Geometry of complex numbers Questions in Hindi

(C) दिया गया है $w = \frac{\sqrt{3} + i}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = e^{i\pi/6}$.
अतः, $P = \{e^{in\pi/6} : n = 1, 2, 3, \ldots\}$.
$H_1 = \{z : \operatorname{Re}(z) > 1/2\}$. $z = e^{in\pi/6} = \cos(n\pi/6) + i \sin(n\pi/6)$ के लिए, $\operatorname{Re}(z) = \cos(n\pi/6) > 1/2$ का अर्थ है $n\pi/6 \in (0, \pi/3) \cup (5\pi/3, 2\pi)$. $n \in Z^+$ के लिए, इससे $n = 1$ $(z_1 = e^{i\pi/6} = \frac{\sqrt{3}+i}{2})$ और $n = 11$ $(z_1 = e^{i11\pi/6} = \frac{\sqrt{3}-i}{2})$ प्राप्त होते हैं।
$H_2 = \{z : \operatorname{Re}(z) < -1/2\}$. $\operatorname{Re}(z) = \cos(n\pi/6) < -1/2$ का अर्थ है $n\pi/6 \in (2\pi/3, 4\pi/3)$. $n \in Z^+$ के लिए, इससे $n = 5$ $(z_2 = e^{i5\pi/6} = \frac{-\sqrt{3}+i}{2})$ और $n = 7$ $(z_2 = e^{i7\pi/6} = \frac{-\sqrt{3}-i}{2})$ प्राप्त होते हैं।
संभावित कोण $\angle z_1 O z_2$ कोणांकों का अंतर है: $|\arg(z_1) - \arg(z_2)|$.
$z_1$ के लिए संभावित कोणांक $\pm \pi/6$ हैं। $z_2$ के लिए संभावित कोणांक $\pm 5\pi/6$ हैं।
अंतर $|5\pi/6 - \pi/6| = 4\pi/6 = 2\pi/3$, $|-5\pi/6 - \pi/6| = |-\pi| = \pi$, $|5\pi/6 - (-\pi/6)| = \pi$, और $|-5\pi/6 - (-\pi/6)| = |-4\pi/6| = 2\pi/3$ हैं।
अतः, संभावित मान $2\pi/3$ और $\pi$ हैं। विकल्पों के साथ तुलना करने पर, $2\pi/3$ मौजूद है।

(B,C) $1.$ $S_1$ मूल बिंदु पर केंद्रित $r=4$ त्रिज्या वाले वृत्त के आंतरिक भाग को दर्शाता है।
$S_2: \operatorname{Im}[\frac{(x-1)+i(y+\sqrt{3})}{1-\sqrt{3} i} \cdot \frac{1+\sqrt{3} i}{1+\sqrt{3} i}] > 0 \implies \operatorname{Im}[\frac{(x-1+i(y+\sqrt{3}))(1+\sqrt{3} i)}{4}] > 0$
$\implies (x-1)\sqrt{3} + (y+\sqrt{3}) > 0 \implies \sqrt{3}x + y > 0$.
$S_3: x > 0$.
क्षेत्र $S$,डिस्क $x^2+y^2 < 16$,अर्ध-समतल $y > -\sqrt{3}x$,और अर्ध-समतल $x > 0$ का प्रतिच्छेदन है। यह $\theta = 150^\circ = \frac{5\pi}{6}$ रेडियन कोण वाला एक वृत्तीय सेक्टर बनाता है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{1}{2} \times 16 \times \frac{5\pi}{6} = \frac{20\pi}{3}$.
$2.$ हमें बिंदु $P(1, -3)$ से क्षेत्र $S$ तक की न्यूनतम दूरी ज्ञात करनी है। $S$ की सीमा में $x > 0$ के लिए रेखा $y = -\sqrt{3}x$ शामिल है।
$(1, -3)$ से रेखा $\sqrt{3}x + y = 0$ तक की दूरी $d = \frac{|\sqrt{3}(1) + (-3)|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}} = \frac{|\sqrt{3}-3|}{2} = \frac{3-\sqrt{3}}{2}$ है।

(D) दिया गया है $\alpha_k = e^{i \frac{k \pi}{7}}$.
तब $|\alpha_{k+1} - \alpha_k| = |e^{i \frac{(k+1) \pi}{7}} - e^{i \frac{k \pi}{7}}| = |e^{i \frac{k \pi}{7}}| |e^{i \frac{\pi}{7}} - 1| = |e^{i \frac{\pi}{7}} - 1|$.
अंश $\sum_{k=1}^{12} |e^{i \frac{\pi}{7}} - 1| = 12 |e^{i \frac{\pi}{7}} - 1|$ है।
हर $\sum_{k=1}^3 |e^{i \frac{(4k-1) \pi}{7}} - e^{i \frac{(4k-2) \pi}{7}}| = \sum_{k=1}^3 |e^{i \frac{(4k-2) \pi}{7}}| |e^{i \frac{\pi}{7}} - 1| = 3 |e^{i \frac{\pi}{7}} - 1|$ है।
अतः,अनुपात $\frac{12 |e^{i \frac{\pi}{7}} - 1|}{3 |e^{i \frac{\pi}{7}} - 1|} = \frac{12}{3} = 4$ है।

(A) मान लीजिए $z=x+iy$. वक्र के समीकरण में यह मान रखने पर:
$(x+iy)(1+i)+(x-iy)(1-i)=4$
$x+ix+iy-y+x-ix-iy-y=4$
$2x-2y=4 \implies x-y=2$.
क्षेत्र $|z-3| \leq 1$ एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $(3,0)$ और त्रिज्या $r=1$ है,जो $(x-3)^2+y^2 \leq 1$ है।
रेखा $x-y=2$ वृत्त को $(2,0)$ और $(3,1)$ बिंदुओं पर काटती है।
केंद्र $(3,0)$ से रेखा $x-y-2=0$ की दूरी $d = \frac{|3-0-2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
वृत्तीय खंड का क्षेत्रफल $A_{segment} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$ है।
छोटा क्षेत्रफल $\alpha = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$ और बड़ा क्षेत्रफल $\beta = \pi - (\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}) = \frac{3\pi}{4} + \frac{1}{2}$ है।
अतः $|\alpha-\beta| = \frac{\pi}{2} + 1$.

