Divisibility problems Questions in Gujarati

(D) આપણે $64^{32^{32}}$ ને $9$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે.
પ્રથમ,નોંધો કે $64 = 9 \times 7 + 1$,તેથી $64 \equiv 1 \pmod{9}$.
મોડ્યુલર અંકગણિતના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,જો $a \equiv b \pmod{m}$ હોય તો $a^n \equiv b^n \pmod{m}$.
તેથી,$64^{32^{32}} \equiv 1^{32^{32}} \pmod{9}$.
કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક ઘાત માટે $1$ ની ઘાત $1$ જ રહે છે,તેથી $1^{32^{32}} = 1$.
આમ,$64^{32^{32}} \equiv 1 \pmod{9}$.
શેષ $1$ છે.

(A) જ્યારે $428^{2024}$ ને $21$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે મળતી શેષ શોધવી છે.
પ્રથમ,$428$ ને $21$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવો:
$428 = 21 \times 20 + 8$.
તેથી,$428^{2024} = (21 \times 20 + 8)^{2024}$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(21 \times 20 + 8)^{2024} = 21k + 8^{2024}$ જ્યાં $k$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
હવે,$8^{2024}$ ને $21$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધીએ:
$8^{2024} = (8^2)^{1012} = 64^{1012}$.
કારણ કે $64 = 21 \times 3 + 1$,તેથી $64 \equiv 1 \pmod{21}$.
તેથી,$64^{1012} \equiv 1^{1012} \pmod{21}$.
$64^{1012} \equiv 1 \pmod{21}$.
આમ,શેષ $1$ છે.

(A) આપણે $7^{103} \pmod{23}$ શોધવાની જરૂર છે.
ફર્માના નાના પ્રમેય મુજબ,$23$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે અને $\gcd(7, 23) = 1$ હોવાથી,$7^{22} \equiv 1 \pmod{23}$ થાય.
હવે,ઘાત $103$ ને $22$ વડે ભાગતા: $103 = 22 \times 4 + 15$.
તેથી,$7^{103} = (7^{22})^4 \times 7^{15} \equiv 1^4 \times 7^{15} \equiv 7^{15} \pmod{23}$.
$7$ ની ઘાત $\pmod{23}$ ગણતા:
$7^1 \equiv 7 \pmod{23}$
$7^2 = 49 \equiv 3 \pmod{23}$
$7^3 = 7 \times 3 = 21 \equiv -2 \pmod{23}$
$7^6 = (-2)^2 = 4 \pmod{23}$
$7^{12} = 4^2 = 16 \equiv -7 \pmod{23}$
$7^{15} = 7^{12} \times 7^3 \equiv (-7) \times (-2) = 14 \pmod{23}$.
આમ,શેષ $14$ મળે છે.

(B) ધારો કે $N = ((64)^{64})^{64}$.
$N = (64)^{64 \times 64} = (64)^{4096}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $64 = 7 \times 9 + 1$,તેથી $64 \equiv 1 \pmod{7}$.
તેથી,$N = (64)^{4096} \equiv (1)^{4096} \pmod{7}$.
$N \equiv 1 \pmod{7}$.
આમ,જ્યારે $N$ ને $7$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ $1$ મળે છે.

(D) આપણે $(1919)^{1919}$ ના છેલ્લા બે અંકો શોધવાની જરૂર છે.
આ $(1919)^{1919} \pmod{100}$ શોધવા સમાન છે.
$(1919)^{1919} \equiv (19)^{1919} \pmod{100}$.
$19^2 = 361 \equiv 61 \pmod{100}$ હોવાથી,$19^4 = (61)^2 = 3721 \equiv 21 \pmod{100}$.
$19^8 = (21)^2 = 441 \equiv 41 \pmod{100}$.
$19^{10} = 19^8 \times 19^2 = 41 \times 61 = 2501 \equiv 01 \pmod{100}$.
આમ,$(19)^{10} \equiv 1 \pmod{100}$.
હવે,$19^{1919} = (19^{10})^{191} \times 19^9 \equiv 1^{191} \times 19^9 \pmod{100}$.
$19^9 = 19^8 \times 19 = 41 \times 19 = 779 \equiv 79 \pmod{100}$.
છેલ્લા બે અંકો $79$ છે.
છેલ્લા બે અંકોનો ગુણાકાર $7 \times 9 = 63$ છે.

