Solution of quadratic equations and Nature of roots Questions in Hindi

(D) दिया गया समीकरण: $\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{4x - 1}$ $(i)$
वर्गमूल को परिभाषित करने के लिए,$x + 1 \ge 0$,$x - 1 \ge 0$,और $4x - 1 \ge 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x \ge 1$.
$(i)$ के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x + 1) + (x - 1) - 2\sqrt{x^2 - 1} = 4x - 1$
$2x - 2\sqrt{x^2 - 1} = 4x - 1$
$-2\sqrt{x^2 - 1} = 2x - 1$
चूंकि $x \ge 1$,बायां पक्ष $-2\sqrt{x^2 - 1} \le 0$ है,जबकि दायां पक्ष $2x - 1 \ge 2(1) - 1 = 1$ है।
एक गैर-धनात्मक संख्या एक धनात्मक संख्या के बराबर नहीं हो सकती है,इसलिए समीकरण का कोई वास्तविक हल नहीं है।

(C) दिया गया समीकरण: $5^{x - 1} + 5 \cdot (0.2)^{x - 2} = 26$
चूंकि $0.2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$,इसलिए:
$5^{x - 1} + 5 \cdot (5^{-1})^{x - 2} = 26$
$5^{x - 1} + 5 \cdot 5^{-(x - 2)} = 26$
$5^{x - 1} + 5^{3 - x} = 26$
$5^{x - 1} + \frac{125}{5^x} = 26$
माना $y = 5^{x - 1}$,तो $5^x = 5y$.
$y + \frac{25}{y} = 26$
$y^2 - 26y + 25 = 0$
$(y - 25)(y - 1) = 0$
अतः $y = 25$ या $y = 1$.
यदि $5^{x - 1} = 5^2$ है,तो $x = 3$.
यदि $5^{x - 1} = 5^0$ है,तो $x = 1$.
इस प्रकार,$x$ के $2$ मान समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

(B) दिया गया है $x = \sqrt{7} + \sqrt{3}$ और $xy = 4$।
चूंकि $xy = 4$,इसलिए $y = \frac{4}{x} = \frac{4}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$।
हर का परिमेयकरण करने पर: $y = \frac{4(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{7 - 3} = \frac{4(\sqrt{7} - \sqrt{3})}{4} = \sqrt{7} - \sqrt{3}$।
अब,$x + y = (\sqrt{7} + \sqrt{3}) + (\sqrt{7} - \sqrt{3}) = 2\sqrt{7}$।
हम जानते हैं कि $x^4 + y^4 = (x^2 + y^2)^2 - 2x^2y^2$।
पहले,$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = (2\sqrt{7})^2 - 2(4) = 28 - 8 = 20$।
अतः,$x^4 + y^4 = (20)^2 - 2(xy)^2 = 400 - 2(4)^2 = 400 - 2(16) = 400 - 32 = 368$।

(B) दिया गया समीकरण: $\sqrt{x + 10} + \sqrt{x - 2} = 6$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\sqrt{x + 10} = 6 - \sqrt{x - 2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x + 10 = (6 - \sqrt{x - 2})^2$
$x + 10 = 36 + (x - 2) - 12\sqrt{x - 2}$
$x + 10 = 34 + x - 12\sqrt{x - 2}$
दोनों पक्षों से $x$ घटाने पर: $10 = 34 - 12\sqrt{x - 2}$
$-24 = -12\sqrt{x - 2}$
$-12$ से भाग देने पर: $2 = \sqrt{x - 2}$
पुनः दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4 = x - 2$
$x = 6$
सत्यापन: $\sqrt{6 + 10} + \sqrt{6 - 2} = \sqrt{16} + \sqrt{4} = 4 + 2 = 6$. यह समीकरण को संतुष्ट करता है।

(A) माना शेषफल $Q(x) = ax^2 + bx + c$ है। शेषफल प्रमेय के अनुसार:
$f(-1) = 6 \implies a - b + c = 6$ $(i)$
$f(2) = 3 \implies 4a + 2b + c = 3$ (ii)
$f(-2) = 15 \implies 4a - 2b + c = 15$ (iii)
(ii) में से (iii) घटाने पर: $4b = -12 \implies b = -3$.
$(i)$ और (ii) में $b = -3$ रखने पर:
$a + c = 3$ और $4a + c = 9$.
इन समीकरणों को हल करने पर $a = 2$ और $c = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,शेषफल $Q(x) = 2x^2 - 3x + 1$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $4^{(x^2 + 2)} - 9 \cdot 2^{(x^2 + 2)} + 8 = 0$
माना $y = 2^{(x^2 + 2)}$. तब $4^{(x^2 + 2)} = (2^{(x^2 + 2)})^2 = y^2$ होगा।
समीकरण: $y^2 - 9y + 8 = 0$
गुणनखंड करने पर:
$(y - 8)(y - 1) = 0$
अतः $y = 8$ या $y = 1$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $y = 8$
$2^{(x^2 + 2)} = 2^3$
$x^2 + 2 = 3$
$x^2 = 1$
$x = \pm 1$
स्थिति $2$: $y = 1$
$2^{(x^2 + 2)} = 2^0$
$x^2 + 2 = 0$
$x^2 = -2$ (जो संभव नहीं है)।
अतः,हल $x = 1$ और $x = -1$ हैं।