(A) दिया गया है $\left|\frac{\bar{z}-i}{2 \bar{z}+i}\right|=\frac{1}{3}$.
अंश और हर को $2$ से विभाजित करने पर: $\left|\frac{\bar{z}-i}{2(\bar{z}+i/2)}\right|=\frac{1}{3}$ $\Rightarrow \left|\frac{\bar{z}-i}{\bar{z}+i/2}\right|=\frac{2}{3}$.
मान लीजिए $z = x+iy$,तो $\bar{z} = x-iy$. इसे प्रतिस्थापित करने पर:
$3|x-iy-i| = 2|x-iy+i/2|$
$9(x^2 + (-y-1)^2) = 4(x^2 + (-y+1/2)^2)$
$9(x^2 + y^2 + 2y + 1) = 4(x^2 + y^2 - y + 1/4)$
$9x^2 + 9y^2 + 18y + 9 = 4x^2 + 4y^2 - 4y + 1$
$5x^2 + 5y^2 + 22y + 8 = 0$
$x^2 + y^2 + \frac{22}{5}y + \frac{8}{5} = 0$.
केंद्र $C$ $(0, -11/5)$ है।
$(0,0)$,$(0, -11/5)$ और $(\alpha, 0)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)| = 11$ है।
$\frac{1}{2} |0(-11/5 - 0) + 0(0 - 0) + \alpha(0 - (-11/5))| = 11$.
$\frac{1}{2} |\alpha \cdot \frac{11}{5}| = 11$.
$|\alpha| = 10$.
अतः,$\alpha^2 = 100$.

(D) $|z|=1$ दिया गया है,हम $z = e^{i\theta}$ लिख सकते हैं जहाँ $\theta \in [0, 2\pi)$.
तब $\bar{z} = e^{-i\theta}$.
अतः,$\frac{z}{\bar{z}} = e^{i2\theta}$ और $\frac{\bar{z}}{z} = e^{-i2\theta}$.
दिया गया समीकरण $\left|e^{i2\theta} + e^{-i2\theta}\right| = 1$ है।
ऑयलर के सूत्र का उपयोग करने पर,$e^{i2\theta} + e^{-i2\theta} = 2\cos(2\theta)$.
अतः,$|2\cos(2\theta)| = 1$,जिसका अर्थ है $|\cos(2\theta)| = \frac{1}{2}$.
इसका अर्थ है $\cos(2\theta) = \pm \frac{1}{2}$.
$\theta \in [0, 2\pi)$ के लिए,$2\theta \in [0, 4\pi)$.
यदि $\cos(2\theta) = \frac{1}{2}$ है,तो $2\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{11\pi}{3}$.
यदि $\cos(2\theta) = -\frac{1}{2}$ है,तो $2\theta = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}, \frac{10\pi}{3}$.
$\theta$ के लिए $8$ अलग-अलग मान मिलते हैं,इसलिए ऐसी $8$ सम्मिश्र संख्याएँ $z$ संभव हैं।

(D) दिया है $z_1 = \sqrt{3} + 2\sqrt{2}i$. मापांक $|z_1| = \sqrt{11}$ है।
दिया है $\sqrt{3}|z_2| = |z_1|$,इसलिए $|z_2| = \sqrt{\frac{11}{3}}$.
दिया है $\arg(z_2) - \arg(z_1) = \frac{\pi}{6}$,इसलिए $\angle AOB = \frac{\pi}{6}$.
$\triangle ABO$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |z_1| |z_2| \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{11}{4\sqrt{3}}$.
कोसाइन नियम के अनुसार,$AB^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 - 2|z_1||z_2| \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{11}{3}$.
यहाँ $|z_2| = AB$ है,इसलिए $\triangle ABO$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
तीसरा कोण $\angle ABO = \frac{2\pi}{3}$ है,इसलिए यह एक अधिककोणीय समद्विबाहु त्रिभुज है।

(B) दी गई असमिकाएँ सम्मिश्र समतल में दो डिस्क (वृत्त) दर्शाती हैं:
$|z_1 - (8 + 2i)| \leq 1$ एक डिस्क है जिसका केंद्र $A(8, 2)$ और त्रिज्या $r_1 = 1$ है।
$|z_2 - (2 - 6i)| \leq 2$ एक डिस्क है जिसका केंद्र $B(2, -6)$ और त्रिज्या $r_2 = 2$ है।
केंद्रों $A(8, 2)$ और $B(2, -6)$ के बीच की दूरी:
$d = \sqrt{(8 - 2)^2 + (2 - (-6))^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ है।
इन डिस्क में दो बिंदुओं $z_1$ और $z_2$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d - r_1 - r_2$ द्वारा दी जाती है।
$|z_1 - z_2|_{\text{min}} = 10 - 1 - 2 = 7$।

(A) $z_1, z_2, z_3$ शीर्षों और केंद्रक $z_0$ वाले समबाहु त्रिभुज के लिए,$z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1$ होता है।
केंद्रक $z_0 = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}$ है,जिसका अर्थ है $z_1 + z_2 + z_3 = 3z_0$।
हमें $\sum_{k=1}^3 (z_k - z_0)^2 = (z_1 - z_0)^2 + (z_2 - z_0)^2 + (z_3 - z_0)^2$ का मान ज्ञात करना है।
विस्तार करने पर,$(z_1^2 + z_2^2 + z_3^2) - 2z_0(z_1 + z_2 + z_3) + 3z_0^2$ प्राप्त होता है।
$z_1 + z_2 + z_3 = 3z_0$ रखने पर,$(z_1^2 + z_2^2 + z_3^2) - 6z_0^2 + 3z_0^2 = (z_1^2 + z_2^2 + z_3^2) - 3z_0^2$ प्राप्त होता है।
समबाहु त्रिभुज के लिए $z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = 3z_0^2$ होता है,इसलिए परिणाम $3z_0^2 - 3z_0^2 = 0$ है।