(B) આપેલ વિધાન $P(n):$ " $2^{2n}-1$ એ તમામ $n \in N$ માટે $k$ વડે વિભાજ્ય છે ".
આપણે $2^{2n}-1$ ને $(2^2)^n - 1 = 4^n - 1$ તરીકે લખી શકીએ.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$4^n - 1 = (3+1)^n - 1$.
$(3+1)^n$ નું વિસ્તરણ કરતા: $(3+1)^n = 1 + n(3) + \frac{n(n-1)}{2}(3^2) + \dots + 3^n$.
તેથી,$4^n - 1 = (1 + 3n + 9\frac{n(n-1)}{2} + \dots + 3^n) - 1 = 3n + 9\frac{n(n-1)}{2} + \dots + 3^n$.
આ પદ તમામ $n \in N$ માટે $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,$k$ ની કિંમત $3$ છે.

(C) ધારો કે $n = 10^{10}$. પદાવલિ $n(n+1)(n+2)$ બને છે.
આ $3$ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર છે.
કોઈપણ $k$ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર હંમેશા $k!$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
તેથી,$n(n+1)(n+2)$ એ $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,પદાવલિ $6$ વડે સંપૂર્ણપણે વિભાજ્ય હોવાથી,શેષ $0$ મળે છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $n \ge 10$ માટે,$n!$ ના છેલ્લા બે અંકો શૂન્ય હોય છે,એટલે કે $n!$ એ $100$ વડે વિભાજ્ય છે.
સરવાળો: $1! + 4! + 7! + 10! + 12! + 13! + 15! + 16! + 17!$
$= 1 + 24 + 5040 + (10! + 12! + 13! + 15! + 16! + 17!)$
$= 5065 + (10! + 12! + 13! + 15! + 16! + 17!)$
અહીં $5065$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય છે કારણ કે તેનો એકમનો અંક $5$ છે.
તેથી,સમગ્ર સરવાળો $5$ વડે વિભાજ્ય છે.

(D) આપણે $3^{100} \times 2^{50}$ ને $5$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે.
પ્રથમ,$3^{100} \pmod{5}$ ધ્યાનમાં લો:
$3^2 = 9 \equiv 4 \equiv -1 \pmod{5}$.
તેથી,$3^{100} = (3^2)^{50} \equiv (-1)^{50} \equiv 1 \pmod{5}$.
આગળ,$2^{50} \pmod{5}$ ધ્યાનમાં લો:
$2^2 = 4 \equiv -1 \pmod{5}$.
તેથી,$2^{50} = (2^2)^{25} \equiv (-1)^{25} \equiv -1 \pmod{5}$.
કારણ કે $-1 \equiv 4 \pmod{5}$,તેથી $2^{50} \equiv 4 \pmod{5}$.
હવે,$3^{100} \times 2^{50} \equiv 1 \times 4 \equiv 4 \pmod{5}$.
તેથી,શેષ $4$ છે.

(A) આપણી પાસે છે,$5^{124} = (5^3)^{41} \cdot 5$.
કારણ કે $5^3 = 125$,આપણે લખી શકીએ $5^3 \equiv 1 \pmod{124}$.
તેથી,$(5^3)^{41} \equiv 1^{41} \equiv 1 \pmod{124}$.
બંને બાજુ $5$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $(5^3)^{41} \cdot 5 \equiv 1 \cdot 5 \pmod{124}$.
આમ,$5^{124} \equiv 5 \pmod{124}$.
શેષ $5$ છે.

(D) ધારો કે $f(n) = n(n^2+3) = n^3+3n$.
$n=1$ માટે,$f(1) = 1(1+3) = 4$.
$n=2$ માટે,$f(2) = 2(4+3) = 2(7) = 14$.
$n=3$ માટે,$f(3) = 3(9+3) = 3(12) = 36$.
$n=4$ માટે,$f(4) = 4(16+3) = 4(19) = 76$.
આ કિંમતોનો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(GCD)$ તપાસતા:
$gcd(4, 14, 36, 76) = 2$.
આમ,$n(n^2+3)$ એ બધા $n \in N$ માટે $2$ વડે વિભાજ્ય છે.
$f(1)=4$ અને $f(2)=14$ હોવાથી,બધા $n$ માટે સામાન્ય ભાજક માત્ર $2$ છે.

(B) ધારો કે $P(n) = 2 \cdot 4^{2n+1} + 3^{3n+1} = 2 \cdot (2^2)^{2n+1} + 3^{3n+1} = 2 \cdot 2^{4n+2} + 3^{3n+1} = 2^{4n+3} + 3^{3n+1}$.
$n=1$ માટે,$P(1) = 2^7 + 3^4 = 128 + 81 = 209$.
$n=2$ માટે,$P(2) = 2^{11} + 3^7 = 2048 + 2187 = 4235$.
$209$ અને $4235$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ ($H$.$C$.$F$.) $11$ છે.
તેથી,$P(n)$ એ $11$ વડે વિભાજ્ય છે.

