Relation between roots and coefficients Questions in Gujarati

(B) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
આપેલ છે કે બીજનો તફાવત $|\alpha - \beta| = 1$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$.
દ્વિઘાત સમીકરણ પરથી કિંમતો મૂકતા,જ્યાં $\alpha + \beta = -p$ અને $\alpha\beta = q$:
$1^2 = (-p)^2 - 4(q)$
$1 = p^2 - 4q$
$p^2 = 4q + 1$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $4x^2 + 3x + 7 = 0$ છે.
$ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 4, b = 3, c = 7$ મળે.
બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -b/a = -3/4$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = c/a = 7/4$.
હવે,$1/\alpha + 1/\beta = (\alpha + \beta) / (\alpha\beta)$.
કિંમતો મૂકતા,$(-3/4) / (7/4) = -3/7$ મળે.

(D) ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $2\alpha$ છે.
બીજનો સરવાળો: $\alpha + 2\alpha = 3\alpha = -\frac{3a - 1}{a^2 - 5a + 3} \Rightarrow \alpha = -\frac{3a - 1}{3(a^2 - 5a + 3)}$.
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \times 2\alpha = 2\alpha^2 = \frac{2}{a^2 - 5a + 3} \Rightarrow \alpha^2 = \frac{1}{a^2 - 5a + 3}$.
$\alpha^2$ માટેના સમીકરણનો વર્ગ કરતા: $\alpha^2 = \frac{(3a - 1)^2}{9(a^2 - 5a + 3)^2}$.
$\alpha^2$ ની બંને કિંમતો સરખાવતા: $\frac{1}{a^2 - 5a + 3} = \frac{(3a - 1)^2}{9(a^2 - 5a + 3)^2}$.
$a^2 - 5a + 3 \neq 0$ હોવાથી,$9(a^2 - 5a + 3) = (3a - 1)^2$.
$9a^2 - 45a + 27 = 9a^2 - 6a + 1$.
$-39a = -26 \Rightarrow a = \frac{26}{39} = \frac{2}{3}$.

(A) ધારો કે સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\alpha^2$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \alpha^2 = -p$
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^3 = q$
તેથી,$\alpha = q^{1/3}$.
સરવાળાના સમીકરણમાં $\alpha$ ની કિંમત મૂકતા:
$q^{1/3} + q^{2/3} = -p$
બંને બાજુ ઘન કરતા:
$(q^{1/3} + q^{2/3})^3 = (-p)^3$
$(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$q + q^2 + 3q(q^{1/3} + q^{2/3}) = -p^3$
$q + q^2 + 3q(-p) = -p^3$
$p^3 + q^2 - 3pq + q = 0$
$p^3 - q(3p - q) + q = 0$.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,બીજનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$a = 1$ અને $c = 2e^{2\log k} - 1$ છે.
આપેલ છે કે બીજનો ગુણાકાર $7$ છે,તેથી:
$2e^{2\log k} - 1 = 7$
$2e^{\log k^2} = 8$
$e^{\log k^2} = k^2$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$2k^2 = 8$
$k^2 = 4$
$k = \pm 2$
સમીકરણમાં $\log k$ પદ હોવાથી,લઘુગણક વ્યાખ્યાયિત થવા માટે $k > 0$ હોવું જરૂરી છે.
તેથી,$k = 2$.

(C) આપેલ છે કે $\alpha^2 = 5\alpha - 3$ અને $\beta^2 = 5\beta - 3$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 5x + 3 = 0$ ના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી:
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \beta = 5$
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \beta = 3$
આપણે એવું સમીકરણ શોધવાનું છે જેના બીજ $\frac{\alpha}{\beta}$ અને $\frac{\beta}{\alpha}$ હોય.
નવા બીજનો સરવાળો: $\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta}{\alpha \beta} = \frac{5^2 - 2(3)}{3} = \frac{25 - 6}{3} = \frac{19}{3}$.
નવા બીજનો ગુણાકાર: $\frac{\alpha}{\beta} \times \frac{\beta}{\alpha} = 1$.
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ દ્વારા મળે છે.
$x^2 - \frac{19}{3}x + 1 = 0$.
$3$ વડે ગુણતા,આપણને $3x^2 - 19x + 3 = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે $2x^2 - 2(p - 2)x - p - 1 = 0$ ના બે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,$\alpha + \beta = p - 2$ અને $\alpha \beta = \frac{-(p + 1)}{2}$ મળે.
ધારો કે $S$ એ બીજના વર્ગોનો સરવાળો છે: $S = \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$.
કિંમતો મૂકતા,$S = (p - 2)^2 - 2 \left( \frac{-(p + 1)}{2} \right) = (p - 2)^2 + p + 1$.
વિસ્તરણ કરતા,$S = p^2 - 4p + 4 + p + 1 = p^2 - 3p + 5$.
$S$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $S = \left( p - \frac{3}{2} \right)^2 + 5 - \frac{9}{4} = \left( p - \frac{3}{2} \right)^2 + \frac{11}{4}$.
જ્યારે $p - \frac{3}{2} = 0$ થાય ત્યારે $S$ ન્યૂનતમ બને છે,એટલે કે $p = \frac{3}{2}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1}{x + a} - \frac{1}{x + b} = \frac{1}{x + c}$
ડાબી બાજુનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{(x + b) - (x + a)}{(x + a)(x + b)} = \frac{1}{x + c}$
$\frac{b - a}{x^2 + (a + b)x + ab} = \frac{1}{x + c}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $x^2 + (a + b)x + ab = (b - a)(x + c)$
$x^2 + (a + b)x + ab = (b - a)x + (b - a)c$
$x^2 + (a + b - b + a)x + ab - (b - a)c = 0$
$x^2 + 2ax + ab - bc + ac = 0$
બીજનો ગુણાકાર $0$ હોવાથી,અચળ પદ $0$ હોવું જોઈએ:
$ab + ac - bc = 0 \implies a(b + c) = bc \implies a = \frac{bc}{b + c}$
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + Bx + C = 0$ માટે બીજનો સરવાળો $-B$ થાય છે.
બીજનો સરવાળો $= -2a = -2 \left( \frac{bc}{b + c} \right) = \frac{-2bc}{b + c}$.