(C) मान लीजिए $z = x + iy$ है।
समुच्चय $A$ के लिए, $|(x - 2) + i(y - 1)| = 3$, जिसका अर्थ है $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$।
समुच्चय $B$ के लिए, $\operatorname{Re}((x + iy) - i(x + iy)) = \operatorname{Re}((x + y) + i(y - x)) = x + y = 2$।
$A$ के समीकरण में $y = 2 - x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(x - 2)^2 + (2 - x - 1)^2 = 9$
$(x - 2)^2 + (1 - x)^2 = 9$
$x^2 - 4x + 4 + 1 - 2x + x^2 = 9$
$2x^2 - 6x - 4 = 0 \implies x^2 - 3x - 2 = 0$।
मूल $x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$ हैं।
चूंकि $y = 2 - x$, बिंदु $z_1 = x_1 + iy_1$ और $z_2 = x_2 + iy_2$ हैं।
$|z|^2 = x^2 + y^2 = x^2 + (2 - x)^2 = 2x^2 - 4x + 4$।
$x^2 = 3x + 2$ का उपयोग करने पर, हमें $|z|^2 = 2(3x + 2) - 4x + 4 = 2x + 8$ प्राप्त होता है।
योग $= (2x_1 + 8) + (2x_2 + 8) = 2(x_1 + x_2) + 16$।
चूंकि $x_1 + x_2 = 3$, योग $= 2(3) + 16 = 22$।

(C) दिया गया है$\operatorname{Re}\left(\frac{z-1}{2z+i}\right)+\operatorname{Re}\left(\frac{\bar{z}-1}{2\bar{z}-i}\right)=2$
चूंकि $\operatorname{Re}(w)=\operatorname{Re}(\bar{w})$, हमारे पास
$\operatorname{Re}\left(\frac{\bar{z}-1}{2\bar{z}-i}\right)=\operatorname{Re}\left(\overline{\left(\frac{\bar{z}-1}{2\bar{z}-i}\right)}\right)=\operatorname{Re}\left(\frac{z-1}{2z+i}\right)$
अतः,$2\operatorname{Re}\left(\frac{z-1}{2z+i}\right)=2 \Rightarrow \operatorname{Re}\left(\frac{z-1}{2z+i}\right)=1$
माना $z=x+iy$. तब
$\frac{z-1}{2z+i}=\frac{(x-1)+iy}{2x+i(2y+1)}=\frac{((x-1)+iy)(2x-i(2y+1))}{4x^2+(2y+1)^2}$
वास्तविक भाग:
$\frac{2x(x-1)+y(2y+1)}{4x^2+(2y+1)^2}=1$
$2x^2-2x+2y^2+y=4x^2+4y^2+4y+1$
$2x^2+2y^2+2x+3y+1=0$
$x^2+y^2+x+\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=0$
मानक समीकरण से तुलना करने पर,
केंद्र $(a,b)=\left(-\frac{1}{2},-\frac{3}{4}\right)$
त्रिज्या का वर्ग:
$r^2=\left(-\frac{1}{2}\right)^2+\left(-\frac{3}{4}\right)^2-\frac{1}{2}$
$=\frac{1}{4}+\frac{9}{16}-\frac{1}{2}$
$=\frac{5}{16}$
अतः, $\frac{15ab}{r^2}=15\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)\cdot\frac{16}{5}=18$

(B) दिया गया है $|x + iy - (1 + 2i)| = 2|x + iy - 3i|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4(x^2 + (y - 3)^2)$ प्राप्त होता है।
पदों का विस्तार करने पर: $x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 4(x^2 + y^2 - 6y + 9)$.
$x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 4x^2 + 4y^2 - 24y + 36$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $3x^2 + 3y^2 + 2x - 20y + 31 = 0$.
$3$ से भाग देने पर: $x^2 + y^2 + \frac{2}{3}x - \frac{20}{3}y + \frac{31}{3} = 0$.
केंद्र $\left(-\frac{1}{3}, \frac{10}{3}\right)$ है।
त्रिज्या $\sqrt{\left(-\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{10}{3}\right)^2 - \frac{31}{3}} = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{100}{9} - \frac{93}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ है।
अतः,कथन $A$ और $D$ सत्य हैं।

(A) दिया गया है $w = \frac{z-1}{z+1}$.
चूँकि $|z|=1$,हम $z = x+iy$ लिख सकते हैं जहाँ $x^2+y^2=1$.
तब $w = \frac{(x-1)+iy}{(x+1)+iy}$.
वास्तविक भाग ज्ञात करने के लिए,अंश और हर को हर के संयुग्मी $(x+1)-iy$ से गुणा करें:
$w = \frac{((x-1)+iy)((x+1)-iy)}{(x+1)^2+y^2} = \frac{(x^2-1) + y^2 + i(y(x+1) - y(x-1))}{(x+1)^2+y^2}$.
$w = \frac{(x^2+y^2-1) + 2iy}{(x+1)^2+y^2}$.
चूँकि $|z|=1$,हमारे पास $x^2+y^2=1$ है,इसलिए $x^2+y^2-1=0$.
अतः,$\operatorname{Re}(w) = \frac{0}{(x+1)^2+y^2} = 0$.

(B) दिए गए कार्तीय निर्देशांक $(x, y) = (-2 \sqrt{3}, 2)$ हैं।
सबसे पहले,मापांक $r$ की गणना करें:
$r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-2 \sqrt{3})^2 + (2)^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$.
चूंकि बिंदु दूसरे चतुर्थांश में स्थित है $(x < 0, y > 0)$,इसलिए कोणांक $\theta$ इस प्रकार होगा:
$\theta = \pi - \tan^{-1} \left| \frac{y}{x} \right| = \pi - \tan^{-1} \left| \frac{2}{-2 \sqrt{3}} \right| = \pi - \tan^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5 \pi}{6}$.
अतः,ध्रुवीय निर्देशांक $(r, \theta) = (4, \frac{5 \pi}{6})$ हैं।

(D) त्रिभुज के शीर्ष $z_1 = i$,$z_2 = \omega$,और $z_3 = \omega^2$ हैं।
हम जानते हैं कि $\omega = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\omega^2 = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
आर्गंड तल में $z_1, z_2, z_3$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\text{Im}(\bar{z_1}z_2 + \bar{z_2}z_3 + \bar{z_3}z_1)|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$z_1 = 0 + i$,$z_2 = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$,$z_3 = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\bar{z_1}z_2 = (-i)(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$.
$\bar{z_2}z_3 = (-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\bar{z_3}z_1 = (-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})(i) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}$.
योग $= (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}) + i(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}) = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
काल्पनिक भाग $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\frac{\sqrt{3}}{2}| = \frac{\sqrt{3}}{4}$ वर्ग इकाई।

