અ Gujarati
Geometry of complex numbers Questions in Gujarati
Class 11 Mathematics · 4-1.Complex numbers · Geometry of complex numbers
467+
Questions
Gujarati
Language
100%
With Solutions
Showing 42 of 467 questions in Gujarati
351
EasyMCQ
જો $Z$ એક એવી સંકર સંખ્યા હોય કે જેથી $|Z| \leq 3$ અને $-\frac{\pi}{2} \leq \operatorname{amp}(Z) \leq \frac{\pi}{2}$ થાય,તો $Z$ ના બિંદુપથ દ્વારા બનતા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?
A
$9 \pi$
B
$\frac{9 \pi}{2}$
C
$3 \pi$
D
$\frac{9 \pi}{4}$
Solution
(B) આપેલ શરતો $|Z| \leq 3$ અને $-\frac{\pi}{2} \leq \operatorname{amp}(Z) \leq \frac{\pi}{2}$ છે.
$|Z| \leq 3$ એ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત $3$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
$-\frac{\pi}{2} \leq \operatorname{amp}(Z) \leq \frac{\pi}{2}$ એ પ્રથમ અને ચોથા ચરણમાં આવેલો પ્રદેશ (જમણી બાજુનું અર્ધતલ) દર્શાવે છે.
આમ,$Z$ નો બિંદુપથ $r = 3$ ત્રિજ્યા ધરાવતું અર્ધવર્તુળ છે.
પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \times \pi \times (3)^2 = \frac{9 \pi}{2}$ થાય.
$|Z| \leq 3$ એ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત $3$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
$-\frac{\pi}{2} \leq \operatorname{amp}(Z) \leq \frac{\pi}{2}$ એ પ્રથમ અને ચોથા ચરણમાં આવેલો પ્રદેશ (જમણી બાજુનું અર્ધતલ) દર્શાવે છે.
આમ,$Z$ નો બિંદુપથ $r = 3$ ત્રિજ્યા ધરાવતું અર્ધવર્તુળ છે.
પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \times \pi \times (3)^2 = \frac{9 \pi}{2}$ થાય.
0 likes
View Solution352
MediumMCQ
જો $P(x, y)$ એ આર્ગેન્ડ સમતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકર સમતલમાં સંકર સમતલમાં સંકર સમતલમાં સંકર સંખ્યા $z = x + i y$ દર્શાવે છે અને $\operatorname{Arg} \left( \frac{z - 3 i}{z + 4} \right) = \frac{\pi}{2}$ હોય,તો $P$ ના બિંદુપથનું સમીકરણ શું છે?
A
$x^2 + y^2 + 4 x - 3 y = 0$ અને $3 x - 4 y > 0$
B
$x^2 + y^2 + 4 x - 3 y + 2 = 0$ અને $3 x - 4 y > 0$
C
$x^2 + y^2 + 4 x - 3 y = 0$ અને $3 x - 4 y < 0$
D
$x^2 + y^2 + 4 x - 3 y + 2 = 0$ અને $3 x - 4 y < 0$
Solution
(C) ધારો કે $z = x + iy$. તેથી $\frac{z - 3i}{z + 4} = \frac{x + i(y - 3)}{(x + 4) + iy}$.
છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા વડે ગુણતા:
$\frac{x + i(y - 3)}{(x + 4) + iy} \times \frac{(x + 4) - iy}{(x + 4) - iy} = \frac{x(x + 4) - xyi + i(y - 3)(x + 4) + y(y - 3)}{(x + 4)^2 + y^2}$.
વાસ્તવિક ભાગ $\frac{x^2 + 4x + y^2 - 3y}{(x + 4)^2 + y^2}$ છે અને કાલ્પનિક ભાગ $\frac{4y - 3x - 12}{(x + 4)^2 + y^2}$ છે.
$\operatorname{Arg}(w) = \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,વાસ્તવિક ભાગ $0$ હોવો જોઈએ અને કાલ્પનિક ભાગ ધન હોવો જોઈએ.
તેથી,$x^2 + y^2 + 4x - 3y = 0$ અને $4y - 3x - 12 > 0$.
આથી,$3x - 4y < -12 < 0$ મળે છે.
છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા વડે ગુણતા:
$\frac{x + i(y - 3)}{(x + 4) + iy} \times \frac{(x + 4) - iy}{(x + 4) - iy} = \frac{x(x + 4) - xyi + i(y - 3)(x + 4) + y(y - 3)}{(x + 4)^2 + y^2}$.
વાસ્તવિક ભાગ $\frac{x^2 + 4x + y^2 - 3y}{(x + 4)^2 + y^2}$ છે અને કાલ્પનિક ભાગ $\frac{4y - 3x - 12}{(x + 4)^2 + y^2}$ છે.
$\operatorname{Arg}(w) = \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,વાસ્તવિક ભાગ $0$ હોવો જોઈએ અને કાલ્પનિક ભાગ ધન હોવો જોઈએ.
તેથી,$x^2 + y^2 + 4x - 3y = 0$ અને $4y - 3x - 12 > 0$.
આથી,$3x - 4y < -12 < 0$ મળે છે.
0 likes
View Solution353
MediumMCQ
જો સમીકરણ $Z^3+i Z^2+2 i=0$ ના બીજ એ ત્રિકોણ $ABC$ ના શિરોબિંદુઓ હોય,તો તે ત્રિકોણ $ABC$ કેવો છે?
A
કાટકોણ ત્રિકોણ
B
સમબાજુ ત્રિકોણ
C
સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ
D
કાટકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ
Solution
(C) આપેલ સમીકરણ $Z^3+i Z^2+2 i=0$ છે.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$Z=i$ એક બીજ છે કારણ કે $i^3+i(i^2)+2i = -i-i+2i = 0$.
બહુપદીને $(Z-i)$ વડે ભાગતા,આપણને $(Z-i)(Z^2+2iZ-2)=0$ મળે છે.
$Z^2+2iZ-2=0$ ને દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલતા: $Z = \frac{-2i \pm \sqrt{(2i)^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-2i \pm \sqrt{-4+8}}{2} = \frac{-2i \pm 2}{2} = -i \pm 1$.
બીજ $Z_1 = i$,$Z_2 = 1-i$,અને $Z_3 = -1-i$ છે.
આર્ગેન્ડ સમતલમાં આ બિંદુઓ: $A(0, 1)$,$B(1, -1)$,અને $C(-1, -1)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈની ગણતરી:
$AB = \sqrt{(1-0)^2 + (-1-1)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.
$BC = \sqrt{(-1-1)^2 + (-1-(-1))^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0} = 2$.
$AC = \sqrt{(-1-0)^2 + (-1-1)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.
અહીં $AB = AC = \sqrt{5}$ હોવાથી,ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$Z=i$ એક બીજ છે કારણ કે $i^3+i(i^2)+2i = -i-i+2i = 0$.
બહુપદીને $(Z-i)$ વડે ભાગતા,આપણને $(Z-i)(Z^2+2iZ-2)=0$ મળે છે.
$Z^2+2iZ-2=0$ ને દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલતા: $Z = \frac{-2i \pm \sqrt{(2i)^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-2i \pm \sqrt{-4+8}}{2} = \frac{-2i \pm 2}{2} = -i \pm 1$.
બીજ $Z_1 = i$,$Z_2 = 1-i$,અને $Z_3 = -1-i$ છે.
આર્ગેન્ડ સમતલમાં આ બિંદુઓ: $A(0, 1)$,$B(1, -1)$,અને $C(-1, -1)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈની ગણતરી:
$AB = \sqrt{(1-0)^2 + (-1-1)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.
$BC = \sqrt{(-1-1)^2 + (-1-(-1))^2} = \sqrt{(-2)^2 + 0} = 2$.
$AC = \sqrt{(-1-0)^2 + (-1-1)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.
અહીં $AB = AC = \sqrt{5}$ હોવાથી,ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
0 likes
View Solution354
MediumMCQ
$\alpha$ એ $x^3-a^3=0$ $(a>0)$ સમીકરણનું વાસ્તવિક બીજ છે અને $\beta, \gamma$ અન્ય બીજ છે,તો $|z-\beta|=\frac{\sqrt{3} a}{2}$ અને $|z-\gamma|=\frac{\sqrt{3} a}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવતા વક્રોના સામાન્ય બિંદુઓની સંખ્યા કેટલી છે?
A
$0$
B
$2$
C
$3$
D
$1$
Solution
(D) આપેલ છે $x^3-a^3=0 \Rightarrow (x-a)(x^2+ax+a^2)=0$.
$a>0$ હોવાથી,વાસ્તવિક બીજ $\alpha = a$ છે.
અન્ય બીજ $\beta = a \omega = a(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})$ અને $\gamma = a \omega^2 = a(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2})$ છે.
પ્રથમ વક્ર $|z - \beta| = \frac{\sqrt{3}a}{2}$ છે,જે કેન્દ્ર $\beta = (-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2})$ અને ત્રિજ્યા $R = \frac{\sqrt{3}a}{2}$ વાળું વર્તુળ દર્શાવે છે.
બીજો વક્ર $|z - \gamma| = \frac{\sqrt{3}a}{2}$ છે,જે કેન્દ્ર $\gamma = (-\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2})$ અને ત્રિજ્યા $R = \frac{\sqrt{3}a}{2}$ વાળું વર્તુળ દર્શાવે છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(-\frac{a}{2} - (-\frac{a}{2}))^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{2} - (-\frac{a\sqrt{3}}{2}))^2} = a\sqrt{3}$ છે.
ત્રિજ્યાઓનો સરવાળો $R_1 + R_2 = a\sqrt{3}$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d$ એ ત્રિજ્યાઓના સરવાળા $R_1 + R_2$ જેટલું હોવાથી,બંને વર્તુળો એકબીજાને એક બિંદુએ સ્પર્શે છે.
તેથી,સામાન્ય બિંદુઓની સંખ્યા $1$ છે.
$a>0$ હોવાથી,વાસ્તવિક બીજ $\alpha = a$ છે.
અન્ય બીજ $\beta = a \omega = a(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})$ અને $\gamma = a \omega^2 = a(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2})$ છે.