(A) ધારો કે $r$ એ સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સામાન્ય ગુણોત્તર છે. તો $\beta = \alpha r, \gamma = \alpha r^2, \delta = \alpha r^3$.
આપેલ સમીકરણો પરથી:
$\alpha + \beta = 1 \Rightarrow \alpha(1 + r) = 1 \dots (i)$
$\alpha \beta = p \Rightarrow \alpha^2 r = p \dots (ii)$
$\gamma + \delta = 4 \Rightarrow \alpha r^2(1 + r) = 4 \dots (iii)$
$\gamma \delta = q \Rightarrow \alpha^2 r^5 = q \dots (iv)$
$(iii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા,$r^2 = 4$,તેથી $r = \pm 2$.
જો $r = 2$ લઈએ,તો $\alpha = 1/3$,તેથી $p = 2/9$ અને $q = 32/9$.
જો $r = -2$ લઈએ,તો $\alpha(1 - 2) = 1 \Rightarrow \alpha = -1$.
તેથી $p = \alpha^2 r = (-1)^2(-2) = -2$ અને $q = \alpha^2 r^5 = (-1)^2(-2)^5 = -32$.
આમ,$(p, q) = (-2, -32)$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha + \beta = -p$ અને $\alpha \beta = q$.
ધારો કે નવા બીજ $\alpha' = q/\alpha$ અને $\beta' = q/\beta$ છે.
નવા બીજનો સરવાળો $\alpha' + \beta' = \frac{q}{\alpha} + \frac{q}{\beta} = q \left( \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} \right) = q \left( \frac{-p}{q} \right) = -p$.
નવા બીજનો ગુણાકાર $\alpha' \beta' = \left( \frac{q}{\alpha} \right) \left( \frac{q}{\beta} \right) = \frac{q^2}{\alpha \beta} = \frac{q^2}{q} = q$.
માગેલ સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^2 - (-p)x + q = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + px + q = 0$ થાય છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^3 + 5x^2 - 7x - 1 = 0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્ર મુજબ,બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta\gamma = -(-1)/1 = 1$ થાય.
આપણે એવું સમીકરણ શોધવું છે જેના બીજ $\alpha\beta, \beta\gamma, \gamma\alpha$ હોય.
$\alpha\beta\gamma = 1$ હોવાથી,બીજને આ રીતે લખી શકાય:
$\alpha\beta = \frac{1}{\gamma}$,$\beta\gamma = \frac{1}{\alpha}$,$\gamma\alpha = \frac{1}{\beta}$.
આમ,નવા સમીકરણના બીજ $\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}, \frac{1}{\gamma}$ છે.
જે સમીકરણના બીજ $\frac{1}{x}$ હોય તે મેળવવા માટે,મૂળ સમીકરણમાં $x$ ની જગ્યાએ $\frac{1}{x}$ મૂકતા:
$(\frac{1}{x})^3 + 5(\frac{1}{x})^2 - 7(\frac{1}{x}) - 1 = 0$.
$x^3$ વડે ગુણતા:
$1 + 5x - 7x^2 - x^3 = 0$,
જેનું સાદું રૂપ $x^3 + 7x^2 - 5x - 1 = 0$ થાય છે.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $4x^2 - \sqrt{13}x - 7 = 0$ છે.
તેને $ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 4$,$b = -\sqrt{13}$,અને $c = -7$ મળે છે.
બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{-\sqrt{13}}{4} = \frac{\sqrt{13}}{4}$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{c}{a} = -\frac{7}{4}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$.
કિંમતો મૂકતા: $(\alpha - \beta)^2 = (\frac{\sqrt{13}}{4})^2 - 4(-\frac{7}{4}) = \frac{13}{16} + 7 = \frac{13 + 112}{16} = \frac{125}{16}$.
તેથી,$|\alpha - \beta| = \sqrt{\frac{125}{16}} = \frac{5\sqrt{5}}{4}$.

(C) ધારો કે સમીકરણ $2x^2 - 3x + 5 = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -(-3)/2 = 3/2$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = 5/2$ થાય.
સમીકરણ $ax^2 + bx + 2 = 0$ ના બીજ $1/\alpha$ અને $1/\beta$ આપેલા છે.
સમીકરણ $ax^2 + bx + 2 = 0$ માટે,બીજનો ગુણાકાર $(1/\alpha)(1/\beta) = 1/(\alpha \beta) = 1/(5/2) = 2/5$ થાય.
વળી,$ax^2 + bx + 2 = 0$ માટે બીજનો ગુણાકાર $c/a = 2/a$ છે.
બંનેને સરખાવતા,$2/a = 2/5$,તેથી $a = 5$ મળે.
$ax^2 + bx + 2 = 0$ માટે બીજનો સરવાળો $(1/\alpha) + (1/\beta) = (\alpha + \beta) / (\alpha \beta) = (3/2) / (5/2) = 3/5$ થાય.
વળી,બીજનો સરવાળો $-b/a = -b/5$ છે.
બંનેને સરખાવતા,$-b/5 = 3/5$,તેથી $b = -3$ મળે.
આમ,$a = 5$ અને $b = -3$.

(D) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^2 - (a + 1)x + (a - 1) = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = \frac{a + 1}{2}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{a - 1}{2}$ થાય.
બીજનો તફાવત $|\alpha - \beta| = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે બીજનો તફાવત તેમના ગુણાકાર જેટલો છે,તેથી $|\alpha - \beta| = \alpha \beta$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha \beta)^2$.
કિંમતો મૂકતા,$(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta = (\alpha \beta)^2$.
$(\frac{a + 1}{2})^2 - 4(\frac{a - 1}{2}) = (\frac{a - 1}{2})^2$.
$\frac{a^2 + 2a + 1}{4} - 2(a - 1) = \frac{a^2 - 2a + 1}{4}$.
$4$ વડે ગુણતા,$a^2 + 2a + 1 - 8(a - 1) = a^2 - 2a + 1$.
$a^2 + 2a + 1 - 8a + 8 = a^2 - 2a + 1$.
$-6a + 9 = -2a + 1$.
$8 = 4a$.
$a = 2$.

