Geometry of complex numbers Questions in Hindi

(B) समीकरण $(z + ab)^3 = a^3$ के दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$z + ab = a, a\omega, a\omega^2$,जहाँ $\omega$ इकाई का घनमूल है।
अतः,मूल $z_1 = a - ab$,$z_2 = a\omega - ab$,और $z_3 = a\omega^2 - ab$ हैं।
त्रिभुज की भुजा की लंबाई किन्हीं दो मूलों के बीच की दूरी है,उदाहरण के लिए,$|z_1 - z_2|$।
$|z_1 - z_2| = |(a - ab) - (a\omega - ab)| = |a(1 - \omega)|$।
चूँकि $1 - \omega = 1 - (-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$।
$|1 - \omega| = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}$।
इसलिए,भुजा की लंबाई $|a| \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3} |a|$ है।

(B) माना शीर्ष $A = z$,$B = \omega z$,और $C = z + \omega z$ हैं।
भुजाओं की लंबाई:
$|AB| = |z - \omega z| = |z| |1 - \omega| = |z| \sqrt{3}$.
$|BC| = |z|$.
$|AC| = |\omega z| = |z|$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times |BC| \times |AC| \times \sin(120^{\circ})$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times |z| \times |z| \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} |z|^2$.

(A) हमें दिया गया है,$|z - 2 + 2i| = 1$,जिसे $|z - (2 - 2i)| = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह सम्मिश्र तल में एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $C(2, -2)$ और त्रिज्या $r = 1$ है।
न्यूनतम निरपेक्ष मान वाली सम्मिश्र संख्या $z$,वृत्त पर स्थित वह बिंदु $P$ है जो मूल बिंदु $O(0, 0)$ के सबसे निकट है।
बिंदु $P$ रेखाखंड $OC$ पर स्थित है।
दूरी $OC = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ है।
दूरी $OP = OC - CP = 2\sqrt{2} - 1$ है।
$OC$ द्वारा धनात्मक $x$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण $\theta = -\pi/4$ है।
$P$ के निर्देशांक $((2\sqrt{2} - 1) \cos(-\pi/4), (2\sqrt{2} - 1) \sin(-\pi/4)) = (2 - \frac{1}{\sqrt{2}}, -(2 - \frac{1}{\sqrt{2}}))$ हैं।
अतः,$z = (2 - \frac{1}{\sqrt{2}}) - i(2 - \frac{1}{\sqrt{2}}) = (2 - \frac{1}{\sqrt{2}})(1 - i)$।

(B) माना $w = a + ib$ है। शर्त के अनुसार $|f(z) - z| = |f(z) - 0|$ है।
$f(z) = wz$ प्रतिस्थापित करने पर,$|wz - z| = |wz|$ प्राप्त होता है।
$|z||w - 1| = |z||w|$.
$z \neq 0$ मानते हुए,$|w - 1| = |w|$ है।
$|(a - 1) + ib|^2 = |a + ib|^2$.
$(a - 1)^2 + b^2 = a^2 + b^2$.
$a^2 - 2a + 1 + b^2 = a^2 + b^2$.
$-2a + 1 = 0 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$ है।
$|a + bi| = 10$ दिया गया है,इसलिए $a^2 + b^2 = 100$ है।
$a = \frac{1}{2}$ रखने पर,$(\frac{1}{2})^2 + b^2 = 100$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{4} + b^2 = 100 \Rightarrow b^2 = 100 - \frac{1}{4} = \frac{399}{4}$ है।
चूंकि $b^2 = \frac{p}{q}$ है,इसलिए $p = 399$ और $q = 4$ है। $\text{gcd}(399, 4) = 1$ है।
अतः,$p + q = 399 + 4 = 403$ है।

(B) समीकरण $|\frac{z - 2}{z + 2}| = 3$ सम्मिश्र तल में एक वृत्त को दर्शाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|z - 2|^2 = 9|z + 2|^2$ प्राप्त होता है।
माना $z = x + iy$ है। तब $(x - 2)^2 + y^2 = 9((x + 2)^2 + y^2)$ होगा।
$x^2 - 4x + 4 + y^2 = 9(x^2 + 4x + 4 + y^2) = 9x^2 + 36x + 36 + 9y^2$।
$8x^2 + 8y^2 + 40x + 32 = 0 \Rightarrow x^2 + y^2 + 5x + 4 = 0$।
यह $(-\frac{5}{2}, 0)$ केंद्र और $r = \sqrt{(\frac{5}{2})^2 - 4} = \sqrt{\frac{25}{4} - 4} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है।
शर्त $z_1 - z_2 = z_4 - z_3$ का अर्थ है $z_1 + z_3 = z_2 + z_4$,जिसका अर्थ है कि विकर्ण $PR$ और $QS$ एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। अतः,$PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
वृत्त के भीतर अंकित समांतर चतुर्भुज एक आयत होना चाहिए।
वृत्त के भीतर अंकित आयत का क्षेत्रफल तब अधिकतम होता है जब वह एक वर्ग हो।
वृत्त का व्यास $2r = 2(\frac{3}{2}) = 3$ है।
$r$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंकित वर्ग के लिए,विकर्ण व्यास $d = 2r = 3$ है।
$d$ विकर्ण वाले वर्ग का क्षेत्रफल $\frac{1}{2}d^2 = \frac{1}{2}(3)^2 = \frac{9}{2}$ है।

(A) दिया गया है $w = \frac{1 + (1 - 8\alpha)z}{1 - z}$. चूँकि $w$ शुद्ध काल्पनिक है,$w + \bar{w} = 0$.
$w + \bar{w} = \frac{1 + (1 - 8\alpha)z}{1 - z} + \frac{1 + (1 - 8\alpha)\bar{z}}{1 - \bar{z}} = 0$
$\Rightarrow (1 + (1 - 8\alpha)z)(1 - \bar{z}) + (1 + (1 - 8\alpha)\bar{z})(1 - z) = 0$
चूँकि $|z| = 1$,इसलिए $z\bar{z} = 1$.
सरल करने पर,$-8\alpha(z + \bar{z} - 2) = 0$.
चूँकि $\text{Re}(z) \neq 1$,इसलिए $z + \bar{z} \neq 2$,अतः $-8\alpha = 0$,जिसका अर्थ है $\alpha = 0$.

