Divisibility problems Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે કે $X = \{ 8^n - 7n - 1 : n \in N \}$ અને $Y = \{ 49(n - 1) : n \in N \}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$8^n = (1 + 7)^n = 1 + ^nC_1(7) + ^nC_2(7^2) + ^nC_3(7^3) + \dots + ^nC_n(7^n)$.
તેથી,$8^n - 7n - 1 = (1 + 7n + ^nC_2(7^2) + ^nC_3(7^3) + \dots + 7^n) - 7n - 1 = ^nC_2(7^2) + ^nC_3(7^3) + \dots + 7^n$.
આનું સાદું રૂપ $49 \times [^nC_2 + ^nC_3(7) + \dots + 7^{n-2}]$ થાય છે.
$n=1$ માટે,$8^1 - 7(1) - 1 = 0$.
$n=2$ માટે,$8^2 - 7(2) - 1 = 64 - 14 - 1 = 49$.
$n=3$ માટે,$8^3 - 7(3) - 1 = 512 - 21 - 1 = 490 = 49 \times 10$.
આમ,$X$ નો દરેક ઘટક $49$ નો ગુણક છે ($0$ સહિત).
$Y = \{ 0, 49, 98, 147, \dots \}$ એ $49$ ના તમામ અ-ઋણ ગુણકો દર્શાવે છે.
તેથી,$X \subseteq Y$.

(B) દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $(1 + x)^n$ નું વિસ્તરણ નીચે મુજબ કરીએ છીએ:
$(1 + x)^n = 1 + nx + \frac{n(n - 1)}{2!}x^2 + \frac{n(n - 1)(n - 2)}{3!}x^3 + \dots$
હવે,વિસ્તરણમાંથી $nx + 1$ બાદ કરતા:
$(1 + x)^n - nx - 1 = (1 + nx + \frac{n(n - 1)}{2}x^2 + \frac{n(n - 1)(n - 2)}{6}x^3 + \dots) - nx - 1$
પદાવલિનું સાદુંરૂપ આપતા:
$(1 + x)^n - nx - 1 = x^2 \left[ \frac{n(n - 1)}{2} + \frac{n(n - 1)(n - 2)}{6}x + \dots \right]$
આમ,આ પદાવલિ $x^2$ નો ગુણક હોવાથી તે $x^2$ વડે વિભાજ્ય છે.

(C) દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને,આપણે $(1 + 100)^{100}$ નું વિસ્તરણ કરીએ છીએ:
$(1 + 100)^{100} = 1 + \binom{100}{1}(100) + \binom{100}{2}(100)^2 + \binom{100}{3}(100)^3 + \dots$
$(1 + 100)^{100} = 1 + 100(100) + \frac{100 \times 99}{2}(100)^2 + \dots$
$(1 + 100)^{100} = 1 + 10000 + \frac{9900}{2}(10000) + \dots$
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા:
$101^{100} - 1 = 10000 + 4950(10000) + \dots$
$101^{100} - 1 = 10000(1 + 4950 + \dots)$
આમ,$101^{100} - 1$ સંખ્યા $10000$ વડે વિભાજ્ય છે.

(A) કોઈપણ $n \in N$ માટે,પદાવલિ ${x^{2n - 1}} + {y^{2n - 1}}$ એ સમાન એકી ઘાતાંક ધરાવતા બે પદોનો સરવાળો દર્શાવે છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ મુજબ,જો $k$ એ એકી ધન પૂર્ણાંક હોય તો ${a^k} + {b^k}$ એ $a + b$ વડે વિભાજ્ય છે.
અહીં,$k = 2n - 1$,જે કોઈપણ $n \in N$ માટે હંમેશા એકી પૂર્ણાંક છે.
તેથી,${x^{2n - 1}} + {y^{2n - 1}}$ એ હંમેશા $x + y$ વડે વિભાજ્ય છે.

(A) ધારો કે $f(n) = 7^{2n} + 2^{3n-3} \cdot 3^{n-1}$.
$n = 1$ માટે,$f(1) = 7^{2(1)} + 2^{3(1)-3} \cdot 3^{1-1} = 7^2 + 2^0 \cdot 3^0 = 49 + 1 = 50$.
$n = 2$ માટે,$f(2) = 7^{2(2)} + 2^{3(2)-3} \cdot 3^{2-1} = 7^4 + 2^3 \cdot 3^1 = 2401 + 8 \cdot 3 = 2401 + 24 = 2425$.
$50$ અને $2425$ બંને $25$ વડે વિભાજ્ય હોવાથી,આ પદાવલિ હંમેશા $25$ વડે વિભાજ્ય છે.

(C) ધારો કે $f(n) = 11^{n+2} + 12^{2n+1}$.
$n = 1$ માટે,$f(1) = 11^{1+2} + 12^{2(1)+1} = 11^3 + 12^3 = 1331 + 1728 = 3059$.
$3059$ ને $133$ વડે ભાગતા,આપણને $3059 \div 133 = 23$ મળે છે.
આમ,$3059$ એ $133$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી આ પદાવલિ $n=1$ માટે $133$ વડે વિભાજ્ય છે.
$n=2$ માટે,$f(2) = 11^4 + 12^5 = 14641 + 248832 = 263473$.
$263473$ ને $133$ વડે ભાગતા,આપણને $263473 \div 133 = 1981$ મળે છે.
આમ,આ પદાવલિ તમામ $n \in N$ માટે $133$ વડે વિભાજ્ય છે.

(B) આ પદાવલિ $n(n^2 - 1) = (n - 1)n(n + 1)$ છે.
આ ત્રણ ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર છે.
$k$ ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર હંમેશા $k!$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
તેથી,$3$ ક્રમિક પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગુણાકાર $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ વડે વિભાજ્ય છે.

(C) ધારો કે $f(x) = x^n - nax^{n-1} + (n-1)a^n$.
$(x-a)^2$ વડે વિભાજ્યતા ચકાસવા માટે,આપણે $f(a) = 0$ અને $f'(a) = 0$ છે કે નહીં તે તપાસીએ.
$f(a) = a^n - na(a^{n-1}) + (n-1)a^n = 0$.
$f'(x) = nx^{n-1} - n(n-1)ax^{n-2}$.
$f'(a) = (2n - n^2)a^{n-1}$.
આમ,$n \ge 2$ માટે આ પદાવલિ $(x-a)^2$ વડે વિભાજ્ય છે.

