Expansion of binomial theorem Questions in Hindi

(A) दी गई अभिव्यक्ति $S = \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{a-rb} = \frac{1}{a} \sum_{r=1}^{n} (1 - \frac{rb}{a})^{-1}$ है।
द्विपद विस्तार $(1-x)^{-1} = 1 + x + x^2 + \dots$ का उपयोग करते हुए:
$S = \frac{1}{a} \sum_{r=1}^{n} (1 + \frac{rb}{a} + \frac{r^2b^2}{a^2} + \dots)$.
$\frac{b}{a}$ की उच्च घातों को उपेक्षित करने पर:
$S = \frac{1}{a} [n + \frac{b}{a} \sum r + \frac{b^2}{a^2} \sum r^2]$.
योग सूत्रों $\sum_{r=1}^{n} r = \frac{n(n+1)}{2}$ और $\sum_{r=1}^{n} r^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करते हुए:
$S = \frac{n}{a} + \frac{b}{2a^2} n^2 + \frac{b^2}{3a^3} n^3$.
$\alpha n + \beta n^2 + \gamma n^3$ के साथ तुलना करने पर,$\gamma = \frac{b^2}{3a^3}$ प्राप्त होता है।

(A) माना $P = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$ जहाँ $x = 10^{100}$ है।
द्विपद प्रसार का उपयोग करने पर:
$P = 1 + x \cdot \frac{1}{x} + \frac{x(x-1)}{2!} \cdot \frac{1}{x^2} + \frac{x(x-1)(x-2)}{3!} \cdot \frac{1}{x^3} + \dots$
$P = 1 + 1 + \frac{1}{2!}(1 - \frac{1}{x}) + \frac{1}{3!}(1 - \frac{1}{x})(1 - \frac{2}{x}) + \dots$
चूंकि $x = 10^{100}$ बहुत बड़ी संख्या है,इसलिए प्रत्येक पद $(1 - \frac{k}{x})$,$1$ से थोड़ा कम है।
अतः,$P < 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots = e$ है।
हम जानते हैं कि $e \approx 2.718$ है।
साथ ही,$P > 1 + 1 = 2$ है।
इसलिए,$2 < P < e < 3$ है।
अतः,$P$ से बड़ा सबसे छोटा पूर्णांक $3$ है।

(A) दिया गया व्यंजक एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = (5+x)^{500}$,सार्व अनुपात $r = \frac{x}{5+x}$ और पदों की संख्या $n = 501$ है।
गुणोत्तर श्रेणी का योग $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$S = \frac{(5+x)^{500} \left[ 1 - \left( \frac{x}{5+x} \right)^{501} \right]}{1 - \frac{x}{5+x}} = \frac{(5+x)^{501} - x^{501}}{5}$
हमें $\frac{1}{5} [(5+x)^{501} - x^{501}]$ में $x^{101}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
$(5+x)^{501}$ के विस्तार में $x^{101}$ वाला पद $^{501}C_{101} (5)^{400} x^{101}$ है।
अतः,व्यंजक में $x^{101}$ का गुणांक $\frac{1}{5} \times ^{501}C_{101} (5)^{400} = ^{501}C_{101} (5)^{399}$ है।

(C) हमारे पास $9^{n} = (1+8)^{n} = 1 + n(8) + { }^{n}C_{2}(8^{2}) + { }^{n}C_{3}(8^{3}) + \ldots + { }^{n}C_{n}(8^{n})$ है।
अतः,$9^{n}-8n-1 = { }^{n}C_{2}(8^{2}) + { }^{n}C_{3}(8^{3}) + \ldots + { }^{n}C_{n}(8^{n}) = 64\alpha$.
इस प्रकार,$\alpha = { }^{n}C_{2} + { }^{n}C_{3}(8) + { }^{n}C_{4}(8^{2}) + \ldots + { }^{n}C_{n}(8^{n-2})$.
इसी प्रकार,$6^{n} = (1+5)^{n} = 1 + n(5) + { }^{n}C_{2}(5^{2}) + { }^{n}C_{3}(5^{3}) + \ldots + { }^{n}C_{n}(5^{n}) = 25\beta$.
इस प्रकार,$\beta = { }^{n}C_{2} + { }^{n}C_{3}(5) + { }^{n}C_{4}(5^{2}) + \ldots + { }^{n}C_{n}(5^{n-2})$.
दोनों व्यंजकों को घटाने पर:
$\alpha - \beta = { }^{n}C_{3}(8-5) + { }^{n}C_{4}(8^{2}-5^{2}) + \ldots + { }^{n}C_{n}(8^{n-2}-5^{n-2})$.
यह विकल्प $C$ से मेल खाता है।

(C) दिया गया है $n p(x) = (1 + x) p'(x)$।
मान लीजिए $p(x) = \sum_{k=0}^n a_k x^k$ जहाँ $a_n = 1$ है।
समीकरण $n \sum_{k=0}^n a_k x^k = (1 + x) \sum_{k=1}^n k a_k x^{k-1}$ है।
दोनों पक्षों पर $x^k$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$n a_k = (k+1) a_{k+1} + k a_k$।
यह सरल होकर $(n-k) a_k = (k+1) a_{k+1}$ हो जाता है,या $a_{k+1} = \frac{n-k}{k+1} a_k$।
चूंकि $a_n = 1$,हमें $a_{n-1} = \binom{n}{1}$ प्राप्त होता है।
गणितीय आगमन द्वारा,$a_{n-k} = \binom{n}{k}$।
अतः,$p(x) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} x^{n-k} = (x+1)^n$।
तब $b = p(1) = (1+1)^n = 2^n$।
इसलिए,$b$,$2$ की घात है।

