Geometry of complex numbers Questions in Hindi

(D) दिया गया है कि $|z \omega| = 1$,इसलिए $|z| |\omega| = 1$.
साथ ही,$\operatorname{Arg}(z) - \operatorname{Arg}(\omega) = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है $\operatorname{Arg}(\frac{z}{\omega}) = \frac{\pi}{2}$.
मान लीजिए $z = r_1 e^{i \theta_1}$ और $\omega = r_2 e^{i \theta_2}$.
तब $|z| = r_1$ और $|\omega| = r_2$,इसलिए $r_1 r_2 = 1$.
$\operatorname{Arg}(z) = \theta_1$ और $\operatorname{Arg}(\omega) = \theta_2$,इसलिए $\theta_1 - \theta_2 = \frac{\pi}{2}$.
हमें $\bar{z} \omega$ ज्ञात करना है।
$\bar{z} = r_1 e^{-i \theta_1}$.
$\bar{z} \omega = (r_1 e^{-i \theta_1}) (r_2 e^{i \theta_2}) = (r_1 r_2) e^{i(\theta_2 - \theta_1)}$.
चूंकि $r_1 r_2 = 1$ और $\theta_2 - \theta_1 = -\frac{\pi}{2}$,इसलिए:
$\bar{z} \omega = 1 \cdot e^{-i \frac{\pi}{2}} = \cos(-\frac{\pi}{2}) + i \sin(-\frac{\pi}{2}) = 0 - i = -i$.

(A) माना $z = x + iy$ है। शर्त के अनुसार $\frac{z-2i}{z-2}$ शुद्ध काल्पनिक है,जिसका अर्थ है कि इसका वास्तविक भाग $0$ है।
हल करने पर: $(z-2i)(\bar{z}-2) + (\bar{z}+2i)(z-2) = 0$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण $x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0$ में बदल जाता है।
इसे $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह एक वृत्त है जिसका केंद्र $(1, 1)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{2}$ है।
यह पूरा वृत्त प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।
क्षेत्रफल $= \pi r^2 = \pi(\sqrt{2})^2 = 2\pi$.

(C) दिया गया समीकरण $|z - 1 + i| = 1$ है।
इसे $|z - (1 - i)| = 1$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
सम्मिश्र तल में वृत्त के मानक समीकरण $|z - z_0| = r$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $z_0$ केंद्र है और $r$ त्रिज्या है,हमें $z_0 = 1 - i$ और $r = 1$ प्राप्त होता है।
कार्तीय निर्देशांक में,$z_0 = 1 - i$ बिंदु $(1, -1)$ के अनुरूप है।
अतः,$S$ एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $(1, -1)$ है और त्रिज्या $1$ इकाई है।

(B) बिंदु $A(-2, 1)$ और $B(3, -4)$ हैं।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,बिंदु $C$,$AB$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
$C = \left( \frac{1(3) + 2(-2)}{1+2}, \frac{1(-4) + 2(1)}{1+2} \right) = \left( -\frac{1}{3}, -\frac{2}{3} \right)$.
चूंकि $C$ तीसरे चतुर्थांश में स्थित है,इसका कोणांक $\theta = \tan^{-1}\left( \frac{y}{x} \right) - \pi$ होगा।
$\text{arg}(C) = \tan^{-1}\left( \frac{-2/3}{-1/3} \right) - \pi = \tan^{-1}(2) - \pi$.

(A) दिया गया है कि $z_1, z_2, z_3$ एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं और $z$ इसका परिकेंद्र है।
चूंकि $z$ परिकेंद्र है,इसलिए $z$ से प्रत्येक शीर्ष की दूरी परित्रिज्या $R$ के बराबर होती है।
अतः,$|z-z_1| = |z-z_2| = |z-z_3| = R$.
अब,अनुपात $\frac{|z-z_1|}{|z-z_2|} = \frac{R}{R} = 1$ पर विचार करें।
साथ ही,$\frac{|z-z_3|}{|z-z_1|} = \frac{R}{R} = 1$ है।
इस प्रकार,$\frac{|z-z_1|}{|z-z_2|} = \frac{|z-z_3|}{|z-z_1|} = 1$।

(D) दी गई असमिका $|z - (1 - i)| \leq 2$ है। यह आर्गंड समतल में केंद्र $(1, -1)$ और त्रिज्या $r = 2$ वाला एक डिस्क (वृत्त और उसके भीतर का भाग) है।
प्रत्येक बिंदु $z$ के लिए $|z - (1 - i)| \leq 2$ की जाँच करने पर:
$(A)$ $z = \frac{1 - i}{2}$ के लिए,$|z - (1 - i)| = \frac{1}{\sqrt{2}} \leq 2$. (अंदर है)
$(B)$ $z = 1$ के लिए,$|z - (1 - i)| = 1 \leq 2$. (अंदर है)
$(C)$ $z = \frac{1 - i}{4}$ के लिए,$|z - (1 - i)| = \frac{3\sqrt{2}}{4} \leq 2$. (अंदर है)
$(D)$ $z = i$ के लिए,$|z - (1 - i)| = \sqrt{5} > 2$. (बाहर है)
अतः,बिंदु $i$ क्षेत्र में नहीं है।