(B) આપણે $5^{99}$ ને $13$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે.
ફર્માના લિટલ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$13$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે અને $\gcd(5, 13) = 1$ હોવાથી,$5^{13-1} \equiv 1 \pmod{13}$,એટલે કે $5^{12} \equiv 1 \pmod{13}$.
આપણે $5^{99} = 5^{12 \times 8 + 3} = (5^{12})^8 \times 5^3$ લખી શકીએ.
$5^{12} \equiv 1 \pmod{13}$ હોવાથી,$(5^{12})^8 \equiv 1^8 \equiv 1 \pmod{13}$ થાય.
તેથી,$5^{99} \equiv 1 \times 5^3 \pmod{13}$.
$5^3 = 125$.
$125$ ને $13$ વડે ભાગતા: $125 = 13 \times 9 + 8$.
તેથી,શેષ $8$ મળે છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $2^2 = 4 \equiv -1 \pmod{5}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(2^2)^2 \equiv (-1)^2 \pmod{5}$,જેનો અર્થ છે કે $2^4 \equiv 1 \pmod{5}$.
આપણે $2^{301}$ ને $2^{300} \times 2 = (2^4)^{75} \times 2$ તરીકે લખી શકીએ.
કારણ કે $2^4 \equiv 1 \pmod{5}$,તેથી $(2^4)^{75} \equiv 1^{75} \equiv 1 \pmod{5}$.
તેથી,$2^{301} \equiv 1 \times 2 \equiv 2 \pmod{5}$.
ન્યૂનતમ ધન શેષ $2$ છે.

(C) ધારો કે $P(n) = {10^n} + 3 \times {4^{n + 2}} + 5$.
$n = 1$ માટે,$P(1) = {10^1} + 3 \times {4^3} + 5 = 10 + 192 + 5 = 207$.
$207 = 9 \times 23$ હોવાથી,તે $9$ વડે વિભાજ્ય છે.
$n = 2$ માટે,$P(2) = {10^2} + 3 \times {4^4} + 5 = 100 + 768 + 5 = 873$.
$873 = 9 \times 97$ હોવાથી,તે $9$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,આ પદાવલિ તમામ $n \in N$ માટે $9$ વડે વિભાજ્ય છે.

(A) ધારો કે $P(n) = 3^{2n+2} - 8n - 9$.
$n=1$ માટે,$P(1) = 3^4 - 8(1) - 9 = 81 - 17 = 64$,જે $16$ વડે વિભાજ્ય છે.
$n=2$ માટે,$P(2) = 3^6 - 8(2) - 9 = 729 - 16 - 9 = 704$.
$704 = 16 \times 44$,તેથી તે $16$ વડે વિભાજ્ય છે.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $3^{2n+2} = 9 \times 3^{2n} = 9 \times (1+8)^n$.
$9 \times (1+8)^n = 9 \times [1 + n(8) + \frac{n(n-1)}{2}(8^2) + \dots]$.
$9 \times [1 + 8n + 32n(n-1) + \dots] = 9 + 72n + 288n(n-1) + \dots$.
આમ,$P(n) = 9 + 72n + 288n(n-1) + \dots - 8n - 9 = 64n + 288n(n-1) + \dots$.
દરેક પદ $64$ વડે વિભાજ્ય હોવાથી,આ પદાવલિ $64$ વડે વિભાજ્ય છે,અને પરિણામે $16$ વડે પણ વિભાજ્ય છે.

(D) આપણે $17^{30}$ ને $5$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે.
પ્રથમ,નોંધો કે $17 \equiv 2 \pmod{5}$.
તેથી,$17^{30} \equiv 2^{30} \pmod{5}$.
ફર્માના લિટલ પ્રમેય મુજબ,$5$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે અને $\gcd(2, 5) = 1$ હોવાથી,$2^{5-1} \equiv 1 \pmod{5}$,એટલે કે $2^4 \equiv 1 \pmod{5}$.
હવે,આપણે $2^{30} = (2^4)^7 \times 2^2$ લખી શકીએ.
સંગતતા મૂકતા,$2^{30} \equiv (1)^7 \times 2^2 \pmod{5}$.
$2^{30} \equiv 1 \times 4 \pmod{5}$.
$2^{30} \equiv 4 \pmod{5}$.
આમ,ન્યૂનતમ શેષ $4$ છે.

(A) આપણે $8^{2n} - 62^{2n+1}$ ને $9$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે.
નોંધો કે $8 \equiv -1 \pmod{9}$ અને $62 \equiv 8 \equiv -1 \pmod{9}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$8^{2n} - 62^{2n+1} \equiv (-1)^{2n} - (-1)^{2n+1} \pmod{9}$.
$2n$ એ બેકી સંખ્યા હોવાથી,$(-1)^{2n} = 1$.
$2n+1$ એ એકી સંખ્યા હોવાથી,$(-1)^{2n+1} = -1$.
તેથી,$1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.
આમ,શેષ $2$ છે.

(D) વિધાન $-2$ માટે: ફર્માના લિટલ પ્રમેય મુજબ,કોઈપણ અવિભાજ્ય સંખ્યા $p$ અને પૂર્ણાંક $n$ માટે,$n^p \equiv n \pmod{p}$. અહીં $p = 7$ છે,તેથી $n^7 \equiv n \pmod{7}$,જેનો અર્થ છે કે $n^7 - n$ એ $7$ વડે વિભાજ્ય છે. આમ,વિધાન $-2$ સાચું છે.
વિધાન $-1$ માટે: દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને $(n + 1)^7$ નું વિસ્તરણ કરતા: $(n + 1)^7 = n^7 + 7n^6 + 21n^5 + 35n^4 + 35n^3 + 21n^2 + 7n + 1$.
તેથી $(n + 1)^7 - n^7 - 1 = 7n^6 + 21n^5 + 35n^4 + 35n^3 + 21n^2 + 7n = 7(n^6 + 3n^5 + 5n^4 + 5n^3 + 3n^2 + n)$.
આ પદ સ્પષ્ટપણે $7$ વડે વિભાજ્ય છે. આમ,વિધાન $-1$ સાચું છે.
નોંધો કે વિધાન $-1$ ને $(n+1)^7 - (n+1) - (n^7 - n) = 7k$ તરીકે લખી શકાય છે. કારણ કે $(n+1)^7 - (n+1)$ અને $n^7 - n$ બંને $7$ વડે વિભાજ્ય છે (વિધાન $-2$ મુજબ),તેથી તેમનો તફાવત પણ $7$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી,વિધાન $-2$ એ વિધાન $-1$ માટે સાચી સમજૂતી છે.