(B) दिया गया समीकरण $|z - (3 - 2i)| \leq 4$ एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $C(3, -2)$ और त्रिज्या $R = 4$ है।
$|z|$ मूल बिंदु $O(0, 0)$ से बिंदु $z$ की दूरी को दर्शाता है।
मूल बिंदु से वृत्त तक की अधिकतम और न्यूनतम दूरी उस रेखा पर होती है जो मूल बिंदु और केंद्र $C$ से होकर गुजरती है।
मूल बिंदु से केंद्र $C(3, -2)$ की दूरी $OC = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$ है।
$|z|$ की न्यूनतम दूरी $|OC - R| = |\sqrt{13} - 4|$ है। चूंकि $\sqrt{13} < 4$,इसलिए न्यूनतम दूरी $4 - \sqrt{13}$ है।
$|z|$ की अधिकतम दूरी $OC + R = \sqrt{13} + 4$ है।
अधिकतम और न्यूनतम मान के बीच का अंतर $(4 + \sqrt{13}) - (4 - \sqrt{13}) = 2\sqrt{13}$ है।

(A) माना $z = x + iy$ है। समीकरण $2|x + i(y + 3)| = |x + i(y - 1)|$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$4(x^2 + (y + 3)^2) = x^2 + (y - 1)^2$ प्राप्त होता है।
$4x^2 + 4(y^2 + 6y + 9) = x^2 + y^2 - 2y + 1$.
$3x^2 + 3y^2 + 26y + 35 = 0$.
$3$ से भाग देने पर,$x^2 + y^2 + \frac{26}{3}y + \frac{35}{3} = 0$ प्राप्त होता है।
यह एक वृत्त का समीकरण है,जहाँ $g = \frac{13}{3}$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 - c} = \sqrt{(\frac{13}{3})^2 - \frac{35}{3}} = \sqrt{\frac{169}{9} - \frac{105}{9}} = \sqrt{\frac{64}{9}} = \frac{8}{3}$.

(C) माना $z = x + iy$.
दिया गया है $\text{Im}\left( \frac{i(x+iy) - 2}{x+iy - i} \right) + 1 = 0$.
हल करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^{2}+\left(y-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$.
अतः,त्रिज्या $r = \frac{3}{4}$ है।

(A) प्रारंभिक स्थिति $z_0 = 2 + i$ है,जो आर्गंड समतल में बिंदु $(2, 1)$ के अनुरूप है।
$1 \, \text{unit}$ पूर्व की ओर चलने पर स्थिति $(2+1, 1) = (3, 1)$ हो जाती है।
$2 \, \text{units}$ उत्तर की ओर चलने पर स्थिति $(3, 1+2) = (3, 3)$ हो जाती है।
अंत में,$2\sqrt{2} \, \text{units}$ दक्षिण-पश्चिम दिशा में चलने का अर्थ है $2 \, \text{units}$ पश्चिम और $2 \, \text{units}$ दक्षिण की ओर चलना (क्योंकि विस्थापन सदिश $(-2, -2)$ है)।
अंतिम स्थिति $(3-2, 3-2) = (1, 1)$ है।
यह सम्मिश्र संख्या $1 + i$ के अनुरूप है।

(A) समुच्चय $\{ \omega \in \mathbb{C} : |\omega - (4 + i)| \le r \}$ एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $C(4, 1)$ और त्रिज्या $r$ है।
समुच्चय $\{ z \in \mathbb{C} : |z - 1| \le |z + i| \}$ बिंदु $1$ (या $(1, 0)$) और $-i$ (या $(0, -1)$) को जोड़ने वाले रेखाखंड के लंब समद्विभाजक के एक ओर के क्षेत्र को दर्शाता है।
लंब समद्विभाजक रेखा $x + y = 0$ है। क्षेत्र $|z - 1| \le |z + i|$,$x + y \ge 0$ के अनुरूप है।
वृत्त के $x + y \ge 0$ क्षेत्र में निहित होने के लिए,केंद्र $C(4, 1)$ से रेखा $x + y = 0$ की लंबवत दूरी $r$ के बराबर या उससे कम होनी चाहिए।
$(4, 1)$ से $x + y = 0$ की दूरी $d = \frac{|4 + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5}{2}\sqrt{2}$ है।
अतः,$r$ का अधिकतम मान $\frac{5}{2}\sqrt{2}$ है।

(D) समीकरण $w - \overline{w}z = k(1 - z)$ पर विचार करें, जहाँ $k \in \mathbb{R}$.
चूंकि $Im\, w \neq 0$, इसलिए $w \neq \overline{w}$, अतः $z \neq 1$.
इस प्रकार, $k = \frac{w - \overline{w}z}{1 - z}$.
चूंकि $k$ वास्तविक है, इसलिए $\frac{w - \overline{w}z}{1 - z} = \overline{\left( \frac{w - \overline{w}z}{1 - z} \right)} = \frac{\overline{w} - w\overline{z}}{1 - \overline{z}}$.
तिर्यक गुणा करने पर $(w - \overline{w}z)(1 - \overline{z}) = (\overline{w} - w\overline{z})(1 - z)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $w - w\overline{z} - \overline{w}z + \overline{w}z\overline{z} = \overline{w} - \overline{w}z - w\overline{z} + w\overline{z}z$.
सरल करने पर, $w + \overline{w}|z|^2 = \overline{w} + w|z|^2$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(w - \overline{w})|z|^2 = w - \overline{w}$.
चूंकि $Im\, w \neq 0$, इसलिए $w - \overline{w} \neq 0$, अतः $|z|^2 = 1$, जिसका अर्थ है $|z| = 1$.
साथ ही, मूल समीकरण से, $z \neq 1$ होना चाहिए।
अतः, अभीष्ट समुच्चय $\{z : |z| = 1, z \neq 1\}$ है।

(C) मान लीजिए $z = x + iy$ है।
दिया गया है कि $\frac{z - i}{z + i}$ शुद्ध काल्पनिक है,इसलिए इसका वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए।
$\frac{z - i}{z + i} = \frac{x^2 + y^2 - 1 - 2xi}{x^2 + (y + 1)^2}$ प्राप्त होता है।
वास्तविक भाग को शून्य रखने पर:
$x^2 + y^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1$।
अतः $|z|^2 = 1$,जिसका अर्थ है $z \bar{z} = 1$,यानी $\bar{z} = \frac{1}{z}$।
इसलिए $z + \frac{1}{z} = z + \bar{z} = 2x$।
अतः $z + \frac{1}{z}$ कोई भी शून्येतर वास्तविक संख्या है।

(D) माना $\frac{{{Z_2}}}{{{Z_1}}} = ki$,जहाँ $k \in \mathbb{R}$ और $k \ne 0$ है।
तब,$\left| {\frac{{2{Z_1} + 3{Z_2}}}{{2{Z_1} - 3{Z_2}}}} \right| = \left| {\frac{{{Z_1}(2 + 3\frac{{{Z_2}}}{{{Z_1}}})}}{{{Z_1}(2 - 3\frac{{{Z_2}}}{{{Z_1}}})}}} \right| = \left| {\frac{{2 + 3ki}}{{2 - 3ki}}} \right|$.
चूँकि किसी सम्मिश्र संख्या $z$ के लिए,$|z| = |\bar{z}|$ होता है,इसलिए:
$\left| {\frac{{2 + 3ki}}{{2 - 3ki}}} \right| = \frac{{|2 + 3ki|}}{{|2 - 3ki|}} = \frac{{\sqrt {{2^2} + {{(3k)}^2}} }}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 3k)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {4 + 9{k^2}} }}{{\sqrt {4 + 9{k^2}} }} = 1$.