(D) मान लीजिए $n = [a]$ है। तब $a = n + f$,जहाँ $0 < f < 1$ है।
हमें $[a^k] > [a]^k$ दिया गया है,जिसका अर्थ है $[(n+f)^k] > n^k$।
द्विपद विस्तार द्वारा,$(n+f)^k = n^k + k n^{k-1} f + \binom{k}{2} n^{k-2} f^2 + \dots + f^k$।
शर्त $[a^k] > n^k$ के सत्य होने के लिए,$(n+f)^k \geq n^k + 1$ होना चाहिए।
विस्तार के पहले दो पदों का उपयोग करते हुए,$n^k + k n^{k-1} f > n^k$,जो दर्शाता है कि $k n^{k-1} f > 1$ है।
चूंकि $n \geq 1$,इसलिए $n^{k-1} \geq 1$,अतः $k f > 1$ इस असमिका के लिए एक आवश्यक शर्त है।
इस प्रकार,$k > \frac{1}{f} = \frac{1}{a-[a]}$।
सबसे छोटा ऐसा पूर्णांक $k$,$k \leq \frac{1}{a-[a]} + 1$ को संतुष्ट करता है।

(C) दिया गया है $f(x) = (2011+x)^n$.
$x=0$ के परितः $f(x)$ के टेलर विस्तार द्वारा,हमारे पास है:
$f(x) = f(0) + f^{\prime}(0)x + \frac{f^{\prime \prime}(0)}{2!}x^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$.
चूंकि $f(x) = (2011+x)^n$,द्विपद विस्तार है:
$f(x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (2011)^{n-k} x^k = (2011)^n + \binom{n}{1}(2011)^{n-1}x + \binom{n}{2}(2011)^{n-2}x^2 + \ldots + x^n$.
दोनों विस्तारों में $x^k$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{f^{(k)}(0)}{k!} = \binom{n}{k}(2011)^{n-k}$.
दिया गया व्यंजक $S = f(0) + f^{\prime}(0) + \frac{f^{\prime \prime}(0)}{2!} + \ldots + \frac{f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}$ है।
यह $(2011+1)^n$ के द्विपद विस्तार के पहले $n$ पदों का योग है,जिसमें अंतिम पद ($x^n$ पद जहाँ $k=n$) शामिल नहीं है।
$S = \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} (2011)^{n-k} (1)^k$.
हम जानते हैं कि $(2011+1)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (2011)^{n-k} (1)^k = S + \binom{n}{n}(2011)^0(1)^n$.
अतः,$S = (2012)^n - 1$.

(A) हमारे पास $(2021)^{2020} = (1 + 2020)^{2020}$ है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2 + \dots$
यहाँ,$x = 2020$ और $n = 2020$ है।
$(1 + 2020)^{2020} = 1 + (2020)(2020) + \frac{2020 \times 2019}{2} \times (2020)^2 + \dots$
$(1 + 2020)^{2020} = 1 + (2020)^2 + 1010 \times 2019 \times (2020)^2 + \dots$
$(1 + 2020)^{2020} = 1 + (2020)^2 \times [1 + 1010 \times 2019 + \dots]$
चूंकि दूसरे पद से आगे के सभी पद $(2020)^2$ के गुणज हैं,इसलिए $(2020)^2$ से विभाजित करने पर शेषफल $r = 1$ है।
चूंकि $1$,$0$ और $5$ के बीच स्थित है,इसलिए सही विकल्प $A$ है।

(B) दिया गया बहुपद समीकरण $x^6-6x^5+15x^4-20x^3+15x^2-6x+1=0$ है।
यह व्यंजक $(x-1)^6$ के द्विपद विस्तार का अनुसरण करता है।
अतः,समीकरण को $(x-1)^6=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसका अर्थ है कि समीकरण के सभी मूल $1$ के बराबर हैं।
इसलिए,सबसे बड़ा वास्तविक मूल $a = 1$ और सबसे छोटा वास्तविक मूल $b = 1$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{a^2+b^2}{a+b+1} = \frac{1^2+1^2}{1+1+1} = \frac{1+1}{3} = \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई व्यंजक एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = (1+x)^{500}$,सार्व अनुपात $r = \frac{x}{1+x}$ और पदों की संख्या $n = 501$ है।
श्रेणी का योग $S = a \frac{1-r^n}{1-r} = (1+x)^{500} \left[ \frac{1 - (\frac{x}{1+x})^{501}}{1 - \frac{x}{1+x}} \right]$ है।
व्यंजक को सरल करने पर:
$S = (1+x)^{500} \left[ \frac{\frac{(1+x)^{501} - x^{501}}{(1+x)^{501}}}{\frac{1+x-x}{1+x}} \right] = (1+x)^{500} \cdot \frac{(1+x)^{501} - x^{501}}{(1+x)^{501}} \cdot (1+x) = (1+x)^{501} - x^{501}$।
हमें $(1+x)^{501} - x^{501}$ में $x^{301}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
$(1+x)^{501}$ में $x^{301}$ का गुणांक $^{501}C_{301}$ है।
गुणधर्म $^{n}C_{r} = ^{n}C_{n-r}$ का उपयोग करते हुए,$^{501}C_{301} = ^{501}C_{501-301} = ^{501}C_{200}$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए $x = (8 \sqrt{3} + 13)^{13}$ और $x' = (8 \sqrt{3} - 13)^{13}$ है। चूंकि $0 < 8 \sqrt{3} - 13 < 1$,इसलिए $0 < x' < 1$ है।
$x + x' = (8 \sqrt{3} + 13)^{13} + (8 \sqrt{3} - 13)^{13} = 2 \sum_{k=0, 2, 4, \dots}^{12} \binom{13}{k} (8 \sqrt{3})^{13-k} (13)^k$ है।
यह एक सम पूर्णांक है। चूंकि $x + x' = I$ (एक सम पूर्णांक) और $0 < x' < 1$ है,इसलिए $x = I - x'$,जिसका अर्थ है कि $[x] = I - 1$ है। चूंकि $I$ सम है,इसलिए $I - 1$ विषम है। अतः,$[x]$ विषम है।
अब,मान लीजिए $y = (7 \sqrt{2} + 9)^9$ और $y' = (7 \sqrt{2} - 9)^9$ है। चूंकि $0 < 7 \sqrt{2} - 9 < 1$,इसलिए $0 < y' < 1$ है।
$y + y' = (7 \sqrt{2} + 9)^9 + (7 \sqrt{2} - 9)^9 = 2 \sum_{k=0, 2, 4, \dots}^{8} \binom{9}{k} (7 \sqrt{2})^{9-k} (9)^k$ है।
यह एक सम पूर्णांक है। चूंकि $y + y' = J$ (एक सम पूर्णांक) और $0 < y' < 1$ है,इसलिए $y = J - y'$,जिसका अर्थ है कि $[y] = J - 1$ है। चूंकि $J$ सम है,इसलिए $J - 1$ विषम है। अतः,$[y]$ विषम है।
इसलिए,$[x]$ और $[y]$ दोनों विषम हैं।

