Expansion of binomial theorem Questions in Hindi

(D) हमें $3^{400}$ के अंतिम दो अंक ज्ञात करने हैं,जो $3^{400} \pmod{100}$ ज्ञात करने के बराबर है।
$3^{400} = (3^4)^{100} = 81^{100}$.
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,हम $81^{100} = (1 + 80)^{100}$ लिख सकते हैं।
द्विपद विस्तार का उपयोग करने पर: $(1 + 80)^{100} = \binom{100}{0} + \binom{100}{1} \times 80 + \binom{100}{2} \times 80^2 + \dots + \binom{100}{100} \times 80^{100}$.
$= 1 + 100 \times 80 + \frac{100 \times 99}{2} \times 6400 + \dots$
$= 1 + 8000 + (80^2, 80^3, \dots \text{ वाले पद})$.
चूंकि $80^2 = 6400$,तीसरे पद से आगे के सभी पद $100$ से विभाज्य हैं।
अतः,$3^{400} \equiv 1 + 8000 \pmod{100}$.
$3^{400} \equiv 1 + 0 \pmod{100}$.
इसलिए,अंतिम दो अंक $01$ हैं।

(D) माना $y = \sqrt{4x + 1}$. व्यंजक $\frac{1}{y} \left[ \left( \frac{1+y}{2} \right)^7 - \left( \frac{1-y}{2} \right)^7 \right]$ हो जाता है।
द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$\left( \frac{1+y}{2} \right)^7 = \frac{1}{2^7} \sum_{k=0}^7 \binom{7}{k} y^k$ और $\left( \frac{1-y}{2} \right)^7 = \frac{1}{2^7} \sum_{k=0}^7 \binom{7}{k} (-y)^k$.
अंतर $\frac{1}{2^7} \sum_{k=0}^7 \binom{7}{k} (y^k - (-y)^k)$ है।
सम $k$ वाले पद कट जाते हैं,केवल विषम $k$ वाले पद बचते हैं: $2 \times \frac{1}{2^7} \left( \binom{7}{1} y + \binom{7}{3} y^3 + \binom{7}{5} y^5 + \binom{7}{7} y^7 \right)$.
$y$ से भाग देने पर,हमें $\frac{2}{2^7} \left( \binom{7}{1} + \binom{7}{3} y^2 + \binom{7}{5} y^4 + \binom{7}{7} y^6 \right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $y^2 = 4x + 1$,$x$ की अधिकतम घात $(y^2)^3 = (4x+1)^3$ है,जो $x^3$ है।
अतः,बहुपद की घात $3$ है।

(D) माना $E = 4 \{^nC_1 + 4 \cdot ^nC_2 + 4^2 \cdot ^nC_3 + \dots + 4^{n-1} \cdot ^nC_n\}$.
कोष्ठक के अंदर $4$ का गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$E = 4 \cdot ^nC_1 + 4^2 \cdot ^nC_2 + 4^3 \cdot ^nC_3 + \dots + 4^n \cdot ^nC_n$.
द्विपद प्रमेय के अनुसार: $(1 + x)^n = ^nC_0 + ^nC_1 x + ^nC_2 x^2 + \dots + ^nC_n x^n$.
$x = 4$ रखने पर:
$(1 + 4)^n = ^nC_0 + ^nC_1(4) + ^nC_2(4^2) + \dots + ^nC_n(4^n)$.
$5^n = 1 + (4 \cdot ^nC_1 + 4^2 \cdot ^nC_2 + \dots + 4^n \cdot ^nC_n)$.
$5^n = 1 + E$.
अतः,$E = 5^n - 1$.

(A) हमें दिया गया है $(1 - 2x + 5x^2 - 10x^3)(1 + x)^n = 1 + a_1x + a_2x^2 + \dots$
द्विपद विस्तार $(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2 + \dots$ का उपयोग करने पर:
$(1 - 2x + 5x^2 - 10x^3)(1 + nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2 + \dots) = 1 + a_1x + a_2x^2 + \dots$
$x$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$a_1 = n - 2$
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$a_2 = \frac{n(n-1)}{2} - 2n + 5$
शर्त $a_1^2 = 2a_2$ का उपयोग करने पर:
$(n - 2)^2 = 2 \left( \frac{n(n-1)}{2} - 2n + 5 \right)$
$n^2 - 4n + 4 = n^2 - n - 4n + 10$
$n^2 - 4n + 4 = n^2 - 5n + 10$
$n = 6$

(B) माना $P(x) = (x-a_1)(x-a_2)\ldots(x-a_n) = x^n - S_1 x^{n-1} + S_2 x^{n-2} - \ldots + (-1)^n S_n$,जहाँ $S_k$,$a_1, a_2, \ldots, a_n$ का $k$ के समूहों में गुणनफल का योग है।
यहाँ,$n=10$ और $a_i = i$ है,जहाँ $i=1, 2, \ldots, 10$ है।
$x^8$ का गुणांक $S_2$ है,जो $1, 2, \ldots, 10$ के $2$ के समूहों में गुणनफल का योग है।
$S_2 = \sum_{1 \le i < j \le 10} ij = \frac{1}{2} [(\sum_{i=1}^{10} i)^2 - \sum_{i=1}^{10} i^2]$.
हम जानते हैं कि $\sum_{i=1}^{10} i = 55$ और $\sum_{i=1}^{10} i^2 = 385$ है।
$S_2 = \frac{1}{2} [55^2 - 385] = \frac{1}{2} [3025 - 385] = \frac{1}{2} [2640] = 1320$.

(D) दिया गया योग $(1+x)^{30}(1+x)^{20}(1+x)^{10}$ के विस्तार में $x^{10}$ का गुणांक है।
यह $(1+x)^{60}$ के विस्तार में $x^{10}$ के गुणांक के बराबर है।
द्विपद प्रमेय के अनुसार,$(1+x)^{60}$ में $x^{10}$ का गुणांक $\binom{60}{10}$ है।

(D) दी गई व्यंजक $(1 + x)^{100} + (1 + x^2)^{100}(1 + x^3)^{100}$ है।
$(1 + x)^{100}$ में पदों की संख्या $101$ है।
$(1 + x^2)^{100}(1 + x^3)^{100}$ में पदों की संख्या $301$ है।
अतः कुल पदों की संख्या $301$ है।

(B) माना $S = \sum\limits_{r = 1}^{19} \frac{{}^{20}C_{r+1}(-1)^r}{2^{2r+1}}$.
हम पद को $\frac{1}{2} \sum\limits_{r=1}^{19} {}^{20}C_{r+1} \left(-\frac{1}{4}\right)^r$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना $k = r+1$,तो $r = 1$ से $19$ तक के लिए $k = 2$ से $20$ तक होगा।
$S = \frac{1}{2} \sum\limits_{k=2}^{20} {}^{20}C_k \left(-\frac{1}{4}\right)^{k-1} = -2 \sum\limits_{k=2}^{20} {}^{20}C_k \left(-\frac{1}{4}\right)^k$.
द्विपद विस्तार $(1+x)^n = \sum\limits_{k=0}^n {}^{n}C_k x^k$ का उपयोग करते हुए,$\sum\limits_{k=2}^{20} {}^{20}C_k \left(-\frac{1}{4}\right)^k = (\frac{3}{4})^{20} - 1 + 5 = (\frac{3}{4})^{20} + 4$.
अतः,$S = -2 \left( (\frac{3}{4})^{20} + 4 \right)$.

