Geometry of complex numbers Questions in Hindi

(C) समीकरण $|z|=3$ मूल बिंदु $(0,0)$ पर केंद्रित और $R=3$ त्रिज्या वाला एक वृत्त दर्शाता है।
समीकरण $\arg(z-1)-\arg(z+1)=\frac{\pi}{4}$ को $\arg\left(\frac{z-1}{z+1}\right)=\frac{\pi}{4}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $z=1$ और $z=-1$ से गुजरने वाले एक वृत्त का चाप दर्शाता है।
मान लीजिए $z=x+iy$ है। शर्त $\arg\left(\frac{z-1}{z+1}\right)=\frac{\pi}{4}$ यह दर्शाती है कि बिंदु पथ $(-1,0)$ और $(1,0)$ अंत बिंदुओं वाला एक वृत्तीय चाप है।
इस वृत्त का केंद्र $(0,1)$ है और इसकी त्रिज्या $\sqrt{2}$ है।
इस वृत्त का समीकरण $x^2+(y-1)^2=2$ है,जो सरल होकर $x^2+y^2-2y-1=0$ हो जाता है।
हमें $x^2+y^2=9$ और $x^2+y^2-2y-1=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करना है।
दूसरे समीकरण में $x^2+y^2=9$ रखने पर: $9-2y-1=0$,जिससे $8-2y=0$ प्राप्त होता है,अतः $y=4$ है।
हालाँकि,वृत्त $x^2+(y-1)^2=2$ के लिए,$y$ का अधिकतम मान $1+\sqrt{2} \approx 2.414$ है।
चूँकि $4 > 1+\sqrt{2}$,वृत्त $|z|=3$ और चाप एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।
इसलिए,वे कहीं भी प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।

(C) क्षेत्र $S$ को $|z - 2| \leq 1$ द्वारा परिभाषित किया गया है,जो $(2, 0)$ केंद्र और $1$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है,और $z(1 + i) + \overline{z}(1 - i) \leq 2$ है।
$z = x + iy$ प्रतिस्थापित करने पर,दूसरी असमिका $2x - 2y \leq 2$ या $x - y \leq 1$ बन जाती है।
$|z - 4i|$ का मान $P(0, 4)$ से दूरी को दर्शाता है।
गणना करने पर,$5(|z_1|^2 + |z_2|^2) = 50$ प्राप्त होता है।
अतः $\alpha = 50, \beta = 0$ और $\alpha + \beta = 50$।

(C) यह व्यंजक $|z-3 \sqrt{2}| + |z-p \sqrt{2} i|$ सम्मिश्र तल में बिंदुओं $A(3 \sqrt{2}, 0)$ और $B(0, p \sqrt{2})$ से सम्मिश्र संख्या $z$ की दूरियों का योग दर्शाता है।
दो बिंदुओं से दूरियों के योग का न्यूनतम मान उन दो बिंदुओं के बीच की दूरी होती है,जो रेखाखंड $AB$ की लंबाई है।
दिया गया है कि न्यूनतम मान $5 \sqrt{2}$ है,इसलिए $AB = 5 \sqrt{2}$.
$A(3 \sqrt{2}, 0)$ और $B(0, p \sqrt{2})$ के बीच की दूरी का सूत्र $\sqrt{(3 \sqrt{2} - 0)^2 + (0 - p \sqrt{2})^2} = 5 \sqrt{2}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(3 \sqrt{2})^2 + (p \sqrt{2})^2 = (5 \sqrt{2})^2$.
$18 + 2p^2 = 50$.
$2p^2 = 32$.
$p^2 = 16$.
$p = \pm 4$.
अतः,$p$ का एक संभावित मान $4$ है।

(D) चूंकि $\triangle OAB$ एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका कर्ण $OB$ है, सदिश $\vec{AB}$ को $\vec{OA}$ को $90^{\circ}$ ($i$ या $-i$) पर घुमाकर प्राप्त किया जाता है।
दिया है $z_{1} = 1 + 2i$, अतः सदिश $\vec{OA} = 1 + 2i$.
स्थिति $1$: $z_{2} - z_{1} = i(z_{1} - 0) = i(1 + 2i) = -2 + i$.
तब $z_{2} = z_{1} + (-2 + i) = (1 + 2i) + (-2 + i) = -1 + 3i$.
यहाँ $\operatorname{Re}(z_{2}) = -1 < 0$, जो शर्त को पूरा करता है।
स्थिति $2$: $z_{2} - z_{1} = -i(z_{1} - 0) = -i(1 + 2i) = 2 - i$.
तब $z_{2} = z_{1} + (2 - i) = (1 + 2i) + (2 - i) = 3 + i$.
यहाँ $\operatorname{Re}(z_{2}) = 3 > 0$, जिसे अस्वीकार कर दिया जाता है।
अतः, $z_{2} = -1 + 3i$.
अब, $|z_{2}| = \sqrt{(-1)^{2} + 3^{2}} = \sqrt{10}$. (विकल्प $C$ सत्य है)
$\arg z_{2} = \pi - \tan^{-1} 3$. (विकल्प $A$ सत्य है)
$|2z_{1} - z_{2}| = |2(1 + 2i) - (-1 + 3i)| = |2 + 4i + 1 - 3i| = |3 + i| = \sqrt{3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{10}$.
चूंकि $|2z_{1} - z_{2}| = \sqrt{10} \neq 5$, इसलिए विकल्प $D$ सत्य नहीं है।

(A) फलन $v = |z|^{2} + |z-3|^{2} + |z-6i|^{2}$ है।
माना $z = x + iy$ है। तब $v = (x^{2} + y^{2}) + ((x-3)^{2} + y^{2}) + (x^{2} + (y-6)^{2})$.
$v = 3x^{2} - 6x + 9 + 3y^{2} - 12y + 36 = 3(x-1)^{2} + 3(y-2)^{2} + 30$.
न्यूनतम मान $v_{0} = 30$,$z_{0} = 1 + 2i$ पर प्राप्त होता है।
हमें $|2z_{0}^{2} - \bar{z}_{0}^{3} + 3|^{2} + v_{0}^{2}$ की गणना करनी है।
$z_{0} = 1 + 2i$,इसलिए $z_{0}^{2} = -3 + 4i$.
$\bar{z}_{0} = 1 - 2i$,इसलिए $\bar{z}_{0}^{3} = -11 + 2i$.
$2z_{0}^{2} - \bar{z}_{0}^{3} + 3 = 2(-3 + 4i) - (-11 + 2i) + 3 = 8 + 6i$.
$|8 + 6i|^{2} = 100$.
अतः,$|2z_{0}^{2} - \bar{z}_{0}^{3} + 3|^{2} + v_{0}^{2} = 100 + 900 = 1000$.

(D) दिया गया समीकरण $z^{2} + \bar{z} = 0$ है। मान लीजिए $z = x + iy$,जहाँ $x, y \in \mathbb{R}$ है।
तब $z^{2} = x^{2} - y^{2} + 2ixy$ और $\bar{z} = x - iy$ होगा।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(x^{2} - y^{2} + x) + i(2xy - y) = 0$ प्राप्त होता है।
वास्तविक और काल्पनिक भागों को शून्य के बराबर रखने पर:
$1) x^{2} + x - y^{2} = 0$
$2) y(2x - 1) = 0$
समीकरण $(2)$ से,$y = 0$ या $x = \frac{1}{2}$ है।
स्थिति $1$: यदि $y = 0$,तो $x^{2} + x = 0 \implies x(x + 1) = 0$,अतः $x = 0$ या $x = -1$ है। मूल $z_{1} = 0$ और $z_{2} = -1$ हैं।
स्थिति $2$: यदि $x = \frac{1}{2}$,तो $(\frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{2} - y^{2} = 0 \implies \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = y^{2} \implies y^{2} = \frac{3}{4} \implies y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ है। मूल $z_{3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ और $z_{4} = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$ हैं।
समुच्चय $S = \{0, -1, \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\}$ है।
सभी $z \in S$ के लिए $(\operatorname{Re}(z) + \operatorname{Im}(z))$ का योग:
$(0 + 0) + (-1 + 0) + (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = 0 - 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$।

(C) दिया गया है $|z_{2}-|z_{2}+1||=|z_{2}+|z_{2}-1||$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$|z_{2}-|z_{2}+1||^2 = |z_{2}+|z_{2}-1||^2$
इस समीकरण को हल करने पर हमें प्राप्त होता है $z_{2}+\bar{z}_{2}=0$ (काल्पनिक अक्ष) या $|z_{2}-1| + |z_{2}+1| = 2$ (वास्तविक अक्ष पर $-1$ से $1$ तक का रेखाखंड)।
$S_{1}$ एक वृत्त है जिसका केंद्र $3$ और त्रिज्या $\frac{1}{2}$ है।
$S_{2}$ से वृत्त के केंद्र तक की दूरी न्यूनतम दूरी है।
वृत्त के सबसे निकटतम बिंदु $z_{2}=1$ है। अतः दूरी $|3-1| - \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ है।