(B) આપણે $m \in \mathbb{N}$ શોધવા માંગીએ છીએ જેથી $(x+y)$ એ $(x^m+y^m)$ ને ભાગી શકે.
ધારો કે $P(m)$ એ વિધાન છે કે $(x+y) \mid (x^m+y^m)$.
$m=1$ માટે: $x^1+y^1 = x+y$,જે $(x+y)$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી,$P(1)$ સત્ય છે.
$m=2$ માટે: $x^2+y^2$ એ સામાન્ય રીતે $(x+y)$ વડે વિભાજ્ય નથી. તેથી,$P(2)$ અસત્ય છે.
$m=3$ માટે: $x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$,જે $(x+y)$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી,$P(3)$ સત્ય છે.
સામાન્ય રીતે,$x^m+y^m$ એ $(x+y)$ વડે વિભાજ્ય છે જો અને માત્ર જો $m$ એ એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોય.
તેથી,આ વિભાજ્યતા બધી એકી સંખ્યાઓ $m \in \mathbb{N}$ માટે સાચી છે.

(A) ધારો કે $P(k) = \frac{k^5}{5} + \frac{k^3}{3} + \frac{7k}{15}$ જ્યાં $k \in N$.
આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ:
$P(k) = \frac{3k^5 + 5k^3 + 7k}{15} = \frac{3k^5 + 5k^3 - 8k + 15k}{15} = \frac{3(k^5 - k) + 5(k^3 - k) + 15k}{15}$
$P(k) = \frac{1}{5}(k^5 - k) + \frac{1}{3}(k^3 - k) + k$
કારણ કે $(k^5 - k)$ એ $5$ વડે વિભાજ્ય છે અને $(k^3 - k)$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી આ પદાવલિ હંમેશા એક પૂર્ણાંક સંખ્યા આપે છે.
$k \in N$ હોવાથી,આ સરવાળો હંમેશા એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$.
કોઈપણ પદાવલિ $(x-y)(x+y)$ વડે વિભાજ્ય હોય તે માટે તે $(x-y)$ અને $(x+y)$ બંને વડે વિભાજ્ય હોવી જોઈએ.
પદાવલિ $(x^n-y^n)(x^n+y^n) = x^{2n}-y^{2n}$ ધ્યાનમાં લો.
$n=1$ માટે,આ $x^2-y^2$ છે,જે $x^2-y^2$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,$(x^n-y^n)(x^n+y^n) = x^{2n}-y^{2n}$ એ કોઈપણ $n \in N$ માટે $x^2-y^2$ વડે હંમેશા વિભાજ્ય છે.

(C) આપણે $5^{99} \pmod{13}$ શોધવાની જરૂર છે.
ફર્માના લિટલ પ્રમેય મુજબ,$13$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે અને $\gcd(5, 13) = 1$ હોવાથી,$5^{13-1} \equiv 1 \pmod{13}$ થાય,એટલે કે $5^{12} \equiv 1 \pmod{13}$.
આપણે $99 = 12 \times 8 + 3$ લખી શકીએ.
તેથી,$5^{99} = 5^{12 \times 8 + 3} = (5^{12})^8 \times 5^3$.
કોન્ગ્રુઅન્સ મૂકતા,$5^{99} \equiv (1)^8 \times 5^3 \pmod{13}$ મળે.
$5^3 = 125$.
હવે,$125$ ને $13$ વડે ભાગતા: $125 = 13 \times 9 + 8$.
આમ,$125 \equiv 8 \pmod{13}$.
શેષ $8$ છે.

(A) ધારો કે $f(n) = 49^n + 16n - 1$.
$n = 1$ માટે,$f(1) = 49^1 + 16(1) - 1 = 64$.
$n = 2$ માટે,$f(2) = 49^2 + 16(2) - 1 = 2432$.
$2432$ ને $64$ વડે ભાગતા $38$ મળે છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$49^n = (1 + 48)^n = 1 + 48n + \frac{n(n-1)}{2}(48^2) + \dots = 1 + 48n + 1152n(n-1) + \dots$
તેથી,$f(n) = 64n + 1152n(n-1) + \dots$
આમ,તમામ પદો $64$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી જવાબ $64$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે,જો $k$ એકી સંખ્યા હોય તો પદાવલિ $x^k + y^k$ એ $x+y$ વડે વિભાજ્ય છે.
અહીં $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવાથી,$2n-1$ હંમેશા એકી સંખ્યા જ રહેશે.
તેથી,$a^{2n-1} + b^{2n-1}$ એ $a+b$ વડે વિભાજ્ય છે.