(D) विस्तार $(1+x)^n(1+y)^n(1+z)^n = \sum_{r=0}^n {}^nC_r x^r \sum_{s=0}^n {}^nC_s y^s \sum_{t=0}^n {}^nC_t z^t = \sum_{r,s,t} ({}^nC_r {}^nC_s {}^nC_t) x^r y^s z^t$ द्वारा दिया जाता है।
$m$ घात वाले पद वे हैं जिनके लिए $r + s + t = m$ है,जहाँ $0 \le r, s, t \le n$ है।
इन पदों के गुणांकों का योग सभी गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों $r, s, t$ के लिए ${}^nC_r {}^nC_s {}^nC_t$ का योग है जहाँ $r + s + t = m$ है।
यह $(1+x)^n(1+x)^n(1+x)^n = (1+x)^{3n}$ के विस्तार में $x^m$ के गुणांक के बराबर है।
$(1+x)^{3n}$ में $x^m$ का गुणांक ${}^{3n}C_m$ है।

(D) दिया गया विस्तार $(1 - 2x + 3x^2)^{10} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \dots + a_{20}x^{20}$ है।
यहाँ,$x$ की अधिकतम घात $n = 20$ है,इसलिए कुल $n+1 = 21$ पद हैं।
गुणांकों का योग प्राप्त करने के लिए $x = 1$ रखने पर:
$a_0 + a_1 + a_2 + \dots + a_{20} = (1 - 2(1) + 3(1)^2)^{10} = (1 - 2 + 3)^{10} = 2^{10} = 1024$.
गुणांकों का समांतर माध्य $\frac{\sum_{i=0}^{20} a_i}{21} = \frac{1024}{21}$ है।

(C) हम जानते हैं कि $\sum_{r=0}^k {^kC_r} = 2^k$ होता है।
इस मान को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= ^nC_1(2^1) + ^nC_2(2^2) + ^nC_3(2^3) + \dots + ^nC_n(2^n)$.
द्विपद प्रमेय के अनुसार,$(1+x)^n = \sum_{k=0}^n {^nC_k} x^k = ^nC_0 + ^nC_1 x + ^nC_2 x^2 + \dots + ^nC_n x^n$.
$x=2$ रखने पर,$(1+2)^n = ^nC_0 + ^nC_1(2^1) + ^nC_2(2^2) + \dots + ^nC_n(2^n)$.
$3^n = 1 + [^nC_1(2^1) + ^nC_2(2^2) + \dots + ^nC_n(2^n)]$.
अतः,अभीष्ट योग $3^n - 1$ है।

(B) दी गई व्यंजक $P(x) = (2x + 1)(2x + 3)(2x + 5) \dots (2x + 99)$ है।
प्रत्येक $50$ पदों में से $2$ बाहर निकालने पर: $P(x) = 2^{50} \left(x + \frac{1}{2}\right) \left(x + \frac{3}{2}\right) \dots \left(x + \frac{99}{2}\right)$.
$x^{49}$ का गुणांक $2^{50} \times \sum_{k=1}^{50} \frac{2k-1}{2} = 2^{49} \times \sum_{k=1}^{50} (2k-1)$ होगा।
प्रथम $50$ विषम संख्याओं का योग $50^2 = 2500$ है।
अतः,गुणांक $2^{49} \times 2500$ है।

(B) दिया गया बहुपद $P(x) = (x-2^0)(x-2^1)(x-2^2) \dots (x-2^{19})$ है।
यह $(x-a_i)$ रूप के $20$ गुणनखंडों का गुणनफल है,जहाँ $i = 0, 1, 2, \dots, 19$ के लिए $a_i = 2^i$ है।
जब हम इस गुणनफल का विस्तार करते हैं,तो $x^{19}$ पद $19$ गुणनखंडों से $x$ और शेष एक गुणनखंड से अचर पद $-a_i$ चुनकर प्राप्त होता है।
अतः,$x^{19}$ का गुणांक अचर पदों का योग ऋणात्मक चिह्न के साथ है:
$x^{19}$ का गुणांक $= -(2^0 + 2^1 + 2^2 + \dots + 2^{19})$.
यह $n=20$ पदों,प्रथम पद $a=1$ और सार्व अनुपात $r=2$ वाली एक गुणोत्तर श्रेणी है।
योग $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ द्वारा दिया जाता है।
योग $= \frac{1(2^{20} - 1)}{2 - 1} = 2^{20} - 1$.
इसलिए,$x^{19}$ का गुणांक $-(2^{20} - 1)$ है।

(A) माना $f(x) = (1 + 2x + 3x^2)^6 + (1 - 4x^2)^6$ है।
हमें $(2 - x^2)f(x)$ में $x^2$ का गुणांक ज्ञात करना है।
यह $2 \times (f(x) \text{ में } x^2 \text{ का गुणांक}) - 1 \times (f(x) \text{ में अचर पद})$ के बराबर है।
सबसे पहले,$f(x)$ में अचर पद ज्ञात करें:
अचर पद $= (1 + 2(0) + 3(0)^2)^6 + (1 - 4(0)^2)^6 = 1^6 + 1^6 = 2$ है।
अब,$f(x)$ में $x^2$ का गुणांक ज्ञात करें:
$(1 + 2x + 3x^2)^6$ के लिए,द्विपद विस्तार $(1 + (2x + 3x^2))^6 = 1 + 6(2x + 3x^2) + \binom{6}{2}(2x)^2 + \dots = 1 + 12x + 18x^2 + 60x^2 + \dots = 1 + 12x + 78x^2 + \dots$ है।
$x^2$ का गुणांक $78$ है।
$(1 - 4x^2)^6$ के लिए,विस्तार $1 + 6(-4x^2) + \dots = 1 - 24x^2 + \dots$ है।
$x^2$ का गुणांक $-24$ है।
अतः,$f(x)$ में $x^2$ का गुणांक $78 - 24 = 54$ है।
अंत में,$(2 - x^2)f(x)$ में $x^2$ का गुणांक $2(54) - 1(2) = 108 - 2 = 106$ है।