(B) $z = x + iy$ के लिए दी गई शर्तें:
$1) |z - 1 + i| \geq |z| \Rightarrow |(x - 1) + i(y + 1)| \geq |x + iy| \Rightarrow (x - 1)^2 + (y + 1)^2 \geq x^2 + y^2 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 \geq x^2 + y^2 \Rightarrow 2y \geq 2x - 2 \Rightarrow y \geq x - 1$.
$2) |z + i| = |z - 1| \Rightarrow |x + i(y + 1)| = |(x - 1) + iy| \Rightarrow x^2 + (y + 1)^2 = (x - 1)^2 + y^2 \Rightarrow x^2 + y^2 + 2y + 1 = x^2 - 2x + 1 + y^2 \Rightarrow 2y = -2x \Rightarrow y = -x$.
$3) |z| < 2 \Rightarrow x^2 + y^2 < 4$.
शर्तों में $y = -x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(1)$ से,$-x \geq x - 1 \Rightarrow 2x \leq 1 \Rightarrow x \leq \frac{1}{2}$.
$(3)$ से,$x^2 + (-x)^2 < 4 \Rightarrow 2x^2 < 4 \Rightarrow x^2 < 2 \Rightarrow x \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$.
अतः,$z$ रेखाखंड $y = -x$ पर $x \in (-\sqrt{2}, 1/2]$ के लिए स्थित है।
अब,$w = 2x + iy \in S$ किसी $y \in \mathbb{R}$ के लिए। चूँकि $z = x + iy \in S$,हमारे पास $y = -x$ है। अतः $w = 2x - ix$। मान लीजिए $w = X + iY$,जहाँ $X = 2x$ और $Y = -x$ है। तो $Y = -X/2$ है।
चूँकि $z \in S$,हमारे पास $x \in (-\sqrt{2}, 1/2]$ है। अतः $X = 2x \in (-2\sqrt{2}, 1]$ है।
हालाँकि,$w \in S$ शर्त यह दर्शाती है कि $w$ को $z$ जैसी ही शर्तों का पालन करना चाहिए। विशेष रूप से,$w = X + iY$ को $Y = -X$ और $X^2 + Y^2 < 4$ का पालन करना चाहिए। $Y = -X$ को $X^2 + Y^2 < 4$ में रखने पर $2X^2 < 4 \Rightarrow X^2 < 2 \Rightarrow X \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$Y \geq X - 1 \Rightarrow -X \geq X - 1 \Rightarrow 2X \leq 1 \Rightarrow X \leq 1/2$ है।
इन दोनों को मिलाने पर,$X \in (-\sqrt{2}, 1/2]$ प्राप्त होता है। विकल्पों को देखते हुए,वास्तविक भाग $X$ के लिए सही समुच्चय $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{4}\right]$ है।

(A) माना $z = x + iy$,तो $\bar{z} = x - iy$.
हम जानते हैं कि $z \bar{z} = x^2 + y^2$,$z^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$,और $\bar{z}^2 = x^2 - y^2 - 2ixy$.
इन मानों को समीकरण $10 z \bar{z} - 3(z^2 + \bar{z}^2) + 4i(z^2 - \bar{z}^2) = 0$ में रखने पर:
$10(x^2 + y^2) - 3(2(x^2 - y^2)) + 4i(4ixy) = 0$
$10(x^2 + y^2) - 6(x^2 - y^2) - 16xy = 0$
$10x^2 + 10y^2 - 6x^2 + 6y^2 - 16xy = 0$
$4x^2 - 16xy + 16y^2 = 0$
$4$ से भाग देने पर,हमें $x^2 - 4xy + 4y^2 = 0$ प्राप्त होता है,जो $(x - 2y)^2 = 0$ है।
यह एक सीधी रेखा $x - 2y = 0$ को दर्शाता है।

(B) दिया गया है कि $z_1=\sqrt{3}+i$ और $z_2=\sqrt{3}-i$ मूल बिंदु पर केंद्रित एक $n$-भुजा वाले नियमित बहुभुज के दो आसन्न शीर्ष हैं।
सबसे पहले,हम $z_1$ और $z_2$ के कोणांक (arguments) ज्ञात करते हैं:
$\arg(z_1) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$
$\arg(z_2) = \tan^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\pi}{6}$
मूल बिंदु $O$ पर भुजा $z_1z_2$ द्वारा अंतरित कोण:
$\theta = |\arg(z_1) - \arg(z_2)| = \left|\frac{\pi}{6} - \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right| = \frac{\pi}{3}$
मूल बिंदु पर केंद्रित एक नियमित $n$-भुजा वाले बहुभुज के लिए,केंद्र पर किसी भी भुजा द्वारा अंतरित कोण $\frac{2\pi}{n}$ होता है।
अतः,$\frac{2\pi}{n} = \frac{\pi}{3}$।
$n$ के लिए हल करने पर,हमें $n = 6$ प्राप्त होता है।

(D) समुच्चय को $A_r = \{e^{i \pi r n} : n \in \mathbb{N}\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$A_1$ के लिए, $e^{i \pi n} = (e^{i \pi})^n = (-1)^n$। चूँकि $n \in \mathbb{N}$, समुच्चय $\{-1, 1\}$ है, जो परिमित है।
$A_{0.3}$ के लिए, $e^{i \pi (0.3) n} = e^{i \pi (3/10) n}$। यह समुच्चय परिमित है क्योंकि $e^{i \pi (3/10) n}$ का मान $n$ के प्रत्येक $20$ मानों के बाद दोहराता है।
$A_{1/\pi}$ के लिए, $e^{i \pi (1/\pi) n} = e^{i n} = \cos(n) + i \sin(n)$। चूँकि $n$ एक प्राकृतिक संख्या है और $1$, $\pi$ का परिमेय गुणज नहीं है, इसलिए $e^{in}$ के मान प्रत्येक $n \in \mathbb{N}$ के लिए अलग-अलग हैं, जिससे यह समुच्चय अनंत हो जाता है।
अतः, $A_{0.3}$ परिमित है और $A_{1/\pi}$ अनंत है।
इसलिए, विकल्प $(d)$ सही है।

(B) दिया गया है कि $|a-b|=2$,$|b-c|=3$,और $|c-d|=4$ है।
हम लिख सकते हैं कि $a-d = (a-b) + (b-c) + (c-d)$।
चूंकि $|a-b|=2$,$|b-c|=3$,और $|c-d|=4$ है,इसलिए $(a-b)$,$(b-c)$,और $(c-d)$ के संभावित मान क्रमशः $\pm 2$,$\pm 3$,और $\pm 4$ हैं।
$a-d$ के संभावित मान इन संयोजनों के योग से प्राप्त होते हैं:
$2+3+4 = 9$
$2+3-4 = 1$
$2-3+4 = 3$
$2-3-4 = -5$
$-2+3+4 = 5$
$-2+3-4 = -3$
$-2-3+4 = -1$
$-2-3-4 = -9$
अतः,$|a-d|$ के संभावित मान $|9|, |1|, |3|, |-5|, |5|, |-3|, |-1|, |-9|$ हैं,जो समुच्चय $\{9, 5, 3, 1\}$ देते हैं।
$|a-d|$ के सभी संभावित मानों का योग $9 + 5 + 3 + 1 = 18$ है।

(B) माना सम्मिश्र तल में बिंदु $O(0,0)$,$A(1,0)$,$B(1,1)$,और $C(0,1)$ हैं।
यह व्यंजक एक इकाई वर्ग $OABC$ के शीर्षों से बिंदु $z$ तक की दूरियों का योग दर्शाता है।
त्रिभुज असमिका के अनुसार,किसी भी बिंदु $z$ से एक उत्तल चतुर्भुज के शीर्षों तक की दूरियों का योग उसके विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर न्यूनतम होता है।
विकर्ण $OB$ (बिंदु $(0,0)$ और $(1,1)$ को जोड़ने वाली रेखा) और $AC$ (बिंदु $(1,0)$ और $(0,1)$ को जोड़ने वाली रेखा) हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु $z = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$ है।
न्यूनतम मान विकर्णों की लंबाइयों का योग है:
$|z-0| + |z-(1+i)| = |\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i| + |-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i| = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
$|z-1| + |z-i| = |-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i| + |\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i| = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
कुल न्यूनतम मान = $\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

(A) मान लीजिए $z = x + iy$ है। तब $|z - z_1|^2 = (x - 2)^2 + (y - 3)^2$ और $|z - z_2|^2 = (x - 3)^2 + (y - 4)^2$ है।
दिया गया है $|z_1 - z_2|^2 = |(2 - 3) + i(3 - 4)|^2 = |-1 - i|^2 = (-1)^2 + (-1)^2 = 2$ है।
समीकरण $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 - ((x - 3)^2 + (y - 4)^2) = 2$ है।
पदों का विस्तार करने पर: $(x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9) - (x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16) = 2$ प्राप्त होता है।
$(x^2 + y^2 - 4x - 6y + 13) - (x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25) = 2$ है।
$2x + 2y - 12 = 2$ है।
$2x + 2y = 14 \Rightarrow x + y = 7$ है।
यह एक सीधी रेखा है जिसका $x$-अंतःखंड $7$ और $y$-अंतःखंड $7$ है।
अंतःखंडों का योग $7 + 7 = 14$ है।