(A) मान लीजिए $z = x + iy$ है। चूँकि $|z| = 1$,इसलिए $x^2 + y^2 = 1$ है।
व्यंजक $\frac{1 + z^2}{2iz} = \frac{1 + (x + iy)^2}{2i(x + iy)} = \frac{1 + x^2 - y^2 + 2ixy}{2ix - 2y} = \frac{(1 + x^2 - y^2) + 2ixy}{-2y + 2ix}$ पर विचार करें।
चूँकि $x^2 + y^2 = 1$,इसलिए $1 - y^2 = x^2$ है। अंश में यह मान रखने पर:
$\frac{(x^2 + x^2) + 2ixy}{-2y + 2ix} = \frac{2x^2 + 2ixy}{2i(x + iy)} = \frac{2x(x + iy)}{2i(x + iy)} = \frac{x}{i} = -ix$.
अतः,$a = \text{Im}(-ix) = -x$ है।
चूँकि $|z| = 1$,$x$ का मान $-1$ से $1$ के बीच होता है। चूँकि $z \ne \pm 1$,इसलिए $x \ne \pm 1$ है।
अतः,$x \in (-1, 1)$,जिसका अर्थ है कि $a = -x \in (-1, 1)$ है।
इस प्रकार,समुच्चय $A = (-1, 1)$ है।

(B) माना $z = x + iy$ है। तब शीर्ष $z = (x, y)$,$iz = (-y, x)$ और $z + iz = (x - y, x + y)$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ होता है।
मान रखने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x(x - (x + y)) + (-y)((x + y) - y) + (x - y)(y - x)|$
$= \frac{1}{2} |-xy - xy - (x - y)^2| = \frac{1}{2} |-x^2 - y^2| = \frac{1}{2} (x^2 + y^2)$.
चूंकि $|z|^2 = x^2 + y^2$,इसलिए क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |z|^2$ है।

(A) माना $w = \frac{z - \alpha}{z + \alpha}$। चूंकि $w$ शुद्ध काल्पनिक है,इसलिए $w + \bar{w} = 0$ होगा।
$\frac{z - \alpha}{z + \alpha} + \frac{\bar{z} - \alpha}{\bar{z} + \alpha} = 0$
$(z - \alpha)(\bar{z} + \alpha) + (\bar{z} - \alpha)(z + \alpha) = 0$
$2z\bar{z} - 2\alpha^2 = 0$
$|z|^2 = \alpha^2$
चूंकि $|z| = 2$ दिया गया है,इसलिए $2^2 = \alpha^2$,जिससे $\alpha^2 = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha = \pm 2$। विकल्पों में $2$ दिया गया है।

(A) दिया गया है $|z_1| = 9$,जो $(0, 0)$ केंद्र और $r_1 = 9$ त्रिज्या वाला एक वृत्त $C_1$ है।
दिया गया है $|z_2 - (3 + 4i)| = 4$,जो $(3, 4)$ केंद्र और $r_2 = 4$ त्रिज्या वाला एक वृत्त $C_2$ है।
केंद्रों $C_1(0, 0)$ और $C_2(3, 4)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ है।
यहाँ केंद्रों के बीच की दूरी $d = 5$ और त्रिज्याओं का अंतर $|r_1 - r_2| = |9 - 4| = 5$ है,इसलिए $d = |r_1 - r_2|$ है।
इसका अर्थ है कि वृत्त $C_2$,वृत्त $C_1$ के भीतर स्थित है और उसे आंतरिक रूप से स्पर्श करता है।
चूँकि वृत्त आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं,इसलिए $C_1$ पर स्थित बिंदु $z_1$ और $C_2$ पर स्थित बिंदु $z_2$ के बीच की न्यूनतम दूरी $0$ है।

(D) माना $z = \frac{\alpha + i}{\alpha - i}$ है।
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर,हमें $|z| = \left| \frac{\alpha + i}{\alpha - i} \right|$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|\alpha + i| = \sqrt{\alpha^2 + 1}$ और $|\alpha - i| = \sqrt{\alpha^2 + (-1)^2} = \sqrt{\alpha^2 + 1}$,इसलिए $|z| = \frac{\sqrt{\alpha^2 + 1}}{\sqrt{\alpha^2 + 1}} = 1$ है।
समीकरण $|z| = 1$ सम्मिश्र तल में मूल बिंदु $(0, 0)$ पर केंद्र और $1$ त्रिज्या वाला एक वृत्त दर्शाता है।

(C) दिया गया है $w = \frac{5 + 3z}{5(1 - z)}$.
$z$ के लिए हल करने पर:
$5w(1 - z) = 5 + 3z$
$5w - 5wz = 5 + 3z$
$5w - 5 = z(3 + 5w)$
$z = \frac{5w - 5}{5w + 3}$.
चूँकि $|z| < 1$ है,इसलिए $\left| \frac{5w - 5}{5w + 3} \right| < 1$.
$|5w - 5| < |5w + 3|$.
$5$ से विभाजित करने पर:
$|w - 1| < |w + \frac{3}{5}|$.
यह सम्मिश्र तल में उन बिंदुओं $w$ को दर्शाता है जो $-\frac{3}{5}$ की तुलना में $1$ के अधिक निकट हैं।
$1$ और $-\frac{3}{5}$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक $x = \frac{1 - 3/5}{2} = \frac{1}{5}$ है।
चूँकि बिंदु $1$ के अधिक निकट हैं,इसलिए $\text{Re}(w) > \frac{1}{5}$,जिसका अर्थ है $5 \text{ Re}(w) > 1$.

(B) माना $z = x + iy$ है। तब समीकरण $|x + iy - i| = |x + iy - 1|$ हो जाता है।
यह $|x + i(y - 1)| = |(x - 1) + iy|$ में सरल हो जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2 + (y - 1)^2 = (x - 1)^2 + y^2$ प्राप्त होता है।
पदों का विस्तार करने पर: $x^2 + y^2 - 2y + 1 = x^2 - 2x + 1 + y^2$।
दोनों पक्षों से $x^2, y^2$ और $1$ को हटाने पर,$-2y = -2x$ प्राप्त होता है,जो $y = x$ में सरल हो जाता है।
यह मूल बिंदु से गुजरने वाली $1$ ढाल वाली रेखा का समीकरण है।

(B) दिया है $\operatorname{Re}\left(\frac{z-1}{2z+i}\right)=1.$
$z=x+iy$ रखने पर:
$\frac{z-1}{2z+i} = \frac{(x-1)+iy}{2x+i(2y+1)} = \frac{((x-1)+iy)(2x-i(2y+1))}{(2x)^2+(2y+1)^2}$
वास्तविक भाग $\frac{2x(x-1)+y(2y+1)}{(2x)^2+(2y+1)^2} = 1$ है.
$2x^2-2x+2y^2+y = 4x^2+4y^2+4y+1.$
$2x^2+2y^2+2x+3y+1 = 0.$
$x^2+y^2+x+\frac{3}{2}y+\frac{1}{2} = 0.$
यह एक वृत्त का समीकरण है जिसका केंद्र $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}\right)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{3}{4}\right)^2 - \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{5}}{4}$ है.
व्यास $2r = 2 \times \frac{\sqrt{5}}{4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ है।

(D) माना $z = x + iy.$ दिया गया समीकरण $|x| + |y| = 4$ है.
यह सम्मिश्र तल में $(4, 0), (0, 4), (-4, 0),$ और $(0, -4)$ शीर्षों वाला एक वर्ग दर्शाता है.
$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ मूल बिंदु $(0, 0)$ से बिंदु $(x, y)$ की दूरी को दर्शाता है.
मूल बिंदु से $(4, 0)$ और $(0, 4)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड की न्यूनतम दूरी,रेखा $x + y = 4$ पर मूल बिंदु से डाले गए लंब की लंबाई है.
बिंदु $(x_0, y_0)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की दूरी के सूत्र का उपयोग करने पर,$d = \frac{|0 + 0 - 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} = \sqrt{8}.$
मूल बिंदु से वर्ग की अधिकतम दूरी उसके शीर्षों पर होती है,जो $4 = \sqrt{16}$ है.
अतः,$|z|$ को अंतराल $[\sqrt{8}, \sqrt{16}]$ में होना चाहिए.
चूंकि $\sqrt{7} < \sqrt{8},$ इसलिए $|z|$ का मान $\sqrt{7}$ नहीं हो सकता है.