(A) दी गई व्यंजक एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $A = (1 + x)^{2016},$ सार्व अनुपात $r = \frac{x}{1 + x},$ और $n = 2017$ पद हैं।
गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र $S = A \frac{1 - r^n}{1 - r}$ का उपयोग करने पर:
$S = (1 + x)^{2016} \frac{1 - (\frac{x}{1 + x})^{2017}}{1 - \frac{x}{1 + x}}$
इसे सरल करने पर $S = (1 + x)^{2017} - x^{2017}$ प्राप्त होता है।
हमें $(1 + x)^{2017} - x^{2017}$ के विस्तार में $x^{17}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
द्विपद प्रमेय के अनुसार,$(1 + x)^{2017} = \sum_{k=0}^{2017} \binom{2017}{k} x^k.$
अतः $x^{17}$ का गुणांक $\binom{2017}{17} = \frac{2017!}{17! 2000!}$ है।

(C) दी गई अभिव्यक्ति $(1 + x)^{101} (1 - x + x^2)^{100}$ है।
हम इसे $(1 + x) (1 + x)^{100} (1 - x + x^2)^{100}$ के रूप में लिख सकते हैं।
$= (1 + x) [(1 + x)(1 - x + x^2)]^{100}$।
सर्वसमिका $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$ का उपयोग करने पर,$(1 + x)(1 - x + x^2) = 1 + x^3$ प्राप्त होता है।
अतः,अभिव्यक्ति $(1 + x)(1 + x^3)^{100}$ हो जाती है।
$(1 + x^3)^{100}$ के विस्तार में $100 + 1 = 101$ पद होते हैं।
$(1 + x)$ से गुणा करने पर,$(1 + x)(1 + x^3)^{100} = (1 + x^3)^{100} + x(1 + x^3)^{100}$ प्राप्त होता है।
प्रत्येक भाग में $101$ पद हैं,और कोई भी पद समान नहीं है,इसलिए कुल पदों की संख्या $101 + 101 = 202$ है।

(D) दी गई अभिव्यक्ति एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = (1 + x)^{1000}$,सार्व अनुपात $r = \frac{x}{1 + x}$ और $n = 1001$ पद हैं।
गुणोत्तर श्रेणी के योग के सूत्र $S = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r}$ का उपयोग करने पर:
$S = \frac{(1 + x)^{1000} \left[ 1 - \left( \frac{x}{1 + x} \right)^{1001} \right]}{1 - \frac{x}{1 + x}}$
सरल करने पर,$S = (1 + x)^{1001} - x^{1001}$ प्राप्त होता है।
हमें $(1 + x)^{1001} - x^{1001}$ में $x^{50}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
अतः,$x^{50}$ का गुणांक $^{1001}C_{50} = \frac{1001!}{50!951!}$ होगा।

(A) दिया गया है $1 + x^4 + x^5 = \sum\limits_{i = 0}^5 a_i (1 + x)^i.$
माना $y = 1 + x$,तो $x = y - 1$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$1 + (y - 1)^4 + (y - 1)^5 = \sum\limits_{i = 0}^5 a_i y^i.$
द्विपद प्रमेय का उपयोग करके विस्तार करने पर:
$(y - 1)^4 = y^4 - 4y^3 + 6y^2 - 4y + 1$
$(y - 1)^5 = y^5 - 5y^4 + 10y^3 - 10y^2 + 5y - 1$
इन पदों को $1$ के साथ जोड़ने पर:
$1 + (y^4 - 4y^3 + 6y^2 - 4y + 1) + (y^5 - 5y^4 + 10y^3 - 10y^2 + 5y - 1) = y^5 - 4y^4 + 6y^3 - 4y^2 + y + 1.$
इसकी तुलना $\sum\limits_{i = 0}^5 a_i y^i = a_5 y^5 + a_4 y^4 + a_3 y^3 + a_2 y^2 + a_1 y + a_0$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a_5 = 1, a_4 = -4, a_3 = 6, a_2 = -4, a_1 = 1, a_0 = 1.$
अतः,$a_2 = -4$.

(C) $(1 - 3x)^{15}$ का विस्तार $\sum_{k=0}^{15} \binom{15}{k} (-3x)^k = 1 - 45x + 945x^2 - 12285x^3 + \dots$ है।
$x^2$ का गुणांक: $945 - 45a + b = 0 \Rightarrow 45a - b = 945$।
$x^3$ का गुणांक: $-12285 + 945a - 45b = 0 \Rightarrow 21a - b = 273$।
घटाने पर $24a = 672 \Rightarrow a = 28$ प्राप्त होता है।
$a = 28$ रखने पर $b = 315$ प्राप्त होता है।

(C) माना $f(x) = (x+\sqrt{x^{2}-1})^{6}+(x-\sqrt{x^{2}-1})^{6}$.
द्विपद विस्तार $(a+b)^n + (a-b)^n = 2[^{n}C_{0}a^n + ^{n}C_{2}a^{n-2}b^2 + ^{n}C_{4}a^{n-4}b^4 + ^{n}C_{6}a^{n-6}b^6]$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = 2[^{6}C_{0}x^{6} + ^{6}C_{2}x^{4}(x^{2}-1) + ^{6}C_{4}x^{2}(x^{2}-1)^{2} + ^{6}C_{6}(x^{2}-1)^{3}]$.
पदों का विस्तार करने पर:
$f(x) = 2[1 \cdot x^{6} + 15(x^{6}-x^{4}) + 15x^{2}(x^{4}-2x^{2}+1) + 1(x^{6}-3x^{4}+3x^{2}-1)]$.
$f(x) = 2[x^{6} + 15x^{6}-15x^{4} + 15x^{6}-30x^{4}+15x^{2} + x^{6}-3x^{4}+3x^{2}-1]$.
$f(x) = 2[32x^{6} - 48x^{4} + 18x^{2} - 1]$.
$f(x) = 64x^{6} - 96x^{4} + 36x^{2} - 2$.
गुणांकों की तुलना करने पर,$\alpha = -96$ और $\beta = 36$.
अतः,$\alpha - \beta = -96 - 36 = -132$.