પ્રથમ વક્ર $|z - \beta| = \frac{\sqrt{3}a}{2}$ છે,જે કેન્દ્ર $\beta = (-\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2})$ અને ત્રિજ્યા $R = \frac{\sqrt{3}a}{2}$ વાળું વર્તુળ દર્શાવે છે.
બીજો વક્ર $|z - \gamma| = \frac{\sqrt{3}a}{2}$ છે,જે કેન્દ્ર $\gamma = (-\frac{a}{2}, -\frac{a\sqrt{3}}{2})$ અને ત્રિજ્યા $R = \frac{\sqrt{3}a}{2}$ વાળું વર્તુળ દર્શાવે છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(-\frac{a}{2} - (-\frac{a}{2}))^2 + (\frac{a\sqrt{3}}{2} - (-\frac{a\sqrt{3}}{2}))^2} = a\sqrt{3}$ છે.
ત્રિજ્યાઓનો સરવાળો $R_1 + R_2 = a\sqrt{3}$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d$ એ ત્રિજ્યાઓના સરવાળા $R_1 + R_2$ જેટલું હોવાથી,બંને વર્તુળો એકબીજાને એક બિંદુએ સ્પર્શે છે.
તેથી,સામાન્ય બિંદુઓની સંખ્યા $1$ છે.
0 likes
View Solution355
MediumMCQ
જો $z_1=2+3i$,$z_2=4-5i$,અને $z_3$ એ આર્ગેન્ડ સમતલમાં ત્રણ બિંદુઓ છે,જેથી $5z_1+xz_2+yz_3=0$ $(x, y \in R)$ અને $z_3$ એ $z_1$ અને $z_2$ બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ હોય,તો $x+y=$
A
$-5$
B
$0$
C
$4$
D
$-1$
Solution
(A) $z_3 = \frac{z_1+z_2}{2} = \frac{(2+3i)+(4-5i)}{2} = 3-i$.
આપેલ છે કે $5z_1+xz_2+yz_3=0$.
કિંમતો મૂકતા: $5(2+3i) + x(4-5i) + y(3-i) = 0$.
$(10+15i) + (4x-5xi) + (3y-yi) = 0$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને અલગ કરતા: $(10+4x+3y) + i(15-5x-y) = 0$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$4x+3y = -10$ $(i)$
$5x+y = 15$ (ii)
(ii) પરથી,$y = 15-5x$.
$(i)$ માં કિંમત મૂકતા: $4x + 3(15-5x) = -10$.
$4x + 45 - 15x = -10$.
$-11x = -55 \Rightarrow x = 5$.
$y = 15 - 5(5) = 15-25 = -10$.
તેથી,$x+y = 5-10 = -5$.
આપેલ છે કે $5z_1+xz_2+yz_3=0$.
કિંમતો મૂકતા: $5(2+3i) + x(4-5i) + y(3-i) = 0$.
$(10+15i) + (4x-5xi) + (3y-yi) = 0$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને અલગ કરતા: $(10+4x+3y) + i(15-5x-y) = 0$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$4x+3y = -10$ $(i)$
$5x+y = 15$ (ii)
(ii) પરથી,$y = 15-5x$.
$(i)$ માં કિંમત મૂકતા: $4x + 3(15-5x) = -10$.
$4x + 45 - 15x = -10$.
$-11x = -55 \Rightarrow x = 5$.
$y = 15 - 5(5) = 15-25 = -10$.
તેથી,$x+y = 5-10 = -5$.
0 likes
View Solution356
MediumMCQ
જો સમદ્વિબાજુ $\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A, B$ અને $C$ અનુક્રમે $z_1, z_2$ અને $z_3$ હોય અને જો $\angle C=90^{\circ}$ હોય,તો
A
$(z_1-z_2)=(z_1-z_3)(z_3-z_2)$
B
$(z_1-z_2)^2=(z_1-z_3)(z_3-z_2)$
C
$(z_1-z_2)^2=2(z_1-z_3)(z_3-z_2)$
D
$z_1^2+z_2^2+z_3^2=z_1 z_2 z_3+2$
Solution
(C) $\triangle ABC$ એ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જ્યાં $\angle C = 90^{\circ}$ છે,તેથી $AC = BC$ થાય.
પરિભ્રમણના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,સદિશ $\vec{CA}$ એ $\vec{CB}$ ને $90^{\circ}$ ($i.e., \frac{\pi}{2}$ રેડિયન) ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરવીને મેળવી શકાય છે.
આમ,$z_1 - z_3 = i(z_2 - z_3)$.
વળી,તે સમદ્વિબાજુ હોવાથી,$|z_1 - z_3| = |z_2 - z_3|$ થાય.
હવે,સદિશ $\vec{BA} = z_1 - z_2$ અને $\vec{BC} = z_3 - z_2$ ધ્યાનમાં લો.
$\triangle ABC$ માં,$\angle B = 45^{\circ}$ અને $AC = BC$ છે.
પરિભ્રમણ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{z_1 - z_2}{z_3 - z_2} = \sqrt{2} e^{i\pi/4} = 1 + i$.
તે જ રીતે,$\frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} = \sqrt{2} e^{-i\pi/4} = 1 - i$.
આ બંનેનો ગુણાકાર કરતા,$\frac{(z_1 - z_2)(z_2 - z_1)}{(z_3 - z_2)(z_3 - z_1)} = (1+i)(1-i) = 2$.
તેથી,$(z_1 - z_2)^2 = 2(z_1 - z_3)(z_3 - z_2)$ મળે છે.
પરિભ્રમણના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,સદિશ $\vec{CA}$ એ $\vec{CB}$ ને $90^{\circ}$ ($i.e., \frac{\pi}{2}$ રેડિયન) ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરવીને મેળવી શકાય છે.
આમ,$z_1 - z_3 = i(z_2 - z_3)$.
વળી,તે સમદ્વિબાજુ હોવાથી,$|z_1 - z_3| = |z_2 - z_3|$ થાય.
હવે,સદિશ $\vec{BA} = z_1 - z_2$ અને $\vec{BC} = z_3 - z_2$ ધ્યાનમાં લો.
$\triangle ABC$ માં,$\angle B = 45^{\circ}$ અને $AC = BC$ છે.
પરિભ્રમણ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{z_1 - z_2}{z_3 - z_2} = \sqrt{2} e^{i\pi/4} = 1 + i$.
તે જ રીતે,$\frac{z_2 - z_1}{z_3 - z_1} = \sqrt{2} e^{-i\pi/4} = 1 - i$.
આ બંનેનો ગુણાકાર કરતા,$\frac{(z_1 - z_2)(z_2 - z_1)}{(z_3 - z_2)(z_3 - z_1)} = (1+i)(1-i) = 2$.
તેથી,$(z_1 - z_2)^2 = 2(z_1 - z_3)(z_3 - z_2)$ મળે છે.
0 likes
View Solution357
MediumMCQ
જો સંકર સંખ્યાઓ $z_1, z_2, 0$ એ સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ હોય,તો $z_1^2 + z_2^2 =$
A
$2 z_1^2 z_2^2$
B
$z_1^2 z_2^2$
C
$2 z_1 z_2$
D
$z_1 z_2$
Solution
(D) ત્રણ સંકર સંખ્યાઓ $z_1, z_2, z_3$ સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે તે માટેની શરત નીચે મુજબ છે:
$z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1$
અહીં આપેલ છે કે શિરોબિંદુઓ $z_1, z_2$ અને $0$ છે,તેથી $z_3 = 0$ મૂકતા:
$z_1^2 + z_2^2 + 0^2 = z_1 z_2 + z_2(0) + (0)z_1$
આનું સાદુંરૂપ આપતા આપણને મળે છે:
$z_1^2 + z_2^2 = z_1 z_2$
$z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1$
અહીં આપેલ છે કે શિરોબિંદુઓ $z_1, z_2$ અને $0$ છે,તેથી $z_3 = 0$ મૂકતા:
$z_1^2 + z_2^2 + 0^2 = z_1 z_2 + z_2(0) + (0)z_1$
આનું સાદુંરૂપ આપતા આપણને મળે છે:
$z_1^2 + z_2^2 = z_1 z_2$
0 likes
View Solution358
EasyMCQ
ધારો કે $z=x+iy$ એ એક સંકર સંખ્યા છે જ્યાં $x, y \in \mathbb{Z}$. તો,સમીકરણ $\bar{z} \cdot z^3+z \cdot \bar{z}^3=350$ ના ઉકેલો દ્વારા બનતા લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું થાય?
A
$48$
B
$32$
C
$40$
D
$44$
Solution
(A) આપેલ સમીકરણ: $\bar{z} z^3+z \bar{z}^3=350$
$\Rightarrow z \bar{z}(z^2+\bar{z}^2)=350$
ધારો કે $z=x+iy$,તો $\bar{z}=x-iy$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x+iy)(x-iy)[(x+iy)^2+(x-iy)^2]=350$
$(x^2+y^2)[(x^2-y^2+2ixy)+(x^2-y^2-2ixy)]=350$
$(x^2+y^2) \cdot 2(x^2-y^2)=350$
$(x^2+y^2)(x^2-y^2)=175$
અહીં $x, y \in \mathbb{Z}$ હોવાથી,$x^2+y^2=25$ અને $x^2-y^2=7$ મળે.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2x^2=32$ $\Rightarrow x^2=16$ $\Rightarrow x=\pm 4$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $2y^2=18$ $\Rightarrow y^2=9$ $\Rightarrow y=\pm 3$.
લંબચોરસના શિરોબિંદુઓ $(4,3), (4,-3), (-4,-3),$ અને $(-4,3)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ $6$ અને $8$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= 6 \times 8 = 48$ ચોરસ એકમ.
$\Rightarrow z \bar{z}(z^2+\bar{z}^2)=350$
ધારો કે $z=x+iy$,તો $\bar{z}=x-iy$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x+iy)(x-iy)[(x+iy)^2+(x-iy)^2]=350$
$(x^2+y^2)[(x^2-y^2+2ixy)+(x^2-y^2-2ixy)]=350$
$(x^2+y^2) \cdot 2(x^2-y^2)=350$
$(x^2+y^2)(x^2-y^2)=175$
અહીં $x, y \in \mathbb{Z}$ હોવાથી,$x^2+y^2=25$ અને $x^2-y^2=7$ મળે.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2x^2=32$ $\Rightarrow x^2=16$ $\Rightarrow x=\pm 4$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $2y^2=18$ $\Rightarrow y^2=9$ $\Rightarrow y=\pm 3$.
