Bisectors of the angle between the lines, Point of intersection of the lines Questions in Gujarati

(C) સામાન્ય દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
રેખાઓની જોડી દર્શાવવા માટેની શરત $\Delta = 0$ છે,જ્યાં $\Delta = abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ છે.
રેખાઓ સમાંતર હોવા માટેની શરત $h^2 = ab$ છે.
રેખાઓ સંપાતી હોવા માટે,સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર શૂન્ય હોવું જોઈએ.
સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર $d = 2\sqrt{\frac{g^2 - ac}{a(a+b)}}$ અથવા $d = 2\sqrt{\frac{f^2 - bc}{b(a+b)}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$d = 0$ લેતા,આપણને $g^2 = ac$ અને $f^2 = bc$ મળે છે.
આમ,સંપાતી રેખાઓ માટેની શરત $\Delta = 0, h^2 = ab, g^2 = ac$ અને $f^2 = bc$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ ${x^2} - 2hxy - 2{y^2} = 0$ છે.
$ax^2 + 2h'xy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1$,$2h' = -2h$,અને $b = -2$ મળે છે.
રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજકનું સમીકરણ $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h'}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{x^2 - y^2}{1 - (-2)} = \frac{xy}{-h} \Rightarrow \frac{x^2 - y^2}{3} = \frac{xy}{-h}$ મળે.
આનું સાદું રૂપ $-h(x^2 - y^2) = 3xy$ અથવા $hx^2 + 3xy - hy^2 = 0$ થાય છે.
$x - 2y = 0$ એ દ્વિભાજક હોવાથી,તે આ સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
$x = 2y$ મૂકતા,$h(2y)^2 + 3(2y)y - hy^2 = 0$.
$4hy^2 + 6y^2 - hy^2 = 0 \Rightarrow 3hy^2 + 6y^2 = 0$.
$3y^2(h + 2) = 0$.
આ બધા $y$ માટે સાચું હોવા માટે,$h + 2 = 0$,તેથી $h = -2$.

(A) આપેલ સમીકરણ $4x^2 - 16xy - 7y^2 = 0$ છે.
તેને $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 4$,$2h = -16$ (તેથી $h = -8$),અને $b = -7$ મળે છે.
રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x^2 - y^2}{4 - (-7)} = \frac{xy}{-8}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{x^2 - y^2}{11} = \frac{xy}{-8}$ થાય છે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $-8(x^2 - y^2) = 11xy$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $8x^2 + 11xy - 8y^2 = 0$ મળે છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $(y - mx)^2 = (x + my)^2$ છે.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા,આપણને $y^2 + m^2x^2 - 2mxy = x^2 + m^2y^2 + 2mxy$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $(m^2 - 1)x^2 - 4mxy + (1 - m^2)y^2 = 0$ મળે છે.
આ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $A = m^2 - 1$,$H = -2m$,અને $B = 1 - m^2$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^2 - y^2}{A - B} = \frac{xy}{H}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x^2 - y^2}{(m^2 - 1) - (1 - m^2)} = \frac{xy}{-2m}$ મળે છે.
$\frac{x^2 - y^2}{2(m^2 - 1)} = \frac{xy}{-2m}$.
$-m(x^2 - y^2) = (m^2 - 1)xy$.
$-mx^2 + my^2 = (m^2 - 1)xy$.
$mx^2 + (m^2 - 1)xy - my^2 = 0$.

(C) આપેલ સમીકરણ ${x^2} - {y^2} = 0$ છે.
તેને રેખાઓની જોડીના સામાન્ય સમીકરણ ${ax^2} + {2hxy} + {by^2} = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$,$h = 0$,અને $b = -1$ મળે છે.
રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{{x^2 - y^2}}{{a - b}} = \frac{{xy}}{h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{{x^2 - y^2}}{{1 - (-1)}} = \frac{{xy}}{0}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $xy = 0$.

(C) રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $ax^2 - 2hxy + by^2 = 0$ છે. આ રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{-h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને $h(x^2 - y^2) + (a - b)xy = 0$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
કારણ કે $y = mx$ એ દ્વિભાજકો પૈકીનો એક છે,તે દ્વિભાજકોના સમીકરણનું સમાધાન કરવું જોઈએ.
સમીકરણ $h(x^2 - y^2) + (a - b)xy = 0$ માં $y = mx$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$h(x^2 - (mx)^2) + (a - b)x(mx) = 0$
$h(x^2 - m^2x^2) + (a - b)mx^2 = 0$
$x^2$ વડે ભાગતા ($x \neq 0$ ધારીને):
$h(1 - m^2) + m(a - b) = 0$.

(B) યામ અક્ષોના સમીકરણો $x = 0$ અને $y = 0$ છે.
યામ અક્ષો વચ્ચેના ખૂણાઓના દ્વિભાજકો $y = x$ અને $y = -x$ રેખાઓ છે.
આને $y - x = 0$ અને $y + x = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેમનું સંયુક્ત સમીકરણ આ બંને સમીકરણોનો ગુણાકાર કરવાથી મળે છે:
$(y - x)(y + x) = 0$
$y^2 - x^2 = 0$
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $x^2 - y^2 = 0$ મળે છે.

