Mix Examples-Complex numbers Questions in Gujarati

(C) કારણ કે સહગુણકો $a, b, c, d$ વાસ્તવિક છે,તેથી સંકર બીજો હંમેશા અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે.
આપેલ બીજ $z_1 = 2+i$ અને $z_3 = \sqrt{5}-2i$ છે.
તેથી,તેમના અનુબદ્ધ બીજ $z_2 = 2-i$ અને $z_4 = \sqrt{5}+2i$ પણ સમીકરણના બીજ હશે.
તમામ બીજનો ગુણાકાર $z_1 \times z_2 \times z_3 \times z_4$ દ્વારા મળે છે.
ગુણાકાર $= (2+i)(2-i) \times (\sqrt{5}-2i)(\sqrt{5}+2i)$.
નિત્યસમ $(x+iy)(x-iy) = x^2+y^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
ગુણાકાર $= (2^2+1^2) \times ((\sqrt{5})^2+2^2) = (4+1) \times (5+4) = 5 \times 9 = 45$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\frac{(1+i)^{n}}{(1-i)^{n-2}}$
$= \frac{(1+i)^{n}}{(1-i)^{n} \cdot (1-i)^{-2}}$
$= \left(\frac{1+i}{1-i}\right)^{n} \cdot (1-i)^{2}$
$= \left(\frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}\right)^{n} \cdot (1 + i^{2} - 2i)$
$= \left(\frac{1 + 2i + i^{2}}{1 - i^{2}}\right)^{n} \cdot (1 - 1 - 2i)$
$= \left(\frac{1 + 2i - 1}{1 + 1}\right)^{n} \cdot (-2i)$
$= \left(\frac{2i}{2}\right)^{n} \cdot (-2i)$
$= i^{n} \cdot (-2i)$
$= -2i^{n+1}$

(D) આપેલ છે કે $z^{1/3} = p + iq$,તેથી $z = (p + iq)^3$.
વિસ્તરણ કરતા,$z = p^3 + 3ip^2q - 3pq^2 - iq^3 = (p^3 - 3pq^2) + i(3p^2q - q^3)$.
$z = x - iy$ સાથે સરખાવતા:
$x = p(p^2 - 3q^2)$
$y = -q(3p^2 - q^2)$.
હવે,$\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = (p^2 - 3q^2) + (q^2 - 3p^2) = -2(p^2 + q^2)$.
તેથી,$\frac{(\frac{x}{p} + \frac{y}{q})}{(p^2 + q^2)} = -2$.

(A) આપેલ છે કે $\frac{2 z_1}{3 z_2}$ એ શુદ્ધ કાલ્પનિક સંખ્યા છે,તેથી કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા $k \neq 0$ માટે $\frac{z_1}{z_2} = i k$ થાય.
આપણે $\left|\frac{z_1-z_2}{z_1+z_2}\right|$ નું મૂલ્ય શોધવું છે.
અંશ અને છેદને $z_2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\left|\frac{\frac{z_1}{z_2}-1}{\frac{z_1}{z_2}+1}\right| = \left|\frac{i k-1}{i k+1}\right|$.
ભાગાકારનો માનાંક એ માનાંકનો ભાગાકાર હોવાથી:
$\frac{|i k-1|}{|i k+1|} = \frac{\sqrt{(-1)^2 + k^2}}{\sqrt{1^2 + k^2}} = \frac{\sqrt{1+k^2}}{\sqrt{1+k^2}} = 1$.

(A) ધારો કે $z = \frac{1-i \cos \theta}{1+2 i \cos \theta}$.
$z$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવાથી,$z = \bar{z}$ થાય.
$\frac{1-i \cos \theta}{1+2 i \cos \theta} = \frac{1+i \cos \theta}{1-2 i \cos \theta}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$(1-i \cos \theta)(1-2 i \cos \theta) = (1+i \cos \theta)(1+2 i \cos \theta)$.
$1 - 3i \cos \theta - 2 \cos^2 \theta = 1 + 3i \cos \theta - 2 \cos^2 \theta$.
સાદુરૂપ આપતા:
$6i \cos \theta = 0$.
તેથી,$\cos \theta = 0$.
આમ,$\theta = (2n+1) \frac{\pi}{2}, n \in I$.

(A) આપેલ છે કે $|z_{1}|=|z_{2}|=|z_{3}|=1$.
$|z|=1$ હોવાથી $z\bar{z}=1$ થાય,તેથી $\bar{z}=\frac{1}{z}$.
આમ,$\frac{1}{z_{1}}=\bar{z}_{1}$,$\frac{1}{z_{2}}=\bar{z}_{2}$,અને $\frac{1}{z_{3}}=\bar{z}_{3}$.
આપણને આપેલ છે કે $|\frac{1}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}}+\frac{1}{z_{3}}|=1$.
અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યાઓ મૂકતા,આપણને $|\bar{z}_{1}+\bar{z}_{2}+\bar{z}_{3}|=1$ મળે છે.
$|\bar{z}|=|z|$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $|\overline{z_{1}+z_{2}+z_{3}}|=1$ મળે છે.
તેથી,$|z_{1}+z_{2}+z_{3}|=1$.

