, L_3$ છે. ધારો કે $L_1$ અને $L_2$ પરસ્પર લંબ છે.
પરસ્પર લંબ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $x^2 + pxy - y^2 = 0$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
તેથી,આપણે ઘન સમીકરણને $(x^2 + pxy - y^2)(ax - dy) = 0$ તરીકે લખી શકીએ.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$b = ap - d$ અને $c = -a - dp$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા આપણને મળે છે: $a^2 + ac + bd + d^2 = 0$.

(D) સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી બે રેખાઓ દર્શાવે છે.
ધારો કે બે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ અને $m_1m_2 = \frac{a}{b}$.
યામ અક્ષો વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજકો $y = x$ અને $y = -x$ છે,જેના ઢાળ અનુક્રમે $1$ અને $-1$ છે.
કિસ્સો $1$: ધારો કે $m_1 = 1$. તો $m_2 = \frac{a}{b}$.
$m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ પરથી,$1 + \frac{a}{b} = -\frac{2h}{b}$ $\Rightarrow \frac{a+b}{b} = -\frac{2h}{b}$ $\Rightarrow a+b = -2h$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $(a+b)^2 = 4h^2$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: ધારો કે $m_1 = -1$. તો $m_2 = -\frac{a}{b}$.
$m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ પરથી,$-1 - \frac{a}{b} = -\frac{2h}{b}$ $\Rightarrow \frac{a+b}{b} = \frac{2h}{b}$ $\Rightarrow a+b = 2h$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $(a+b)^2 = 4h^2$ મળે છે.
આમ,બંને કિસ્સામાં શરત $(a+b)^2 = 4h^2$ છે.

(A) ધારો કે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓનું સમીકરણ $y = mx$ છે.
બિંદુ $({x_1}, {y_1})$ થી રેખા $mx - y = 0$ પરના લંબનું અંતર $d$ હોવાથી:
$\frac{|m{x_1} - {y_1}|}{\sqrt{{m^2} + 1}} = d$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(m{x_1} - {y_1})^2 = {d^2}({m^2} + 1)$
અહીં $m = \frac{y}{x}$ હોવાથી,કિંમત મૂકતા:
$(\frac{y}{x}{x_1} - {y_1})^2 = {d^2}((\frac{y}{x})^2 + 1)$
${x^2}$ વડે ગુણતા:
$(y{x_1} - x{y_1})^2 = {d^2}({y^2} + {x^2})$
આમ,માંગેલ સમીકરણ $(x{y_1} - y{x_1})^2 = {d^2}({x^2} + {y^2})$ છે.

(D) રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી આ રેખાઓ પરના લંબનો ગુણાકાર $\frac{|c|}{\sqrt{(a-b)^2 + 4h^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.

(D) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી કોઈપણ રેખા $y = mx$ છે. જો તે રેખા $y = x$ (જેનો ઢાળ $m_1 = 1$ છે) સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવે,તો તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\tan \alpha = \left| \frac{m - 1}{1 + m(1)} \right|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\tan^2 \alpha = \frac{(m - 1)^2}{(m + 1)^2}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $(m + 1)^2 \tan^2 \alpha = (m - 1)^2$ થાય છે.
વિસ્તરણ કરતા,આપણને $(m^2 + 2m + 1) \tan^2 \alpha = m^2 - 2m + 1$ મળે છે.
$m$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ બનાવવા માટે પદોને ગોઠવતા: $m^2(1 - \tan^2 \alpha) - 2m(1 + \tan^2 \alpha) + (1 - \tan^2 \alpha) = 0$.
$(1 - \tan^2 \alpha)$ વડે ભાગતા,આપણને $m^2 - 2m \left( \frac{1 + \tan^2 \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} \right) + 1 = 0$ મળે છે.
કારણ કે $\frac{1 + \tan^2 \alpha}{1 - \tan^2 \alpha} = \sec 2\alpha$,સમીકરણ $m^2 - 2m \sec 2\alpha + 1 = 0$ બને છે.
$m = \frac{y}{x}$ મૂકતા,આપણને $\left( \frac{y}{x} \right)^2 - 2 \left( \frac{y}{x} \right) \sec 2\alpha + 1 = 0$ મળે છે.
$x^2$ વડે ગુણતા,આપણને જરૂરી સમીકરણ $y^2 - 2xy \sec 2\alpha + x^2 = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ ${y^2} - {x^2} + 2x - 1 = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણને સામાન્ય દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a = -1, h = 0, b = 1, g = 1, f = 0, c = -1$.
સમીકરણ બે સીધી રેખાઓની જોડી દર્શાવે તે માટેની શરત નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ છે,જ્યાં $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta = (-1)(1)(-1) + 2(0)(1)(0) - (-1)(0)^2 - (1)(1)^2 - (-1)(0)^2$
$\Delta = 1 + 0 - 0 - 1 - 0 = 0$.
તેથી,$\Delta = 0$ હોવાથી,આ સમીકરણ બે સીધી રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણનું વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
સમીકરણ $y^2 + 2xy + 2x + my - 3 = 0$ ને સરખાવતા:
$a = 0, b = 1, h = 1, g = 1, f = m/2, c = -3$.
સમીકરણ બે સુરેખ અવયવો ધરાવે તે માટે નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોવો જોઈએ:
$\Delta = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & m/2 \\ 1 & m/2 & -3 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$0 - (-3 - m/2) + (m/2 - 1) = 0$
$3 + m/2 + m/2 - 1 = 0$
$m + 2 = 0$
$m = -2$