(D) $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ માટે ખૂણાના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$ છે ... $(i)$.
બીજું સમીકરણ $(a + \lambda)x^2 + 2hxy + (b + \lambda)y^2 = 0$ છે.
આ સમીકરણ માટે ખૂણાના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^2 - y^2}{(a + \lambda) - (b + \lambda)} = \frac{xy}{h}$ છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$ થાય છે ... $(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ અને સમીકરણ $(ii)$ કોઈપણ $\lambda$ માટે સમાન હોવાથી,$\lambda$ ની કોઈપણ વાસ્તવિક કિંમત માટે દ્વિભાજકો સંપાતી રહેશે.

(A) આપેલ સમીકરણ $\sqrt{3}x^2 - 4xy + \sqrt{3}y^2 = 0$ છે.
આને સામાન્ય સ્વરૂપ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = \sqrt{3}$,$h = -2$,અને $b = \sqrt{3}$ મળે છે.
રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x^2 - y^2}{\sqrt{3} - \sqrt{3}} = \frac{xy}{-2}$ મળે છે.
ડાબી બાજુનો છેદ $0$ હોવાથી,સમીકરણ $x^2 - y^2 = 0$ બને છે.

(A) ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડીનું સામાન્ય સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે.
આપેલ સમીકરણ ${x^2} + 2xy \cot \theta + {y^2} = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$,$h = \cot \theta$,અને $b = 1$ મળે છે.
રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાઓના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x^2 - y^2}{1 - 1} = \frac{xy}{\cot \theta}$ મળે છે.
ડાબી બાજુનો છેદ $0$ હોવાથી,સમીકરણ ${x^2} - {y^2} = 0$ બને છે.

(A) $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ રેખાઓની જોડી માટે ખૂણાના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ જોડી માટે,દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$ છે.
બીજી જોડી માટે,દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^2 - y^2}{a' - b'} = \frac{xy}{h'}$ છે.
જેহেতু દ્વિભાજકો સમાન છે,તેથી સહગુણકોનો ગુણોત્તર સમાન હોવો જોઈએ:
$\frac{a - b}{h} = \frac{a' - b'}{h'}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $(a - b)h' = (a' - b')h$ મળે છે.

(C) $px^2 - 2rxy + qy^2 = 0$ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજકનું સમીકરણ:
$\frac{x^2 - y^2}{p - q} = \frac{xy}{-r}$ .....$(i)$
$y = mx$ ને $(i)$ માં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1 - m^2}{p - q} = \frac{m}{-r}$
$r(1 - m^2) + m(p - q) = 0$.

(D) સમીકરણ $a(x - 1)^2 + 2h(x - 1)y + by^2 = 0$ એ $(1, 0)$ બિંદુએ છેદતી રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે.
ઉગમબિંદુને $(1, 0)$ પર ખસેડતા,આપણે $x = X + 1$ અને $y = Y$ મૂકીએ છીએ,જે સમીકરણને $aX^2 + 2hXY + bY^2 = 0$ $(i)$ માં રૂપાંતરિત કરે છે.
આપેલ દ્વિભાજક $2x + y - 2 = 0$ એ $2(X + 1) + Y - 2 = 0$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $2X + Y = 0$ થાય છે.
રેખાઓની જોડીના ખૂણાના દ્વિભાજકો હંમેશા એકબીજાને લંબ હોય છે,તેથી બીજા દ્વિભાજકનો ઢાળ પ્રથમ દ્વિભાજકના ઢાળનો વિરોધી વ્યસ્ત હોવો જોઈએ.
$2X + Y = 0$ નો ઢાળ $m_1 = -2$ છે. તેથી,બીજા દ્વિભાજકનો ઢાળ $m_2 = 1/2$ છે.
$(1, 0)$ માંથી પસાર થતા બીજા દ્વિભાજકનું સમીકરણ $Y - 0 = \frac{1}{2}(X - 0)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $X - 2Y = 0$ થાય છે.
$X = x - 1$ અને $Y = y$ પાછા મૂકતા,આપણને $(x - 1) - 2y = 0$ અથવા $x - 2y - 1 = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $2x^2 + 7xy + 3y^2 + 8x + 14y + 8 = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા:
$a = 2, b = 3, h = 3.5, g = 4, f = 7, c = 8$.
છેદબિંદુ $(x, y)$ શોધવા માટેના સૂત્રો:
$x = \frac{hf - bg}{ab - h^2} = \frac{(3.5)(7) - (3)(4)}{(2)(3) - (3.5)^2} = -2$.
$y = \frac{hg - af}{ab - h^2} = \frac{(3.5)(4) - (2)(7)}{(2)(3) - (3.5)^2} = 0$.
આમ,છેદબિંદુ $(-2, 0)$ છે.