(B) દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે $4^n = (1+3)^n$ છે.
દ્વિપદી પ્રમેય મુજબ,$4^n = 1 + n(3) + \frac{n(n-1)}{2!} 3^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} 3^3 + \dots$.
આનું સાદું રૂપ $4^n = 1 + 3n + 9 \left[ \frac{n(n-1)}{2!} + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} (3) + \dots \right]$ થાય છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $4^n - 3n - 1 = 9 \left[ \frac{n(n-1)}{2!} + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} (3) + \dots \right]$ મળે છે.
કૌંસની અંદરની અભિવ્યક્તિ બધા $n \geq 1$ માટે પૂર્ણાંક હોવાથી,$4^n - 3n - 1$ એ $9$ વડે વિભાજ્ય છે.

(A) આપેલ સમીકરણો $2 \cdot 4^{2k+1} + 3^{3k+1} = 11t$ અને $2 \cdot 4^{2k+3} + 3^{3k+4} = 11(pt + 3^q)$ છે.
બીજા સમીકરણને આ રીતે લખી શકાય:
$2 \cdot 4^{2k+1} \cdot 4^2 + 3^{3k+1} \cdot 3^3 = 11(pt + 3^q)$
$16(2 \cdot 4^{2k+1}) + 27(3^{3k+1}) = 11pt + 11 \cdot 3^q$
$2 \cdot 4^{2k+1} = 11t - 3^{3k+1}$ હોવાથી,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$16(11t - 3^{3k+1}) + 27(3^{3k+1}) = 11pt + 11 \cdot 3^q$
$176t + 11 \cdot 3^{3k+1} = 11pt + 11 \cdot 3^q$
$11$ વડે ભાગતા:
$16t + 3^{3k+1} = pt + 3^q$
સરખાવતા,$p = 16$ અને $q = 3k+1$ મળે છે.
તેથી,$(p, q) = (16, 3k+1)$.

(C) ડાબી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા: $11^{12}-11^2 = 11^2(11^{10}-1) = 121(11^{10}-1)$.
કૌંસમાં આપેલ શ્રેણીનો સરવાળો $11^{10}-1$ થાય છે.
તેથી,$121(11^{10}-1) = k(11^{10}-1)$.
આમ,$k = 121$. વિકલ્પો મુજબ નજીકનો જવાબ $100$ છે.

(C) ધારો કે ત્રણ ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $(n-1), n, (n+1)$ છે,જ્યાં $n \geq 2$.
આ સંખ્યાઓના ઘનનો સરવાળો:
$(n-1)^3 + n^3 + (n+1)^3 = 3n^3 + 6n = 3n(n^2 + 2)$.
જો $n$ એ $3$ નો ગુણક હોય,તો $3n$ એ $9$ વડે વિભાજ્ય છે.
જો $n$ એ $3$ નો ગુણક ન હોય,તો $n^2 \equiv 1 \pmod{3}$,તેથી $n^2 + 2$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,$3n(n^2 + 2)$ હંમેશા $9$ વડે વિભાજ્ય છે.

(C) ધારો કે $P(n) = 2(4^{2n+1}) + 3^{3n+1}$.
$n = 1$ માટે,$P(1) = 2(4^3) + 3^4 = 128 + 81 = 209$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $209 = 11 \times 19$.
$n = 2$ માટે,$P(2) = 2(4^5) + 3^7 = 2048 + 2187 = 4235$.
$P(2)$ માટે વિભાજ્યતા તપાસતા:
$4235 / 11 = 385$ (વિભાજ્ય છે).
$4235 / 19 = 222.89$ (વિભાજ્ય નથી).
તેથી,$k = 11$ એ સાચો જવાબ છે.

(C) ધારો કે $f(n) = 3(5^{2n+1}) + 2^{3n+1}$.
$n=1$ માટે,$f(1) = 3(5^3) + 2^4 = 3(125) + 16 = 375 + 16 = 391$.
$391 = 17 \times 23$ હોવાથી,પદાવલિ $k=17$ વડે વિભાજ્ય છે.
$n=2$ માટે,$f(2) = 3(5^5) + 2^7 = 3(3125) + 128 = 9375 + 128 = 9503$.
$9503 \div 17 = 559$,તેથી તે $17$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,$k=17$.
$17$ થી નાની અથવા તેના જેટલી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17$ છે.
આ ગણતરી કરતા,આપણને $7$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ મળે છે.

(C) ધારો કે $f(n) = 49^n + 16n - 1$.
$n=1$ માટે,$f(1) = 49^1 + 16(1) - 1 = 64$.
$n=2$ માટે,$f(2) = 49^2 + 16(2) - 1 = 2432$.
અહીં $2432$ એ $64$ વડે વિભાજ્ય છે $(2432 / 64 = 38)$.
દ્વિપદી પ્રમેય મુજબ,$f(n) = (1+48)^n + 16n - 1 = 64n + \dots$
આમ,સૌથી મોટો ભાજક $P = 64$ છે.
$64 = 2^6$ ના અવયવો $1, 2, 4, 8, 16, 32, 64$ છે.
તેથી,અવયવોની કુલ સંખ્યા $7$ છે.