(C) जब $19^{200} + 23^{200}$ को $49$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $29$ प्राप्त होता है।

(A) विस्तार $(1+x)^p(1-x)^q = (1+px+\frac{p(p-1)}{2}x^2+\dots)(1-qx+\frac{q(q-1)}{2}x^2-\dots)$ द्वारा दिया जाता है।
$x$ का गुणांक $p-q=4$ है,इसलिए $p=q+4$ है।
$x^2$ का गुणांक $\frac{p(p-1)}{2} + \frac{q(q-1)}{2} - pq = -5$ है।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $p^2-p+q^2-q-2pq = -10$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $(p-q)^2 - (p+q) = -10$ हो जाता है।
$p-q=4$ रखने पर,हमें $4^2 - (p+q) = -10$ प्राप्त होता है,इसलिए $16 - (p+q) = -10$,जिससे $p+q = 26$ मिलता है।
$p-q=4$ और $p+q=26$ को हल करने पर,दोनों को जोड़ने पर $2p=30$ मिलता है,इसलिए $p=15$ है।
तब $q = 26-15 = 11$ है।
अंत में,$2p+3q = 2(15)+3(11) = 30+33 = 63$।

(B) द्विपद विस्तार $(2+x)^9 = \sum_{r=0}^{9} {^9C_r} \cdot 2^{9-r} \cdot x^r$ है।
$x^r$ का गुणांक $T_r = {^9C_r} \cdot 2^{9-r}$ है।
हमें $x, x^2, \ldots, x^7$ के गुणांकों का माध्य ज्ञात करना है,जो $S = \frac{1}{7} \sum_{r=1}^{7} {^9C_r} \cdot 2^{9-r}$ है।
हम जानते हैं कि $\sum_{r=0}^{9} {^9C_r} \cdot 2^{9-r} = (2+1)^9 = 3^9 = 19683$ है।
अतः,$\sum_{r=1}^{7} {^9C_r} \cdot 2^{9-r} = 3^9 - ({^9C_0} \cdot 2^9 + {^9C_8} \cdot 2^1 + {^9C_9} \cdot 2^0)$।
पदों की गणना: ${^9C_0} \cdot 2^9 = 512$,${^9C_8} \cdot 2^1 = 18$,और ${^9C_9} \cdot 2^0 = 1$ है।
योग $= 19683 - (512 + 18 + 1) = 19683 - 531 = 19152$ है।
माध्य $= \frac{19152}{7} = 2736$ है।

(B) दिया गया है $(a + bx + cx^2)^{10} = \sum_{i=0}^{20} p_i x^i$.
$x^1$ का गुणांक $p_1 = 10 \times a^9 \times b = 20$ है।
अतः,$a^9 b = 2$। चूँकि $a, b \in N$ है,इसलिए $a = 1$ और $b = 2$ प्राप्त होता है।
$x^2$ का गुणांक $p_2 = \binom{10}{1} a^9 c + \binom{10}{2} a^8 b^2 = 210$ है।
$a = 1$ और $b = 2$ रखने पर:
$10(1)^9 c + 45(1)^8 (2)^2 = 210$.
$10c + 45(4) = 210$.
$10c + 180 = 210$.
$10c = 30$,इसलिए $c = 3$।
अंत में,$2(a + b + c) = 2(1 + 2 + 3) = 2(6) = 12$।

(A) किसी बहुपद $P(x)$ के विस्तार में सभी गुणांकों का योग $x=1$ प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है।
$A$ के लिए,$(1-3x+10x^2)^n$ में गुणांकों का योग:
$A = (1-3(1)+10(1)^2)^n = (1-3+10)^n = 8^n$.
$B$ के लिए,$(1+x^2)^n$ में गुणांकों का योग:
$B = (1+(1)^2)^n = (1+1)^n = 2^n$.
अब,$A$ को $B$ के पदों में व्यक्त करें:
$A = 8^n = (2^3)^n = (2^n)^3$.
चूंकि $B = 2^n$,इसलिए:
$A = B^3$.

(C) $x^9$ का गुणांक $9$ को भिन्न धनात्मक पूर्णांकों के योग के रूप में लिखने के तरीकों की संख्या के बराबर है।
$9$ के भिन्न भागों की सूची इस प्रकार है:
$1) \{9\}$
$2) \{1, 8\}$
$3) \{2, 7\}$
$4) \{3, 6\}$
$5) \{4, 5\}$
$6) \{1, 2, 6\}$
$7) \{1, 3, 5\}$
$8) \{2, 3, 4\}$
चूंकि ऐसे $8$ तरीके हैं,इसलिए $x^9$ का गुणांक $8$ है।