(C) ધારો કે $X = x + 2$ અને $Y = y - 2$.
આપેલ સમીકરણ $2X^2 + 3XY - 2Y^2 = 0$ બને છે.
આ $X$ અને $Y$ માં દ્વિઘાત સમઘાત સમીકરણ છે,જે ઉગમબિંદુ $(X, Y) = (0, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે.
$X$ અને $Y$ ની કિંમતો પાછી મૂકતા:
$x + 2 = 0 \implies x = -2$
$y - 2 = 0 \implies y = 2$
આમ,છેદબિંદુ $(-2, 2)$ છે.

(A) સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ દ્વારા દર્શાવતી રેખાઓનું છેદબિંદુ $(x_0, y_0)$ એ $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ અને $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ ના ઉકેલ દ્વારા મળે છે.
આ સમીકરણો $ax + hy + g = 0$ અને $hx + by + f = 0$ છે.
ક્રેમરના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,$x_0 = \frac{hf - bg}{ab - h^2}$ અને $y_0 = \frac{gf - ah}{ab - h^2}$ મળે છે.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી અંતરનો વર્ગ $x_0^2 + y_0^2 = \frac{(hf - bg)^2 + (gf - ah)^2}{(ab - h^2)^2}$ થાય.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા: $f^2(g^2 + h^2) + h^2(a^2 + b^2) - 2hfg(a + b)$ મળે છે.
રેખાઓની જોડી માટેની શરત $abc + 2fgh - af^2 - bg^2 - ch^2 = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,આ પદ $\frac{c(a + b) - f^2 - g^2}{ab - h^2}$ માં પરિણમે છે.

(A) રેખાઓ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $x^2 - 2pxy - y^2 = 0$ માટે,$a = 1, h = -p, b = -1$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^2 - y^2}{1 - (-1)} = \frac{xy}{-p}$ મળે છે.
$\frac{x^2 - y^2}{2} = \frac{xy}{-p}$ $\Rightarrow -p(x^2 - y^2) = 2xy$ $\Rightarrow px^2 + 2xy - py^2 = 0$.
આને આપેલ દ્વિભાજક સમીકરણ $x^2 - 2qxy - y^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,સહગુણકોનો ગુણોત્તર:
$\frac{p}{1} = \frac{2}{-2q} = \frac{-p}{-1}$.
$\frac{p}{1} = \frac{2}{-2q}$ પરથી,$p = -\frac{1}{q}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $pq = -1$ અથવા $pq + 1 = 0$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2 - y^2 + 2y = 1$ છે,જેને $x^2 - (y - 1)^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
આ રેખાઓની જોડ $(x - y + 1)(x + y - 1) = 0$ દર્શાવે છે.
આ રેખાઓના કોણ દ્વિભાજકો $x = 0$ અને $y = 1$ છે.
ત્રિકોણ રેખાઓ $x = 0$,$y = 1$ અને $x + y = 3$ દ્વારા બને છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે:
$1$. $x = 0$ અને $y = 1$ નું છેદબિંદુ $(0, 1)$ છે.
$2$. $x = 0$ અને $x + y = 3$ નું છેદબિંદુ $(0, 3)$ છે.
$3$. $y = 1$ અને $x + y = 3$ નું છેદબિંદુ $(2, 1)$ છે.
$y = 1$ પર ત્રિકોણનો પાયો $|2 - 0| = 2$ છે.
$x = 0$ પર ત્રિકોણની ઊંચાઈ $|3 - 1| = 2$ છે.
તેથી,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$ થાય.

(D) ધારો કે $\varphi(x, y) = 2x^2 - 7xy - 4y^2 - x + 22y - 10 = 0$.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,આપણે $x$ અને $y$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ.
$\frac{\partial \varphi}{\partial x} = 4x - 7y - 1 = 0$ (સમીકરણ $1$)
$\frac{\partial \varphi}{\partial y} = -7x - 8y + 22 = 0$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ પરથી,$4x = 7y + 1 \implies x = \frac{7y + 1}{4}$.
આ કિંમત સમીકરણ $2$ માં મૂકતા:
$-7(\frac{7y + 1}{4}) - 8y + 22 = 0$
$-49y - 7 - 32y + 88 = 0$
$-81y + 81 = 0 \implies y = 1$.
$y = 1$ ની કિંમત $4x - 7(1) - 1 = 0$ માં મૂકતા:
$4x - 8 = 0 \implies x = 2$.
આમ,છેદબિંદુ $(2, 1)$ છે.

(A) નવા સ્થાને રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાઓના દ્વિભાજકો એ જૂના સ્થાને તેમની વચ્ચેના ખૂણાઓના દ્વિભાજકોને સમાન રહે છે.
$ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ માટે દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$ છે.
અહીં,$a = 1$,$h = -p$,અને $b = -1$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x^2 - y^2}{1 - (-1)} = \frac{xy}{-p}$
$\frac{x^2 - y^2}{2} = \frac{xy}{-p}$
$-p(x^2 - y^2) = 2xy$
$px^2 + 2xy - py^2 = 0$

(A) આપેલ સમીકરણ $2x^{2} - 7xy + 3y^{2} = 0$ છે.
તેને $ax^{2} + 2hxy + by^{2} = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 2$,$2h = -7 \implies h = -7/2$,અને $b = 3$ મળે છે.
રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાઓના દ્વિભાજકનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\frac{x^{2} - y^{2}}{a - b} = \frac{xy}{h}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x^{2} - y^{2}}{2 - 3} = \frac{xy}{-7/2}$
$\frac{x^{2} - y^{2}}{-1} = \frac{2xy}{-7}$
$7(x^{2} - y^{2}) = 2xy$
$7x^{2} - 7y^{2} = 2xy$
$7x^{2} - 2xy - 7y^{2} = 0$.