(A) दिया गया समीकरण: $|z-1|=|i(z+1)|$
चूंकि $|i|=1$,हम लिख सकते हैं: $|z-1|=|z+1|$
माना $z = x+iy$. तब: $|x+iy-1|=|x+iy+1|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $|(x-1)+iy|^2 = |(x+1)+iy|^2$
$(x-1)^2 + y^2 = (x+1)^2 + y^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2$
$-2x = 2x$
$4x = 0 \Rightarrow x = 0$
समीकरण $x=0$ आर्गंड समतल में $Y$-अक्ष को दर्शाता है।

(A) सम्मिश्र संख्याओं के लिए त्रिभुज असमिका के अनुसार,हमारे पास $|z_1| + |z_2| \geq |z_1 - z_2|$ है।
माना $z_1 = z$ और $z_2 = 1 - z$ है।
तब $|z| + |1 - z| \geq |z + (1 - z)| = |1| = 1$ होगा।
चूँकि $|z-1| = |1-z|$,व्यंजक $|z| + |z-1| \geq 1$ हो जाता है।
न्यूनतम मान $1$ है,जो तब प्राप्त होता है जब $z$ सम्मिश्र तल में $0$ और $1$ को जोड़ने वाले रेखाखंड पर स्थित होता है।

(B) हम जानते हैं कि $|z_1+z_2|^2 = (z_1+z_2)(\overline{z_1}+\overline{z_2}) = |z_1|^2 + |z_2|^2 + z_1\overline{z_2} + \overline{z_1\overline{z_2}}$.
दिया है कि $|z_1+z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2$,इसलिए $z_1\overline{z_2} + \overline{z_1\overline{z_2}} = 0$.
इसका अर्थ है कि $2 \text{Re}(z_1\overline{z_2}) = 0$,अतः $z_1\overline{z_2}$ शुद्ध काल्पनिक है।
मान लीजिए $z_1\overline{z_2} = ki$,जहाँ $k \in \mathbb{R}$.
अतः $\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1\overline{z_2}}{|z_2|^2} = \frac{ki}{|z_2|^2}$,जो कि शुद्ध काल्पनिक है।

(A) दिया गया है $|z-4+3 i| \leq 1$। यह $C(4, -3)$ केंद्र और $r=1$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है। मूल बिंदु से केंद्र की दूरी $OC = \sqrt{4^2+(-3)^2} = 5$ है।
$|z|$ का न्यूनतम मान $m = OC - r = 5 - 1 = 4$ है।
$|z|$ का अधिकतम मान $n = OC + r = 5 + 1 = 6$ है।
अब,$f(x) = \frac{x^4+x^2+4}{x} = x^3 + x + \frac{4}{x}$ पर विचार करें,जहाँ $x \in (0, \infty)$ है।
अवकलन करने पर,$f'(x) = 3x^2 + 1 - \frac{4}{x^2} = \frac{3x^4+x^2-4}{x^2} = \frac{(3x^2+4)(x^2-1)}{x^2}$।
$f'(x) = 0$ रखने पर,$x^2 = 1$,अतः $x=1$ प्राप्त होता है।
न्यूनतम मान $f(1) = 1^3 + 1 + \frac{4}{1} = 6$ है।
अतः,$k=6$ है।
चूंकि $n=6$ है,इसलिए $k=n$ है।

(B) दिया गया है $|z - 3i| = 3$,जो $3$ त्रिज्या और $(0, 3)$ केंद्र वाला एक वृत्त है।
माना $z = x + iy$. वृत्त के समीकरण से $x^2 + y^2 - 6y = 0$ प्राप्त होता है।
कोणांक $\theta$ होने के कारण,$\tan \theta = \frac{y}{x}$ अर्थात $x = y \cot \theta$.
इस मान को वृत्त के समीकरण में रखने पर,$y^2 \csc^2 \theta = 6y$ प्राप्त होता है,इसलिए $y = 6 \sin^2 \theta$.
अतः $x = 6 \sin \theta \cos \theta$.
इस प्रकार,$z = 6 \sin \theta(\cos \theta + i \sin \theta) = 6 \sin \theta e^{i \theta}$.
अब,$\frac{6}{z} = \frac{1}{\sin \theta} e^{-i \theta} = \cot \theta - i$.
अतः,$\cot \theta - \frac{6}{z} = i$.