(A) दिया गया है $x = 2 + \sqrt{3}$ और $xy = 1$,इसलिए $y = \frac{1}{x} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$.
माना $S = \frac{x}{\sqrt{2} + \sqrt{x}} + \frac{y}{\sqrt{2} - \sqrt{y}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर:
$S = \frac{x(\sqrt{2} - \sqrt{x})}{2 - x} + \frac{y(\sqrt{2} + \sqrt{y})}{2 - y}$.
चूंकि $x - 2 = \sqrt{3}$ और $2 - y = \sqrt{3}$,इसलिए:
$S = \frac{x(\sqrt{2} - \sqrt{x})}{-\sqrt{3}} + \frac{y(\sqrt{2} + \sqrt{y})}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} [\sqrt{2}(y - x) + (x\sqrt{x} + y\sqrt{y})]$.
$y - x = -2\sqrt{3}$ और $x\sqrt{x} + y\sqrt{y} = 3\sqrt{6}$ होने के कारण,
$S = \frac{1}{\sqrt{3}} [\sqrt{2}(-2\sqrt{3}) + 3\sqrt{6}] = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2}$.

(C) दिया गया समीकरण: $x^4 - x^3 + x - 1 = 0$
समूहन द्वारा गुणनखंड करने पर:
$x^3(x - 1) + 1(x - 1) = 0$
$(x^3 + 1)(x - 1) = 0$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
$1) x - 1 = 0 \implies x = 1$
$2) x^3 + 1 = 0 \implies x^3 = -1$
$x^3 = -1$ के मूल $x = -1$ और सम्मिश्र मूल $\frac{1 \pm \sqrt{3}i}{2}$ हैं।
अतः,समीकरण के मूल $1, -1, \frac{1 + \sqrt{3}i}{2}, \text{ और } \frac{1 - \sqrt{3}i}{2}$ हैं।
इसके वास्तविक मूल $1$ और $-1$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण $a^2 - 2a\sin x + 1 = 0$ है।
$a$ के वास्तविक होने के लिए,इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर (discriminant) $D \ge 0$ होना चाहिए।
$D = (-2\sin x)^2 - 4(1)(1) = 4\sin^2 x - 4 = -4\cos^2 x$.
चूंकि $D \ge 0$,इसलिए $-4\cos^2 x \ge 0$,जिसका अर्थ है $\cos^2 x \le 0$.
चूंकि $\cos^2 x$ ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $\cos^2 x = 0$ अर्थात $\cos x = 0$ होगा।
यदि $\cos x = 0$,तो $\sin x = 1$ या $\sin x = -1$ होगा।
स्थिति $1$: यदि $\sin x = 1$,तो $a^2 - 2a + 1 = 0$ $\Rightarrow (a - 1)^2 = 0$ $\Rightarrow a = 1$.
स्थिति $2$: यदि $\sin x = -1$,तो $a^2 + 2a + 1 = 0$ $\Rightarrow (a + 1)^2 = 0$ $\Rightarrow a = -1$.
अतः,$a$ के वास्तविक मान $1$ और $-1$ हैं।
कुल $2$ वास्तविक मान प्राप्त होते हैं।

(D) मान लीजिए कि दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
चूंकि एक संख्या दूसरी का व्युत्क्रम है,इसलिए $b = \frac{1}{a}$।
दोनों संख्याओं का समांतर माध्य $\frac{a + b}{2} = \frac{13}{12}$ दिया गया है।
$b = \frac{1}{a}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{a + \frac{1}{a}}{2} = \frac{13}{12}$ प्राप्त होता है।
$2$ से गुणा करने पर,$a + \frac{1}{a} = \frac{13}{6}$ प्राप्त होता है।
समीकरण को $6a$ से गुणा करने पर,$6a^2 + 6 = 13a$,जो द्विघात समीकरण $6a^2 - 13a + 6 = 0$ में बदल जाता है।
गुणनखंड करने पर: $6a^2 - 9a - 4a + 6 = 0 \Rightarrow 3a(2a - 3) - 2(2a - 3) = 0$।
इससे $(3a - 2)(2a - 3) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$a = \frac{2}{3}$ या $a = \frac{3}{2}$।
यदि $a = \frac{3}{2}$ है,तो $b = \frac{2}{3}$ होगा।
अतः,वे संख्याएँ $\frac{3}{2}$ और $\frac{2}{3}$ हैं।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $a(b - c)x^2 + b(c - a)x + c(a - b) = 0$ है।
चूंकि मूल समान हैं,इसलिए विविक्तकर $D = 0$ होगा।
यहाँ,$A = a(b - c)$,$B = b(c - a)$,और $C = c(a - b)$ है।
$B^2 - 4AC = 0 \Rightarrow [b(c - a)]^2 - 4[a(b - c)][c(a - b)] = 0$.
$b^2(c - a)^2 - 4ac(b - c)(a - b) = 0$.
$b^2(c^2 - 2ac + a^2) - 4ac(ab - b^2 - ac + bc) = 0$.
$b^2c^2 - 2ab^2c + a^2b^2 - 4a^2bc + 4ab^2c + 4a^2c^2 - 4abc^2 = 0$.
$(bc + ab - 2ac)^2 = 0$.
$bc + ab = 2ac$.
$abc$ से भाग देने पर,हमें $\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{2}{b}$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण: ${x^2} - 2Ax + {G^2} = 0$ $(i)$
मान लीजिए $a$ और $b$ दो धनात्मक संख्याएँ हैं जिनका समांतर माध्य $A$ और गुणोत्तर माध्य $G$ है।
अतः,$A = \frac{a + b}{2}$ और $G^2 = ab$.
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर: ${x^2} - (a + b)x + ab = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: ${x^2} - ax - bx + ab = 0$ $\Rightarrow x(x - a) - b(x - a) = 0$ $\Rightarrow (x - a)(x - b) = 0$.
इस प्रकार,समीकरण के मूल $a$ और $b$ हैं।
वास्तविक मूल $a$ और $b$ के अस्तित्व के लिए,विविक्तकर $D$ का मान शून्य या धनात्मक होना चाहिए: $D = (-2A)^2 - 4(1)(G^2) \ge 0$.
$4A^2 - 4G^2 \ge 0 \Rightarrow A^2 \ge G^2$.
चूंकि $A$ और $G$ धनात्मक संख्याओं के माध्य हैं,$A, G > 0$,इसलिए $A \ge G$.
विशेष रूप से,$A - G = \frac{a + b}{2} - \sqrt{ab} = \frac{1}{2}(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 \ge 0$.
अतः,$A \ge G$.