(A) દ્વિઘાત સમીકરણનું વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $\lambda x^2 - 10xy + 12y^2 + 5x - 16y - 3 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a = \lambda, h = -5, b = 12, g = 5/2, f = -8, c = -3$.
રેખાઓની જોડ માટેની શરત $\Delta = \begin{vmatrix} a & h & g \\ h & b & f \\ g & f & c \end{vmatrix} = 0$ છે.
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય મુકતા:
$\begin{vmatrix} \lambda & -5 & 5/2 \\ -5 & 12 & -8 \\ 5/2 & -8 & -3 \end{vmatrix} = 0$
$\lambda(-36 - 64) + 5(15 + 20) + (5/2)(40 - 30) = 0$
$-100\lambda + 175 + 25 = 0$
$-100\lambda + 200 = 0$
$\lambda = 2$.

(B) પ્રથમ ચરણમાં યામ અક્ષો વચ્ચેના ખૂણાનો દ્વિભાજક $y = x$ છે.
આ રેખા $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓની જોડનો ભાગ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
સમીકરણમાં $y = x$ મૂકતા,આપણને $ax^2 + 2h(x)(x) + b(x^2) = 0$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $x^2(a + 2h + b) = 0$ થાય છે.
આ સમીકરણ તમામ $x$ માટે સાચું હોવાથી,$a + 2h + b = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $a + b = -2h$.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણનું વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + 1 = 0$ ને સરખાવતા,$a = 1, b = 1, h = 0, c = 1$ મળે છે.
રેખાઓની જોડ દર્શાવવા માટેની શરત $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(1)(1)(1) + 2(f)(g)(0) - (1)(f^2) - (1)(g^2) - (1)(0)^2 = 0$.
આથી $1 - f^2 - g^2 = 0$ મળે.
તેથી,$f^2 + g^2 = 1$.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણનું સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $kx^2 - 10xy + 12y^2 + 5x - 16y - 3 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = k, h = -5, b = 12, g = 5/2, f = -8, c = -3$ મળે છે.
સુરેખાઓની જોડ દર્શાવવા માટેની શરત $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $k(12)(-3) + 2(-8)(5/2)(-5) - k(-8)^2 - 12(5/2)^2 - (-3)(-5)^2 = 0$.
$-36k + 200 - 64k - 75 + 75 = 0$.
$-100k + 200 = 0$.
$100k = 200$.
$k = 2$.

(B) આપેલ સમીકરણ $4x^2 + 2hxy - 7y^2 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 4$,$2h = 2h$,અને $b = -7$ મળે છે.
ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
તેથી,$m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b} = -\frac{2h}{-7} = \frac{2h}{7}$ અને $m_1m_2 = \frac{a}{b} = \frac{4}{-7} = -\frac{4}{7}$ થાય.
આપેલ છે કે ઢાળનો સરવાળો અને ગુણાકાર સમાન છે,એટલે કે $m_1 + m_2 = m_1m_2$.
તેથી,$\frac{2h}{7} = -\frac{4}{7}$.
બંને બાજુ $7$ વડે ગુણતા,$2h = -4$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $h = -2$.