(A) माना $z = x + iy$ है। तब $|z|^2 = x^2 + y^2$,$|z-3|^2 = (x-3)^2 + y^2$,और $|z-i|^2 = x^2 + (y-1)^2$ है।
माना $f(x, y) = x^2 + y^2 + (x-3)^2 + y^2 + x^2 + (y-1)^2$ है।
$f(x, y) = 3x^2 - 6x + 9 + 3y^2 - 2y + 1 = 3(x^2 - 2x) + 3(y^2 - \frac{2}{3}y) + 10$ है।
$f(x, y)$ को न्यूनतम करने के लिए,हम पूर्ण वर्ग बनाते हैं:
$f(x, y) = 3(x-1)^2 - 3 + 3(y-\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} + 10 = 3(x-1)^2 + 3(y-\frac{1}{3})^2 + \frac{20}{3}$ है।
यह फलन तब न्यूनतम होता है जब $x = 1$ और $y = \frac{1}{3}$ हो।
अतः,$z = 1 + \frac{1}{3}i$ है।

(A) दिया गया है $z=x+iy$,अतः $\frac{2z-3}{z+4i} = \frac{(2x-3)+2iy}{x+i(y+4)}$.
हर के संयुग्मी $x-i(y+4)$ से अंश और हर को गुणा करने पर:
$\frac{2z-3}{z+4i} = \frac{((2x-3)+2iy)(x-i(y+4))}{x^2+(y+4)^2} = \frac{(2x^2-3x+2y^2+8y) + i(12+3y-8x)}{x^2+(y+4)^2}$.
चूंकि $\text{Arg}\left(\frac{2z-3}{z+4i}\right) = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\text{Im}}{\text{Re}} = 1$.
अतः,$\frac{12+3y-8x}{2x^2-3x+2y^2+8y} = 1$.
$12+3y-8x = 2x^2-3x+2y^2+8y$.
पदों को व्यवस्थित करने पर $2x^2+2y^2+5x+5y-12=0$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $z=x+iy$,तो $\bar{z}=x-iy$.
व्यंजक में मान रखने पर:
$\frac{\bar{z}-1}{\bar{z}-i} = \frac{(x-1)-iy}{x-i(y+1)}$.
हर के संयुग्मी $x+i(y+1)$ से गुणा और भाग करने पर:
$\frac{[(x-1)-iy][x+i(y+1)]}{x^2+(y+1)^2} = \frac{x(x-1) + y(y+1) + i[(x-1)(y+1) - xy]}{x^2+(y+1)^2}$.
काल्पनिक भाग $1$ दिया गया है:
$\frac{(xy+x-y-1) - xy}{x^2+(y+1)^2} = 1$.
$\frac{x-y-1}{x^2+(y+1)^2} = 1$.
$x-y-1 = x^2+y^2+2y+1$.
$x^2+y^2-x+3y+2=0$.
चूंकि हर शून्य नहीं हो सकता,$x-i(y+1) \neq 0$,जिसका अर्थ है $(x, y) \neq (0, -1)$.
अतः,बिंदुपथ $x^2+y^2-x+3y+2=0, (x, y) \neq (0, -1)$ है।

(A) दिया गया है कि $|z_1| = |z_2| = 1$, हम $z_1 = \cos \alpha + i \sin \alpha$ और $z_2 = \cos \beta + i \sin \beta$ लिख सकते हैं।
$\operatorname{Re}(z_1 \bar{z}_2) = ac + bd = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha - \beta) = 0$.
इसका अर्थ है कि $\alpha - \beta = \pm \frac{\pi}{2}$.
अब, $w_1 = a + ic = \cos \alpha + i \cos \beta$ और $w_2 = b + id = \sin \alpha + i \sin \beta$ के लिए, हम $\operatorname{Re}(w_1 \bar{w}_2) = ab + cd$ की गणना करते हैं।
$\operatorname{Re}(w_1 \bar{w}_2) = \cos \alpha \sin \alpha + \cos \beta \sin \beta = \frac{1}{2}(\sin 2\alpha + \sin 2\beta)$.
योग-से-गुणनफल सूत्र का उपयोग करने पर, $\frac{1}{2}(2 \sin(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta))$.
चूंकि $\cos(\alpha - \beta) = \cos(\pm \frac{\pi}{2}) = 0$, इसलिए व्यंजक का मान $0$ है।
अतः, $\operatorname{Re}(w_1 \bar{w}_2) = 0$.

(C) आर्गंड समतल में दिए गए बिंदुओं के सम्मिश्र संयुग्म $A(1-2i)$,$B(2+3i)$,और $C(3+4i)$ हैं।
निर्देशांक $A(1, -2)$,$B(2, 3)$,और $C(3, 4)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई के वर्गों की गणना:
$AB^2 = (2-1)^2 + (3-(-2))^2 = 1^2 + 5^2 = 26$
$BC^2 = (3-2)^2 + (4-3)^2 = 1^2 + 1^2 = 2$
$AC^2 = (3-1)^2 + (4-(-2))^2 = 2^2 + 6^2 = 40$
चूंकि $AB^2 + BC^2 = 28 < AC^2 = 40$,इसलिए सबसे बड़ी भुजा के सामने का कोण अधिककोण है।
अतः,ये बिंदु एक अधिककोणीय त्रिभुज बनाते हैं।
इसलिए,विकल्प $(C)$ सही है।

