Solution of quadratic equations and Nature of roots Questions in Hindi

(D) दिया गया द्विघात समीकरण $2x^2 - (k - 1)x + 8 = 0$ है।
समान और वास्तविक मूल होने के लिए,विविक्तकर $D = 0$ होना चाहिए।
$D = b^2 - 4ac = 0$
यहाँ,$a = 2$,$b = -(k - 1)$,और $c = 8$ है।
मान रखने पर: $(-(k - 1))^2 - 4(2)(8) = 0$
$(k - 1)^2 - 64 = 0$
$k^2 - 2k + 1 - 64 = 0$
$k^2 - 2k - 63 = 0$
गुणनखंड करने पर: $(k - 9)(k + 7) = 0$
अतः,$k = 9$ या $k = -7$।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $2x^2 + 3x + 1 = 0$ है।
इसे $ax^2 + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,$a = 2, b = 3, c = 1$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (3)^2 - 4(2)(1) = 9 - 8 = 1$ है।
चूंकि $D > 0$ और $D$ एक पूर्ण वर्ग है,इसलिए मूल वास्तविक और परिमेय हैं।
द्विघाती सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$x = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2(2)} = \frac{-3 \pm 1}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल $x = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$ और $x = \frac{-4}{4} = -1$ हैं।
दोनों मूल परिमेय संख्याएँ हैं।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $(l - m)x^2 - 5(l + m)x - 2(l - m) = 0$ है।
द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ का विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac$ होता है।
यहाँ,$a = (l - m)$,$b = -5(l + m)$,और $c = -2(l - m)$ है।
$D = [-5(l + m)]^2 - 4(l - m)(-2(l - m))$
$D = 25(l + m)^2 + 8(l - m)^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $l$ और $m$ वास्तविक हैं और $l \neq m$,इसलिए $(l - m)^2 > 0$ और $(l + m)^2 \geq 0$ है।
अतः,$D = 25(l + m)^2 + 8(l - m)^2 > 0$ है।
चूंकि विविक्तकर $D > 0$ है,इसलिए समीकरण के मूल वास्तविक और भिन्न हैं।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + 2\sqrt{3}x + 3 = 0$ है।
इसे $ax^2 + bx + c = 0$ से तुलना करने पर,$a = 1, b = 2\sqrt{3}, c = 3$ प्राप्त होता है।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac$ की गणना इस प्रकार है:
$D = (2\sqrt{3})^2 - 4(1)(3)$
$D = 12 - 12 = 0$.
चूंकि $D = 0$ है,इसलिए मूल वास्तविक और समान हैं।
इसके अलावा,मूल $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2\sqrt{3} \pm 0}{2(1)} = -\sqrt{3}$ द्वारा प्राप्त होते हैं।
चूंकि $-\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है,इसलिए मूल अपरिमेय और समान हैं।

(C) दी गई व्यंजक $f(x, y) = x^2 + 2x(1 + y) + (my - 3)$ है।
व्यंजक के परिमेय गुणनखंड होने के लिए,$x$ के सापेक्ष इसका विविक्तकर $D$,$y$ के एक रैखिक बहुपद का पूर्ण वर्ग होना चाहिए।
$D = [2(1 + y)]^2 - 4(1)(my - 3) = 4(1 + 2y + y^2 - my + 3) = 4(y^2 + y(2 - m) + 4)$.
$D$ के पूर्ण वर्ग होने के लिए,द्विघात समीकरण $y^2 + y(2 - m) + 4$ को एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि इसका विविक्तकर शून्य होना चाहिए।
$D_y = (2 - m)^2 - 4(1)(4) = 0$.
$(2 - m)^2 = 16$.
$2 - m = \pm 4$.
यदि $2 - m = 4$ है,तो $m = -2$.
यदि $2 - m = -4$ है,तो $m = 6$.
अतः,$m$ के मान $6$ और $-2$ हैं।

(B) द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के लिए,मूल वास्तविक और भिन्न होते हैं यदि विविक्तकर (discriminant) $D = B^2 - 4AC > 0$ हो।
यहाँ,$A = a$,$B = 0$,और $C = b$ है।
विविक्तकर के सूत्र में इन मानों को रखने पर:
$D = 0^2 - 4(a)(b) > 0$
$-4ab > 0$
$-4$ से भाग देने पर (जो असमिका के चिह्न को बदल देता है):
$ab < 0$.