(A) व्यंजक $(1+x+x^{2})^{10} = (1 + x(1+x))^{10}$ है।
द्विपद विस्तार $(1+y)^{n} = \sum_{k=0}^{n} {}^{n}C_{k} y^{k}$ का उपयोग करते हुए:
$(1+x+x^{2})^{10} = \sum_{k=0}^{10} {}^{10}C_{k} x^{k} (1+x)^{k}$।
$x^{4}$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम $x^{k} (1+x)^{k}$ के पदों पर विचार करते हैं:
$k=2$ के लिए: ${}^{10}C_{2} x^{2} (1+x)^{2} = {}^{10}C_{2} x^{2} (1 + 2x + x^{2}) = {}^{10}C_{2} x^{2} + 2({}^{10}C_{2}) x^{3} + {}^{10}C_{2} x^{4}$। गुणांक ${}^{10}C_{2} = 45$ है।
$k=3$ के लिए: ${}^{10}C_{3} x^{3} (1+x)^{3} = {}^{10}C_{3} x^{3} (1 + 3x + \dots) = {}^{10}C_{3} x^{3} + 3({}^{10}C_{3}) x^{4} + \dots$। गुणांक $3 \times {}^{10}C_{3} = 3 \times 120 = 360$ है।
$k=4$ के लिए: ${}^{10}C_{4} x^{4} (1+x)^{4} = {}^{10}C_{4} x^{4} (1 + \dots) = {}^{10}C_{4} x^{4} + \dots$। गुणांक ${}^{10}C_{4} = 210$ है।
$x^{4}$ का कुल गुणांक $= 45 + 360 + 210 = 615$।

द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(a+b)^n$ का विस्तार $\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a^{n-k} b^k$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a = x^2$,$b = \frac{3}{x}$,और $n = 4$ है।
$\left(x^2 + \frac{3}{x}\right)^4 = {^4C_0}(x^2)^4 + {^4C_1}(x^2)^3\left(\frac{3}{x}\right) + {^4C_2}(x^2)^2\left(\frac{3}{x}\right)^2 + {^4C_3}(x^2)\left(\frac{3}{x}\right)^3 + {^4C_4}\left(\frac{3}{x}\right)^4$
$= 1 \cdot x^8 + 4 \cdot x^6 \cdot \frac{3}{x} + 6 \cdot x^4 \cdot \frac{9}{x^2} + 4 \cdot x^2 \cdot \frac{27}{x^3} + 1 \cdot \frac{81}{x^4}$
$= x^8 + 12x^5 + 54x^2 + \frac{108}{x} + \frac{81}{x^4}$

(A) हम $98$ को $(100-2)$ के रूप में व्यक्त करते हैं और द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हैं: $(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} y^k$.
$(100-2)^5 = \binom{5}{0}(100)^5 - \binom{5}{1}(100)^4(2) + \binom{5}{2}(100)^3(2^2) - \binom{5}{3}(100)^2(2^3) + \binom{5}{4}(100)(2^4) - \binom{5}{5}(2^5)$.
$= 1 \times 10000000000 - 5 \times 100000000 \times 2 + 10 \times 1000000 \times 4 - 10 \times 10000 \times 8 + 5 \times 100 \times 16 - 1 \times 32$.
$= 10000000000 - 1000000000 + 40000000 - 800000 + 8000 - 32$.
$= 9039207968$.

हम $(1.01)^{1000000}$ को $(1 + 0.01)^{1000000}$ के रूप में लिख सकते हैं।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,इसका विस्तार इस प्रकार है:
$(1 + 0.01)^{1000000} = \binom{1000000}{0} + \binom{1000000}{1}(0.01) + \binom{1000000}{2}(0.01)^2 + \dots + (0.01)^{1000000}$.
पहले दो पदों पर विचार करने पर:
$= 1 + (1000000 \times 0.01) + \text{अन्य धनात्मक पद}$.
$= 1 + 10000 + \text{अन्य धनात्मक पद}$.
$= 10001 + \text{अन्य धनात्मक पद}$.
चूंकि विस्तार के सभी पद धनात्मक हैं,यह स्पष्ट है कि $10001 + \text{अन्य धनात्मक पद} > 10000$.
अतः,$(1.01)^{1000000} > 10000$.

द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(a+b)^{n}$ का विस्तार $\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} a^{n-k} b^{k}$ द्वारा दिया जाता है।
व्यंजक $(1-2x)^{5}$ के लिए,$a=1$,$b=-2x$,और $n=5$ है।
$(1-2x)^{5} = {5 \choose 0}(1)^{5} + {5 \choose 1}(1)^{4}(-2x) + {5 \choose 2}(1)^{3}(-2x)^{2} + {5 \choose 3}(1)^{2}(-2x)^{3} + {5 \choose 4}(1)^{1}(-2x)^{4} + {5 \choose 5}(-2x)^{5}$
$= 1(1) + 5(-2x) + 10(4x^{2}) + 10(-8x^{3}) + 5(16x^{4}) + 1(-32x^{5})$
$= 1 - 10x + 40x^{2} - 80x^{3} + 80x^{4} - 32x^{5}$

द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\left(\frac{2}{x}-\frac{x}{2}\right)^{5}$ का विस्तार इस प्रकार है:
$\left(\frac{2}{x}-\frac{x}{2}\right)^{5} = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} \left(\frac{2}{x}\right)^{5-k} \left(-\frac{x}{2}\right)^{k}$
$= \binom{5}{0}\left(\frac{2}{x}\right)^{5} - \binom{5}{1}\left(\frac{2}{x}\right)^{4}\left(\frac{x}{2}\right) + \binom{5}{2}\left(\frac{2}{x}\right)^{3}\left(\frac{x}{2}\right)^{2} - \binom{5}{3}\left(\frac{2}{x}\right)^{2}\left(\frac{x}{2}\right)^{3} + \binom{5}{4}\left(\frac{2}{x}\right)\left(\frac{x}{2}\right)^{4} - \binom{5}{5}\left(\frac{x}{2}\right)^{5}$
$= 1 \cdot \frac{32}{x^{5}} - 5 \cdot \frac{16}{x^{4}} \cdot \frac{x}{2} + 10 \cdot \frac{8}{x^{3}} \cdot \frac{x^{2}}{4} - 10 \cdot \frac{4}{x^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{8} + 5 \cdot \frac{2}{x} \cdot \frac{x^{4}}{16} - 1 \cdot \frac{x^{5}}{32}$
$= \frac{32}{x^{5}} - \frac{40}{x^{3}} + \frac{20}{x} - 5x + \frac{5x^{3}}{8} - \frac{x^{5}}{32}$