(D) माना $z = x + iy$. तब $\frac{z+1}{z+i} = \frac{(x+1) + iy}{x + i(y+1)}$.
इसे शुद्ध वास्तविक बनाने के लिए,हम अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा करते हैं: $\frac{(x+1) + iy}{x + i(y+1)} \times \frac{x - i(y+1)}{x - i(y+1)}$.
हर $x^2 + (y+1)^2$ हो जाता है,जो वास्तविक है।
अंश $(x+1)x + y(y+1) + i[xy - (x+1)(y+1)]$ है।
व्यंजक के शुद्ध वास्तविक होने के लिए,काल्पनिक भाग शून्य होना चाहिए:
$xy - (x+1)(y+1) = 0$.
$xy - (xy + x + y + 1) = 0$.
$-x - y - 1 = 0 \Rightarrow x + y + 1 = 0$.
चूंकि $z \neq -i$,इसलिए बिंदु $(0, -1)$ को वर्जित किया जाना चाहिए।
अतः,बिंदुपथ $x+y+1=0, (x, y) \neq (0, -1)$ है।

(C) माना $z = x + iy$ है। तब $\frac{z-i}{z-1} = \frac{x + i(y-1)}{(x-1) + iy}$ है।
इसे शुद्ध काल्पनिक बनाने के लिए,हम हर के संयुग्मी से गुणा करते हैं: $\frac{(x + i(y-1))((x-1) - iy)}{(x-1)^2 + y^2}$।
वास्तविक भाग $\frac{x(x-1) + y(y-1)}{(x-1)^2 + y^2} = 0$ है।
इसका अर्थ है $x^2 - x + y^2 - y = 0$,अर्थात $x^2 + y^2 - x - y = 0$ है।
वर्ग पूरा करने पर,हमें $\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2$ प्राप्त होता है।
यह केंद्र $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ और त्रिज्या $\frac{1}{\sqrt{2}}$ वाले वृत्त को दर्शाता है।
चूंकि $z = 1$ (अर्थात $(1, 0)$) पर व्यंजक अपरिभाषित है और $z = i$ (अर्थात $(0, 1)$) पर अंश शून्य हो जाता है,इसलिए इन बिंदुओं को बाहर रखा जाना चाहिए।

(B) दी गई शर्त $Z_1 \bar{Z}_2 + \bar{Z}_1 Z_2 = 0$ है।
$Z_2 \bar{Z}_2$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{Z_1}{Z_2} + \frac{\bar{Z}_1}{\bar{Z}_2} = 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $2 \text{Re}(\frac{Z_1}{Z_2}) = 0$,जो दर्शाता है कि $\frac{Z_1}{Z_2}$ विशुद्ध काल्पनिक है।
अतः,$\theta = \pm \frac{\pi}{2}$ होगा।
इस प्रकार,$\sin \theta = \sin(\pm \frac{\pi}{2}) = \pm 1$।

(A) दिया गया है,$\arg \left(\frac{z-2}{z-6i}\right) = \frac{\pi}{2}$.
माना $z = x + iy$.
यह समीकरण उन बिंदुओं का बिंदुपथ है जो $A(2, 0)$ और $B(0, 6)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड पर $\frac{\pi}{2}$ का कोण बनाते हैं।
$\arg(z-2) - \arg(z-6i) = \frac{\pi}{2}$.
$z = x + iy$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x-2}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{y-6}{x}\right) = \frac{\pi}{2}$.
चूँकि $\tan^{-1}(A) - \tan^{-1}(B) = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $1+AB = 0$ होगा।
$1 + \left(\frac{y}{x-2}\right)\left(\frac{y-6}{x}\right) = 0$.
$x(x-2) + y(y-6) = 0$.
$x^2 - 2x + y^2 - 6y = 0$.
यह एक वृत्त का समीकरण है।

(A) माना $z = x + iy$, जहाँ $0 \leq x \leq 1$ और $0 \leq y \leq 1$ है।
तब $z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$ होगा।
अतः, $|e^{z^2}| = |e^{x^2 - y^2} \cdot e^{i(2xy)}| = e^{x^2 - y^2} \cdot |e^{i(2xy)}|$।
चूँकि $|e^{i(2xy)}| = 1$, इसलिए $|e^{z^2}| = e^{x^2 - y^2}$ होगा।
$e^{x^2 - y^2}$ को अधिकतम करने के लिए, हमें घातांक $f(x, y) = x^2 - y^2$ को $0 \leq x \leq 1$ और $0 \leq y \leq 1$ की शर्तों के तहत अधिकतम करना होगा।
$x^2 - y^2$ का अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब $x$ अधिकतम $(x=1)$ हो और $y$ न्यूनतम $(y=0)$ हो।
अतः, अधिकतम मान $e^{1^2 - 0^2} = e^1 = e$ है।

(C) $|z-1|+|z-5|$ व्यंजक सम्मिश्र तल में एक सम्मिश्र संख्या $z$ की बिंदुओं $z_1 = 1$ और $z_2 = 5$ से दूरियों का योग दर्शाता है।
त्रिभुज असमिका के अनुसार,किन्हीं भी बिंदुओं $z, z_1, z_2$ के लिए,हमारे पास $|z-z_1| + |z-z_2| \ge |z_1 - z_2|$ होता है।
यहाँ,$|z_1 - z_2| = |1 - 5| = |-4| = 4$ है।
न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब $z$,$1$ और $5$ को जोड़ने वाले रेखाखंड पर स्थित हो।
अतः,न्यूनतम मान $4$ है।