(B) જ્યારે સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $\alpha, \beta$ હોય ત્યારે $a\alpha^2 + b\alpha + c = 0$ અને $a\beta^2 + b\beta + c = 0$ થાય.
$a\alpha^2 + b\alpha + c = 0$ પરથી,$\alpha(a\alpha + b) = -c$,તેથી $(a\alpha + b) = -\frac{c}{\alpha}$ મળે.
તે જ રીતે,$(a\beta + b) = -\frac{c}{\beta}$ મળે.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{1}{(a\alpha + b)^2} + \frac{1}{(a\beta + b)^2} = \frac{1}{(-c/\alpha)^2} + \frac{1}{(-c/\beta)^2} = \frac{\alpha^2}{c^2} + \frac{\beta^2}{c^2} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{c^2}$.
નિત્યસમ $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ અને $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ છે:
$\frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{c^2} = \frac{(-b/a)^2 - 2(c/a)}{c^2} = \frac{b^2/a^2 - 2c/a}{c^2} = \frac{b^2 - 2ac}{a^2c^2}$.

(B) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે. આપેલ છે કે $|\alpha - \beta| = 3$.
સમીકરણ $(k - 2)x^2 - (k - 4)x - 2 = 0$ માટે, બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = \frac{k - 4}{k - 2}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{-2}{k - 2}$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta$.
કિંમતો મૂકતા: $3^2 = \left(\frac{k - 4}{k - 2}\right)^2 - 4\left(\frac{-2}{k - 2}\right)$.
$9 = \frac{(k - 4)^2 + 8(k - 2)}{(k - 2)^2}$.
$9(k - 2)^2 = k^2 - 8k + 16 + 8k - 16$.
$9(k^2 - 4k + 4) = k^2$.
$9k^2 - 36k + 36 = k^2$.
$8k^2 - 36k + 36 = 0$.
$4$ વડે ભાગતા: $2k^2 - 9k + 9 = 0$.
$2k^2 - 6k - 3k + 9 = 0 \Rightarrow 2k(k - 3) - 3(k - 3) = 0$.
$(2k - 3)(k - 3) = 0$.
આમ, $k = 3$ અથવા $k = 3/2$.

(B) આપેલ છે કે $\alpha, \beta$ એ $x^2 + px + 1 = 0$ ના બીજ છે,તેથી $\alpha + \beta = -p$ અને $\alpha\beta = 1$.
આપેલ છે કે $\gamma, \delta$ એ $x^2 + qx + 1 = 0$ ના બીજ છે,તેથી $\gamma + \delta = -q$ અને $\gamma\delta = 1$.
પદાવલિ $E = (\alpha - \gamma) (\beta - \gamma) (\alpha + \delta) (\beta + \delta)$ ધ્યાનમાં લો.
$E = [\alpha\beta - \gamma(\alpha + \beta) + \gamma^2] [\alpha\beta + \delta(\alpha + \beta) + \delta^2]$.
કિંમતો મૂકતા:
$E = [1 - \gamma(-p) + \gamma^2] [1 + \delta(-p) + \delta^2] = [1 + p\gamma + \gamma^2] [1 - p\delta + \delta^2]$.
$\gamma^2 + q\gamma + 1 = 0$ હોવાથી,$\gamma^2 + 1 = -q\gamma$.
$\delta^2 + q\delta + 1 = 0$ હોવાથી,$\delta^2 + 1 = -q\delta$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$E = [-q\gamma + p\gamma] [-q\delta - p\delta] = \gamma(p - q) \cdot \delta(-p - q) = -\gamma\delta(p - q)(p + q) = -1(p^2 - q^2) = q^2 - p^2$.

(A) ધારો કે સમીકરણ $x^2 - x - k = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\alpha^2$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
$\alpha + \alpha^2 = 1$
$\alpha \cdot \alpha^2 = -k \implies \alpha^3 = -k$
$\alpha^2 + \alpha = 1$ સમીકરણનો ઘન લેતા:
$(\alpha^2 + \alpha)^3 = 1^3$
$\alpha^6 + \alpha^3 + 3\alpha^2 \cdot \alpha(\alpha^2 + \alpha) = 1$
$\alpha^3 = -k$ હોવાથી,$\alpha^6 = k^2$:
$k^2 + (-k) + 3(-k)(1) = 1$
$k^2 - 4k - 1 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$k = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}$