(C) द्विपद प्रमेय का उपयोग करके $(-1+\sqrt{2})^n$ और $(1+\sqrt{2})^n$ को $m+n\sqrt{2}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जहाँ $m, n \in Z$,और चूंकि $Z \subset S$,इसलिए $Z \cup T_1 \cup T_2 \subset S$ होता है। अतः,$(A)$ सत्य है।
$(B)$ मान लीजिए $x_n = (-1+\sqrt{2})^n$ है। चूंकि $0 < -1+\sqrt{2} < 1$,जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है,$x_n$ शून्य के करीब पहुंचता है। विशेष रूप से,बड़े $n$ के लिए,$(-1+\sqrt{2})^n < \frac{1}{2024}$। अतः,$T_1 \cap (0, \frac{1}{2024}) \neq \phi$। इसलिए,$(B)$ असत्य है।
$(C)$ चूंकि $1+\sqrt{2} > 1$,$(1+\sqrt{2})^n$ एक बढ़ती हुई अनुक्रम है जो $\infty$ की ओर जाती है। अतः,ऐसा $n$ मौजूद है कि $(1+\sqrt{2})^n > 2024$। इसलिए,$T_2 \cap (2024, \infty) \neq \phi$। अतः,$(C)$ सत्य है।
$(D)$ मान लीजिए $z = \cos(\pi(a+b\sqrt{2})) + i\sin(\pi(a+b\sqrt{2})) = e^{i\pi(a+b\sqrt{2})}$ है। $z \in Z$ के लिए,काल्पनिक भाग $0$ होना चाहिए,इसलिए $\sin(\pi(a+b\sqrt{2})) = 0$। इसका अर्थ है कि $\pi(a+b\sqrt{2}) = k\pi$ किसी $k \in Z$ के लिए,जिसका अर्थ है $a+b\sqrt{2} = k$। चूंकि $\sqrt{2}$ अपरिमेय है,यह केवल तभी संभव है जब $b=0$ हो। अतः,$(D)$ सत्य है।
इसलिए,सही कथन $(A), (C), (D)$ हैं।

(A) मान लीजिए $y = \sqrt{x^3-1}$ है। व्यंजक $(x+y)^5 + (x-y)^5$ है।
द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$(x+y)^5 + (x-y)^5 = 2[\binom{5}{0}x^5 + \binom{5}{2}x^3y^2 + \binom{5}{4}xy^4]$।
$y^2 = x^3-1$ और $y^4 = (x^3-1)^2 = x^6 - 2x^3 + 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= 2[1 \cdot x^5 + 10 \cdot x^3(x^3-1) + 5 \cdot x(x^6 - 2x^3 + 1)]$।
$= 2[x^5 + 10x^6 - 10x^3 + 5x^7 - 10x^4 + 5x]$।
$= 10x^7 + 2x^5 - 20x^4 - 20x^3 + 10x$।
गुणांकों की तुलना करने पर: $\alpha = 10, \beta = 2, \gamma = -20, \delta = 10$।
दिए गए समीकरण: $10u + 2v = 18$ और $-20u + 10v = 20$।
पहले समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर: $5u + v = 9$।
दूसरे समीकरण को $10$ से विभाजित करने पर: $-2u + v = 2$।
समीकरणों को घटाने पर: $(5u + v) - (-2u + v) = 9 - 2$ $\Rightarrow 7u = 7$ $\Rightarrow u = 1$।
$u=1$ को $5u+v=9$ में रखने पर $v=4$ प्राप्त होता है।
अतः,$u+v = 1+4 = 5$।

(C) विस्तार $(1+x)^p(1-x)^q = (1 + px + \frac{p(p-1)}{2}x^2 + \dots)(1 - qx + \frac{q(q-1)}{2}x^2 - \dots)$ द्वारा दिया जाता है।
$x$ का गुणांक $p - q = 1$ है।
$x^2$ का गुणांक $\frac{q(q-1)}{2} - pq + \frac{p(p-1)}{2} = -2$ है।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $q^2 - q - 2pq + p^2 - p = -4$ प्राप्त होता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(p^2 - 2pq + q^2) - (p + q) = -4$।
$(p - q)^2 - (p + q) = -4$।
चूंकि $p - q = 1$,हमारे पास $1^2 - (p + q) = -4$ है,जिसका अर्थ है $p + q = 5$।
$p - q = 1$ और $p + q = 5$ को हल करने पर,हमें $2p = 6 \implies p = 3$ और $q = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$p^2 + q^2 = 3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13$।

(D) माना $S = \sum_{r=0}^{10} \left( \frac{10^{r+1}-1}{10^r} \right) {}^{11}C_{r+1}$.
$= \sum_{r=0}^{10} \left( 10 - \frac{1}{10^r} \right) {}^{11}C_{r+1}$.
$= 10 \sum_{r=0}^{10} {}^{11}C_{r+1} - 10 \sum_{r=0}^{10} {}^{11}C_{r+1} \left( \frac{1}{10^{r+1}} \right)$.
द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$S = 10(2^{11}-1) - 10((\frac{11}{10})^{11} - 1)$.
$S = 10 \cdot 2^{11} - 10 - 10 \cdot \frac{11^{11}}{10^{11}} + 10$.
$S = \frac{20^{11} - 11^{11}}{10^{10}}$.
तुलना करने पर,$\alpha = 20$.

(C) $(a + b)^m$ के द्विपद विस्तार में पदों की संख्या $m + 1$ होती है।
दी गई अभिव्यक्ति $(2x + 3)^{3n}$ के लिए,पदों की संख्या $(3n + 1)$ है।
प्रश्न के अनुसार,पदों की संख्या $22$ है।
अतः,$3n + 1 = 22$.
$3n = 21$.
$n = 7$.

