Geometry of complex numbers Questions in Hindi

(A) मूल बिंदु पर केंद्र वाले वृत्त में अंकित एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षों को पहले शीर्ष को मूल बिंदु के चारों ओर $120^\circ$ ($2\pi/3$ रेडियन) और $240^\circ$ ($4\pi/3$ रेडियन) घुमाकर प्राप्त किया जा सकता है।
दिया गया है $z_1 = 1 + i\sqrt{3} = 2e^{i\pi/3}$।
अन्य शीर्ष $z_2 = z_1 e^{i2\pi/3} = 2e^{i\pi/3} e^{i2\pi/3} = 2e^{i\pi} = -2$ हैं।
और $z_3 = z_1 e^{i4\pi/3} = 2e^{i\pi/3} e^{i4\pi/3} = 2e^{i5\pi/3} = 2(\cos(5\pi/3) + i\sin(5\pi/3)) = 1 - i\sqrt{3}$।
अतः,$z_3$ और $z_2$ के मान $1 - i\sqrt{3}$ और $-2$ हैं। विकल्प $A$ सही उत्तर है।

(A) शर्त $|z + \sqrt{2}| = a^2 - 3a + 2$ एक वृत्त को दर्शाती है जिसका केंद्र $A(-\sqrt{2}, 0)$ और त्रिज्या $R_1 = \sqrt{a^2 - 3a + 2}$ है।
$R_1$ को परिभाषित होने के लिए,$a^2 - 3a + 2 \ge 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $(a-1)(a-2) \ge 0$,इसलिए $a \le 1$ या $a \ge 2$।
असमिका $|z + i\sqrt{2}| < a^2$ केंद्र $B(0, -\sqrt{2})$ और त्रिज्या $R_2 = a$ वाले वृत्त के आंतरिक भाग को दर्शाती है।
केंद्रों $A$ और $B$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(-\sqrt{2} - 0)^2 + (0 - (-\sqrt{2}))^2} = \sqrt{2 + 2} = 2$ है।
दोनों क्षेत्रों में कम से कम एक उभयनिष्ठ बिंदु होने के लिए,दूरी $d$ त्रिज्याओं के योग से कम होनी चाहिए: $d < R_1 + R_2$।
$2 < \sqrt{a^2 - 3a + 2} + a$।
$2 - a < \sqrt{a^2 - 3a + 2}$।
यदि $2 - a < 0$ (अर्थात $a > 2$),तो असमिका सत्य है क्योंकि दाईं ओर धनात्मक है।
यदि $2 - a \ge 0$ (अर्थात $a \le 2$),दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $4 - 4a + a^2 < a^2 - 3a + 2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $-a < -2$ या $a > 2$ हो जाता है। यह $a \le 2$ के साथ विरोधाभास है।
अतः,शर्त $a > 2$ के लिए संतुष्ट होती है।

(B) मान लीजिए $z = x + iy$ है। तब $iz = i(x + iy) = -y + ix$ और $z + iz = (x - y) + i(x + y)$ होगा।
ये शीर्ष $A(x, y)$,$B(-y, x)$,और $C(x - y, x + y)$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x(x - (x + y)) + (-y)((x + y) - y) + (x - y)(y - x)|$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x(-y) - y(x) + (x - y)(-(x - y))|$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-xy - xy - (x - y)^2| = \frac{1}{2} |-2xy - (x^2 - 2xy + y^2)| = \frac{1}{2} |-x^2 - y^2| = \frac{1}{2} |x^2 + y^2| = \frac{1}{2} |z|^2$.
दिया गया है कि क्षेत्रफल $2$ है,इसलिए $\frac{1}{2} |z|^2 = 2$.
अतः,$|z|^2 = 4$,जिसका अर्थ है कि $|z| = 2$.

(C) दिया गया समीकरण: ${z^2} + z|z| + |z|^2 = 0$
$|z|^2$ से विभाजित करने पर ($z \neq 0$ मानते हुए):
${\left( {\frac{z}{|z|}} \right)^2} + \frac{z}{|z|} + 1 = 0$
माना $u = \frac{z}{|z|}$ है। तब $u^2 + u + 1 = 0$ है।
इसके मूल $u = \omega$ या $u = \omega^2$ हैं,जहाँ $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ है।
स्थिति $1$: $\frac{z}{|z|} = \omega = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$
$z = |z|\left( -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$
$x + iy = -\frac{1}{2}|z| + i\frac{\sqrt{3}}{2}|z|$
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर: $x = -\frac{1}{2}|z|$ और $y = \frac{\sqrt{3}}{2}|z|$ है।
अतः,$y = -\sqrt{3}x$,या $y + \sqrt{3}x = 0$ है।
स्थिति $2$: $\frac{z}{|z|} = \omega^2 = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$
$x + iy = -\frac{1}{2}|z| - i\frac{\sqrt{3}}{2}|z|$
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर: $x = -\frac{1}{2}|z|$ और $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}|z|$ है।
अतः,$y = \sqrt{3}x$,या $y - \sqrt{3}x = 0$ है।
दोनों को मिलाने पर,बिंदुपथ दो सीधी रेखाओं का युग्म है: $(y + \sqrt{3}x)(y - \sqrt{3}x) = 0$,जो $y^2 - 3x^2 = 0$ में सरल हो जाता है।

(A) दिया गया बिंदु $(x, y) = (-\sqrt{3}, 1)$ है।
ध्रुवीय निर्देशांक $(r, \theta)$ ज्ञात करने के लिए,हम $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ का उपयोग करते हैं।
$r = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
चूंकि बिंदु $(-\sqrt{3}, 1)$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है,कोण $\theta$ का मान $\tan \theta = y/x = 1/(-\sqrt{3})$ द्वारा प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = \pi - \pi/6 = 5\pi/6$.
इसलिए,ध्रुवीय निर्देशांक $(2, 5\pi/6)$ हैं।

(A) असमिका $|z - (-4)| \le 3$ उन सभी बिंदुओं $z$ के समुच्चय को दर्शाती है जो केंद्र $C(-4, 0)$ और त्रिज्या $r = 3$ वाले वृत्त पर या उसके अंदर स्थित हैं।
हमें $|z - (-1)|$ का अधिकतम मान ज्ञात करना है,जो $z$ और बिंदु $A(-1, 0)$ के बीच की दूरी को दर्शाता है।
केंद्र $C(-4, 0)$ और बिंदु $A(-1, 0)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(-1 - (-4))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{3^2} = 3$ है।
वृत्त के अंदर या उस पर किसी बिंदु $z$ से बिंदु $A$ तक की अधिकतम दूरी $d + r$ द्वारा दी जाती है।
अतः,अधिकतम मान $3 + 3 = 6$ है।