લંબચોરસના શિરોબિંદુઓ $(4,3), (4,-3), (-4,-3),$ અને $(-4,3)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ $6$ અને $8$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= 6 \times 8 = 48$ ચોરસ એકમ.
0 likes
View Solution359
MediumMCQ
આર્ગેન્ડ આકૃતિમાં સંકર સંખ્યાઓ $z$,$iz$ અને $z+iz$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?
A
$\frac{1}{2} |z|^2$
B
$\frac{1}{2} z^2$
C
$z^2$
D
$|z|^2$
Solution
(A) ધારો કે $z = x + iy$. તો $iz = -y + ix$ અને $z + iz = (x - y) + i(x + y)$.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x, y)$,$(-y, x)$ અને $(x - y, x + y)$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x(x - (x + y)) + (-y)((x + y) - y) + (x - y)(y - x)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x(-y) - y(x) - (x - y)^2|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-2xy - (x^2 - 2xy + y^2)| = \frac{1}{2} (x^2 + y^2) = \frac{1}{2} |z|^2$.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x, y)$,$(-y, x)$ અને $(x - y, x + y)$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x(x - (x + y)) + (-y)((x + y) - y) + (x - y)(y - x)|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x(-y) - y(x) - (x - y)^2|$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-2xy - (x^2 - 2xy + y^2)| = \frac{1}{2} (x^2 + y^2) = \frac{1}{2} |z|^2$.
0 likes
View Solution360
MediumMCQ
જો $z$ એક સંકર સંખ્યા હોય,તો વક્રો $|z|=1$,$|z-2|=1$ અને $|z-1|=0$ નું સામાન્ય બિંદુ કયું છે?
A
$(0,1)$
B
$(2,0)$
C
$(1,0)$
D
$(0,2)$
Solution
(C) આપેલ વક્રોના સમીકરણો:
$|z|=1 \Rightarrow x^2+y^2=1$ $(i)$
$|z-2|=1 \Rightarrow (x-2)^2+y^2=1$ $(ii)$
$|z-1|=0 \Rightarrow (x-1)^2+y^2=0$ $(iii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા:
$(x-2)^2+y^2 = x^2+y^2$
$(x-2)^2 = x^2$
$x^2-4x+4 = x^2$
$4x = 4 \Rightarrow x=1$
સમીકરણ $(i)$ માં $x=1$ મૂકતા:
$1^2+y^2=1$ $\Rightarrow y^2=0$ $\Rightarrow y=0$
તેથી,$(i)$ અને $(ii)$ નું છેદબિંદુ $(1,0)$ છે.
હવે,ચકાસો કે શું $(1,0)$ સમીકરણ $(iii)$ નું સમાધાન કરે છે:
$(1-1)^2+0^2 = 0^2+0^2 = 0$
તે ત્રણેય સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે,તેથી સામાન્ય બિંદુ $(1,0)$ છે.
$|z|=1 \Rightarrow x^2+y^2=1$ $(i)$
$|z-2|=1 \Rightarrow (x-2)^2+y^2=1$ $(ii)$
$|z-1|=0 \Rightarrow (x-1)^2+y^2=0$ $(iii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા:
$(x-2)^2+y^2 = x^2+y^2$
$(x-2)^2 = x^2$
$x^2-4x+4 = x^2$
$4x = 4 \Rightarrow x=1$
સમીકરણ $(i)$ માં $x=1$ મૂકતા:
$1^2+y^2=1$ $\Rightarrow y^2=0$ $\Rightarrow y=0$
તેથી,$(i)$ અને $(ii)$ નું છેદબિંદુ $(1,0)$ છે.
હવે,ચકાસો કે શું $(1,0)$ સમીકરણ $(iii)$ નું સમાધાન કરે છે:
$(1-1)^2+0^2 = 0^2+0^2 = 0$
તે ત્રણેય સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે,તેથી સામાન્ય બિંદુ $(1,0)$ છે.
0 likes
View Solution361
EasyMCQ
સંકર સમતલમાં કોઈપણ $Circle$ નું સમીકરણ $z \bar{z} + b \bar{z} + \bar{b} z + c = 0$ સ્વરૂપમાં હોય છે,જ્યાં $b \in \mathbb{C}$ અને $c \in \mathbb{R}$.
A
વર્તુળ
B
સીધી રેખા
C
પરવલય
D
અતિવલય
Solution
(A) કાર્તેઝિયન સમતલમાં વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે ... $(i)$
ધારો કે $z = x + iy$ અને $\bar{z} = x - iy$.
તેથી $z + \bar{z} = 2x$ અને $z \bar{z} = x^2 + y^2$.
વળી,$y = \frac{z - \bar{z}}{2i} = -\frac{i}{2}(z - \bar{z})$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$z \bar{z} + 2g(\frac{z + \bar{z}}{2}) + 2f(\frac{z - \bar{z}}{2i}) + c = 0$
$z \bar{z} + g(z + \bar{z}) - if(z - \bar{z}) + c = 0$
$z \bar{z} + (g - if)z + (g + if)\bar{z} + c = 0$
ધારો કે $b = g + if$,તો $\bar{b} = g - if$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $z \bar{z} + \bar{b}z + b\bar{z} + c = 0$ મળે છે.
આ સંકર સમતલમાં વર્તુળ દર્શાવે છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
ધારો કે $z = x + iy$ અને $\bar{z} = x - iy$.
તેથી $z + \bar{z} = 2x$ અને $z \bar{z} = x^2 + y^2$.
વળી,$y = \frac{z - \bar{z}}{2i} = -\frac{i}{2}(z - \bar{z})$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$z \bar{z} + 2g(\frac{z + \bar{z}}{2}) + 2f(\frac{z - \bar{z}}{2i}) + c = 0$
$z \bar{z} + g(z + \bar{z}) - if(z - \bar{z}) + c = 0$
$z \bar{z} + (g - if)z + (g + if)\bar{z} + c = 0$
ધારો કે $b = g + if$,તો $\bar{b} = g - if$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $z \bar{z} + \bar{b}z + b\bar{z} + c = 0$ મળે છે.
આ સંકર સમતલમાં વર્તુળ દર્શાવે છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
0 likes
View Solution362
MediumMCQ
ભૌમિતિક રીતે,ગણ $\{z \in \mathbb{C} : |z - 2 - 2i| \leq 1\}$ શું દર્શાવે છે?
A
$(-2, -2)$ કેન્દ્ર અને $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતી બંધ વર્તુળાકાર તકતી
B
$(2, 2)$ કેન્દ્ર અને $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતી બંધ વર્તુળાકાર તકતી
C
$(1, 1)$ કેન્દ્ર અને $0.5$ ત્રિજ્યા ધરાવતી બંધ વર્તુળાકાર તકતી
D
$(-1, -1)$ કેન્દ્ર અને $0.5$ ત્રિજ્યા ધરાવતી બંધ વર્તુળાકાર તકતી
Solution
(B) આપેલ અસમતા $|z - (2 + 2i)| \leq 1$ છે.
ધારો કે $z = x + iy$,જ્યાં $x, y \in \mathbb{R}$.
અસમતામાં $z$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $|(x - 2) + i(y - 2)| \leq 1$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 \leq 1^2$ મળે છે.
આ સમીકરણ સંકર સમતલમાં $(2, 2)$ કેન્દ્ર અને $r = 1$ ત્રિજ્યા ધરાવતી બંધ વર્તુળાકાર તકતી દર્શાવે છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
ધારો કે $z = x + iy$,જ્યાં $x, y \in \mathbb{R}$.
અસમતામાં $z$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $|(x - 2) + i(y - 2)| \leq 1$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 \leq 1^2$ મળે છે.
આ સમીકરણ સંકર સમતલમાં $(2, 2)$ કેન્દ્ર અને $r = 1$ ત્રિજ્યા ધરાવતી બંધ વર્તુળાકાર તકતી દર્શાવે છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
0 likes
View Solution363
MediumMCQ
ધારો કે બિંદુ $P$ એ આર્ગેન્ડ સમતલમાં $z=x+iy$ દર્શાવે છે, જ્યાં $x, y \in \mathbb{R}$. ધારો કે વક્રો $C_1$ અને $C_2$ એ $P$ ના બિંદુપથ છે જે અનુક્રમે શરતો $(i)$ $\frac{2z+i}{z-2}$ શુદ્ધ કાલ્પનિક છે અને $(ii)$ $\operatorname{Arg}\left(\frac{z+i}{z+1}\right)=\frac{\pi}{2}$ નું પાલન કરે છે. તો ઉગમબિંદુ સિવાયના વક્રો $C_1$ અને $C_2$ ના છેદબિંદુ છે
A
$(1,2)$
B
$\left(\frac{2}{7},-\frac{5}{7}\right)$
C
$(-3,4)$
D
$\left(\frac{5}{37},-\frac{30}{37}\right)$
Solution
(D) શરત $(i)$ માટે, $\frac{2z+i}{z-2} = \frac{2(x+iy)+i}{(x-2)+iy} = \frac{2x + i(2y+1)}{(x-2)+iy}$.
આ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોવા માટે, વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\operatorname{Re}\left(\frac{2x + i(2y+1)}{(x-2)+iy} \cdot \frac{(x-2)-iy}{(x-2)-iy}\right) = 0 \implies 2x(x-2) + y(2y+1) = 0$.
$2x^2 - 4x + 2y^2 + y = 0 \implies x^2 + y^2 - 2x + \frac{1}{2}y = 0$ (વર્તુળ $C_1$).
શરત $(ii)$ માટે, $\operatorname{Arg}\left(\frac{z+i}{z+1}\right) = \frac{\pi}{2}$ નો અર્થ છે કે $\frac{z+i}{z+1}$ એ ધન કાલ્પનિક ભાગ સાથે શુદ્ધ કાલ્પનિક છે.