(A) શેષ પ્રમેય મુજબ,જ્યારે બહુપદી $P(x)$ ને $(x - a)$ વડે ભાગવામાં આવે,ત્યારે શેષ $P(a)$ મળે છે.
અહીં,$P(x) = x^{64} + x^{27} + 1$ અને ભાજક $(x + 1)$ છે,જે $(x - (-1))$ છે.
તેથી,શેષ $P(-1) = (-1)^{64} + (-1)^{27} + 1$ થશે.
$64$ એ બેકી સંખ્યા હોવાથી,$(-1)^{64} = 1$.
$27$ એ એકી સંખ્યા હોવાથી,$(-1)^{27} = -1$.
આમ,શેષ $1 + (-1) + 1 = 1 - 1 + 1 = 1$ મળે છે.

(C) આપણે દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: ${49^n} = {(1 + 48)^n}$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,${49^n} = 1 + n(48) + \frac{n(n-1)}{2}(48^2) + \dots + 48^n$.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા:
${49^n} + 16n - 1 = (1 + 48n + \frac{n(n-1)}{2}(2304) + \dots) + 16n - 1$.
$= 48n + 16n + \frac{n(n-1)}{2}(2304) + \dots$
$= 64n + 1152n(n-1) + \dots$
અહીં $1152 = 64 \times 18$ હોવાથી,વિસ્તરણનું દરેક પદ $64$ નો ગુણક છે.
આમ,${49^n} + 16n - 1$ એ $64$ વડે વિભાજ્ય છે.

(B) ધારો કે પૂર્ણાંક $x$ છે.
પદાવલિ $x - x^3 = x(1 - x^2) = x(1 - x)(1 + x) = (x - 1)(x)(x + 1)$ છે.
આ ત્રણ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર છે.
$n$ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર હંમેશા $n!$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
તેથી,$3$ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ વડે વિભાજ્ય છે.

(D) આપણે $(3^P + 2)$ નો છેલ્લો અંક શોધવો છે જ્યાં $P = 3^{4n}$ અને $n \in N$.
$3$ ની ઘાતનો છેલ્લો અંક $4$ ના ચક્રમાં પુનરાવર્તિત થાય છે: $3^1 = 3, 3^2 = 9, 3^3 = 27$ (છેલ્લો અંક $7$),$3^4 = 81$ (છેલ્લો અંક $1$).
$P = 3^{4n} = (3^4)^n = 81^n$. $81^n$ નો છેલ્લો અંક હંમેશા $1$ હોય છે.
તેથી,$3^P = 3^{81^n}$. $81^n$ એ $4k+1$ સ્વરૂપની સંખ્યા છે.
તેથી $3^P = 3^{4k+1} = 3^{4k} \times 3^1$. $3^{4k}$ નો છેલ્લો અંક $1$ છે,તેથી $3^P$ નો છેલ્લો અંક $1 \times 3 = 3$ છે.
આમ,$(3^P + 2)$ નો છેલ્લો અંક $3 + 2 = 5$ છે.

(C) આપણે $(15^{23} + 23^{23})$ ને $19$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે.
નોંધો કે $15 \equiv -4 \pmod{19}$ અને $23 \equiv 4 \pmod{19}$.
તેથી,$15^{23} + 23^{23} \equiv (-4)^{23} + 4^{23} \pmod{19}$.
કારણ કે $23$ એક એકી સંખ્યા છે,$(-4)^{23} = -4^{23}$.
આમ,$15^{23} + 23^{23} \equiv -4^{23} + 4^{23} \equiv 0 \pmod{19}$.
તેથી,શેષ $0$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ એકી ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,$a^n + b^n$ એ $(a + b)$ વડે વિભાજ્ય છે.
અહીં,$n = 27$,જે એકી સંખ્યા છે.
તેથી,$(11)^{27} + (21)^{27}$ એ $(11 + 21) = 32$ વડે વિભાજ્ય છે.
કારણ કે $32$ એ $16$ નો ગુણક છે (એટલે કે $32 = 2 \times 16$),તેથી $32$ વડે વિભાજ્ય કોઈપણ સંખ્યા $16$ વડે પણ વિભાજ્ય હોય.
આમ,$(11)^{27} + (21)^{27}$ એ $16$ વડે વિભાજ્ય છે.
જ્યારે કોઈ સંખ્યા ભાજક વડે સંપૂર્ણપણે વિભાજ્ય હોય,ત્યારે શેષ $0$ વધે છે.

(C) આપણે $3^{2003}$ ને $28$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે.
પ્રથમ,નોંધો કે $3^3 = 27 = 28 - 1$.
આપણે $3^{2003} = 3^2 \cdot 3^{2001} = 9 \cdot (3^3)^{667}$ લખી શકીએ.
$3^3 = 28 - 1$ મૂકતા,આપણને $9 \cdot (28 - 1)^{667}$ મળે છે.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(28 - 1)^{667} = \sum_{k=0}^{667} \binom{667}{k} (28)^{667-k} (-1)^k$.
આ પદ $28n + (-1)^{667} = 28n - 1$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $n$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
તેથી,$3^{2003} = 9(28n - 1) = 28(9n) - 9$.
શેષ ધન હોવી જોઈએ,તેથી $-9$ ને $28 - 37$ તરીકે લખતા અથવા $28(9n - 1) + 19$ સ્વરૂપમાં ફેરવતા.
આમ,શેષ $19$ છે.