(A) माना $z = x + iy$.
समीकरण में मान रखने पर: $|(x+1) + i(y-1)| = |(x-1) + i(y+1)|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x+1)^2 + (y-1)^2 = (x-1)^2 + (y+1)^2$.
पदों का विस्तार करने पर: $x^2 + 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1$.
सरल करने पर: $2x - 2y = -2x + 2y$.
$4x = 4y$,जिसका अर्थ है $y = x$.
समीकरण $y = x$ मूलबिंदु और प्रथम तथा तृतीय चतुर्थांश से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।

(D) दिया गया समीकरण $|z+3|-|z-3|=6$ है।
माना $z = x + iy$ है। बिंदु $z_1 = -3$ और $z_2 = 3$ अतिपरवलय की नाभियाँ हैं।
नाभियों के बीच की दूरी $2c = |3 - (-3)| = 6$ है।
अतिपरवलय की परिभाषा के अनुसार $| |z - z_1| - |z - z_2| | = 2a$ होता है।
यहाँ,$2a = 6$,इसलिए $a = 3$ है।
चूँकि $2a = 2c$ है,इसलिए अतिपरवलय नाभियों को जोड़ने वाले रेखाखंड में बदल जाता है।
विशेष रूप से,$|z+3|-|z-3|=6$ के लिए,शर्त $|z+3| = |z-3| + 6$ यह दर्शाती है कि $z$ को $x$-अक्ष पर $3$ के दाईं ओर स्थित होना चाहिए (अर्थात $x \ge 3$)।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,$|z+3|-|z-3|=6$ द्वारा परिभाषित बिंदुपथ के लिए सबसे उपयुक्त वर्णन $x$-अक्ष पर एक किरण है।

(A) दिया गया है $\left|\frac{z+i}{z-i}\right| = \sqrt{3}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{|z+i|^2}{|z-i|^2} = 3$ प्राप्त होता है।
$z = x + iy$ रखने पर,$|x + i(y+1)|^2 = 3|x + i(y-1)|^2$ प्राप्त होता है।
इसका सरलीकरण $x^2 + (y+1)^2 = 3(x^2 + (y-1)^2)$ है।
$x^2 + y^2 + 2y + 1 = 3(x^2 + y^2 - 2y + 1)$।
$x^2 + y^2 + 2y + 1 = 3x^2 + 3y^2 - 6y + 3$।
$2x^2 + 2y^2 - 8y + 2 = 0$।
$2$ से भाग देने पर,$x^2 + y^2 - 4y + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $x^2 + (y-2)^2 - 4 + 1 = 0$।
$x^2 + (y-2)^2 = 3$।
यह केंद्र $(0, 2)$ और त्रिज्या $\sqrt{3}$ वाला एक वृत्त है।

(D) दिया गया है $\left|\frac{z-1}{z+2i}\right| = 1$.
इसका अर्थ है $|z-1| = |z+2i|$.
$z = x + iy$ प्रतिस्थापित करने पर:
$|x + iy - 1| = |x + iy + 2i|$
$|(x-1) + iy| = |x + i(y+2)|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x-1)^2 + y^2 = x^2 + (y+2)^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + y^2 + 4y + 4$
$-2x + 1 = 4y + 4$
$2x + 4y + 3 = 0$.
यह एक सरल रेखा का समीकरण है।

(B) दिया गया है $z=x+iy$ और $|z+1|=1$।
$z=x+iy$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$|(x+1)+iy|=1$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x+1)^2+y^2=1^2$।
यह वृत्त का मानक समीकरण $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ है,जहाँ केंद्र $(h,k)=(-1,0)$ है और त्रिज्या $r=1$ है।

(B) माना $w = \frac{z-1}{2z+1}$. चूँकि $w$ शुद्ध काल्पनिक है,$w + \overline{w} = 0$.
सरल करने पर,$4z\overline{z} - z - \overline{z} - 2 = 0$.
$z\overline{z} - \frac{1}{4}z - \frac{1}{4}\overline{z} = \frac{1}{2}$.
$(z - \frac{1}{4})(\overline{z} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{16} = \frac{9}{16}$.
$|z - \frac{1}{4}|^2 = (\frac{3}{4})^2$.
अतः,त्रिज्या $\frac{3}{4}$ इकाई है।

(C) प्रारंभिक स्थिति $Z_0 = 1 + 2i$ है।
मूल बिंदु से दूर क्षैतिज रूप से $5$ इकाई चलने पर: $Z_{temp} = (1 + 5) + 2i = 6 + 2i$।
धनात्मक $y$-अक्ष के समानांतर $3$ इकाई ऊपर चलने पर: $Z_1 = 6 + (2 + 3)i = 6 + 5i$।
$Z_1$ से,कण $\hat{i} + \hat{j}$ की दिशा में $\sqrt{2}$ इकाई चलता है। इस दिशा में इकाई सदिश $\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i$ है। अतः,विस्थापन $\sqrt{2} \times (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i) = 1 + i$ है।
नई स्थिति $Z_{1.5} = (6 + 5i) + (1 + i) = 7 + 6i$ है।
अंत में,मूल बिंदु पर केंद्रित वृत्त पर वामावर्त दिशा में $\frac{\pi}{2}$ कोण से घूमने का अर्थ है $e^{i\pi/2} = i$ से गुणा करना।
$Z_2 = (7 + 6i) \times i = 7i + 6i^2 = 7i - 6 = -6 + 7i$।

(D) दिया गया है $\left|\frac{z}{1+i}\right|=2$.
चूँकि $|1+i| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$,इसलिए $|z| = 2|1+i| = 2\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
$z=x+iy$ प्रतिस्थापित करने पर,$|x+iy| = 2\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2+y^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8$ प्राप्त होता है।
यह एक वृत्त $x^2+y^2 = 8$ को निरूपित करता है जिसका केंद्र $C \equiv (0,0)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ है।