(A) माना $z = x + iy$ है। दी गई शर्त $|z - 1| = |z + 1| = |z - i|$ है।
$|z - 1| = |z + 1|$ से,हमें $|x - 1 + iy| = |x + 1 + iy|$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $(x - 1)^2 + y^2 = (x + 1)^2 + y^2$।
इसका विस्तार करने पर,$x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2$,जो सरल होकर $4x = 0$ देता है,इसलिए $x = 0$ है।
अब,$|z + 1| = |z - i|$ से,हमें $|x + 1 + iy| = |x + i(y - 1)|$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $(x + 1)^2 + y^2 = x^2 + (y - 1)^2$।
$x = 0$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(0 + 1)^2 + y^2 = 0^2 + (y - 1)^2$ प्राप्त होता है।
$1 + y^2 = y^2 - 2y + 1$।
यह सरल होकर $-2y = 0$ देता है,इसलिए $y = 0$ है।
अतः,शर्त को संतुष्ट करने वाली एकमात्र सम्मिश्र संख्या $z = 0 + 0i = 0$ है।
इसलिए,ऐसी केवल $1$ सम्मिश्र संख्या है।

(A) दिया गया है कि $\frac{z^2}{z-1}$ वास्तविक है,इसलिए यह अपने संयुग्मी (conjugate) के बराबर होना चाहिए: $\frac{z^2}{z-1} = \frac{\overline{z}^2}{\overline{z}-1}$.
वज्र-गुणन करने पर: $z^2(\overline{z}-1) = \overline{z}^2(z-1)$.
पदों का विस्तार करने पर: $z^2\overline{z} - z^2 = \overline{z}^2z - \overline{z}^2$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $z^2\overline{z} - \overline{z}^2z - z^2 + \overline{z}^2 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $z\overline{z}(z-\overline{z}) - (z-\overline{z})(z+\overline{z}) = 0$.
$(z-\overline{z})(z\overline{z} - (z+\overline{z})) = 0$.
इसका अर्थ है कि या तो $z-\overline{z} = 0$ या $z\overline{z} - z - \overline{z} = 0$.
$z-\overline{z} = 0$ का अर्थ है कि $z$ वास्तविक है (वास्तविक अक्ष पर स्थित है)।
$z\overline{z} - z - \overline{z} = 0$ को $(z-1)(\overline{z}-1) = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है,अर्थात $|z-1|^2 = 1$,जो $1$ केंद्र और $1$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है। यह वृत्त मूल बिंदु से गुजरता है क्योंकि $|0-1| = 1$.
अतः,$z$ वास्तविक अक्ष पर या मूल बिंदु से गुजरने वाले वृत्त पर स्थित है।

(D) दिया गया है $|z| \ge 2$,जो $(0, 0)$ केंद्र और $2$ त्रिज्या वाले वृत्त पर या उसके बाहर के क्षेत्र को दर्शाता है।
व्यंजक $|z + \frac{1}{2}|$ सम्मिश्र संख्या $z$ और बिंदु $-\frac{1}{2}$ के बीच की दूरी को दर्शाता है।
$|z - (-\frac{1}{2})|$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम बिंदु $-\frac{1}{2}$ से वृत्त $|z| = 2$ की परिधि तक की दूरी पर विचार करते हैं।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से बिंदु $-\frac{1}{2}$ तक की दूरी $\frac{1}{2}$ है।
चूंकि बिंदु $-\frac{1}{2}$ वृत्त $|z| = 2$ के अंदर स्थित है,इसलिए बिंदु $-\frac{1}{2}$ से वृत्त पर किसी भी बिंदु $z$ तक की न्यूनतम दूरी $R - d$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R = 2$ त्रिज्या है और $d = \frac{1}{2}$ मूल बिंदु से बिंदु की दूरी है।
न्यूनतम मान = $2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.
चूंकि $\frac{3}{2} = 1.5$,जो अंतराल $(1, 2)$ में स्थित है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) दिया गया है कि $\left|\frac{z_1 - 2z_2}{2 - z_1 \overline{z_2}}\right| = 1$.
इसका अर्थ है $|z_1 - 2z_2|^2 = |2 - z_1 \overline{z_2}|^2$.
$|w|^2 = w \overline{w}$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$(z_1 - 2z_2)(\overline{z_1} - 2\overline{z_2}) = (2 - z_1 \overline{z_2})(2 - \overline{z_1} z_2)$.
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$|z_1|^2 + 4|z_2|^2 = 4 + |z_1|^2 |z_2|^2$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$|z_1|^2 - |z_1|^2 |z_2|^2 + 4|z_2|^2 - 4 = 0$.
$(|z_1|^2 - 4)(1 - |z_2|^2) = 0$.
यह दिया गया है कि $z_2$ यूनीमॉड्यूलर नहीं है,इसलिए $|z_2| \neq 1$,जिसका अर्थ है $1 - |z_2|^2 \neq 0$.
अतः,$|z_1|^2 = 4$,जिसका अर्थ है $|z_1| = 2$.
यह $2$ त्रिज्या का एक वृत्त दर्शाता है।

(C) दिया गया है $\frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\left| \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} \right| = \sqrt{\left( \frac{1}{2} \right)^2 + \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1$.
इसका अर्थ है कि $|z_1 - z_3| = |z_2 - z_3|$,अर्थात त्रिभुज की दो भुजाएँ बराबर हैं।
अब,सम्मिश्र संख्या का कोणांक $\text{amp}\left( \frac{z_1 - z_3}{z_2 - z_3} \right) = \tan^{-1}\left( \frac{-\sqrt{3}/2}{1/2} \right) = \tan^{-1}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$ है।
इसका अर्थ है कि भुजाओं $z_1 - z_3$ और $z_2 - z_3$ के बीच का कोण $60^\circ$ है।
चूंकि दो भुजाएँ बराबर हैं और उनके बीच का कोण $60^\circ$ है,इसलिए त्रिभुज समबाहु है।

(C) दिया गया है कि ${z_1}$ और ${z_2}$ समीकरण ${z^2 + az + b = 0}$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,${z_1 + z_2 = -a}$ और ${z_1 z_2 = b}$ है।
चूँकि मूल बिंदु $({z_3 = 0})$,${z_1}$,और ${z_2}$ एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं,इसलिए शर्त ${z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1}$ है।
${z_3 = 0}$ रखने पर,${z_1^2 + z_2^2 = z_1 z_2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में ${2 z_1 z_2}$ जोड़ने पर,${z_1^2 + z_2^2 + 2 z_1 z_2 = 3 z_1 z_2}$ प्राप्त होता है।
यह ${(z_1 + z_2)^2 = 3 z_1 z_2}$ में सरल हो जाता है।
मान रखने पर,${(-a)^2 = 3b}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है ${a^2 = 3b}$।