द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(a + b)^n$ का विस्तार $\sum_{k=0}^{n} {^nC_k} a^{n-k} b^k$ द्वारा दिया जाता है।
व्यंजक $(2x - 3)^6$ के लिए,$a = 2x$,$b = -3$,और $n = 6$ है।
$(2x - 3)^6 = {^6C_0}(2x)^6(-3)^0 + {^6C_1}(2x)^5(-3)^1 + {^6C_2}(2x)^4(-3)^2 + {^6C_3}(2x)^3(-3)^3 + {^6C_4}(2x)^2(-3)^4 + {^6C_5}(2x)^1(-3)^5 + {^6C_6}(2x)^0(-3)^6$
$= 1(64x^6)(1) + 6(32x^5)(-3) + 15(16x^4)(9) + 20(8x^3)(-27) + 15(4x^2)(81) + 6(2x)(-243) + 1(1)(729)$
$= 64x^6 - 576x^5 + 2160x^4 - 4320x^3 + 4860x^2 - 2916x + 729$.

द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,व्यंजक $\left(\frac{x}{3}+\frac{1}{x}\right)^{5}$ का विस्तार इस प्रकार किया जा सकता है:
$\left(\frac{x}{3}+\frac{1}{x}\right)^{5} = {}^{5}C_{0}\left(\frac{x}{3}\right)^{5} + {}^{5}C_{1}\left(\frac{x}{3}\right)^{4}\left(\frac{1}{x}\right) + {}^{5}C_{2}\left(\frac{x}{3}\right)^{3}\left(\frac{1}{x}\right)^{2} + {}^{5}C_{3}\left(\frac{x}{3}\right)^{2}\left(\frac{1}{x}\right)^{3} + {}^{5}C_{4}\left(\frac{x}{3}\right)\left(\frac{1}{x}\right)^{4} + {}^{5}C_{5}\left(\frac{1}{x}\right)^{5}$
$= 1 \cdot \frac{x^{5}}{243} + 5 \cdot \frac{x^{4}}{81} \cdot \frac{1}{x} + 10 \cdot \frac{x^{3}}{27} \cdot \frac{1}{x^{2}} + 10 \cdot \frac{x^{2}}{9} \cdot \frac{1}{x^{3}} + 5 \cdot \frac{x}{3} \cdot \frac{1}{x^{4}} + 1 \cdot \frac{1}{x^{5}}$
$= \frac{x^{5}}{243} + \frac{5x^{3}}{81} + \frac{10x}{27} + \frac{10}{9x} + \frac{5}{3x^{3}} + \frac{1}{x^{5}}$

द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\left(x+\frac{1}{x}\right)^{6}$ का विस्तार इस प्रकार है:
$\left(x+\frac{1}{x}\right)^{6} = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} x^{6-k} \left(\frac{1}{x}\right)^{k}$
$= \binom{6}{0}x^{6} + \binom{6}{1}x^{5}\left(\frac{1}{x}\right) + \binom{6}{2}x^{4}\left(\frac{1}{x^{2}}\right) + \binom{6}{3}x^{3}\left(\frac{1}{x^{3}}\right) + \binom{6}{4}x^{2}\left(\frac{1}{x^{4}}\right) + \binom{6}{5}x\left(\frac{1}{x^{5}}\right) + \binom{6}{6}\left(\frac{1}{x^{6}}\right)$
$= 1 \cdot x^{6} + 6 \cdot x^{4} + 15 \cdot x^{2} + 20 \cdot 1 + 15 \cdot \frac{1}{x^{2}} + 6 \cdot \frac{1}{x^{4}} + 1 \cdot \frac{1}{x^{6}}$
$= x^{6} + 6x^{4} + 15x^{2} + 20 + \frac{15}{x^{2}} + \frac{6}{x^{4}} + \frac{1}{x^{6}}$

(A) $96$ को दो ऐसी संख्याओं के अंतर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जिनकी घातों की गणना करना आसान है,और फिर द्विपद प्रमेय लागू किया जा सकता है।
इसे $96 = 100 - 4$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$(96)^{3} = (100 - 4)^{3}$.
द्विपद प्रमेय सूत्र $(a - b)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} (-b)^{k}$ का उपयोग करने पर:
$(100 - 4)^{3} = \binom{3}{0}(100)^{3} - \binom{3}{1}(100)^{2}(4) + \binom{3}{2}(100)(4)^{2} - \binom{3}{3}(4)^{3}$
$= (1)(1000000) - 3(10000)(4) + 3(100)(16) - (1)(64)$
$= 1000000 - 120000 + 4800 - 64$
$= 880000 + 4800 - 64$
$= 884800 - 64$
$= 884736$

(A) हम $102$ को $(100 + 2)$ के रूप में लिख सकते हैं।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} {\binom{n}{k}} a^{n-k} b^k$.
यहाँ,$a = 100$,$b = 2$,और $n = 5$ है।
$(100 + 2)^5 = \binom{5}{0}(100)^5 + \binom{5}{1}(100)^4(2) + \binom{5}{2}(100)^3(2)^2 + \binom{5}{3}(100)^2(2)^3 + \binom{5}{4}(100)(2)^4 + \binom{5}{5}(2)^5$.
$= 1(10000000000) + 5(100000000)(2) + 10(1000000)(4) + 10(10000)(8) + 5(100)(16) + 1(32)$.
$= 10000000000 + 1000000000 + 40000000 + 800000 + 8000 + 32$.
$= 11040808032$.

(A) हम $101$ को $(100 + 1)$ के रूप में लिख सकते हैं।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$.
यहाँ,$a = 100$,$b = 1$,और $n = 4$ है।
$(100 + 1)^4 = \binom{4}{0}(100)^4 + \binom{4}{1}(100)^3(1) + \binom{4}{2}(100)^2(1)^2 + \binom{4}{3}(100)(1)^3 + \binom{4}{4}(1)^4$
$= 1 \times 100000000 + 4 \times 1000000 + 6 \times 10000 + 4 \times 100 + 1$
$= 100000000 + 4000000 + 60000 + 400 + 1$
$= 104060401$

(A) हम $99$ को $(100 - 1)$ के रूप में लिख सकते हैं।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(a - b)^{n} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} (-b)^{k}$.
$(99)^{5} = (100 - 1)^{5} = \binom{5}{0}(100)^{5} - \binom{5}{1}(100)^{4} + \binom{5}{2}(100)^{3} - \binom{5}{3}(100)^{2} + \binom{5}{4}(100)^{1} - \binom{5}{5}(1)^{5}$.
$= 1(10000000000) - 5(100000000) + 10(1000000) - 10(10000) + 5(100) - 1$.
$= 10000000000 - 500000000 + 10000000 - 100000 + 500 - 1$.
$= 9500000000 + 9900000 + 499$.
$= 9509900499$.