(C) दी गई शर्त $|z+1|=1$ है।
समीकरण में $z=x+iy$ प्रतिस्थापित करने पर:
$|x+iy+1|=1$
$|(x+1)+iy|=1$
सम्मिश्र संख्या के मापांक की परिभाषा $|a+ib|=\sqrt{a^2+b^2}$ का उपयोग करने पर:
$\sqrt{(x+1)^2+y^2}=1$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x+1)^2+y^2=1^2$
$(x+1)^2+y^2=1$
यह वृत्त का मानक समीकरण $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ है,जहाँ केंद्र $(h,k)$ और त्रिज्या $r$ है।
समीकरणों की तुलना करने पर,केंद्र $(-1,0)$ और त्रिज्या $1$ इकाई प्राप्त होती है।

(A) दिया गया है,$z\bar{z}^3+\bar{z}z^3=350$
$\Rightarrow z\bar{z}(\bar{z}^2+z^2)=350$
$\Rightarrow |z|^2(x-iy)^2+(x+iy)^2=350$
$\Rightarrow (x^2+y^2)(x^2-y^2-2ixy+x^2-y^2+2ixy)=350$
$\Rightarrow (x^2+y^2)(2x^2-2y^2)=350$
$\Rightarrow 2(x^2+y^2)(x^2-y^2)=350$
$\Rightarrow x^4-y^4=175$
चूंकि $x$ और $y$ पूर्णांक हैं,हम मानों की जाँच करते हैं: $x^4-y^4=(x^2-y^2)(x^2+y^2)=175$।
$x=4, y=3$ के लिए: $4^4-3^4=256-81=175$।
अतः,शीर्ष $(4,3), (-4,3), (-4,-3), (4,-3)$ हैं।
आयत की लंबाई $|4-(-4)|=8$ और चौड़ाई $|3-(-3)|=6$ है।
क्षेत्रफल $= 8 \times 6 = 48 \text{ वर्ग इकाई}$।

(B) दिया गया है $w = \frac{z}{z - \frac{1}{3}i}$.
अंश और हर को $3$ से गुणा करने पर,$w = \frac{3z}{3z - i}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $|w| = 1$,हमारे पास $|\frac{3z}{3z - i}| = 1$ है,जिसका अर्थ है $3|z| = |3z - i|$.
मान लीजिए $z = x + iy$ है। तब $3|x + iy| = |3x + i(3y - 1)|$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$9(x^2 + y^2) = (3x)^2 + (3y - 1)^2$ प्राप्त होता है।
$9x^2 + 9y^2 = 9x^2 + 9y^2 - 6y + 1$.
$6y - 1 = 0$,जो एक सीधी रेखा का समीकरण है।

(C) दी गई असमिका $|z-(2-i)| \leq 2$ सम्मिश्र तल में $2-i$ केंद्र और $r=2$ त्रिज्या वाला एक वृत्त दर्शाती है।
माना $z_0 = 2-i$ है। मूल बिंदु से केंद्र की दूरी $|z_0| = |2-i| = \sqrt{2^2+(-1)^2} = \sqrt{5}$ है।
$|z|$ का अधिकतम मान $|z_0| + r = \sqrt{5} + 2$ है।
$|z|$ का न्यूनतम मान $|z_0| - r = \sqrt{5} - 2$ है।
अधिकतम और न्यूनतम मान के बीच का अंतर $(\sqrt{5} + 2) - (\sqrt{5} - 2) = 4$ है।

(B) दिया गया है कि $(z-2-3i)$ का आयाम $\frac{3\pi}{4}$ है और $z=x+iy$ है।
$z$ का मान रखने पर,$(x-2) + i(y-3)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\text{arg}((x-2) + i(y-3)) = \frac{3\pi}{4}$,इसलिए $\tan^{-1}\left(\frac{y-3}{x-2}\right) = \frac{3\pi}{4}$ है।
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर,$\frac{y-3}{x-2} = \tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -1$।
इसका अर्थ है $y-3 = -(x-2)$,जिसे सरल करने पर $y-3 = -x+2$ प्राप्त होता है।
अतः,$x+y=5$।

(D) माना $z = \frac{(1-i \sqrt{3})(1+i)}{(\sqrt{3}+i)}$.
अंश और हर को हर के संयुग्मी $(\sqrt{3}-i)$ से गुणा करने पर:
$z = \frac{(1-i \sqrt{3})(1+i)(\sqrt{3}-i)}{(\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i)}$
$z = \frac{(1+i-i\sqrt{3}+\sqrt{3})(\sqrt{3}-i)}{4}$
$z = \frac{(1+\sqrt{3}) + i(1-\sqrt{3})}{4} \cdot (\sqrt{3}-i)$
$z = \frac{1}{4} [4 - 4i] = 1 - i$
Argand समतल में $1-i$ बिंदु $(1, -1)$ है।
चूँकि $x$-निर्देशांक धनात्मक है और $y$-निर्देशांक ऋणात्मक है,इसलिए यह बिंदु $IV$ चतुर्थांश में स्थित है।

(B) माना $z = x + iy$.
तब $z^{2} = x^{2} - y^{2} + 2ixy$.
दिया गया है $z^{2} + \overline{z} = 0$,अतः $(x^{2} - y^{2} + 2ixy) + (x - iy) = 0$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग करने पर: $(x^{2} + x - y^{2}) + i(2xy - y) = 0$.
वास्तविक और काल्पनिक भागों को शून्य के बराबर रखने पर:
$x^{2} + x - y^{2} = 0$ $(i)$
$y(2x - 1) = 0$ (ii)
(ii) से,$y = 0$ या $x = 1/2$.
स्थिति $1$: यदि $y = 0$,तो $x^{2} + x = 0 \Rightarrow x(x + 1) = 0$,जिससे $x = 0$ या $x = -1$ प्राप्त होता है। इससे $z = 0$ और $z = -1$ हल मिलते हैं।
स्थिति $2$: यदि $x = 1/2$,तो $(1/2)^{2} + 1/2 - y^{2} = 0$ $\Rightarrow 1/4 + 1/2 = y^{2}$ $\Rightarrow y^{2} = 3/4$ $\Rightarrow y = \pm \sqrt{3}/2$. इससे $z = 1/2 + i\sqrt{3}/2$ और $z = 1/2 - i\sqrt{3}/2$ हल मिलते हैं।
अतः,कुल $4$ हल हैं।