ધારો કે $z+i = x+i(y+1)$ અને $z+1 = (x+1)+iy$.
$\frac{z+i}{z+1} = \frac{(x+i(y+1))((x+1)-iy)}{(x+1)^2+y^2} = \frac{x(x+1) + y(y+1) + i((x+1)(y+1) - xy)}{(x+1)^2+y^2}$.
વાસ્તવિક ભાગ $x(x+1) + y(y+1) = 0 \implies x^2 + x + y^2 + y = 0$ (વર્તુળ $C_2$).
$C_1$ અને $C_2$ ના સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$(x^2 + y^2 - 2x + \frac{1}{2}y) - (x^2 + y^2 + x + y) = 0 \implies -3x - \frac{1}{2}y = 0 \implies y = -6x$.
$y = -6x$ ને $x^2 + y^2 + x + y = 0$ માં મૂકતા:
$x^2 + 36x^2 + x - 6x = 0 \implies 37x^2 - 5x = 0$.
$x(37x - 5) = 0 \implies x = 0$ અથવા $x = \frac{5}{37}$.
$x = \frac{5}{37}$ માટે, $y = -6(\frac{5}{37}) = -\frac{30}{37}$.
ઉગમબિંદુ સિવાયનું છેદબિંદુ $\left(\frac{5}{37}, -\frac{30}{37}\right)$ છે.
આ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોવા માટે, વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\operatorname{Re}\left(\frac{2x + i(2y+1)}{(x-2)+iy} \cdot \frac{(x-2)-iy}{(x-2)-iy}\right) = 0 \implies 2x(x-2) + y(2y+1) = 0$.
$2x^2 - 4x + 2y^2 + y = 0 \implies x^2 + y^2 - 2x + \frac{1}{2}y = 0$ (વર્તુળ $C_1$).
શરત $(ii)$ માટે, $\operatorname{Arg}\left(\frac{z+i}{z+1}\right) = \frac{\pi}{2}$ નો અર્થ છે કે $\frac{z+i}{z+1}$ એ ધન કાલ્પનિક ભાગ સાથે શુદ્ધ કાલ્પનિક છે.
ધારો કે $z+i = x+i(y+1)$ અને $z+1 = (x+1)+iy$.
$\frac{z+i}{z+1} = \frac{(x+i(y+1))((x+1)-iy)}{(x+1)^2+y^2} = \frac{x(x+1) + y(y+1) + i((x+1)(y+1) - xy)}{(x+1)^2+y^2}$.
વાસ્તવિક ભાગ $x(x+1) + y(y+1) = 0 \implies x^2 + x + y^2 + y = 0$ (વર્તુળ $C_2$).
$C_1$ અને $C_2$ ના સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$(x^2 + y^2 - 2x + \frac{1}{2}y) - (x^2 + y^2 + x + y) = 0 \implies -3x - \frac{1}{2}y = 0 \implies y = -6x$.
$y = -6x$ ને $x^2 + y^2 + x + y = 0$ માં મૂકતા:
$x^2 + 36x^2 + x - 6x = 0 \implies 37x^2 - 5x = 0$.
$x(37x - 5) = 0 \implies x = 0$ અથવા $x = \frac{5}{37}$.
$x = \frac{5}{37}$ માટે, $y = -6(\frac{5}{37}) = -\frac{30}{37}$.
ઉગમબિંદુ સિવાયનું છેદબિંદુ $\left(\frac{5}{37}, -\frac{30}{37}\right)$ છે.
0 likes
View Solution364
EasyMCQ
જો $\left| z - \frac{1 + 3i}{2} \right| = \frac{\sqrt{10}}{2}$ અને $P$,$Q$,અને $R$ એ આર્ગેન્ડ સમતલમાં અનુક્રમે સંકર સંખ્યાઓ $z$,$z e^{i \pi / 3}$,અને $z(1 + e^{i \pi / 3})$ દર્શાવતા બિંદુઓ હોય,તો ત્રિકોણ $PQR$ નું ક્ષેત્રફળ કેટલું થાય?
A
$\sqrt{3} |z|^2$
B
$\frac{\sqrt{3}}{2} |z|^2$
C
$\frac{\sqrt{3}}{4} |z|^2$
D
$2 \sqrt{3} |z|^2$
Solution
(C) ધારો કે સંકર સંખ્યાઓ $z_1 = z$,$z_2 = z e^{i \pi / 3}$,અને $z_3 = z(1 + e^{i \pi / 3})$ છે.
$PQ = |z_2 - z_1| = |z e^{i \pi / 3} - z| = |z| |e^{i \pi / 3} - 1| = |z| \cdot 1 = |z|$.
$QR = |z_3 - z_2| = |z(1 + e^{i \pi / 3}) - z e^{i \pi / 3}| = |z|$.
$PR = |z_3 - z_1| = |z(1 + e^{i \pi / 3}) - z| = |z e^{i \pi / 3}| = |z|$.
આમ,$PQ = QR = PR = |z|$,તેથી $\triangle PQR$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{બાજુ})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} |z|^2$.
$PQ = |z_2 - z_1| = |z e^{i \pi / 3} - z| = |z| |e^{i \pi / 3} - 1| = |z| \cdot 1 = |z|$.
$QR = |z_3 - z_2| = |z(1 + e^{i \pi / 3}) - z e^{i \pi / 3}| = |z|$.
$PR = |z_3 - z_1| = |z(1 + e^{i \pi / 3}) - z| = |z e^{i \pi / 3}| = |z|$.
આમ,$PQ = QR = PR = |z|$,તેથી $\triangle PQR$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{બાજુ})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} |z|^2$.
0 likes
View Solution365
MediumMCQ
$A(z_1)$ અને $B(z_2)$ એ આર્ગેન્ડ સમતલમાં બે બિંદુઓ છે. તો,$\arg \left(\frac{z-z_1}{z-z_2}\right)=0$ અથવા $\pi$ નું સમાધાન કરતી સંકર સંખ્યા $z$ નો બિંદુપથ શું છે?
A
$\overline{AB}$ ને વ્યાસ તરીકે ધરાવતું વર્તુળ
B
જેમાં $A, B$ મુખ્ય અક્ષના અંત્યબિંદુઓ હોય તેવું ઉપવલય
C
$\overline{AB}$ નો લંબદ્વિભાજક
D
બિંદુઓ $A$ અને $B$ માંથી પસાર થતી સીધી રેખા
Solution
(D) શરત $\arg \left(\frac{z-z_1}{z-z_2}\right)=0$ અથવા $\pi$ સૂચવે છે કે સદિશો $(z-z_1)$ અને $(z-z_2)$ સમરેખ છે.
આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ $z$ એ $z_1$ અને $z_2$ માંથી પસાર થતી રેખા પર આવેલું છે.
ચોક્કસ રીતે,જો $\arg \left(\frac{z-z_1}{z-z_2}\right)=0$ હોય,તો બિંદુ $z$ એ રેખાખંડ $\overline{AB}$ ની બહારની રેખા પર આવેલું છે.
જો $\arg \left(\frac{z-z_1}{z-z_2}\right)=\pi$ હોય,તો બિંદુ $z$ એ રેખાખંડ $\overline{AB}$ પર આવેલું છે.
તેથી,$z$ નો બિંદુપથ એ બિંદુઓ $A$ અને $B$ માંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે.
આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ $z$ એ $z_1$ અને $z_2$ માંથી પસાર થતી રેખા પર આવેલું છે.
ચોક્કસ રીતે,જો $\arg \left(\frac{z-z_1}{z-z_2}\right)=0$ હોય,તો બિંદુ $z$ એ રેખાખંડ $\overline{AB}$ ની બહારની રેખા પર આવેલું છે.
જો $\arg \left(\frac{z-z_1}{z-z_2}\right)=\pi$ હોય,તો બિંદુ $z$ એ રેખાખંડ $\overline{AB}$ પર આવેલું છે.
તેથી,$z$ નો બિંદુપથ એ બિંદુઓ $A$ અને $B$ માંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે.
0 likes
View Solution366
EasyMCQ
જો $Z \neq \pm 1$ એક સંકર સંખ્યા હોય અને $\operatorname{Arg}\left(\frac{Z-1}{Z+1}\right)=\frac{\pi}{4}$ હોય,તો આર્ગેન્ડ સમતલમાં $Z$ નો બિંદુપથ શું છે?
A
$x^2+y^2-2y-1=0$
B
$x^2+y^2+2y-1=0$
C
$x^2+y^2-2x+1=0$
D
$x^2+y^2+2x+1=0$
Solution
(A) ધારો કે $Z = x + iy$.
તેથી $\frac{Z-1}{Z+1} = \frac{(x-1) + iy}{(x+1) + iy}$.
અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા $(x+1) - iy$ વડે ગુણતા:
$\frac{Z-1}{Z+1} = \frac{(x^2 + y^2 - 1) + 2iy}{(x+1)^2 + y^2}$.
આપેલ છે કે $\operatorname{Arg}\left(\frac{Z-1}{Z+1}\right) = \frac{\pi}{4}$,તેથી $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{2y}{x^2 + y^2 - 1}$.
$\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$ હોવાથી,$1 = \frac{2y}{x^2 + y^2 - 1}$.
આથી $x^2 + y^2 - 1 = 2y$,એટલે કે $x^2 + y^2 - 2y - 1 = 0$.
તેથી $\frac{Z-1}{Z+1} = \frac{(x-1) + iy}{(x+1) + iy}$.
અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા $(x+1) - iy$ વડે ગુણતા:
$\frac{Z-1}{Z+1} = \frac{(x^2 + y^2 - 1) + 2iy}{(x+1)^2 + y^2}$.
આપેલ છે કે $\operatorname{Arg}\left(\frac{Z-1}{Z+1}\right) = \frac{\pi}{4}$,તેથી $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{2y}{x^2 + y^2 - 1}$.
$\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$ હોવાથી,$1 = \frac{2y}{x^2 + y^2 - 1}$.
આથી $x^2 + y^2 - 1 = 2y$,એટલે કે $x^2 + y^2 - 2y - 1 = 0$.