(C) ધારો કે આપેલ સમીકરણ $f(x, y) = 2x^2 + 3xy + y^2 - 7x - 5y + 6 = 0$ છે.
છેદબિંદુ $(h, k)$ શોધવા માટે,આપણે $x$ અને $y$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય લઈએ.
$\frac{\partial f}{\partial x} = 4x + 3y - 7 = 0$ (સમીકરણ $1$)
$\frac{\partial f}{\partial y} = 3x + 2y - 5 = 0$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ ને $2$ વડે અને સમીકરણ $2$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$8x + 6y - 14 = 0$
$9x + 6y - 15 = 0$
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરતા:
$(9x - 8x) + (6y - 6y) - (15 - 14) = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1$.
$x = 1$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$4(1) + 3y - 7 = 0 \implies 3y - 3 = 0 \implies y = 1$.
આમ,છેદબિંદુ $(1, 1)$ છે.

(A) આપેલ રેખાઓની જોડી $my^2 + (1 - m^2)xy - mx^2 = 0$ છે.
$xy = 0$ રેખાઓ એટલે કે યામ અક્ષો $x = 0$ અને $y = 0$ છે.
$x = 0$ અને $y = 0$ વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજકો $x^2 - y^2 = 0$ છે,એટલે કે $x = y$ અને $x = -y$.
જો $my^2 + (1 - m^2)xy - mx^2 = 0$ માંથી એક રેખા દ્વિભાજક હોય,તો $m = 1$ અથવા $m = -1$ મળે.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,$m = 1$ એ સાચો જવાબ છે.

(D) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $xy - x - y + 1 = 0$ છે.
અવયવ પાડતા,આપણને $(x - 1)(y - 1) = 0$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે બે રેખાઓ $x - 1 = 0$ અને $y - 1 = 0$ છે.
આ બે રેખાઓનું છેદબિંદુ $(1, 1)$ છે.
ત્રણેય રેખાઓ સંગામી હોવાથી,બિંદુ $(1, 1)$ એ ત્રીજી રેખા $ax + 2y - 3 = 0$ ના સમીકરણનું સમાધાન કરવું જોઈએ.
સમીકરણમાં $x = 1$ અને $y = 1$ મૂકતા: $a(1) + 2(1) - 3 = 0$.
$a + 2 - 3 = 0$.
$a - 1 = 0$,તેથી $a = 1$.

(D) બે રેખાઓથી સમાન અંતરે આવેલા બિંદુઓનો બિંદુપથ એ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સમીકરણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવતી રેખાઓના ખૂણાના દ્વિભાજક છે.
આપેલ સમીકરણ $x^2 \cos^2 \theta - xy \sin^2 \theta - y^2 \sin^2 \theta = 0$ ને $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = \cos^2 \theta$,$2h = -\sin^2 \theta$,અને $b = -\sin^2 \theta$ મળે છે.
ખૂણાના દ્વિભાજકનું સમીકરણ $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x^2 - y^2}{\cos^2 \theta - (-\sin^2 \theta)} = \frac{xy}{-\frac{1}{2} \sin^2 \theta}$ મળે છે.
$\frac{x^2 - y^2}{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta} = \frac{2xy}{-\sin^2 \theta}$.
કારણ કે $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,તેથી $x^2 - y^2 = -\frac{2xy}{\sin^2 \theta}$.
$x^2 - y^2 = -2xy \csc^2 \theta$.
તેથી,$x^2 - y^2 + 2xy \csc^2 \theta = 0$.

(B) રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે. આ રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ જોડી $x^2 - 2mxy - y^2 = 0$ માટે,$a = 1, h = -m, b = -1$ છે. દ્વિભાજકો $\frac{x^2 - y^2}{1 - (-1)} = \frac{xy}{-m} \Rightarrow mx^2 + 2xy - my^2 = 0$ છે.
બીજી જોડી $x^2 - 2nxy - y^2 = 0$ માટે,$a = 1, h = -n, b = -1$ છે. દ્વિભાજકો $nx^2 + 2xy - ny^2 = 0$ છે.
દરેક જોડી બીજી જોડીના ખૂણાને દુભાગે છે,તેથી પ્રથમ જોડીના દ્વિભાજકો બીજી જોડી સમાન હોવા જોઈએ. $mx^2 + 2xy - my^2 = 0$ અને $x^2 - 2nxy - y^2 = 0$ ની સરખામણી કરતા,$\frac{m}{1} = \frac{2}{-2n} = \frac{-m}{-1}$ મળે છે.
તેથી,$mn = -1$.