(B) આપણી પાસે છે,$|z| = \left|z-\frac{3}{z}+\frac{3}{z}\right|$
ત્રિકોણ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,$|z| \leq \left|z-\frac{3}{z}\right| + \left|\frac{3}{z}\right|$
આપેલ છે કે $\left|z-\frac{3}{z}\right| = 2$,તેથી $|z| \leq 2 + \frac{3}{|z|}$
$|z|$ વડે ગુણતા (કારણ કે $|z| > 0$),આપણને મળે $|z|^2 \leq 2|z| + 3$
$|z|^2 - 2|z| - 3 \leq 0$
$(|z|-3)(|z|+1) \leq 0$
કારણ કે $|z| \geq 0$,તેથી $|z| \leq 3$
આમ,$|z|$ ની મહત્તમ કિંમત $3$ છે.

(C) આપેલ શરત $\left|z+\frac{2}{z}\right|=2$ છે.
ત્રિકોણ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,$|z| = \left|z+\frac{2}{z}-\frac{2}{z}\right| \leq \left|z+\frac{2}{z}\right| + \left|-\frac{2}{z}\right|$.
આપેલ કિંમત મૂકતા,$|z| \leq 2 + \frac{2}{|z|}$.
$|z|$ વડે ગુણતા,$|z|^2 \leq 2|z| + 2$.
પદોને ગોઠવતા,$|z|^2 - 2|z| \leq 2$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$|z|^2 - 2|z| + 1 \leq 2 + 1$,જે $(|z|-1)^2 \leq 3$ આપે છે.
વર્ગમૂળ લેતા,$-\sqrt{3} \leq |z|-1 \leq \sqrt{3}$.
બધી બાજુ $1$ ઉમેરતા,$1-\sqrt{3} \leq |z| \leq 1+\sqrt{3}$.
$|z| \geq 0$ હોવાથી,$|z|$ ની મહત્તમ કિંમત $1+\sqrt{3}$ છે.

(B) આપેલ છે કે $P, Q$ અને $R$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણના ખૂણાઓ છે અને $\angle P = \frac{\pi}{2}$.
$P + Q + R = \pi$ હોવાથી,$Q + R = \pi - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$.
ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ હોવાથી અને $\angle P = \frac{\pi}{2}$,તેથી $Q = R = \frac{\pi}{4}$.
નિત્યસમ $\cos \theta + i \sin \theta = e^{i \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ નીચે મુજબ થશે:
$E = (e^{-i P/3})^3 + (e^{i Q})(e^{-i R}) + (e^{-i P})(e^{-i Q})(e^{-i R})$
$E = e^{-i P} + e^{i(Q - R)} + e^{-i(P + Q + R)}$
$P = \frac{\pi}{2}, Q = \frac{\pi}{4}, R = \frac{\pi}{4}$ મૂકતા:
$E = e^{-i \pi/2} + e^{i(0)} + e^{-i(\pi/2 + \pi/4 + \pi/4)}$
$E = -i + 1 + e^{-i \pi}$
$E = -i + 1 - 1 = -i$.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $z^2 + 4z - (1 + 12i) = 0$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 1, b = 4, c = -(1 + 12i)$:
$z = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-(1 + 12i))}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 4 + 48i}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{20 + 48i}}{2} = -2 \pm \sqrt{5 + 12i}$.
ધારો કે $\sqrt{5 + 12i} = x + iy$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^2 - y^2 + 2ixy = 5 + 12i$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા: $x^2 - y^2 = 5$ અને $2xy = 12 \Rightarrow xy = 6$.
કારણ કે $(x^2 + y^2)^2 = (x^2 - y^2)^2 + (2xy)^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$,તેથી $x^2 + y^2 = 13$.
$x^2 - y^2 = 5$ અને $x^2 + y^2 = 13$ ને ઉકેલતા,આપણને $2x^2 = 18 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3$ મળે છે.
જો $x = 3, y = 2$; જો $x = -3, y = -2$. તેથી $\sqrt{5 + 12i} = \pm(3 + 2i)$.
આમ,$z = -2 \pm (3 + 2i)$.
$z_1 = -2 + 3 + 2i = 1 + 2i$ અને $z_2 = -2 - 3 - 2i = -5 - 2i$.
$|z_1|^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.
$|z_2|^2 = (-5)^2 + (-2)^2 = 25 + 4 = 29$.
$|z_1|^2 + |z_2|^2 = 5 + 29 = 34$.