0 likes
View Solution367
DifficultMCQ
ધારો કે $A(3-i)$ અને $B(2+i)$ એ આર્ગેન્ડ સમતલમાં બે બિંદુઓ છે. જો બિંદુ $P$ એ સંકર સંખ્યા $z=x+iy$ દર્શાવતું હોય,જે $|z-3+i|=|z-2-i|$ નું સમાધાન કરે છે,તો બિંદુ $P$ નો બિંદુપથ શું છે?
A
$AB$ ને વ્યાસ તરીકે લેતું વર્તુળ
B
$A$ અને $B$ માંથી પસાર થતી રેખા
C
$AB$ નો લંબદ્વિભાજક
D
$AB$ ને મુખ્ય અક્ષ તરીકે લેતું ઉપવલય
Solution
(C) આપેલ બિંદુઓ $A(3-i)$ અને $B(2+i)$ છે.
આર્ગેન્ડ સમતલમાં,આ બિંદુઓ $A(3, -1)$ અને $B(2, 1)$ યામ દર્શાવે છે.
આપેલ સમીકરણ $|z-3+i|=|z-2-i|$ છે.
આને $|z-(3-i)|=|z-(2+i)|$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
ધારો કે $P$ એ સંકર સંખ્યા $z$ દર્શાવતું બિંદુ છે. તો આ સમીકરણ એવા બિંદુઓ $P$ નો સમૂહ દર્શાવે છે કે જેથી $P$ નું $A$ થી અંતર એ $P$ નું $B$ થી અંતર જેટલું હોય,એટલે કે $PA = PB$.
બે નિશ્ચિત બિંદુઓ $A$ અને $B$ થી સમાન અંતરે આવેલા બિંદુઓનો બિંદુપથ એ રેખાખંડ $AB$ નો લંબદ્વિભાજક છે.
આર્ગેન્ડ સમતલમાં,આ બિંદુઓ $A(3, -1)$ અને $B(2, 1)$ યામ દર્શાવે છે.
આપેલ સમીકરણ $|z-3+i|=|z-2-i|$ છે.
આને $|z-(3-i)|=|z-(2+i)|$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
ધારો કે $P$ એ સંકર સંખ્યા $z$ દર્શાવતું બિંદુ છે. તો આ સમીકરણ એવા બિંદુઓ $P$ નો સમૂહ દર્શાવે છે કે જેથી $P$ નું $A$ થી અંતર એ $P$ નું $B$ થી અંતર જેટલું હોય,એટલે કે $PA = PB$.
બે નિશ્ચિત બિંદુઓ $A$ અને $B$ થી સમાન અંતરે આવેલા બિંદુઓનો બિંદુપથ એ રેખાખંડ $AB$ નો લંબદ્વિભાજક છે.
0 likes
View Solution368
DifficultMCQ
$z$ ના બિંદુપથનું સમીકરણ શોધો જ્યાં $\left|\frac{z-i}{z+i}\right|=2$,જ્યાં $z=x+iy$ એક સંકર સંખ્યા છે.
A
$3x^2+3y^2+10y-3=0$
B
$3x^2+3y^2+10y+3=0$
C
$3x^2-3y^2-10y-3=0$
D
$x^2+y^2-5y+3=0$
Solution
(B) આપેલ છે $\left|\frac{z-i}{z i}\right|=2$.
$z=x iy$ હોવાથી,$\left|\frac{x i(y-1)}{x i(y 1)}\right|=2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{x^2 (y-1)^2}{x^2 (y 1)^2}=4$.
$x^2 y^2-2y 1=4(x^2 y^2 2y 1)$.
$x^2 y^2-2y 1=4x^2 4y^2 8y 4$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $3x^2 3y^2 10y 3=0$ મળે છે.
$z=x iy$ હોવાથી,$\left|\frac{x i(y-1)}{x i(y 1)}\right|=2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{x^2 (y-1)^2}{x^2 (y 1)^2}=4$.
$x^2 y^2-2y 1=4(x^2 y^2 2y 1)$.
$x^2 y^2-2y 1=4x^2 4y^2 8y 4$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $3x^2 3y^2 10y 3=0$ મળે છે.
0 likes
View Solution369
MediumMCQ
જો $a = \operatorname{Im}\left(\frac{1+z^2}{2iz}\right)$ અને $z$ એ કોઈ પણ શૂન્યતર સંકર સંખ્યા છે જેથી $|z|=1$,તો $a=$
A
$\operatorname{Re}(z)$
B
$\operatorname{Re}(z) \operatorname{Im}(z)$
C
$-\operatorname{Re}(z)$
D
$\operatorname{Re}(z) + \operatorname{Im}(z)$
Solution
(C) આપેલ છે કે $|z|=1$,તેથી આપણે $z = x + iy$ લખી શકીએ જ્યાં $x^2 + y^2 = 1$.
તેથી,$\frac{1+z^2}{2iz} = \frac{1}{2i} \left(\frac{1}{z} + z\right)$.
$|z|=1$ હોવાથી,$\frac{1}{z} = \bar{z} = x - iy$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા,$\frac{1}{2i} (x - iy + x + iy) = \frac{1}{2i} (2x) = \frac{x}{i} = -ix$.
આમ,$\frac{1+z^2}{2iz} = -ix$.
કાલ્પનિક ભાગ લેતા,$a = \operatorname{Im}(-ix) = -x$.
$x = \operatorname{Re}(z)$ હોવાથી,$a = -\operatorname{Re}(z)$ મળે.
તેથી,$\frac{1+z^2}{2iz} = \frac{1}{2i} \left(\frac{1}{z} + z\right)$.
$|z|=1$ હોવાથી,$\frac{1}{z} = \bar{z} = x - iy$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા,$\frac{1}{2i} (x - iy + x + iy) = \frac{1}{2i} (2x) = \frac{x}{i} = -ix$.
આમ,$\frac{1+z^2}{2iz} = -ix$.
કાલ્પનિક ભાગ લેતા,$a = \operatorname{Im}(-ix) = -x$.
$x = \operatorname{Re}(z)$ હોવાથી,$a = -\operatorname{Re}(z)$ મળે.
0 likes
View Solution370
MediumMCQ
જો $\omega_1$ અને $\omega_2$ બે શૂન્યતર સંકર સંખ્યાઓ હોય અને $a, b$ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય જેથી $|a \omega_1 + b \omega_2| = |a \omega_1 - b \omega_2|$,તો $\frac{\omega_1}{\omega_2}$ શું છે?
A
ધન વાસ્તવિક સંખ્યા
B
ઋણ વાસ્તવિક સંખ્યા
C
શૂન્ય
D
શુદ્ધ કાલ્પનિક સંખ્યા
Solution
(D) આપેલ છે $|a \omega_1 + b \omega_2| = |a \omega_1 - b \omega_2|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|a \omega_1 + b \omega_2|^2 = |a \omega_1 - b \omega_2|^2$.
$|z|^2 = z \bar{z}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$(a \omega_1 + b \omega_2)(a \bar{\omega}_1 + b \bar{\omega}_2) = (a \omega_1 - b \omega_2)(a \bar{\omega}_1 - b \bar{\omega}_2)$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $a^2 |\omega_1|^2 + ab \omega_1 \bar{\omega}_2 + ab \bar{\omega}_1 \omega_2 + b^2 |\omega_2|^2 = a^2 |\omega_1|^2 - ab \omega_1 \bar{\omega}_2 - ab \bar{\omega}_1 \omega_2 + b^2 |\omega_2|^2$.
સમાન પદો $a^2 |\omega_1|^2$ અને $b^2 |\omega_2|^2$ દૂર કરતા,$2ab \omega_1 \bar{\omega}_2 + 2ab \bar{\omega}_1 \omega_2 = 0$ મળે.
$a, b \neq 0$ હોવાથી,$\omega_1 \bar{\omega}_2 + \bar{\omega}_1 \omega_2 = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\omega_1 \bar{\omega}_2 + \overline{\omega_1 \bar{\omega}_2} = 0$.
ધારો કે $z = \frac{\omega_1}{\omega_2}$. તેથી $\omega_1 = z \omega_2$. આ કિંમત મૂકતા,$z \omega_2 \bar{\omega}_2 + \bar{z} \bar{\omega}_2 \omega_2 = 0$.
$\omega_2 \neq 0$ હોવાથી,$|\omega_2|^2 \neq 0$,તેથી $z + \bar{z} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $2 \text{Re}(z) = 0$,તેથી $\text{Re}(\frac{\omega_1}{\omega_2}) = 0$.
આમ,$\frac{\omega_1}{\omega_2}$ એ શુદ્ધ કાલ્પનિક સંખ્યા છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|a \omega_1 + b \omega_2|^2 = |a \omega_1 - b \omega_2|^2$.
$|z|^2 = z \bar{z}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$(a \omega_1 + b \omega_2)(a \bar{\omega}_1 + b \bar{\omega}_2) = (a \omega_1 - b \omega_2)(a \bar{\omega}_1 - b \bar{\omega}_2)$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $a^2 |\omega_1|^2 + ab \omega_1 \bar{\omega}_2 + ab \bar{\omega}_1 \omega_2 + b^2 |\omega_2|^2 = a^2 |\omega_1|^2 - ab \omega_1 \bar{\omega}_2 - ab \bar{\omega}_1 \omega_2 + b^2 |\omega_2|^2$.
સમાન પદો $a^2 |\omega_1|^2$ અને $b^2 |\omega_2|^2$ દૂર કરતા,$2ab \omega_1 \bar{\omega}_2 + 2ab \bar{\omega}_1 \omega_2 = 0$ મળે.
$a, b \neq 0$ હોવાથી,$\omega_1 \bar{\omega}_2 + \bar{\omega}_1 \omega_2 = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\omega_1 \bar{\omega}_2 + \overline{\omega_1 \bar{\omega}_2} = 0$.
ધારો કે $z = \frac{\omega_1}{\omega_2}$. તેથી $\omega_1 = z \omega_2$. આ કિંમત મૂકતા,$z \omega_2 \bar{\omega}_2 + \bar{z} \bar{\omega}_2 \omega_2 = 0$.