(C) दिया गया है $\left|\frac{z-2i}{z+i}\right|=2$,इसलिए $|z-2i|^2 = 4|z+i|^2$ है।
मान लीजिए $z = x+iy$ है। तो $|x+i(y-2)|^2 = 4|x+i(y+1)|^2$ होगा।
$x^2 + (y-2)^2 = 4(x^2 + (y+1)^2)$।
$x^2 + y^2 - 4y + 4 = 4(x^2 + y^2 + 2y + 1)$।
$x^2 + y^2 - 4y + 4 = 4x^2 + 4y^2 + 8y + 4$।
$3x^2 + 3y^2 + 12y = 0$।
$3$ से भाग देने पर,हमें $x^2 + y^2 + 4y = 0$ प्राप्त होता है।
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $x^2 + (y+2)^2 = 4$।
यह $2$ त्रिज्या और $(0, -2)$ केंद्र वाला एक वृत्त है।

(A) दिया गया है $\alpha = 8 - 14i$. मान लीजिए $z = x + iy$. तब $\bar{z} = x - iy$.
समुच्चय $A$ के लिए समीकरण $\frac{\alpha z - \bar{\alpha} \bar{z}}{z^2 - \bar{z}^2 - 112i} = 1$ है।
अंश: $\alpha z - \bar{\alpha} \bar{z} = (8 - 14i)(x + iy) - (8 + 14i)(x - iy) = (8x + 14y + i(-14x + 8y)) - (8x + 14y + i(14x - 8y)) = 2i(-14x + 8y)$.
हर: $z^2 - \bar{z}^2 = (z - \bar{z})(z + \bar{z}) = (2iy)(2x) = 4ixy$.
अतः,$\frac{2i(-14x + 8y)}{4ixy - 112i} = 1 \implies \frac{2(-14x + 8y)}{4xy - 112} = 1 \implies -28x + 16y = 4xy - 112$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $4xy + 28x - 16y - 112 = 0 \implies 4x(y + 7) - 16(y + 7) = 0 \implies (4x - 16)(y + 7) = 0$.
इस प्रकार,$x = 4$ या $y = -7$.
समुच्चय $B$ के लिए,$|z + 3i| = 4 \implies x^2 + (y + 3)^2 = 16$.
स्थिति $1$: यदि $x = 4$,तो $16 + (y + 3)^2 = 16 \implies y = -3$. अतः $z_1 = 4 - 3i$.
स्थिति $2$: यदि $y = -7$,तो $x^2 + (-7 + 3)^2 = 16 \implies x^2 + 16 = 16 \implies x = 0$. अतः $z_2 = 0 - 7i$.
$A \cap B = \{4 - 3i, -7i\}$.
योग: $(\operatorname{Re}(z_1) - \operatorname{Im}(z_1)) + (\operatorname{Re}(z_2) - \operatorname{Im}(z_2)) = (4 - (-3)) + (0 - (-7)) = 7 + 7 = 14$.

(A) माना $z = 4e^{i\theta}$ है। तब $w = z + \frac{1}{z} = 4e^{i\theta} + \frac{1}{4}e^{-i\theta}$ है।
$w = 4(\cos \theta + i \sin \theta) + \frac{1}{4}(\cos \theta - i \sin \theta) = \left(4 + \frac{1}{4}\right) \cos \theta + i \left(4 - \frac{1}{4}\right) \sin \theta$ है।
$w = \frac{17}{4} \cos \theta + i \frac{15}{4} \sin \theta$ है।
माना $w = x + iy$ है। तब $x = \frac{17}{4} \cos \theta$ और $y = \frac{15}{4} \sin \theta$ है।
$w$ का बिंदुपथ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{(17/4)^2} + \frac{y^2}{(15/4)^2} = 1$ है।
वक्र $C_1$ एक वृत्त $x^2 + y^2 = 16$ है।
चूंकि अर्ध-दीर्घ अक्ष $a = 17/4 = 4.25 > 4$ और अर्ध-लघु अक्ष $b = 15/4 = 3.75 < 4$ है,इसलिए दीर्घवृत्त वृत्त को $4$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करता है।

(D) माना $z = x + iy$. दिया गया समीकरण $\left|\frac{x+iy-2}{x+iy-3}\right|=2$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{(x-2)^2+y^2}{(x-3)^2+y^2}=4$ प्राप्त होता है।
$(x-2)^2+y^2 = 4((x-3)^2+y^2)$.
$x^2-4x+4+y^2 = 4(x^2-6x+9+y^2)$.
$x^2-4x+4+y^2 = 4x^2-24x+36+4y^2$.
$3x^2+3y^2-20x+32=0$.
$3$ से भाग देने पर,$x^2+y^2-\frac{20}{3}x+\frac{32}{3}=0$ प्राप्त होता है।
मानक रूप $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=-\frac{10}{3}$ और $f=0$ है।
केंद्र $(\alpha, \beta) = (-g, -f) = \left(\frac{10}{3}, 0\right)$ है।
त्रिज्या $\gamma = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{\left(\frac{10}{3}\right)^2 - \frac{32}{3}} = \sqrt{\frac{100}{9} - \frac{96}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$ है।
अतः,$3(\alpha+\beta+\gamma) = 3\left(\frac{10}{3} + 0 + \frac{2}{3}\right) = 3\left(\frac{12}{3}\right) = 12$।

(C) दिया गया है कि $\operatorname{Re}(a z^2 + bz) = a$ और $\operatorname{Re}(b z^2 + az) = b$ है।
मान लीजिए $z = x + iy$ है। तब $z^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$ होगा।
प्रतिबंध $\operatorname{Re}(a z^2 + bz) = a$ से $a(x^2 - y^2) + bx = a$ $(1)$ प्राप्त होता है।
प्रतिबंध $\operatorname{Re}(b z^2 + az) = b$ से $b(x^2 - y^2) + ax = b$ $(2)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(1)$ को $b$ से और $(2)$ को $a$ से गुणा करने पर:
$ab(x^2 - y^2) + b^2x = ab$ $(3)$
$ab(x^2 - y^2) + a^2x = ab$ $(4)$
समीकरण $(4)$ को $(3)$ से घटाने पर:
$(b^2 - a^2)x = 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि $a \neq b$, यदि $a \neq -b$ है, तो $b^2 - a^2 \neq 0$ होगा, जिसका अर्थ है कि $x = 0$ है।
$x = 0$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर $a(-y^2) = a$ प्राप्त होता है। चूँकि $a \neq 0$, हमें $y^2 = -1$ मिलता है, जिसका कोई वास्तविक हल नहीं है।
अतः, $a \neq \pm b$ के लिए, कोई हल नहीं है, इसलिए अवयवों की संख्या $0$ है।

(C) दिया गया समीकरण $|z - \alpha|^2 + |z - \beta|^2 = 2\lambda$ है।
सर्वसमिका $|z - \alpha|^2 + |z - \beta|^2 = 2|z - \frac{\alpha + \beta}{2}|^2 + \frac{1}{2}|\alpha - \beta|^2$ का उपयोग करते हुए,हम समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$2|z - \frac{\alpha + \beta}{2}|^2 + \frac{1}{2}|\alpha - \beta|^2 = 2\lambda$.
$2$ से भाग देने पर,हमें $|z - \frac{\alpha + \beta}{2}|^2 = \lambda - \frac{1}{4}|\alpha - \beta|^2$ प्राप्त होता है।
यह वृत्त $|z - z_0|^2 = R^2$ का समीकरण है जहाँ $R^2 = \lambda - \frac{1}{4}|\alpha - \beta|^2$ है।
दी गई त्रिज्या $R = \sqrt{\lambda - 1}$ है,इसलिए $R^2 = \lambda - 1$ है।
$R^2$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\lambda - \frac{1}{4}|\alpha - \beta|^2 = \lambda - 1$.
$-\frac{1}{4}|\alpha - \beta|^2 = -1$.
$|\alpha - \beta|^2 = 4$.
$|\alpha - \beta| = 2$.

(C) मान लीजिए $z = x + iy$। व्यंजक $\frac{2(x + iy) - 3i}{4(x + iy) + 2i} = \frac{2x + i(2y - 3)}{4x + i(4y + 2)}$ है।
एक सम्मिश्र संख्या $\frac{a + ib}{c + id}$ वास्तविक होती है यदि उसका काल्पनिक भाग शून्य हो।
अतः $2x(4y + 2) - 4x(2y - 3) = 0$ प्राप्त होता है।
इसे हल करने पर $16x = 0$ अर्थात $x = 0$ मिलता है।
हर शून्य नहीं हो सकता,इसलिए $4y + 2 \neq 0$ अर्थात $y \neq -\frac{1}{2}$।
अतः,बिंदु $(0, -\frac{1}{2})$ समुच्चय $S$ में नहीं है। इसलिए विकल्प $C$ सही नहीं है।

(D) एक सम्मिश्र संख्या $z$ को वामावर्त दिशा में $90^{\circ}$ $(+\pi/2)$ घुमाना $i$ से गुणा करने के बराबर है।
$w_1 = z_1 \times i = (5+4i)i = 5i + 4i^2 = -4+5i$.
एक सम्मिश्र संख्या $z$ को दक्षिणावर्त दिशा में $90^{\circ}$ $(-\pi/2)$ घुमाना $-i$ से गुणा करने के बराबर है।
$w_2 = z_2 \times (-i) = (3+5i)(-i) = -3i - 5i^2 = 5-3i$.
अब,$w_1 - w_2 = (-4+5i) - (5-3i) = -9+8i$.
सम्मिश्र संख्या $z = -9+8i$ द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है।
द्वितीय चतुर्थांश में $z = x+iy$ का मुख्य कोणांक $\pi - \tan^{-1}|y/x|$ होता है।
$\text{Arg}(w_1-w_2) = \pi - \tan^{-1}\left|\frac{8}{-9}\right| = \pi - \tan^{-1}\left(\frac{8}{9}\right)$.

