Divisibility problems Questions in Gujarati

(B) ધારો કે $x = 7^{7^{...7}}$ ($22$ વખત $7$). આપણે $x \pmod{48}$ શોધવા માંગીએ છીએ.
નોંધો કે $7^2 = 49 \equiv 1 \pmod{48}$.
$7$ નો ઘાતાંક $7^{7^{...7}}$ ($21$ વખત $7$) છે,જે સ્પષ્ટપણે એકી સંખ્યા છે,તેથી ઘાતાંકને $2k+1$ તરીકે લઈએ.
તેથી $7^{2k+1} = 7 \times (7^2)^k = 7 \times (49)^k$.
$49 \equiv 1 \pmod{48}$ હોવાથી,$49^k \equiv 1^k \equiv 1 \pmod{48}$.
તેથી,$7 \times (49)^k \equiv 7 \times 1 \equiv 7 \pmod{48}$.
શેષ $7$ છે.

(A) દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $(101)^{100}-1$ ને $(1+100)^{100}-1$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$(1+100)^{100}-1 = \left(1 + {}^{100}C_{1}(100) + {}^{100}C_{2}(100)^{2} + {}^{100}C_{3}(100)^{3} + \dots + {}^{100}C_{100}(100)^{100}\right) - 1$.
કારણ કે ${}^{100}C_{1} = 100$,પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$100(100) + {}^{100}C_{2}(100)^{2} + {}^{100}C_{3}(100)^{3} + \dots + {}^{100}C_{100}(100)^{100}$.
$= 10^{4} + {}^{100}C_{2}(10^{4}) + {}^{100}C_{3}(10^{6}) + \dots + 10^{200}$.
$= 10^{4} \left(1 + {}^{100}C_{2} + {}^{100}C_{3}(10^{2}) + \dots + 10^{196}\right)$.
આમ,આ પદાવલિ $10^{4}$ વડે વિભાજ્ય છે.

(C) દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$(1+x)^n = {^nC_0} + {^nC_1}x + {^nC_2}x^2 + {^nC_3}x^3 + \dots + {^nC_n}x^n$
કારણ કે ${^nC_0} = 1$ અને ${^nC_1} = n$,આપણે લખી શકીએ:
$(1+x)^n = 1 + nx + {^nC_2}x^2 + {^nC_3}x^3 + \dots + x^n$
હવે,બંને બાજુથી $nx$ અને $1$ બાદ કરતા:
$(1+x)^n - nx - 1 = {^nC_2}x^2 + {^nC_3}x^3 + \dots + x^n$
જમણી બાજુથી $x^2$ સામાન્ય લેતા:
$(1+x)^n - nx - 1 = x^2 ({^nC_2} + {^nC_3}x + \dots + x^{n-2})$
આમ,આ પદાવલિ $x^2$ વડે વિભાજ્ય છે.

(C) આપણી પાસે $2^{3n} = (2^3)^n = 8^n$ છે.
કારણ કે $8 = (1 + 7)$,આપણે $8^n = (1 + 7)^n$ લખી શકીએ.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(1 + 7)^n = {^nC_0} + {^nC_1}(7) + {^nC_2}(7^2) + \dots + {^nC_n}(7^n)$.
કારણ કે ${^nC_0} = 1$,આપણને મળે $8^n = 1 + 7({^nC_1} + {^nC_2}(7) + \dots + {^nC_n}(7^{n-1}))$.
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા,$8^n - 1 = 7({^nC_1} + {^nC_2}(7) + \dots + {^nC_n}(7^{n-1}))$.
આ પદ તમામ $n \in N$ માટે $7$ વડે વિભાજ્ય છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $2^{3n} = (2^3)^n = 8^n$.
$8^n = (1+7)^n$ હોવાથી,આપણે દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને વિસ્તરણ કરી શકીએ:
$(1+7)^n = 1 + {}^{n}C_1(7) + {}^{n}C_2(7^2) + \dots + {}^{n}C_n(7^n)$.
તેથી,$2^{3n} - 1 = (1 + {}^{n}C_1(7) + {}^{n}C_2(7^2) + \dots + {}^{n}C_n(7^n)) - 1$.
$2^{3n} - 1 = 7({}^{n}C_1 + {}^{n}C_2(7) + \dots + {}^{n}C_n(7^{n-1}))$.
આ પદ સ્પષ્ટપણે $7$ વડે વિભાજ્ય છે.