$\omega_2 \neq 0$ હોવાથી,$|\omega_2|^2 \neq 0$,તેથી $z + \bar{z} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $2 \text{Re}(z) = 0$,તેથી $\text{Re}(\frac{\omega_1}{\omega_2}) = 0$.
આમ,$\frac{\omega_1}{\omega_2}$ એ શુદ્ધ કાલ્પનિક સંખ્યા છે.
0 likes
View Solution371
DifficultMCQ
જો $\cos \alpha+4 \cos \beta+9 \cos \gamma=0$ અને $\sin \alpha+4 \sin \beta+9 \sin \gamma=0$ હોય,તો $81 \cos (2 \gamma-2 \alpha)-16 \cos (2 \beta-2 \alpha)=$
A
$1+8 \cos (\beta-\alpha)$
B
$\cos (\beta-\alpha)$
C
$1-36 \cos (\beta-\alpha)$
D
$1+6 \cos (\beta-\alpha)$
Solution
(A) આપેલ છે: $\cos \alpha+4 \cos \beta+9 \cos \gamma=0$ અને $\sin \alpha+4 \sin \beta+9 \sin \gamma=0$.
ધારો કે $z_1 = e^{i\alpha}$,$z_2 = e^{i\beta}$,$z_3 = e^{i\gamma}$.
સમીકરણોને $z_1 + 4z_2 + 9z_3 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$4z_2 = -(z_1 + 9z_3)$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $16|z_2|^2 = |z_1 + 9z_3|^2 = |z_1|^2 + 81|z_3|^2 + 18 \text{Re}(z_1 \bar{z_3})$.
$|z_1|=|z_2|=|z_3|=1$ હોવાથી,$16 = 1 + 81 + 18 \cos(\alpha - \gamma)$ $\Rightarrow 18 \cos(\alpha - \gamma) = -66$ $\Rightarrow \cos(\alpha - \gamma) = -\frac{11}{3}$.
તે જ રીતે,$9z_3 = -(z_1 + 4z_2)$ $\Rightarrow 81 = 1 + 16 + 8 \cos(\alpha - \beta)$ $\Rightarrow 8 \cos(\alpha - \beta) = 64$ $\Rightarrow \cos(\alpha - \beta) = 8$.
હવે,$81 \cos(2\gamma - 2\alpha) = 81(2 \cos^2(\gamma - \alpha) - 1) = 81(2(-\frac{11}{3})^2 - 1) = 2097$.
અને $16 \cos(2\beta - 2\alpha) = 16(2 \cos^2(\beta - \alpha) - 1) = 16(2(8)^2 - 1) = 2032$.
તેથી,$2097 - 2032 = 65$.
વિકલ્પો તપાસતા: $1 + 8 \cos(\beta - \alpha) = 1 + 8(8) = 65$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
ધારો કે $z_1 = e^{i\alpha}$,$z_2 = e^{i\beta}$,$z_3 = e^{i\gamma}$.
સમીકરણોને $z_1 + 4z_2 + 9z_3 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$4z_2 = -(z_1 + 9z_3)$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $16|z_2|^2 = |z_1 + 9z_3|^2 = |z_1|^2 + 81|z_3|^2 + 18 \text{Re}(z_1 \bar{z_3})$.
$|z_1|=|z_2|=|z_3|=1$ હોવાથી,$16 = 1 + 81 + 18 \cos(\alpha - \gamma)$ $\Rightarrow 18 \cos(\alpha - \gamma) = -66$ $\Rightarrow \cos(\alpha - \gamma) = -\frac{11}{3}$.
તે જ રીતે,$9z_3 = -(z_1 + 4z_2)$ $\Rightarrow 81 = 1 + 16 + 8 \cos(\alpha - \beta)$ $\Rightarrow 8 \cos(\alpha - \beta) = 64$ $\Rightarrow \cos(\alpha - \beta) = 8$.
હવે,$81 \cos(2\gamma - 2\alpha) = 81(2 \cos^2(\gamma - \alpha) - 1) = 81(2(-\frac{11}{3})^2 - 1) = 2097$.
અને $16 \cos(2\beta - 2\alpha) = 16(2 \cos^2(\beta - \alpha) - 1) = 16(2(8)^2 - 1) = 2032$.
તેથી,$2097 - 2032 = 65$.
વિકલ્પો તપાસતા: $1 + 8 \cos(\beta - \alpha) = 1 + 8(8) = 65$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
0 likes
View Solution372
DifficultMCQ
જો $\sin A+\sin B+\sin C=0$ અને $\cos A+\cos B+\cos C=0$ હોય,તો $\cos (A+B)+\cos (B+C)+\cos (C+A)$ ની કિંમત શું થાય?
A
$\cos (A+B+C)$
B
$2$
C
$1$
D
$0$
Solution
(D) ધારો કે $z_1 = \cos A + i \sin A$,$z_2 = \cos B + i \sin B$,અને $z_3 = \cos C + i \sin C$.
આપેલ છે કે $\cos A + \cos B + \cos C = 0$ અને $\sin A + \sin B + \sin C = 0$,તેથી $z_1 + z_2 + z_3 = 0$.
તેનું અનુબદ્ધ લેતા,$\bar{z}_1 + \bar{z}_2 + \bar{z}_3 = 0$.
કારણ કે $|z|=1$ માટે $\bar{z} = \frac{1}{z}$,તેથી $\frac{1}{z_1} + \frac{1}{z_2} + \frac{1}{z_3} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{z_2 z_3 + z_3 z_1 + z_1 z_2}{z_1 z_2 z_3} = 0$,તેથી $z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1 = 0$.
ધ્રુવીય સ્વરૂપો મૂકતા:
$\sum (\cos A + i \sin A)(\cos B + i \sin B) = 0$
$\sum (\cos A \cos B - \sin A \sin B) + i \sum (\sin A \cos B + \cos A \sin B) = 0$
$\sum \cos (A+B) + i \sum \sin (A+B) = 0$.
વાસ્તવિક ભાગોને સરખાવતા,આપણને $\cos (A+B) + \cos (B+C) + \cos (C+A) = 0$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\cos A + \cos B + \cos C = 0$ અને $\sin A + \sin B + \sin C = 0$,તેથી $z_1 + z_2 + z_3 = 0$.
તેનું અનુબદ્ધ લેતા,$\bar{z}_1 + \bar{z}_2 + \bar{z}_3 = 0$.
કારણ કે $|z|=1$ માટે $\bar{z} = \frac{1}{z}$,તેથી $\frac{1}{z_1} + \frac{1}{z_2} + \frac{1}{z_3} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{z_2 z_3 + z_3 z_1 + z_1 z_2}{z_1 z_2 z_3} = 0$,તેથી $z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1 = 0$.
ધ્રુવીય સ્વરૂપો મૂકતા:
$\sum (\cos A + i \sin A)(\cos B + i \sin B) = 0$
$\sum (\cos A \cos B - \sin A \sin B) + i \sum (\sin A \cos B + \cos A \sin B) = 0$
$\sum \cos (A+B) + i \sum \sin (A+B) = 0$.
વાસ્તવિક ભાગોને સરખાવતા,આપણને $\cos (A+B) + \cos (B+C) + \cos (C+A) = 0$ મળે છે.
0 likes
View Solution373
MediumMCQ
આર્ગેન્ડ સમતલ પર $z$ ના બિંદુઓની સંખ્યા જે $\operatorname{Re}\left(\frac{z-2}{z-4i}\right)=0$ અને $\operatorname{Im}\left(\frac{z-2}{z-4i}\right)=1$ શરતોનું એકસાથે પાલન કરે છે તે કેટલી છે?
A
$0$
B
$1$
C
$2$
D
અનંત
Solution
(B) ધારો કે $w = \frac{z-2}{z-4i}$. આપેલી શરતો $\operatorname{Re}(w) = 0$ અને $\operatorname{Im}(w) = 1$ છે।
આનો અર્થ એ છે કે $w = 0 + 1i = i$.
તેથી, $\frac{z-2}{z-4i} = i$.
બંને બાજુ $(z-4i)$ વડે ગુણતા, આપણને $z-2 = i(z-4i)$ મળે છે।
$z-2 = iz - 4i^2$.
$i^2 = -1$ હોવાથી, $z-2 = iz + 4$.
પદોને ગોઠવતા, $z - iz = 4 + 2$.
$z(1-i) = 6$.
$z = \frac{6}{1-i} = \frac{6(1+i)}{2} = 3(1+i)$.
$z$ માટે એક અનન્ય કિંમત હોવાથી, બિંદુઓની સંખ્યા $1$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $w = 0 + 1i = i$.
તેથી, $\frac{z-2}{z-4i} = i$.
બંને બાજુ $(z-4i)$ વડે ગુણતા, આપણને $z-2 = i(z-4i)$ મળે છે।
$z-2 = iz - 4i^2$.
$i^2 = -1$ હોવાથી, $z-2 = iz + 4$.
પદોને ગોઠવતા, $z - iz = 4 + 2$.
$z(1-i) = 6$.
$z = \frac{6}{1-i} = \frac{6(1+i)}{2} = 3(1+i)$.
$z$ માટે એક અનન્ય કિંમત હોવાથી, બિંદુઓની સંખ્યા $1$ છે.
0 likes
View Solution374
EasyMCQ
જો $P$ એક સંકર સંખ્યા છે જેનો માનાંક $1$ છે,તો સમીકરણ $\left(\frac{1+iz}{1-iz}\right)^4=P$ ના
A
વાસ્તવિક અને સમાન બીજ છે
B
વાસ્તવિક અને ભિન્ન બીજ છે
C
બે વાસ્તવિક અને બે સંકર બીજ છે
D
બધા જ સંકર બીજ છે
Solution
(B) આપેલ છે $\left(\frac{1+iz}{1-iz}\right)^4 = P$ જ્યાં $|P| = 1$.
ધારો કે $w = \frac{1+iz}{1-iz}$. તો $w^4 = P$.
કારણ કે $|P| = 1$,તેથી $|w|^4 = 1$,જે સૂચવે છે કે $|w| = 1$.
તેથી,$\left|\frac{1+iz}{1-iz}\right| = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $|1+iz| = |1-iz|$.
