यदि {b_1}{b_2} = 2({c_1} + {c_2}) है,तो समीकर | vedclass

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Question

(A) माना ${D_1}$ और ${D_2}$ क्रमशः ${x^2} + {b_1}x + {c_1} = 0$ और ${x^2} + {b_2}x + {c_2} = 0$ के विविक्तकर (discriminants) हैं।अतः,${D_1} = b_1^2 -

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वास्तविक मूल

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(A) माना ${D_1}$ और ${D_2}$ क्रमशः ${x^2} + {b_1}x + {c_1} = 0$ और ${x^2} + {b_2}x + {c_2} = 0$ के विविक्तकर (discriminants) हैं।अतः,${D_1} = b_1^2 - 4{c_1}$ और ${D_2} = b_2^2 - 4{c_2}$।दोनों विविक्तकरों को जोड़ने पर:${D_1} + {D_2} = b_1^2 + b_2^2 - 4({c_1} + {c_2})$।दिया गया है कि ${b_1}{b_2} = 2({c_1} + {c_2})$,इसलिए $4({c_1} + {c_2}) = 2{b_1}{b_2}$ प्रतिस्थापित करने पर:${D_1} + {D_2} = b_1^2 + b_2^2 - 2{b_1}{b_2} = {(b_1 - b_2)^2}$।चूंकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग सदैव अऋणात्मक होता है,इसलिए ${(b_1 - b_2)^2} \ge 0$,जिसका अर्थ है ${D_1} + {D_2} \ge 0$।यदि दो संख्याओं का योग अऋणात्मक है,तो उनमें से कम से कम एक संख्या अऋणात्मक होनी चाहिए।अतः,${D_1} \ge 0$ या ${D_2} \ge 0$,जिसका अर्थ है कि कम से कम एक समीकरण के मूल वास्तविक हैं।

यदि ${b_1}{b_2} = 2({c_1} + {c_2})$ है,तो समीकरणों ${x^2} + {b_1}x + {c_1} = 0$ और ${x^2} + {b_2}x + {c_2} = 0$ में से कम से कम एक के मूल कैसे होंगे?

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