(D) दिया गया है,$z = x + iy$ और $\left|\frac{z-1}{z+2i}\right| = 1$।
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर,$|z-1| = |z+2i|$ प्राप्त होता है।
$z = x + iy$ प्रतिस्थापित करने पर,$|(x-1) + iy| = |x + i(y+2)|$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x-1)^2 + y^2 = x^2 + (y+2)^2$ प्राप्त होता है।
पदों का विस्तार करने पर,$x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + y^2 + 4y + 4$ प्राप्त होता है।
समीकरण को सरल करने पर,$-2x + 1 = 4y + 4$,जो $2x + 4y + 3 = 0$ देता है।
यह एक सरल रेखा का समीकरण है।

(A) माना $z = \sqrt{3}+i$ है। मापांक $|z| = 2$ और कोणांक $\arg(z) = 30^{\circ}$ है।
चूंकि $OPQ$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle POQ = 90^{\circ}$ है,इसलिए $Q$ को $P$ को $90^{\circ}$ के कोण पर दक्षिणावर्त या वामावर्त घुमाकर प्राप्त किया जा सकता है।
यदि हम $+90^{\circ}$ घुमाते हैं,तो $Q$ का कोणांक $30^{\circ} + 90^{\circ} = 120^{\circ}$ होगा। सम्मिश्र संख्या $2(\cos 120^{\circ} + i\sin 120^{\circ}) = -1 + i\sqrt{3}$ होगी।
यदि हम $-90^{\circ}$ घुमाते हैं,तो $Q$ का कोणांक $30^{\circ} - 90^{\circ} = -60^{\circ}$ होगा। सम्मिश्र संख्या $2(\cos(-60^{\circ}) + i\sin(-60^{\circ})) = 1 - i\sqrt{3}$ होगी।
अतः,$Q$ का मान $-1+i\sqrt{3}$ या $1-i\sqrt{3}$ है।

(D) दिया गया है,$z=x+iy$।
समीकरण $|z+1|=|z-1|$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|z+1|^2 = |z-1|^2$ प्राप्त होता है।
$z=x+iy$ प्रतिस्थापित करने पर,$|(x+1)+iy|^2 = |(x-1)+iy|^2$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $(x+1)^2 + y^2 = (x-1)^2 + y^2$।
सरल करने पर,$(x+1)^2 - (x-1)^2 = 0$।
सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करने पर,$(x+1-x+1)(x+1+x-1) = 0$।
$(2)(2x) = 0$,जिससे $4x = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x = 0$।
समीकरण $x=0$ सम्मिश्र तल में $Y$-अक्ष को दर्शाता है।

(B) माना $z_1 = e^{i\alpha}$,$z_2 = e^{i\beta}$,और $z_3 = e^{i\gamma}$ है।
दिया गया है कि $z_1 + 2z_2 + 3z_3 = 0$ है।
यदि $x + y + z = 0$ हो,तो $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ होता है।
अतः,$z_1^3 + (2z_2)^3 + (3z_3)^3 = 3(z_1)(2z_2)(3z_3) = 18z_1 z_2 z_3$ होगा।
घातांकीय रूप में लिखने पर: $e^{i3\alpha} + 8e^{i3\beta} + 27e^{i3\gamma} = 18e^{i(\alpha + \beta + \gamma)}$।
चूंकि $\alpha + \beta + \gamma = \pi$ है,इसलिए $18e^{i\pi} = 18(\cos \pi + i \sin \pi) = -18 + 0i$।
काल्पनिक भाग की तुलना करने पर,$\sin 3 \alpha + 8 \sin 3 \beta + 27 \sin 3 \gamma = 0$ प्राप्त होता है।

(C) माना $\alpha = \sqrt{2}+\sqrt{3} i$ है। चूंकि गुणांक पूर्णांक हैं,इसलिए इसका संयुग्मी $\bar{\alpha} = \sqrt{2}-\sqrt{3} i$ भी एक मूल होगा। इसके अतिरिक्त,चूंकि $\sqrt{2}$ अपरिमेय है,इसलिए $-\sqrt{2}+\sqrt{3} i$ और $-\sqrt{2}-\sqrt{3} i$ भी मूल होंगे।
बहुपद इस प्रकार है:
$(x-(\sqrt{2}+\sqrt{3} i))(x-(\sqrt{2}-\sqrt{3} i))(x-(-\sqrt{2}+\sqrt{3} i))(x-(-\sqrt{2}-\sqrt{3} i)) = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$((x-\sqrt{2})-\sqrt{3} i)((x-\sqrt{2})+\sqrt{3} i) \times ((x+\sqrt{2})-\sqrt{3} i)((x+\sqrt{2})+\sqrt{3} i) = 0$
$((x-\sqrt{2})^2 + 3)((x+\sqrt{2})^2 + 3) = 0$
$(x^2 - 2\sqrt{2}x + 5)(x^2 + 2\sqrt{2}x + 5) = 0$
$(x^2+5)^2 - (2\sqrt{2}x)^2 = 0$
$x^4 + 10x^2 + 25 - 8x^2 = 0$
$x^4 + 2x^2 + 25 = 0$

(A) माना $Z = x + iy$.
तब $Z - 2 = (x - 2) + iy$.
एक सम्मिश्र संख्या $w = a + ib$ का आयाम (argument) $\theta = \tan^{-1}(\frac{b}{a})$ होता है।
दिया गया है कि $\arg(Z - 2) = \frac{\pi}{2}$,इसका अर्थ है कि वास्तविक भाग $0$ होना चाहिए और काल्पनिक भाग धनात्मक होना चाहिए।
इसलिए,$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ और $y > 0$.
अतः,$Z$ का बिंदुपथ ऊर्ध्वाधर रेखा $x = 2$ है जहाँ $y > 0$।