(A) ધારો કે $z = x+iy$. સમીકરણ $z\bar{z} + z(2+i) + k(2+3i) = 0$ છે.
$z = x+iy$ અને $\bar{z} = x-iy$ મૂકતા,આપણને $(x^2 + y^2) + (x+iy)(2+i) + 2k + 3ki = 0$ મળે છે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 + y^2 + 2x + ix + 2iy - y + 2k + 3ki = 0$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને અલગ કરતા:
વાસ્તવિક ભાગ: $x^2 + y^2 + 2x - y + 2k = 0$
કાલ્પનિક ભાગ: $x + 2y + 3k = 0 \Rightarrow x = -2y - 3k$.
$x$ ની કિંમત વાસ્તવિક ભાગના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(-2y-3k)^2 + y^2 + 2(-2y-3k) - y + 2k = 0$
$4y^2 + 12yk + 9k^2 + y^2 - 4y - 6k - y + 2k = 0$
$5y^2 + y(12k - 5) + 9k^2 - 4k = 0$.
$y$ વાસ્તવિક હોય તે માટે,વિવેચક $D \ge 0$:
$D = (12k - 5)^2 - 4(5)(9k^2 - 4k) \ge 0$
$144k^2 - 120k + 25 - 180k^2 + 80k \ge 0$
$-36k^2 - 40k + 25 \ge 0 \Rightarrow 36k^2 + 40k - 25 \le 0$.
$36k^2 + 40k - 25 = 0$ ના બીજ $k = \frac{-40 \pm \sqrt{1600 - 4(36)(-25)}}{72} = \frac{-40 \pm \sqrt{5200}}{72}$ છે.
આમ,$\alpha + \beta = -\frac{40}{36} = -\frac{10}{9}$.
તેથી,$9(\alpha + \beta) = 9(-\frac{10}{9}) = -10$.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $z^2 + 4z + 16 = 0$ ના બીજ દ્વિઘાત સૂત્ર $z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે.
$a = 1, b = 4, c = 16$ કિંમતો મૂકતા,આપણને $z = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{-48}}{2} = -2 \pm i 2\sqrt{3}$ મળે છે.
ધારો કે બે બીજ $z_1 = -2 + 2\sqrt{3}i$ અને $z_2 = -2 - 2\sqrt{3}i$ છે.
આપણે સરવાળો $S = |z_1 + \sqrt{3}i|^2 + |z_2 + \sqrt{3}i|^2$ ની ગણતરી કરવાની છે.
પ્રથમ,$|z_1 + \sqrt{3}i|^2 = |-2 + 2\sqrt{3}i + \sqrt{3}i|^2 = |-2 + 3\sqrt{3}i|^2 = (-2)^2 + (3\sqrt{3})^2 = 4 + 27 = 31$ મળે છે.
ત્યારબાદ,$|z_2 + \sqrt{3}i|^2 = |-2 - 2\sqrt{3}i + \sqrt{3}i|^2 = |-2 - \sqrt{3}i|^2 = (-2)^2 + (-\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7$ મળે છે.
આમ,કુલ સરવાળો $31 + 7 = 38$ થાય છે.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $z^2 + \sqrt{6}iz - 3 = 0$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$z = \frac{-\sqrt{6}i \pm \sqrt{(\sqrt{6}i)^2 - 4(1)(-3)}}{2} = \frac{-\sqrt{6}i \pm \sqrt{-6 + 12}}{2} = \frac{-\sqrt{6}i \pm \sqrt{6}}{2}$.
આમ,બીજ $z_1 = \frac{\sqrt{6}}{2}(1 - i)$ અને $z_2 = \frac{\sqrt{6}}{2}(-1 - i)$ મળે છે.
હવે,દરેક બીજ માટે $z^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$z_1^2 = \left(\frac{\sqrt{6}}{2}(1 - i)\right)^2 = \frac{6}{4}(1 - 2i + i^2) = \frac{3}{2}(1 - 2i - 1) = -3i$.
$z_2^2 = \left(\frac{\sqrt{6}}{2}(-1 - i)\right)^2 = \frac{6}{4}(1 + 2i + i^2) = \frac{3}{2}(1 + 2i - 1) = 3i$.
હવે,$z^8 = (z^2)^4$ ની ગણતરી કરીએ:
$z_1^8 = (-3i)^4 = (-3)^4 \cdot i^4 = 81 \cdot 1 = 81$.
$z_2^8 = (3i)^4 = 3^4 \cdot i^4 = 81 \cdot 1 = 81$.
તેથી,$\sum_{z \in S} z^8 = z_1^8 + z_2^8 = 81 + 81 = 162$.