(C) माना $z = x + iy$ है। दी गई शर्त $arg\left( \frac{z - 2}{z + 2} \right) = \frac{\pi}{3}$ है।
$z = x + iy$ प्रतिस्थापित करने पर, $\frac{(x - 2) + iy}{(x + 2) + iy} = \frac{((x - 2) + iy)((x + 2) - iy)}{(x + 2)^2 + y^2} = \frac{(x^2 + y^2 - 4) + i(4y)}{(x + 2)^2 + y^2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $arg(w) = \theta$, इसलिए $\tan(\theta) = \frac{Im(w)}{Re(w)}$ होता है।
अतः, $\frac{4y}{x^2 + y^2 - 4} = \tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}$ है।
$4y = \sqrt{3}(x^2 + y^2 - 4)$।
पदों को व्यवस्थित करने पर, $\sqrt{3}x^2 + \sqrt{3}y^2 - 4y - 4\sqrt{3} = 0$ प्राप्त होता है।
यह एक वृत्त का समीकरण है।

(B) दिया गया है $|z + 4| \le 3$।
माना $w = z + 4$ है। तो $|w| \le 3$।
हमें $|z + 1|$ का मान ज्ञात करना है।
ध्यान दें कि $z + 1 = (z + 4) - 3$।
त्रिभुज असमिका के अनुसार,$||z + 4| - |-3|| \le |z + 1| \le |z + 4| + |-3|$।
$|z + 4| \le 3$ रखने पर:
$|3 - 3| \le |z + 1| \le 3 + 3$।
$0 \le |z + 1| \le 6$।
अतः,महत्तम मान $6$ और न्यूनतम मान $0$ है।

(D) माना $z = x + iy$ है। तब $\frac{z - 1}{z + 1} = \frac{(x - 1) + iy}{(x + 1) + iy}$ है।
हर के संयुग्मी $(x + 1) - iy$ से अंश और हर को गुणा करने पर:
$\frac{z - 1}{z + 1} = \frac{((x - 1) + iy)((x + 1) - iy)}{(x + 1)^2 + y^2} = \frac{(x^2 + y^2 - 1) + i(2y)}{(x + 1)^2 + y^2}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि आयाम $\frac{\pi}{4}$ है,इसलिए $\tan(\frac{\pi}{4}) = \frac{\text{काल्पनिक भाग}}{\text{वास्तविक भाग}} = \frac{2y}{x^2 + y^2 - 1}$ है।
चूंकि $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$,इसलिए $1 = \frac{2y}{x^2 + y^2 - 1}$ है।
अतः,$x^2 + y^2 - 1 = 2y$,जिसे सरल करने पर $x^2 + y^2 - 2y = 1$ प्राप्त होता है।

(A) माना सम्मिश्र संख्याएँ $z_1, z_2, z_3$ एक समबाहु त्रिभुज $ABC$ के शीर्षों $A, B, C$ को निरूपित करती हैं।
चूँकि $|z_1| = |z_2| = |z_3|$ है,मूल बिंदु $O$ सभी शीर्षों $A, B, C$ से समान दूरी पर है।
इसका अर्थ है कि मूल बिंदु $O$ समबाहु त्रिभुज $ABC$ का परिकेंद्र है।
एक समबाहु त्रिभुज के लिए,परिकेंद्र,केंद्रक और लंबकेंद्र एक ही बिंदु पर स्थित होते हैं।
यदि $G$ केंद्रक है,तो $G = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}$ होगा।
चूँकि केंद्रक $G$ परिकेंद्र $O$ (जो मूल बिंदु $0$ है) के साथ संपाती है,इसलिए $\frac{z_1 + z_2 + z_3}{3} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$z_1 + z_2 + z_3 = 0$।

(D) मान लीजिए $F_1$ बिंदु $(1, -1)$ है और $F_2$ बिंदु $(2, 1)$ है।
दिया गया समीकरण $|z - F_1| - |z - F_2| = 3$ है,जो दो निश्चित बिंदुओं से दूरी का अंतर दर्शाता है।
नाभियों $F_1$ और $F_2$ के बीच की दूरी $d = |F_1F_2| = \sqrt{(2 - 1)^2 + (1 - (-1))^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ है।
$|PF_1 - PF_2| = 2a$ द्वारा परिभाषित अतिपरवलय के लिए,शर्त $2a < d$ पूरी होनी चाहिए,जहाँ $2a$ अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई है।
यहाँ,$2a = 3$ और $d = \sqrt{5} \approx 2.236$ है।
चूंकि $3 > \sqrt{5}$,इसलिए शर्त $2a < d$ का पालन नहीं होता है।
अतः,आर्गंड समतल में ऐसा कोई बिंदु $z$ मौजूद नहीं है जो दिए गए समीकरण को संतुष्ट करता हो।

(D) दिया गया है $x + iy = \sqrt{\phi + i\psi}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x + iy)^2 = \phi + i\psi$ प्राप्त होता है।
$x^2 - y^2 + 2xyi = \phi + i\psi$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,$x^2 - y^2 = \phi$ और $2xy = \psi$ प्राप्त होता है।
ये आयताकार अतिपरवलय के दो परिवारों का प्रतिनिधित्व करते हैं।
माना $f(x, y) = x^2 - y^2 - \phi = 0$ और $g(x, y) = 2xy - \psi = 0$.
पहले वक्र का प्रवणता $\nabla f = (2x, -2y)$ है और दूसरे वक्र का प्रवणता $\nabla g = (2y, 2x)$ है।
प्रवणताओं का डॉट गुणनफल $(2x)(2y) + (-2y)(2x) = 4xy - 4xy = 0$ है।
चूंकि डॉट गुणनफल $0$ है,वक्र लंबकोणीय हैं,जिसका अर्थ है कि वे $\frac{\pi}{2}$ के कोण पर प्रतिच्छेद करते हैं।