(C) दिया गया है $\left|\frac{z-i}{z+2i}\right|=1$,जिसका अर्थ है $|z-i|=|z+2i|$.
इसका मतलब है कि $z$ बिंदुओं $(0, 1)$ और $(0, -2)$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित है।
लंब समद्विभाजक रेखा $\text{Im}(z) = -\frac{1}{2}$ है।
मान लीजिए $z = x - \frac{i}{2}$ है।
$|z| = \frac{5}{2}$ दिया गया है,इसलिए $x^2 + (-\frac{1}{2})^2 = (\frac{5}{2})^2$.
$x^2 + \frac{1}{4} = \frac{25}{4} \Rightarrow x^2 = 6$.
अब,$|z+3i| = |x - \frac{i}{2} + 3i| = |x + \frac{5i}{2}|$.
$|z+3i| = \sqrt{x^2 + (\frac{5}{2})^2} = \sqrt{6 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{49}{4}} = \frac{7}{2}$.

(N/A) माना सम्मिश्र संख्या $z = -3 + 0i$ है।
हम इसे $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ के रूप में निरूपित करते हैं,जहाँ $r \cos \theta = -3$ और $r \sin \theta = 0$ है।
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$r^{2}(\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta) = (-3)^{2} + 0^{2}$
$r^{2} = 9$
चूँकि $r > 0$,इसलिए $r = 3$ प्राप्त होता है।
अब,$3 \cos \theta = -3 \Rightarrow \cos \theta = -1$ और $3 \sin \theta = 0 \Rightarrow \sin \theta = 0$ है।
वह कोण $\theta$ जो $\cos \theta = -1$ और $\sin \theta = 0$ को संतुष्ट करता है,वह $\theta = \pi$ है।
अतः,ध्रुवीय रूप $3(\cos \pi + i \sin \pi)$ है।

(B) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(z)$,$B(iz)$,और $C(z+iz)$ हैं।
यह त्रिभुज मूल बिंदु $O(0)$,बिंदु $P(z)$,और बिंदु $Q(iz)$ द्वारा बनता है।
चूंकि $iz$,$z$ को मूल बिंदु के चारों ओर $90^{\circ}$ घुमाकर प्राप्त किया जाता है,इसलिए सदिश $\vec{OP}$ और $\vec{OQ}$ लंबवत हैं और उनका परिमाण $|z|$ समान है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times |z| \times |iz| = \frac{1}{2}|z|^2$ होगा।

(D) दिया है $\operatorname{Re}(z)=|z-1|$। माना $z=x+iy$ है। तब $x=\sqrt{(x-1)^2+y^2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $x^2=(x-1)^2+y^2$ $\Rightarrow x^2=x^2-2x+1+y^2$ $\Rightarrow y^2=2x-1$।
यह एक परवलय $y^2=4a(x-h)$ को दर्शाता है जहाँ $4a=2 \Rightarrow a=\frac{1}{2}$ और शीर्ष $(\frac{1}{2}, 0)$ है।
बिंदु $z_1$ और $z_2$ इस परवलय पर स्थित हैं। जीवा $z_1z_2$ की ढाल $\tan(\arg(z_1-z_2)) = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
परवलय $y^2=4ax$ के लिए, प्राचल $t_1$ और $t_2$ वाले बिंदुओं को जोड़ने वाली जीवा की ढाल $m = \frac{2}{t_1+t_2}$ होती है।
चूँकि $y=2at$, इसलिए $y_1+y_2 = 2a(t_1+t_2) = 2a(\frac{2}{m}) = \frac{4a}{m}$।
$a=\frac{1}{2}$ और $m=\frac{1}{\sqrt{3}}$ रखने पर, $y_1+y_2 = \frac{4(1/2)}{1/\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$।
अतः, $\operatorname{Im}(z_1+z_2) = y_1+y_2 = 2\sqrt{3}$।

(C) दिया है $u = \frac{2z + i}{z - ki} = \frac{2(x + iy) + i}{(x + iy) - ki} = \frac{2x + i(2y + 1)}{x + i(y - k)}$.
अंश और हर को संयुग्मी $x - i(y - k)$ से गुणा करने पर:
$u = \frac{2x^2 + (2y + 1)(y - k) + i[x(2y + 1) - 2x(y - k)]}{x^2 + (y - k)^2}$.
$\operatorname{Re}(u) + \operatorname{Im}(u) = 1$ दिया गया है, अतः:
$2x^2 + (2y + 1)(y - k) + x(2y + 1) - 2x(y - k) = x^2 + (y - k)^2$.
$y$-अक्ष पर प्रतिच्छेदन के लिए $x = 0$ रखने पर:
$(2y + 1)(y - k) = (y - k)^2$.
$(y - k)[(2y + 1) - (y - k)] = 0 \Rightarrow (y - k)(y + k + 1) = 0$.
इससे $y_1 = k$ और $y_2 = -k - 1$ प्राप्त होता है।
दूरी $PQ = |y_1 - y_2| = |k - (-k - 1)| = |2k + 1| = 5$.
चूंकि $k > 0$, इसलिए $2k + 1 = 5$ $\Rightarrow 2k = 4$ $\Rightarrow k = 2$.

(D) माना $z = x + iy$ है। तब $\overline{z} = x - iy$ है।
$\operatorname{Re}(z) = x$ और $\operatorname{Re}(\overline{z}) = x$ है।
चार शीर्ष $A(x + iy)$,$B(x - iy)$,$C(-x - iy)$ और $D(-x + iy)$ हैं।
वर्ग की भुजा की लंबाई $4$ इकाई दी गई है।
$A$ और $B$ के बीच की दूरी $|(x + iy) - (x - iy)| = |2iy| = 2|y| = 4$ है,जिसका अर्थ है कि $|y| = 2$ है।
$B$ और $C$ के बीच की दूरी $|(x - iy) - (-x - iy)| = |2x| = 2|x| = 4$ है,जिसका अर्थ है कि $|x| = 2$ है।
अतः,$|z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ है।