(A) द्विपद प्रमेय का उपयोग करके,हम $(1.1)^{10000}$ का विस्तार इस प्रकार करते हैं:
$(1.1)^{10000} = (1 + 0.1)^{10000}$
$= {^{10000}}C_0 (1)^{10000} + {^{10000}}C_1 (1)^{9999} (0.1) + \text{अन्य धनात्मक पद}$
$= 1 + 10000 \times 0.1 + \text{अन्य धनात्मक पद}$
$= 1 + 1000 + \text{अन्य धनात्मक पद}$
$= 1001 + \text{अन्य धनात्मक पद}$
चूंकि विस्तार के सभी पद धनात्मक हैं,यह स्पष्ट है कि $1001 + \text{अन्य धनात्मक पद} > 1000$।
अतः,$(1.1)^{10000} > 1000$।

(A) द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,विस्तार इस प्रकार है:
$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$
$(a-b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$
दोनों व्यंजकों को घटाने पर:
$(a+b)^4 - (a-b)^4 = 8a^3b + 8ab^3 = 8ab(a^2 + b^2)$
अब,$a = \sqrt{3}$ और $b = \sqrt{2}$ रखने पर:
$8(\sqrt{3})(\sqrt{2})((\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2) = 8\sqrt{6}(3 + 2) = 8\sqrt{6}(5) = 40\sqrt{6}$.

(A) द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$(x+1)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} x^{6-k} = \binom{6}{0}x^6 + \binom{6}{1}x^5 + \binom{6}{2}x^4 + \binom{6}{3}x^3 + \binom{6}{4}x^2 + \binom{6}{5}x + \binom{6}{6}$
$(x-1)^6 = \sum_{k=0}^{6} \binom{6}{k} x^{6-k} (-1)^k = \binom{6}{0}x^6 - \binom{6}{1}x^5 + \binom{6}{2}x^4 - \binom{6}{3}x^3 + \binom{6}{4}x^2 - \binom{6}{5}x + \binom{6}{6}$
इन दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर,विषम घात वाले पद कट जाएंगे:
$(x+1)^6 + (x-1)^6 = 2[\binom{6}{0}x^6 + \binom{6}{2}x^4 + \binom{6}{4}x^2 + \binom{6}{6}]$
$= 2[1 \cdot x^6 + 15 \cdot x^4 + 15 \cdot x^2 + 1]$
अब,$x = \sqrt{2}$ रखने पर:
$(\sqrt{2}+1)^6 + (\sqrt{2}-1)^6 = 2[(\sqrt{2})^6 + 15(\sqrt{2})^4 + 15(\sqrt{2})^2 + 1]$
$= 2[8 + 15(4) + 15(2) + 1]$
$= 2[8 + 60 + 30 + 1]$
$= 2[99] = 198$

(N/A) द्विपद प्रमेय (Binomial Theorem) के अनुसार,हमारे पास विस्तार है:
$\sum\limits_{r = 0}^n {^nC_r a^{n - r} b^r} = (a + b)^n$
उपरोक्त समीकरण में $a = 1$ और $b = 3$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sum\limits_{r = 0}^n {^nC_r (1)^{n - r} (3)^r} = (1 + 3)^n$
चूंकि $(1)^{n - r} = 1$,इसलिए व्यंजक सरल होकर निम्न रूप लेता है:
$\sum\limits_{r = 0}^n {3^r \,^nC_r} = 4^n$
अतः,सर्वसमिका सिद्ध हुई।

(A) $(a+b)^{n}$ के द्विपद विस्तार में $(r+1)^{th}$ पद $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} a^{n-r} b^{r}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रथम तीन पद:
$T_{1} = a^{n} = 729$ $(1)$
$T_{2} = n a^{n-1} b = 7290$ $(2)$
$T_{3} = \frac{n(n-1)}{2} a^{n-2} b^{2} = 30375$ $(3)$
$(2)$ को $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{n b}{a} = 10$ $(4)$
$(3)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{(n-1) b}{2 a} = \frac{25}{6} \Rightarrow \frac{(n-1) b}{a} = \frac{25}{3}$ $(5)$
$(4)$ और $(5)$ का उपयोग करने पर:
$n=6, a=3, b=5$ प्राप्त होता है।

(A) द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,विस्तार इस प्रकार हैं:
$(1+2x)^{6} = 1 + 12x + 60x^2 + 160x^3 + 240x^4 + 192x^5 + 64x^6$
$(1-x)^{7} = 1 - 7x + 21x^2 - 35x^3 + 35x^4 - 21x^5 + 7x^6 - x^7$
गुणनफल में $x^5$ का गुणांक ज्ञात करने के लिए,हम उन पदों को गुणा करते हैं जिनके घातों का योग $5$ है:
$1 \times (-21x^5) = -21x^5$
$(12x) \times (35x^4) = 420x^5$
$(60x^2) \times (-35x^3) = -2100x^5$
$(160x^3) \times (21x^2) = 3360x^5$
$(240x^4) \times (-7x) = -1680x^5$
$(192x^5) \times (1) = 192x^5$
गुणांकों का योग: $-21 + 420 - 2100 + 3360 - 1680 + 192 = 171$
अतः,$x^5$ का गुणांक $171$ है।

(N/A) यह सिद्ध करने के लिए कि $(a-b)$,$(a^{n}-b^{n})$ का एक गुणनखंड है,हमें यह दिखाना होगा कि $a^{n}-b^{n} = k(a-b)$,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
हम $a$ को $(a-b)+b$ के रूप में लिख सकते हैं।
इसलिए,$a^{n} = ((a-b)+b)^{n}$.
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$a^{n} = \sum_{r=0}^{n} {^{n}C_{r}} (a-b)^{n-r} b^{r}$.
इसका विस्तार करने पर,$a^{n} = {^{n}C_{0}}(a-b)^{n} + {^{n}C_{1}}(a-b)^{n-1}b + \dots + {^{n}C_{n-1}}(a-b)b^{n-1} + {^{n}C_{n}}b^{n}$.
चूँकि ${^{n}C_{0}} = 1$ और ${^{n}C_{n}} = 1$,हमारे पास $a^{n} = (a-b)^{n} + {^{n}C_{1}}(a-b)^{n-1}b + \dots + {^{n}C_{n-1}}(a-b)b^{n-1} + b^{n}$ है।
दोनों पक्षों से $b^{n}$ घटाने पर,$a^{n}-b^{n} = (a-b)^{n} + {^{n}C_{1}}(a-b)^{n-1}b + \dots + {^{n}C_{n-1}}(a-b)b^{n-1}$.
$(a-b)$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें $a^{n}-b^{n} = (a-b) [ (a-b)^{n-1} + {^{n}C_{1}}(a-b)^{n-2}b + \dots + {^{n}C_{n-1}}b^{n-1} ]$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $k = [ (a-b)^{n-1} + {^{n}C_{1}}(a-b)^{n-2}b + \dots + {^{n}C_{n-1}}b^{n-1} ]$,जो एक पूर्णांक है।
अतः,$a^{n}-b^{n} = k(a-b)$,जो सिद्ध करता है कि $(a-b)$,किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $a^{n}-b^{n}$ का एक गुणनखंड है।