(A) दिया गया है कि $p, q, r$ $A.P.$ में हैं और धनात्मक हैं।
अतः,$q = \frac{p + r}{2}$ ......$(i)$
द्विघात समीकरण $px^2 + qx + r = 0$ के मूल वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D \ge 0$ होना चाहिए।
$D = q^2 - 4pr \ge 0$
$(i)$ को असमिका में रखने पर:
$\left( \frac{p + r}{2} \right)^2 - 4pr \ge 0$
$p^2 + r^2 + 2pr - 16pr \ge 0$
$p^2 + r^2 - 14pr \ge 0$
$p^2$ से भाग देने पर (चूंकि $p > 0$):
$1 + \left( \frac{r}{p} \right)^2 - 14\left( \frac{r}{p} \right) \ge 0$
$\left( \frac{r}{p} \right)^2 - 14\left( \frac{r}{p} \right) + 1 \ge 0$
पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$\left( \frac{r}{p} - 7 \right)^2 - 49 + 1 \ge 0$
$\left( \frac{r}{p} - 7 \right)^2 \ge 48$
$\left( \frac{r}{p} - 7 \right)^2 \ge (4\sqrt{3})^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\left| \frac{r}{p} - 7 \right| \ge 4\sqrt{3}$.

(A) दिया गया है कि $a + b + c + d = 2$। मान लीजिए $x = a + b$ और $y = c + d$। तब $x + y = 2$ और $M = xy$।
समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य असमिका $(AM \ge GM)$ के अनुसार,$\frac{x + y}{2} \ge \sqrt{xy}$।
मान रखने पर,$\frac{2}{2} \ge \sqrt{M}$,जिसका अर्थ है $1 \ge \sqrt{M}$,या $M \le 1$।
चूंकि $a, b, c, d$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं,$x > 0$ और $y > 0$,इसलिए $M = xy > 0$।
अतः,संबंध $0 < M \le 1$ है।

(A) दिया गया समीकरण: $a(x^2 + 1) - (a^2 + 1)x = 0$
पदों का विस्तार करने पर: $ax^2 + a - a^2x - x = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $ax^2 - a^2x - x + a = 0$
गुणनखंड करने पर: $ax(x - a) - 1(x - a) = 0$
$(ax - 1)(x - a) = 0$
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर रखने पर: $ax - 1 = 0$ या $x - a = 0$
अतः,$x = \frac{1}{a}$ या $x = a$.

(B) दिया गया समीकरण: $x^4 - 8x^2 - 9 = 0$
मान लीजिए $y = x^2$,तो समीकरण $y^2 - 8y - 9 = 0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $y^2 - 9y + y - 9 = 0$
$y(y - 9) + 1(y - 9) = 0$
$(y + 1)(y - 9) = 0$
अतः,$y = -1$ या $y = 9$।
$y = x^2$ वापस रखने पर:
स्थिति $1$: $x^2 = -1 \Rightarrow x = \pm i$
स्थिति $2$: $x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$
इस प्रकार,मूल $x = \pm 3, \pm i$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण: $x^{2/3} + x^{1/3} - 2 = 0$
माना $a = x^{1/3}$। इस मान को समीकरण में रखने पर:
$a^2 + a - 2 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(a + 2)(a - 1) = 0$
अतः,$a = 1$ या $a = -2$ है।
स्थिति $1$: यदि $a = 1$ है,तो $x^{1/3} = 1$,जिसका अर्थ है $x = 1^3 = 1$ है।
स्थिति $2$: यदि $a = -2$ है,तो $x^{1/3} = -2$,जिसका अर्थ है $x = (-2)^3 = -8$ है।
इस प्रकार,मूल $x = 1, -8$ हैं।