(C) हमें $|z| < 2$ दिया गया है। हमें $|iz + 6 - 8i|$ का अधिकतम मान ज्ञात करना है।
त्रिभुज असमिका $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ का उपयोग करने पर:
$|iz + 6 - 8i| = |iz - (8i - 6)| \leq |iz| + |6 - 8i|$.
चूंकि $|iz| = |i| |z| = 1 \cdot |z| < 2$ और $|6 - 8i| = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.
अतः,$|iz + 6 - 8i| < 2 + 10 = 12$.
जैसे-जैसे $|z|$,$2$ के निकट पहुँचता है,$|iz + 6 - 8i|$ का मान $12$ के निकट पहुँचता है।

(B) दिया गया है कि $w_k = e^{i \frac{k\pi}{11}}$.
ध्यान दें कि $|w_{m} - w_{n}| = |e^{i \frac{m\pi}{11}} - e^{i \frac{n\pi}{11}}| = |e^{i \frac{(m-n)\pi}{11}} - 1| = 2 |\sin \frac{(m-n)\pi}{22}|$.
अंश के लिए: $\sum_{k=1}^8 |w_{2k+1} - w_{2k}| = \sum_{k=1}^8 |e^{i \frac{\pi}{11}} - 1| = 8 |e^{i \frac{\pi}{11}} - 1|$.
हर के लिए: $\sum_{k=1}^4 |w_{3k-1} - w_{3k-2}| = \sum_{k=1}^4 |e^{i \frac{\pi}{11}} - 1| = 4 |e^{i \frac{\pi}{11}} - 1|$.
अतः,अनुपात $\frac{8 |e^{i \frac{\pi}{11}} - 1|}{4 |e^{i \frac{\pi}{11}} - 1|} = \frac{8}{4} = 2$ है।

(A) दिया गया है कि $\left| \frac{z - 1}{z - 4} \right| = 2$ और $\left| \frac{w - 4}{w - 1} \right| = 2$ है।
दी गई आकृति से,$z$ और $w$ के बिंदु वृत्तों को दर्शाते हैं।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = 4$ है और दोनों वृत्तों की त्रिज्या $r_1 = 2$ और $r_2 = 2$ है।
अतः,$|z - w|_{\max} = d + r_1 + r_2 = 4 + 2 + 2 = 8$ है।
और $|z - w|_{\min} = |d - (r_1 + r_2)| = |4 - (2 + 2)| = 0$ है।
इसलिए,$|z - w|_{\max} + |z - w|_{\min} = 8 + 0 = 8$ है।

(A) माना $z = x + iy$ है। दी गई रेखा $z = -i \bar{z}$ है।
$z = x + iy$ और $\bar{z} = x - iy$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x + iy = -i(x - iy) = -ix - i^2y = -ix + y$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर,हमें $x = y$ और $y = -x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x + y = 0$.
हमें रेखा $x + y = 0$ में बिंदु $(3, 2)$ का प्रतिबिंब ज्ञात करना है।
माना प्रतिबिंबित बिंदु $(\alpha, \beta)$ है।
$(3, 2)$ और $(\alpha, \beta)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्यबिंदु रेखा $x + y = 0$ पर स्थित है:
$\frac{\alpha + 3}{2} + \frac{\beta + 2}{2} = 0 \Rightarrow \alpha + \beta + 5 = 0$.
$(3, 2)$ और $(\alpha, \beta)$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $x + y = 0$ की ढाल (जो $-1$ है) के लंबवत होनी चाहिए:
$\frac{\beta - 2}{\alpha - 3} = 1$ $\Rightarrow \beta - 2 = \alpha - 3$ $\Rightarrow \beta = \alpha - 1$.
$\beta = \alpha - 1$ को $\alpha + \beta + 5 = 0$ में रखने पर:
$\alpha + (\alpha - 1) + 5 = 0$ $\Rightarrow 2\alpha + 4 = 0$ $\Rightarrow \alpha = -2$.
अतः $\beta = -2 - 1 = -3$.
प्रतिबिंबित बिंदु $(-2, -3)$ है,जो सम्मिश्र संख्या $(-2 - 3i)$ के अनुरूप है।

(D) दिया गया है कि $z_1$ और $z_2$ समीकरण $z^2 + az + b = 0$ के मूल हैं,इसलिए $z_1 + z_2 = -a$ और $z_1 z_2 = b$ है।
चूंकि $OA = OB$ और उनके बीच का कोण $\alpha$ है,हम $z_2 = z_1 e^{i \alpha}$ लिख सकते हैं।
अतः $\frac{z_2}{z_1} = e^{i \alpha}$ प्राप्त होता है।
अब,$\frac{a^2}{b} = \frac{(z_1 + z_2)^2}{z_1 z_2} = \frac{z_1^2 + z_2^2 + 2z_1 z_2}{z_1 z_2} = \frac{z_1}{z_2} + \frac{z_2}{z_1} + 2$ है।
$\frac{z_2}{z_1} = e^{i \alpha}$ रखने पर,$\frac{a^2}{b} = e^{-i \alpha} + e^{i \alpha} + 2 = 2 \cos \alpha + 2$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $1 + \cos \alpha = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$ का उपयोग करने पर,$\frac{a^2}{b} = 2(1 + \cos \alpha) = 2(2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}) = 4 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$a^2 = 4b \cos^2 \frac{\alpha}{2}$ है।
इसे $a^2 = \lambda b \cos^2 \frac{\alpha}{2}$ से तुलना करने पर,$\lambda = 4$ प्राप्त होता है।

(B) दिए गए द्विघात समीकरण $3z^2 + 3z + b = 0$ के लिए,मूलों $z_1$ और $z_2$ का योग और गुणनफल है:
$z_1 + z_2 = -\frac{3}{3} = -1$
$z_1 z_2 = \frac{b}{3}$
तीन सम्मिश्र संख्याओं $z_1, z_2, z_3$ के समबाहु त्रिभुज बनाने की शर्त $z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1$ है।
यहाँ,शीर्ष $z_1, z_2$ और मूल बिंदु $z_3 = 0$ हैं।
शर्त में $z_3 = 0$ रखने पर:
$z_1^2 + z_2^2 + 0^2 = z_1 z_2 + z_2(0) + (0)z_1$
$z_1^2 + z_2^2 = z_1 z_2$
दोनों पक्षों में $z_1 z_2$ जोड़ने पर:
$(z_1 + z_2)^2 - 2z_1 z_2 = z_1 z_2$
$(z_1 + z_2)^2 = 3z_1 z_2$
मूलों के योग और गुणनफल के मान रखने पर:
$(-1)^2 = 3 \left(\frac{b}{3}\right)$
$1 = b$
अतः,$b$ का मान $1$ है।