(A) माना $a = \sqrt{3}$ और $b = \sqrt{2}$ है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करने पर:
$(a+b)^6 - (a-b)^6 = 2 [\binom{6}{1} a^5 b + \binom{6}{3} a^3 b^3 + \binom{6}{5} a b^5]$
$= 2 [6 a^5 b + 20 a^3 b^3 + 6 a b^5]$
$a = \sqrt{3}$ और $b = \sqrt{2}$ रखने पर:
$= 2 [6(9\sqrt{3})(\sqrt{2}) + 20(3\sqrt{3})(2\sqrt{2}) + 6(\sqrt{3})(4\sqrt{2})]$
$= 2 [54\sqrt{6} + 120\sqrt{6} + 24\sqrt{6}]$
$= 2 [198\sqrt{6}]$
$= 396\sqrt{6}$

(A) माना $x = a^{2}$ और $y = \sqrt{a^{2}-1}$ है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $(x+y)^{4} + (x-y)^{4} = 2(x^{4} + 6x^{2}y^{2} + y^{4})$ होता है।
$x$ और $y$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$= 2[(a^{2})^{4} + 6(a^{2})^{2}(\sqrt{a^{2}-1})^{2} + (\sqrt{a^{2}-1})^{4}]$
$= 2[a^{8} + 6a^{4}(a^{2}-1) + (a^{2}-1)^{2}]$
$= 2[a^{8} + 6a^{6} - 6a^{4} + (a^{4} - 2a^{2} + 1)]$
$= 2[a^{8} + 6a^{6} - 5a^{4} - 2a^{2} + 1]$
$= 2a^{8} + 12a^{6} - 10a^{4} - 4a^{2} + 2$.

(A) हम $0.99 = 1 - 0.01$ लिख सकते हैं।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(1 - x)^n = {^nC_0} - {^nC_1}x + {^nC_2}x^2 - \dots$
$(1 - 0.01)^5$ के लिए,पहले तीन पद हैं:
$(1 - 0.01)^5 \approx {^5C_0}(1)^5 - {^5C_1}(1)^4(0.01) + {^5C_2}(1)^3(0.01)^2$
$= 1 - 5(0.01) + 10(0.0001)$
$= 1 - 0.05 + 0.001$
$= 0.95 + 0.001 = 0.951$
अतः,सन्निकट मान $0.951$ है।

माना $a = 1 + \frac{x}{2}$ और $b = \frac{2}{x}$ है। तब व्यंजक $(a - b)^4$ है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(a - b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$ है।
$a$ और $b$ का मान रखने पर:
$= (1 + \frac{x}{2})^4 - 4(1 + \frac{x}{2})^3(\frac{2}{x}) + 6(1 + \frac{x}{2})^2(\frac{2}{x})^2 - 4(1 + \frac{x}{2})(\frac{2}{x})^3 + (\frac{2}{x})^4$
$= (1 + \frac{x}{2})^4 - \frac{8}{x}(1 + \frac{x}{2})^3 + \frac{24}{x^2}(1 + x + \frac{x^2}{4}) - \frac{32}{x^3}(1 + \frac{x}{2}) + \frac{16}{x^4}$
$= (1 + \frac{x}{2})^4 - \frac{8}{x}(1 + \frac{x}{2})^3 + \frac{24}{x^2} + \frac{24}{x} + 6 - \frac{32}{x^3} - \frac{16}{x^2} + \frac{16}{x^4}$
$= (1 + \frac{x}{2})^4 - \frac{8}{x}(1 + \frac{x}{2})^3 + \frac{8}{x^2} + \frac{24}{x} + 6 - \frac{32}{x^3} + \frac{16}{x^4} \quad \dots(1)$
$(1 + \frac{x}{2})^4 = 1 + 4(\frac{x}{2}) + 6(\frac{x^2}{4}) + 4(\frac{x^3}{8}) + \frac{x^4}{16} = 1 + 2x + \frac{3x^2}{2} + \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{16} \quad \dots(2)$
$(1 + \frac{x}{2})^3 = 1 + 3(\frac{x}{2}) + 3(\frac{x^2}{4}) + \frac{x^3}{8} = 1 + \frac{3x}{2} + \frac{3x^2}{4} + \frac{x^3}{8} \quad \dots(3)$
$(2)$ और $(3)$ को $(1)$ में रखने पर:
$= (1 + 2x + \frac{3x^2}{2} + \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{16}) - \frac{8}{x}(1 + \frac{3x}{2} + \frac{3x^2}{4} + \frac{x^3}{8}) + \frac{8}{x^2} + \frac{24}{x} + 6 - \frac{32}{x^3} + \frac{16}{x^4}$
$= 1 + 2x + \frac{3x^2}{2} + \frac{x^3}{2} + \frac{x^4}{16} - \frac{8}{x} - 12 - 6x - x^2 + \frac{8}{x^2} + \frac{24}{x} + 6 - \frac{32}{x^3} + \frac{16}{x^4}$
$= \frac{16}{x^4} - \frac{32}{x^3} + \frac{8}{x^2} + \frac{16}{x} + \frac{x^4}{16} + \frac{x^3}{2} + \frac{x^2}{2} - 4x - 5$.