(B) दिया गया है $x = 2 + 2^{2/3} + 2^{1/3}$.
दोनों पक्षों से $2$ घटाने पर,हमें $x - 2 = 2^{2/3} + 2^{1/3}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का घन करने पर,$(x - 2)^3 = (2^{2/3} + 2^{1/3})^3$.
सर्वसमिका $(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$ का उपयोग करने पर:
$x^3 - 3(x^2)(2) + 3(x)(2^2) - 2^3 = (2^{2/3})^3 + (2^{1/3})^3 + 3(2^{2/3})(2^{1/3})(2^{2/3} + 2^{1/3})$.
$x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = 4 + 2 + 3(2^1)(x - 2)$.
$x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = 6 + 6x - 12$.
$x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = 6x - 6$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$x^3 - 6x^2 + 6x = 8 - 6 = 2$.

(D) दिया गया समीकरण $\sqrt{3x + 1} + 1 = \sqrt{x}$ है।
दोनों पक्षों से $1$ घटाने पर,$\sqrt{3x + 1} = \sqrt{x} - 1$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$3x + 1 = x + 1 - 2\sqrt{x}$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर,$2x = -2\sqrt{x}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = -\sqrt{x}$।
पुनः वर्ग करने पर,$x^2 = x$,अतः $x^2 - x = 0$,जो $x(x - 1) = 0$ देता है,यानी $x = 0$ या $x = 1$।
$x = 0$ की जाँच करने पर: $\sqrt{3(0) + 1} + 1 = 1 + 1 = 2$,जबकि $\sqrt{0} = 0$। चूँकि $2 \neq 0$,$x = 0$ हल नहीं है।
$x = 1$ की जाँच करने पर: $\sqrt{3(1) + 1} + 1 = 2 + 1 = 3$,जबकि $\sqrt{1} = 1$। चूँकि $3 \neq 1$,$x = 1$ हल नहीं है।
अतः,दिए गए समीकरण के लिए कोई वास्तविक मूल नहीं है।

(B) माना कि अभीष्ट संख्या $x$ है।
प्रश्न के अनुसार,$x = \sqrt{x} + 12$.
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$x - 12 = \sqrt{x}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x - 12)^2 = x$.
$x^2 - 24x + 144 = x$.
$x^2 - 25x + 144 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x - 16)(x - 9) = 0$.
अतः,$x = 16$ या $x = 9$.
$x = 16$ के लिए जाँच करने पर: $16 - \sqrt{16} = 16 - 4 = 12$. यह शर्त को पूरा करता है।
$x = 9$ के लिए जाँच करने पर: $9 - \sqrt{9} = 9 - 3 = 6 \neq 12$. यह शर्त को पूरा नहीं करता है।
इसलिए,सही संख्या $16$ है।

(B) दिया गया समीकरण $3^{2x} - 10 \cdot 3^x + 9 = 0$ है,जिसे $(3^x)^2 - 10(3^x) + 9 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
माना $a = 3^x$. तब समीकरण $a^2 - 10a + 9 = 0$ में बदल जाता है।
इस द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(a - 9)(a - 1) = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $a = 9$ या $a = 1$ मिलता है।
स्थिति $1$: यदि $a = 9$ है,तो $3^x = 9 = 3^2$,अतः $x = 2$।
स्थिति $2$: यदि $a = 1$ है,तो $3^x = 1 = 3^0$,अतः $x = 0$।
अतः,समीकरण के मूल $0$ और $2$ हैं।

(C) दिया गया है: ${x^2} + {y^2} = 25$ और ${xy} = 12$.
दूसरे समीकरण से,$y = \frac{12}{x}$.
इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: ${x^2} + \left( \frac{12}{x} \right)^2 = 25$.
${x^2} + \frac{144}{x^2} = 25$.
${x^2}$ से गुणा करने पर: ${x^4} + 144 = 25{x^2}$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: ${x^4} - 25{x^2} + 144 = 0$.
माना ${x^2} = t$,तो ${t^2} - 25t + 144 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(t - 16)(t - 9) = 0$.
अतः,${x^2} = 16$ या ${x^2} = 9$.
इसलिए,$x = \pm 4$ या $x = \pm 3$.
$x$ के संभावित मानों का समुच्चय $\{3, 4, -3, -4\}$ है।

(A) दिया गया है कि $a, b, c$ पूर्णांक हैं,इसलिए द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के गुणांक परिमेय हैं।
यदि परिमेय गुणांकों वाले द्विघात समीकरण का एक मूल $\alpha + \sqrt{\beta}$ के रूप में है (जहाँ $\sqrt{\beta}$ एक अपरिमेय करणी है),तो दूसरा मूल इसका संयुग्मी $\alpha - \sqrt{\beta}$ होना चाहिए।
यहाँ,एक मूल $3 + \sqrt{5}$ है।
इसलिए,दूसरा मूल $3 - \sqrt{5}$ होगा।