(D) माना $z = x+iy$. दिया गया व्यंजक $w = \frac{(x-2) + i(y+1)}{(x+1) + i(y+2)}$ है।
$w$ के शुद्ध काल्पनिक होने के लिए,$w$ का वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए।
अंश और हर को हर के संयुग्मी $(x+1) - i(y+2)$ से गुणा करने पर।
अंश का वास्तविक भाग $(x-2)(x+1) + (y+1)(y+2) = 0$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर,$x^2 - x - 2 + y^2 + 3y + 2 = 0$,जो $x^2 + y^2 - x + 3y = 0$ में सरल हो जाता है।
यह एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $(\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$ है।
बिंदु $z = -1-2i$ हर को शून्य बनाता है,इसलिए इसे बिंदुपथ से बाहर रखा गया है।
केंद्र $(\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$ रेखा $x+y+1 = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 1 = 0$ को संतुष्ट करता है।

(A) माना $z_1 = 3-2i$ और $z_2 = -2+3i$ है। दिया गया समीकरण $\operatorname{Arg}\left(\frac{z-z_1}{z-z_2}\right) = \frac{\pi}{4}$ है।
यह एक वृत्त का चाप दर्शाता है जो $z_1$ और $z_2$ से होकर गुजरता है।
गणना करने पर,बिंदुपथ एक वृत्त है जिसका व्यास $x+y=12$ रेखा से संबंधित है।

(B) दिया गया है $z=x+iy$, जहां $P=(x, y)$ है।
व्यंजक $\frac{z+i}{z-1} = \frac{x+i(y+1)}{(x-1)+iy}$ पर विचार करें।
सरल बनाने के लिए, अंश और हर को हर के संयुग्मी $(x-1)-iy$ से गुणा करें:
$\frac{x+i(y+1)}{(x-1)+iy} \times \frac{(x-1)-iy}{(x-1)-iy} = \frac{x(x-1) - ixy + i(y+1)(x-1) + y(y+1)}{(x-1)^2+y^2}$.
अंश का विस्तार करने पर:
$= \frac{x^2-x + y^2+y + i(xy-x+y+1-xy)}{(x-1)^2+y^2} = \frac{(x^2+y^2-x+y) + i(1-x+y)}{(x-1)^2+y^2}$.
चूंकि $\frac{z+i}{z-1}$ एक शुद्ध काल्पनिक संख्या है, इसलिए इसका वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए:
$\operatorname{Re}\left(\frac{z+i}{z-1}\right) = 0 \Rightarrow \frac{x^2+y^2-x+y}{(x-1)^2+y^2} = 0$.
इसका तात्पर्य है कि $x^2+y^2-x+y=0$, बशर्ते कि हर $(x-1)^2+y^2 \neq 0$, जिसका अर्थ है $(x, y) \neq (1, 0)$।

(A) दिया गया समुच्चय $S = \{z \in \mathbb{C} : |z - (-1 + i)| = 1\}$ है।
यह सम्मिश्र तल में वृत्त का मानक रूप $|z - z_0| = r$ है,जहाँ $z_0$ केंद्र है और $r$ त्रिज्या है।
यहाँ,$z_0 = -1 + i$,जो कार्तीय तल में बिंदु $(-1, 1)$ के अनुरूप है।
त्रिज्या $r = 1$ है।
अतः,यह $(-1, 1)$ केंद्र और $1$ इकाई त्रिज्या वाला एक वृत्त दर्शाता है।

(B) माना $Z = x + iy$ है। दिया गया समीकरण $\arg \left(\frac{Z-1}{Z+1}\right) = \frac{\pi}{4}$ है।
यह एक ऐसे बिंदु $Z$ का बिंदुपथ दर्शाता है कि $A(-1, 0)$ और $B(1, 0)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड द्वारा $Z$ पर अंतरित कोण $\frac{\pi}{4}$ है।
वृत्त के गुणधर्म के अनुसार,उस बिंदु का बिंदुपथ जो एक निश्चित रेखाखंड पर एक स्थिर कोण अंतरित करता है,एक वृत्त का चाप होता है।
अतः,बिंदुपथ एक वृत्त का चाप है।

(C) माना $z = x + iy$.
तब $|z|^2 = x^2 + y^2$.
दिए गए समीकरण $|z|^2 = \operatorname{Re}(z)$ में मान रखने पर:
$x^2 + y^2 = x$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x^2 - x + y^2 = 0$.
$x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2$.
यह वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ के रूप में है, जहाँ केंद्र $(h, k)$ है।
तुलना करने पर, केंद्र $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है,$|z-3 i|+|z+5 i|=4$।
यह $|z-z_1|+|z-z_2|=k$ के रूप में है,जहाँ $z_1=3 i$ और $z_2=-5 i$ है।
दो निश्चित बिंदुओं के बीच की दूरी $|z_1-z_2| = |3 i - (-5 i)| = |8 i| = 8$ है।
दीर्घवृत्त के लिए,शर्त $k > |z_1-z_2|$ पूरी होनी चाहिए।
यहाँ,$k=4$ और $|z_1-z_2|=8$ है।
चूँकि $k < |z_1-z_2|$,दो निश्चित बिंदुओं से दूरियों का योग उन बिंदुओं के बीच की दूरी से कम है,जो सम्मिश्र तल में असंभव है।
इसलिए,ऐसा कोई बिंदु $z$ मौजूद नहीं है।