(C) दिया गया है $z = x + iy$ और $z^{2} = i|z|^{2}.$
$z = x + iy$ और $|z|^{2} = x^{2} + y^{2}$ का मान समीकरण में रखने पर:
$(x + iy)^{2} = i(x^{2} + y^{2})$
$x^{2} - y^{2} + 2ixy = i(x^{2} + y^{2})$
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
वास्तविक भाग: $x^{2} - y^{2} = 0 \Rightarrow (x - y)(x + y) = 0$
काल्पनिक भाग: $2xy = x^{2} + y^{2}$ $\Rightarrow x^{2} - 2xy + y^{2} = 0$ $\Rightarrow (x - y)^{2} = 0$
काल्पनिक भाग से,हमें $x = y$ प्राप्त होता है।
$x = y$ को वास्तविक भाग के समीकरण में रखने पर: $y^{2} - y^{2} = 0,$ जो संतुष्ट होता है।
अतः,$z$ रेखा $y = x$ पर स्थित है।

(D) दी गई असमिका $|z|-\operatorname{Re}(z) \leq 1$ है,जहाँ $z = x+iy$.
मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sqrt{x^{2}+y^{2}} - x \leq 1$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\sqrt{x^{2}+y^{2}} \leq 1+x$ प्राप्त होता है।
चूँकि वर्गमूल हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,इसलिए $1+x \geq 0$ अर्थात $x \geq -1$ होना चाहिए।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^{2}+y^{2} \leq (1+x)^{2}$ प्राप्त होता है।
दाएँ पक्ष का विस्तार करने पर,$x^{2}+y^{2} \leq 1+2x+x^{2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $x^{2}$ घटाने पर,$y^{2} \leq 2x+1$ प्राप्त होता है।
$2$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें $y^{2} \leq 2\left(x+\frac{1}{2}\right)$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण $a|z|^2 + \overline{\bar{\alpha}z + \alpha\bar{z}} + d = 0$ है।
चूँकि $\overline{\bar{\alpha}z + \alpha\bar{z}} = \alpha\bar{z} + \bar{\alpha}z$,समीकरण $az\bar{z} + \bar{\alpha}z + \alpha\bar{z} + d = 0$ बन जाता है।
$a$ से विभाजित करने पर ($a \neq 0$ मानते हुए),हमें $z\bar{z} + \frac{\bar{\alpha}}{a}z + \frac{\alpha}{a}\bar{z} + \frac{d}{a} = 0$ प्राप्त होता है।
यह वृत्त का मानक रूप $z\bar{z} + \bar{\beta}z + \beta\bar{z} + c = 0$ है,जहाँ $\beta = \frac{\alpha}{a}$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{|\beta|^2 - c} = \sqrt{\left|\frac{\alpha}{a}\right|^2 - \frac{d}{a}} = \sqrt{\frac{|\alpha|^2 - ad}{a^2}}$ है।
वृत्त के लिए त्रिज्या वास्तविक और धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए $|\alpha|^2 - ad > 0$ और $a \neq 0$।

(B) मूल बिंदु $(0)$,$z_{1}$ और $z_{2}$ के समबाहु त्रिभुज बनाने की शर्त है:
$z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = z_{1}z_{2}$
दोनों पक्षों में $2z_{1}z_{2}$ जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(z_{1} + z_{2})^{2} = 3z_{1}z_{2}$
दिए गए द्विघात समीकरण $z^{2} + az + 12 = 0$ से,मूलों का योग $z_{1} + z_{2} = -a$ और मूलों का गुणनफल $z_{1}z_{2} = 12$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$(-a)^{2} = 3(12)$
$a^{2} = 36$
$|a| = 6$

(C) $S_{1} = \{ z \in C : |z - 1| \leq \sqrt{2} \}$ के लिए, $z$ केंद्र $(1, 0)$ और त्रिज्या $\sqrt{2}$ वाले वृत्त पर और उसके अंदर स्थित बिंदुओं को दर्शाता है।
$S_{2} = \{ z \in C : \operatorname{Re}((1 - i)z) \geq 1 \}$ के लिए, मान लीजिए $z = x + iy$ है।
तब $(1 - i)(x + iy) = x + iy - ix - i^2y = (x + y) + i(y - x)$।
अतः, $\operatorname{Re}((1 - i)z) = x + y \geq 1$।
$S_{3} = \{ z \in C : \operatorname{Im}(z) \leq 1 \}$ के लिए, हमारे पास $y \leq 1$ है।
सर्वनिष्ठ $S_{1} \cap S_{2} \cap S_{3}$ सम्मिश्र तल में एक ऐसे क्षेत्र को दर्शाता है जो वृत्त $(x - 1)^2 + y^2 = 2$, रेखा $x + y = 1$, और रेखा $y = 1$ द्वारा घिरा हुआ है।
जैसा कि आकृति में दिखाया गया है, यह सर्वनिष्ठ एक ऐसे क्षेत्र का निर्माण करता है जिसका क्षेत्रफल शून्य नहीं है, जिसका अर्थ है कि इस समुच्चय में अनंत अवयव हैं।

(B) दिया गया है $w = 1 - \sqrt{3} i$,मापांक $|w| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$ है।
दिया गया है $|zw| = 1$,इसलिए $|z| |w| = 1$,जिसका अर्थ है $|z| = \frac{1}{|w|} = \frac{1}{2}$।
दिया गया है $\arg(z) - \arg(w) = \frac{\pi}{2}$,अर्थात मूल बिंदु पर $z$ और $w$ को दर्शाने वाले सदिशों के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।
दो भुजाओं $a$ और $b$ तथा उनके बीच के कोण $\theta$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} ab \sin(\theta)$ होता है।
यहाँ,भुजाएँ $|z|$ और $|w|$ हैं,और कोण $\frac{\pi}{2}$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |z| |w| \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = \frac{1}{2}$।

(B) माना $z = x + iy$. समीकरण में मान रखने पर:
$x + iy + \alpha|x + iy - 1| + 2i = 0$
$x + \alpha\sqrt{(x-1)^2 + y^2} + i(y + 2) = 0$
वास्तविक और काल्पनिक भागों को शून्य के बराबर रखने पर:
$y + 2 = 0 \implies y = -2$
$x + \alpha\sqrt{(x-1)^2 + (-2)^2} = 0 \implies \alpha = -\frac{x}{\sqrt{x^2 - 2x + 5}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\alpha^2 = \frac{x^2}{x^2 - 2x + 5}$
माना $f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 2x + 5}$. $f(x)$ का परिसर $[0, \frac{5}{4}]$ है।
अतः,$\alpha^2 \in [0, \frac{5}{4}]$,जिसका अर्थ है $\alpha \in [-\frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{\sqrt{5}}{2}]$.
यहाँ,$p = -\frac{\sqrt{5}}{2}$ और $q = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
अतः $4(p^2 + q^2) = 4(\frac{5}{4} + \frac{5}{4}) = 10$.