(A) दिया गया है $\mu = \frac{2z + 5i}{z - 3}$ और $|\mu| = 2$ है।
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर: $\left| \frac{2z + 5i}{z - 3} \right| = 2$ है।
इसका अर्थ है $|2z + 5i| = 2|z - 3|$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $|2z + 5i|^2 = 4|z - 3|^2$ है।
मान लीजिए $z = x + iy$ है। तब $|2(x + iy) + 5i|^2 = 4|x + iy - 3|^2$ है।
$|2x + i(2y + 5)|^2 = 4|(x - 3) + iy|^2$ है।
$(2x)^2 + (2y + 5)^2 = 4((x - 3)^2 + y^2)$ है।
$4x^2 + 4y^2 + 20y + 25 = 4(x^2 - 6x + 9 + y^2)$ है।
$4x^2 + 4y^2 + 20y + 25 = 4x^2 - 24x + 36 + 4y^2$ है।
$20y + 25 = -24x + 36$ है।
$24x + 20y - 11 = 0$ है।
यह एक सरल रेखा का समीकरण है।

(B) $\text{Arg}\left(\frac{z+i}{z-i}\right) = \frac{2\pi}{3}$ को संतुष्ट करने वाले $z$ का बिंदु-पथ एक वृत्त का चाप है।
माना $z = x + iy$ है। बिंदु $A(0, -1)$ और $B(0, 1)$ स्थिर हैं।
चाप पर किसी भी बिंदु $z$ पर जीवा $AB$ द्वारा बनाया गया कोण $\alpha = \frac{2\pi}{3}$ है।
वृत्त का केंद्र वास्तविक अक्ष पर $C\left(-\cot\left(\frac{2\pi}{3}\right), 0\right) = C\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}, 0\right)$ पर स्थित है।
त्रिज्या $R = \frac{AB}{2\sin(\alpha)} = \frac{2}{2\sin(2\pi/3)} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ है।
वृत्तीय खंड का क्षेत्रफल $\frac{1}{2}R^2(\theta - \sin \theta)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ केंद्रीय कोण है।
केंद्रीय कोण $\theta = 2(\pi - \alpha) = 2(\pi - 2\pi/3) = 2\pi/3$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 \left(\frac{2\pi}{3} - \sin\left(\frac{2\pi}{3}\right)\right) = \frac{2}{3} \left(\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{4\pi}{9} - \frac{1}{\sqrt{3}}$।

(C) माना त्रिभुज $\triangle Z_1 Z_2 Z_3$ है। दिया गया है कि $|z_1 - z_2| = |z_1 - z_3|$,अतः त्रिभुज समद्विबाहु है।
माना $M$ आधार $Z_2 Z_3$ का मध्यबिंदु है। $M$ को निरूपित करने वाली सम्मिश्र संख्या $z_M = \frac{z_2 + z_3}{2}$ है।
समद्विबाहु त्रिभुज में,शीर्ष $Z_1$ से आधार $Z_2 Z_3$ पर खींची गई माध्यिका आधार पर लंब होती है।
अतः,सदिश $Z_1 - M$ सदिश $Z_3 - Z_2$ पर लंब है।
सम्मिश्र संख्या $z_1 - z_M = \frac{2z_1 - z_2 - z_3}{2}$ बिंदु $M$ से $Z_1$ तक के सदिश को दर्शाती है।
सदिश $z_3 - z_2$ आधार $Z_2 Z_3$ को दर्शाता है।
चूंकि माध्यिका आधार पर लंब है,इसलिए इन दो सम्मिश्र संख्याओं के अनुपात का कोणांक (argument) $\pm \frac{\pi}{2}$ होगा।
अतः,$\arg \left( \frac{2z_1 - z_2 - z_3}{z_3 - z_2} \right) = \pm \frac{\pi}{2}$.

(A) दिया गया है $|z_1| = 2$,$|z_2| = 3$,$|z_3| = 4$ और $|2z_1 + 3z_2 + 4z_3| = 9$.
हम जानते हैं कि किसी भी सम्मिश्र संख्या $z$ के लिए,$z\bar{z} = |z|^2$,इसलिए $\bar{z} = \frac{|z|^2}{z}$.
व्यंजक $|8z_2z_3 + 27z_3z_1 + 64z_1z_2|$ पर विचार करें।
व्यंजक से $z_1z_2z_3$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$|z_1z_2z_3| \left| \frac{8}{z_1} + \frac{27}{z_2} + \frac{64}{z_3} \right|$.
चूंकि $|z_1|=2, |z_2|=3, |z_3|=4$,इसलिए $|z_1|^2=4, |z_2|^2=9, |z_3|^2=16$ है।
$8 = 2|z_1|^2$,$27 = 3|z_2|^2$,और $64 = 4|z_3|^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$|z_1z_2z_3| \left| \frac{2|z_1|^2}{z_1} + \frac{3|z_2|^2}{z_2} + \frac{4|z_3|^2}{z_3} \right| = |z_1z_2z_3| |2\bar{z}_1 + 3\bar{z}_2 + 4\bar{z}_3|$.
चूंकि $|z| = |\bar{z}|$,इसलिए $|2\bar{z}_1 + 3\bar{z}_2 + 4\bar{z}_3| = |\overline{2z_1 + 3z_2 + 4z_3}| = |2z_1 + 3z_2 + 4z_3| = 9$.
अतः,मान $|z_1| |z_2| |z_3| \times 9 = 2 \times 3 \times 4 \times 9 = 216$ है।

(A) प्रतिबंध $\arg \left( \frac{z - z_1}{z_2 - z} \right) = \frac{\pi}{2}$ यह दर्शाता है कि $z_1$ और $z_2$ को जोड़ने वाले रेखाखंड द्वारा $z$ पर बनाया गया कोण $\frac{\pi}{2}$ है।
इसका अर्थ है कि $z$ एक ऐसे वृत्त पर स्थित है जिसका व्यास $z_1z_2$ है।
वृत्त का केंद्र $C$,$z_1$ और $z_2$ का मध्यबिंदु है:
$C = \frac{z_1 + z_2}{2} = \frac{(6 + i) + (4 - 3i)}{2} = \frac{10 - 2i}{2} = 5 - i$.
वृत्त की त्रिज्या $r$,$z_1$ और $z_2$ के बीच की दूरी की आधी है:
$r = \frac{|z_1 - z_2|}{2} = \frac{|(6 + i) - (4 - 3i)|}{2} = \frac{|2 + 4i|}{2} = |1 + 2i| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$.
अतः,वृत्त का समीकरण $|z - C| = r$ है,जो $|z - (5 - i)| = \sqrt{5}$ है।