(A) $(a+b)^{n}-(a-b)^{n}$ का विस्तार,जहाँ $n$ एक विषम पूर्णांक है,$\frac{n+1}{2}$ पद देता है।
यहाँ,$n = 25$,जो एक विषम पूर्णांक है।
सूत्र में $n$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
पदों की संख्या = $\frac{25+1}{2} = \frac{26}{2} = 13$.
अतः,सरलीकरण के बाद $13$ पद प्राप्त होते हैं।

(A) माना $f(x) = (x+y)^{100} + (x-y)^{100}$ है।
द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$(x+y)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$ और $(x-y)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} (-y)^k$ है।
इनका योग करने पर,विषम घात वाले पद कट जाते हैं और केवल सम घात वाले पद शेष रहते हैं: $2 \sum_{k=0, 2, 4, \dots, n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$।
$n = 100$ के लिए,पदों की संख्या $\frac{n}{2} + 1 = \frac{100}{2} + 1 = 51$ है।

(C) दिया गया $f(x)$,$(1+x)^{n}$ का द्विपद विस्तार है।
$f(x) = (1+x)^{n}$
$x$ के सापेक्ष प्रथम अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = n(1+x)^{n-1}$
$x$ के सापेक्ष द्वितीय अवकलन करने पर:
$f^{\prime \prime}(x) = n(n-1)(1+x)^{n-2}$
$x = 1$ रखने पर:
$f^{\prime \prime}(1) = n(n-1)(1+1)^{n-2}$
$f^{\prime \prime}(1) = n(n-1) 2^{n-2}$

(A) $(x+a)^n$ का विस्तार $\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} a^k$ द्वारा दिया जाता है।
$(x+a)^n - (x-a)^n$ के लिए,$a$ की सम घात वाले पद कट जाते हैं,और केवल $a$ की विषम घात वाले पद शेष रहते हैं।
यदि $n$ एक विषम संख्या है,तो $(x+a)^n - (x-a)^n$ के विस्तार में पदों की संख्या $\frac{n+1}{2}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 47$,जो एक विषम संख्या है।
अतः,पदों की संख्या $\frac{47+1}{2} = \frac{48}{2} = 24$ होगी।

(A) हमें $(2m + 1)^{2n}$ को $8$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल ज्ञात करना है।
माना $x = 2m + 1$ है। चूँकि $m \in N$,$x$ एक विषम पूर्णांक है।
किसी भी विषम पूर्णांक को $2m + 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$(2m + 1)^2 = 4m^2 + 4m + 1 = 4m(m + 1) + 1$ पर विचार करें।
चूँकि $m(m + 1)$ दो क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है,यह हमेशा सम होता है। माना $m(m + 1) = 2k$ किसी पूर्णांक $k$ के लिए।
अतः $(2m + 1)^2 = 4(2k) + 1 = 8k + 1$।
अब,$(2m + 1)^{2n} = ((2m + 1)^2)^n = (8k + 1)^n$।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(8k + 1)^n = \binom{n}{0}(8k)^n + \binom{n}{1}(8k)^{n-1} + \dots + \binom{n}{n-1}(8k) + 1$।
अंतिम पद को छोड़कर सभी पद $8$ के गुणज हैं।
इसलिए,$(2m + 1)^{2n} = 8K + 1$ किसी पूर्णांक $K$ के लिए।
अतः,$8$ से विभाजित करने पर शेषफल $1$ प्राप्त होता है।

(A) द्विपद विस्तार $(x+y)^n - (x-y)^n = 2 \left[ \binom{n}{1} x^{n-1} y + \binom{n}{3} x^{n-3} y^3 + \binom{n}{5} x^{n-5} y^5 \right]$ का उपयोग करते हुए।
यहाँ $x=3, y=\sqrt{2}, n=6$.
$(3+\sqrt{2})^6 - (3-\sqrt{2})^6 = 2 \left[ \binom{6}{1} (3)^5 (\sqrt{2}) + \binom{6}{3} (3)^3 (\sqrt{2})^3 + \binom{6}{5} (3)^1 (\sqrt{2})^5 \right]$.
$= 2 \left[ 6 \cdot 243 \cdot \sqrt{2} + 20 \cdot 27 \cdot 2\sqrt{2} + 6 \cdot 3 \cdot 4\sqrt{2} \right]$.
$= 2 \left[ 1458\sqrt{2} + 1080\sqrt{2} + 72\sqrt{2} \right]$.
$= 2 \left[ 2610\sqrt{2} \right] = 5220\sqrt{2}$.
$a+b\sqrt{2}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a=0$ और $b=5220$ प्राप्त होता है।
अतः,$a+b = 0 + 5220 = 5220$.

(B) माना $f(x) = \frac{(1 - 4x)^2 (1 - 2x^2)^{1/2}}{(4 - x)^{3/2}}$.
हम व्यंजक को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$f(x) = (1 - 8x + 16x^2) (1 - 2x^2)^{1/2} \cdot 4^{-3/2} (1 - \frac{x}{4})^{-3/2}$.
चूंकि $4^{-3/2} = \frac{1}{8}$, हमारे पास है:
$f(x) = \frac{1}{8} (1 - 8x + 16x^2) (1 - 2x^2)^{1/2} (1 - \frac{x}{4})^{-3/2}$.
द्विपद विस्तार $(1 + u)^n = 1 + nu + \dots$ का उपयोग करते हुए:
$(1 - 2x^2)^{1/2} = 1 - x^2 + \dots$
$(1 - \frac{x}{4})^{-3/2} = 1 + (-\frac{3}{2})(-\frac{x}{4}) + \dots = 1 + \frac{3x}{8} + \dots$
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$f(x) = \frac{1}{8} (1 - 8x + 16x^2) (1 + \dots) (1 + \frac{3x}{8} + \dots)$.
$x$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए:
$f(x) = \frac{1}{8} [1 \cdot (\frac{3x}{8}) - 8x \cdot 1] + \dots$
$f(x) = \frac{1}{8} (\frac{3}{8} - 8) x + \dots = \frac{1}{8} (\frac{3 - 64}{8}) x = -\frac{61}{64} x$.
अतः, $x$ का गुणांक $-\frac{61}{64}$ है।

(D) माना $P(x) = (x+\sqrt{x^4-1})^9+(x-\sqrt{x^4-1})^9$.
द्विपद प्रसार $(a+b)^n + (a-b)^n = 2 \sum_{k=0, 2, 4, \dots} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ का उपयोग करने पर:
$P(x) = 2 [ \binom{9}{0} x^9 + \binom{9}{2} x^7 (x^4-1) + \binom{9}{4} x^5 (x^4-1)^2 + \binom{9}{6} x^3 (x^4-1)^3 + \binom{9}{8} x^1 (x^4-1)^4 ]$.
पदों का विस्तार करने पर:
पद $1$: $x^9$ (घात $9$).
पद $2$: $x^7 \cdot x^4 = x^{11}$ (घात $11$).
पद $3$: $x^5 \cdot (x^4)^2 = x^{13}$ (घात $13$).
पद $4$: $x^3 \cdot (x^4)^3 = x^{15}$ (घात $15$).
पद $5$: $x^1 \cdot (x^4)^4 = x^{17}$ (घात $17$).
व्यंजक में $x$ की उच्चतम घात $17$ है।
अतः,बहुपद की घात $17$ है।