(D) दिया गया समीकरण $|x|^2 - 3|x| + 2 = 0$ है।
माना $|x| = t$,जहाँ $t \ge 0$ है।
समीकरण $t^2 - 3t + 2 = 0$ हो जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(t - 1)(t - 2) = 0$ प्राप्त होता है।
इससे $t = 1$ या $t = 2$ मिलता है।
चूँकि $t = |x|$,इसलिए $|x| = 1$ या $|x| = 2$ है।
$|x| = 1$ के लिए,हल $x = 1$ और $x = -1$ हैं।
$|x| = 2$ के लिए,हल $x = 2$ और $x = -2$ हैं।
अतः,वास्तविक हल $x \in \{1, -1, 2, -2\}$ हैं।
वास्तविक हलों की कुल संख्या $4$ है।

(B) दिया गया समीकरण $|x^2 + 4x + 3| + 2x + 5 = 0$ है।
स्थिति $I$: $x^2 + 4x + 3 \ge 0$,जिसका अर्थ है $(x+1)(x+3) \ge 0$,अतः $x \in (-\infty, -3] \cup [-1, \infty)$।
समीकरण $x^2 + 4x + 3 + 2x + 5 = 0$ हो जाता है,जो $x^2 + 6x + 8 = 0$ में सरल हो जाता है।
गुणनखंड करने पर $(x+2)(x+4) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x = -2$ या $x = -4$।
शर्त की जाँच करने पर: $x = -4$ अंतराल $x \in (-\infty, -3]$ में है,लेकिन $x = -2$ अंतराल $x \in [-1, \infty)$ में नहीं है। अतः,$x = -4$ एक हल है।
स्थिति $II$: $x^2 + 4x + 3 < 0$,जिसका अर्थ है $x \in (-3, -1)$।
समीकरण $-(x^2 + 4x + 3) + 2x + 5 = 0$ हो जाता है,जो $-x^2 - 2x + 2 = 0$ या $x^2 + 2x - 2 = 0$ में सरल हो जाता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$।
शर्त की जाँच करने पर: $\sqrt{3} \approx 1.732$,अतः $x_1 = -1 + 1.732 = 0.732$ (जो $(-3, -1)$ में नहीं है) और $x_2 = -1 - 1.732 = -2.732$ (जो $(-3, -1)$ में है)।
अतः,$x = -1 - \sqrt{3}$ एक हल है।
कुल $2$ वास्तविक हल हैं।

(C) दिया गया समीकरण $(p - q){x^2} + (q - r)x + (r - p) = 0$ है।
यहाँ गुणांकों का योग $(p - q) + (q - r) + (r - p) = 0$ है।
यदि द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ में गुणांकों का योग $0$ है,तो $x = 1$ हमेशा एक मूल होता है।
माना मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। हम जानते हैं कि मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{c}{a}$ होता है।
यहाँ,$\alpha = 1$,इसलिए $1 \times \beta = \frac{r - p}{p - q}$।
अतः,मूल $1$ और $\frac{r - p}{p - q}$ हैं।

(C) दिया गया है कि $4$ समीकरण $x^2 + px + 12 = 0$ का एक मूल है।
समीकरण में $x = 4$ रखने पर: $4^2 + p(4) + 12 = 0$.
$16 + 4p + 12 = 0$ $\Rightarrow 4p = -28$ $\Rightarrow p = -7$.
अब,दूसरा समीकरण $x^2 + px + q = 0$ है,जो $x^2 - 7x + q = 0$ हो जाता है।
चूंकि इस समीकरण के मूल समान हैं,इसलिए विविक्तकर (discriminant) $D = b^2 - 4ac = 0$ होना चाहिए।
$(-7)^2 - 4(1)(q) = 0$.
$49 - 4q = 0$ $\Rightarrow 4q = 49$ $\Rightarrow q = \frac{49}{4}$.

(D) दिया गया समीकरण: $x - \frac{2}{x - 1} = 1 - \frac{2}{x - 1}$ है।
व्यंजक को परिभाषित होने के लिए,हर शून्य नहीं होना चाहिए,इसलिए $x - 1 \neq 0$,जिसका अर्थ है $x \neq 1$।
समीकरण के दोनों पक्षों में $\frac{2}{x - 1}$ जोड़ने पर,हमें $x = 1$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,मूल समीकरण की शर्त के अनुसार $x \neq 1$ है।
चूंकि संभावित समाधान $x = 1$ समीकरण के डोमेन में नहीं है,इसलिए इस समीकरण का कोई मूल नहीं है।