(B) मान लीजिए कि पहले समीकरण $2x^2 - 5x + 1 = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
अतः,$\alpha \beta = \frac{1}{2}$।
अब,दूसरा समीकरण $x^2 + 5x + 2 = 0$ लें। मान लीजिए इसके मूल $\gamma$ और $\delta$ हैं।
अतः,$\gamma \delta = 2$।
इस प्रकार,मूल एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं और उनके चिह्न विपरीत हैं।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ है जहाँ $a, b, c \in \mathbb{Q}$ और $a + b + c = 0$ है।
चूँकि $a + b + c = 0$,इसलिए $b = -(a + c)$ होगा।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac$ है।
$b = -(a + c)$ प्रतिस्थापित करने पर,$D = (-(a + c))^2 - 4ac = (a + c)^2 - 4ac = a^2 + 2ac + c^2 - 4ac = (a - c)^2$ प्राप्त होता है।
चूँकि $a, c \in \mathbb{Q}$,इसलिए $(a - c)^2$ एक परिमेय संख्या का पूर्ण वर्ग है।
यदि द्विघात समीकरण के गुणांक परिमेय हों और विविक्तकर $D$ एक पूर्ण वर्ग हो,तो मूल परिमेय होते हैं।
अतः,दोनों मूल परिमेय हैं।

(A) माना कि दिया गया द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ है,जहाँ $A = b + c - 2a$,$B = c + a - 2b$,और $C = a + b - 2c$ है।
गुणांकों का योग $A + B + C = (b + c - 2a) + (c + a - 2b) + (a + b - 2c) = 0$ है।
चूँकि गुणांकों का योग $0$ है,इसलिए समीकरण का एक मूल $x = 1$ है।
चूँकि $a, b, c \in Q$ है,इसलिए गुणांक $A, B, C$ परिमेय संख्याएँ हैं।
परिमेय गुणांक वाले द्विघात समीकरण के लिए,यदि एक मूल परिमेय है,तो दूसरा मूल भी परिमेय ही होगा।
अतः,मूल परिमेय हैं।

(D) दिया गया व्यंजक $f(x) = x^2 + 2bx + c$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,हमें $f(x) = (x + b)^2 + c - b^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(x + b)^2 \ge 0$ सभी वास्तविक $x$ के लिए होता है,इसलिए व्यंजक $f(x)$ सभी $x$ के लिए धनात्मक होगा यदि अचर पद $c - b^2 > 0$ हो।
इसका अर्थ है $c > b^2$,या $b^2 < c$।

(B) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,यदि मूल समान हैं तो विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = 0$ होता है।
यहाँ,$a = 4$,$b = p$,और $c = 9$ है।
विविक्तकर के सूत्र में इन मानों को रखने पर:
$p^2 - 4(4)(9) = 0$
$p^2 - 144 = 0$
$p^2 = 144$
$p = \pm 12$
अतः $p$ का निरपेक्ष मान $|p| = |\pm 12| = 12$ है।

(A) द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के मूल समान होने के लिए विविक्तकर $D = B^2 - 4AC = 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$A = (c^2 - ab)$,$B = -2(a^2 - bc)$,और $C = (b^2 - ac)$ है।
$D = 0$ रखने पर:
$[-2(a^2 - bc)]^2 - 4(c^2 - ab)(b^2 - ac) = 0$
$4(a^2 - bc)^2 - 4(c^2 - ab)(b^2 - ac) = 0$
सरल करने पर:
$a(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc) = 0$
अतः,शर्त $a = 0$ या $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ है।

(A) माना ${D_1}$ और ${D_2}$ क्रमशः ${x^2} + {b_1}x + {c_1} = 0$ और ${x^2} + {b_2}x + {c_2} = 0$ के विविक्तकर (discriminants) हैं।
अतः,${D_1} = b_1^2 - 4{c_1}$ और ${D_2} = b_2^2 - 4{c_2}$।
दोनों विविक्तकरों को जोड़ने पर:
${D_1} + {D_2} = b_1^2 + b_2^2 - 4({c_1} + {c_2})$।
दिया गया है कि ${b_1}{b_2} = 2({c_1} + {c_2})$,इसलिए $4({c_1} + {c_2}) = 2{b_1}{b_2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
${D_1} + {D_2} = b_1^2 + b_2^2 - 2{b_1}{b_2} = {(b_1 - b_2)^2}$।
चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग सदैव अऋणात्मक होता है,इसलिए ${(b_1 - b_2)^2} \ge 0$,जिसका अर्थ है ${D_1} + {D_2} \ge 0$।
यदि दो संख्याओं का योग अऋणात्मक है,तो उनमें से कम से कम एक संख्या अऋणात्मक होनी चाहिए।
अतः,${D_1} \ge 0$ या ${D_2} \ge 0$,जिसका अर्थ है कि कम से कम एक समीकरण के मूल वास्तविक हैं।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $kx^2 + 1 = kx + 3x - 11x^2$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $(k + 11)x^2 - (k + 3)x + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण के मूल वास्तविक और समान होने के लिए,विविक्तकर $D$ का मान $0$ होना चाहिए।
$D = b^2 - 4ac = 0$
गुणांकों $a = (k + 11)$,$b = -(k + 3)$,और $c = 1$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$(k + 3)^2 - 4(k + 11)(1) = 0$
$k^2 + 6k + 9 - 4k - 44 = 0$
$k^2 + 2k - 35 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(k + 7)(k - 5) = 0$
अतः,$k = -7$ या $k = 5$।