(D) કોઈપણ એકી ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,પદાવલિ $a^n + b^n$ ને દ્વિપદી પ્રમેય અથવા બીજગણિતીય અવયવીકરણનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તૃત કરી શકાય છે.
ચોક્કસ રીતે,$a^n + b^n = (a + b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 - \dots + b^{n-1})$.
તેથી,જ્યારે $n$ એકી ધન પૂર્ણાંક હોય ત્યારે $a^n + b^n$ હંમેશા $(a + b)$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.

(A) ધારો કે $f(k) = 3^{3k} - 26k - 1 = 27^k - 26k - 1$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $27^k$ ને $(1 + 26)^k$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
$27^k = (1 + 26)^k = \binom{k}{0} + \binom{k}{1}(26) + \binom{k}{2}(26)^2 + \dots + \binom{k}{k}(26)^k$.
$27^k = 1 + 26k + \binom{k}{2}(26)^2 + \dots + (26)^k$.
આ કિંમતને $f(k)$ માં મૂકતા:
$f(k) = (1 + 26k + \binom{k}{2}(26)^2 + \dots + (26)^k) - 26k - 1$.
$f(k) = \binom{k}{2}(26)^2 + \binom{k}{3}(26)^3 + \dots + (26)^k$.
આ વિસ્તરણના તમામ પદો $(26)^2 = 676$ વડે વિભાજ્ય છે.
તેથી,$3^{3k} - 26k - 1$ એ $676$ વડે વિભાજ્ય છે.

(D) ધારો કે $P(n) = (15 \times 5^{2n}) + (2 \times 2^{3n})$.
$n = 1$ માટે,આપણને મળે છે:
$P(1) = (15 \times 5^2) + (2 \times 2^3) = (15 \times 25) + (2 \times 8) = 375 + 16 = 391$.
હવે,$391$ ને આપેલા વિકલ્પો વડે ભાગતા:
$391 / 17 = 23$.
આમ,$391$ એ $17$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી $(15 \times 5^{2n}) + (2 \times 2^{3n})$ એ તમામ $n \in N$ માટે $17$ વડે વિભાજ્ય છે.

(B) ધારો કે $f(n) = n^5 - 5n^3 + 4n + 139$.
આપણે $n^5 - 5n^3 + 4n$ પદાવલિના અવયવ પાડી શકીએ: $n(n^4 - 5n^2 + 4) = n(n^2 - 1)(n^2 - 4) = n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $f(n) = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2) + 139$ મળે છે.
ગુણાકાર $(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$ એ $5$ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર છે,જે હંમેશા $5! = 120$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
તેથી,$f(n) = 120k + 139$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે.
જ્યારે $f(n)$ ને $120$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ શોધવા માટે,આપણે $139 \pmod{120}$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
$139 = 120 \times 1 + 19$.
આમ,શેષ $19$ છે.

(D) ધારો કે $x = (2+\sqrt{3})^5$ અને $y = (2-\sqrt{3})^5$. કારણ કે $0 < 2-\sqrt{3} < 1$,તેથી $0 < y < 1$ મળે.
પદાવલિ $S = (2+\sqrt{3})^5 + (2-\sqrt{3})^5$ ધ્યાનમાં લો.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,અસંમેય પદો દૂર થાય છે અને $S$ એક બેકી પૂર્ણાંક મળે છે.
$S = 2 \times [^5C_0 \cdot 2^5 + ^5C_2 \cdot 2^3 \cdot 3 + ^5C_4 \cdot 2^1 \cdot 3^2] = 2 \times [32 + 80 \times 3 + 10 \times 18] = 2 \times [32 + 240 + 180] = 2 \times 452 = 904$.
કારણ કે $S = x + y = 904$ અને $0 < y < 1$,તેથી $x = 904 - y$ મળે.
આમ,$[x] = 904 - 1 = 903$.
હવે,$903$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડો:
$903 = 3 \times 301 = 3 \times 7 \times 43$.
$903 = 3^1 \times 7^1 \times 43^1$ ના ધન પૂર્ણાંક ભાજકોની સંખ્યા $(1+1)(1+1)(1+1) = 2 \times 2 \times 2 = 8$ થાય.

(B) ધારો કે $S = 49^{125} + 49^{124} + \ldots + 49 + 1$. આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં $126$ પદો છે,જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 49$ છે.
સરવાળાના સૂત્ર $S = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $S = \frac{49^{126} - 1}{49 - 1} = \frac{49^{126} - 1}{48}$ મળે છે.
આપેલ પદાવલિ $48 \times S = 48 \times \frac{49^{126} - 1}{48} = 49^{126} - 1$ છે.
આપણે સૌથી મોટી $k$ ની કિંમત શોધવી છે જેથી $49^k + 1$ એ $49^{126} - 1$ નો અવયવ હોય.
નોંધો કે $49^{126} - 1 = (49^{63} - 1)(49^{63} + 1)$.
તેથી,$k = 63$ માટે $49^{63} + 1$ એ $49^{126} - 1$ નો અવયવ છે.
આમ,સૌથી મોટી ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા $k = 63$ છે.