(B) આપણી પાસે પદાવલિ $2^{4n} - 15n - 1$ છે.
$2^4 = 16$ હોવાથી,આપણે $2^{4n} = (16)^n = (1 + 15)^n$ લખી શકીએ.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(1 + 15)^n = {}^{n}C_{0} + {}^{n}C_{1}(15) + {}^{n}C_{2}(15)^2 + \dots + {}^{n}C_{n}(15)^n$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$2^{4n} - 15n - 1 = (1 + 15n + {}^{n}C_{2} \cdot 15^2 + \dots + {}^{n}C_{n} \cdot 15^n) - 15n - 1$.
પદોનું સાદું રૂપ આપતા,$1$ અને $15n$ ઉડી જશે:
$2^{4n} - 15n - 1 = {}^{n}C_{2} \cdot 15^2 + {}^{n}C_{3} \cdot 15^3 + \dots + {}^{n}C_{n} \cdot 15^n$.
$15^2 = 225$ સામાન્ય કાઢતા:
$2^{4n} - 15n - 1 = 225 \cdot ({}^{n}C_{2} + {}^{n}C_{3} \cdot 15 + \dots + {}^{n}C_{n} \cdot 15^{n-2})$.
આમ,આ પદાવલિ $n \ge 2$ માટે $225$ વડે વિભાજ્ય છે. $n=1$ માટે,પદાવલિ $2^4 - 15(1) - 1 = 0$ થાય છે,જે $225$ વડે વિભાજ્ય છે.

(B) વિધાન $I$: આપણી પાસે $25^{13} + 3^{13} + 20^{13} + 8^{13}$ છે.
જ્યારે $n$ એકી હોય ત્યારે $a^n + b^n$ એ $(a + b)$ વડે વિભાજ્ય હોય છે,તેથી:
$25^{13} + 3^{13}$ એ $(25 + 3) = 28$ વડે વિભાજ્ય છે,જે $7$ વડે વિભાજ્ય છે.
$20^{13} + 8^{13}$ એ $(20 + 8) = 28$ વડે વિભાજ્ય છે,જે $7$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,સરવાળો $7$ વડે વિભાજ્ય છે. વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$: ધારો કે $R = (7 + 4\sqrt{3})^{25} = I + f$,જ્યાં $I$ પૂર્ણાંક ભાગ છે અને $0 < f < 1$.
ધારો કે $R' = (7 - 4\sqrt{3})^{25} = f'$,જ્યાં $0 < f' < 1$.
$7^2 - (4\sqrt{3})^2 = 49 - 48 = 1$ હોવાથી,$R'$ એ ખૂબ નાની ધન સંખ્યા છે.
$R + R' = (7 + 4\sqrt{3})^{25} + (7 - 4\sqrt{3})^{25} = 2 \left[ {}^{25}C_0 7^{25} + {}^{25}C_2 7^{23}(4\sqrt{3})^2 + \dots \right]$.
આ એક બેકી પૂર્ણાંક છે. તેથી,$I + f + f' = \text{બેકી પૂર્ણાંક}$.
$0 < f + f' < 2$ હોવાથી,$f + f'$ એ $1$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$I + 1 = \text{બેકી પૂર્ણાંક}$,જે સૂચવે છે કે $I$ એક એકી પૂર્ણાંક છે. વિધાન $II$ સાચું છે.