(A) આપણે $(13)^{507}$ ને $9$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે.
$(13)^{507} = (9 + 4)^{507}$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(9 + 4)^{507} = \sum_{k=0}^{507} \binom{507}{k} 9^{507-k} 4^k$.
છેલ્લા પદ (જ્યાં $k=507$) સિવાયના તમામ પદોમાં $9$ નો અવયવ છે.
તેથી,$(13)^{507} \equiv 4^{507} \pmod{9}$.
હવે,$4^1 \equiv 4 \pmod{9}$,$4^2 = 16 \equiv 7 \pmod{9}$,$4^3 = 64 \equiv 1 \pmod{9}$.
કારણ કે $4^3 \equiv 1 \pmod{9}$,તેથી $4^{507} = (4^3)^{169} \equiv (1)^{169} \equiv 1 \pmod{9}$.
આમ,શેષ $1$ મળે છે.

(B) ધારો કે ત્રણ ક્રમિક એકી સંખ્યાઓ $(2k-1)$,$(2k+1)$,અને $(2k+3)$ છે.
તેમના વર્ગોનો સરવાળો $S = (2k-1)^2 + (2k+1)^2 + (2k+3)^2$ છે.
આ પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $S = (4k^2 - 4k + 1) + (4k^2 + 4k + 1) + (4k^2 + 12k + 9) = 12k^2 + 12k + 11$.
આ સરવાળામાં $1$ ઉમેરતા,આપણને $S + 1 = 12k^2 + 12k + 12 = 12(k^2 + k + 1)$ મળે છે.
કારણ કે $k^2 + k = k(k+1)$ હંમેશા બેકી સંખ્યા હોય છે (કારણ કે તે બે ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર છે),ધારો કે $k(k+1) = 2m$.
તેથી $S + 1 = 12(2m + 1) = 24m + 12$.
આ પદ સ્પષ્ટપણે $12$ વડે વિભાજ્ય છે,પરંતુ $24$ વડે નહીં (કારણ કે $12$ એ $24$ વડે વિભાજ્ય નથી).
આમ,સરવાળો $12$ વડે વિભાજ્ય છે પરંતુ $24$ વડે નહીં.

(C) $3^{37}$ ને $80$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવા માટે:
$3^{37} = 3 \times (3^4)^9$ લખી શકાય.
$3^4 = 81$ હોવાથી,$3^{37} = 3 \times (81)^9$ થાય.
$81$ ને $(80 + 1)$ તરીકે લખતા,$3^{37} = 3 \times (80 + 1)^9$ મળે.
દ્વિપદી પ્રમેય (Binomial Theorem) મુજબ,$(80 + 1)^9 = 80k + 1$ સ્વરૂપમાં લખી શકાય.
તેથી,$3^{37} = 3(80k + 1) = 240k + 3$ થાય.
આમ,$240k + 3$ ને $80$ વડે ભાગતા શેષ $3$ મળે છે.

(D) ધારો કે $n = 100$. પદાવલિ $\sqrt {\frac{10^{2n}-1}{9} - 2\left( \frac{10^n-1}{9} \right)}$ છે.
$= \sqrt {\frac{10^{2n}-1 - 2 \times 10^n + 2}{9}} = \sqrt {\frac{10^{2n} - 2 \times 10^n + 1}{9}}$.
$= \sqrt {\left( \frac{10^n-1}{3} \right)^2} = \frac{10^n-1}{3}$.
કારણ કે $\frac{10^{100}-1}{9} = \underbrace{111...1}_{100\,\text{અંક}}$,તેથી $\frac{10^{100}-1}{3} = 3 \times \underbrace{111...1}_{100\,\text{અંક}} = \underbrace{333...3}_{100\,\text{અંક}}$.

(D) $3^{91}$ ને $80$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવા માટે:
$3^4 = 81 = 80 + 1$ હોવાથી,
$3^{91} = 3^3 \times (3^4)^{22} = 27 \times (80 + 1)^{22}$.
દ્વિપદી પ્રમેય મુજબ,$(80 + 1)^{22} = 80m + 1$ થાય.
તેથી,$3^{91} = 27(80m + 1) = 27 \times 80m + 27$.
આમ,$80$ વડે ભાગતા શેષ $27$ મળે છે.

(D) આપણે $(27)^{999}$ ને $7$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે.
આપણે $27$ ને $(28 - 1)$ તરીકે લખી શકીએ.
તેથી,$(27)^{999} = (28 - 1)^{999}$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(x + a)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} x^{n-k} a^k$.
$(28 - 1)^{999} = \binom{999}{0} (28)^{999} (-1)^0 + \binom{999}{1} (28)^{998} (-1)^1 + \dots + \binom{999}{999} (28)^0 (-1)^{999}$.
છેલ્લા પદ સિવાયના દરેક પદમાં $28$ નો અવયવ છે,જે $7$ વડે વિભાજ્ય છે.
$(27)^{999} = 7k + (-1)^{999}$,જ્યાં $k$ એક પૂર્ણાંક છે.
$(27)^{999} = 7k - 1$.
ધન શેષ મેળવવા માટે,આપણે $7k - 1 = 7(k - 1) + 7 - 1 = 7(k - 1) + 6$ લખીએ છીએ.
આમ,શેષ $6$ છે.

(B) આપણે $2^{403}$ ને $15$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવી પડશે.
આપણે લખી શકીએ $2^{403} = 2^3 \times 2^{400} = 8 \times (2^4)^{100} = 8 \times (16)^{100}$.
$16 = 15 + 1$ હોવાથી,$2^{403} = 8(15 + 1)^{100}$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(15 + 1)^{100} = 1 + 100(15) + \binom{100}{2} 15^2 + \dots + 15^{100}$.
તેથી,$2^{403} = 8 + 15 \times [8(100 + \binom{100}{2} 15 + \dots)]$.
આમ,$\frac{2^{403}}{15} = \frac{8}{15} + 8(100 + \binom{100}{2} 15 + \dots)$.
અપૂર્ણાંક ભાગ $\frac{8}{15}$ છે,જે $\frac{k}{15}$ તરીકે આપેલ છે.
તેથી,$k = 8$.

બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ માટે,જો આપણે એવી સંખ્યાઓ $q$ અને $r$ શોધી શકીએ કે જેથી $a = bq + r$ થાય,તો આપણે કહી શકીએ કે $b$ એ $a$ ને ભાગે છે જ્યાં $q$ એ ભાગફળ અને $r$ એ શેષ છે. આમ,$6^{n} - 5n$ ને $25$ વડે ભાગતા શેષ $1$ વધે છે તે દર્શાવવા માટે,આપણે સાબિત કરીશું કે $6^{n} - 5n = 25k + 1$,જ્યાં $k$ એ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
આપણી પાસે દ્વિપદી વિસ્તરણ છે:
$(1 + a)^{n} = {}^{n}C_{0} + {}^{n}C_{1}a + {}^{n}C_{2}a^{2} + \dots + {}^{n}C_{n}a^{n}$
$a = 5$ લેતા,આપણને મળે છે:
$(1 + 5)^{n} = {}^{n}C_{0} + {}^{n}C_{1}(5) + {}^{n}C_{2}(5^{2}) + \dots + {}^{n}C_{n}(5^{n})$
$6^{n} = 1 + 5n + 25({}^{n}C_{2} + {}^{n}C_{3}(5) + \dots + 5^{n-2})$
$6^{n} - 5n = 1 + 25({}^{n}C_{2} + 5 \cdot {}^{n}C_{3} + \dots + 5^{n-2})$
ધારો કે $k = {}^{n}C_{2} + 5 \cdot {}^{n}C_{3} + \dots + 5^{n-2}$.
તેથી $6^{n} - 5n = 25k + 1$.
આ દર્શાવે છે કે જ્યારે $6^{n} - 5n$ ને $25$ વડે ભાગવામાં આવે છે,ત્યારે શેષ $1$ વધે છે.

$9^{n+1}-8n-9$ એ $64$ વડે વિભાજ્ય છે તે દર્શાવવા માટે,આપણે સાબિત કરવું પડશે કે $9^{n+1}-8n-9 = 64k$,જ્યાં $k$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.
દ્વિપદી પ્રમેય મુજબ:
$(1+a)^{m} = \sum_{r=0}^{m} {^{m}C_{r}} a^{r} = {^{m}C_{0}} + {^{m}C_{1}}a + {^{m}C_{2}}a^{2} + \dots + {^{m}C_{m}}a^{m}$
$a=8$ અને $m=n+1$ લેતા,આપણને મળે છે:
$(1+8)^{n+1} = {^{n+1}C_{0}} + {^{n+1}C_{1}}(8) + {^{n+1}C_{2}}(8^{2}) + \dots + {^{n+1}C_{n+1}}(8^{n+1})$
$9^{n+1} = 1 + (n+1)(8) + 64 \left[ {^{n+1}C_{2}} + {^{n+1}C_{3}}(8) + \dots + {^{n+1}C_{n+1}}(8^{n-1}) \right]$
$9^{n+1} = 1 + 8n + 8 + 64 \left[ {^{n+1}C_{2}} + {^{n+1}C_{3}}(8) + \dots + {^{n+1}C_{n+1}}(8^{n-1}) \right]$
$9^{n+1} = 9 + 8n + 64 \left[ {^{n+1}C_{2}} + {^{n+1}C_{3}}(8) + \dots + {^{n+1}C_{n+1}}(8^{n-1}) \right]$
$9^{n+1} - 8n - 9 = 64k$,જ્યાં $k = {^{n+1}C_{2}} + {^{n+1}C_{3}}(8) + \dots + {^{n+1}C_{n+1}}(8^{n-1})$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.
આમ,જ્યારે $n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોય ત્યારે $9^{n+1}-8n-9$ એ $64$ વડે વિભાજ્ય છે.

(C) આપણે $(2021)^{3762}$ ને $17$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે.
$2021 = 2023 - 2$ લખી શકાય,જ્યાં $2023 = 17 \times 119$ છે.
તેથી,$(2021)^{3762} = (2023 - 2)^{3762} \equiv (-2)^{3762} \pmod{17}$.
$(-2)^{3762} = 2^{3762} = (2^4)^{940} \times 2^2 = 16^{940} \times 4$.
$16 \equiv -1 \pmod{17}$ હોવાથી,$16^{940} \equiv (-1)^{940} \equiv 1 \pmod{17}$.
આમ,$2^{3762} \equiv 1 \times 4 \equiv 4 \pmod{17}$.
શેષ $4$ છે.

(A) આપેલ છે કે જ્યારે $x$ ને $4$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ $3$ મળે છે,તેથી આપણે $x = 4k + 3$ લખી શકીએ.
આપણે $(2020 + x)^{2022}$ ને $8$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે.
$x = 4k + 3$ ને પદાવલિમાં મૂકતા:
$(2020 + x)^{2022} = (2020 + 4k + 3)^{2022} = (2023 + 4k)^{2022}$.
$2023 = 8 \times 252 + 7$ હોવાથી,$2023 \equiv 7 \equiv -1 \pmod{8}$ થાય.
તેથી,$(2023 + 4k)^{2022} \equiv (-1 + 4k)^{2022} \pmod{8}$.
જો $k$ બેકી સંખ્યા હોય,તો $k = 2m$ લેતા,$(-1 + 8m)^{2022} \equiv (-1)^{2022} \equiv 1 \pmod{8}$.
જો $k$ એકી સંખ્યા હોય,તો $k = 2m + 1$ લેતા,$(-1 + 4(2m + 1))^{2022} = (3 + 8m)^{2022} \equiv 3^{2022} \pmod{8}$.
$3^2 = 9 \equiv 1 \pmod{8}$ હોવાથી,$3^{2022} = (3^2)^{1011} \equiv 1^{1011} \equiv 1 \pmod{8}$.
બંને કિસ્સામાં,શેષ $1$ મળે છે.