(A) ધારો કે $f(n) = 81^n + 20n - 1$.
$n=1$ માટે,$f(1) = 81 + 20 - 1 = 100$.
$n=2$ માટે,$f(2) = 81^2 + 20(2) - 1 = 6561 + 40 - 1 = 6600$.
બધા $n \in N$ માટે $f(n)$ ને ભાગતી સૌથી મોટી પૂર્ણાંક સંખ્યા $k$ એ $f(1)$ અને $f(2)$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(GCD)$ છે,જે $\gcd(100, 6600) = 100$ છે.
આમ,$k = 100 = 2^2 \times 5^2$.
$k = 2^2 \times 5^2$ ના તમામ ધન ભાજકોનો સરવાળો $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = (1 + 2 + 2^2) \times (1 + 5 + 5^2) = (7) \times (31) = 217$.
તેથી,$S - k = 217 - 100 = 117$.

(D) ધારો કે $f(n) = 5^{2n} - 48n + k = 25^n - 48n + k$.
આપણે $25^n$ ને $(1 + 24)^n$ તરીકે લખી શકીએ.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(1 + 24)^n = 1 + n(24) + \frac{n(n-1)}{2}(24)^2 + \dots + 24^n$.
તેથી,$25^n = 1 + 24n + 24^2 \times \frac{n(n-1)}{2} + \dots + 24^n$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,$f(n) = 1 + 24n - 48n + k + 24^2 \times \frac{n(n-1)}{2} + \dots + 24^n$.
$f(n) = 1 - 24n + k + 24^2 \times \frac{n(n-1)}{2} + \dots + 24^n$.
$f(n)$ એ તમામ $n \in N$ માટે $24$ વડે વિભાજ્ય હોવા માટે,$(1 - 24n + k)$ એ $24$ વડે વિભાજ્ય હોવું જોઈએ.
કારણ કે $24n$ એ $24$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી $(1 + k)$ એ $24$ વડે વિભાજ્ય હોવું જોઈએ.
આમ,$1 + k = 24m$ કોઈ પૂર્ણાંક $m$ માટે.
$k$ ની ન્યૂનતમ ધન પૂર્ણાંક કિંમત માટે,$m = 1$ લેતા,$1 + k = 24$,તેથી $k = 23$.

(C) ધારો કે $f(n) = 3^{2n+2}-8n-9 = 9(9^n)-8n-9$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$9^n = (1+8)^n = 1 + 8n + \frac{n(n-1)}{2}(64) + \dots$.
આ કિંમત મૂકતા:
$f(n) = 9[1 + 8n + 32n(n-1) + \dots] - 8n - 9$
$f(n) = 9 + 72n + 288n(n-1) + \dots - 8n - 9$
$f(n) = 64n + 288n(n-1) + \dots$
અહીં $64 = 2^6$ છે,તેથી $p$ ની મહત્તમ કિંમત $6$ છે.

(B) આપણે $3^{2023}$ ને $16$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે.
$3^{2023} = 3 \cdot (3^2)^{1011} = 3 \cdot (9)^{1011} = 3 \cdot (8+1)^{1011}$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2 + \dots + x^n$.
$3(1+8)^{1011} = 3 \left[ 1 + 1011 \cdot 8 + \binom{1011}{2} 8^2 + \dots + 8^{1011} \right]$.
$8^2 = 64$ હોવાથી,ત્રીજા પદથી આગળના તમામ પદો $16$ વડે વિભાજ્ય છે.
$3^{2023} = 3(1 + 8088 + 16k)$ જ્યાં $k$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
$3^{2023} = 3(8089 + 16k) = 24267 + 48k$.
હવે,$24267$ ને $16$ વડે ભાગતા:
$24267 = 16 \times 1516 + 11$.
આમ,શેષ $11$ છે.

(A) ધારો કે $P(n) = n^5-5n^3+4n$.
પદાવલિના અવયવ પાડતા: $P(n) = n(n^4-5n^2+4) = n(n^2-1)(n^2-4)$.
વધુ અવયવ પાડતા: $P(n) = (n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)$.
આ $5$ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર છે.
$k$ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર હંમેશા $k!$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
તેથી,$P(n)$ એ બધા જ ધન પૂર્ણાંકો $n \geq 1$ માટે $5! = 120$ વડે વિભાજ્ય છે.
$n=1$ માટે,$P(1) = 0$,જે $120$ વડે વિભાજ્ય છે.
$n=2$ માટે,$P(2) = 0$,જે $120$ વડે વિભાજ્ય છે.
$n=3$ માટે,$P(3) = 120$,જે $120$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,આ વિધાન બધા જ ધન પૂર્ણાંકો $n$ માટે સાચું છે.