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે,તેથી $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ અને $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ થાય.
સમીકરણ $cx^2 + bx + a = 0$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે તેના બીજ $x_1$ અને $x_2$ છે.
આ સમીકરણ માટે,બીજનો સરવાળો $x_1 + x_2 = -\frac{b}{c}$ અને બીજનો ગુણાકાર $x_1x_2 = \frac{a}{c}$ થાય.
જો આપણે મૂળ સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માં $x = \frac{1}{y}$ મૂકીએ,તો આપણને $a(\frac{1}{y})^2 + b(\frac{1}{y}) + c = 0$ મળે.
$y^2$ વડે ગુણતા,આપણને $a + by + cy^2 = 0$ મળે,જે $cy^2 + by + a = 0$ છે.
કારણ કે $x = \frac{1}{y}$,નવા સમીકરણના બીજ એ મૂળ સમીકરણના બીજના વ્યસ્ત છે.
તેથી,બીજ $\frac{1}{\alpha}$ અને $\frac{1}{\beta}$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\alpha, \beta$ એ $Ax^2 + Bx + C = 0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,$\alpha + \beta = -B/A$ અને $\alpha\beta = C/A$.
આપેલ છે કે $\alpha^2, \beta^2$ એ $x^2 + px + q = 0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,$\alpha^2 + \beta^2 = -p$ અને $\alpha^2\beta^2 = q$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$.
કિંમતો મૂકતા,$-p = (-B/A)^2 - 2(C/A)$.
$-p = \frac{B^2}{A^2} - \frac{2C}{A} = \frac{B^2 - 2AC}{A^2}$.
તેથી,$p = -\frac{B^2 - 2AC}{A^2} = \frac{2AC - B^2}{A^2}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2 - 2x + 3 = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = 2$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = 3$ છે.
ધારો કે $y = \frac{x - 1}{x + 1}$. તેથી $y(x + 1) = x - 1$,જેનો અર્થ છે $yx + y = x - 1$.
ગોઠવતા $x(y - 1) = -y - 1$,તેથી $x = \frac{-(y + 1)}{y - 1} = \frac{y + 1}{1 - y}$.
$x = \frac{y + 1}{1 - y}$ ને મૂળ સમીકરણ $x^2 - 2x + 3 = 0$ માં મૂકતા:
$(\frac{y + 1}{1 - y})^2 - 2(\frac{y + 1}{1 - y}) + 3 = 0$.
$(1 - y)^2$ વડે ગુણતા: $(y + 1)^2 - 2(y + 1)(1 - y) + 3(1 - y)^2 = 0$.
$(y^2 + 2y + 1) - 2(1 - y^2) + 3(1 - 2y + y^2) = 0$.
$y^2 + 2y + 1 - 2 + 2y^2 + 3 - 6y + 3y^2 = 0$.
સમાન પદોને ભેગા કરતા: $6y^2 - 4y + 2 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $3y^2 - 2y + 1 = 0$ થાય છે.
આમ,માંગેલ સમીકરણ $3x^2 - 2x + 1 = 0$ છે.

(B) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો પરથી:
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \beta = \frac{c}{a}$
પ્રશ્ન મુજબ,બીજનો સરવાળો એ તેમના વર્ગોના સરવાળાને સમાન છે:
$\alpha + \beta = \alpha^2 + \beta^2$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$.
કિંમતો મૂકતા:
$-\frac{b}{a} = (-\frac{b}{a})^2 - 2(\frac{c}{a})$
$-\frac{b}{a} = \frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a}$
આખા સમીકરણને $a^2$ વડે ગુણતા:
$-ab = b^2 - 2ac$
પદોને ગોઠવતા:
$2ac = b^2 + ab$
$2ac = b(a + b)$

(C) ધારો કે,$\alpha, \beta$ એ $x^2 + bx + c = 0$ ના બીજ છે અને $\alpha', \beta'$ એ $x^2 + qx + r = 0$ ના બીજ છે.
તેથી $\alpha + \beta = -b, \alpha\beta = c$ અને $\alpha' + \beta' = -q, \alpha'\beta' = r$ થાય.
આપેલ છે કે બીજોનો ગુણોત્તર સમાન છે,તેથી $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\alpha'}{\beta'}$.
યોગ-વિયોગ પ્રમાણનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\alpha + \beta}{\alpha - \beta} = \frac{\alpha' + \beta'}{\alpha' - \beta'}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{(\alpha + \beta)^2}{(\alpha - \beta)^2} = \frac{(\alpha' + \beta')^2}{(\alpha' - \beta')^2}$.
કારણ કે $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$,તેથી $\frac{b^2}{b^2 - 4c} = \frac{q^2}{q^2 - 4r}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $b^2(q^2 - 4r) = q^2(b^2 - 4c)$ મળે.
$b^2q^2 - 4b^2r = q^2b^2 - 4cq^2$.
$-4b^2r = -4cq^2$.
તેથી,$b^2r = cq^2$.

(C) આપેલ છે કે $\alpha + \beta = -p, \alpha \beta = 1$ અને $\gamma + \delta = -q, \gamma \delta = 1$.
પદ $(\alpha - \gamma)(\beta - \gamma)(\alpha + \delta)(\beta + \delta)$ ધ્યાનમાં લો.
$= \{\alpha \beta - \gamma(\alpha + \beta) + \gamma^2\} \{\alpha \beta + \delta(\alpha + \beta) + \delta^2\}$
$= (1 + p\gamma + \gamma^2)(1 - p\delta + \delta^2)$
કારણ કે $\gamma$ એ $x^2 + qx + 1 = 0$ નું બીજ છે,તેથી $\gamma^2 + q\gamma + 1 = 0$,એટલે કે $\gamma^2 + 1 = -q\gamma$.
તે જ રીતે,$\delta^2 + 1 = -q\delta$.
આ કિંમતો પદમાં મૂકતા:
$= (p\gamma - q\gamma)(-p\delta - q\delta) = \gamma(p - q) \cdot \delta(-p - q)$
$= -\gamma \delta (p - q)(p + q) = -(1)(p^2 - q^2) = q^2 - p^2$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{c}{a}$ છે.
આપણે $\alpha \beta^2 + \alpha^2 \beta + \alpha \beta$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\alpha \beta$ સામાન્ય લેતા:
$\alpha \beta (\beta + \alpha) + \alpha \beta = \alpha \beta (\alpha + \beta + 1)$.
$\alpha + \beta$ અને $\alpha \beta$ ની કિંમત મૂકતા:
$= \frac{c}{a} \left( -\frac{b}{a} + 1 \right) = \frac{c}{a} \left( \frac{a - b}{a} \right) = \frac{c(a - b)}{a^2}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2 - 5x - 3 = 0$ માટે,$\alpha + \beta = 5$ અને $\alpha\beta = -3$ મળે.
ધારો કે $y = \frac{1}{2\alpha - 3}$. તેથી $2\alpha - 3 = \frac{1}{y}$,એટલે કે $2\alpha = \frac{1 + 3y}{y}$,જેથી $\alpha = \frac{3y + 1}{2y}$.
$\alpha$ એ $x^2 - 5x - 3 = 0$ નું બીજ હોવાથી,$\alpha$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\frac{3y + 1}{2y})^2 - 5(\frac{3y + 1}{2y}) - 3 = 0$.
છેદ દૂર કરવા માટે $4y^2$ વડે ગુણતા:
$(3y + 1)^2 - 10y(3y + 1) - 12y^2 = 0$.
$9y^2 + 6y + 1 - 30y^2 - 10y - 12y^2 = 0$.
$-33y^2 - 4y + 1 = 0$.
$-1$ વડે ગુણતા,$33y^2 + 4y - 1 = 0$ મળે.
$y$ ને $x$ વડે બદલતા,માંગેલ સમીકરણ $33x^2 + 4x - 1 = 0$ છે.

