मान लीजिए theta_1, theta_2, ldots, theta_{10} | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $|z_1| = |z_2| = \ldots = |z_{10}| = 1$। इकाई वृत्त पर दो बिंदुओं $z_a$ और $z_b$ के बीच की दूरी $|z_a - z_b| = 2 \sin(\frac{\Delta 	h

Vedclass · Accepted Answer

$P$ और $Q$ दोनों सत्य हैं

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $|z_1| = |z_2| = \ldots = |z_{10}| = 1$। इकाई वृत्त पर दो बिंदुओं $z_a$ और $z_b$ के बीच की दूरी $|z_a - z_b| = 2 \sin(\frac{\Delta 	heta}{2})$ है,जहाँ $\Delta 	heta$ उनके बीच का कोण है। चूंकि $x \geq 0$ के लिए $\sin(x) \leq x$,इसलिए $|z_k - z_{k-1}| = 2 \sin(\frac{	heta_k}{2}) \leq 2(\frac{	heta_k}{2}) = 	heta_k$। इनका योग करने पर,$\sum_{k=1}^{10} |z_{k+1} - z_k| \leq \sum_{k=1}^{10} 	heta_k = 2 \pi$ (जहाँ $z_{11} = z_1$)। अतः,$P$ सत्य है। $Q$ के लिए,मान लीजिए $w_k = z_k^2 = e^{i 2 \phi_k}$,जहाँ $\phi_k = \sum_{j=1}^k 	heta_j$ है। $w_k$ और $w_{k-1}$ के बीच का कोण $2 	heta_k$ है। इसी प्रकार,$|w_k - w_{k-1}| = |z_k^2 - z_{k-1}^2| = 2 \sin(\frac{2 	heta_k}{2}) = 2 \sin(	heta_k) \leq 2 	heta_k$। इनका योग करने पर,$\sum |z_k^2 - z_{k-1}^2| \leq \sum 2 	heta_k = 2(2 \pi) = 4 \pi$। अतः,$Q$ भी सत्य है।

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