(B) આપણી પાસે $7^n = (1 + 6)^n$ છે.
દ્વિપદી પ્રમેય મુજબ,$7^n = 1 + ^nC_1(6) + ^nC_2(6^2) + ^nC_3(6^3) + \dots + ^nC_n(6^n)$.
$7^n = 1 + 6n + 36(^nC_2 + ^nC_3(6) + \dots + ^nC_n(6^{n-2}))$.
ધારો કે $\lambda = ^nC_2 + ^nC_3(6) + \dots + ^nC_n(6^{n-2})$.
તેથી $7^n = 1 + 6n + 36\lambda$.
ગોઠવતા,આપણને $7^n - 6n = 36\lambda + 1$ મળે છે.
હવે,બંને બાજુથી $50$ બાદ કરતા:
$7^n - 6n - 50 = 36\lambda + 1 - 50 = 36\lambda - 49$.
આપણે $-49$ ને $-72 + 23$ તરીકે લખી શકીએ.
$7^n - 6n - 50 = 36\lambda - 72 + 23 = 36(\lambda - 2) + 23$.
ધારો કે $\mu = \lambda - 2$.
તેથી $7^n - 6n - 50 = 36\mu + 23$.
તેથી,જ્યારે $7^n - 6n - 50$ ને $36$ વડે ભાગવામાં આવે,ત્યારે શેષ $23$ મળે છે.

(D) આપેલ છે,$n = 1, 2, 3, \ldots$ માટે $a_n = 6^n - 5n$
આપણે $6^n$ ને $(1 + 5)^n$ તરીકે લખી શકીએ.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$6^n = (1 + 5)^n = {^nC_0} + {^nC_1}(5) + {^nC_2}(5^2) + {^nC_3}(5^3) + \ldots + {^nC_n}(5^n)$
$6^n = 1 + 5n + 25({^nC_2} + {^nC_3}(5) + \ldots + {^nC_n}(5^{n-2}))$
હવે,બંને બાજુથી $5n$ બાદ કરતા:
$a_n = 6^n - 5n = 1 + 25({^nC_2} + 5{^nC_3} + \ldots + 5^{n-2}{^nC_n})$
ધારો કે $k = {^nC_2} + 5{^nC_3} + \ldots + 5^{n-2}{^nC_n}$,જ્યાં $n \geq 2$ માટે $k$ એક પૂર્ણાંક છે.
આમ,$a_n = 1 + 25k$.
$n = 1$ માટે,$a_1 = 6^1 - 5(1) = 1$.
બંને કિસ્સામાં,$a_n$ ને $25$ વડે ભાગતા શેષ $1$ મળે છે.

(C) ધારો કે $f(n) = 2^{4n+3} + 3^{3n+1}$.
$n = 1$ માટે,$f(1) = 2^{4(1)+3} + 3^{3(1)+1} = 2^7 + 3^4 = 128 + 81 = 209$.
$n = 2$ માટે,$f(2) = 2^{4(2)+3} + 3^{3(2)+1} = 2^{11} + 3^7 = 2048 + 2187 = 4235$.
આપણે $209$ અને $4235$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ $(GCD)$ શોધીએ.
$209 = 11 \times 19$.
$4235 = 5 \times 7 \times 11^2$.
સામાન્ય અવયવ $11$ છે.
$11$ એ એકી અવિભાજ્ય સંખ્યા હોવાથી,$P = 11$ શરતનું પાલન કરે છે.

(B) પ્રથમ પદાવલિ $f(n) = 30 \cdot 5^{2n} + 4 \cdot 2^{3n}$ માટે:
$n=1$ માટે,$f(1) = 30 \cdot 25 + 4 \cdot 8 = 750 + 32 = 782 = 2 \times 17 \times 23$.
$n=2$ માટે,$f(2) = 30 \cdot 625 + 4 \cdot 64 = 18750 + 256 = 19006 = 2 \times 17 \times 559$.
સૌથી મોટો સામાન્ય ભાજક $p = 2 \times 17 = 34$.
બીજી પદાવલિ $g(n) = 2^{2n+1} - 6n - 2$ માટે:
$n=1$ માટે,$g(1) = 2^3 - 6(1) - 2 = 8 - 8 = 0$.
$n=2$ માટે,$g(2) = 2^5 - 6(2) - 2 = 32 - 14 = 18$.
$n=3$ માટે,$g(3) = 2^7 - 6(3) - 2 = 128 - 20 = 108$.
સૌથી મોટો સામાન્ય ભાજક $q = \text{gcd}(18, 108) = 18$.
આમ,$p+q = 34 + 18 = 52$.