(B) माना $f(x) = ax^2 + bx + c$ है। तब $f(0) = c$ है। अतः,$y = f(x)$ का ग्राफ $y$-अक्ष को $(0, c)$ पर मिलता है।
यदि $c > 0$ है,तो परिकल्पना के अनुसार $f(x) > 0$ है। इसका अर्थ है कि वक्र $y = f(x)$,$x$-अक्ष को नहीं काटता है।
यदि $c < 0$ है,तो परिकल्पना के अनुसार $f(x) < 0$ है,जिसका अर्थ है कि वक्र $y = f(x)$ हमेशा $x$-अक्ष के नीचे रहता है और इसलिए यह $x$-अक्ष को नहीं काटता है।
अतः दोनों स्थितियों में $y = f(x)$,$x$-अक्ष को नहीं काटता है,अर्थात किसी भी वास्तविक $x$ के लिए $f(x) \neq 0$ है।
इसलिए,$f(x) = 0$ अर्थात $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल काल्पनिक हैं और इसलिए $b^2 < 4ac$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{a}{x + a + m} + \frac{b}{x + b + m} = 1$
दोनों पक्षों को $(x + a + m)(x + b + m)$ से गुणा करने पर:
$a(x + b + m) + b(x + a + m) = (x + a + m)(x + b + m)$
$ax + ab + am + bx + ab + bm = x^2 + bx + mx + ax + ab + am + mx + bm + m^2$
समीकरण को सरल करने पर:
$x^2 + 2mx + m^2 - ab = 0$
चूंकि मूल परिमाण में समान लेकिन विपरीत चिह्न के हैं,इसलिए मूलों का योग $0$ होना चाहिए।
मूलों का योग $= -\frac{x \text{ का गुणांक}}{x^2 \text{ का गुणांक}} = -\frac{2m}{1} = -2m$
$-2m = 0$ रखने पर,हमें $m = 0$ प्राप्त होता है।

(D) द्विघात समीकरण $At^2 + Bt + C = 0$ के मूल समान होने के लिए,विविक्तकर $D = B^2 - 4AC = 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$A = (a^2 + b^2)$,$B = -2(ac + bd)$,और $C = (c^2 + d^2)$ है।
$D = 0$ रखने पर:
$[-2(ac + bd)]^2 - 4(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = 0$
$(ac + bd)^2 - (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = 0$
$a^2c^2 + b^2d^2 + 2abcd - (a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2) = 0$
$-(ad - bc)^2 = 0$
$ad = bc$
$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$.

(B) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल समान होने के लिए विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$a = 1$,$b = -2(1 + 3k)$,और $c = 7(3 + 2k)$ है।
$D = 0$ रखने पर:
$[-2(1 + 3k)]^2 - 4(1)(7(3 + 2k)) = 0$
$4(1 + 3k)^2 - 28(3 + 2k) = 0$
$4$ से भाग देने पर:
$(1 + 3k)^2 - 7(3 + 2k) = 0$
$1 + 6k + 9k^2 - 21 - 14k = 0$
$9k^2 - 8k - 20 = 0$
द्विघात सूत्र $k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$k = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 720}}{18} = \frac{8 \pm 28}{18}$
अतः,$k = 2$ और $k = -\frac{10}{9}$ प्राप्त होते हैं।

(B) दिया गया समीकरण $x^2 - 8x + (a^2 - 6a) = 0$ है।
मूलों के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D \ge 0$ होना चाहिए।
$D = b^2 - 4ac \ge 0$
$(-8)^2 - 4(1)(a^2 - 6a) \ge 0$
$64 - 4a^2 + 24a \ge 0$
$-4$ से भाग देने पर (और असमिका का चिह्न बदलने पर):
$a^2 - 6a - 16 \le 0$
गुणनखंड करने पर:
$(a - 8)(a + 2) \le 0$
यह असमिका तब सत्य होती है जब $a$,$-2$ और $8$ के बीच (सहित) स्थित हो।
अतः,$a \in [-2, 8]$.