(D) दिया गया समीकरण: $x + \frac{1}{x} = 2$ (जहाँ $x \neq 0$).
पूरे समीकरण को $x$ से गुणा करने पर:
$x^2 + 1 = 2x$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करके द्विघात समीकरण प्राप्त करने पर:
$x^2 - 2x + 1 = 0$
यह एक पूर्ण वर्ग त्रिपद है:
$(x - 1)^2 = 0$
$x$ के लिए हल करने पर:
$x = 1$.
चूँकि $1$ विकल्पों $A, B, C$ में नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $\sqrt{3x^2 - 7x - 30} + \sqrt{2x^2 - 7x - 5} = x + 5$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\sqrt{3x^2 - 7x - 30} = (x + 5) - \sqrt{2x^2 - 7x - 5}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$3x^2 - 7x - 30 = (x + 5)^2 + (2x^2 - 7x - 5) - 2(x + 5)\sqrt{2x^2 - 7x - 5}$
$3x^2 - 7x - 30 = 3x^2 + 3x + 20 - 2(x + 5)\sqrt{2x^2 - 7x - 5}$
$-10x - 50 = -2(x + 5)\sqrt{2x^2 - 7x - 5}$
$5(x + 5) = (x + 5)\sqrt{2x^2 - 7x - 5}$
इसका अर्थ है कि या तो $x + 5 = 0$ या $5 = \sqrt{2x^2 - 7x - 5}$ है।
यदि $x = 6$ को मूल समीकरण में रखने पर: $\sqrt{36} + \sqrt{25} = 6 + 5 = 11$,जो सही है।
अतः,$x = 6$ सही उत्तर है।

(B) माना $x = 2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \dots \infty}}$.
चूंकि यह एक अनंत व्यंजक है,हम लिख सकते हैं $x = 2 + \frac{1}{x}$.
$x$ से गुणा करने पर,$x^2 = 2x + 1$,जो $x^2 - 2x - 1 = 0$ में बदल जाता है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$.
$x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.
चूंकि व्यंजक का मान धनात्मक और $2$ से बड़ा होना चाहिए,इसलिए $1 - \sqrt{2}$ को छोड़ दिया जाता है।
अतः,सही उत्तर $1 + \sqrt{2}$ है।

(D) एक द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के अधिकतम $2$ मूल हो सकते हैं जब तक कि वह एक सर्वसमिका (identity) न हो।
चूंकि समीकरण के $3$ भिन्न मूल हैं,इसलिए यह एक सर्वसमिका होनी चाहिए।
अतः,सभी गुणांक शून्य होने चाहिए,अर्थात $a = 0, b = 0, c = 0$।

(D) दिया गया समीकरण $|x|^2 - 7|x| + 12 = 0$ है।
माना $|x| = t$,जहाँ $t \ge 0$ है।
समीकरण $t^2 - 7t + 12 = 0$ हो जाता है।
गुणनखंड करने पर: $(t - 4)(t - 3) = 0$ प्राप्त होता है।
इससे $t = 4$ या $t = 3$ मिलता है।
$|x| = t$ वापस रखने पर:
स्थिति $1$: $|x| = 4 \implies x = 4, -4$।
स्थिति $2$: $|x| = 3 \implies x = 3, -3$।
अतः,मूल $4, -4, 3, -3$ हैं।
मूलों की कुल संख्या $4$ है।

(C) दिया गया है $x = \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots}}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2 = 2 + \sqrt{2 + \sqrt{2 + \dots}}$
चूंकि वर्गमूल के अंदर का व्यंजक $x$ है,हम लिख सकते हैं $x^2 = 2 + x$
पदों को व्यवस्थित करने पर,$x^2 - x - 2 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x - 2)(x + 1) = 0$
इससे $x = 2$ या $x = -1$ प्राप्त होता है।
चूंकि एक धनात्मक संख्या का वर्गमूल हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए $x$ का मान $-1$ नहीं हो सकता।
अतः,$x = 2$।

(A) दिया गया समीकरण: $\sqrt{x + 1} - \sqrt{x - 1} = \sqrt{4x - 1}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x + 1) + (x - 1) - 2\sqrt{(x + 1)(x - 1)} = 4x - 1$.
$2x - 2\sqrt{x^2 - 1} = 4x - 1$.
$-2\sqrt{x^2 - 1} = 2x - 1$.
पुनः दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4(x^2 - 1) = (2x - 1)^2$.
$4x^2 - 4 = 4x^2 - 4x + 1$.
$-4 = -4x + 1$.
$4x = 5 \implies x = 5/4$.
मूल समीकरण में $x = 5/4$ रखने पर: $\sqrt{5/4 + 1} - \sqrt{5/4 - 1} = \sqrt{9/4} - \sqrt{1/4} = 3/2 - 1/2 = 1$.
हालाँकि,दायां पक्ष $\sqrt{4(5/4) - 1} = \sqrt{5 - 1} = \sqrt{4} = 2$ है।
चूँकि $1 \neq 2$,इसलिए $x = 5/4$ एक बाह्य हल है।
अतः,समीकरण का कोई हल नहीं है।

(C) दिया गया है $x = \sqrt{6 + \sqrt{6 + \sqrt{6 + \dots \infty}}}$.
चूंकि व्यंजक अनंत है,हम $x = \sqrt{6 + x}$ लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $x^2 = 6 + x$ प्राप्त होता है,जहाँ $x > 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें द्विघात समीकरण $x^2 - x - 6 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x - 3)(x + 2) = 0$।
इससे $x = 3$ या $x = -2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x$ एक वर्गमूल है,इसलिए $x$ धनात्मक होना चाहिए,अतः $x = 3$।