(B) दिया गया है $z = \frac{3}{2 + \cos \theta + i \sin \theta}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$2 + \cos \theta + i \sin \theta = \frac{3}{z}$ प्राप्त होता है।
$\cos \theta + i \sin \theta = \frac{3}{z} - 2 = \frac{3 - 2z}{z}$.
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर,$|\cos \theta + i \sin \theta| = \left| \frac{3 - 2z}{z} \right|$.
चूंकि $|\cos \theta + i \sin \theta| = 1$,इसलिए $1 = \frac{|3 - 2z|}{|z|}$,जिसका अर्थ है $|z| = |3 - 2z|$.
माना $z = x + iy$. तब $|x + iy| = |3 - 2(x + iy)| = |(3 - 2x) - i(2y)|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2 + y^2 = (3 - 2x)^2 + (-2y)^2$.
$x^2 + y^2 = 9 - 12x + 4x^2 + 4y^2$.
$3x^2 + 3y^2 - 12x + 9 = 0$.
$3$ से भाग देने पर: $x^2 + y^2 - 4x + 3 = 0$.
यह एक वृत्त का समीकरण है जिसका केंद्र $(2, 0)$ है,जो $x$-अक्ष पर स्थित है।

(A) माना $z = x + iy$.
तब,$\frac{2z + 1}{iz + 1} = \frac{(2x + 1) + 2iy}{(1 - y) + ix}$.
हर के संयुग्मी से गुणा करने पर:
काल्पनिक भाग $\frac{2y(1 - y) - x(2x + 1)}{(1 - y)^2 + x^2} = -3$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर $x^2 + y^2 - x - 4y + 3 = 0$ प्राप्त होता है।
यह एक वृत्त का समीकरण है।

(A) दिया गया है $|z_1|=1, |z_2|=2, |z_3|=3$.
इसका अर्थ है $|z_1|^2 = 1 \Rightarrow z_1 \bar{z}_1 = 1$,$|z_2|^2 = 4 \Rightarrow z_2 \bar{z}_2 = 4$,और $|z_3|^2 = 9 \Rightarrow z_3 \bar{z}_3 = 9$.
हमें $|9z_1z_2 + 4z_1z_3 + z_2z_3| = 12$ दिया गया है।
मान $9 = z_3 \bar{z}_3$,$4 = z_2 \bar{z}_2$,और $1 = z_1 \bar{z}_1$ को व्यंजक में रखने पर:
$|z_3 \bar{z}_3 z_1 z_2 + z_2 \bar{z}_2 z_1 z_3 + z_1 \bar{z}_1 z_2 z_3| = 12$.
$|z_1 z_2 z_3|$ को बाहर निकालने पर:
$|z_1 z_2 z_3| |\bar{z}_3 + \bar{z}_2 + \bar{z}_1| = 12$.
चूंकि $|z_1 z_2 z_3| = |z_1| |z_2| |z_3| = 1 \times 2 \times 3 = 6$,इसलिए:
$6 |\bar{z}_1 + \bar{z}_2 + \bar{z}_3| = 12$.
$|\bar{z}_1 + \bar{z}_2 + \bar{z}_3| = 2$.
चूंकि $|\bar{z}| = |z|$,इसलिए $|z_1 + z_2 + z_3| = 2$ प्राप्त होता है।

(B) माना $z = x + iy$ है। समीकरण $z + \overline{z} = 2|z - 1|$ का रूप $2x = 2\sqrt{(x-1)^2 + y^2}$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2 = (x-1)^2 + y^2$,जो सरल होकर $y^2 = 2x - 1$ प्राप्त होता है।
माना $z_1 = x_1 + iy_1$ और $z_2 = x_2 + iy_2$ है। $y^2 = 2x - 1$ के कारण,हम $z$ को $z = \frac{t^2 + 1}{2} + it$ के रूप में लिख सकते हैं।
तब $z_1 - z_2 = \frac{t_1^2 - t_2^2}{2} + i(t_1 - t_2) = \frac{(t_1 - t_2)(t_1 + t_2)}{2} + i(t_1 - t_2)$ है।
दिया गया है कि $\arg(z_1 - z_2) = \frac{\pi}{3}$,इसलिए $\tan(\frac{\pi}{3}) = \frac{t_1 - t_2}{\frac{(t_1 - t_2)(t_1 + t_2)}{2}} = \frac{2}{t_1 + t_2} = \sqrt{3}$ है।
अतः,$t_1 + t_2 = \frac{2}{\sqrt{3}}$ है।
चूँकि $\text{Im}(z_1 + z_2) = t_1 + t_2$,इसलिए मान $\frac{2}{\sqrt{3}} = \csc \frac{\pi}{3}$ है।

(C) दिया गया है $|z - \omega| = |z + \omega|$.
यह $z$ का बिंदु पथ $\omega$ और $-\omega$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक दर्शाता है।
चूंकि $\omega = e^{i2\pi/3} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$,बिंदु $\omega$ और $-\omega = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$ हैं।
$\omega$ और $-\omega$ को जोड़ने वाला रेखाखंड मूल बिंदु से गुजरता है और धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $120^{\circ}$ (या $2\pi/3$) का कोण बनाता है।
इस रेखाखंड का लंब समद्विभाजक मूल बिंदु से गुजरता है और धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $120^{\circ} + 90^{\circ} = 210^{\circ}$ या $120^{\circ} - 90^{\circ} = 30^{\circ}$ (अर्थात $\frac{\pi}{6}$) का कोण बनाता है।
अतः,$arg(z) = \frac{\pi}{6}$ या $arg(z) = \frac{7\pi}{6}$।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही मान $\frac{\pi}{6}$ है।

(B) माना $z = x + iy$. तब $|z|^2 = x^2 + y^2$,$z + \bar{z} = 2x$,और $z - \bar{z} = 2iy$.
समीकरण में मान रखने पर: $x^2 + y^2 - 2x + i(2iy) + 2 = 0$.
$x^2 + y^2 - 2x - 2y + 2 = 0$.
$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 0$.
चूंकि $x$ और $y$ वास्तविक हैं,इसलिए $x - 1 = 0$ और $y - 1 = 0$.
अतः,$x = 1$ और $y = 1$.
इसलिए,$z = 1 + i$ हल है।