(A) રેખાઓની જોડીનું આપેલ સમીકરણ $f(x, y) = ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,આપણે $x$ અને $y$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન કરીએ છીએ:
$\frac{\partial f}{\partial x} = 2ax + 2hy + 2g = 0 \implies ax + hy + g = 0$
$\frac{\partial f}{\partial y} = 2hx + 2by + 2f = 0 \implies hx + by + f = 0$
રેખાઓ $y$-અક્ષ પર છેદતી હોવાથી,છેદબિંદુનો $x$-યામ $x = 0$ છે.
$x = 0$ ને પ્રથમ આંશિક વિકલન સમીકરણમાં મૂકતા: $h(y) + g = 0 \implies y = -g/h$.
હવે,$(0, -g/h)$ ને મૂળ સમીકરણ $f(x, y) = 0$ માં મૂકતા:
$a(0)^2 + 2h(0)(-g/h) + b(-g/h)^2 + 2g(0) + 2f(-g/h) + c = 0$
$b(g^2/h^2) - 2fg/h + c = 0$
$h^2$ વડે ગુણતા,આપણને $bg^2 - 2fgh + ch^2 = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $bg^2 + ch^2 = 2fgh$ થાય છે.

(A) રેખાઓની જોડી $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ ના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને $h(x^2 - y^2) - (a - b)xy = 0 \dots (1)$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
કારણ કે રેખા $y = mx$ એ દ્વિભાજક છે,તેથી તે સમીકરણ $(1)$ નું સમાધાન કરશે.
સમીકરણ $(1)$ માં $y = mx$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$h(x^2 - (mx)^2) - (a - b)x(mx) = 0$
$h(x^2 - m^2x^2) - (a - b)mx^2 = 0$
$x^2$ વડે ભાગતા ($x \neq 0$ ધારીને):
$h(1 - m^2) - (a - b)m = 0$
$h - hm^2 - (a - b)m = 0$
$hm^2 + (a - b)m - h = 0$.
આમ,$m$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $hx^2 + (a - b)x - h = 0$ નું બીજ છે.

(D) $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ એ ખૂણાના દ્વિભાજકની જોડી દર્શાવે છે,જે હંમેશા એકબીજાને લંબ હોય છે.
તેથી,$x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $a + b = 0$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ એ ખૂણાના દ્વિભાજકનું છેદબિંદુ હોવાથી,તે $L_2$ ના સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.
$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ માં $(0, 0)$ મૂકતા,આપણને $F = 0$ મળે છે.
આમ,$a + b + F = 0 + 0 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ રેખાઓની જોડી દર્શાવે તે માટે નિશ્ચાયક $\Delta = 0$ હોવો જોઈએ.
આ શરત લાગુ પાડતા $BDE = AE^2 + CD^2$ સંબંધ મળે છે.
વિકલ્પ $D$ ખોટો છે કારણ કે રેખાઓના ખૂણાના દ્વિભાજક તે રેખાઓના ચોક્કસ સહગુણકો પર આધાર રાખે છે,માત્ર કોઈપણ $l, m, n$ પર નહીં.

(B) સમઘાત સમીકરણ $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ ના ખૂણાના દ્વિભાજકોની જોડીનું સમીકરણ $\frac{x^{2}-y^{2}}{a-b} = \frac{xy}{h}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $x^{2}-4xy-5y^{2}=0$ માટે,$a=1$,$2h=-4$ (તેથી $h=-2$),અને $b=-5$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{x^{2}-y^{2}}{1-(-5)} = \frac{xy}{-2}$
$\frac{x^{2}-y^{2}}{6} = \frac{xy}{-2}$
બંને બાજુ $6$ વડે ગુણતા:
$x^{2}-y^{2} = -3xy$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$x^{2}+3xy-y^{2}=0$.

(D) સમઘાત સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2=0$ માટે ખૂણાના દ્વિભાજકોની જોડીનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$
$2x^2+xy-3y^2=0$ ને $ax^2+2hxy+by^2=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a=2$,$2h=1 \implies h=1/2$,અને $b=-3$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{x^2-y^2}{2-(-3)} = \frac{xy}{1/2}$
$\frac{x^2-y^2}{5} = 2xy$
$x^2-y^2 = 10xy$
$x^2-y^2-10xy=0$

(B) સમપરિમાણીય સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2=0$ માટે ખૂણાના દુભાજકોની જોડનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $x^2+3xy+2y^2=0$ માટે,$a=1$,$2h=3$ (તેથી $h=\frac{3}{2}$),અને $b=2$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{x^2-y^2}{1-2} = \frac{xy}{3/2}$
$\frac{x^2-y^2}{-1} = \frac{2xy}{3}$
$3(x^2-y^2) = -2xy$
$3x^2-3y^2 = -2xy$
$3x^2+2xy-3y^2=0$.