ધારો કે $z = x+iy$. તો $|1+i(x+iy)| = |1-i(x+iy)|$.
$|1-y+ix| = |1+y-ix|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(1-y)^2 + x^2 = (1+y)^2 + x^2$.
$1 - 2y + y^2 + x^2 = 1 + 2y + y^2 + x^2$.
$-2y = 2y$ $\Rightarrow 4y = 0$ $\Rightarrow y = 0$.
આમ,$z$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવી જોઈએ. તેથી સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક છે.
ધારો કે $w = \frac{1+iz}{1-iz}$. તો $w^4 = P$.
કારણ કે $|P| = 1$,તેથી $|w|^4 = 1$,જે સૂચવે છે કે $|w| = 1$.
તેથી,$\left|\frac{1+iz}{1-iz}\right| = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $|1+iz| = |1-iz|$.
ધારો કે $z = x+iy$. તો $|1+i(x+iy)| = |1-i(x+iy)|$.
$|1-y+ix| = |1+y-ix|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(1-y)^2 + x^2 = (1+y)^2 + x^2$.
$1 - 2y + y^2 + x^2 = 1 + 2y + y^2 + x^2$.
$-2y = 2y$ $\Rightarrow 4y = 0$ $\Rightarrow y = 0$.
આમ,$z$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવી જોઈએ. તેથી સમીકરણના બીજ વાસ્તવિક છે.
0 likes
View Solution375
EasyMCQ
જો $z = x + iy$ એ એક સંકર સંખ્યા હોય અને $|1 + iz| = |1 - iz|$ હોય, તો
A
$\operatorname{Re}(z) > 0$
B
$|z| = 1$
C
$z = \bar{z}$
D
$z = -\bar{z}$
Solution
(C) આપેલ છે કે $|1 + iz| = |1 - iz|$.
$z = x + iy$ મૂકતા:
$|1 + i(x + iy)| = |1 - i(x + iy)|$
$|1 + ix - y| = |1 - ix + y|$
$|(1 - y) + ix| = |(1 + y) - ix|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(1 - y)^2 + x^2 = (1 + y)^2 + x^2$
$1 - 2y + y^2 + x^2 = 1 + 2y + y^2 + x^2$
$-2y = 2y$
$4y = 0 \Rightarrow y = 0$.
કારણ કે $z = x + iy$ અને $y = 0$, તેથી $z = x$.
વળી, $\bar{z} = x - iy = x - i(0) = x$.
તેથી, $z = \bar{z}$.
$z = x + iy$ મૂકતા:
$|1 + i(x + iy)| = |1 - i(x + iy)|$
$|1 + ix - y| = |1 - ix + y|$
$|(1 - y) + ix| = |(1 + y) - ix|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(1 - y)^2 + x^2 = (1 + y)^2 + x^2$
$1 - 2y + y^2 + x^2 = 1 + 2y + y^2 + x^2$
$-2y = 2y$
$4y = 0 \Rightarrow y = 0$.
કારણ કે $z = x + iy$ અને $y = 0$, તેથી $z = x$.
વળી, $\bar{z} = x - iy = x - i(0) = x$.
તેથી, $z = \bar{z}$.
0 likes
View Solution376
MediumMCQ
જો બિંદુ $P$ એ આર્ગેન્ડ સમતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકરતલમાં સંકર સમતલમાં સંકર સંખ્યા $z=x+iy$ દર્શાવતું હોય અને જો $\frac{z-(2+i)}{z+(1-2i)}$ શુદ્ધ વાસ્તવિક હોય,તો $P$ નો બિંદુપથ શું છે?
A
રેખા $x+3y-5=0$,બિંદુ $(-1,2)$ સિવાય
B
વર્તુળ $x^2+y^2-x-3y=0$,બિંદુ $(-1,2)$ સિવાય
C
રેખા $x+3y-5=0$ અને વર્તુળ $x^2+y^2-x-3y=0$,બિંદુ $(-1,2)$ સિવાય
D
વર્તુળ $x^2+y^2-2x-6y+5=0$,બિંદુ $(-1,2)$ સિવાય
Solution
(A) ધારો કે $z = x+iy$. આપેલ પદાવલિ $\frac{(x-2)+i(y-1)}{(x+1)+i(y-2)}$ છે.
આ પદાવલિ શુદ્ધ વાસ્તવિક હોવા માટે,અંશ અને છેદના અનુબદ્ધનો ગુણાકારનો કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
છેદના અનુબદ્ધ વડે ગુણતા: $\frac{[(x-2)+i(y-1)][(x+1)-i(y-2)]}{(x+1)^2+(y-2)^2}$.
કાલ્પનિક ભાગ: $(x+1)(y-1) - (x-2)(y-2) = 0$.
વિસ્તરણ કરતા: $(xy - x + y - 1) - (xy - 2x - 2y + 4) = 0$.
$xy - x + y - 1 - xy + 2x + 2y - 4 = 0$.
$x + 3y - 5 = 0$.
છેદ શૂન્ય ન હોઈ શકે,તેથી $z \neq -(1-2i)$,એટલે કે $x \neq -1$ અને $y \neq 2$.
આમ,બિંદુપથ એ રેખા $x+3y-5=0$ છે,જેમાં બિંદુ $(-1,2)$ નો સમાવેશ થતો નથી.
આ પદાવલિ શુદ્ધ વાસ્તવિક હોવા માટે,અંશ અને છેદના અનુબદ્ધનો ગુણાકારનો કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
છેદના અનુબદ્ધ વડે ગુણતા: $\frac{[(x-2)+i(y-1)][(x+1)-i(y-2)]}{(x+1)^2+(y-2)^2}$.
કાલ્પનિક ભાગ: $(x+1)(y-1) - (x-2)(y-2) = 0$.
વિસ્તરણ કરતા: $(xy - x + y - 1) - (xy - 2x - 2y + 4) = 0$.
$xy - x + y - 1 - xy + 2x + 2y - 4 = 0$.
$x + 3y - 5 = 0$.
છેદ શૂન્ય ન હોઈ શકે,તેથી $z \neq -(1-2i)$,એટલે કે $x \neq -1$ અને $y \neq 2$.
આમ,બિંદુપથ એ રેખા $x+3y-5=0$ છે,જેમાં બિંદુ $(-1,2)$ નો સમાવેશ થતો નથી.
0 likes
View Solution377
EasyMCQ
જો $z, \bar{z}, -z, -\bar{z}$ એ $2 \sqrt{3}$ ચોરસ એકમ ક્ષેત્રફળ ધરાવતો લંબચોરસ બનાવે છે,તો આવો એક $z$ છે
A
$\frac{1}{2}+\sqrt{3} i$
B
$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3} i}{4}$
C
$\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3} i}{2}$
D
$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{11} i}{2}$
Solution
(A) ધારો કે $z = x + iy$.
તો,આર્ગેન્ડ સમતલમાં લંબચોરસના શિરોબિંદુઓ $(x, y), (x, -y), (-x, -y),$ અને $(-x, y)$ છે.
લંબચોરસની બાજુઓની લંબાઈ $|2x|$ અને $|2y|$ છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $4|xy|$ છે.
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ $2\sqrt{3}$ છે,તેથી $4|xy| = 2\sqrt{3}$,જેનો અર્થ છે કે $|xy| = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
વિકલ્પ $A$ માટે,$z = \frac{1}{2} + \sqrt{3}i$,તેથી $x = \frac{1}{2}$ અને $y = \sqrt{3}$.
તેથી $|xy| = |\frac{1}{2} \times \sqrt{3}| = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આમ,$z = \frac{1}{2} + \sqrt{3}i$ એ એક શક્ય ઉકેલ છે.
તો,આર્ગેન્ડ સમતલમાં લંબચોરસના શિરોબિંદુઓ $(x, y), (x, -y), (-x, -y),$ અને $(-x, y)$ છે.
લંબચોરસની બાજુઓની લંબાઈ $|2x|$ અને $|2y|$ છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $4|xy|$ છે.
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ $2\sqrt{3}$ છે,તેથી $4|xy| = 2\sqrt{3}$,જેનો અર્થ છે કે $|xy| = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
વિકલ્પ $A$ માટે,$z = \frac{1}{2} + \sqrt{3}i$,તેથી $x = \frac{1}{2}$ અને $y = \sqrt{3}$.
તેથી $|xy| = |\frac{1}{2} \times \sqrt{3}| = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આમ,$z = \frac{1}{2} + \sqrt{3}i$ એ એક શક્ય ઉકેલ છે.
0 likes
View Solution378
EasyMCQ
ધારો કે $z = x + iy$ એક સંકર સંખ્યા છે,$A = \{z : |z| \leq 2\}$ અને $B = \{z : (1-i)z + (1+i)\bar{z} \geq 4\}$ છે. તો નીચેનામાંથી કયો વિકલ્પ $A \cap B$ માં આવે છે?
A
$\sqrt{3} + \frac{1}{2}i$
B
$\frac{1}{2} + \frac{i}{2}$
C
$\sqrt{2} + \frac{i}{2}$
D
$2 + 2i$
Solution
(A) આપેલ છે કે $A = \{z : |z| \leq 2\}$,જેનો અર્થ છે $\sqrt{x^2 + y^2} \leq 2$,અથવા $x^2 + y^2 \leq 4$.
આપેલ છે કે $B = \{z : (1-i)z + (1+i)\bar{z} \geq 4\}$.
$z = x + iy$ અને $\bar{z} = x - iy$ મૂકતા:
$(1-i)(x+iy) + (1+i)(x-iy) \geq 4$
$(x + iy - ix - i^2y) + (x - iy + ix - i^2y) \geq 4$
$(x + iy - ix + y) + (x - iy + ix + y) \geq 4$
$2x + 2y \geq 4 \implies x + y \geq 2$.
આમ,$A \cap B = \{z : x^2 + y^2 \leq 4 \text{ અને } x + y \geq 2\}$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$A$ માટે,$z = \sqrt{3} + \frac{1}{2}i$: $|z|^2 = 3 + \frac{1}{4} = 3.25 \leq 4$ (સાચું). $x+y = \sqrt{3} + 0.5 \approx 1.732 + 0.5 = 2.232 \geq 2$ (સાચું).