(D) माना प्रारंभिक बिंदु $P = \alpha + i\beta$ है।
$(I)$ $\text{amp}(z) = \frac{\pi}{4}$ के सापेक्ष $z = x + iy$ का परावर्तन $z' = i\bar{z} = y + ix$ है। अतः,$P_1 = \beta + i\alpha$.
$(II)$ $P_1$ को वास्तविक अक्ष पर $\beta$ इकाई स्थानांतरित करने पर $P_2 = 2\beta + i\alpha$ प्राप्त होता है।
$(III)$ $P_2$ को मूल बिंदु के परितः $\frac{\pi}{4}$ कोण पर घुमाने पर $Q = (2\beta + i\alpha) \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}} \right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $Q = -\sqrt{2} + i\sqrt{6}$ दिया गया है:
$2\beta - \alpha = -2$ और $2\beta + \alpha = 2\sqrt{3}$।
हल करने पर,$\beta = \frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ और $\alpha = \sqrt{3} + 1$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) $|z| \leq 4$ की शर्त मूल बिंदु पर केंद्रित और $4$ त्रिज्या वाले वृत्त के अंदर या उसकी सीमा पर स्थित सभी बिंदुओं के समुच्चय को दर्शाती है।
$\operatorname{Arg}(z) = \frac{\pi}{3}$ की शर्त मूल बिंदु से निकलने वाली एक किरण (मूल बिंदु को छोड़कर) को दर्शाती है जो धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ $\frac{\pi}{3}$ का कोण बनाती है।
इन दोनों समुच्चयों का प्रतिच्छेदन उस किरण का वह भाग है जो वृत्त के भीतर स्थित है,जो मूल बिंदु से शुरू होकर $4$ इकाई की दूरी पर वृत्त की सीमा तक फैला हुआ एक रेखाखंड है। यह वृत्त की एक त्रिज्या है।

(B) माना $|z_1| = |z_2| = |z_3| = R = 2$.
माना $a = |z_1 - z_2|$,$b = |z_2 - z_3|$,और $c = |z_3 - z_1|$.
हम जानते हैं कि वृत्त पर स्थित किन्हीं भी सम्मिश्र संख्याओं $z_1, z_2, z_3$ के लिए,व्यंजक $ab + bc + ca$ का मान तब अधिकतम होता है जब बिंदु वृत्त के भीतर एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं।
$R$ त्रिज्या वाले वृत्त में स्थित समबाहु त्रिभुज के लिए,भुजा की लंबाई $s = R\sqrt{3}$ होती है।
यहाँ,$R = 2$,इसलिए $s = 2\sqrt{3}$.
अतः $a = b = c = 2\sqrt{3}$.
व्यंजक $a^2 + a^2 + a^2 = 3a^2$ हो जाता है।
$a = 2\sqrt{3}$ रखने पर,हमें $3(2\sqrt{3})^2 = 3(4 \times 3) = 3(12) = 36$ प्राप्त होता है।
अतः,अधिकतम मान $36$ है।

(C) दिया गया है $|z_1| = 1$ और $|z_2| = 1$।
सम्मिश्र संख्याओं के लिए समांतर चतुर्भुज नियम का उपयोग करने पर: $|z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2 = 2(|z_1|^2 + |z_2|^2)$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(\sqrt{3})^2 + |z_1 - z_2|^2 = 2(1^2 + 1^2)$।
$3 + |z_1 - z_2|^2 = 2(1 + 1)$।
$3 + |z_1 - z_2|^2 = 4$।
$|z_1 - z_2|^2 = 4 - 3 = 1$।
अतः,$|z_1 - z_2| = \sqrt{1} = 1$।

(A) प्रतिबंध $|z - 3| \leq 5$ सम्मिश्र तल में $A = (3, 0)$ केंद्र और $R = 5$ त्रिज्या वाली एक डिस्क को दर्शाता है।
हम $|z - (-3i)|$ का परिसर ज्ञात करना चाहते हैं,जो डिस्क में स्थित बिंदुओं $z$ की बिंदु $C = (0, -3)$ से दूरी को दर्शाता है।
डिस्क के केंद्र $A(3, 0)$ और बिंदु $C(0, -3)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(3 - 0)^2 + (0 - (-3))^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ है।
चूंकि बिंदु $C(0, -3)$ डिस्क के अंदर स्थित है (क्योंकि दूरी $d = 3\sqrt{2} \approx 4.24 < 5$),इसलिए $C$ से डिस्क के किसी भी बिंदु की न्यूनतम दूरी $0$ है।
$C$ से डिस्क के किसी भी बिंदु की अधिकतम दूरी $R + d = 5 + 3\sqrt{2}$ है।
अतः,$|z + 3i|$ का परिसर $[0, 5 + 3\sqrt{2}]$ है।

(A) दी गई शर्त $Arg\left( \frac{\omega - z_1}{z_2 - z_3} \right) = \frac{\pi}{2}$ यह दर्शाती है कि सदिश $(\omega - z_1)$,$(z_2 - z_3)$ के लंबवत है।
इसी प्रकार,$(\omega - z_2) \perp (z_3 - z_1)$ और $(\omega - z_3) \perp (z_1 - z_2)$ है।
यह इंगित करता है कि $\omega$,$z_1, z_2, z_3$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का लंबकेंद्र (orthocentre) है।
मान लीजिए $\Delta = \Delta z_1 z_2 z_3$ है। $\Delta z_1 z_2 z_3$ के परिवृत्त (circumcircle) की त्रिज्या $R_1$ और केंद्र $z_0$ है।
$\Delta z_2 \omega z_3$ के परिवृत्त की त्रिज्या $R_2$ और केंद्र $z'_0$ है।
लंबकेंद्र का एक ज्ञात गुण यह है कि लंबकेंद्र और दो शीर्षों द्वारा निर्मित त्रिभुज की परिवृत्त त्रिज्या,मूल त्रिभुज की परिवृत्त त्रिज्या के बराबर होती है।
अतः,$R_1 = R_2$,जिसका अर्थ है कि $\frac{R_1}{R_2} = 1$।

(D) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(z_1)$,$B(z_2)$,और $C(z_3)$ हैं,जहाँ $z_3 = -\omega z_1 - \omega^2 z_2$ है।
त्रिभुज के समबाहु होने की शर्त $z_1 + \omega z_2 + \omega^2 z_3 = 0$ है।
दिया गया है $z_3 = -\omega z_1 - \omega^2 z_2$,जिसे $z_3 + \omega z_1 + \omega^2 z_2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह शर्त दर्शाती है कि त्रिभुज समबाहु है।