(C) द्विघात समीकरण $px^2 + qx + 1 = 0$ के वास्तविक मूल होने के लिए,विविक्तकर $D \ge 0$ होना चाहिए।
$D = q^2 - 4(p)(1) \ge 0$
$q^2 \ge 4p$
दिया गया है कि $p, q \in \{1, 2, 3, 4\}$,संभावित मानों की जाँच करने पर:
यदि $p = 1$,तो $q^2 \ge 4 \Rightarrow q \in \{2, 3, 4\}$ ($3$ हल)।
यदि $p = 2$,तो $q^2 \ge 8 \Rightarrow q \in \{3, 4\}$ ($2$ हल)।
यदि $p = 3$,तो $q^2 \ge 12 \Rightarrow q \in \{4\}$ ($1$ हल)।
यदि $p = 4$,तो $q^2 \ge 16 \Rightarrow q \in \{4\}$ ($1$ हल)।
कुल हलों की संख्या = $3 + 2 + 1 + 1 = 7$।

(C) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल समान होने के लिए विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = 0$ होना चाहिए।
यहाँ $a = 1$,$b = -(3k - 1)$,और $c = 2k^2 + 2k - 11$ लेने पर:
$D = (3k - 1)^2 - 4(1)(2k^2 + 2k - 11) = 0$
$9k^2 - 6k + 1 - 8k^2 - 8k + 44 = 0$
$k^2 - 14k + 45 = 0$
$(k - 5)(k - 9) = 0$
अतः,$k = 5$ या $k = 9$।

(C) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के वास्तविक और भिन्न मूल होने के लिए विविक्तकर $D = b^2 - 4ac > 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$a = k - 2$,$b = 8$,और $c = k + 4$ है।
$D = 8^2 - 4(k - 2)(k + 4) = 64 - 4(k^2 + 2k - 8) = -4k^2 - 8k + 96$ है।
$D > 0$ रखने पर: $-4(k^2 + 2k - 24) > 0$ $\Rightarrow k^2 + 2k - 24 < 0$ $\Rightarrow (k + 6)(k - 4) < 0$,अतः $-6 < k < 4$ है।
मूलों के ऋणात्मक होने के लिए,मूलों का योग $\alpha + \beta = -b/a = -8/(k - 2) < 0$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = c/a = (k + 4)/(k - 2) > 0$ होना चाहिए।
$-8/(k - 2) < 0$ से,$k - 2 > 0 \Rightarrow k > 2$ प्राप्त होता है।
$(k + 4)/(k - 2) > 0$ से,$k < -4$ या $k > 2$ प्राप्त होता है।
सभी शर्तों को मिलाने पर: $2 < k < 4$ प्राप्त होता है। दिए गए विकल्पों में से,$k = 3$ इस शर्त को पूरा करता है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 + 2kx + 4 = 0$ है।
द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,मूलों की प्रकृति विविक्तकर $D = b^2 - 4ac$ द्वारा निर्धारित की जाती है।
यहाँ,$a = 1$,$b = 2k$,और $c = 4$ है।
$D = (2k)^2 - 4(1)(4) = 4k^2 - 16$।
मूलों के वास्तविक और असमान होने के लिए,$D > 0$ होना चाहिए।
$4k^2 - 16 > 0$ $\Rightarrow 4(k^2 - 4) > 0$ $\Rightarrow k^2 > 4$।
यह असमिका तब सत्य होती है जब $k \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$ हो।
चूंकि दी गई शर्त $k \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$ है,इसलिए विविक्तकर $D$ हमेशा $0$ से बड़ा होगा।
अतः,मूल वास्तविक और असमान हैं।

(B) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल समान होने के लिए,विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$a = (m - n)$,$b = (n - l)$,और $c = (l - m)$ है।
$D = 0$ में मान रखने पर:
$(n - l)^2 - 4(m - n)(l - m) = 0$
$n^2 + l^2 - 2nl - 4(ml - m^2 - nl + mn) = 0$
$n^2 + l^2 - 2nl - 4ml + 4m^2 + 4nl - 4mn = 0$
$l^2 + n^2 + 4m^2 + 2nl - 4mn - 4ml = 0$
यह व्यंजक $(l + n - 2m)^2 = 0$ का विस्तार है।
अतः,$l + n - 2m = 0$,जिसका अर्थ है $2m = n + l$।
यह दर्शाता है कि $l, m, n$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।

(D) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल काल्पनिक होने के लिए,विविक्तकर $D < 0$ होना चाहिए।
$D = b^2 - 4ac < 0$
यहाँ,$a = 1$,$b = 5$,और $c = k$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $5^2 - 4(1)(k) < 0$।
$25 - 4k < 0$
$4k > 25$
$k > \frac{25}{4}$
$k > 6.25$
$6.25$ से बड़ा न्यूनतम पूर्णांक $k$,$7$ है।

(C) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,यदि विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac = 0$ हो,तो मूल समान होते हैं।
दिया गया समीकरण: $4x^2 + 6px + 1 = 0$।
यहाँ,$a = 4$,$b = 6p$,और $c = 1$ है।
विविक्तकर के सूत्र में मान रखने पर:
$(6p)^2 - 4(4)(1) = 0$
$36p^2 - 16 = 0$
$36p^2 = 16$
$p^2 = \frac{16}{36} = \frac{4}{9}$
$p = \pm \frac{2}{3}$।
चूंकि दिए गए विकल्पों में केवल धनात्मक मान है,इसलिए सही विकल्प $\frac{2}{3}$ है।