(A) અહીં $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$,$\alpha \beta = \frac{c}{a}$ અને $\gamma + \delta = -\frac{q}{p}$,$\gamma \delta = \frac{r}{p}$ છે.
$\alpha, \beta, \gamma, \delta$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,$\beta - \alpha = \delta - \gamma$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(\beta - \alpha)^2 = (\delta - \gamma)^2$ મળે.
નિત્યસમ $(x - y)^2 = (x + y)^2 - 4xy$ નો ઉપયોગ કરતા,$(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta = (\gamma + \delta)^2 - 4\gamma \delta$ મળે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{b^2}{a^2} - \frac{4c}{a} = \frac{q^2}{p^2} - \frac{4r}{p}$ મળે.
આથી $\frac{b^2 - 4ac}{a^2} = \frac{q^2 - 4pr}{p^2}$ થાય.
અહીં $D_1 = b^2 - 4ac$ અને $D_2 = q^2 - 4pr$ હોવાથી,$\frac{D_1}{a^2} = \frac{D_2}{p^2}$ મળે.
તેથી,$\frac{D_1}{D_2} = \frac{a^2}{p^2}$.

(C) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $x^2 - 6x - 2 = 0$ ના બીજ છે.
તેથી,$\alpha^2 - 6\alpha - 2 = 0 \implies \alpha^2 - 2 = 6\alpha$ અને $\beta^2 - 6\beta - 2 = 0 \implies \beta^2 - 2 = 6\beta$.
આપણે $\frac{a_{10} - 2a_8}{2a_9}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$a_n = \alpha^n - \beta^n$ મૂકતા:
$\frac{(\alpha^{10} - \beta^{10}) - 2(\alpha^8 - \beta^8)}{2(\alpha^9 - \beta^9)}$
$= \frac{\alpha^8(\alpha^2 - 2) - \beta^8(\beta^2 - 2)}{2(\alpha^9 - \beta^9)}$
$\alpha^2 - 2 = 6\alpha$ અને $\beta^2 - 2 = 6\beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{\alpha^8(6\alpha) - \beta^8(6\beta)}{2(\alpha^9 - \beta^9)}$
$= \frac{6\alpha^9 - 6\beta^9}{2(\alpha^9 - \beta^9)} = \frac{6}{2} = 3$.

(B) સમીકરણ $x^2 - 5x + 16 = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
તેથી,$\alpha + \beta = 5$ અને $\alpha\beta = 16$.
સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $-p = (\alpha^2 + \beta^2) + \frac{\alpha\beta}{2}$ થાય.
નિત્યસમ $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-p = (5^2 - 2(16)) + \frac{16}{2} = (25 - 32) + 8 = -7 + 8 = 1$.
તેથી,$p = -1$.
બીજનો ગુણાકાર $q = (\alpha^2 + \beta^2) \times \frac{\alpha\beta}{2}$ થાય.
$q = (25 - 32) \times \frac{16}{2} = (-7) \times 8 = -56$.
આમ,$p = -1$ અને $q = -56$.

(B) આપેલ છે કે $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ અને $\alpha \beta = \frac{c}{a}$.
પદાવલિ $E = (1 + \alpha + \alpha^2)(1 + \beta + \beta^2)$ ધ્યાનમાં લો.
ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા:
$E = 1 + (\alpha + \beta) + (\alpha^2 + \beta^2) + \alpha \beta + \alpha \beta(\alpha + \beta) + (\alpha \beta)^2$
$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = 1 + (\alpha + \beta) + ((\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta) + \alpha \beta + \alpha \beta(\alpha + \beta) + (\alpha \beta)^2$
$\alpha + \beta$ અને $\alpha \beta$ ની કિંમતો મુકતા:
$E = 1 - \frac{b}{a} + (\frac{b^2}{a^2} - 2\frac{c}{a}) + \frac{c}{a} + \frac{c}{a}(-\frac{b}{a}) + \frac{c^2}{a^2}$
$E = \frac{a^2 - ab + b^2 - ac - bc + c^2}{a^2} = \frac{a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca}{a^2}$
$E = \frac{(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}{2a^2}$
વર્ગોનો સરવાળો હંમેશા અઋણ હોવાથી અને $a \neq 0$ હોવાથી,આ પદાવલિ ધન છે.

(A) ધારો કે બીજ $3\alpha, 2\alpha, \beta$ છે. (કારણ કે બે બીજનો ગુણોત્તર $3 : 2$ છે.)
બીજનો સરવાળો: $3\alpha + 2\alpha + \beta = 9$
$\Rightarrow 5\alpha + \beta = 9 \dots (i)$
બબ્બે બીજના ગુણાકારનો સરવાળો: $6\alpha^2 + 5\alpha\beta = 14 \dots (ii)$
બીજનો ગુણાકાર: $6\alpha^2\beta = -24 \Rightarrow \alpha^2\beta = -4 \dots (iii)$
$(i)$ પરથી,$\beta = 9 - 5\alpha$. આ કિંમત $(ii)$ માં મુકતા:
$6\alpha^2 + 5\alpha(9 - 5\alpha) = 14$
$19\alpha^2 - 45\alpha + 14 = 0$
$(19\alpha - 7)(\alpha - 2) = 0$
તેથી,$\alpha = 2$ અથવા $\alpha = 7/19$.
જો $\alpha = 2$,તો $\beta = -1$. જે $(iii)$ નું સમાધાન કરે છે.
આમ,બીજ $6, 4, -1$ છે.