(C) ધારો કે રેખાઓના ઢાળ $m_1 = m$ અને $m_2 = 3m$ છે.
સમીકરણ $ax^{2} + 2hxy + by^{2} = 0$ પરથી,ઢાળનો સરવાળો $m_1 + m_2 = -\frac{2h}{b}$ અને ઢાળનો ગુણાકાર $m_1 m_2 = \frac{a}{b}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $m + 3m = 4m = -\frac{2h}{b} \implies m = -\frac{h}{2b}$.
વળી,$m \times 3m = 3m^2 = \frac{a}{b}$.
$m = -\frac{h}{2b}$ ને ગુણાકારના સમીકરણમાં મૂકતા: $3(-\frac{h}{2b})^2 = \frac{a}{b} \implies 3(\frac{h^2}{4b^2}) = \frac{a}{b}$.
સાદું રૂપ આપતા,$\frac{3h^2}{4b^2} = \frac{a}{b} \implies \frac{h^2}{ab} = \frac{4}{3}$.
આમ,$h^2 : ab = 4 : 3$ અથવા $\frac{4}{3}$.

(B) ધારો કે રેખા $PQ$ અને $PR$ ના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે. $\angle P = 90^\circ$ હોવાથી,$m_1 m_2 = -1$. વળી,તે સમદ્રિબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,$PQ$ અને $QR$ વચ્ચેનો ખૂણો $45^\circ$ છે. $QR$ નો ઢાળ $m = -2$ છે.
$\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta = 45^\circ$:
$1 = |\frac{m_1 - (-2)}{1 + m_1(-2)}| = |\frac{m_1 + 2}{1 - 2m_1}|$
$(1 - 2m_1)^2 = (m_1 + 2)^2$
$1 - 4m_1 + 4m_1^2 = m_1^2 + 4m_1 + 4$
$3m_1^2 - 8m_1 - 3 = 0$
$(3m_1 + 1)(m_1 - 3) = 0$
તેથી,$m_1 = 3$ અથવા $m_1 = -1/3$. $m_1 m_2 = -1$ હોવાથી,ઢાળ $3$ અને $-1/3$ મળે છે.
$P(2, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખાઓના સમીકરણો $y - 1 = 3(x - 2)$ અને $y - 1 = -1/3(x - 2)$ છે.
$(y - 3x + 5)(3y - 3 + x - 2) = 0$
$(y - 3x + 5)(3y + x - 5) = 0$
$3x^2 - 3y^2 + 8xy - 20x - 10y + 25 = 0$.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + 2hxy + by^{2} + 2gx + 2fy + c = 0$ એ બે રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે જો $abc + 2fgh - af^{2} - bg^{2} - ch^{2} = 0$ હોય.
આપેલ સમીકરણ $\lambda x^{2} - 5xy + 2y^{2} + 5x - 7y + 3 = 0$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
$a = \lambda, b = 2, c = 3, h = -5/2, g = 5/2, f = -7/2$.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા:
$\lambda(2)(3) + 2(-7/2)(5/2)(-5/2) - \lambda(-7/2)^{2} - 2(5/2)^{2} - 3(-5/2)^{2} = 0$
$6\lambda + 175/4 - 49\lambda/4 - 25/2 - 75/4 = 0$
$4$ વડે ગુણતા:
$24\lambda + 175 - 49\lambda - 50 - 75 = 0$
$-25\lambda + 50 = 0$
$25\lambda = 50 \implies \lambda = 2$.