(A) दिया गया समीकरण $(1 + 2k)x^2 + (1 - 2k)x + (1 - 2k) = 0$ है।
एक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के पूर्ण वर्ग होने के लिए,इसका विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$a = (1 + 2k)$,$b = (1 - 2k)$,और $c = (1 - 2k)$ है।
$D = 0$ रखने पर,$(1 - 2k)^2 - 4(1 + 2k)(1 - 2k) = 0$ प्राप्त होता है।
$(1 - 2k)$ को उभयनिष्ठ लेने पर,$(1 - 2k) \cdot [(1 - 2k) - 4(1 + 2k)] = 0$ मिलता है।
$(1 - 2k) \cdot [1 - 2k - 4 - 8k] = 0$ अर्थात $(1 - 2k) \cdot (-3 - 10k) = 0$ है।
इससे $k$ के दो मान प्राप्त होते हैं: $k = \frac{1}{2}$ और $k = -\frac{3}{10}$।
अतः $k$ के कुल $2$ मान संभव हैं।

(A) दिया गया है कि $\sin A, \sin B, \cos A$ $G.P.$ में हैं,इसलिए $\sin^2 B = \sin A \cos A$.
$2$ से गुणा करने पर,$2 \sin^2 B = 2 \sin A \cos A = \sin 2A$.
सर्वसमिका $2 \sin^2 B = 1 - \cos 2B$ का उपयोग करने पर,$1 - \cos 2B = \sin 2A$,जिसका अर्थ है $\cos 2B = 1 - \sin 2A$.
चूंकि $-1 \le \sin 2A \le 1$,इसलिए $0 \le 1 - \sin 2A \le 2$,अतः $\cos 2B \ge 0$.
द्विघात समीकरण $x^2 + 2x \cot B + 1 = 0$ के लिए,विविक्तकर $D = (2 \cot B)^2 - 4(1)(1) = 4(\cot^2 B - 1)$.
$\cot^2 B - 1 = \frac{\cos 2B}{\sin^2 B}$ का उपयोग करने पर,$D = 4 \frac{\cos 2B}{\sin^2 B}$.
चूंकि $\cos 2B \ge 0$ और $\sin^2 B > 0$,इसलिए $D \ge 0$.
अतः,समीकरण के मूल हमेशा वास्तविक होते हैं।

(A) चूँकि गुणांक $p$ और $q$ वास्तविक हैं,इसलिए सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों में होते हैं।
दिया गया एक मूल $x_1 = 2 + i\sqrt{3}$ है,इसलिए दूसरा मूल $x_2 = 2 - i\sqrt{3}$ होगा।
द्विघात समीकरण के गुणों का उपयोग करते हुए,मूलों का योग $x_1 + x_2 = (2 + i\sqrt{3}) + (2 - i\sqrt{3}) = 4$ है।
समीकरण $x^2 + px + q = 0$ से,मूलों का योग $-p$ है। इसलिए,$-p = 4$,जिसका अर्थ है $p = -4$।
मूलों का गुणनफल $x_1 \times x_2 = (2 + i\sqrt{3})(2 - i\sqrt{3}) = 2^2 - (i\sqrt{3})^2 = 4 - (-3) = 7$ है।
समीकरण $x^2 + px + q = 0$ से,मूलों का गुणनफल $q$ है। इसलिए,$q = 7$।
अतः,$(p, q) = (-4, 7)$।

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{\alpha}{x - \alpha} + \frac{\beta}{x - \beta} = 1$
$(x - \alpha)(x - \beta)$ से गुणा करने पर:
$\alpha(x - \beta) + \beta(x - \alpha) = (x - \alpha)(x - \beta)$
$\alpha x - \alpha \beta + \beta x - \alpha \beta = x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta$
$x^2 - 2(\alpha + \beta)x + 3\alpha \beta = 0$
माना मूल $k$ और $-k$ हैं। मूलों का योग $x$ के गुणांक के ऋणात्मक के बराबर होता है:
$k + (-k) = 2(\alpha + \beta)$
$0 = 2(\alpha + \beta)$
$\alpha + \beta = 0$

(A) चूंकि गुणांक वास्तविक हैं,इसलिए सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों में होते हैं।
दिया गया एक मूल $\alpha = 7 + 5i$ है,इसलिए दूसरा मूल $\beta = 7 - 5i$ होगा।
मूलों का योग $\alpha + \beta = (7 + 5i) + (7 - 5i) = 14$ है।
मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = (7 + 5i)(7 - 5i) = 7^2 - (5i)^2 = 49 + 25 = 74$ है।
द्विघात समीकरण का सूत्र $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ है।
मान रखने पर,हमें $x^2 - 14x + 74 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण $\frac{1}{x + p} + \frac{1}{x + q} = \frac{1}{r}$ है।
$r(x + q) + r(x + p) = (x + p)(x + q)$ से गुणा करने पर,$x^2 + x(p + q - 2r) + (pq - rp - rq) = 0$ प्राप्त होता है।
माना मूल $\alpha$ और $-\alpha$ हैं। मूलों का योग शून्य होने के कारण,$x$ का गुणांक शून्य होगा:
$p + q - 2r = 0 \implies r = \frac{p + q}{2}$.
मूलों का गुणनफल $\alpha(-\alpha) = -\alpha^2 = pq - r(p + q)$ है।
$r = \frac{p + q}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$-\alpha^2 = pq - \frac{p + q}{2}(p + q) = pq - \frac{(p + q)^2}{2} = -\frac{p^2 + q^2}{2}$.