(D) दिया गया समीकरण: $x^2 + 5|x| + 4 = 0$।
चूंकि $x^2 = |x|^2$,समीकरण $|x|^2 + 5|x| + 4 = 0$ हो जाता है।
माना $t = |x|$,जहाँ $t \ge 0$। समीकरण $t^2 + 5t + 4 = 0$ है।
गुणनखंड करने पर: $(t + 1)(t + 4) = 0$।
इससे $t = -1$ या $t = -4$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|x| = t$ और निरपेक्ष मान हमेशा गैर-ऋणात्मक $(|x| \ge 0)$ होना चाहिए,इसलिए $x$ का कोई वास्तविक मान संभव नहीं है।
अतः,समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

(D) दिया गया समीकरण $|x - 2| = x^2$ है।
स्थिति $1$: यदि $x - 2 \ge 0$ (अर्थात $x \ge 2$),तो $x - 2 = x^2 \Rightarrow x^2 - x + 2 = 0$। विविक्तकर $D = (-1)^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7 < 0$,अतः इस स्थिति में कोई वास्तविक मूल नहीं है।
स्थिति $2$: यदि $x - 2 < 0$ (अर्थात $x < 2$),तो $-(x - 2) = x^2$ $\Rightarrow 2 - x = x^2$ $\Rightarrow x^2 + x - 2 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(x + 2)(x - 1) = 0$।
इससे $x = -2$ या $x = 1$ प्राप्त होता है।
दोनों मान शर्त $x < 2$ को संतुष्ट करते हैं।
अतः,हल समुच्चय $\{ 1, -2 \}$ है।

(A) माना $y = |x - 2|$। समीकरण $y^2 + y - 6 = 0$ बन जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(y + 3)(y - 2) = 0$।
इससे $y = -3$ या $y = 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $y = |x - 2|$,$y$ ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $y = -3$ को छोड़ देते हैं।
अतः,$|x - 2| = 2$।
इसका अर्थ है $x - 2 = 2$ या $x - 2 = -2$।
इन्हें हल करने पर,$x = 4$ या $x = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल $0, 4$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण: $\frac{p + q - x}{r} + \frac{q + r - x}{p} + \frac{r + p - x}{q} + \frac{3x}{p + q + r} = 0$
समीकरण के दोनों पक्षों में $3$ जोड़ने पर:
$(\frac{p + q - x}{r} + 1) + (\frac{q + r - x}{p} + 1) + (\frac{r + p - x}{q} + 1) + \frac{3x}{p + q + r} = 3$
$\frac{p + q + r - x}{r} + \frac{q + r + p - x}{p} + \frac{r + p + q - x}{q} + \frac{3x}{p + q + r} = 3$
$(p + q + r - x) (\frac{1}{r} + \frac{1}{p} + \frac{1}{q}) = 3 - \frac{3x}{p + q + r}$
$(p + q + r - x) (\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r}) = 3 (\frac{p + q + r - x}{p + q + r})$
$(p + q + r - x) [\frac{1}{p} + \frac{1}{q} + \frac{1}{r} - \frac{3}{p + q + r}] = 0$
इससे पता चलता है कि $p + q + r - x = 0$ या कोष्ठक वाला पद शून्य है।
अतः,$x = p + q + r$.

(C) द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के लिए,यदि मूल समान हैं तो विविक्तकर $D = B^2 - 4AC = 0$ होता है।
यहाँ,$A = (m^2 + 1)$,$B = 2am$,और $C = a^2 - b^2$ है।
शर्त $B^2 - 4AC = 0$ में इन मानों को रखने पर:
$(2am)^2 - 4(m^2 + 1)(a^2 - b^2) = 0$
$4a^2m^2 - 4(m^2a^2 - m^2b^2 + a^2 - b^2) = 0$
$4$ से विभाजित करने पर:
$a^2m^2 - m^2a^2 + m^2b^2 - a^2 + b^2 = 0$
$m^2b^2 - a^2 + b^2 = 0$
$b^2(m^2 + 1) - a^2 = 0$
अतः,$a^2 - b^2(m^2 + 1) = 0$।

(B) $P(x) = 0$ और $Q(x) = 0$ के विविक्तकर (discriminants) क्रमशः $D_1$ और $D_2$ हैं।
$D_1 = b^2 - 4ac$ और $D_2 = d^2 + 4ac$ है।
विविक्तकरों का योग: $D_1 + D_2 = b^2 + d^2$ है।
चूंकि $b^2 \ge 0$ और $d^2 \ge 0$,इसलिए $D_1 + D_2 \ge 0$ है।
यदि $D_1 < 0$ और $D_2 < 0$ हो,तो $D_1 + D_2 < 0$ होगा,जो संभव नहीं है।
अतः,$D_1$ या $D_2$ में से कम से कम एक $0$ या उससे बड़ा होना चाहिए।
इसलिए,$P(x) \cdot Q(x) = 0$ के कम से कम दो वास्तविक मूल होंगे।