(B) मान लीजिए $a = x_1 + i y_1$ और $z = x + i y$, जहाँ $x, y, x_1, y_1 \in \mathbb{R}$ है।
समुच्चय $A$ के लिए, शर्त $\operatorname{Re}(a + \bar{z}) > \operatorname{Im}(\bar{a} + z)$ है।
$\operatorname{Re}(x_1 + i y_1 + x - i y) > \operatorname{Im}(x_1 - i y_1 + x + i y)$
$x_1 + x > -y_1 + y \implies y < x + x_1 + y_1$.
यदि $z$ एक वास्तविक संख्या है, तो $y = 0$ होगा। शर्त $0 < x + x_1 + y_1$ हो जाती है, जिसका अर्थ है $x > -(x_1 + y_1)$। यह सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए सत्य नहीं है (उदाहरण के लिए, $x$ का बहुत छोटा मान लें)। अतः, $(S1)$ असत्य है।
समुच्चय $B$ के लिए, शर्त $\operatorname{Re}(a + \bar{z}) < \operatorname{Im}(\bar{a} + z)$ है।
$x_1 + x < -y_1 + y \implies y > x + x_1 + y_1$.
यदि $z$ एक वास्तविक संख्या है, तो $y = 0$ होगा। शर्त $0 > x + x_1 + y_1$ हो जाती है, जिसका अर्थ है $x < -(x_1 + y_1)$। यह सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए सत्य नहीं है (उदाहरण के लिए, $x$ का बहुत बड़ा मान लें)। अतः, $(S2)$ असत्य है।
इसलिए, दोनों कथन असत्य हैं।

(A) दिया गया व्यंजक $f(z) = \frac{z^2 + 8iz - 15}{z^2 - 3iz - 2} \in \mathbb{R}$ है।
बहुपद विभाजन करने पर: $f(z) = 1 + \frac{11iz - 13}{z^2 - 3iz - 2}$ प्राप्त होता है।
$f(z)$ के वास्तविक होने के लिए,व्यंजक का काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए।
माना $z = \alpha - \frac{13}{11}i$ है,जहाँ $x = \alpha$ और $y = -\frac{13}{11}$ है।
हर $D = z^2 - 3iz - 2 = (x^2 - y^2 + 3y - 2) + i(2xy - 3x)$ है।
अंश $N = 11iz - 13 = (-11y - 13) + i(11x)$ है।
$\frac{N}{D} \in \mathbb{R}$ के लिए,$\text{Re}(N)\text{Im}(D) = \text{Im}(N)\text{Re}(D)$ होना चाहिए।
चूंकि $y = -\frac{13}{11}$ है,इसलिए $\text{Re}(N) = 0$ है।
अतः,$\text{Re}(D) = x^2 - y^2 + 3y - 2 = 0$ लेने पर:
$\alpha^2 = y^2 - 3y + 2 = (y-1)(y-2)$ प्राप्त होता है।
$y = -\frac{13}{11}$ रखने पर:
$\alpha^2 = (-\frac{24}{11})(-\frac{35}{11}) = \frac{840}{121}$ प्राप्त होता है।
अतः,$242\alpha^2 = 242 \times \frac{840}{121} = 1680$ है।

(B) दिया गया है $z_0 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i$ और $z_1 = 1 + i$.
$|z_1 - z_0| = |(1 - \frac{1}{2}) + (1 - \frac{3}{2})i| = |\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ की गणना करें।
दिया गया है $|z_1 - z_0| |z_2 - z_0| = 1$,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{2}} |z_2 - z_0| = 1$,जिसका अर्थ है $|z_2 - z_0| = \sqrt{2}$।
चूंकि $z_0, z_1, z_2$ संरेख हैं,$z_2$ उस रेखा पर स्थित है जो $z_0$ और $z_1$ से होकर गुजरती है। इस रेखा की दिशा कोण $\theta$ द्वारा दी जाती है जहाँ $\tan \theta = \frac{-1/2}{1/2} = -1$,इसलिए $\theta = 135^{\circ}$ या $315^{\circ}$ है।
अतः,$z_2 = z_0 + \sqrt{2} e^{i \theta} = (\frac{1}{2} + \frac{3}{2}i) + \sqrt{2} (\cos \theta + i \sin \theta)$।
$\theta = 135^{\circ}$ के लिए,$z_2 = (\frac{1}{2} + \sqrt{2} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}})) + i(\frac{3}{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}) = (\frac{1}{2} - 1) + i(\frac{3}{2} + 1) = -\frac{1}{2} + \frac{5}{2}i$।
तब $|z_2|^2 = (-\frac{1}{2})^2 + (\frac{5}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{25}{4} = \frac{26}{4} = \frac{13}{2}$।
$\theta = 315^{\circ}$ के लिए,$z_2 = (\frac{1}{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}) + i(\frac{3}{2} + \sqrt{2} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}})) = (\frac{1}{2} + 1) + i(\frac{3}{2} - 1) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}i$।
तब $|z_2|^2 = (\frac{3}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = \frac{9}{4} + \frac{1}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$।
$|z_2|^2$ का छोटा मान $\frac{5}{2}$ है।

(A) दिया गया है $\omega = z \bar{z} + k_1 z + k_2 i z + \lambda(1 + i)$. मान लीजिए $z = x + iy$.
तब $\omega = (x^2 + y^2) + k_1(x + iy) + k_2 i(x + iy) + \lambda + i\lambda = (x^2 + y^2 + k_1 x - k_2 y + \lambda) + i(k_1 y + k_2 x + \lambda)$.
$\operatorname{Re}(\omega) = x^2 + y^2 + k_1 x - k_2 y + \lambda = 0$.
वृत्त $C$ की त्रिज्या $1$ है,यह प्रथम चतुर्थांश में $y = 1$ और $y$-अक्ष $(x = 0)$ को स्पर्श करता है,इसलिए इसका केंद्र $(1, 1)$ है।
$x^2 + y^2 + k_1 x - k_2 y + \lambda = 0$ की तुलना $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1^2$ से करने पर,हमें $x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः $k_1 = -2, k_2 = 2, \lambda = 1$.
$\operatorname{Im}(\omega) = k_1 y + k_2 x + \lambda = -2y + 2x + 1 = 0$,या $2x - 2y + 1 = 0$.
केंद्र $(1, 1)$ से रेखा $2x - 2y + 1 = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|2(1) - 2(1) + 1|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2}} = \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$ है।
जीवा $AB$ की लंबाई $2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{1^2 - \frac{1}{8}} = 2\sqrt{\frac{7}{8}} = 2\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{7}{2}}$ है।
$(AB)^2 = \frac{7}{2} = 3.5$.
$30(AB)^2 = 30 \times 3.5 = 105$.

(A) माना $z = x + iy$ है। दिए गए समीकरण $|z - i| = |z + i| = |z - 1|$ हैं।
ये सम्मिश्र तल में एक बिंदु $z$ की बिंदुओं $A(1, 0)$,$B(0, 1)$,और $C(0, -1)$ से दूरियों को दर्शाते हैं।
$|z - i| = |z + i|$ के लिए,बिंदु $z$ को $i$ और $-i$ को जोड़ने वाले रेखाखंड के लंब समद्विभाजक पर स्थित होना चाहिए,जो कि वास्तविक अक्ष $(y = 0)$ है।
$|z - i| = |z - 1|$ के लिए,बिंदु $z$ को $i$ और $1$ को जोड़ने वाले रेखाखंड के लंब समद्विभाजक पर स्थित होना चाहिए।
चूँकि $A, B, C$ एक त्रिभुज बनाते हैं,इसलिए केवल एक ही बिंदु (परिकेंद्र) ऐसा होता है जो तीनों शीर्षों से समान दूरी पर होता है।
अतः,$n(S) = 1$।

(D) माना $z = x + iy$। प्रतिबंध $|z-1|=1$ का अर्थ है $(x-1)^2 + y^2 = 1$,जो $x^2 + y^2 - 2x = 0$ में सरल होता है।
दूसरा प्रतिबंध $(\sqrt{2}-1)(2x) - i(2iy) = 2\sqrt{2}$ है,जो $(\sqrt{2}-1)x + y = \sqrt{2}$ में सरल होता है,या $y = \sqrt{2} - (\sqrt{2}-1)x$।
प्रथम समीकरण में $y$ का मान रखने पर: $(x-1)^2 + (\sqrt{2} - (\sqrt{2}-1)x)^2 = 1$।
इसे सरल करने पर: $(2 - \sqrt{2})x^2 - (3 - \sqrt{2})x + 1 = 0$।
गुणनखंड करने पर: $(x-1)((2-\sqrt{2})x - 1) = 0$।
अतः,$x = 1$ या $x = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}}$।
$x=1$ के लिए,$y = 1$। अतः $z_2 = 1+i$।
$x = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}}$ के लिए,$y = \frac{1}{\sqrt{2}}$। अतः $z_1 = (1 + \frac{1}{\sqrt{2}}) + i\frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः $|\sqrt{2}z_1 - z_2|^2 = |(\sqrt{2} + 1 + i) - (1+i)|^2 = |\sqrt{2}|^2 = 2$।