(A) રેખાઓની જોડી $ax^{2}+2hxy+by^{2}=0$ ના ખૂણાના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^{2}-y^{2}}{a-b} = \frac{xy}{h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x^{2}-2pxy-y^{2}=0$ જોડી માટે,આપણી પાસે $a=1, h=-p, b=-1$ છે.
ખૂણાના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^{2}-y^{2}}{1-(-1)} = \frac{xy}{-p}$ છે,જે $\frac{x^{2}-y^{2}}{2} = \frac{xy}{-p}$ માં સરળ બને છે.
આનાથી $x^{2}-y^{2} = -\frac{2}{p}xy$ મળે છે,અથવા $x^{2} + \frac{2}{p}xy - y^{2} = 0$.
આપેલ છે કે આ જોડી $x^{2}-2qxy-y^{2}=0$ જેવી જ છે.
$xy$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને $-2q = \frac{2}{p}$ મળે છે.
તેથી,$pq = -1$.

(A) આપેલ સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ છે,જ્યાં $a = 2$,$2h = 11$,અને $b = 3$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણાઓના દ્વિભાજકોનું સંયુક્ત સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x^2 - y^2}{2 - 3} = \frac{xy}{11/2}$
$\frac{x^2 - y^2}{-1} = \frac{2xy}{11}$
$11(x^2 - y^2) = -2xy$
$11x^2 - 11y^2 + 2xy = 0$
$11x^2 + 2xy - 11y^2 = 0$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) $ax^2+2hxy+by^2=0$ સામાન્ય સમીકરણ ધરાવતી બે રેખાઓના ખૂણાના દ્વિભાજકનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x^2-4xy-5y^2=0$ ને $ax^2+2hxy+by^2=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1$,$b=-5$,અને $2h=-4$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $h=-2$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{x^2-y^2}{1-(-5)} = \frac{xy}{-2}$
$\frac{x^2-y^2}{6} = \frac{xy}{-2}$
$x^2-y^2 = -3xy$
$x^2+3xy-y^2=0$.

(B) રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $x^2-3 x y-4 y^2=0$ છે. તેને $Ax^2+2Hxy+By^2=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $A=1, H=-\frac{3}{2}, B=-4$ મળે છે.
ખૂણાના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{A-B} = \frac{xy}{H}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x^2-y^2}{1-(-4)} = \frac{xy}{-3/2}$ મળે છે.
$\frac{x^2-y^2}{5} = -\frac{2xy}{3}$.
$3(x^2-y^2) = -10xy$.
$3x^2+10xy-3y^2=0$.
આને આપેલ સમીકરણ $3x^2-kxy-3y^2=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $-k=10$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $k=-10$.

(A) આપેલ સમીકરણ $3x^{2} + 2xy - y^{2} = 0$ છે. તેને $ax^{2} + 2hxy + by^{2} = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 3$,$h = 1$,અને $b = -1$ મળે છે.
ખૂણાના દ્વિભાજકોની જોડીનું સંયુક્ત સમીકરણ $\frac{x^{2} - y^{2}}{a - b} = \frac{xy}{h}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{x^{2} - y^{2}}{3 - (-1)} = \frac{xy}{1}$ મળે છે.
$\frac{x^{2} - y^{2}}{4} = xy$.
$x^{2} - y^{2} = 4xy$.
$x^{2} - 4xy - y^{2} = 0$.

(B) રેખાઓ $x=5$ અને $y=3$ બિંદુ $(5, 3)$ પર છેદે છે.
આ રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,ખૂણાના દ્વિભાજકો $(5, 3)$ માંથી પસાર થાય છે અને $x$-અક્ષ સાથે $45^{\circ}$ અને $135^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
દ્વિભાજકોના ઢાળ $m = \tan 45^{\circ} = 1$ અને $m = \tan 135^{\circ} = -1$ છે.
દ્વિભાજકોના સમીકરણો:
$y - 3 = 1(x - 5) \Rightarrow y - x + 2 = 0$
$y - 3 = -1(x - 5) \Rightarrow y + x - 8 = 0$
સંયુક્ત સમીકરણ $(y - x + 2)(y + x - 8) = 0$ છે.
વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - y^2 - 10x + 6y + 16 = 0$ મળે છે.

(C) રેખાઓ $x^{2}-2 p x y-y^{2}=0$ વચ્ચેના ખૂણાઓના દુભાજકનું સમીકરણ $\frac{x^{2}-y^{2}}{a-b} = \frac{xy}{h}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a=1, b=-1, h=-p$ છે.
તેથી,$\frac{x^{2}-y^{2}}{1-(-1)} = \frac{xy}{-p}$.
$\Rightarrow \frac{x^{2}-y^{2}}{2} = \frac{-xy}{p}$.
$\Rightarrow px^{2} + 2xy - py^{2} = 0$.
આ સમીકરણ $x^{2}-2qxy-y^{2}=0$ જેવી જ રેખાઓની જોડી દર્શાવતું હોવાથી,આપણે સહગુણકોની સરખામણી કરીએ છીએ:
$\frac{p}{1} = \frac{2}{-2q} = \frac{-p}{-1}$.
$\frac{p}{1} = \frac{2}{-2q}$ પરથી,આપણને $p = -\frac{1}{q}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $pq = -1$ અથવા $pq+1=0$.

