संख्या N = 7^{100} - 3^{100} के अंतिम तीन अंक | vedclass

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Question

(D) हमें $N \pmod{1000}$ ज्ञात करना है,जहाँ $N = 7^{100} - 3^{100}$ है।$N = (5+2)^{100} - (5-2)^{100}$ के रूप में लिखने पर।द्विपद प्रसार का उपयोग करते

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$000$

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(D) हमें $N \pmod{1000}$ ज्ञात करना है,जहाँ $N = 7^{100} - 3^{100}$ है।$N = (5+2)^{100} - (5-2)^{100}$ के रूप में लिखने पर।द्विपद प्रसार का उपयोग करते हुए: $(x+y)^n - (x-y)^n = 2 \sum_{k 	ext{ odd}} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$।यहाँ $n=100, x=5, y=2$ है।प्रत्येक पद में $5^k$ का एक गुणनखंड है जहाँ $k \ge 1$ है। विशेष रूप से,$k \ge 3$ के लिए,$5^k$,$125$ का गुणज है। $2^3=8$ के साथ मिलकर,ये पद $1000$ के गुणज बन जाते हैं।पहला पद $2 \cdot 100 \cdot 5^{99} \cdot 2 = 400 \cdot 5^{99} = 50000 \cdot 5^{96}$ है,जो $1000$ का गुणज है।अतः,$N \equiv 0 \pmod{1000}$,जिसका अर्थ है कि अंतिम तीन अंक $000$ हैं।

संख्या $N = 7^{100} - 3^{100}$ के अंतिम तीन अंक क्या हैं?

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