(B) दिया गया है $|z+5| \leq 4$। मान लीजिए $z = x+iy$ है। तो $(x+5)^2 + y^2 \leq 16$ (केंद्र $(-5, 0)$ और त्रिज्या $4$ वाला वृत्त)।
दिया गया है $z(1+i)+\bar{z}(1-i) \geq -10$। $z=x+iy$ और $\bar{z}=x-iy$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(x+iy)(1+i) + (x-iy)(1-i) \geq -10$
$(x-y + i(x+y)) + (x-y - i(x+y)) \geq -10$
$2(x-y) \geq -10 \implies x-y+5 \geq 0$.
हमें $|z+1|^2$ को अधिकतम करना है,जो बिंदु $P(-1, 0)$ से $z$ की दूरी का वर्ग है।
क्षेत्र वृत्त $(x+5)^2 + y^2 \leq 16$ और अर्ध-तल $x-y+5 \geq 0$ का प्रतिच्छेदन है।
$P(-1, 0)$ से क्षेत्र के बिंदुओं की अधिकतम दूरी ज्ञात करने के लिए,हम सीमा बिंदुओं की जाँच करते हैं। अधिकतम मान रेखा $x-y+5=0$ और वृत्त $(x+5)^2 + y^2 = 16$ के प्रतिच्छेदन बिंदु पर प्राप्त होता है।
वृत्त के समीकरण में $y = x+5$ रखने पर:
$(x+5)^2 + (x+5)^2 = 16 \implies 2(x+5)^2 = 16 \implies (x+5)^2 = 8 \implies x+5 = \pm 2\sqrt{2}$.
अतः $x = -5 \pm 2\sqrt{2}$।
यदि $x = -5 - 2\sqrt{2}$,तो $y = x+5 = -2\sqrt{2}$। बिंदु $B = (-5-2\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$।
यदि $x = -5 + 2\sqrt{2}$,तो $y = x+5 = 2\sqrt{2}$। बिंदु $A = (-5+2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$।
$P(-1, 0)$ से दूरी के वर्ग की गणना:
$PB^2 = (-5-2\sqrt{2} - (-1))^2 + (-2\sqrt{2} - 0)^2 = (-4-2\sqrt{2})^2 + 8 = (16 + 8 + 16\sqrt{2}) + 8 = 32 + 16\sqrt{2}$.
$PA^2 = (-5+2\sqrt{2} - (-1))^2 + (2\sqrt{2} - 0)^2 = (-4+2\sqrt{2})^2 + 8 = (16 + 8 - 16\sqrt{2}) + 8 = 32 - 16\sqrt{2}$.
अधिकतम मान $32 + 16\sqrt{2}$ है।
अतः $\alpha = 32$ और $\beta = 16$।
$\alpha + \beta = 32 + 16 = 48$.

(B) माना $z = x + iy$ है। समीकरण $\arg \left(\frac{z-1}{z+1}\right) = \frac{\pi}{4}$ बिंदु $z$ के उस बिंदुपथ को दर्शाता है जिसके लिए $A(1, 0)$ और $B(-1, 0)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड द्वारा $z$ पर अंतरित कोण $\frac{\pi}{4}$ है।
यह $A(1, 0)$ और $B(-1, 0)$ से गुजरने वाले वृत्त का एक चाप है।
माना वृत्त का केंद्र $C(0, k)$ है। चूंकि परिधि पर कोण $\frac{\pi}{4}$ है,इसलिए जीवा $AB$ द्वारा केंद्र $C$ पर अंतरित कोण $2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ होगा।
$\triangle OAC$ में (जहाँ $O$ मूल बिंदु $(0,0)$ है),$\angle COA = 90^\circ$ और $\angle OCA = \frac{\pi}{4}$ है।
चूंकि $OA = 1$ है,हमारे पास $\tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{OA}{OC} = \frac{1}{OC} = 1$ है,जिसका अर्थ है $OC = 1$ है।
अतः,केंद्र $C(0, 1)$ है।
त्रिज्या $R = AC = \sqrt{OA^2 + OC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ है।
इसलिए,वृत्त का केंद्र $(0, 1)$ और त्रिज्या $\sqrt{2}$ है।

(D) माना $z = x + iy$ है। शर्त $\frac{z-i}{z+2i} \in \mathbb{R}$ का अर्थ है कि सम्मिश्र संख्या का कोणांक $0$ या $\pi$ है (या संख्या अपरिभाषित है)।
यह उन बिंदुओं $z$ का बिंदुपथ दर्शाता है जिनके लिए सदिश $(z-i)$ और $(z+2i)$ संरेख हैं।
ज्यामितीय रूप से,यह बिंदु $i$ (जो $(0, 1)$ है) और $-2i$ (जो $(0, -2)$ है) से होकर गुजरने वाली रेखा है।
चूंकि ये दोनों बिंदु काल्पनिक अक्ष पर स्थित हैं,इसलिए यह रेखा स्वयं काल्पनिक अक्ष है (बिंदु $-2i$ को छोड़कर जहाँ व्यंजक अपरिभाषित है)।
अतः,$S$ सम्मिश्र तल में एक सीधी रेखा है।

(C) दिया गया है $|z-3|=\operatorname{Re}(z)$। मान लीजिए $z=x+iy$ है।
$(x-3)^{2}+y^{2}=x^{2}$
$x^{2}-6x+9+y^{2}=x^{2}$
$y^{2}=6x-9=6(x-\frac{3}{2})$।
यह $(\frac{3}{2}, 0)$ शीर्ष वाला एक परवलय है।
मान लीजिए $z_{1}=x_{1}+iy_{1}$ और $z_{2}=x_{2}+iy_{2}$ है।
चूँकि $\arg(z_{1}-z_{2})=\frac{\pi}{4}$, $z_{1}$ और $z_{2}$ को जोड़ने वाले रेखाखंड की ढाल $\tan(\frac{\pi}{4})=1$ है।
अतः, $\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=1 \Rightarrow y_{1}-y_{2}=x_{1}-x_{2} \Rightarrow x_{1}-y_{1}=x_{2}-y_{2}$।
परवलय के समीकरण से, $x_{1}=\frac{y_{1}^{2}}{6}+\frac{3}{2}$ और $x_{2}=\frac{y_{2}^{2}}{6}+\frac{3}{2}$ है।
इन मानों को $x_{1}-x_{2}=y_{1}-y_{2}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{y_{1}^{2}}{6}+\frac{3}{2})-(\frac{y_{2}^{2}}{6}+\frac{3}{2})=y_{1}-y_{2}$
$\frac{1}{6}(y_{1}-y_{2})(y_{1}+y_{2})=y_{1}-y_{2}$।
चूँकि $z_{1} \neq z_{2}$, $y_{1} \neq y_{2}$, इसलिए हम $(y_{1}-y_{2})$ से विभाजित कर सकते हैं:
$\frac{1}{6}(y_{1}+y_{2})=1 \Rightarrow y_{1}+y_{2}=6$।
$z_{1}+z_{2}$ का काल्पनिक भाग $y_{1}+y_{2}=6$ है।