(B) આપેલ સરવાળો એ $a=1$,$r=3$ અને $n=2022$ પદો ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
સરવાળો $S = \frac{1(3^{2022}-1)}{3-1} = \frac{3^{2022}-1}{2}$.
આપણે $3^{2022} = (3^2)^{1011} = 9^{1011} = (10-1)^{1011}$ લખી શકીએ.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$(10-1)^{1011} = 100k - 10111$.
તેથી,$S = \frac{100k - 10111 - 1}{2} = 50k - 5056$.
$S = 50(k-102) + 4$.
આમ,શેષ $4$ છે.

(D) આપણે $3^{2022}$ ને $5$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે.
$3^{2022} = (3^2)^{1011} = 9^{1011}$.
આપણે $9$ ને $(10 - 1)$ તરીકે લખી શકીએ.
તેથી,$9^{1011} = (10 - 1)^{1011}$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(10 - 1)^{1011} = \sum_{k=0}^{1011} \binom{1011}{k} 10^{1011-k} (-1)^k$.
આને $10 \cdot N - 1$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $N$ એ પૂર્ણાંક છે.
$10 \cdot N - 1 = 10 \cdot N - 5 + 4 = 5(2N - 1) + 4$.
તેથી,$3^{2022}$ ને $5$ વડે ભાગતા મળતી શેષ $4$ છે.

(C) આપણે $(2021)^{2023}$ ને $7$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે.
પ્રથમ,$2021$ ને $7$ વડે ભાગતા: $2021 = 7 \times 288 + 5$.
તેથી,$2021 \equiv 5 \pmod{7}$,જે $2021 \equiv -2 \pmod{7}$ ને સમાન છે.
તેથી,$(2021)^{2023} \equiv (-2)^{2023} \pmod{7}$.
$(-2)^{2023} = - (2^{2023}) = - (2^3)^{674} \times 2^1$.
કારણ કે $2^3 = 8 \equiv 1 \pmod{7}$,તેથી $2^3 \equiv 1 \pmod{7}$.
આમ,$(2^3)^{674} \equiv 1^{674} \equiv 1 \pmod{7}$.
તેથી,$(-2)^{2023} \equiv -(1 \times 2) \equiv -2 \pmod{7}$.
શેષને ધન સંખ્યામાં દર્શાવવા માટે,આપણે $7$ ઉમેરીએ: $-2 + 7 = 5$.
આમ,શેષ $5$ છે.

(D) આપણે $(11)^{1011} + (1011)^{11}$ ને $9$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે.
પ્રથમ,નોંધો કે $11 \equiv 2 \pmod{9}$ અને $1011 = 9 \times 112 + 3$,તેથી $1011 \equiv 3 \pmod{9}$.
આમ,$(11)^{1011} + (1011)^{11} \equiv 2^{1011} + 3^{11} \pmod{9}$.
$2^{1011} \pmod{9}$ માટે:
$2^6 = 64 \equiv 1 \pmod{9}$.
$1011 = 6 \times 168 + 3$ હોવાથી,$2^{1011} = (2^6)^{168} \times 2^3 \equiv 1^{168} \times 8 \equiv 8 \pmod{9}$.
$3^{11} \pmod{9}$ માટે:
$3^2 = 9 \equiv 0 \pmod{9}$,તેથી $3^{11} = 3^2 \times 3^9 = 9 \times 3^9 \equiv 0 \pmod{9}$.
તેથી,$(11)^{1011} + (1011)^{11} \equiv 8 + 0 \equiv 8 \pmod{9}$.
શેષ $8$ છે.

(A) આપણે $(2021)^{2022} + (2022)^{2021}$ ને $7$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે.
પ્રથમ,$2021 = 7 \times 288 + 5 \equiv -2 \pmod{7}$ અને $2022 = 7 \times 288 + 6 \equiv -1 \pmod{7}$ છે.
તેથી,$(2021)^{2022} + (2022)^{2021} \equiv (-2)^{2022} + (-1)^{2021} \pmod{7}$.
$2022$ બેકી સંખ્યા હોવાથી,$(-2)^{2022} = 2^{2022} = (2^3)^{674} = 8^{674} \equiv 1^{674} = 1 \pmod{7}$.
$2021$ એકી સંખ્યા હોવાથી,$(-1)^{2021} = -1$.
આમ,$(2021)^{2022} + (2022)^{2021} \equiv 1 - 1 = 0 \pmod{7}$.
તેથી,શેષ $0$ છે.

(C) આપણે $7^{2022} + 3^{2022}$ ને $5$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે.
નોંધો કે $7 \equiv 2 \pmod{5}$ અને $3 \equiv -2 \pmod{5}$ છે.
તેથી,$7^{2022} + 3^{2022} \equiv 2^{2022} + (-2)^{2022} \pmod{5}$.
$2022$ એ બેકી સંખ્યા હોવાથી,$(-2)^{2022} = 2^{2022}$ થાય.
આમ,$7^{2022} + 3^{2022} \equiv 2^{2022} + 2^{2022} = 2 \times 2^{2022} = 2^{2023} \pmod{5}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $2^4 = 16 \equiv 1 \pmod{5}$.
તેથી,$2^{2023} = 2^{4 \times 505 + 3} = (2^4)^{505} \times 2^3 \equiv 1^{505} \times 8 \equiv 8 \pmod{5}$.
અંતે,$8 \equiv 3 \pmod{5}$.
શેષ $3$ છે.

(D) આપેલ છે કે $N_2 = 165 = 3 \times 5 \times 11$ અને $N_1 = 2^{55} + 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે જો $n$ એકી પૂર્ણાંક હોય,તો $x^n + y^n$ એ $x + y$ વડે વિભાજ્ય છે.
અહીં $55$ એકી સંખ્યા હોવાથી,$N_1 = 2^{55} + 1^{55}$ એ $2 + 1 = 3$ વડે વિભાજ્ય છે.
વળી,$N_1 = (2^5)^{11} + 1^{11} = 32^{11} + 1^{11}$,જે $32 + 1 = 33$ વડે વિભાજ્ય છે.
$33 = 3 \times 11$ હોવાથી,$N_1$ એ $3$ અને $11$ બંને વડે વિભાજ્ય છે.
$N_2 = 165 = 5 \times 33$.
આમ,$N_1$ અને $N_2$ નો ગુ.સા.અ. $(HCF)$ $33$ છે.