(D) સમીકરણ $x^2 - 5x + 16 = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = 5$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = 16$ છે.
આપણે બીજા સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ ના બીજ શોધવા પડશે.
પ્રથમ બીજ $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = (5)^2 - 2(16) = 25 - 32 = -7$ છે.
બીજું બીજ $\frac{\alpha\beta}{2} = \frac{16}{2} = 8$ છે.
સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ ના બીજ $-7$ અને $8$ છે.
બીજનો સરવાળો: $-7 + 8 = 1 = -p \implies p = -1$.
બીજનો ગુણાકાર: $(-7)(8) = -56 = q \implies q = -56$.
આમ,$p = -1$ અને $q = -56$.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણો માટે,આપણી પાસે છે:
$\alpha_1 + \alpha_2 = -\frac{b}{a}, \alpha_1\alpha_2 = \frac{c}{a}$
$\beta_1 + \beta_2 = -\frac{q}{p}, \beta_1\beta_2 = \frac{r}{p}$
સુરેખ સમીકરણોની પદ્ધતિ $\alpha_1y + \alpha_2z = 0$ અને $\beta_1y + \beta_2z = 0$ શૂન્યેતર ઉકેલ ધરાવે છે જો સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય:
$\begin{vmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 \\ \beta_1 & \beta_2 \end{vmatrix} = 0$
$\Rightarrow \alpha_1\beta_2 - \alpha_2\beta_1 = 0 \Rightarrow \frac{\alpha_1}{\beta_1} = \frac{\alpha_2}{\beta_2} = k$ (ધારો)
ગુણોત્તરના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\alpha_1 + \alpha_2}{\beta_1 + \beta_2} = \frac{\alpha_1 - \alpha_2}{\beta_1 - \beta_2} = k$
વળી,$\frac{\alpha_1\alpha_2}{\beta_1\beta_2} = k^2$
તેથી,$\left( \frac{\alpha_1 + \alpha_2}{\beta_1 + \beta_2} \right)^2 = \frac{\alpha_1\alpha_2}{\beta_1\beta_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\left( \frac{-b/a}{-q/p} \right)^2 = \frac{c/a}{r/p}$
$\frac{b^2 p^2}{a^2 q^2} = \frac{cp}{ar}$
$b^2 p^2 ar = a^2 q^2 cp$
$b^2 pr = q^2 ac$

(A) $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોવાથી,સામાન્ય ગુણોત્તર $k$ લો. તેથી $\beta = \alpha k$,$\gamma = \alpha k^2$,અને $\delta = \alpha k^3$.
સમીકરણ $ax^2 + 2bx + c = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{2b}{a}$ અને ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{c}{a}$.
સમીકરણ $px^2 + 2qx + r = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\gamma + \delta = -\frac{2q}{p}$ અને ગુણાકાર $\gamma \delta = \frac{r}{p}$.
$\alpha, \beta, \gamma, \delta$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોવાથી,$\frac{\beta}{\alpha} = \frac{\delta}{\gamma} = k$.
તેથી,$\frac{(\alpha + \beta)^2}{\alpha \beta} = \frac{(\gamma + \delta)^2}{\gamma \delta}$ મળે.
સહગુણકો મૂકતા: $\frac{4b^2}{ac} = \frac{4q^2}{pr}$.
જેનું સાદું રૂપ $\frac{b^2}{ac} = \frac{q^2}{pr}$ થાય,એટલે કે $\frac{ac}{b^2} = \frac{pr}{q^2}$.

(A) આપેલ છે કે $\tan \alpha$ અને $\tan \beta$ એ $x^2 - px + q = 0$ ના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,$\tan \alpha + \tan \beta = p$ અને $\tan \alpha \tan \beta = q$.
$\tan(\alpha + \beta)$ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{p}{1 - q}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \theta = \frac{\tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$.
$\theta = \alpha + \beta$ મૂકતા:
$\sin^2(\alpha + \beta) = \frac{\tan^2(\alpha + \beta)}{1 + \tan^2(\alpha + \beta)} = \frac{(\frac{p}{1 - q})^2}{1 + (\frac{p}{1 - q})^2}$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$= \frac{p^2}{(1 - q)^2 + p^2} = \frac{p^2}{p^2 + (1 - q)^2}$.

(C) પ્રથમ સમીકરણનો વિવેચક $D_1 = b^2 - 4ac$ છે. બીજનો તફાવત $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = \frac{b^2}{a^2} - \frac{4c}{a} = \frac{b^2 - 4ac}{a^2}$ થાય.
બીજા સમીકરણ માટે,બીજ $\alpha - k$ અને $\beta - k$ છે. બીજનો તફાવત $(\alpha - k - (\beta - k))^2 = (\alpha - \beta)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{a^2}$ થાય.
વળી,બીજા સમીકરણ માટે,બીજના તફાવતનો વર્ગ $\frac{B^2 - 4AC}{A^2}$ થાય.
બંનેને સરખાવતા,$\frac{b^2 - 4ac}{a^2} = \frac{B^2 - 4AC}{A^2}$ મળે.
તેથી,$\frac{B^2 - 4AC}{b^2 - 4ac} = \frac{A^2}{a^2} = \left( \frac{A}{a} \right)^2$.

(B) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + bx + c = 0$ છે.
સચીને અચળ પદ $c$ માં ભૂલ કરી છે,તેથી તેના બીજ $(4, 3)$ એ સહગુણક $b$ માટે સાચા છે. બીજનો સરવાળો $-(b) = 4 + 3 = 7$ થાય,તેથી $b = -7$.
રાહુલે $x$ ના સહગુણક $b$ માં ભૂલ કરી છે,તેથી તેના બીજ $(3, 2)$ એ અચળ પદ $c$ માટે સાચા છે. બીજનો ગુણાકાર $c = 3 \times 2 = 6$ થાય.
સાચું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 7x + 6 = 0$ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^2 - 6x - x + 6 = 0 \implies x(x - 6) - 1(x - 6) = 0 \implies (x - 6)(x - 1) = 0$.
સાચા બીજ $x = 6$ અને $x = 1$ છે.