(C) माना $z=x+iy$ है।
$\arg \left(\frac{z-2}{z+2}\right)=\frac{\pi}{4}$ एक वृत्त का चाप दर्शाता है।
माना $z-2 = r_1 e^{i\theta_1}$ और $z+2 = r_2 e^{i\theta_2}$ है। तब $\theta_1 - \theta_2 = \frac{\pi}{4}$ है।
यह उन बिंदुओं $z$ का बिंदु पथ है जिनके लिए $(-2, 0)$ और $(2, 0)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड द्वारा $z$ पर बनाया गया कोण $\frac{\pi}{4}$ है।
समीकरण $\tan^{-1}\left(\frac{y}{x-2}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{y}{x+2}\right) = \frac{\pi}{4}$ है।
$\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{\frac{y}{x-2} - \frac{y}{x+2}}{1 + \frac{y^2}{x^2-4}} = 1$ प्राप्त होता है।
$\frac{4y}{x^2+y^2-4} = 1 \implies x^2+y^2-4y-4=0$ है।
यह केंद्र $O(0, 2)$ और त्रिज्या $R = \sqrt{0^2 + 2^2 - (-4)} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ वाला एक वृत्त है।
हमें $|z - (9\sqrt{2} + 2i)|^2$ को न्यूनतम करना है। माना $P = 9\sqrt{2} + 2i$,जो बिंदु $(9\sqrt{2}, 2)$ है।
दूरी $OP = \sqrt{(9\sqrt{2}-0)^2 + (2-2)^2} = 9\sqrt{2}$ है।
वृत्त से $P$ की न्यूनतम दूरी $OP - R = 9\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 7\sqrt{2}$ है।
$|z-P|^2$ का न्यूनतम मान $(7\sqrt{2})^2 = 49 \times 2 = 98$ है।

(D) दिया गया है कि $\frac{z-i}{z-1}$ शुद्ध काल्पनिक है,इसलिए इसका वास्तविक भाग $0$ होना चाहिए।
माना $z = x+iy$. तब $\frac{z-i}{z-1} = \frac{x+i(y-1)}{(x-1)+iy}$.
हर के संयुग्मी $(x-1)-iy$ से गुणा करने पर:
$\frac{x(x-1)+y(y-1) + i((y-1)(x-1)-xy)}{(x-1)^2+y^2}$.
शुद्ध काल्पनिक होने के लिए,वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए:
$x(x-1)+y(y-1) = 0 \Rightarrow x^2-x+y^2-y = 0$.
यह एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $C(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ और त्रिज्या $r = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
हमें $|z-(3+3i)|$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना है,जो बिंदु $P(3,3)$ से वृत्त की न्यूनतम दूरी है।
$P(3,3)$ से केंद्र $C(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ तक की दूरी $PC = \sqrt{(3-\frac{1}{2})^2 + (3-\frac{1}{2})^2} = \frac{5}{\sqrt{2}}$ है।
न्यूनतम दूरी $PC - r = \frac{5}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ है।

(C) दी गई शर्त $|z-(2+2 i)| \leq 1$ है। यह सम्मिश्र तल में $2+2 i$ केंद्र और $1$ त्रिज्या वाला एक वृत्त दर्शाता है।
हमें $|3 i z+6|$ को अधिकतम करना है।
$|3 i z+6| = 3 |z - (-2 i)|$.
यह व्यंजक $z$ की $0-2 i$ बिंदु से दूरी का $3$ गुना दर्शाता है।
इस दूरी को अधिकतम करने के लिए,हमें वृत्त पर वह बिंदु $z$ खोजना होगा जो $0-2 i$ से सबसे दूर हो।
चित्र के अनुसार,अधिकतम दूरी $3+2 i$ पर प्राप्त होती है।
अतः $a+i b = 3+2 i$ है।
इसलिए,$a=3$ और $b=2$ है।
$a+b = 3+2 = 5$.

(A) दिया गया है $S_{1} = \{z \in C : |z-(3+2i)|^{2}=8\}$। मान लीजिए $z = x+iy$ है। तब $|(x-3)+i(y-2)|^{2}=8$,जिसका अर्थ है $(x-3)^{2}+(y-2)^{2}=8$। यह $(3, 2)$ केंद्र और $r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ त्रिज्या वाला एक वृत्त दर्शाता है।
$S_{2} = \{z \in C : x \geq 5\}$।
$S_{3} = \{z \in C : |z-\bar{z}| \geq 8\}$। चूंकि $z-\bar{z} = 2iy$,हमारे पास $|2iy| = 2|y| \geq 8$ है,जिसका अर्थ है $|y| \geq 4$,इसलिए $y \geq 4$ या $y \leq -4$ है।
हमें प्रतिच्छेदन $S_{1} \cap S_{2} \cap S_{3}$ ज्ञात करना है।
$S_{1} \cap S_{2}$ के लिए,हम वृत्त के समीकरण में $x=5$ प्रतिस्थापित करते हैं: $(5-3)^{2} + (y-2)^{2} = 8$ $\Rightarrow 4 + (y-2)^{2} = 8$ $\Rightarrow (y-2)^{2} = 4$ $\Rightarrow y-2 = \pm 2$। अतः $y=4$ या $y=0$ है।
$S_{1} \cap S_{2} \cap S_{3}$ के लिए,हम $S_{3}$ से $y \geq 4$ या $y \leq -4$ की शर्त की जाँच करते हैं।
$x=5$ पर,वृत्त पर बिंदु $(5, 4)$ और $(5, 0)$ हैं।
केवल बिंदु $(5, 4)$ ही $y \geq 4$ को संतुष्ट करता है।
अतः,प्रतिच्छेदन में केवल एक बिंदु $z = 5+4i$ है।
अवयवों की संख्या $1$ है।

(D) दिया गया है $S_{1}: |z-2| \leq 1$,जो $(2, 0)$ केंद्र और $1$ त्रिज्या वाला एक वृत्त दर्शाता है।
दिया गया है $S_{2}: z(1+i)+\overline{z}(1-i) \geq 4$. माना $z = x+iy$. तब $\overline{z} = x-iy$.
इन मानों को असमिका में रखने पर:
$(x+iy)(1+i) + (x-iy)(1-i) \geq 4$
$(x - y + i(x+y)) + (x - y - i(x+y)) \geq 4$
$2x - 2y \geq 4 \implies y \leq x-2$.
हमें $z \in S_{1} \cap S_{2}$ के लिए $|z - 2.5|^2$ का अधिकतम मान ज्ञात करना है।
रेखा $y = x-2$ वृत्त के केंद्र $(2,0)$ से होकर गुजरती है।
वृत्त $(x-2)^2 + y^2 = 1$ और रेखा $y = x-2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $y = x-2$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$(x-2)^2 + (x-2)^2 = 1 \implies 2(x-2)^2 = 1 \implies x-2 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः $x = 2 \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. संगत $y$ मान $y = x-2 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(2 + \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ और $(2 - \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ हैं।
बिंदु $P = (2 - \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ प्रतिच्छेदन क्षेत्र में $2.5 + 0i$ से सबसे दूर का बिंदु है।
$|z - 2.5|^2 = |(2 - \frac{1}{\sqrt{2}} - 2.5) - i\frac{1}{\sqrt{2}}|^2 = |-\frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} - i\frac{1}{\sqrt{2}}|^2$
$= (-\frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (-\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} = \frac{5}{4} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{5 + 2\sqrt{2}}{4}$.