(B) दिया गया है कि पहला मूल $\alpha = 2 - \sqrt{3}$ है।
चूंकि गुणांक परिमेय हैं,इसलिए दूसरा मूल इसका संयुग्मी $\beta = 2 + \sqrt{3}$ होगा।
मूलों का योग $\alpha + \beta = (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 4$ है।
मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = (2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$ है।
द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $x^2 - 4x + 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया एक मूल $\alpha = \frac{1}{2 + \sqrt{5}}$ है।
हर का परिमेयकरण करने पर,$\alpha = \frac{2 - \sqrt{5}}{(2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5})} = \frac{2 - \sqrt{5}}{4 - 5} = \sqrt{5} - 2$ प्राप्त होता है।
दूसरा मूल $\beta = -\sqrt{5} - 2$ होगा।
मूलों का योग $(\alpha + \beta) = -4$ और गुणनफल $(\alpha \beta) = -1$ है।
अतः,द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{योग})x + (\text{गुणनफल}) = 0$ के अनुसार $x^2 + 4x - 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के लिए,यदि विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = 0$ हो,तो मूल समान होते हैं।
यहाँ,$a = 1$,$b = 2m$,और $c = m^2 - 2m + 6$ है।
विविक्तकर के सूत्र में इन मानों को रखने पर:
$(2m)^2 - 4(1)(m^2 - 2m + 6) = 0$
$4m^2 - 4m^2 + 8m - 24 = 0$
$8m - 24 = 0$
$8m = 24$
$m = 3$.

(A) माना मूल $\alpha = \frac{1}{3 + \sqrt{2}}$ और $\beta = \frac{1}{3 - \sqrt{2}}$ हैं।
मूलों का परिमेयकरण करने पर:
$\alpha = \frac{3 - \sqrt{2}}{7}$
$\beta = \frac{3 + \sqrt{2}}{7}$
मूलों का योग $(\alpha + \beta) = \frac{6}{7}$
मूलों का गुणनफल $(\alpha \times \beta) = \frac{1}{7}$
द्विघात समीकरण $x^2 - (\text{मूलों का योग})x + (\text{मूलों का गुणनफल}) = 0$ के अनुसार:
$x^2 - \frac{6}{7}x + \frac{1}{7} = 0$
$7$ से गुणा करने पर,$7x^2 - 6x + 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना कि दो अंकों की संख्या $10x + y$ है,जहाँ $x$ दहाई का अंक है और $y$ इकाई का अंक है।
प्रश्न के अनुसार,संख्या अपने अंकों के योग की चार गुनी है:
$10x + y = 4(x + y)$
$10x + y = 4x + 4y$
$6x = 3y$
$y = 2x$ (समीकरण $1$)
साथ ही,संख्या अपने अंकों के गुणनफल की तीन गुनी है:
$10x + y = 3xy$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ में $y = 2x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$10x + 2x = 3x(2x)$
$12x = 6x^2$
चूंकि $x$ दहाई का अंक है,$x \neq 0$,इसलिए $6x$ से विभाजित करने पर:
$2 = x$
समीकरण $1$ का उपयोग करने पर,$y = 2(2) = 4$.
अतः,संख्या $10(2) + 4 = 24$ है।

(C) दिया गया समीकरण $x^2 + x + 1 = 0$ है।
चूंकि $\alpha$ एक मूल है,$\alpha^2 + \alpha + 1 = 0$,जिसका अर्थ है कि $\alpha^3 = 1$ है।
साथ ही,मूल $\alpha$ और $\alpha^2$ हैं,इसलिए $\alpha + \alpha^2 = -1$ और $\alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^3 = 1$ है।
हमें वह समीकरण ज्ञात करना है जिसके मूल $\alpha^{31}$ और $\alpha^{62}$ हैं।
$\alpha^3 = 1$ होने के कारण,$\alpha^{31} = (\alpha^3)^{10} \cdot \alpha = 1^{10} \cdot \alpha = \alpha$ है।
इसी प्रकार,$\alpha^{62} = (\alpha^3)^{20} \cdot \alpha^2 = 1^{20} \cdot \alpha^2 = \alpha^2$ है।
नए समीकरण के मूल $\alpha$ और $\alpha^2$ हैं।
अतः,अभीष्ट समीकरण मूल समीकरण के समान ही है: $x^2 + x + 1 = 0$।