(B) दिया गया है $|z-2|=|z-1|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|z-2|^2 = |z-1|^2$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $|w|^2 = w \bar{w}$ का उपयोग करते हुए,$(z-2)(\bar{z}-2) = (z-1)(\bar{z}-1)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $z\bar{z} - 2z - 2\bar{z} + 4 = z\bar{z} - z - \bar{z} + 1$.
समीकरण को सरल करने पर: $-2z - 2\bar{z} + 4 = -z - \bar{z} + 1$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $z + \bar{z} = 3$.
$z = x + iy$ और $\bar{z} = x - iy$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(x + iy) + (x - iy) = 3$.
$2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$.
यह $x = 1.5$ से गुजरने वाली एक ऊर्ध्वाधर रेखा को दर्शाता है,जो $y$-अक्ष के समांतर है।

(B) दिया गया है कि,$\left|\frac{z-i}{z-2i}\right|=2$.
माना $z=x+iy$.
तब,$|x+i(y-1)|=2|x+i(y-2)|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2+(y-1)^2=4[x^2+(y-2)^2]$.
पदों का विस्तार करने पर,$x^2+y^2-2y+1=4[x^2+y^2-4y+4]$.
$x^2+y^2-2y+1=4x^2+4y^2-16y+16$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$3x^2+3y^2-14y+15=0$.
$3$ से भाग देने पर,$x^2+y^2-\frac{14}{3}y+5=0$.
यह $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के रूप में एक वृत्त का समीकरण है।
अतः,$z$ का बिंदु पथ एक वृत्त है।
इसलिए,विकल्प $(B)$ सही है.

(B) दिया गया समीकरण $\left|z-z_1\right|+\left|z-z_2\right|=k$ है।
यह एक ऐसे बिंदु $z$ का बिंदुपथ दर्शाता है जिसका दो निश्चित बिंदुओं $z_1$ और $z_2$ से दूरियों का योग एक स्थिरांक $k$ है।
चूँकि शर्त $\left|z_1-z_2\right| < k$ संतुष्ट होती है,दूरियों का योग दो निश्चित बिंदुओं (नाभियों) के बीच की दूरी से अधिक है।
दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,जिस बिंदु की दो निश्चित बिंदुओं (नाभियों) से दूरियों का योग स्थिर होता है,वह एक दीर्घवृत्त होता है।
अतः,$z$ एक दीर्घवृत्त पर स्थित है।
इसलिए,विकल्प $(B)$ सही है।

(B) माना $z = x + iy$. तब,$\frac{z-1}{z+1} = \frac{(x-1) + iy}{(x+1) + iy}$.
अंश और हर को हर के संयुग्मी से गुणा करने पर: $\frac{((x-1) + iy)((x+1) - iy)}{(x+1)^2 + y^2} = \frac{(x^2 + y^2 - 1) + i(2y)}{(x+1)^2 + y^2}$.
दिया है कि $\arg \left(\frac{z-1}{z+1}\right) = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $\tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\text{Im}}{\text{Re}} = \frac{2y}{x^2 + y^2 - 1} = 1$.
यह समीकरण $x^2 + y^2 - 2y - 1 = 0$ में बदल जाता है,जो एक वृत्त का समीकरण है।
अतः,यह समुच्चय एक वृत्त का चाप दर्शाता है।

(C) माना $z=x+iy$. दिया गया है $|z|^2+1=|z^2-1|$.
$z=x+iy$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $x^2+y^2+1 = |(x+iy)^2-1| = |x^2-y^2-1+2ixy|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x^2+y^2+1)^2 = (x^2-y^2-1)^2 + (2xy)^2$.
$(x^2+y^2+1)^2 - (x^2-y^2-1)^2 = 4x^2y^2$.
$a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$ का उपयोग करने पर:
$[(x^2+y^2+1) + (x^2-y^2-1)] \times [(x^2+y^2+1) - (x^2-y^2-1)] = 4x^2y^2$.
$(2x^2)(2y^2+2) = 4x^2y^2$.
$4x^2y^2 + 4x^2 = 4x^2y^2$.
$4x^2 = 0 \implies x=0$.
बिंदुपथ $x=0$ काल्पनिक अक्ष को दर्शाता है।

(C) दिया गया समीकरण $|z-z_1| + |z-z_2| = 2a$ के रूप में है,जहाँ $z_1 = 3i$ और $z_2 = -3i$ है।
यह एक दीर्घवृत्त को दर्शाता है जिसकी नाभियाँ $(0, 3)$ और $(0, -3)$ पर हैं।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = |z_1 - z_2| = |3i - (-3i)| = |6i| = 6$ है।
यहाँ $2a = 10$ दिया गया है,इसलिए $a = 5$ है।
संबंध $2ae = 6$ का उपयोग करने पर,हमें $5e = 3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $e = \frac{3}{5}$।
अतः,बिंदु पथ $\frac{3}{5}$ उत्केंद्रता वाला एक दीर्घवृत्त है।