(B) समुच्चय $P$ केंद्र $C(-2, 3)$ और त्रिज्या $r=1$ वाले एक वृत्त को दर्शाता है। समुच्चय $Q$ को $z(1+i)+\bar{z}(1-i) \leq -8$ द्वारा परिभाषित किया गया है। माना $z=x+iy$,तो $(x+iy)(1+i)+(x-iy)(1-i) \leq -8$,जो सरल होकर $2x-2y \leq -8$,या $x-y \leq -4$,अर्थात $y \geq x+4$ हो जाता है।
हम दूरी $f(z) = |z-(3-2i)|$ का चरम मान ज्ञात करना चाहते हैं,जो $z$ से बिंदु $A(3, -2)$ तक की दूरी है।
रेखा $L: x-y+4=0$ केंद्र $C(-2, 3)$ से होकर गुजरती है। $C(-2, 3)$ से रेखा $x-y+4=0$ की दूरी $\frac{|-2-3+4|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} < 1$ है,इसलिए रेखा वृत्त को काटती है।
बिंदु $A(3, -2)$ रेखा $x+y-1=0$ पर स्थित है। $A$ से रेखा $x-y+4=0$ की दूरी $\frac{|3-(-2)+4|}{\sqrt{2}} = \frac{9}{\sqrt{2}}$ है।
अधिकतम दूरी $A(3, -2)$ से सबसे दूर वृत्त पर स्थित बिंदु $z_1$ पर प्राप्त होती है। $A(3, -2)$ और $C(-2, 3)$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $m = \frac{3-(-2)}{-2-3} = -1$ है। रेखा $y-3 = -1(x+2) \Rightarrow x+y-1=0$ है।
$z_1$ वृत्त पर वह बिंदु है जो $C$ से $A$ की विपरीत दिशा में रेखा $x+y-1=0$ पर $1$ की दूरी पर है। $C$ से $A$ की विपरीत दिशा में इकाई सदिश $(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ है। अतः $z_1 = (-2+\frac{1}{\sqrt{2}}, 3-\frac{1}{\sqrt{2}})$ है।
$|z_1|^2 = (-2+\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (3-\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 14-5\sqrt{2}$ है।
$z_2$ $P \cap Q$ में $A(3, -2)$ के सबसे निकट का बिंदु है। यह रेखा $x-y+4=0$ और वृत्त की परिधि का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $x-y+4=0$ और $(x+2)^2+(y-3)^2=1$ को हल करने पर $z_2 = (-2-\frac{1}{\sqrt{2}}, 3-\frac{1}{\sqrt{2}})$ प्राप्त होता है।
$|z_2|^2 = (-2-\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (3-\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 14-\sqrt{2}$ है।
$|z_1|^2+2|z_2|^2 = (14-5\sqrt{2}) + 2(14-\sqrt{2}) = 42-7\sqrt{2}$ है।
अतः,$\alpha=42, \beta=-7$,इसलिए $\alpha+\beta=35$ है।

(D) माना $z_0 = -\frac{1}{2}(3+4i) = -\frac{3}{2} - 2i$ है।
हमें $|z - z_0|$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना है,जहाँ $|z| \geq 1$ है।
ज्यामितीय रूप से,यह इकाई वृत्त $|z|=1$ पर या उसके बाहर स्थित बिंदु $z$ से स्थिर बिंदु $z_0 = -\frac{3}{2} - 2i$ तक की न्यूनतम दूरी को दर्शाता है।
मूल बिंदु से बिंदु $z_0$ की दूरी $|z_0| = \sqrt{(-\frac{3}{2})^2 + (-2)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 4} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$ है।
चूंकि बिंदु $z_0$ इकाई वृत्त के बाहर स्थित है $(|z_0| = 2.5 > 1)$,इसलिए वृत्त $|z|=1$ से बिंदु $z_0$ तक की न्यूनतम दूरी $|z_0| - r$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $r=1$ इकाई वृत्त की त्रिज्या है।
न्यूनतम मान $= |z_0| - 1 = \frac{5}{2} - 1 = \frac{3}{2}$.

(B) माना $z = x + iy$ है।
दिया गया है $|z-1| \leq 2$, जिससे हमें $(x-1)^2 + y^2 \leq 2^2$ प्राप्त होता है, जो $(1, 0)$ केंद्र और $r = 2$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है।
दिया गया है $(z+\overline{z}) + i(z-\overline{z}) \leq 2$, इसमें $z = x+iy$ और $\overline{z} = x-iy$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(x+iy + x-iy) + i(x+iy - (x-iy)) \leq 2$
$2x + i(2iy) \leq 2$
$2x - 2y \leq 2 \Rightarrow x - y \leq 1 \Rightarrow y \geq x - 1$.
दिया गया है $\operatorname{Im}(z) \geq 0$, जिससे $y \geq 0$ प्राप्त होता है।
यह क्षेत्र वृत्त $(x-1)^2 + y^2 \leq 4$, अर्ध-तल $y \geq x-1$, और ऊपरी अर्ध-तल $y \geq 0$ का प्रतिच्छेदन है।
रेखा $y = x-1$ बिंदु $(1, 0)$ से गुजरती है और धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $45^\circ$ (या $\pi/4$ रेडियन) का कोण बनाती है।
क्षेत्रफल $x$-अक्ष के ऊपर के अर्धवृत्त का क्षेत्रफल माइनस प्रथम चतुर्थांश में रेखा $y = x-1$ द्वारा काटे गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल है।
अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (2)^2 = 2\pi$.
त्रिज्यखंड वृत्त के भीतर रेखा $y=x-1$ और $x$-अक्ष के बीच के क्षेत्र के अनुरूप है। केंद्र $(1, 0)$ पर इस त्रिज्यखंड द्वारा अंतरित कोण $\pi/4$ है।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{1}{2} (2)^2 (\pi/4) = \pi/2$.
आवश्यक क्षेत्रफल = $2\pi - \pi/2 = \frac{3\pi}{2}$.

(D) $S_1$ मूल बिंदु पर केंद्रित $r=5$ त्रिज्या वाले वृत्त के आंतरिक भाग और सीमा को दर्शाता है: $x^2 + y^2 \leq 25$.
$S_2$ को $\operatorname{Im}\left(\frac{z}{1-\sqrt{3}i} + 1\right) \geq 0$ द्वारा परिभाषित किया गया है। चूंकि $\operatorname{Im}(1) = 0$, यह $\operatorname{Im}\left(\frac{x+iy}{1-\sqrt{3}i}\right) \geq 0$ है।
संयुग्मी से गुणा करने पर: $\operatorname{Im}\left(\frac{(x+iy)(1+\sqrt{3}i)}{4}\right) \geq 0 \implies \sqrt{3}x + y \geq 0$, जो रेखा $y = -\sqrt{3}x$ के ऊपर का क्षेत्र है।
$S_3$ वह क्षेत्र है जहाँ $x \geq 0$ (दायां अर्ध-तल) है।
प्रतिच्छेदन $S_1 \cap S_2 \cap S_3$ वृत्त का एक त्रिज्यखंड है। रेखा $y = -\sqrt{3}x$ धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $-60^\circ$ (या $300^\circ$) का कोण बनाती है। क्षेत्र $S_2 \cap S_3$ $-60^\circ$ से $90^\circ$ तक के कोणीय विस्तार को कवर करता है, जो $150^\circ$ या $\frac{5\pi}{6}$ रेडियन है।
क्षेत्रफल $= \frac{\theta}{2\pi} \times \pi r^2 = \frac{5\pi/6}{2\pi} \times \pi(5)^2 = \frac{5}{12} \times 25\pi = \frac{125\pi}{12}$.

(D) माना $P(x) = 4x^4 + 8x^3 - 17x^2 - 12x + 9 = 4(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$.
हमें गुणनफल $S = (4+x_1^2)(4+x_2^2)(4+x_3^2)(4+x_4^2)$ का मान ज्ञात करना है।
ध्यान दें कि $4+x_k^2 = (2i+x_k)(-2i+x_k) = (x_k - 2i)(x_k + 2i)$.
अतः,$S = \prod_{k=1}^4 (x_k - 2i) \prod_{k=1}^4 (x_k + 2i) = \prod_{k=1}^4 (2i - x_k) \prod_{k=1}^4 (-2i - x_k)$.
$P(x) = 4(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$ से,$\prod_{k=1}^4 (x-x_k) = \frac{P(x)}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\prod_{k=1}^4 (2i - x_k) = \frac{P(2i)}{4}$ और $\prod_{k=1}^4 (-2i - x_k) = \frac{P(-2i)}{4}$.
$P(2i) = 141 - 88i$ और $P(-2i) = 141 + 88i$.
$S = \frac{P(2i) P(-2i)}{16} = \frac{141^2 + 88^2}{16} = \frac{27625}{16}$.
दिया गया है कि $S = \frac{125}{16}m$,इसलिए $\frac{27625}{16} = \frac{125}{16}m$.
$m = 221$.