(A) અહીં $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ અને $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ છે.
ધારો કે નવા બીજ $S_1 = \alpha + \frac{1}{\beta}$ અને $S_2 = \beta + \frac{1}{\alpha}$ છે.
બીજનો સરવાળો $= (\alpha + \beta) + (\frac{1}{\beta} + \frac{1}{\alpha}) = (\alpha + \beta) + \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = -\frac{b}{a} + \frac{-b/a}{c/a} = -\frac{b}{a} - \frac{b}{c} = -\frac{b(a+c)}{ac}$.
બીજનો ગુણાકાર $= (\alpha + \frac{1}{\beta})(\beta + \frac{1}{\alpha}) = \alpha\beta + 1 + 1 + \frac{1}{\alpha\beta} = 2 + \frac{c}{a} + \frac{a}{c} = \frac{2ac + c^2 + a^2}{ac} = \frac{(a+c)^2}{ac}$.
માગેલ સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
$x^2 + \frac{b(a+c)}{ac}x + \frac{(a+c)^2}{ac} = 0$.
$ac$ વડે ગુણતા,$acx^2 + (a+c)bx + (a+c)^2 = 0$ મળે છે.

(D) પ્રથમ સમીકરણ $x^2 - 2ax + b^2 = 0$ માટે,ધારો કે બીજ $\alpha_1$ અને $\beta_1$ છે. બીજનો સરવાળો $\alpha_1 + \beta_1 = 2a$ છે. બીજનો સમાંતર મધ્યક $(AM)$ $\frac{\alpha_1 + \beta_1}{2} = \frac{2a}{2} = a$ છે.
બીજા સમીકરણ $x^2 - 2bx + a^2 = 0$ માટે,ધારો કે બીજ $\alpha_2$ અને $\beta_2$ છે. બીજનો સરવાળો $\alpha_2 + \beta_2 = 2b$ છે. બીજનો સમાંતર મધ્યક $(AM)$ $\frac{\alpha_2 + \beta_2}{2} = \frac{2b}{2} = b$ છે.
બીજા સમીકરણના બીજનો ગુણાકાર $\alpha_2 \beta_2 = a^2$ છે. બીજનો સમગુણોત્તર મધ્યક $(GM)$ $\sqrt{\alpha_2 \beta_2} = \sqrt{a^2} = |a|$ છે.
પરિણામોની સરખામણી કરતા,પ્રથમ સમીકરણનો સમાંતર મધ્યક $a$ છે,જે બીજા સમીકરણના સમાંતર મધ્યક $(b)$ કે સમગુણોત્તર મધ્યક $(|a|)$ સાથે સમાન હોવો જરૂરી નથી. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
તેથી,$\alpha$ અને $\beta$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે:
$a\alpha^2 + b\alpha + c = 0 \implies a\alpha^2 + b\alpha = -c \implies \alpha(a\alpha + b) = -c \implies a\alpha + b = -c/\alpha$.
તે જ રીતે,$a\beta^2 + b\beta + c = 0 \implies a\beta^2 + b\beta = -c \implies \beta(a\beta + b) = -c \implies a\beta + b = -c/\beta$.
હવે,આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\alpha}{a\beta + b} + \frac{\beta}{a\alpha + b} = \frac{\alpha}{-c/\beta} + \frac{\beta}{-c/\alpha}$.
$= -\frac{\alpha\beta}{c} - \frac{\alpha\beta}{c} = -\frac{2\alpha\beta}{c}$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = c/a$ હોવાથી,આ કિંમત મૂકતા:
$= -\frac{2}{c} \times \frac{c}{a} = -\frac{2}{a}$.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ ના બીજ $\alpha = \tan 30^\circ$ અને $\beta = \tan 15^\circ$ છે.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -p$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = q$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(30^\circ + 15^\circ) = \tan 45^\circ = 1$.
સૂત્ર $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 = \frac{-p}{1 - q}$.
આથી $1 - q = -p$,એટલે કે $q - p = 1$.
આપણે $2 + q - p$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$q - p = 1$ મૂકતા,આપણને $2 + 1 = 3$ મળે છે.

(A) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2} + bx + c = 0$ છે.
સચિને અચળ પદમાં ભૂલ કરી છે,તેથી બીજનો સરવાળો સાચો છે.
બીજનો સરવાળો $= 4 + 3 = 7$.
રાહુલે $x$ ના સહગુણકમાં ભૂલ કરી છે,તેથી બીજનો ગુણાકાર સાચો છે.
બીજનો ગુણાકાર $= 3 \times 2 = 6$.
સાચું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2} - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^{2} - 7x + 6 = 0$ મળે છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^{2} - 6x - x + 6 = 0 \implies x(x - 6) - 1(x - 6) = 0 \implies (x - 6)(x - 1) = 0$.
આમ,સાચા બીજ $6$ અને $1$ છે.

(C) $\alpha$ અને $\beta$ એ $x^2 - 6x - 2 = 0$ ના બીજ હોવાથી,$\alpha + \beta = 6$ અને $\alpha\beta = -2$ મળે.
વળી,$\alpha^2 = 6\alpha + 2$ અને $\beta^2 = 6\beta + 2$ થાય.
$a_n = \alpha^n - \beta^n$ આપેલ હોવાથી,પદાવલિની કિંમત મેળવીએ:
$\frac{a_{10} - 2a_8}{2a_9} = \frac{(\alpha^{10} - \beta^{10}) - 2(\alpha^8 - \beta^8)}{2(\alpha^9 - \beta^9)}$
$= \frac{\alpha^8(\alpha^2 - 2) - \beta^8(\beta^2 - 2)}{2(\alpha^9 - \beta^9)}$
$\alpha^2 - 2 = 6\alpha$ અને $\beta^2 - 2 = 6\beta$ મૂકતા:
$= \frac{\alpha^8(6\alpha) - \beta^8(6\beta)}{2(\alpha^9 - \beta^9)}$
$= \frac{6(\alpha^9 - \beta^9)}{2(\alpha^9 - \beta^9)}$
$= \frac{6}{2} = 3$.

