5 सेब,10 आम और 15 संतरे में से,15 फलों को दो | vedclass

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Question

(A) $15$ फलों को वितरित करने के तरीकों की संख्या प्रत्येक फल के प्रकार के लिए जनरेटिंग फ़ंक्शन के गुणनफल के विस्तार में $x^{15}$ का गुणांक है।सेब के ल

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$66$

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(A) $15$ फलों को वितरित करने के तरीकों की संख्या प्रत्येक फल के प्रकार के लिए जनरेटिंग फ़ंक्शन के गुणनफल के विस्तार में $x^{15}$ का गुणांक है।सेब के लिए: $(1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5) = \frac{1-x^6}{1-x}$आम के लिए: $(1 + x + x^2 + \dots + x^{10}) = \frac{1-x^{11}}{1-x}$संतरे के लिए: $(1 + x + x^2 + \dots + x^{15}) = \frac{1-x^{16}}{1-x}$जनरेटिंग फ़ंक्शन $f(x) = \frac{(1-x^6)(1-x^{11})(1-x^{16})}{(1-x)^3} = (1 - x^6 - x^{11} - x^{16} + x^{17} + x^{21} + x^{22} - x^{33})(1-x)^{-3}$ है।द्विपद विस्तार $(1-x)^{-3} = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{n+2}{2} x^n$ का उपयोग करते हुए,हमें $x^{15}$ का गुणांक प्राप्त होता है:$= \binom{15+2}{2} - \binom{9+2}{2} - \binom{4+2}{2} = \binom{17}{2} - \binom{11}{2} - \binom{6}{2}$$= \frac{17 	imes 16}{2} - \frac{11 	imes 10}{2} - \frac{6 	imes 5}{2} = 136 - 55 - 15 = 66$.अतः,वितरण के कुल तरीके $66$ हैं।

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