(D) मान लीजिए $z=x+iy$, तब $z^2=(x+iy)^2 = x^2-y^2+i(2xy)$.
$C_1$ के लिए, $\operatorname{Re}(z^2)=x^2-y^2=4$ $(i)$.
$C_2$ के लिए, $\operatorname{Im}(z^2)=2xy=4 \Rightarrow xy=2$ $(ii)$.
$(ii)$ से, $y=\frac{2}{x}$. $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 - (\frac{2}{x})^2 = 4 \Rightarrow x^2 - \frac{4}{x^2} = 4$.
मान लीजिए $t=x^2$ $(t > 0)$: $t - \frac{4}{t} = 4 \Rightarrow t^2 - 4t - 4 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर, $t = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{2}$.
चूंकि $t=x^2 > 0$, इसलिए $t = 2+2\sqrt{2}$ होगा।
अतः, $x^2 = 2+2\sqrt{2}$, जो $x$ के दो वास्तविक मान देता है $(x = \pm \sqrt{2+2\sqrt{2}})$.
प्रत्येक $x$ के लिए, $y = \frac{2}{x}$ का एक अद्वितीय वास्तविक मान प्राप्त होता है।
इसलिए, $2$ उभयनिष्ठ बिंदु हैं।

(C) चूँकि बिंदु $\alpha$ वृत्त $\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2=r^2$ पर स्थित है,इसलिए $|\alpha-z_0|^2=r^2$,जहाँ $z_0=x_0+iy_0$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है $|\alpha|^2+|z_0|^2-(\alpha\bar{z}_0+\bar{\alpha}z_0)=r^2 \quad \ldots (i)$
चूँकि $\frac{1}{\bar{\alpha}}$ वृत्त $\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2=4r^2$ पर स्थित है,इसलिए $|\frac{1}{\bar{\alpha}}-z_0|^2=4r^2$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{|\alpha|^2}+|z_0|^2-(\frac{\alpha\bar{z}_0}{|\alpha|^2}+\frac{\bar{\alpha}z_0}{|\alpha|^2})=4r^2$।
$|\alpha|^2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है $1+|z_0|^2|\alpha|^2-(\alpha\bar{z}_0+\bar{\alpha}z_0)=4r^2|\alpha|^2 \quad \ldots (ii)$
$(i)$ को $(ii)$ से घटाने पर,हमें प्राप्त होता है $(|\alpha|^2-1)|z_0|^2 - (|\alpha|^2-1) = r^2(4|\alpha|^2-1)$।
$(|\alpha|^2-1)(|z_0|^2-1) = r^2(4|\alpha|^2-1)$।
दिया गया है कि $2|z_0|^2=r^2+2$,इसलिए $|z_0|^2-1 = \frac{r^2}{2}$ है।
यह मान रखने पर,$(|\alpha|^2-1)\frac{r^2}{2} = r^2(4|\alpha|^2-1)$।
$r^2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{|\alpha|^2-1}{2} = 4|\alpha|^2-1$।
$|\alpha|^2-1 = 8|\alpha|^2-2$।
$7|\alpha|^2=1 \Rightarrow |\alpha|=\frac{1}{\sqrt{7}}$।

(C) दिया गया समीकरण $\bar{z}z^3+z(\bar{z})^3=700$ है।
चूंकि $z=x+iy$,इसलिए $\bar{z}=x-iy$ और $z\bar{z}=x^2+y^2$ है।
समीकरण को $\bar{z}z(z^2+(\bar{z})^2)=700$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मान रखने पर,$(x^2+y^2)(2(x^2-y^2))=700$ प्राप्त होता है।
अतः $(x^2+y^2)(x^2-y^2)=350$।
$x^2+y^2=25$ और $x^2-y^2=7$ लेने पर,$2x^2=32$ $\Rightarrow x^2=16$ $\Rightarrow x=\pm 4$ और $2y^2=18$ $\Rightarrow y^2=9$ $\Rightarrow y=\pm 3$।
शीर्ष $(\pm 4, \pm 3)$ हैं।
आयत की लंबाई $8$ और चौड़ाई $6$ है।
क्षेत्रफल $= 8 \times 6 = 48$ है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(B) दिया गया है कि $z_1 = 12 + 5i$ और $|z_2| = 9$ है।
सबसे पहले,$z_1$ का मापांक ज्ञात करें:
$|z_1| = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$।
त्रिभुज असमिका के अनुसार,$|z_1 + z_2|$ का मान $||z_1| - |z_2|| \leq |z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ के बीच होता है।
अधिकतम मान $b = |z_1| + |z_2| = 13 + 9 = 22$।
न्यूनतम मान $a = ||z_1| - |z_2|| = |13 - 9| = 4$।
अतः,$a^2 + b^2 = 4^2 + 22^2 = 16 + 484 = 500$।

(D) हमारे पास है,$\frac{z-1}{z+i} = \frac{x+iy-1}{x+i(y+1)}$.
हर के संयुग्मी $x-i(y+1)$ से अंश और हर को गुणा करने पर:
$\frac{(x-1)+iy}{x+i(y+1)} \times \frac{x-i(y+1)}{x-i(y+1)} = \frac{x(x-1) - i(x-1)(y+1) + ixy + y(y+1)}{x^2+(y+1)^2}$.
वास्तविक भाग $\frac{x(x-1)+y(y+1)}{x^2+(y+1)^2}$ है।
दिया गया है कि वास्तविक भाग $1$ है,इसलिए:
$\frac{x^2-x+y^2+y}{x^2+(y+1)^2} = 1$.
$x^2-x+y^2+y = x^2+y^2+2y+1$.
$-x+y = 2y+1$.
$x+y+1 = 0$.
विकल्पों की जाँच करने पर,$(2016, -2017)$ के लिए,$2016 + (-2017) + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $(2016, -2017)$ बिंदुपथ पर स्थित है।

(B) दिया गया है $z = x + iy$,तो $\bar{z} = x - iy$ है।
समीकरण $z^2 = (i \bar{z})^2$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $z^2 = i^2 (\bar{z})^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $i^2 = -1$,इसलिए $z^2 = -(\bar{z})^2$,जिसका अर्थ है $z^2 + (\bar{z})^2 = 0$ है।
$z = x + iy$ और $\bar{z} = x - iy$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(x + iy)^2 + (x - iy)^2 = 0$ प्राप्त होता है।
$(x^2 - y^2 + 2ixy) + (x^2 - y^2 - 2ixy) = 0$ है।
$2(x^2 - y^2) = 0$ है।
$x^2 - y^2 = 0$ है।
$x^2 = y^2$,जिसका अर्थ है $y = \pm x$ है।