(D) द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के लिए,यदि $A + B + C = 0$ है,तो $x = 1$ हमेशा एक मूल होता है।
यहाँ,$A = a + b - 2c$,$B = -(2a - b - c)$,और $C = a - 2b + c$ है।
गुणांकों का योग: $A + B + C = (a + b - 2c) - (2a - b - c) + (a - 2b + c) = 0$ है।
अतः,$x_1 = 1$ एक मूल है।
मूलों का गुणनफल $\frac{C}{A} = \frac{a - 2b + c}{a + b - 2c}$ है।
इसलिए,दूसरा मूल $x_2 = \frac{a - 2b + c}{a + b - 2c}$ है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,सही विकल्प $D$ है।

(D) यह दिया गया है कि गुणांक $p$ और $q$ वास्तविक संख्याएँ हैं,इसलिए सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों में होते हैं।
चूँकि $3 + 4i$ एक मूल है,इसलिए इसका संयुग्मी $3 - 4i$ भी समीकरण ${x^2} + px + q = 0$ का एक मूल होगा।
द्विघात समीकरण ${x^2} + px + q = 0$ के लिए,मूलों का योग $-p$ और मूलों का गुणनफल $q$ होता है।
मूलों का योग: $(3 + 4i) + (3 - 4i) = 6 = -p \implies p = -6$.
मूलों का गुणनफल: $(3 + 4i)(3 - 4i) = 3^2 - (4i)^2 = 9 - 16(-1) = 9 + 16 = 25 = q$.
अतः,$p = -6$ और $q = 25$.

(A) माना कि मूल $\alpha$ और $\alpha + 1$ हैं।
अतः,मूलों का योग $\alpha + (\alpha + 1) = 2\alpha + 1 = b$ है।
मूलों का गुणनफल $\alpha(\alpha + 1) = c$ है।
अब,हम विविक्तकर $b^2 - 4c$ की गणना करते हैं:
$b^2 - 4c = (2\alpha + 1)^2 - 4\alpha(\alpha + 1)$
$= 4\alpha^2 + 4\alpha + 1 - 4\alpha^2 - 4\alpha$
$= 1$.
अतः,$b^2 - 4c = 1$।

(D) चूंकि द्विघात समीकरण ${x^2} - ax + b = 0$ के गुणांक वास्तविक हैं,इसलिए सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों में होते हैं।
दिया गया है कि $1 - i$ एक मूल है,इसलिए इसका संयुग्मी $1 + i$ भी एक मूल होगा।
मूलों का योग $(1 - i) + (1 + i) = 2$ है।
समीकरण से,मूलों का योग $a$ है,इसलिए $a = 2$।
मूलों का गुणनफल $(1 - i)(1 + i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 2$ है।
समीकरण से,मूलों का गुणनफल $b$ है,इसलिए $b = 2$।

(C) दिया गया है कि $3$,समीकरण $x^2 + kx - 24 = 0$ का एक मूल है।
समीकरण में $x = 3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(3)^2 + k(3) - 24 = 0$
$9 + 3k - 24 = 0$
$3k - 15 = 0$
$3k = 15$
$k = 5$
अब,जाँचें कि $k = 5$ होने पर कौन सा विकल्प $x = 3$ को मूल के रूप में संतुष्ट करता है:
विकल्प $(C)$ के लिए,$x^2 - kx + 6 = 0$,$x^2 - 5x + 6 = 0$ बन जाता है।
$x = 3$ रखने पर: $(3)^2 - 5(3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$.
अतः,$3$,$x^2 - kx + 6 = 0$ का एक मूल है।

(C) दिया गया समीकरण ${t^2}{x^2} + |x| + 9 = 0$ है।
किसी भी वास्तविक संख्या $t$ और $x$ के लिए,हम जानते हैं कि ${t^2}{x^2} \ge 0$ और $|x| \ge 0$ होता है।
इसलिए,${t^2}{x^2} + |x| + 9 \ge 9$।
चूंकि व्यंजक का मान हमेशा $9$ या उससे अधिक है,इसलिए यह कभी भी $0$ के बराबर नहीं हो सकता।
अतः,समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।
परिणामस्वरूप,वास्तविक मूलों का गुणनफल अस्तित्व में नहीं है।

(A) दिए गए द्विघात समीकरण $x^2 + px + q = 0$ के लिए,यदि एक मूल $2 + \sqrt{3}$ है,तो दूसरा मूल इसका संयुग्मी $2 - \sqrt{3}$ होगा।
मूलों का योग $= -p = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4$,जिससे $p = -4$ प्राप्त होता है।
मूलों का गुणनफल $= q = (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$.
अतः,$(p, q) = (-4, 1)$ है।