(A) આપેલ સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ છે. ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે. તેથી $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ અને $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ થાય.
તેમના વર્ગોના વ્યસ્તનો સરવાળો $\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha^2\beta^2} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{(-\frac{b}{a})^2 - 2(\frac{c}{a})}{(\frac{c}{a})^2} = \frac{\frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a}}{\frac{c^2}{a^2}} = \frac{b^2 - 2ac}{c^2}$ મળે.
આપેલ શરત મુજબ,$\alpha + \beta = \frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2}$,તેથી $-\frac{b}{a} = \frac{b^2 - 2ac}{c^2}$ થાય.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $-bc^2 = a(b^2 - 2ac) = ab^2 - 2a^2c$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$2a^2c = ab^2 + bc^2$ મળે.
આ $2(ca^2) = bc^2 + ab^2$ એ $bc^2, ca^2, ab^2$ ના $A.P.$ માં હોવાની શરત છે.

(A) ધારો કે $lx^2 + nx + n = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
આપેલ છે કે $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{p}{q}$.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,$\alpha + \beta = -\frac{n}{l}$ અને $\alpha\beta = \frac{n}{l}$.
આપણે $\sqrt{\frac{p}{q}} + \sqrt{\frac{q}{p}} + \sqrt{\frac{n}{l}}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\frac{p}{q} = \frac{\alpha}{\beta}$ મૂકતા,આપણને $\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}} + \sqrt{\frac{\beta}{\alpha}} + \sqrt{\alpha\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\sqrt{\alpha\beta}} + \sqrt{\alpha\beta}$ મળે છે.
$\alpha + \beta$ અને $\alpha\beta$ ની કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{-n/l}{\sqrt{n/l}} + \sqrt{n/l} = -\sqrt{\frac{n}{l}} + \sqrt{\frac{n}{l}} = 0$.

(D) ધારો કે સાચું સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ $(i)$ છે.
પ્રથમ વિદ્યાર્થી $p$ ની ખોટી કિંમત વાપરે છે પરંતુ $q$ ની સાચી કિંમત વાપરે છે. મળેલા બીજ $2$ અને $6$ છે.
બીજનો ગુણાકાર $2 \times 6 = 12$ છે. અચળ પદ $q$ સાચું હોવાથી,$q = 12$ મળે.
બીજો વિદ્યાર્થી $q$ ની ખોટી કિંમત વાપરે છે પરંતુ $p$ ની સાચી કિંમત વાપરે છે. મળેલા બીજ $2$ અને $-9$ છે.
બીજનો સરવાળો $2 + (-9) = -7$ છે. $x$ નો સહગુણક $(p)$ સાચો હોવાથી,$-p = -7$,જેનો અર્થ છે કે $p = 7$.
સમીકરણ $(i)$ માં $p = 7$ અને $q = 12$ મૂકતા,આપણને $x^2 + 7x + 12 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^2 + 4x + 3x + 12 = 0$ $\Rightarrow x(x + 4) + 3(x + 4) = 0$ $\Rightarrow (x + 3)(x + 4) = 0$.
આમ,બીજ $x = -3$ અને $x = -4$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\alpha_1, \alpha_2$ એ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ છે.
તેથી,$\alpha_1 + \alpha_2 = -\frac{b}{a}$ અને $\alpha_1 \alpha_2 = \frac{c}{a}$.
હવે,$\beta_1, \beta_2$ એ $px^2 + qx + r = 0$ ના બીજ છે.
તેથી,$\beta_1 + \beta_2 = -\frac{q}{p}$ અને $\beta_1 \beta_2 = \frac{r}{p}$.
સંહતિ $\alpha_1 y + \alpha_2 z = 0$ અને $\beta_1 y + \beta_2 z = 0$ નો શૂન્યેતર ઉકેલ ત્યારે જ મળે જો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય:
$\alpha_1 \beta_2 - \alpha_2 \beta_1 = 0 \implies \frac{\alpha_1}{\beta_1} = \frac{\alpha_2}{\beta_2} = k$.
તેથી $\alpha_1 = k \beta_1$ અને $\alpha_2 = k \beta_2$.
બીજના સરવાળા અને ગુણાકાર પરથી:
$\frac{\alpha_1 + \alpha_2}{\beta_1 + \beta_2} = k = \frac{-b/a}{-q/p} = \frac{bp}{aq}$.
વળી,$\frac{\alpha_1 \alpha_2}{\beta_1 \beta_2} = k^2 = \frac{c/a}{r/p} = \frac{cp}{ar}$.
$k^2$ ને સરખાવતા:
$\left(\frac{bp}{aq}\right)^2 = \frac{cp}{ar} \implies \frac{b^2 p^2}{a^2 q^2} = \frac{cp}{ar}$.
સાદુરૂપ આપતા:
$b^2 pr = q^2 ac$.

(D) ધારો કે સાચું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + bx + c = 0$ છે (કારણ કે $x^2$ નો સહગુણક $1$ છે).
પ્રથમ વિદ્યાર્થી માટે,અચળ પદ ખોટું હતું,પરંતુ $x$ નો સહગુણક $(b)$ સાચો હતો. મળેલા બીજ $3$ અને $2$ હતા. તેથી,બીજનો સરવાળો $-b = 3 + 2 = 5$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $b = -5$.
બીજા વિદ્યાર્થી માટે,અચળ પદ $(c)$ અને $x^2$ નો સહગુણક $(a=1)$ સાચા હતા. $c = -6$ અને $a = 1$ આપેલ હોવાથી,બીજનો ગુણાકાર $c/a = -6/1 = -6$ થાય.
સાચું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 5x - 6 = 0$ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^2 - 6x + x - 6 = 0 \implies x(x - 6) + 1(x - 6) = 0 \implies (x - 6)(x + 1) = 0$.
તેથી,સાચા બીજ $6$ અને $-1$ છે.