(A) આપેલ સુરેખાઓની જોડનું સમીકરણ $5x^2 - 7xy - 3y^2 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 5$,$2h = -7$ અને $b = -3$ મળે છે.
ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ ને લંબ સુરેખાઓની જોડનું સમીકરણ $bx^2 - 2hxy + ay^2 = 0$ થાય છે.
કિંમતો મૂકતા: $-3x^2 - (-7)xy + 5y^2 = 0$.
આખા સમીકરણને $-1$ વડે ગુણતા,$3x^2 - 7xy - 5y^2 = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ રેખાઓની જોડી $x^2 - 3y^2 = 0$ છે,જેને $x^2 = 3y^2$ અથવા $x = \pm \sqrt{3}y$ તરીકે લખી શકાય.
આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી બે રેખાઓ દર્શાવે છે: $L_1: x - \sqrt{3}y = 0$ અને $L_2: x + \sqrt{3}y = 0$.
ત્રીજી રેખા $x = a$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે,આપણે છેદબિંદુઓ શોધીએ:
$1$. $L_1$ અને $x = a$ નું છેદબિંદુ: $a = \sqrt{3}y \implies y = \frac{a}{\sqrt{3}}$. બિંદુ $P = (a, \frac{a}{\sqrt{3}})$.
$2$. $L_2$ અને $x = a$ નું છેદબિંદુ: $a = -\sqrt{3}y \implies y = -\frac{a}{\sqrt{3}}$. બિંદુ $Q = (a, -\frac{a}{\sqrt{3}})$.
$3$. $L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ: ઉગમબિંદુ $O = (0, 0)$.
બાજુઓની લંબાઈ:
$PQ = \frac{2|a|}{\sqrt{3}}$,$OP = \frac{2|a|}{\sqrt{3}}$,$OQ = \frac{2|a|}{\sqrt{3}}$.
બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,ત્રિકોણ સમબાજુ છે.

(C) દ્વિઘાત સમીકરણનું વ્યાપક સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + 1 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1, b = 1, c = 1, h = 0$ મળે છે.
રેખાઓની જોડી માટેની શરત $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(1 \times 1 \times 1) + (2 \times f \times g \times 0) - (1 \times f^2) - (1 \times g^2) - (1 \times 0^2) = 0$.
આથી $1 - f^2 - g^2 = 0$ મળે છે.
તેથી,$f^2 + g^2 = 1$.

(C) આપેલ સમીકરણ $4x^2 - 9xy - 9y^2 = 0$ છે.
અવયવ પાડતા:
$4x^2 - 12xy + 3xy - 9y^2 = 0$
$4x(x - 3y) + 3y(x - 3y) = 0$
$(4x + 3y)(x - 3y) = 0$.
આમ,બે રેખાઓ $L_1: 4x + 3y = 0$ અને $L_2: x - 3y = 0$ છે.
ત્રીજી રેખા $L_3: x = 2$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ શોધવા માટે:
$1$. $L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ: $(0, 0)$.
$2$. $L_1$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $x = 2$ મુકતા,$y = -8/3$. શિરોબિંદુ $(2, -8/3)$ છે.
$3$. $L_2$ અને $L_3$ નું છેદબિંદુ: $x = 2$ મુકતા,$y = 2/3$. શિરોબિંદુ $(2, 2/3)$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0 + 2(-8/3) + 2(-2/3)| = \frac{1}{2} |-16/3 - 4/3| = 10/3$.