(C) प्रतिबंध $|z-3| \leq 1$ एक वृत्त को दर्शाता है जिसकी त्रिज्या $1$ है और केंद्र $(3, 0)$ है।
प्रतिबंध $z(4+3i) + \bar{z}(4-3i) \leq 24$ को $z = x + iy$ प्रतिस्थापित करके सरल किया जा सकता है:
$8x - 6y \leq 24 \Rightarrow 4x - 3y \leq 12$.
हमें $S$ क्षेत्र में $(0, 4)$ के सबसे निकट बिंदु $(\alpha, \beta)$ ज्ञात करना है।
रेखा $4x - 3y = 12$,$(3, 0)$ और $(0, -4)$ से गुजरती है।
$(0, 4)$ और $(3, 0)$ को जोड़ने वाली रेखा का समीकरण $4x + 3y = 12$ है।
समीकरणों को हल करने पर:
$4x + 3y = 12$
$(x-3)^2 + y^2 = 1$
हल करने पर $y = \frac{4}{5}$ और $x = \frac{12}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha = \frac{12}{5}$ और $\beta = \frac{4}{5}$ है।
$25(\alpha + \beta) = 25(\frac{12}{5} + \frac{4}{5}) = 80$।

(D) समुच्चय $A$ सम्मिश्र तल में $z_0 = 1 + i$ केंद्र और $r_1 = 1$ तथा $r_2 = 2$ त्रिज्या वाला एक वलयाकार क्षेत्र (annulus) दर्शाता है।
समुच्चय $B$ उन बिंदुओं $z$ से बना है जो इस वलयाकार क्षेत्र $A$ के भीतर स्थित हैं और समीकरण $|z - (1 - i)| = 1$ को संतुष्ट करते हैं। यह समीकरण $z_1 = 1 - i$ केंद्र और $r = 1$ त्रिज्या वाला एक वृत्त दर्शाता है।
केंद्रों $z_0 = 1 + i$ और $z_1 = 1 - i$ के बीच की दूरी:
$|z_0 - z_1| = |(1 + i) - (1 - i)| = |2i| = 2$ है।
$B$ को परिभाषित करने वाले वृत्त की त्रिज्या $1$ है। इस वृत्त पर स्थित बिंदु केंद्र $(1, -1)$ से $1$ की दूरी पर हैं।
बिंदु $z = 1$ पर विचार करें।
$z = 1$ के लिए,$|z - (1 + i)| = |1 - 1 - i| = |-i| = 1$,अतः $z = 1$ क्षेत्र $A$ की आंतरिक सीमा पर है।
साथ ही,$|z - (1 - i)| = |1 - 1 + i| = |i| = 1$,अतः $z = 1$ वृत्त $B$ पर स्थित है।
इस प्रकार,$z = 1$ समुच्चय $B$ में है।
चूंकि वृत्त $|z - (1 - i)| = 1$ का चाप क्षेत्र $A$ के भीतर स्थित है,इसलिए $B$ में अनंत बिंदु हैं।

(B) समुच्चय $A$ के लिए: $|z+1| < |z-1|$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x+1)^2 + y^2 < (x-1)^2 + y^2$,जो सरल होकर $x < 0$ प्राप्त होता है। यह काल्पनिक अक्ष के बाईं ओर का क्षेत्र दर्शाता है।
समुच्चय $B$ के लिए: $\arg(\frac{z-1}{z+1}) = \frac{2\pi}{3}$। यह $(-1, 0)$ और $(1, 0)$ से गुजरने वाले एक वृत्त का चाप दर्शाता है। वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + \frac{2y}{\sqrt{3}} - 1 = 0$ है,जिसका केंद्र $(0, -\frac{1}{\sqrt{3}})$ है।
शर्त $\arg(\frac{z-1}{z+1}) = \frac{2\pi}{3}$ इस वृत्त के उस चाप के अनुरूप है जहाँ $x < 0$ है।
अतः,$A \cap B$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित वृत्त का चाप है।

(C) माना $z = x + iy$,जहाँ $x, y \in \mathbb{R}$.
दिया गया समीकरण $\bar{z} = i z^{2}$ है।
$z = x + iy$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x - iy = i(x + iy)^{2}$ प्राप्त होता है।
$x - iy = i(x^{2} - y^{2} + 2xyi) = i(x^{2} - y^{2}) - 2xy$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:
$x = -2xy$ $\Rightarrow x(1 + 2y) = 0$ $\Rightarrow x = 0$ या $y = -\frac{1}{2}$.
$-y = x^{2} - y^{2}$.
स्थिति $1$: यदि $x = 0$,तो $-y = -y^{2}$ $\Rightarrow y^{2} - y = 0$ $\Rightarrow y(y - 1) = 0$. अतः $y = 0$ या $y = 1$.
मूल $z = 0$ और $z = i$ हैं। चूँकि प्रश्न में अवास्तविक मूल पूछे गए हैं,हम $z = i$ लेते हैं।
स्थिति $2$: यदि $y = -\frac{1}{2}$,तो $-(-\frac{1}{2}) = x^{2} - (-\frac{1}{2})^{2}$ $\Rightarrow \frac{1}{2} = x^{2} - \frac{1}{4}$ $\Rightarrow x^{2} = \frac{3}{4}$ $\Rightarrow x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.
मूल $z = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$ और $z = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$ हैं।
बहुभुज के शीर्ष $(0, 1)$,$(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$,और $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$ हैं।
यह एक त्रिभुज बनाता है जिसका आधार $b = \sqrt{3}$ और ऊँचाई $h = \frac{3}{2}$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times \frac{3}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

(A) दी गई शर्त $1 < |z - (3 - 2i)| < 4$ है। मान लीजिए $z = a + ib$,जहाँ $a, b \in \mathbb{Z}$ है।
यह $(3, -2)$ केंद्र और $r_1 = 1$ तथा $r_2 = 4$ त्रिज्या वाले दो वृत्तों के बीच का क्षेत्र दर्शाता है।
असमिका $1 < (a - 3)^2 + (b + 2)^2 < 16$ है।
मान लीजिए $x = a - 3$ और $y = b + 2$ है। चूँकि $a, b \in \mathbb{Z}$,इसलिए $x, y \in \mathbb{Z}$ होगा।
हमें पूर्णांक युग्मों $(x, y)$ की संख्या ज्ञात करनी है ताकि $1 < x^2 + y^2 < 16$ हो।
$x^2 + y^2$ के लिए संभावित मान $2, 4, 5, 8, 9, 10, 13$ हैं।
- $x^2 + y^2 = 2$ के लिए: $(\pm 1, \pm 1)$ $\rightarrow 4$ बिंदु।
- $x^2 + y^2 = 4$ के लिए: $(\pm 2, 0), (0, \pm 2)$ $\rightarrow 4$ बिंदु।
- $x^2 + y^2 = 5$ के लिए: $(\pm 1, \pm 2), (\pm 2, \pm 1)$ $\rightarrow 8$ बिंदु।
- $x^2 + y^2 = 8$ के लिए: $(\pm 2, \pm 2)$ $\rightarrow 4$ बिंदु।
- $x^2 + y^2 = 9$ के लिए: $(\pm 3, 0), (0, \pm 3)$ $\rightarrow 4$ बिंदु।
- $x^2 + y^2 = 10$ के लिए: $(\pm 1, \pm 3), (\pm 3, \pm 1)$ $\rightarrow 8$ बिंदु।
- $x^2 + y^2 = 13$ के लिए: $(\pm 2, \pm 3), (\pm 3, \pm 2)$ $\rightarrow 8$ बिंदु।
बिंदुओं की कुल संख्या = $4 + 4 + 8 + 4 + 4 + 8 + 8 = 40$।