(C) दिया गया समीकरण $(x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = 0$ है।
पदों का विस्तार करने पर:
$(x^2 - (a+b)x + ab) + (x^2 - (b+c)x + bc) + (x^2 - (c+a)x + ca) = 0$.
समान पदों को जोड़ने पर,हमें द्विघात समीकरण प्राप्त होता है:
$3x^2 - 2(a + b + c)x + (ab + bc + ca) = 0$.
द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C = 0$ के लिए,विविक्तकर $D = B^2 - 4AC$ होता है।
यहाँ,$A = 3$,$B = -2(a + b + c)$,और $C = (ab + bc + ca)$ है।
$D = [-2(a + b + c)]^2 - 4(3)(ab + bc + ca)$
$D = 4(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca) - 12(ab + bc + ca)$
$D = 4(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$
$D = 2[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]$.
चूंकि वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए $D \ge 0$ है।
अतः,मूल हमेशा वास्तविक होते हैं।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $({p^2} + {q^2}){x^2} - 2q(p + r)x + ({q^2} + {r^2}) = 0$ है।
चूंकि मूल वास्तविक और समान हैं,इसलिए विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = 0$ होना चाहिए।
यहाँ,$a = ({p^2} + {q^2})$,$b = -2q(p + r)$,और $c = ({q^2} + {r^2})$ है।
अतः,$D = [-2q(p + r)]^2 - 4({p^2} + {q^2})({q^2} + {r^2}) = 0$.
$4q^2(p + r)^2 - 4({p^2}q^2 + p^2r^2 + q^4 + q^2r^2) = 0$.
$4$ से विभाजित करने पर,$q^2(p^2 + r^2 + 2pr) - (p^2q^2 + p^2r^2 + q^4 + q^2r^2) = 0$.
$p^2q^2 + q^2r^2 + 2pq^2r - p^2q^2 - p^2r^2 - q^4 - q^2r^2 = 0$.
सरल करने पर,$2pq^2r - p^2r^2 - q^4 = 0$.
$-(q^4 - 2pq^2r + p^2r^2) = 0$.
$-(q^2 - pr)^2 = 0$.
इसका अर्थ है $q^2 - pr = 0$,या $q^2 = pr$.
अतः,$p, q, r$ गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ में हैं।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $4ax^2 + 3bx + 2c = 0$ है।
विविक्तकर $D = B^2 - 4AC = (3b)^2 - 4(4a)(2c) = 9b^2 - 32ac$ है।
दिया है कि $a + b + c = 0$,इसलिए $b = -(a + c)$ है।
$b$ का मान विविक्तकर में रखने पर:
$D = 9(-(a + c))^2 - 32ac = 9(a^2 + 2ac + c^2) - 32ac = 9a^2 - 14ac + 9c^2$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि मूल वास्तविक हैं।

(D) दिया गया समीकरण: $2(a^2 + b^2)x^2 + 2(a + b)x + 1 = 0$
$Ax^2 + Bx + C = 0$ से तुलना करने पर:
$A = 2(a^2 + b^2)$,$B = 2(a + b)$,$C = 1$
विविक्तकर $D = B^2 - 4AC$:
$D = [2(a + b)]^2 - 4 \times 2(a^2 + b^2) \times 1$
$D = 4(a^2 + b^2 + 2ab) - 8(a^2 + b^2)$
$D = -4(a - b)^2$
चूंकि $(a - b)^2 \ge 0$,इसलिए $D = -4(a - b)^2 \le 0$ होगा।
यदि $a \neq b$ है,तो $D < 0$,जिसका अर्थ है कि मूल काल्पनिक हैं।

(D) दिया गया है कि $ax^2 + x + b = 0$ के मूल वास्तविक हैं,इसलिए विविक्तकर $D_1 \ge 0$ है।
$D_1 = (1)^2 - 4ab \ge 0 \implies 4ab \le 1$ है।
अब,दूसरे समीकरण $x^2 - 4\sqrt{ab}x + 1 = 0$ पर विचार करें।
इस समीकरण का विविक्तकर $D_2$ इस प्रकार है:
$D_2 = (-4\sqrt{ab})^2 - 4(1)(1) = 16ab - 4$ है।
चूंकि $4ab \le 1$,इसलिए $16ab \le 4$,जिसका अर्थ है कि $16ab - 4 \le 0$ है।
अतः,$D_2 \le 0$ है।
चूंकि विविक्तकर शून्य या शून्य से कम है,इसलिए मूल काल्पनिक हैं।

(B) द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल द्विघात सूत्र द्वारा दिए जाते हैं:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
स्थिति $1$: यदि विविक्तकर $D = b^2 - 4ac \ge 0$ है,तो मूल वास्तविक हैं।
चूंकि $a, b, c > 0$ है,इसलिए $\sqrt{b^2 - 4ac} < \sqrt{b^2} = b$ है।
अतः,दोनों मूल $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$ और $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$ ऋणात्मक हैं क्योंकि अंश ऋणात्मक है और $a > 0$ है।
स्थिति $2$: यदि $D = b^2 - 4ac < 0$ है,तो मूल सम्मिश्र संख्याएँ हैं:
$x = \frac{-b}{2a} \pm i \frac{\sqrt{4ac - b^2}}{2a}$
इन मूलों का वास्तविक भाग $\text{Re}(x) = -\frac{b}{2a}$ है।
चूंकि $a > 0$ और $b > 0$ है,इसलिए वास्तविक भाग $-\frac{b}{2a}$ हमेशा ऋणात्मक होता है।
निष्कर्ष: प्रत्येक स्थिति में,मूलों का वास्तविक भाग ऋणात्मक होता है।