(D) माना $f(x) = x^4 - px^2 + q$ है। चूँकि $x^2 - 3x + 2$,$f(x)$ का एक गुणनखंड है,इसलिए $x^2 - 3x + 2 = 0$ के मूल $f(x) = 0$ के भी मूल होने चाहिए।
$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) = 0$,अतः मूल $x = 1$ और $x = 2$ हैं।
$x = 1$ के लिए: $1^4 - p(1)^2 + q = 0$ $\Rightarrow 1 - p + q = 0$ $\Rightarrow p - q = 1$ (समीकरण $i$)।
$x = 2$ के लिए: $2^4 - p(2)^2 + q = 0$ $\Rightarrow 16 - 4p + q = 0$ $\Rightarrow 4p - q = 16$ (समीकरण $ii$)।
(ii) में से $(i)$ को घटाने पर: $(4p - q) - (p - q) = 16 - 1$ $\Rightarrow 3p = 15$ $\Rightarrow p = 5$।
$p = 5$ को $(i)$ में रखने पर: $5 - q = 1 \Rightarrow q = 4$।
अतः,$(p, q) = (5, 4)$।

(C) दिया गया व्यंजक ${x^2} - 8x + 17$ है।
वर्ग पूरा करने की विधि का उपयोग करते हुए:
${x^2} - 8x + 17 = {x^2} - 8x + 16 + 1 = {(x - 4)^2} + 1$.
चूंकि $x$ एक वास्तविक संख्या है,किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,अर्थात ${(x - 4)^2} \ge 0$.
${(x - 4)^2}$ का न्यूनतम मान $0$ है जब $x = 4$ हो।
अतः,दिए गए व्यंजक का न्यूनतम मान $0 + 1 = 1$ है।

(A) माना $y = x^2 - 6x + 13$ है।
हम व्यंजक को पूर्ण वर्ग बनाकर फिर से लिख सकते हैं:
$y = (x^2 - 6x + 9) + 4$
$y = (x - 3)^2 + 4$।
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $(x - 3)^2 \ge 0$ है,इसलिए $(x - 3)^2 + 4$ का न्यूनतम मान $0 + 4 = 4$ है।
अतः,$y \ge 4$।
इस प्रकार,व्यंजक का मान $4$ से कम नहीं होगा।

(C) दिया गया समीकरण $|3x^2 + 12x + 6| = 5x + 16$ है ... $(i)$
स्थिति $1$: $3x^2 + 12x + 6 \ge 0$
$x^2 + 4x + 2 \ge 0$ $\Rightarrow (x+2)^2 \ge 2$ $\Rightarrow x \le -2 - \sqrt{2}$ या $x \ge -2 + \sqrt{2}$ ... $(ii)$
इस स्थिति में,समीकरण $3x^2 + 12x + 6 = 5x + 16 \Rightarrow 3x^2 + 7x - 10 = 0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण को हल करने पर,हमें $(3x + 10)(x - 1) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x = 1$ या $x = -\frac{10}{3}$।
$(ii)$ की शर्त की जाँच करने पर,$x = 1$ शर्त को पूरा करता है,लेकिन $x = -\frac{10}{3}$ शर्त को पूरा नहीं करता है।
स्थिति $2$: $3x^2 + 12x + 6 < 0$
$-2 - \sqrt{2} < x < -2 + \sqrt{2}$ ... $(iii)$
इस स्थिति में,समीकरण $-(3x^2 + 12x + 6) = 5x + 16 \Rightarrow 3x^2 + 17x + 22 = 0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण को हल करने पर,हमें $(3x + 11)(x + 2) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x = -2$ या $x = -\frac{11}{3}$।
$(iii)$ की शर्त की जाँच करने पर,$x = -2$ शर्त को पूरा करता है,लेकिन $x = -\frac{11}{3}$ शर्त को पूरा नहीं करता है।
अतः,केवल $x = 1$ और $x = -2$ ही हल हैं। इस प्रकार कुल $2$ वास्तविक मान प्राप्त होते हैं।

(D) दिया गया त्रिघात समीकरण $4x^3 + 16x^2 - 9x - 36 = 0$ है।
पदों का समूहीकरण करके गुणनखंड करने पर:
$4x^2(x + 4) - 9(x + 4) = 0$.
$(x + 4)$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$(x + 4)(4x^2 - 9) = 0$.
इससे $x + 4 = 0$ या $4x^2 - 9 = 0$ प्राप्त होता है।
$x + 4 = 0$ के लिए,$x = -4$.
$4x^2 - 9 = 0$ के लिए,$x^2 = \frac{9}{4}$,जिसका अर्थ है $x = \pm \frac{3}{2}$.
अतः मूल $-4, \frac{3}{2}, -\frac{3}{2}$ हैं।
यहाँ दो मूलों $\frac{3}{2}$ और $-\frac{3}{2}$ का योग शून्य है,जो दी गई शर्त को पूरा करता है।