(C) दिया गया है कि $z_1$ और $z_2$ समीकरण $Z^2+pZ+q=0$ के मूल हैं,इसलिए $z_1+z_2 = -p$ और $z_1z_2 = q$ है।
चूंकि $OA=OB$,इसलिए $|z_1| = |z_2|$ है।
मान लीजिए $z_1 = re^{i\theta_1}$ और $z_2 = re^{i\theta_2}$ है।
$\angle AOB = \alpha$ दिया गया है,इसलिए $|\theta_1 - \theta_2| = \alpha$ है।
अतः $z_1/z_2 = e^{i(\theta_1-\theta_2)} = e^{\pm i\alpha}$ है।
$z_1+z_2 = -p$ से,$p^2 = (z_1+z_2)^2 = z_1^2 + z_2^2 + 2z_1z_2$ है।
साथ ही $p^2 - 4q = (z_1-z_2)^2$ है।
अतः $p^2 = 4q + (z_1-z_2)^2 = 4q + z_2^2(z_1/z_2 - 1)^2$ है।
$z_1/z_2 = e^{i\alpha}$ का उपयोग करने पर,$p^2 = 4q + z_2^2(e^{i\alpha}-1)^2 = 4q + z_2^2 e^{i\alpha}(e^{i\alpha/2} - e^{-i\alpha/2})^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $z_1z_2 = q$,इसलिए $z_2^2 e^{i\alpha} = z_1z_2 = q$ है।
अतः $p^2 = 4q + q(2i \sin(\alpha/2))^2 = 4q - 4q \sin^2(\alpha/2) = 4q \cos^2(\alpha/2)$ है।

(A) आर्गंड समतल में रेखा का समीकरण $a \bar{z} + \bar{a} z + b = 0$ द्वारा दिया गया है।
बिंदु $z_0$ से रेखा $a \bar{z} + \bar{a} z + b = 0$ की लंबवत दूरी का सूत्र $d = \frac{|a \bar{z_0} + \bar{a} z_0 + b|}{2|a|}$ है।
यहाँ $z_0 = c$ रखने पर,हमें दूरी $d = \frac{|a \bar{c} + \bar{a} c + b|}{2|a|}$ प्राप्त होती है।

(B) माना $z = x + iy$ है। तब $|z| = \sqrt{x^2 + y^2} = 4$,जिससे $x^2 + y^2 = 16$ प्राप्त होता है।
त्रिभुज के शीर्ष $A = z$,$B = iz$ और $C = z + iz$ हैं।
चूँकि $z$ और $iz$ के बीच का कोण $90^\circ$ है,यह एक समकोण त्रिभुज है।
दोनों भुजाओं की लंबाई $|z| = 4$ और $|iz| = 4$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$ वर्ग इकाई।

(B) दिया गया है,$|z^2-1|=|z|^2+1$. \\ मान लीजिए $z=x+iy$. \\ तब,$|(x+iy)^2-1| = |x+iy|^2+1$. \\ $|x^2-y^2+2ixy-1| = x^2+y^2+1$. \\ $|(x^2-y^2-1)+i(2xy)| = x^2+y^2+1$. \\ दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: \\ $(x^2-y^2-1)^2 + (2xy)^2 = (x^2+y^2+1)^2$. \\ $(x^2-y^2)^2 + 1 - 2(x^2-y^2) + 4x^2y^2 = (x^2+y^2)^2 + 1 + 2(x^2+y^2)$. \\ $x^4+y^4-2x^2y^2 + 1 - 2x^2+2y^2 + 4x^2y^2 = x^4+y^4+2x^2y^2 + 1 + 2x^2+2y^2$. \\ समीकरण को सरल करने पर: \\ $-2x^2 = 2x^2$. \\ $4x^2 = 0 \implies x=0$. \\ चूंकि $x=0$,इसलिए $z$ काल्पनिक अक्ष पर स्थित है।

(A) हमें $|z_1+z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2$ दिया गया है।
$|z|^2 = z \bar{z}$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए:
$(z_1+z_2)(\bar{z_1}+\bar{z_2}) = z_1 \bar{z_1} + z_2 \bar{z_2}$.
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर:
$z_1 \bar{z_1} + z_1 \bar{z_2} + z_2 \bar{z_1} + z_2 \bar{z_2} = z_1 \bar{z_1} + z_2 \bar{z_2}$.
दोनों पक्षों से $|z_1|^2$ और $|z_2|^2$ घटाने पर:
$z_1 \bar{z_2} + z_2 \bar{z_1} = 0$.
इसे $z_1 \bar{z_2} + \overline{z_1 \bar{z_2}} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $z + \bar{z} = 2 \operatorname{Re}(z)$, इसलिए $2 \operatorname{Re}(z_1 \bar{z_2}) = 0$, जिसका अर्थ है कि $\operatorname{Re}(z_1 \bar{z_2}) = 0$.
$|z_2|^2$ से विभाजित करने पर, हमें $\operatorname{Re}\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = 0$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $|z \omega| = 1$,इसलिए $|z| |\omega| = 1$.
साथ ही,$\operatorname{Arg}(z) - \operatorname{Arg}(\omega) = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है $\operatorname{Arg}(\frac{z}{\omega}) = \frac{\pi}{2}$.
मान लीजिए $z = r_1 e^{i \theta_1}$ और $\omega = r_2 e^{i \theta_2}$.
तब $|z| = r_1$ और $|\omega| = r_2$,इसलिए $r_1 r_2 = 1$.
$\operatorname{Arg}(z) = \theta_1$ और $\operatorname{Arg}(\omega) = \theta_2$,इसलिए $\theta_1 - \theta_2 = \frac{\pi}{2}$.
हमें $\bar{z} \omega$ ज्ञात करना है।
$\bar{z} = r_1 e^{-i \theta_1}$.
$\bar{z} \omega = (r_1 e^{-i \theta_1}) (r_2 e^{i \theta_2}) = (r_1 r_2) e^{i(\theta_2 - \theta_1)}$.
चूंकि $r_1 r_2 = 1$ और $\theta_2 - \theta_1 = -\frac{\pi}{2}$,इसलिए:
$\bar{z} \omega = 1 \cdot e^{-i \frac{\pi}{2}} = \cos(-\frac{\pi}{2}) + i \sin(-\frac{\pi}{2}) = 0 - i = -i$.