(A) આપેલ સમીકરણ $y^3 - 3xy^2m + 3x^2y(-1) - mx^3 = 0$ છે.
$x^3$ વડે ભાગતા,આપણને $(y/x)^3 - 3m(y/x)^2 - 3(y/x) - m = 0$ મળે છે.
ધારો કે $t = y/x = \tan \theta$. તો $t^3 - 3mt^2 - 3t - m = 0$.
આ $t$ માં ત્રિઘાત સમીકરણ છે.
જો આપણે $t = \tan \theta$ મૂકીએ,તો આ સમીકરણ ત્રણ રેખાઓ $y = t_1x, y = t_2x, y = t_3x$ દર્શાવે છે.
તે સાબિત કરી શકાય છે કે આ રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણા $\pi/3$ અથવા $60^\circ$ છે.
આમ,રેખાઓ એકબીજા સાથે સમાન રીતે નમેલી છે.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $12x^2 - 7xy - 12y^2 = 0$ છે.
આ સમીકરણના અવયવો પાડતા $(4x + 3y)(3x - 4y) = 0$ મળે છે.
વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લેતા,સાચો જવાબ $38x - 41y = 0$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે.
$x^2$ વડે ભાગતા,આપણને $b(y/x)^2 + 2h(y/x) + a = 0$ મળે છે.
ધારો કે $m_1$ અને $m_2$ એ રેખાઓના ઢાળ છે,તેથી $m_1 + m_2 = -2h/b$ અને $m_1m_2 = a/b$.
$y = 0$ ($x$-અક્ષ) રેખામાં $y = mx$ રેખાનું પ્રતિબિંબ $y = -mx$ છે.
આમ,નવા ઢાળ $-m_1$ અને $-m_2$ છે.
નવું સમીકરણ $(y - (-m_1)x)(y - (-m_2)x) = 0$ છે,જે $(y + m_1x)(y + m_2x) = 0$ થાય છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $y^2 + (m_1 + m_2)xy + m_1m_2x^2 = 0$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$y^2 - (2h/b)xy + (a/b)x^2 = 0$.
$b$ વડે ગુણતા,આપણને $by^2 - 2hxy + ax^2 = 0$ મળે છે,જે $ax^2 - 2hxy + by^2 = 0$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $2x^2 - xy - y^2 = 0$ છે.
$x^2$ વડે ભાગતા $m = \frac{y}{x}$ માટે:
$2 - m - m^2 = 0 \implies m^2 + m - 2 = 0$.
જો આપેલ રેખાઓના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ હોય,તો લંબ રેખાઓના ઢાળ $-\frac{1}{m_1}$ અને $-\frac{1}{m_2}$ થશે.
સમીકરણમાં $m$ ને બદલે $-\frac{1}{m}$ મૂકતા:
$2 - (-\frac{1}{m}) - (-\frac{1}{m})^2 = 0$
$2 + \frac{1}{m} - \frac{1}{m^2} = 0$
$m^2$ વડે ગુણતા:
$2m^2 + m - 1 = 0$.
$m = \frac{y}{x}$ મૂકતા:
$2(\frac{y}{x})^2 + \frac{y}{x} - 1 = 0$
$2y^2 + xy - x^2 = 0$
$-1$ વડે ગુણતા $x^2 - xy - 2y^2 = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ છે.
આપેલ છે કે $P$ નું ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ થી અંતર એ રેખા $2x - y = 0$ થી તેના અંતર કરતાં ત્રણ ગણું છે.
તેથી,$OP = 3 \times PM$,જ્યાં $PM$ એ $P$ થી રેખા $2x - y = 0$ પરનું લંબ અંતર છે.
$\sqrt{x^2 + y^2} = 3 \frac{|2x - y|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}}$
$\sqrt{x^2 + y^2} = 3 \frac{|2x - y|}{\sqrt{5}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x^2 + y^2 = \frac{9(2x - y)^2}{5}$
$5(x^2 + y^2) = 9(4x^2 + y^2 - 4xy)$
$5x^2 + 5y^2 = 36x^2 + 9y^2 - 36xy$
$31x^2 + 4y^2 - 36xy = 0$
આ $x$ અને $y$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે,જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,કારણ કે નાભિ $(0, 0)$ એ નિયામિકા $y = 2x$ પર આવેલી છે,તેથી શંકુ આકાર એ સીધી રેખાઓની જોડીમાં રૂપાંતરિત થાય છે.