(A) રેખાઓની જોડીનું આપેલ સમીકરણ $xy-x+y-1=0$ છે.
અવયવ પાડતા: $x(y-1)+1(y-1)=0$,જે $(x+1)(y-1)=0$ આપે છે.
આ બે રેખાઓ દર્શાવે છે: $L_1: x+1=0$ અને $L_2: y-1=0$.
આ બે રેખાઓનું છેદબિંદુ $(-1, 1)$ છે.
કારણ કે રેખા $x+ky-3=0$ આ રેખાઓ સાથે સંગામી છે,તે $(-1, 1)$ બિંદુમાંથી પસાર થવી જોઈએ.
$(-1, 1)$ ને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $-1 + k(1) - 3 = 0$.
$k - 4 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $k = 4$.

(A) ધારો કે $\phi(x, y) = 2x^{2}-xy-15y^{2}-7x+32y-9=0$ ...$(1)$
છેદબિંદુ શોધવા માટે,આપણે આંશિક વિકલન કરીએ:
$\frac{\partial \phi}{\partial x} = 4x-y-7=0$ ...$(2)$
$\frac{\partial \phi}{\partial y} = -x-30y+32=0$ ...$(3)$
સમીકરણ $(2)$ અને $(3)$ ઉકેલતા:
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$y = 4x-7$.
તેને $(3)$ માં મૂકતા: $-x - 30(4x-7) + 32 = 0$ $\Rightarrow -x - 120x + 210 + 32 = 0$ $\Rightarrow -121x + 242 = 0$ $\Rightarrow x = 2$.
તેથી $y = 4(2)-7 = 1$.
આમ,છેદબિંદુ $(2, 1)$ છે.
$(2, 1)$ માંથી પસાર થતી અને યામ અક્ષોને સમાંતર રેખાઓ $x=2$ અને $y=1$ છે.
તેથી સંયુક્ત સમીકરણ $(x-2)(y-1) = 0$ થશે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $xy - x - 2y + 2 = 0$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2 - y^2 + x + 3y - 2 = 0$ છે.
આને વ્યાપક દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, h=0, b=-1, g=\frac{1}{2}, f=\frac{3}{2}, c=-2$ મળે છે.
રેખાઓની જોડીનું છેદબિંદુ $(x, y)$ એ આંશિક વિકલન $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ અને $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ ના ઉકેલ દ્વારા મળે છે.
$\frac{\partial}{\partial x}(x^2 - y^2 + x + 3y - 2) = 2x + 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$.
$\frac{\partial}{\partial y}(x^2 - y^2 + x + 3y - 2) = -2y + 3 = 0 \Rightarrow y = \frac{3}{2}$.
આમ,છેદબિંદુ $(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ છે.

(B) આપેલ રેખાઓ $x=5$ અને $y=3$ છે.
આ રેખાઓ એકબીજાને લંબ છે.
રેખાઓ $x=h$ અને $y=k$ વચ્ચેના ખૂણાઓના દ્વિભાજકો $x-h = \pm(y-k)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$h=5$ અને $k=3$ મૂકતા,આપણને $x-5 = \pm(y-3)$ મળે છે.
આનાથી બે સમીકરણો મળે છે: $x-5 = y-3 \implies x-y-2=0$ અને $x-5 = -(y-3) \implies x+y-8=0$.
સંયુક્ત સમીકરણ $(x-y-2)(x+y-8) = 0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - y^2 - 10x + 6y + 16 = 0$.

(B) રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ છે. આ જોડીના ખૂણાના દુભાજકો $\frac{x^2 - y^2}{A - B} = \frac{xy}{H}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ જોડી $x^2 - 2axy - y^2 = 0$ માટે,$A=1, B=-1, H=-a$ છે. દુભાજકો $\frac{x^2 - y^2}{1 - (-1)} = \frac{xy}{-a}$ છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x^2 - y^2}{2} = \frac{xy}{-a}$ એટલે કે $ax^2 + 2xy - ay^2 = 0$ થાય છે.
આ બીજી જોડી $x^2 - 2bxy - y^2 = 0$ હોવી જોઈએ,તેથી સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\frac{a}{1} = \frac{2}{-2b} = \frac{-a}{-1}$.
$\frac{a}{1} = \frac{2}{-2b}$ પરથી,આપણને $a = -\frac{1}{b}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $ab = -1$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2+4xy+3y^2-4x-10y+3=0$ છે.
$ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$a=1, h=2, b=3, g=-2, f=-5, c=3$ મળે છે.
છેદબિંદુ $(x_1, y_1) = \left(\frac{bg-fh}{h^2-ab}, \frac{af-gh}{h^2-ab}\right)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $x_1 = \frac{3(-2)-(-5)(2)}{4-3} = 4$ અને $y_1 = \frac{1(-5)-(-2)(2)}{4-3} = -1$.
તેથી,છેદબિંદુ $(4, -1)$ છે.
$(4, -1)$ અને $(2, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$ છે.
$y + 1 = \frac{2 + 1}{2 - 4}(x - 4) \Rightarrow y + 1 = -\frac{3}{2}(x - 4)$.
$2y + 2 = -3x + 12 \Rightarrow 3x + 2y - 10 = 0$.