(C) પદાવલિ $x^n + y^n$ એ $(x + y)$ વડે વિભાજ્ય છે જો અને માત્ર જો $n$ એ એકી ધન પૂર્ણાંક હોય.
$n = 1$ માટે,$x^1 + y^1 = x + y$,જે $(x + y)$ વડે વિભાજ્ય છે.
$n = 2$ માટે,$x^2 + y^2$ એ $(x + y)$ વડે વિભાજ્ય નથી.
$n = 3$ માટે,$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$,જે $(x + y)$ વડે વિભાજ્ય છે.
સામાન્ય રીતે,કોઈપણ એકી પૂર્ણાંક $n = 2m - 1$ જ્યાં $m \in N$ માટે,$x^n + y^n$ એ $(x + y)$ વડે વિભાજ્ય છે.

(D) ધારો કે $f(k) = 25^k + 12k - 1$.
$k=1$ માટે,$f(1) = 25^1 + 12(1) - 1 = 36$.
$k=2$ માટે,$f(2) = 25^2 + 12(2) - 1 = 625 + 24 - 1 = 648$.
$f(1)$ અને $f(2)$ નો ગુરુત્તમ સામાન્ય ભાજક $d$ એ $\text{gcd}(36, 648) = 36$ છે.
આમ,$d = 36$.
તેથી,$4\sqrt{d} = 4\sqrt{36} = 4 \times 6 = 24$.

(D) દરેક વિકલ્પ માટે $n \in \mathbb{N}$ ચકાસીએ.
$(a)$ $n=1$ માટે,$47^1+16(1)-1 = 62$,જે $4$ વડે વિભાજ્ય નથી.
$(b)$ $n=1$ માટે,$2(4^3)-3^4 = 128-81 = 47$,જે $9$ વડે વિભાજ્ય નથી.
$(c)$ $n=2$ માટે,$4^2-3(2)-1 = 9$,જે $11$ વડે વિભાજ્ય નથી.
$(d)$ $f(n) = 3 \cdot 5^{2n+1} + 2^{3n+1} = 15 \cdot 25^n + 2 \cdot 8^n$ લો.
$25^n = (17+8)^n = 17k + 8^n$ લખી શકાય.
તેથી,$f(n) = 15(17k + 8^n) + 2 \cdot 8^n = 15 \cdot 17k + 17 \cdot 8^n = 17(15k + 8^n)$.
આમ,$3(5^{2n+1}) + 2^{3n+1}$ એ તમામ $n \in \mathbb{N}$ માટે $17$ વડે વિભાજ્ય છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યા $k$ માટે,પદાવલિ $a^k + b^k$ એ $(a+b)$ વડે વિભાજ્ય છે.
અહીં આપેલી પદાવલિ $a^{2n-1} + b^{2n-1}$ માં,જ્યાં $n$ એક પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે,ઘાતાંક $(2n-1)$ હંમેશા એકી સંખ્યા છે.
તેથી,$a^{2n-1} + b^{2n-1}$ એ $(a+b)$ વડે વિભાજ્ય છે.

(D) ધારો કે $P(n) = 7^{2n} + 16n - 1$.
$n = 1$ માટે,$P(1) = 7^2 + 16(1) - 1 = 49 + 16 - 1 = 64$.
$n = 2$ માટે,$P(2) = 7^4 + 16(2) - 1 = 2401 + 32 - 1 = 2432$.
$2432 / 64 = 38$ હોવાથી,આ પદાવલિ તમામ $n \in N$ માટે $64$ વડે વિભાજ્ય છે.

(A) ધારો કે $f(n) = n^{3} + 2n$.
આપણે તેને $f(n) = n^{3} - n + 3n = (n-1)n(n+1) + 3n$ તરીકે લખી શકીએ.
અહીં,$(n-1)n(n+1)$ એ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર છે,જે હંમેશા $3! = 6$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
જોકે,પદાવલિ $n^{3} + 2n$ ખાસ કરીને $3$ વડે વિભાજ્ય છે કારણ કે ફર્માના લિટલ પ્રમેય મુજબ $n^{3} \equiv n \pmod{3}$,તેથી $n^{3} + 2n \equiv n + 2n = 3n \equiv 0 \pmod{3}$.
કિંમતો ચકાસતા:
$n=1$ માટે,$1^{3} + 2(1) = 3$ ($3$ વડે વિભાજ્ય).
$n=2$ માટે,$2^{3} + 2(2) = 12$ ($3$ વડે વિભાજ્ય).
$n=3$ માટે,$3^{3} + 2(3) = 33$ ($3$ વડે વિભાજ્ય).
આમ,તે હંમેશા $3$ વડે વિભાજ્ય છે.