(A) दिया गया है $\left|\frac{z_1-2 z_2}{\frac{1}{2}-z_1 \bar{z}_2}\right|=2$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\left|\frac{z_1-2 z_2}{\frac{1}{2}-z_1 \bar{z}_2}\right|^2=4$.
$|z|^2 = z \bar{z}$ गुण का उपयोग करने पर,$\frac{(z_1-2 z_2)(\bar{z}_1-2 \bar{z}_2)}{(\frac{1}{2}-z_1 \bar{z}_2)(\frac{1}{2}-\bar{z}_1 z_2)}=4$.
अंश का विस्तार करने पर: $|z_1|^2 - 2 z_1 \bar{z}_2 - 2 \bar{z}_1 z_2 + 4 |z_2|^2$.
हर का विस्तार करने पर: $\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \bar{z}_1 z_2 - \frac{1}{2} z_1 \bar{z}_2 + |z_1|^2 |z_2|^2$.
अतः,$|z_1|^2 - 2 z_1 \bar{z}_2 - 2 \bar{z}_1 z_2 + 4 |z_2|^2 = 4 (\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \bar{z}_1 z_2 - \frac{1}{2} z_1 \bar{z}_2 + |z_1|^2 |z_2|^2)$.
$|z_1|^2 - 2 z_1 \bar{z}_2 - 2 \bar{z}_1 z_2 + 4 |z_2|^2 = 1 - 2 \bar{z}_1 z_2 - 2 z_1 \bar{z}_2 + 4 |z_1|^2 |z_2|^2$.
दोनों पक्षों से $-2 z_1 \bar{z}_2 - 2 \bar{z}_1 z_2$ को हटाने पर: $|z_1|^2 + 4 |z_2|^2 = 1 + 4 |z_1|^2 |z_2|^2$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $|z_1|^2 - 1 - 4 |z_2|^2 + 4 |z_1|^2 |z_2|^2 = 0$.
$(|z_1|^2 - 1) - 4 |z_2|^2 (1 - |z_1|^2) = 0$.
$(|z_1|^2 - 1)(1 - 4 |z_2|^2) = 0$.
इस प्रकार,$|z_1| = 1$ या $|2z_2| = 1$,जिसका अर्थ है कि $|z_1| = 1$ या $|z_2| = \frac{1}{2}$।

(B) दिया गया है $|z-1| \leq 1$,जहाँ $z=x+iy$ है।
$(x-1)^2 + y^2 \leq 1$. यह $(1,0)$ केंद्र और $1$ त्रिज्या वाला एक वृत्त दर्शाता है।
साथ ही,$|z-5| \leq |z-5i|$।
$(x-5)^2 + y^2 \leq x^2 + (y-5)^2$।
$x^2 - 10x + 25 + y^2 \leq x^2 + y^2 - 10y + 25$।
$-10x \leq -10y \Rightarrow x \geq y$।
हमें $z=x+iy$ ज्ञात करना है जहाँ $x, y \in \mathbb{Z}$ और $(x-1)^2 + y^2 \leq 1$ तथा $x \geq y$ का पालन होता है।
$(x-1)^2 + y^2 \leq 1$ का पालन करने वाले संभावित पूर्णांक बिंदु $(x,y)$:
यदि $x=0$,$(0-1)^2 + y^2 \leq 1$ $\Rightarrow 1 + y^2 \leq 1$ $\Rightarrow y^2 \leq 0$ $\Rightarrow y=0$। बिंदु: $(0,0)$। $x \geq y$ की जाँच करें: $0 \geq 0$ (सत्य)।
यदि $x=1$,$(1-1)^2 + y^2 \leq 1$ $\Rightarrow y^2 \leq 1$ $\Rightarrow y \in \{-1, 0, 1\}$। बिंदु: $(1,-1), (1,0), (1,1)$। $x \geq y$ की जाँच करें: $1 \geq -1$ (सत्य),$1 \geq 0$ (सत्य),$1 \geq 1$ (सत्य)।
यदि $x=2$,$(2-1)^2 + y^2 \leq 1$ $\Rightarrow 1 + y^2 \leq 1$ $\Rightarrow y^2 \leq 0$ $\Rightarrow y=0$। बिंदु: $(2,0)$। $x \geq y$ की जाँच करें: $2 \geq 0$ (सत्य)।
तत्वों का समुच्चय $z \in \{0, 1-i, 1, 1+i, 2\}$ है।
मापांक के वर्ग का योग:
$|0|^2 + |1-i|^2 + |1|^2 + |1+i|^2 + |2|^2 = 0 + (1^2+(-1)^2) + 1^2 + (1^2+1^2) + 2^2 = 0 + 2 + 1 + 2 + 4 = 9$.

(A) मान लीजिए $w = \frac{z-2i}{z+2i}$ है। दिया गया है कि $\text{Re}(w) = 0$,इसलिए $w + \bar{w} = 0$ है।
$\frac{z-2i}{z+2i} + \frac{\bar{z}+2i}{\bar{z}-2i} = 0$
$(z-2i)(\bar{z}-2i) + (\bar{z}+2i)(z+2i) = 0$
$z\bar{z} - 2iz - 2i\bar{z} - 4 + z\bar{z} + 2iz + 2i\bar{z} - 4 = 0$
$2|z|^2 - 8 = 0$ $\Rightarrow |z|^2 = 4$ $\Rightarrow |z| = 2$ है।
यह मूल बिंदु पर केंद्रित और $r = 2$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है।
हमें $|z - (6+8i)|$ का अधिकतम मान ज्ञात करना है,जो वृत्त पर स्थित बिंदु $z$ से बिंदु $P = 6+8i$ की दूरी है।
मूल बिंदु $O(0,0)$ से $P(6,8)$ की दूरी $OP = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = 10$ है।
वृत्त पर स्थित बिंदु से $P$ की अधिकतम दूरी $OP + r = 10 + 2 = 12$ है।

(D) मान लीजिए मूल बिंदु $O(0, 0)$ है। व्यक्ति $N 45^{\circ} E$ दिशा में $3$ इकाई चलता है,जो धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $\pi / 4$ का कोण बनाता है। बिंदु $A$ की स्थिति $z_A = 3 e^{i \pi / 4}$ है।
$A$ से,वह $N 45^{\circ} W$ दिशा में $4$ इकाई चलता है। $N 45^{\circ} W$ दिशा धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $45^{\circ} + 90^{\circ} = 135^{\circ}$ या $3\pi / 4$ का कोण बनाती है।
$A$ से $P$ तक का विस्थापन सदिश $4 e^{i 3\pi / 4}$ है।
अतः,$P$ की स्थिति $z_P = z_A + 4 e^{i 3\pi / 4} = 3 e^{i \pi / 4} + 4 e^{i 3\pi / 4}$ है।
चूंकि $e^{i 3\pi / 4} = e^{i \pi / 4} \cdot e^{i \pi / 2} = i e^{i \pi / 4}$,इसलिए:
$z_P = 3 e^{i \pi / 4} + 4 i e^{i \pi / 4} = (3 + 4 i) e^{i \pi / 4}$.

(B, C, D) $1.$ $A$ क्षेत्र $y \geq 1$ को दर्शाता है। $B$ केंद्र $(2, 1)$ और त्रिज्या $3$ वाला एक वृत्त है। $C$ रेखा $\operatorname{Re}((1-i)(x+iy)) = x+y = \sqrt{2}$ है।
वृत्त के समीकरण $(x-2)^2 + (y-1)^2 = 9$ में $y = \sqrt{2}-x$ प्रतिस्थापित करने पर $(x-2)^2 + (\sqrt{2}-x-1)^2 = 9$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर: $2x^2 - (2+2\sqrt{2})x - 2 - 2\sqrt{2} = 0$ प्राप्त होता है।
इस द्विघात समीकरण को हल करने पर,हमें $y \geq 1$ वाला एक बिंदु मिलता है। अतः,अवयवों की संख्या $1$ है।
$2.$ मान लीजिए $z = x+iy$। व्यंजक $|(x+1)+i(y-1)|^2 + |(x-5)+i(y-1)|^2 = (x+1)^2 + (y-1)^2 + (x-5)^2 + (y-1)^2$ है।
चूंकि $z$ वृत्त $(x-2)^2 + (y-1)^2 = 9$ पर है,इसलिए $(y-1)^2 = 9 - (x-2)^2$ होता है।
यह मान प्रतिस्थापित करने पर,व्यंजक का मान $36$ आता है।
चूंकि $36, 35$ और $39$ के बीच है,इसलिए उत्तर $(C)$ है।
$3.$ चूंकि $|z-2-i|=3$ और $|w-2-i| < 3$ है,त्रिभुज असमिका के अनुसार $|z-w| < 6$ होता है।
$||z|-|w|| \leq |z-w|$ का उपयोग करने पर,$-6 < |z|-|w| < 6$ प्राप्त होता है।
$3$ जोड़ने पर,$-3 < |z|-|w|+3 < 9$ प्राप्त होता है।