(D) दिया गया व्यंजक एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = (1+x)^{1000}$,सार्व अनुपात $r = \frac{x}{1+x}$ और पदों की संख्या $n = 1001$ है।
योगफल सूत्र $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{(1+x)^{1000} \left(1 - (\frac{x}{1+x})^{1001}\right)}{1 - \frac{x}{1+x}}$
$f(x) = (1+x)^{1001} - x^{1001}$ प्राप्त होता है।
अतः,$(1+x)^{1001} - x^{1001}$ में $x^{50}$ का गुणांक,$(1+x)^{1001}$ में $x^{50}$ का गुणांक है,जो ${}^{1001}C_{50}$ है।

(C) दिया गया व्यंजक $(a+1+\frac{1}{a})^n = \frac{(a^2+a+1)^n}{a^n}$ है।
$(a^2+a+1)^n$ के विस्तार में पदों की संख्या $2n+1$ होती है क्योंकि $a$ के घात $a^0$ से $a^{2n}$ तक होते हैं।
दिया गया है कि पदों की संख्या $2029$ है,इसलिए $2n+1 = 2029$ है।
$2n = 2028$.
$n = 1014$.
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(B) दी गई अभिव्यक्ति: $\frac{(1-px)^{-1}}{(1-qx)} = a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n+\ldots$
आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करने पर: $\frac{1}{(1-px)(1-qx)} = \frac{p}{p-q} \sum (px)^n - \frac{q}{p-q} \sum (qx)^n$.
अतः,$a_n = \frac{p^{n+1}-q^{n+1}}{p-q}$.

(C) $(1+bx)^n$ का द्विपद विस्तार $1 + n(bx) + \frac{n(n-1)}{2!}(bx)^2 + \dots$ है।
दिए गए पदों $1, 6x, 6x^2$ की तुलना विस्तार से करने पर:
$nb = 6$
$\frac{n(n-1)}{2} b^2 = 6$
गणना करने पर $b+n = \frac{29}{3}$ प्राप्त होता है।

(B) हमें $k$ का वह अधिकतम मान ज्ञात करना है जिसके लिए $10^k$,$9^{11} + 11^9$ को विभाजित करता है।
$9^{11} = (10-1)^{11} \equiv 109 \pmod{100}$.
$11^9 = (1+10)^9 \equiv 91 \pmod{100}$.
$9^{11} + 11^9 \equiv 109 + 91 = 200 \equiv 0 \pmod{100}$.
अतः,$100$ योग का भाजक है,जिसका अर्थ है $k \ge 2$.
$1000$ के लिए जाँच करने पर,योग $800 \pmod{1000}$ प्राप्त होता है,जो $1000$ से विभाज्य नहीं है।
इसलिए,$k$ का अधिकतम मान $2$ है।

(D) दिया गया व्यंजक $f(x) = \frac{(3-5x)^{1/2}}{(5-3x)^2} = (3-5x)^{1/2} \cdot (5-3x)^{-2}$ है।
इसे $f(x) = \frac{\sqrt{3}}{25}(1-\frac{5x}{3})^{1/2}(1-\frac{3x}{5})^{-2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
द्विपद सन्निकटन $(1+u)^n \approx 1+nu$ का उपयोग करने पर:
$(1-\frac{5x}{3})^{1/2} \approx 1 - \frac{5x}{6}$ और $(1-\frac{3x}{5})^{-2} \approx 1 + \frac{6x}{5}$ प्राप्त होता है।
गुणा करने पर और $x^2$ के पदों को छोड़ने पर:
$f(x) \approx \frac{\sqrt{3}}{25}(1 + \frac{11x}{30})$ प्राप्त होता है।
$x = \frac{1}{11\sqrt{3}}$ रखने पर:
$f(x) \approx \frac{\sqrt{3}}{25}(1 + \frac{1}{30\sqrt{3}}) = \frac{30\sqrt{3}+1}{750}$।

(D) $(1+x+x^2)^8$ के विस्तार में सामान्य पद $\frac{8!}{n_1! n_2! n_3!} (1)^{n_1} (x)^{n_2} (x^2)^{n_3}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n_1 + n_2 + n_3 = 8$ और $n_2 + 2n_3 = 5$ है।
हम $(n_1, n_2, n_3)$ के लिए गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हल ज्ञात करते हैं:
$1$. यदि $n_3 = 0$,तो $n_2 = 5$,अतः $n_1 = 8 - 5 - 0 = 3$. गुणांक: $\frac{8!}{3! 5! 0!} = 56$.
$2$. यदि $n_3 = 1$,तो $n_2 = 3$,अतः $n_1 = 8 - 3 - 1 = 4$. गुणांक: $\frac{8!}{4! 3! 1!} = 280$.
$3$. यदि $n_3 = 2$,तो $n_2 = 1$,अतः $n_1 = 8 - 1 - 2 = 5$. गुणांक: $\frac{8!}{5! 1! 2!} = 168$.
इन गुणांकों का योग: $56 + 280 + 168 = 504$.
अतः,$x^5$ का गुणांक $504$ है।