(A) द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,दिए गए व्यंजक $(3 x^{2}-2 a x+3 a^{2})^{3}$ का विस्तार इस प्रकार किया जा सकता है:
$[(3 x^{2}-2 a x)+3 a^{2}]^{3}$
$= {^3}C_0(3 x^{2}-2 a x)^{3} + {^3}C_1(3 x^{2}-2 a x)^{2}(3 a^{2}) + {^3}C_2(3 x^{2}-2 a x)(3 a^{2})^{2} + {^3}C_3(3 a^{2})^{3}$
$= (3 x^{2}-2 a x)^{3} + 3(9 x^{4}-12 a x^{3}+4 a^{2} x^{2})(3 a^{2}) + 3(3 x^{2}-2 a x)(9 a^{4}) + 27 a^{6}$
$= (3 x^{2}-2 a x)^{3} + 81 a^{2} x^{4}-108 a^{3} x^{3}+36 a^{4} x^{2} + 81 a^{4} x^{2}-54 a^{5} x + 27 a^{6}$
$= (3 x^{2}-2 a x)^{3} + 81 a^{2} x^{4}-108 a^{3} x^{3}+117 a^{4} x^{2}-54 a^{5} x + 27 a^{6} \quad \dots(1)$
अब,द्विपद प्रमेय का उपयोग करके $(3 x^{2}-2 a x)^{3}$ का विस्तार करने पर:
$(3 x^{2}-2 a x)^{3} = (3 x^{2})^{3} - 3(3 x^{2})^{2}(2 a x) + 3(3 x^{2})(2 a x)^{2} - (2 a x)^{3}$
$= 27 x^{6} - 54 a x^{5} + 36 a^{2} x^{4} - 8 a^{3} x^{3} \quad \dots(2)$
$(2)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$= 27 x^{6} - 54 a x^{5} + 117 a^{2} x^{4} - 116 a^{3} x^{3} + 117 a^{4} x^{2} - 54 a^{5} x + 27 a^{6}$

(D) माध्य $\text{Mean} = \frac{\sum_{i=0}^{n} x_i f_i}{\sum_{i=0}^{n} f_i}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$x_i = 2^i$ और $f_i = {}^nC_i$ है।
अतः,$\text{Mean} = \frac{\sum_{i=0}^{n} 2^i {}^nC_i}{\sum_{i=0}^{n} {}^nC_i}$.
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$\sum_{i=0}^{n} {}^nC_i = (1+1)^n = 2^n$.
साथ ही,$\sum_{i=0}^{n} 2^i {}^nC_i = (1+2)^n = 3^n$.
अतः,$\text{Mean} = \frac{3^n}{2^n}$.
दिया गया है कि $\text{Mean} = \frac{728}{2^n}$,इसलिए $\frac{3^n - 1}{2^n} = \frac{728}{2^n}$ (क्योंकि $x=0$ के लिए $2^0=1$ और $f_0={}^nC_0=1$ है)।
इससे $3^n - 1 = 728$,अर्थात $3^n = 729$ प्राप्त होता है।
चूँकि $3^6 = 729$,इसलिए $n = 6$।

(A) हमें $\frac{3^{200}}{8}$ का भिन्नात्मक भाग ज्ञात करना है।
$\frac{3^{200}}{8} = \frac{(3^2)^{100}}{8} = \frac{9^{100}}{8}$.
हम $9$ को $(1 + 8)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$\frac{9^{100}}{8} = \frac{(1 + 8)^{100}}{8}$.
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$(1 + 8)^{100} = 1 + \binom{100}{1}8 + \binom{100}{2}8^2 + \dots + \binom{100}{100}8^{100}$.
इसे $8$ से विभाजित करने पर,$\frac{(1 + 8)^{100}}{8} = \frac{1}{8} + \binom{100}{1} + \binom{100}{2}8 + \dots + \binom{100}{100}8^{99}$.
चूंकि $\binom{100}{1} + \binom{100}{2}8 + \dots + \binom{100}{100}8^{99}$ एक पूर्णांक है,मान लीजिए यह $k$ है।
तब $\frac{3^{200}}{8} = k + \frac{1}{8}$.
भिन्नात्मक भाग $\{ p \}$ की परिभाषा के अनुसार,$\left\{\frac{3^{200}}{8}\right\} = \left\{ k + \frac{1}{8} \right\} = \frac{1}{8}$.

(C) हम जानते हैं कि $\sum_{k=0}^{n} {}^{n}C_{k} x^{k} = (1+x)^{n}$.
दिया गया है $A = \sum_{k=0}^{n} {}^{n}C_{k} \left[ (-\frac{1}{2})^{k} + (-\frac{3}{4})^{k} + (-\frac{7}{8})^{k} + (-\frac{15}{16})^{k} + (-\frac{31}{32})^{k} \right]$.
द्विपद विस्तार का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A = (1 - \frac{1}{2})^{n} + (1 - \frac{3}{4})^{n} + (1 - \frac{7}{8})^{n} + (1 - \frac{15}{16})^{n} + (1 - \frac{31}{32})^{n}$.
$A = (\frac{1}{2})^{n} + (\frac{1}{4})^{n} + (\frac{1}{8})^{n} + (\frac{1}{16})^{n} + (\frac{1}{32})^{n}$.
$A = \frac{1}{2^{n}} + \frac{1}{2^{2n}} + \frac{1}{2^{3n}} + \frac{1}{2^{4n}} + \frac{1}{2^{5n}}$.
यह $5$ पदों के लिए $a = \frac{1}{2^{n}}$ और $r = \frac{1}{2^{n}}$ वाली एक गुणोत्तर श्रेणी है।
$A = \frac{1}{2^{n}} \left( \frac{1 - (\frac{1}{2^{n}})^{5}}{1 - \frac{1}{2^{n}}} \right) = \frac{1 - \frac{1}{2^{5n}}}{2^{n}-1}$.
अतः,$(2^{n}-1)A = 1 - \frac{1}{2^{5n}}$.
दिए गए $63A = 1 - \frac{1}{2^{30}}$ से तुलना करने पर,$2^{n}-1 = 63$ और $5n = 30$.
$2^{n} = 64 \Rightarrow n = 6$ और $5n = 30 \Rightarrow n = 6$.
इसलिए,$n = 6$.

(C) हमें $3 \times 7^{22} + 2 \times 10^{22} - 44$ को $18$ से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करना है।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$3(1+6)^{22} + 2(1+9)^{22} - 44 \equiv 3(1 + 22 \times 6) + 2(1 + 22 \times 9) - 44 \pmod{18}$
$\equiv 3(1 + 132) + 2(1 + 198) - 44 \pmod{18}$
$\equiv 3(7) + 2(1) - 44 \pmod{18}$
$\equiv 21 + 2 - 44 \pmod{18}$
$\equiv 23 - 44 \pmod{18}$
$\equiv -21 \pmod{18}$
$\equiv 15 \pmod{18}$.
अतः,शेषफल $15$ है।