જો z_1=x_1+i y_1, z_2=x_2+i y_2, z_3=x_1+frac | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ છે કે $|z_1|=1 \implies x_1^2+y_1^2=1$ અને $|z_2|=2 \implies x_2^2+y_2^2=4$. $\operatorname{Re}(z_1 \bar{z}_2) = x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$. ધારો

Vedclass · Accepted Answer

$|z_3|=1, |z_4|=2, \operatorname{Re}(z_3 z_4)=0$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે કે $|z_1|=1 \implies x_1^2+y_1^2=1$ અને $|z_2|=2 \implies x_2^2+y_2^2=4$. $\operatorname{Re}(z_1 \bar{z}_2) = x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$. ધારો કે $z_1 = \cos 	heta + i \sin 	heta$. તેથી $x_1 = \cos 	heta, y_1 = \sin 	heta$. $x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$ હોવાથી, $x_2 \cos 	heta + y_2 \sin 	heta = 0$ મળે. આ સૂચવે છે કે $(x_2, y_2) = \pm 2(-\sin 	heta, \cos 	heta)$. $x_2 = -2 \sin 	heta$ અને $y_2 = 2 \cos 	heta$ લેતા: $z_3 = x_1 + i \frac{x_2}{2} = \cos 	heta - i \sin 	heta = \bar{z}_1 \implies |z_3|=1$. $z_4 = 2 y_1 + i y_2 = 2 \sin 	heta + i 2 \cos 	heta = 2i(\cos 	heta - i \sin 	heta) = 2i \bar{z}_1 \implies |z_4|=2$. $z_3 z_4 = (\bar{z}_1)(2i \bar{z}_1) = 2i \bar{z}_1^2 = 2i(\cos 2	heta - i \sin 2	heta) = 2 \sin 2	heta + 2i \cos 2	heta$. જોકે, $\operatorname{Re}(z_1 z_2)=0$ શરત ચકાસતા ($\operatorname{Re}(z_1 \bar{z}_2)=0$ ને બદલે): જો $\operatorname{Re}(z_1 z_2)=0$ હોય, તો $x_1 x_2 - y_1 y_2 = 0 \implies x_1 x_2 = y_1 y_2$. $z_1 = e^{i	heta}$, $z_2 = 2e^{i(\pi/2 - 	heta)} = 2i \bar{z}_1 = 2 \sin 	heta + 2i \cos 	heta$ નો ઉપયોગ કરતા. તેથી $z_3 = \cos 	heta + i \sin 	heta = z_1$ અને $z_4 = 2 \sin 	heta + 2i \cos 	heta = 2i \bar{z}_1$. $z_3 z_4 = z_1 (2i \bar{z}_1) = 2i |z_1|^2 = 2i$. આમ, $\operatorname{Re}(z_3 z_4) = 0$ અને $|z_3|=1, |z_4|=2$ થાય છે.

જો $z_1=x_1+i y_1$, $z_2=x_2+i y_2$, $z_3=x_1+\frac{i x_2}{2}$, અને $z_4=2 y_1+i y_2$ એવી સંકર સંખ્યાઓ હોય કે જેથી $|z_1|=1$, $|z_2|=2$, અને $\operatorname{Re}(z_1 \bar{z}_2)=0$ થાય, તો:

Similar Questions

જો $a_k = \cos \alpha_k + i \sin \alpha_k$ જ્યાં $k = 1, 2, 3$ અને $a_1, a_2, a_3$ એ સમીકરણ $x^3 + bx + c = 0$ ના બીજ હોય,તો $b$ નો વાસ્તવિક ભાગ શું થાય?

ધારો કે $z$ એ મહત્તમ માનાંક ધરાવતી સંકર સંખ્યા છે (જે $X$-અક્ષ પર નથી) જેથી $\left| z + \frac{1}{z} \right| = 1$ થાય. તો:

જો $z_1 = 2 - 3i$ અને સમીકરણ $z^3 + bz^2 + cz + d = 0$ ના બીજ $i$,$z_1$ અને $\bar{z}_1$ હોય,તો $b + c + d =$

જો $\left(\frac{\cos \theta+i \sin \theta}{\sin \theta+i \cos \theta}\right)^{2024}+\left(\frac{1+\cos \theta+i \sin \theta}{1-\cos \theta+i \sin \theta}\right)^{2025}=x+i y$ હોય,તો $\theta=\frac{\pi}{2}$ આગળ $x+y$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module