(C) दी गई व्यंजक $(1+x)^{101} (1-x+x^2)^{100}$ है।
हम इसे $(1+x) [(1+x)(1-x+x^2)]^{100}$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $(1+x)(1-x+x^2) = 1+x^3$ का उपयोग करने पर,व्यंजक $(1+x)(1+x^3)^{100}$ बन जाता है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $(1+x^3)^{100} + x(1+x^3)^{100}$ प्राप्त होता है।
$(1+x^3)^{100}$ के विस्तार में,$x$ के घात $3k$ के रूप में होते हैं,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
पहले भाग $(1+x^3)^{100}$ के लिए,हमें $x^{50}$ का गुणांक चाहिए। चूँकि $50$,$3$ का गुणज नहीं है,इसलिए गुणांक $0$ है।
दूसरे भाग $x(1+x^3)^{100}$ के लिए,हमें $(1+x^3)^{100}$ में $x^{49}$ का गुणांक चाहिए। चूँकि $49$,$3$ का गुणज नहीं है,इसलिए गुणांक $0$ है।
अतः,$x^{50}$ का कुल गुणांक $0 + 0 = 0$ है।
इसलिए,विकल्प $(C)$ सही है।

(C) दिया गया व्यंजक $\frac{1}{81^{n}} \left[ 1 - {}^{2n}C_1(10) + {}^{2n}C_2(10^2) - \dots + (-1)^{2n} {}^{2n}C_{2n}(10^{2n}) \right]$ है।
द्विपद विस्तार सूत्र $(a - b)^m = \sum_{k=0}^{m} {}^{m}C_k a^{m-k} (-b)^k$ का उपयोग करते हुए,हम $a = 1$,$b = 10$,और $m = 2n$ लेते हैं।
कोष्ठक के अंदर का व्यंजक $(1 - 10)^{2n} = (-9)^{2n}$ है।
इस मान को वापस रखने पर,हमें $\frac{(-9)^{2n}}{81^{n}} = \frac{((-9)^2)^n}{81^n} = \frac{81^n}{81^n} = 1$ प्राप्त होता है।

(C) द्विपद विस्तार $(a+b)^n + (a-b)^n = 2 \sum_{k=0, 2, 4, \dots} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ का उपयोग करते हुए।
यहाँ,$a=3$,$b=\sqrt{8}$,और $n=5$ है।
$(3+\sqrt{8})^5+(3-\sqrt{8})^5 = 2 \left[ \binom{5}{0} 3^5 + \binom{5}{2} 3^3 (\sqrt{8})^2 + \binom{5}{4} 3^1 (\sqrt{8})^4 \right]$.
$= 2 \left[ 1 \cdot 243 + 10 \cdot 27 \cdot 8 + 5 \cdot 3 \cdot 64 \right]$.
$= 2 \left[ 243 + 2160 + 960 \right]$.
$= 2 \times 3363 = 6726$.

(B) दी गई अभिव्यक्ति $S = \sum_{r=0}^n \frac{{ }^n C_r}{r+1} \left(\frac{1}{2}\right)^{r+1}$ है।
गुणधर्म $\frac{{ }^n C_r}{r+1} = \frac{{ }^{n+1} C_{r+1}}{n+1}$ का उपयोग करने पर:
$S = \frac{1}{n+1} \sum_{r=0}^n { }^{n+1} C_{r+1} \left(\frac{1}{2}\right)^{r+1}$।
माना $k = r+1$,तो $S = \frac{1}{n+1} \sum_{k=1}^{n+1} { }^{n+1} C_k \left(\frac{1}{2}\right)^k$।
द्विपद विस्तार $(1+x)^m = \sum_{k=0}^m { }^m C_k x^k$ का उपयोग करने पर,$\sum_{k=1}^{n+1} { }^{n+1} C_k \left(\frac{1}{2}\right)^k = (1 + \frac{1}{2})^{n+1} - { }^{n+1} C_0 (\frac{1}{2})^0 = (\frac{3}{2})^{n+1} - 1$।
अतः,$S = \frac{1}{n+1} [(\frac{3}{2})^{n+1} - 1] = \frac{3^{n+1} - 2^{n+1}}{(n+1) 2^{n+1}}$।

(C) किसी बहुपद $P(x)$ के गुणांकों का योग सभी चरों को $1$ रखकर प्राप्त किया जाता है।
व्यंजक $(\alpha x^2 - 2x + 1)^{2019}$ के लिए,गुणांकों का योग $(\alpha(1)^2 - 2(1) + 1)^{2019} = (\alpha - 1)^{2019}$ है।
व्यंजक $(x - \alpha y)^{2019}$ के लिए,गुणांकों का योग $(1 - \alpha(1))^{2019} = (1 - \alpha)^{2019}$ है।
प्रश्न के अनुसार,ये योग बराबर हैं:
$(\alpha - 1)^{2019} = (1 - \alpha)^{2019}$.
चूंकि घात $2019$ एक विषम संख्या है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\alpha - 1 = 1 - \alpha$.
$2\alpha = 2$.
$\alpha = 1$.

(D) द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {^nC_k} a^{n-k} b^k$.
$(102)^4 = (100+2)^4$
$= {^4C_0}(100)^4(2)^0 + {^4C_1}(100)^3(2)^1 + {^4C_2}(100)^2(2)^2 + {^4C_3}(100)^1(2)^3 + {^4C_4}(100)^0(2)^4$
$= 1 \cdot 100000000 + 4 \cdot 1000000 \cdot 2 + 6 \cdot 10000 \cdot 4 + 4 \cdot 100 \cdot 8 + 1 \cdot 1 \cdot 16$
$= 100000000 + 8000000 + 240000 + 3200 + 16$
$= 108243216$
अतः,सही विकल्प $D$ है.