(B) माना $z = x + iy$ है।
तब $iz + 1 = i(x + iy) + 1 = (1 - y) + ix$ और $iz - 1 = i(x + iy) - 1 = -(1 + y) + ix$ है।
व्यंजक $\frac{iz + 1}{iz - 1} = \frac{(1 - y) + ix}{-(1 + y) + ix}$ पर विचार करें।
अंश और हर को हर के संयुग्मी $-(1 + y) - ix$ से गुणा करें।
हर $(-(1 + y))^2 + x^2 = (1 + y)^2 + x^2$ हो जाता है।
अंश का वास्तविक भाग $(1 - y)(-(1 + y)) + x^2 = -(1 - y^2) + x^2 = x^2 + y^2 - 1$ है।
अतः, $\operatorname{Re} \left( \frac{iz + 1}{iz - 1} \right) = \frac{x^2 + y^2 - 1}{x^2 + (y + 1)^2} = 2$ है।
यह $x^2 + y^2 - 1 = 2(x^2 + y^2 + 2y + 1)$ में सरल हो जाता है, जो $x^2 + y^2 - 1 = 2x^2 + 2y^2 + 4y + 2$ है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $x^2 + y^2 + 4y + 3 = 0$ प्राप्त होता है।
यह एक वृत्त का समीकरण $x^2 + (y + 2)^2 = 1$ है।

(A) दिया गया समीकरण $\left| \frac{z - 5i}{z + 5i} \right| = 1$ है।
इसका अर्थ है $|z - 5i| = |z + 5i|$।
माना $z = x + iy$।
समीकरण में $z$ का मान रखने पर: $|x + i(y - 5)| = |x + i(y + 5)|$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^2 + (y - 5)^2 = x^2 + (y + 5)^2$।
वर्गों का विस्तार करने पर: $x^2 + y^2 - 10y + 25 = x^2 + y^2 + 10y + 25$।
समीकरण को सरल करने पर: $-10y = 10y$,जिससे $20y = 0$ प्राप्त होता है,अतः $y = 0$।
समीकरण $y = 0$ वास्तविक अक्ष को दर्शाता है।

(C) मान लीजिए $z = x + iy$ है। समुच्चय $A$ का अर्थ $y \ge 1$ है।
समुच्चय $B$ के लिए,$(x-2)^2 + (y-1)^2 = 9$ है।
समुच्चय $C$ के लिए,$x + y = \sqrt{2}$ है।
इन समीकरणों को हल करने पर,$A \cap B \cap C$ एक बिंदु प्राप्त होता है।
बिंदुओं $z_1 = -1+i$ और $z_2 = 5+i$ के बीच की दूरी $|(5+i) - (-1+i)| = 6$ है।
वृत्त पर स्थित बिंदु के लिए,दूरियों के वर्गों का योग $(6)^2 = 36$ होता है।
अतः,मान $36$ है,जो $35$ और $39$ के बीच स्थित है।

(A) दी गई असमिका $|z - 3i| \le 5$ सम्मिश्र तल में एक डिस्क को दर्शाती है जिसका केंद्र $C = (0, 3)$ और त्रिज्या $R = 5$ है।
हमें $|z - (-2)|$ का न्यूनतम मान ज्ञात करना है,जो बिंदु $z$ और बिंदु $A = (-2, 0)$ के बीच की दूरी को दर्शाता है।
केंद्र $C(0, 3)$ और बिंदु $A(-2, 0)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(0 - (-2))^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$ है।
चूंकि बिंदु $A(-2, 0)$ डिस्क के अंदर स्थित है (क्योंकि $d = \sqrt{13} < 5$),इसलिए $A$ से डिस्क के किसी भी बिंदु $z$ तक की न्यूनतम दूरी $0$ है।

(A) दिया गया समीकरण $|z - (3 + 4i)| = 4$ है।
यह सम्मिश्र तल में एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $C = (3, 4)$ और त्रिज्या $r = 4$ है।
मूल बिंदु से केंद्र की दूरी $|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ है।
वृत्त पर स्थित किसी बिंदु के लिए $|z|$ का अधिकतम मान मूल बिंदु से केंद्र की दूरी और त्रिज्या के योग के बराबर होता है।
$|z|_{max} = |3 + 4i| + 4 = 5 + 4 = 9$.

(B) $|z_1| = 12$ मूल बिंदु $O(0, 0)$ पर केंद्रित और $R_1 = 12$ त्रिज्या वाला एक वृत्त दर्शाता है।
$|z_2 - (3 + 4i)| = 5$ बिंदु $C(3, 4)$ पर केंद्रित और $R_2 = 5$ त्रिज्या वाला एक वृत्त दर्शाता है।
केंद्रों $O$ और $C$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ है।
चूंकि केंद्रों के बीच की दूरी $d = 5$ छोटे वृत्त की त्रिज्या $R_2 = 5$ के बराबर है,इसलिए छोटा वृत्त मूल बिंदु $O$ से होकर गुजरता है।
चूंकि $R_1 = 12$ और $d + R_2 = 5 + 5 = 10 < 12$ है,इसलिए छोटा वृत्त पूरी तरह से बड़े वृत्त के अंदर स्थित है।
दो वृत्तों पर स्थित बिंदुओं के बीच की न्यूनतम दूरी $R_1 - (d + R_2) = 12 - (5 + 5) = 12 - 10 = 2$ है।

(A) छायांकित क्षेत्र $A(-1, 0)$ पर केंद्रित है,जो सम्मिश्र संख्या $z_0 = -1$ के अनुरूप है।
अतः,$A$ से दूरी $|z - (-1)| = |z + 1|$ द्वारा दर्शाई जाती है।
यह क्षेत्र $A$ पर केंद्रित $2$ त्रिज्या वाले वृत्त के बाहर है,इसलिए $|z + 1| > 2$ है।
कोणीय क्षेत्र $A$ से गुजरने वाली उन रेखाओं द्वारा घिरा है जिनका ढाल $\pm 1$ है,जो $\pm \pi/4$ कोण के अनुरूप है।
अतः,कोणांक (argument) की शर्त $|\arg(z + 1)| < \pi/4$ है।
इन दोनों को मिलाने पर,बिंदु पथ $z: |z + 1| > 2, |\arg(z + 1)| < \pi/4$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण $\frac{|3z - i|}{|4z - 2 + 3i|} = K$ है।
हम इसे $\frac{3|z - i/3|}{4|z - (2-3i)/4|} = K$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह सरल होकर $\frac{|z - i/3|}{|z - (1/2 - 3i/4)|} = K \cdot \frac{4}{3}$ हो जाता है।
$\frac{|z - z_1|}{|z - z_2|} = \lambda$ को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं $z$ का बिंदुपथ एक सीधी रेखा तभी होता है जब $\lambda = 1$ हो।
अतः,$K \cdot \frac{4}{3} = 1$,जिससे $K = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।