(B) ધારો કે $n$ ને $3$ વડે ભાગતા મળતી શેષ $r$ છે,જ્યાં $r \in \{0, 1, 2\}$.
કિસ્સો $1$: જો $n \equiv 0 \pmod{3}$ હોય,તો $n$ એ $3$ નો ગુણક છે. પરિણામે,$n^{19}$ એ $3$ નો ગુણક છે.
કિસ્સો $2$: જો $n \equiv 1 \pmod{3}$ હોય,તો $n^{38} \equiv 1^{38} \equiv 1 \pmod{3}$. તેથી,$n^{38} - 1 \equiv 0 \pmod{3}$,એટલે કે $n^{38} - 1$ એ $3$ નો ગુણક છે.
કિસ્સો $3$: જો $n \equiv 2 \pmod{3}$ હોય,તો $n^{38} \equiv 2^{38} \equiv (-1)^{38} \equiv 1 \pmod{3}$. તેથી,$n^{38} - 1 \equiv 0 \pmod{3}$,એટલે કે $n^{38} - 1$ એ $3$ નો ગુણક છે.
આમ,તમામ કિસ્સાઓમાં,$\{n^{19}, n^{38}-1\}$ સમૂહમાંની ઓછામાં ઓછી એક સંખ્યા $3$ નો ગુણક છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે,$n^3 \equiv 0, 1, \text{ અથવા } 8 \pmod{9}$,જે $n^3 \equiv 0, 1, -1 \pmod{9}$ ને સમાન છે.
વિધાન $I$: આપણે તપાસવું છે કે શું $a^3+b^3+c^3 \equiv 0 \pmod{9}$ એ $abc \equiv 0 \pmod{3}$ સૂચવે છે.
જો $abc$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય ન હોય,તો $a, b, c \not\equiv 0 \pmod{3}$. તેથી $a, b, c \equiv 1, 2 \pmod{3}$.
ત્યારે $a^3, b^3, c^3 \equiv 1, 8 \pmod{9}$ (કારણ કે $1^3=1$ અને $2^3=8 \equiv -1 \pmod{9}$).
$a^3+b^3+c^3 \equiv 0 \pmod{9}$ મેળવવા માટે,આપણે ${1, -1}$ માંથી ત્રણ કિંમતોનો સરવાળો $0 \pmod{9}$ જોઈએ,જે અશક્ય છે કારણ કે શક્ય સરવાળા $\{3, 1, -1, -3\}$ છે.
આમ,$a, b, c$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક $3$ નો ગુણક હોવો જોઈએ,તેથી $abc$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે. વિધાન $I$ સાચું છે.
વિધાન $II$: $a=1, b=2, c=1, d=2$ લો.
તો $a^3+b^3+c^3+d^3 = 1^3+2^3+1^3+2^3 = 1+8+1+8 = 18$,જે $9$ વડે વિભાજ્ય છે.
જો કે,$abcd = 1 \times 2 \times 1 \times 2 = 4$,જે $3$ વડે વિભાજ્ય નથી.
આમ,વિધાન $II$ ખોટું છે.

(A) આપણે $(2023)^{2023}$ ને $35$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવાની છે.
પ્રથમ,$2023 = 35 \times 57 + 28$,તેથી $2023 \equiv 28 \equiv -7 \pmod{35}$.
આમ,$(2023)^{2023} \equiv (-7)^{2023} \pmod{35}$.
આપણે $(-7)^{2023} = -7 \times 7^{2022} = -7 \times (7^2)^{1011} = -7 \times (49)^{1011}$ લખી શકીએ.
$49 \equiv 14 \pmod{35}$ હોવાથી,$7^{2022} = (49)^{1011} \equiv 14^{1011} \pmod{35}$.
$14^1 \equiv 14$,$14^2 \equiv 21$,$14^3 \equiv 14 \pmod{35}$ હોવાથી,એકી ઘાત માટે $14^n \equiv 14 \pmod{35}$.
તેથી,$7^{2022} \equiv 14 \pmod{35}$.
તેથી,$(2023)^{2023} \equiv -7 \times 14 = -98 \pmod{35}$.
$-98 = -3 \times 35 + 7$ હોવાથી,$-98 \equiv 7 \pmod{35}$.
શેષ $7$ છે.

(B) આપેલ છે કે $x = 12^{50}$ અને $y = 18^{50}$.
$(12^{50} + 18^{50})$ ને $25$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવી છે.
$12^{50} = 144^{25} = (150 - 6)^{25} = 25M + (-6)^{25}$.
$18^{50} = 324^{25} = (325 - 1)^{25} = 25N - 1$.
$x + y = 25(M+N) - (6^{25} + 1)$.
$6^{25} = (6^2)^{12} \cdot 6 = 36^{12} \cdot 6 = (25 + 11)^{12} \cdot 6 = (25P + 11^{12}) \cdot 6$.
$11^{12} = (121)^6 = (125 - 4)^6 = 25Q + (-4)^6 = 25Q + 4096 = 25R + 21$.
તેથી,$6^{25} = (25R + 21) \cdot 6 = 150R + 126 = 25(6R + 5) + 1$.
$x + y = 25(M+N) - (25(6R+5) + 1 + 1) = 25S - 2$.
શેષ $25 - 2 = 23$ મળે છે.

(A) ફર્માના નાના પ્રમેય મુજબ,$11$ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે અને $\gcd(5, 11) = 1$ હોવાથી,$5^{10} \equiv 1 \pmod{11}$ થાય.
$5^{99} = 5^{90} \cdot 5^9 = (5^{10})^9 \cdot 5^9$.
$5^{10} \equiv 1 \pmod{11}$ હોવાથી,$(5^{10})^9 \equiv 1^9 \equiv 1 \pmod{11}$ થાય.
હવે,$5^9 \pmod{11}$ ની ગણતરી કરીએ:
$5^2 = 25 \equiv 3 \pmod{11}$.
$5^4 = (5^2)^2 \equiv 3^2 = 9 \equiv -2 \pmod{11}$.
$5^8 = (5^4)^2 \equiv (-2)^2 = 4 \pmod{11}$.
$5^9 = 5^8 \cdot 5^1 \equiv 4 \cdot 5 = 20 \equiv 9 \pmod{11}$.
તેથી,$5^{99} \equiv 1 \cdot 9 = 9 \pmod{11}$.
શેષ $9$ છે.