(A) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $ax^2+2hxy-ay^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
ધારો કે છેદબિંદુ $(x_0, y_0)$ છે.
રેખાઓની જોડી $Ax^2+2Hxy+By^2+2Gx+2Fy+C=0$ ના છેદબિંદુના યામ $x_0 = \frac{HF-BG}{AB-H^2}$ અને $y_0 = \frac{GH-AF}{AB-H^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A=a$,$H=h$,$B=-a$,$G=g$,$F=f$,$C=c$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$x_0 = \frac{hf+ag}{-(a^2+h^2)}$
$y_0 = \frac{af-gh}{a^2+h^2}$.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી અંતરનો વર્ગ $x_0^2 + y_0^2$ છે.
$x_0^2 + y_0^2 = \frac{(hf+ag)^2 + (af-gh)^2}{(a^2+h^2)^2} = \frac{f^2(h^2+a^2) + g^2(a^2+h^2)}{(a^2+h^2)^2} = \frac{f^2+g^2}{a^2+h^2}$.

(B) રેખાઓની પ્રથમ જોડીના અવયવ પાડતા:
$6x^2 - xy - 12y^2 = 6x^2 - 9xy + 8xy - 12y^2 = 3x(2x - 3y) + 4y(2x - 3y) = (3x + 4y)(2x - 3y) = 0$
રેખાઓની બીજી જોડીના અવયવ પાડતા:
$15x^2 + 14xy - 8y^2 = 15x^2 + 20xy - 6xy - 8y^2 = 5x(3x + 4y) - 2y(3x + 4y) = (5x - 2y)(3x + 4y) = 0$
સામાન્ય રેખા $3x + 4y = 0$ છે.
આ રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{3}{4}$ છે.
$(-1, 1)$ માંથી પસાર થતી અને $m = -\frac{3}{4}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - 1 = -\frac{3}{4}(x + 1)$
$4y - 4 = -3x - 3$
$3x + 4y - 1 = 0$

(B) રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a=3$,$2h=5$,અને $b=4$ છે.
ખૂણાના દ્વિભાજકોનું સમીકરણ $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x^2-y^2}{3-4} = \frac{xy}{5/2}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{x^2-y^2}{-1} = \frac{2xy}{5}$ થાય છે.
બંને બાજુ $-1$ વડે ગુણતા,આપણને $x^2-y^2 = -\frac{2}{5}xy$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $x^2-y^2+\frac{2}{5}xy=0$ મળે છે.

(A) આપેલ રેખાઓનું સમીકરણ: $f(x, y) = 3x^2 - 11xy + 10y^2 - 7x + 13y + 4 = 0$.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,આપણે આંશિક વિકલન $\frac{\partial f}{\partial x} = 0$ અને $\frac{\partial f}{\partial y} = 0$ ઉકેલીએ છીએ.
$\frac{\partial f}{\partial x} = 6x - 11y - 7 = 0$
$\frac{\partial f}{\partial y} = -11x + 20y + 13 = 0$
ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીને:
$\frac{x}{-143 + 140} = \frac{-y}{78 - 77} = \frac{1}{120 - 121}$
$\frac{x}{-3} = \frac{-y}{1} = \frac{1}{-1}$
$x = 3$ અને $y = 1$.
આમ,છેદબિંદુ $(3, 1)$ છે.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $3x^2-11xy+10y^2-7x+13y+k=0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a=3, h=-\frac{11}{2}, b=10, g=-\frac{7}{2}, f=\frac{13}{2}$.
રેખાઓની જોડીનું છેદબિંદુ $(x, y)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$x = \frac{hf-bg}{ab-h^2}$ અને $y = \frac{gh-af}{ab-h^2}$.
પ્રથમ,છેદની કિંમત શોધીએ: $ab-h^2 = (3)(10) - (-\frac{11}{2})^2 = 30 - \frac{121}{4} = \frac{120-121}{4} = -\frac{1}{4}$.
હવે,$x$ માટે અંશની કિંમત શોધીએ: $hf-bg = (-\frac{11}{2})(\frac{13}{2}) - (10)(-\frac{7}{2}) = -\frac{143}{4} + 35 = \frac{-143+140}{4} = -\frac{3}{4}$.
તેથી,$x = \frac{-3/4}{-1/4} = 3$.
હવે,$y$ માટે અંશની કિંમત શોધીએ: $gh-af = (-\frac{7}{2})(-\frac{11}{2}) - (3)(\frac{13}{2}) = \frac{77}{4} - \frac{39}{2} = \frac{77-78}{4} = -\frac{1}{4}$.
તેથી,$y = \frac{-1/4}{-1/4} = 1$.
આમ,છેદબિંદુ $(3, 1)$ છે.