(C) दिया गया है,$\log _{\frac{1}{\sqrt{3}}}\left\{\frac{|z|^2-|z|+1}{2+|z|}\right\}>-2$.
चूंकि आधार $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ शर्त $0 < a < 1$ को पूरा करता है,इसलिए लघुगणक को हटाते समय असमिका उलट जाती है:
$\frac{|z|^2-|z|+1}{2+|z|} < \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{-2}$.
दाहिनी ओर को सरल करने पर: $\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{-2} = (\sqrt{3})^2 = 3$.
अतः,$\frac{|z|^2-|z|+1}{2+|z|} < 3$.
दोनों पक्षों को $(2+|z|)$ से गुणा करने पर (चूंकि $|z| \ge 0$,इसलिए $2+|z| > 0$):
$|z|^2-|z|+1 < 3(2+|z|)$.
$|z|^2-|z|+1 < 6+3|z|$.
$|z|^2-4|z|-5 < 0$.
गुणनखंड करने पर: $(|z|-5)(|z|+1) < 0$.
चूंकि $|z| \ge 0$,$|z|+1$ हमेशा धनात्मक है,इसलिए $|z|-5 < 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $|z| < 5$.
यह मूल बिंदु पर केंद्रित $5$ त्रिज्या वाले वृत्त के आंतरिक भाग को दर्शाता है।

(C) माना सम्मिश्र संख्या $z = x + iy$ है।
दिया गया समीकरण $|z+3|^2 - |z-3|^2 = 15$ है।
$z = x + iy$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$|x + iy + 3|^2 - |x + iy - 3|^2 = 15$
$|(x+3) + iy|^2 - |(x-3) + iy|^2 = 15$
$(x+3)^2 + y^2 - ((x-3)^2 + y^2) = 15$
$(x^2 + 6x + 9 + y^2) - (x^2 - 6x + 9 + y^2) = 15$
$x^2 + 6x + 9 + y^2 - x^2 + 6x - 9 - y^2 = 15$
$12x = 15$
$x = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$
चूंकि $x = \frac{5}{4}$ सम्मिश्र तल में एक ऊर्ध्वाधर रेखा को दर्शाता है,इसलिए बिंदुपथ एक सीधी रेखा है।

(A) दिया गया समीकरण: $\left|\frac{z-1}{z+1}\right|=1$
$z=x+iy$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\left|\frac{(x-1)+iy}{(x+1)+iy}\right|=1$
इसका अर्थ है: $|(x-1)+iy| = |(x+1)+iy|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x-1)^2 + y^2 = (x+1)^2 + y^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2$
$-2x = 2x$
$4x = 0$
$x = 0$
अतः,बिंदुपथ काल्पनिक अक्ष है,$x=0$.

(A) हमारे पास है,$\left|z+\frac{i}{2}\right|^2=\left|z-\frac{i}{2}\right|^2$.
$z=x+iy$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\left|x+i\left(y+\frac{1}{2}\right)\right|^2 = \left|x+i\left(y-\frac{1}{2}\right)\right|^2$.
गुणधर्म $|a+ib|^2 = a^2+b^2$ का उपयोग करने पर:
$x^2 + \left(y+\frac{1}{2}\right)^2 = x^2 + \left(y-\frac{1}{2}\right)^2$.
$x^2 + y^2 + y + \frac{1}{4} = x^2 + y^2 - y + \frac{1}{4}$.
दोनों पक्षों से $x^2 + y^2 + \frac{1}{4}$ घटाने पर:
$y = -y$ $\Rightarrow 2y = 0$ $\Rightarrow y = 0$.
समीकरण $y=0$ $x$-अक्ष को दर्शाता है।

(A) माना $a = x + iy$,जहाँ $x, y \in \mathbb{R}$ है। तब $\bar{a} = x - iy$ होगा।
इन मानों को दिए गए समीकरण $\bar{a} + a + b = 0$ में रखने पर:
$(x - iy) + (x + iy) + b = 0$
$2x + b = 0$
$x = -\frac{b}{2}$
चूंकि $x$ एक स्थिरांक है,इसलिए यह समीकरण सम्मिश्र तल में एक सरल रेखा को दर्शाता है।

(C) दिया गया समीकरण $2|z - (2 + 3i)| = 3|z - (2 - i)|$ है।
माना $z = x + iy$ है। तब $z - (2 + 3i) = (x - 2) + i(y - 3)$ और $z - (2 - i) = (x - 2) + i(y + 1)$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$4|z - (2 + 3i)|^2 = 9|z - (2 - i)|^2$ प्राप्त होता है।
$4((x - 2)^2 + (y - 3)^2) = 9((x - 2)^2 + (y + 1)^2)$।
$4(x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9) = 9(x^2 - 4x + 4 + y^2 + 2y + 1)$।
$4x^2 - 16x + 16 + 4y^2 - 24y + 36 = 9x^2 - 36x + 36 + 9y^2 + 18y + 9$।
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर: $5x^2 + 5y^2 - 20x + 42y + 3 = 0$।
$5$ से भाग देने पर: $x^2 + y^2 - 4x + \frac{42}{5}y + \frac{3}{5} = 0$।
वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ का केंद्र $(-g, -f)$ होता है।
यहाँ,$2g = -4 \implies g = -2$ और $2f = \frac{42}{5} \implies f = \frac{21}{5}$ है।
अतः,केंद्र $(2, -\frac{21}{5})$ है।