(C) $(S1)$ માટે: ધારો કે $a = 2023$ અને $b = 1999$. નોંધો કે $a \equiv 7 \pmod{8}$ અને $b \equiv 7 \pmod{8}$.
તેથી $a^{2022} \equiv 7^{2022} \pmod{8}$ અને $b^{2022} \equiv 7^{2022} \pmod{8}$.
કારણ કે $7 \equiv -1 \pmod{8}$,$7^{2022} \equiv (-1)^{2022} \equiv 1 \pmod{8}$.
આમ,$2023^{2022} - 1999^{2022} \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{8}$. તેથી,$(S1)$ સાચું છે.
$(S2)$ માટે: ધારો કે $f(n) = 13(13^{n}) - 11n - 13 = 13^{n+1} - 11n - 13$.
દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$13^{n+1} = (1 + 12)^{n+1} = 1 + (n+1)12 + \binom{n+1}{2}12^2 + \dots = 1 + 12n + 12 + 144 \binom{n+1}{2} + \dots$
તેથી,$f(n) = 1 + 12n + 12 + 144 \binom{n+1}{2} + \dots - 11n - 13 = n + 144 \binom{n+1}{2} + \dots$
$f(n)$ એ $144$ વડે વિભાજ્ય હોય તે માટે,$n$ એ $144$ નો ગુણક હોવો જોઈએ. આવા અસંખ્ય $n \in N$ હોવાથી,$(S2)$ સાચું છે.

(A) ધારો કે $E = 25^{190} - 19^{190} - 8^{190} + 2^{190}$.
આપણે તેને $E = (25^{190} - 8^{190}) - (19^{190} - 2^{190})$ તરીકે લખી શકીએ.
કોઈપણ બેકી સંખ્યા $n$ માટે $a^n - b^n$ એ $a - b$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી:
$25^{190} - 8^{190}$ એ $25 - 8 = 17$ વડે વિભાજ્ય છે.
$19^{190} - 2^{190}$ એ $19 - 2 = 17$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,$E$ એ $17$ વડે વિભાજ્ય છે.
વળી,$E = (25^{190} - 19^{190}) - (8^{190} - 2^{190})$.
$25^{190} - 19^{190}$ એ $25 - 19 = 6$ વડે વિભાજ્ય છે.
$8^{190} - 2^{190}$ એ $8 - 2 = 6$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,$E$ એ $6$ વડે વિભાજ્ય છે.
$E$ એ $17$ અને $6$ વડે વિભાજ્ય હોવાથી,અને $\text{gcd}(17, 6) = 1$,$E$ એ $17 \times 2 = 34$ વડે વિભાજ્ય છે.
$14$ માટે તપાસતા: $E \equiv 3 \pmod{7}$,તેથી તે $14$ વડે વિભાજ્ય નથી.
તેથી,તે $34$ વડે વિભાજ્ય છે પરંતુ $14$ વડે નહીં.

(B) ધારો કે $N = (22)^{2022} + (2022)^{22}$.
$3$ વડે ભાગાકાર માટે:
$22 \equiv 1 \pmod{3}$,તેથી $(22)^{2022} \equiv 1^{2022} \equiv 1 \pmod{3}$.
$2022$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી $(2022)^{22} \equiv 0^{22} \equiv 0 \pmod{3}$.
આમ,$N \equiv 1 + 0 \equiv 1 \pmod{3}$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 1$.
$7$ વડે ભાગાકાર માટે:
$22 \equiv 1 \pmod{7}$,તેથી $(22)^{2022} \equiv 1^{2022} \equiv 1 \pmod{7}$.
$2022 = 7 \times 288 + 6$,તેથી $2022 \equiv 6 \equiv -1 \pmod{7}$.
$(2022)^{22} \equiv (-1)^{22} \equiv 1 \pmod{7}$.
આમ,$N \equiv 1 + 1 \equiv 2 \pmod{7}$,જેનો અર્થ છે કે $\beta = 2$.
તેથી,$\alpha^2 + \beta^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.

(B) આપણે $\frac{4^{2022}}{15}$ નો અપૂર્ણાંક ભાગ શોધવો છે.
નોંધો કે $4^{2022} = (4^2)^{1011} = 16^{1011}$.
આપણે $16$ ને $(15 + 1)$ તરીકે લખી શકીએ.
તેથી,$16^{1011} = (15 + 1)^{1011}$.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(15 + 1)^{1011} = 15K + 1$,જ્યાં $K$ એક પૂર્ણાંક છે.
તેથી,$\frac{4^{2022}}{15} = \frac{15K + 1}{15} = K + \frac{1}{15}$.
આમ,અપૂર્ણાંક ભાગ $\frac{1}{15}$ છે.

(B) આપણે $7^{103} \pmod{17}$ ની શેષ શોધવાની છે.
ફર્માના લિટલ પ્રમેય મુજબ,જો $p$ અવિભાજ્ય હોય અને $p \nmid a$ હોય,તો $a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$.
અહીં,$p=17$ અને $a=7$ છે,તેથી $7^{16} \equiv 1 \pmod{17}$.
હવે,$103 = 16 \times 6 + 7$.
તેથી,$7^{103} = (7^{16})^6 \times 7^7 \equiv 1^6 \times 7^7 \pmod{17}$.
$7^2 = 49 \equiv 15 \equiv -2 \pmod{17}$.
$7^4 \equiv (-2)^2 = 4 \pmod{17}$.
$7^6 \equiv 4 \times (-2) = -8 \equiv 9 \pmod{17}$.
$7^7 = 7^6 \times 7 \equiv 9 \times 7 = 63 \pmod{17}$.
$63 = 17 \times 3 + 12$ હોવાથી,$63 \equiv 12 \pmod{17}$.
આમ,શેષ $12$ છે.