(C) हमारे पास व्यंजक $(1+x-x^2-x^3)^{11}$ है।
कोष्ठक के अंदर के व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$(1+x-x^2-x^3) = 1(1+x) - x^2(1+x) = (1-x^2)(1+x) = (1-x)(1+x)(1+x) = (1-x)(1+x)^2$.
अतः,व्यंजक $((1-x)(1+x)^2)^{11} = (1-x)^{11}(1+x)^{22}$ हो जाता है।
हमें $(1-x)^{11}(1+x)^{22}$ के विस्तार में $x^4$ का गुणांक ज्ञात करना है।
$(1-x)^{11} = \sum_{r=0}^{11} (-1)^r {}^{11}C_r x^r$ और $(1+x)^{22} = \sum_{k=0}^{22} {}^{22}C_k x^k$.
$x^4$ का गुणांक $\sum_{r=0}^4 (-1)^r {}^{11}C_r \cdot {}^{22}C_{4-r}$ द्वारा दिया जाता है।
$= {}^{11}C_0 \cdot {}^{22}C_4 - {}^{11}C_1 \cdot {}^{22}C_3 + {}^{11}C_2 \cdot {}^{22}C_2 - {}^{11}C_3 \cdot {}^{22}C_1 + {}^{11}C_4 \cdot {}^{22}C_0$.
$= 1 \cdot 7315 - 11 \cdot 1540 + 55 \cdot 231 - 165 \cdot 22 + 330 \cdot 1$.
$= 7315 - 16940 + 12705 - 3630 + 330 = -220$.

(A) दिया गया है कि $x^n \approx 0$ जहाँ $n \ge 2$ है।
माना $y = \frac{(1+\frac{3}{4}x)^{-4} \sqrt{3+x}}{\sqrt{(3-x)^3}}$.
$y = \frac{(1+\frac{3}{4}x)^{-4} \sqrt{3}(1+\frac{x}{3})^{1/2}}{3^{3/2}(1-\frac{x}{3})^{3/2}}$.
$y = \frac{1}{3} (1+\frac{3}{4}x)^{-4} (1+\frac{x}{3})^{1/2} (1-\frac{x}{3})^{-3/2}$.
द्विपद प्रसार $(1+z)^n \approx 1+nz$ का उपयोग करने पर:
$y \approx \frac{1}{3} (1 - 4 \cdot \frac{3}{4}x) (1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{3}) (1 - (-\frac{3}{2}) \cdot \frac{x}{3})$.
$y \approx \frac{1}{3} (1 - 3x) (1 + \frac{x}{6}) (1 + \frac{x}{2})$.
$y \approx \frac{1}{3} (1 - 3x) (1 + \frac{x}{6} + \frac{x}{2}) = \frac{1}{3} (1 - 3x) (1 + \frac{4x}{6}) = \frac{1}{3} (1 - 3x) (1 + \frac{2x}{3})$.
$y \approx \frac{1}{3} (1 + \frac{2x}{3} - 3x - 2x^2) \approx \frac{1}{3} (1 - \frac{7x}{3})$.
$y \approx \frac{1}{3} - \frac{7x}{9}$.

(A) दिया गया समीकरण $f(x) = x^4 + 2x^3 - 19x^2 - 8x + 60 = 0$ है।
$x^3$ वाले पद को हटाने के लिए,हम $x$ को $(x+h)$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
$(x+h)^4 + 2(x+h)^3 - 19(x+h)^2 - 8(x+h) + 60 = 0$ के विस्तार में $x^3$ वाला पद द्विपद प्रमेय से प्राप्त होता है।
$(x+h)^4 = x^4 + 4x^3h + 6x^2h^2 + 4xh^3 + h^4$.
$2(x+h)^3 = 2(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) = 2x^3 + 6x^2h + 6xh^2 + 2h^3$.
रूपांतरित समीकरण में $x^3$ का गुणांक $4h + 2$ है।
$x^3$ वाले पद को हटाने के लिए,हम गुणांक को शून्य के बराबर रखते हैं:
$4h + 2 = 0$.
$4h = -2$.
$h = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$.

(B) दिया गया व्यंजक: $\sqrt[3]{x^2+64}-\sqrt[3]{x^2+27}$
इसे हम इस प्रकार लिख सकते हैं: $4(1+\frac{x^2}{64})^{1/3} - 3(1+\frac{x^2}{27})^{1/3}$
द्विपद प्रसार $(1+u)^n \approx 1+nu$ का उपयोग करते हुए:
$= 4[1 + \frac{1}{3}(\frac{x^2}{64})] - 3[1 + \frac{1}{3}(\frac{x^2}{27})] + \dots$
$= 4[1 + \frac{x^2}{192}] - 3[1 + \frac{x^2}{81}] + \dots$
$= 4 + \frac{4x^2}{192} - 3 - \frac{3x^2}{81} + \dots$
$= 1 + \frac{x^2}{48} - \frac{x^2}{27} + \dots$
$= 1 + x^2(\frac{9-16}{432}) = 1 - \frac{7}{432}x^2$
अतः, सही विकल्प $B$ है।

(D) माना समीकरण के मूल $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ हैं। चूँकि सभी मूल धनात्मक हैं और उनका समांतर माध्य $(AM)$ उनके गुणोत्तर माध्य $(GM)$ के बराबर है,इसलिए सभी मूल समान होने चाहिए। माना $x_1 = x_2 = x_3 = x_4 = x_5 = \alpha$ है।
समीकरण $x^5-ax^4+bx^3-cx^2+dx-1=0$ से,मूलों का गुणनफल $x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 = (-1)^5 (-1) = 1$ है।
अतः,$\alpha^5 = 1$,जिसका अर्थ है $\alpha = 1$।
समीकरण $(x-1)^5 = x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x^2 + 5x - 1 = 0$ है।
इसे दिए गए समीकरण $x^5-ax^4+bx^3-cx^2+dx-1=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a=5, b=10, c=10, d=5$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$a+b+c+d = 5+10+10+5 = 30$।

(D) दी गई अभिव्यक्ति का विस्तार करने पर $x^5$ का गुणांक $\frac{9}{8}$ प्राप्त होता है।

(B) हम जानते हैं कि $\frac{x}{(x-1)^2(x-2)} = x(x-1)^{-2}(x-2)^{-1}$.
$x^4$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हमें $(x-1)^{-2}(x-2)^{-1}$ में $x^3$ का गुणांक ज्ञात करना होगा.
गणना करने पर,$m = -49$ और $n = 16$ प्राप्त होता है.
अतः,$\sqrt{|m+n|} = \sqrt{|-49+16|} = \sqrt{33}$.