(D) माना $z = x + iy$ है। तब $\frac{z-1}{z-i} = \frac{(x-1) + iy}{x + i(y-1)}$ है।
हर के संयुग्मी से गुणा करने पर: $\frac{((x-1) + iy)(x - i(y-1))}{x^2 + (y-1)^2}$ प्राप्त होता है।
व्यंजक के शुद्ध काल्पनिक होने के लिए,वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए: $x(x-1) + y(y-1) = 0$।
यह $x^2 - x + y^2 - y = 0$ या $(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2}$ में सरल हो जाता है।
इसे वृत्त के समीकरण $(x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = r^2$ से तुलना करने पर,हमें $\alpha = \frac{1}{2}$,$\beta = \frac{1}{2}$,और $r^2 = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{1/2}{1/2} + \frac{1/2}{1/2} = 1 + 1 = 2$ है।
चूंकि $r^2 = \frac{1}{2}$ है,इसलिए $2 = 4r^2$ है। अतः,सही विकल्प $4r^2$ है।

(B) माना $a, b, c$ भुजाओं $BC, AC, AB$ की लंबाई हैं।
दिया गया है $|z_1-z_2| = c = \sqrt{25-12\sqrt{3}}$.
दिया गया है $\frac{|z_1-z_3|}{|z_2-z_3|} = \frac{b}{a} = \frac{3}{4}$,अतः $b = \frac{3}{4}a$.
त्रिभुज $ABC$ में,कोज्या नियम (Law of Cosines) के अनुसार:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(30^{\circ})$
$25-12\sqrt{3} = a^2 + (\frac{3}{4}a)^2 - 2a(\frac{3}{4}a)(\frac{\sqrt{3}}{2})$
$25-12\sqrt{3} = a^2(\frac{25-12\sqrt{3}}{16})$
अतः,$a^2 = 16$,जिससे $a = 4$.
तब $b = \frac{3}{4}(4) = 3$.
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2}ab \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}(4)(3)(\frac{1}{2}) = 3$ वर्ग इकाई।

(D) सम्मिश्र तल में वृत्त का सामान्य समीकरण $z \bar{z} + a \bar{z} + \bar{a} z + b = 0$ होता है,जहाँ $a$ एक सम्मिश्र स्थिरांक है और $b$ एक वास्तविक स्थिरांक है।
इस वृत्त का केंद्र $-a$ है और त्रिज्या $\sqrt{|a|^2 - b}$ है।
दिए गए समीकरण $z \bar{z} + (4 - 3i) \bar{z} + (4 + 3i) z + c = 0$ की तुलना सामान्य रूप से करने पर,हमें $a = 4 - 3i$ और $b = c$ प्राप्त होता है।
वृत्त के अस्तित्व के लिए,त्रिज्या $\geq 0$ होनी चाहिए,इसलिए $|a|^2 - b \geq 0$।
यहाँ,$|a|^2 = |4 - 3i|^2 = 4^2 + (-3)^2 = 16 + 9 = 25$।
अतः,$25 - c \geq 0$,जिसका अर्थ है $c \leq 25$।
इसलिए,$c$ के सभी वास्तविक मानों का समुच्चय $(-\infty, 25]$ है।

(A) दिया गया है $\text{arg}\left(\frac{z - z_1}{z - z_2}\right) = \frac{\pi}{4}$.
यह $z$ के बिंदुपथ को $z_1$ और $z_2$ से गुजरने वाले वृत्त के चाप के रूप में दर्शाता है।
जीवा $z_1z_2$ द्वारा परिधि पर अंतरित कोण $\frac{\pi}{4}$ है,इसलिए केंद्र $O$ पर अंतरित कोण $2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ होगा।
$z_1z_2$ का मध्यबिंदु $\left(\frac{10+4}{2}, \frac{6+6}{2}\right) = (7, 6)$ है।
$z_1$ और $z_2$ के बीच की दूरी $|10+6i - (4+6i)| = 6$ है। अतः,जीवा की आधी लंबाई $3$ है।
चूंकि केंद्र और जीवा द्वारा बना त्रिभुज एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है,इसलिए मध्यबिंदु $(7, 6)$ से केंद्र $O$ की दूरी $3$ है।
चूंकि कोण $\frac{\pi}{4}$ है,केंद्र $O$,$(7, 6+3) = (7, 9)$ पर है,जो $7+9i$ के अनुरूप है।
त्रिज्या $R$,$(7, 9)$ से $(10, 6)$ तक की दूरी है,जो $\sqrt{(10-7)^2 + (6-9)^2} = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ है।
अतः,वृत्त का समीकरण $|z - (7+9i)| = 3\sqrt{2}$ है।