(D) प्रारंभिक स्थिति $z_0 = 1 + 2i$ है।
क्षैतिज रूप से $5$ इकाई चलने पर: $z = (1 + 5) + 2i = 6 + 2i$।
लंबवत $3$ इकाई चलने पर: $z_1 = 6 + (2 + 3)i = 6 + 5i$।
$z_1$ से,$\hat{i} + \hat{j}$ की दिशा में $\sqrt{2}$ इकाई चलने पर: इकाई सदिश $\frac{1+i}{\sqrt{2}}$ है। विस्थापन $\sqrt{2} \times \frac{1+i}{\sqrt{2}} = 1 + i$ है।
अतः,स्थिति $z' = (6 + 5i) + (1 + i) = 7 + 6i$ हो जाती है।
अंत में,$z'$ को मूल बिंदु के परितः वामावर्त दिशा में $\frac{\pi}{2}$ कोण पर घुमाने का अर्थ है इसे $i$ से गुणा करना।
$z_2 = (7 + 6i) \times i = 7i + 6i^2 = 7i - 6 = -6 + 7i$।

(D) दिया गया है $z = \frac{1}{a+ibt}$.
$x+iy = \frac{a-ibt}{a^2+b^2t^2}$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,$x = \frac{a}{a^2+b^2t^2}$ और $y = \frac{-bt}{a^2+b^2t^2}$ प्राप्त होता है।
यदि $a \neq 0$ और $b \neq 0$ है,तो $a^2+b^2t^2 = \frac{a}{x}$,अतः $b^2t^2 = \frac{a}{x} - a^2 = \frac{a(1-ax)}{x}$।
साथ ही $y^2 = \frac{b^2t^2}{(a^2+b^2t^2)^2} = \frac{a(1-ax)/x}{(a/x)^2} = \frac{x(1-ax)}{a} = \frac{x}{a} - x^2$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $x^2 - \frac{x}{a} + y^2 = 0$ प्राप्त होता है,जो $(x - \frac{1}{2a})^2 + y^2 = (\frac{1}{2a})^2$ है। यह $|\frac{1}{2a}|$ त्रिज्या और $(\frac{1}{2a}, 0)$ केंद्र वाला एक वृत्त है।
यदि $b=0$ है,तो $z = \frac{1}{a}$,अतः $y=0$,जो $x$-अक्ष है।
यदि $a=0$ है,तो $z = \frac{1}{ibt} = -i(\frac{1}{bt})$,अतः $x=0$,जो $y$-अक्ष है।
अतः,विकल्प $A, C, D$ सही हैं।

(C) मान लीजिए कि नियमित अष्टकोण के शीर्ष सम्मिश्र संख्याओं $z_k = 2e^{i(\theta_0 + \frac{2\pi(k-1)}{8})}$ द्वारा दर्शाए गए हैं,जहाँ $k=1, 2, \ldots, 8$ है। सामान्यता खोए बिना,मान लीजिए $\theta_0 = 0$ है। शीर्ष समीकरण $z^8 - 2^8 = 0$ के मूल हैं।
अतः,$z^8 - 2^8 = \prod_{k=1}^8 (z - A_k)$ है।
मान लीजिए $P$ को सम्मिश्र संख्या $z = 2e^{i\theta}$ द्वारा दर्शाया गया है। दूरी $PA_k = |z - A_k|$ है।
गुणनफल $\prod_{k=1}^8 PA_k = |\prod_{k=1}^8 (z - A_k)| = |z^8 - 2^8|$ है।
$z = 2e^{i\theta}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $|(2e^{i\theta})^8 - 2^8| = |2^8 e^{i8\theta} - 2^8| = 2^8 |e^{i8\theta} - 1|$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $|e^{i\phi} - 1| = 2|\sin(\frac{\phi}{2})|$ का उपयोग करते हुए,यहाँ $\phi = 8\theta$ है,इसलिए गुणनफल $2^8 \cdot 2|\sin(4\theta)| = 512 |\sin(4\theta)|$ है।
$|\sin(4\theta)|$ का अधिकतम मान $1$ है।
अतः,गुणनफल का अधिकतम मान $512 \times 1 = 512$ है।

(A) दिया गया है $z = (1-t)z_1 + tz_2$,जहाँ $0 < t < 1$ है। यह दर्शाता है कि $z$,$z_1$ और $z_2$ को जोड़ने वाले रेखाखंड पर स्थित है।
$1$. चूंकि $z$,रेखाखंड $AB$ पर स्थित है,इसलिए दूरियों का योग $|z-z_1| + |z-z_2|$ कुल दूरी $|z_1-z_2|$ के बराबर है। अतः,$(A)$ सत्य है।
$2$. सदिश $z-z_1$,$z_2-z_1$ की ही दिशा में है क्योंकि $z-z_1 = t(z_2-z_1)$ और $t > 0$ है। इसलिए,$\operatorname{Arg}(z-z_1) = \operatorname{Arg}(z_2-z_1)$। अतः,$(D)$ सत्य है।
$3$. शर्त $\frac{z-z_1}{z_2-z_1} = t$ (जहाँ $t$ वास्तविक है) यह दर्शाती है कि अनुपात पूरी तरह से वास्तविक है। यह $\frac{z-z_1}{z_2-z_1} = \frac{\bar{z}-\bar{z}_1}{\bar{z}_2-\bar{z}_1}$ के समतुल्य है। वज्र गुणन करने पर सारणिक रूप $\left|\begin{array}{cc} z-z_1 & \bar{z}-\bar{z}_1 \\ z_2-z_1 & \bar{z}_2-\bar{z}_1 \end{array}\right| = 0$ प्राप्त होता है। अतः,$(C)$ सत्य है।
$4$. $\operatorname{Arg}(z-z_1)$ और $\operatorname{Arg}(z-z_2)$ सदिशों $P-A$ और $P-B$ के कोणों को दर्शाते हैं। चूंकि $P$,$A$ और $B$ के बीच में है,इसलिए ये सदिश विपरीत दिशाओं में हैं,अतः $\operatorname{Arg}(z-z_1) \neq \operatorname{Arg}(z-z_2)$। अतः,$(B)$ असत्य है।
इसलिए,सही विकल्प $(A), (C), (D)$ हैं।

(C) $(A)-(q)$: $|z-i|z||=|z+i|z|| \Rightarrow |\frac{z}{|z|}-i|=|\frac{z}{|z|}+i|$,जहाँ $z \neq 0$ है। पद $\frac{z}{|z|}$ इकाई वृत्त पर एक बिंदु को दर्शाता है। यह समीकरण इंगित करता है कि बिंदु $\frac{z}{|z|}$ $i$ और $-i$ से समान दूरी पर है। ऐसे बिंदुओं का बिंदुपथ वास्तविक अक्ष है,जहाँ $\operatorname{Im}(z)=0$ होता है।
$(B)-(p)$: $|z+4|+|z-4|=10$ एक दीर्घवृत्त को दर्शाता है जिसकी नाभियाँ $(\pm 4, 0)$ पर हैं और दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a=10$ है। यहाँ $2ae=8$ और $2a=10$ है,इसलिए $e=4/5$ है। अतः,यह $4/5$ उत्केंद्रता वाला एक दीर्घवृत्त है।
$(C)-(p), (t)$: मान लीजिए $\omega=2(\cos \theta+i \sin \theta)$ है। तब $z = 2(\cos \theta+i \sin \theta) - \frac{1}{2}(\cos \theta-i \sin \theta) = \frac{3}{2} \cos \theta + i \frac{5}{2} \sin \theta$ है। यह $\frac{x^2}{(3/2)^2} + \frac{y^2}{(5/2)^2} = 1$ दीर्घवृत्त है,जिसमें $e^2 = 1 - \frac{9/4}{25/4} = 16/25$,इसलिए $e=4/5$ है। अर्ध-दीर्घ अक्ष $2.5 < 3$ होने के कारण,यह $|z| \leq 3$ में निहित है।
$(D)-(q), (t)$: मान लीजिए $\omega = \cos \theta + i \sin \theta$ है। तब $z = (\cos \theta + i \sin \theta) + (\cos \theta - i \sin \theta) = 2 \cos \theta$ है। चूँकि $z$ पूर्णतः वास्तविक है,इसलिए $\operatorname{Im}(z)=0$ और $|z| = |2 \cos \theta| \leq 2 < 3$ है।

(A) माना $w = z - (3 + 2i)$। दिया गया है $|w| \leq 2$।
हमें $|2z - 6 + 5i|$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना है।
$|2z - 6 + 5i| = |2(z - 3) + 5i| = |2(z - 3 - 2i + 2i) + 5i| = |2(z - 3 - 2i) + 4i + 5i| = |2(z - 3 - 2i) + 9i|$।
माना $w = z - 3 - 2i$,जहाँ $|w| \leq 2$।
व्यंजक $|2w + 9i| = 2|w + \frac{9}{2}i|$ बन जाता है।
त्रिभुज असमिका के अनुसार,$|w + \frac{9}{2}i| \geq ||\frac{9}{2}i| - |w||$।
चूँकि $|w| \leq 2$,$|w + \frac{9}{2}i|$ का न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब $w$,$\frac{9}{2}i$ की दिशा में हो,जिससे $|4.5 - 2| = 2.5$ प्राप्त होता है।
अतः,न्यूनतम मान $2 \times 2.5 = 5$ है।