(C) $y = |x - 1|$ સમીકરણ બે કિરણો દર્શાવે છે: $x \ge 1$ માટે $y = x - 1$ અને $x < 1$ માટે $y = 1 - x$ છે.
$y$-અક્ષમાં આ રેખાઓનું પ્રતિબિંબ મેળવવા માટે,આપણે $x$ ને $-x$ વડે બદલીએ છીએ.
રેખા $y = x - 1$ માટે,પ્રતિબિંબ $y = -x - 1$ છે,જેને $x + y + 1 = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.
રેખા $y = 1 - x$ માટે,પ્રતિબિંબ $y = 1 - (-x)$ છે,જે $y = x + 1$ અથવા $x - y + 1 = 0$ છે.
આ બે રેખાઓનું સંયુક્ત સમીકરણ $(x + y + 1)(x - y + 1) = 0$ છે.
આનું સાદું રૂપ $((x + 1) + y)((x + 1) - y) = 0$ થાય છે.
નિત્યસમ $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(x + 1)^2 - y^2 = 0$ મળે છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2 + 2x + 1 - y^2 = 0$ અથવા $x^2 - y^2 + 2x + 1 = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2 - 4xy - y^2 = 0$ છે. $x^2$ વડે ભાગતા,$1 - 4(\frac{y}{x}) - (\frac{y}{x})^2 = 0$ મળે. ધારો કે $m = \tan \theta = \frac{y}{x}$.
તેથી $m^2 + 4m - 1 = 0$.
બીજ $m_1 = \tan \theta_1$ અને $m_2 = \tan \theta_2$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ પરથી,$m_1 + m_2 = -4$ અને $m_1 m_2 = -1$.
સૂત્ર $\tan(\theta_1 + \theta_2) = \frac{\tan \theta_1 + \tan \theta_2}{1 - \tan \theta_1 \tan \theta_2} = \frac{-4}{1 - (-1)} = \frac{-4}{2} = -2$ નો ઉપયોગ કરતા.
તેથી $\sec^2(\theta_1 + \theta_2) = 1 + \tan^2(\theta_1 + \theta_2) = 1 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5$.
હવે,$|\frac{1}{\tan \theta_1} + \frac{1}{\tan \theta_2}| = |\frac{\tan \theta_1 + \tan \theta_2}{\tan \theta_1 \tan \theta_2}| = |\frac{-4}{-1}| = |4| = 4$.
માગેલ કિંમત $5 + 4 = 9$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^3 + (2y)^3 + (-4)^3 - 3(x)(2y)(-4) = 0$ છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = 0$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(x + 2y - 4)(x^2 + 4y^2 + 16 - 2xy + 8y + 4x) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $x + 2y - 4 = 0$ અથવા $x^2 + 4y^2 - 2xy + 4x + 8y + 16 = 0$.
સમીકરણ $x + 2y - 4 = 0$ એક સીધી રેખા દર્શાવે છે.
બીજો ભાગ $x^2 - 2xy + 4y^2 + 4x + 8y + 16 = 0$ ને $\frac{1}{2}[(x-y)^2 + (x+2)^2 + (2y+2)^2 + 8] = 0$ તરીકે લખી શકાય,જે એક બિંદુ $(-4, -2)$ દર્શાવે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $x^2+2x \sin(xy)+1=0$
આને આ રીતે લખી શકાય: $x^2+2x \sin(xy)+\sin^2(xy)+1-\sin^2(xy)=0$
જેનું સાદું રૂપ: $(x+\sin(xy))^2+\cos^2(xy)=0$
બે વર્ગોનો સરવાળો શૂન્ય હોવાથી,દરેક પદ શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$(x+\sin(xy))^2=0 \Rightarrow x+\sin(xy)=0$
$\cos^2(xy)=0 \Rightarrow \cos(xy)=0$
$\cos(xy)=0$ પરથી,$xy = (2n+1)\frac{\pi}{2}$ મળે,જ્યાં $n$ પૂર્ણાંક છે.
$x+\sin(xy)=0$ માં $\sin(xy) = \pm 1$ મૂકતા,$x = \mp 1$ મળે.
જો $\sin(xy)=1$,તો $x=-1$. $xy = (2n+1)\frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$y = -(2n+1)\frac{\pi}{2}$ મળે.
જો $\sin(xy)=-1$,તો $x=1$. $xy = (2n+1)\frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$y = (2n+1)\frac{\pi}{2}$ મળે.
આ સીધી રેખાઓની જોડી $x=1$ અને $x=-1$ દર્શાવે છે.

(A) રેખાઓ $x+2y+7=0$ અને $2x-y+8=0$ થી સમાન અંતરે રહેલા બિંદુ $P(x, y)$ નો બિંદુપથ એ આ રેખાઓના ખૂણાના દ્વિભાજક છે.
અંતરને સરખાવતા:
$\frac{|x+2y+7|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \frac{|2x-y+8|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}$
$|x+2y+7| = |2x-y+8|$
$(x+2y+7)^2 - (2x-y+8)^2 = 0$
$(x-3y+1)(3x+y+15) = 0$
$3x^2 - 3y^2 - 8xy + 18x - 44y + 15 = 0$
$x^2 - y^2 - \frac{8}{3}xy + 6x - \frac{44}{3}y + 5 = 0$
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$h = -\frac{4}{3}, g = 3, f = -\frac{22}{3}, c = 5$
$g+c+h-f = 3 + 5 - \frac{4}{3} + \frac{22}{3} = 8 + 6 = 14$.