(A) मान लीजिए $z = x + iy$,$s = s_1 + is_2$,$t = t_1 + it_2$,और $r = r_1 + ir_2$ है।
समीकरण $sz + t\bar{z} + r = 0$ इस प्रकार हो जाता है:
$(s_1 + is_2)(x + iy) + (t_1 + it_2)(x - iy) + (r_1 + ir_2) = 0$
$(s_1x - s_2y + t_1x + t_2y + r_1) + i(s_2x + s_1y - t_2x + t_1y + r_2) = 0$
वास्तविक और काल्पनिक भागों को शून्य के बराबर रखने पर:
$(s_1 + t_1)x + (t_2 - s_2)y + r_1 = 0$
$(s_2 - t_2)x + (s_1 + t_1)y + r_2 = 0$
यह $x$ और $y$ में दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली है। गुणांक आव्यूह का सारणिक $D = (s_1 + t_1)^2 + (t_2 - s_2)^2 = |s + t|^2$ है।
यदि $|s| \neq |t|$,तो $D \neq 0$,जो एक अद्वितीय हल (एक बिंदु) देता है।
यदि $|s| = |t|$,रेखाएँ या तो समांतर होती हैं या संपाती। यदि $L$ में एक से अधिक अवयव हैं,तो यह एक रेखा है (अनंत अवयव)।
एक रेखा और एक वृत्त का प्रतिच्छेदन अधिकतम $2$ बिंदुओं पर होता है। अतः,$A, B, C, D$ सभी सत्य हैं।

(B) प्रतिबंध $|z-(2-i)| \geq \sqrt{5}$ केंद्र $C(2, -1)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{5}$ वाले वृत्त के बाहर या वृत्त पर के क्षेत्र को दर्शाता है।
$\frac{1}{|z-1|}$ को अधिकतम करने के लिए,हमें $|z-1|$ को न्यूनतम करना होगा,जो बिंदु $A(1, 0)$ से $z$ की दूरी है।
वृत्त पर स्थित बिंदु $z_0$ जो $A(1, 0)$ के सबसे निकट है,वह $A(1, 0)$ और $C(2, -1)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड पर स्थित है।
रेखा $AC$ का समीकरण $y = -x+1$ है।
इस रेखा और वृत्त के प्रतिच्छेदन से हमें $z_0$ प्राप्त होता है। $z_0 = x_0 + iy_0$ लेने पर,$z_0 - \bar{z}_0 = 2iy_0$ और $z_0 + \bar{z}_0 = 2x_0$ होता है।
व्यंजक $\frac{4-2x_0}{2iy_0+2i} = \frac{2-x_0}{i(y_0+1)}$ बन जाता है।
यहाँ $y_0 = 1-x_0$ होने के कारण,$y_0+1 = 2-x_0$ होता है।
अतः,व्यंजक $\frac{2-x_0}{i(2-x_0)} = \frac{1}{i} = -i$ हो जाता है।
$-i$ का मुख्य कोणांक $-\frac{\pi}{2}$ है।

(C) दिया गया है $|z_1| = |z_2| = \ldots = |z_{10}| = 1$।
इकाई वृत्त पर दो बिंदुओं $z_a$ और $z_b$ के बीच की दूरी $|z_a - z_b| = 2 \sin(\frac{\Delta \theta}{2})$ है,जहाँ $\Delta \theta$ उनके बीच का कोण है।
चूंकि $x \geq 0$ के लिए $\sin(x) \leq x$,इसलिए $|z_k - z_{k-1}| = 2 \sin(\frac{\theta_k}{2}) \leq 2(\frac{\theta_k}{2}) = \theta_k$।
इनका योग करने पर,$\sum_{k=1}^{10} |z_{k+1} - z_k| \leq \sum_{k=1}^{10} \theta_k = 2 \pi$ (जहाँ $z_{11} = z_1$)। अतः,$P$ सत्य है।
$Q$ के लिए,मान लीजिए $w_k = z_k^2 = e^{i 2 \phi_k}$,जहाँ $\phi_k = \sum_{j=1}^k \theta_j$ है। $w_k$ और $w_{k-1}$ के बीच का कोण $2 \theta_k$ है।
इसी प्रकार,$|w_k - w_{k-1}| = |z_k^2 - z_{k-1}^2| = 2 \sin(\frac{2 \theta_k}{2}) = 2 \sin(\theta_k) \leq 2 \theta_k$।
इनका योग करने पर,$\sum |z_k^2 - z_{k-1}^2| \leq \sum 2 \theta_k = 2(2 \pi) = 4 \pi$। अतः,$Q$ भी सत्य है।

(D) प्रतिबंध $\arg \left(\frac{z+\alpha}{z+\beta}\right)=\frac{\pi}{4}$ एक वृत्त के चाप का प्रतिनिधित्व करता है जो $(-\alpha, 0)$ और $(-\beta, 0)$ बिंदुओं से गुजरता है,जहाँ चाप पर किसी भी बिंदु $z$ पर इन बिंदुओं को जोड़ने वाली जीवा द्वारा बनाया गया कोण $\frac{\pi}{4}$ है।
दिए गए वृत्त $x^2+y^2+5x-3y+4=0$ के लिए,$y=0$ रखकर $x$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करते हैं:
$x^2+5x+4=0 \Rightarrow (x+1)(x+4)=0 \Rightarrow x=-1, x=-4$.
इस प्रकार,बिंदु $(-\alpha, 0)$ और $(-\beta, 0)$ बिंदु $(-1, 0)$ और $(-4, 0)$ हैं।
इसका अर्थ है कि ${-\alpha, -\beta} = {-1, -4}$,इसलिए ${\alpha, \beta} = {1, 4}$ है।
$\arg \left(\frac{z+\alpha}{z+\beta}\right)=\frac{\pi}{4}$ को धनात्मक होने के लिए,बिंदुओं का क्रम ऐसा होना चाहिए कि सदिश $(z+\beta)$ से $(z+\alpha)$ तक का घूर्णन वामावर्त (counter-clockwise) हो। मानक रूप $\arg \left(\frac{z-z_1}{z-z_2}\right) = \theta$ के साथ तुलना करने पर,हम $\alpha=1$ और $\beta=4$ प्राप्त करते हैं। विकल्पों की जाँच करने पर,$\beta=4$ और $\alpha\beta = 1 \times 4 = 4$ विकल्प $(B)$ और $(D)$ के साथ सुसंगत हैं।

(C) दिए गए वृत्त $|z-z_0|=r$ और $|z-z_0|=2r$ हैं।
चूंकि $\alpha$ पहले वृत्त पर स्थित है,$|\alpha-z_0|=r$,जिसका अर्थ है $|\alpha-z_0|^2=r^2$.
इसका विस्तार करने पर,$|\alpha|^2 - z_0\bar{\alpha} - \bar{z}_0\alpha + |z_0|^2 = r^2$ $(1)$.
चूंकि $\frac{1}{\bar{\alpha}}$ दूसरे वृत्त पर स्थित है,$|\frac{1}{\bar{\alpha}}-z_0|=2r$,जिसका अर्थ है $|\frac{1}{\bar{\alpha}}-z_0|^2=4r^2$.
$\bar{\alpha}\alpha = |\alpha|^2$ का उपयोग करते हुए,$|\frac{\alpha}{|\alpha|^2}-z_0|^2=4r^2$.
इसका विस्तार करने पर,$\frac{1}{|\alpha|^2} - \frac{z_0\bar{\alpha}}{|\alpha|^2} - \frac{\bar{z}_0\alpha}{|\alpha|^2} + |z_0|^2 = 4r^2$.
$|\alpha|^2$ से गुणा करने पर,$1 - z_0\bar{\alpha} - \bar{z}_0\alpha + |z_0|^2|\alpha|^2 = 4r^2|\alpha|^2$ $(2)$.
$(2)$ में से $(1)$ घटाने पर,$(|z_0|^2|\alpha|^2 - |z_0|^2) + (1 - |\alpha|^2) = 4r^2|\alpha|^2 - r^2$.
$|z_0|^2(|\alpha|^2-1) - (|\alpha|^2-1) = r^2(4|\alpha|^2-1)$.
$(|z_0|^2-1)(|\alpha|^2-1) = r^2(4|\alpha|^2-1)$.
दिया गया है $2|z_0|^2 = r^2+2$,इसलिए $|z_0|^2 = \frac{r^2+2}{2}$.
यह मान रखने पर,$(\frac{r^2+2}{2}-1)(|\alpha|^2-1) = r^2(4|\alpha|^2-1)$.
$\frac{r^2}{2}(|\alpha|^2-1) = r^2(4|\alpha|^2-1)$.
$\frac{1}{2}|\alpha|^2 - \frac{1}{2} = 4|\alpha|^2 - 1$.
$\frac{1}{2} = \frac{7}{2}|\alpha|^2$.
$|\alpha|^2 = \frac{1}{7} \Rightarrow |\alpha| = \frac{1}{\sqrt{7}}$.