તેથી,$\sqrt{3} + \frac{1}{2}i$ એ $A \cap B$ માં આવે છે.
આપેલ છે કે $B = \{z : (1-i)z + (1+i)\bar{z} \geq 4\}$.
$z = x + iy$ અને $\bar{z} = x - iy$ મૂકતા:
$(1-i)(x+iy) + (1+i)(x-iy) \geq 4$
$(x + iy - ix - i^2y) + (x - iy + ix - i^2y) \geq 4$
$(x + iy - ix + y) + (x - iy + ix + y) \geq 4$
$2x + 2y \geq 4 \implies x + y \geq 2$.
આમ,$A \cap B = \{z : x^2 + y^2 \leq 4 \text{ અને } x + y \geq 2\}$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$A$ માટે,$z = \sqrt{3} + \frac{1}{2}i$: $|z|^2 = 3 + \frac{1}{4} = 3.25 \leq 4$ (સાચું). $x+y = \sqrt{3} + 0.5 \approx 1.732 + 0.5 = 2.232 \geq 2$ (સાચું).
તેથી,$\sqrt{3} + \frac{1}{2}i$ એ $A \cap B$ માં આવે છે.
0 likes
View Solution379
MediumMCQ
સમીકરણ $z^2(1-z^2)=16$,$z \in \mathbb{C}$ ના ઉકેલો કયા વક્ર પર આવેલા છે?
A
$|z|=1$
B
$|z|=\frac{2}{|z|}$
C
$|z|^2=3|z|+2$
D
$|z|=2$
Solution
(D) આપેલ સમીકરણ $z^2(1-z^2)=16$,જ્યાં $z \in \mathbb{C}$ છે.
આને $z^2 - z^4 = 16$,અથવા $z^4 - z^2 + 16 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $z^2 = w$. તો $w^2 - w + 16 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$w = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2} = \frac{1 \pm 3i\sqrt{7}}{2}$.
કારણ કે $w = z^2$,તેથી $|w| = |z^2| = |z|^2$.
$w$ નો માનાંક શોધતા:
$|w| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{3\sqrt{7}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{63}{4}} = \sqrt{\frac{64}{4}} = \sqrt{16} = 4$.
તેથી,$|z|^2 = 4$,જેનો અર્થ છે કે $|z| = 2$.
આને $z^2 - z^4 = 16$,અથવા $z^4 - z^2 + 16 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $z^2 = w$. તો $w^2 - w + 16 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$w = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2} = \frac{1 \pm 3i\sqrt{7}}{2}$.
કારણ કે $w = z^2$,તેથી $|w| = |z^2| = |z|^2$.
$w$ નો માનાંક શોધતા:
$|w| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{3\sqrt{7}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{63}{4}} = \sqrt{\frac{64}{4}} = \sqrt{16} = 4$.
તેથી,$|z|^2 = 4$,જેનો અર્થ છે કે $|z| = 2$.
0 likes
View Solution380
EasyMCQ
$\sinh(ix)$ એ ... ના બરાબર છે.
A
$i \sin x$
B
$\sin(ix)$
C
$-i \sin x$
D
$i \sin(ix)$
Solution
(A) આપણે જાણીએ છીએ કે હાઇપરબોલિક સાઇન વિધેયની વ્યાખ્યા $\sinh(z) = \frac{e^z - e^{-z}}{2}$ છે.
$z = ix$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\sinh(ix) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}$.
ઓઈલરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$,જે સૂચવે છે કે $\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2} = i \sin x$.
તેથી,$\sinh(ix) = i \sin x$.
$z = ix$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\sinh(ix) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}$.
ઓઈલરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$,જે સૂચવે છે કે $\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2} = i \sin x$.
તેથી,$\sinh(ix) = i \sin x$.
0 likes
View Solution381
DifficultMCQ
$\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે અને $Z$ એ એક સંકર સંખ્યા છે જે $|Z-1| \leq 2$ નું સમાધાન કરે છે. $r$ ના એવા સંભવિત મૂલ્યો કે જેના માટે $|Z-1| \leq 2$ અને $|\omega Z - 1 - \omega^2| = r$ નો કોઈ સામાન્ય ઉકેલ ન હોય તે છે
A
$0 \leq r < 0$
B
$r < 0$
C
$r > 4$
D
$1 < r < 2$
Solution
(C) આપેલ છે $|Z-1| \leq 2$,જે $1$ કેન્દ્ર અને $2$ ત્રિજ્યા ધરાવતો ડિસ્ક છે.
$|\omega Z - 1 - \omega^2| = r$ માં $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ મૂકતા,તે $|\omega Z + \omega| = r$ એટલે કે $|Z+1| = r$ બને છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = |1 - (-1)| = 2$ છે.
કોઈ સામાન્ય ઉકેલ ન મળે તે માટે,વર્તુળ ડિસ્કની બહાર હોવું જોઈએ,જે $r < 0$ સૂચવે છે. વિકલ્પો મુજબ $r > 4$ એ યોગ્ય શરત છે.
$|\omega Z - 1 - \omega^2| = r$ માં $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ મૂકતા,તે $|\omega Z + \omega| = r$ એટલે કે $|Z+1| = r$ બને છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = |1 - (-1)| = 2$ છે.
કોઈ સામાન્ય ઉકેલ ન મળે તે માટે,વર્તુળ ડિસ્કની બહાર હોવું જોઈએ,જે $r < 0$ સૂચવે છે. વિકલ્પો મુજબ $r > 4$ એ યોગ્ય શરત છે.
0 likes
View Solution382
MediumMCQ
જો $z = x + iy$ હોય અને બિંદુ $P$ એ આર્ગેન્ડ સમતલમાં $z$ ને દર્શાવતું હોય,તો સમીકરણ $|z - 1| + |z + i| = 2$ નું સમાધાન કરતા $z$ નો બિંદુપથ શું છે?
A
$15x^2 - 2xy + 15y^2 - 16x + 16y - 48 = 0$
B
$3x^2 + 2xy + 3y^2 - 4x - 4y = 0$
C
$3x^2 - 2xy + 3y^2 - 4x + 4y = 0$
D
$15x^2 + 2xy + 15y^2 + 16x - 16y - 48 = 0$
Solution
(C) આપેલ છે $z = x + iy$.
સમીકરણ $|z - 1| + |z + i| = 2$ છે.
$z = x + iy$ મૂકતા,$|(x - 1) + iy| + |x + i(y + 1)| = 2$ મળે.
આનો અર્થ $\sqrt{(x - 1)^2 + y^2} + \sqrt{x^2 + (y + 1)^2} = 2$ થાય.
પુનઃગોઠવણ કરતા,$\sqrt{(x - 1)^2 + y^2} = 2 - \sqrt{x^2 + (y + 1)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x - 1)^2 + y^2 = 4 + x^2 + (y + 1)^2 - 4\sqrt{x^2 + (y + 1)^2}$.
$x^2 - 2x + 1 + y^2 = 4 + x^2 + y^2 + 2y + 1 - 4\sqrt{x^2 + (y + 1)^2}$.
$-2x - 2y - 4 = -4\sqrt{x^2 + (y + 1)^2}$.
$-2$ વડે ભાગતા: $x + y + 2 = 2\sqrt{x^2 + (y + 1)^2}$.
ફરીથી બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x + y + 2)^2 = 4(x^2 + y^2 + 2y + 1)$.
$x^2 + y^2 + 4 + 2xy + 4x + 4y = 4x^2 + 4y^2 + 8y + 4$.
સાદું રૂપ આપતા: $3x^2 - 2xy + 3y^2 - 4x + 4y = 0$.
સમીકરણ $|z - 1| + |z + i| = 2$ છે.
$z = x + iy$ મૂકતા,$|(x - 1) + iy| + |x + i(y + 1)| = 2$ મળે.
આનો અર્થ $\sqrt{(x - 1)^2 + y^2} + \sqrt{x^2 + (y + 1)^2} = 2$ થાય.
પુનઃગોઠવણ કરતા,$\sqrt{(x - 1)^2 + y^2} = 2 - \sqrt{x^2 + (y + 1)^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x - 1)^2 + y^2 = 4 + x^2 + (y + 1)^2 - 4\sqrt{x^2 + (y + 1)^2}$.
$x^2 - 2x + 1 + y^2 = 4 + x^2 + y^2 + 2y + 1 - 4\sqrt{x^2 + (y + 1)^2}$.
$-2x - 2y - 4 = -4\sqrt{x^2 + (y + 1)^2}$.
$-2$ વડે ભાગતા: $x + y + 2 = 2\sqrt{x^2 + (y + 1)^2}$.
ફરીથી બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x + y + 2)^2 = 4(x^2 + y^2 + 2y + 1)$.
$x^2 + y^2 + 4 + 2xy + 4x + 4y = 4x^2 + 4y^2 + 8y + 4$.
સાદું રૂપ આપતા: $3x^2 - 2xy + 3y^2 - 4x + 4y = 0$.
0 likes
View Solution383
MediumMCQ
ધારો કે $z = x + iy$ એ આર્ગેન્ડ સમતલમાં એક બિંદુ છે. જો $\left(\frac{z - 3}{z + 2i}\right)$ નો કંપવિસ્તાર (amplitude) $\frac{\pi}{2}$ હોય,તો $z$ નો બિંદુપથ શું છે?
A
એક વર્તુળ
B
એક સીધી રેખા
C
ઉગમબિંદુનો સમાવેશ ન કરતો અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ
D
ઉગમબિંદુનો સમાવેશ કરતો અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ
Solution
(D) શરત $\operatorname{Arg}\left(\frac{z - z_1}{z - z_2}\right) = \frac{\pi}{2}$ એ $z_1$ અને $z_2$ ને જોડતો અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ દર્શાવે છે. \\ અહીં,$z_1 = 3$ અને $z_2 = -2i$ છે. \\ બિંદુપથ એ $(3, 0)$ અને $(0, -2)$ માંથી પસાર થતું અર્ધવર્તુળ છે. \\ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ આ ચાપ પર છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે $z = 0$ મૂકીએ: \\ $\operatorname{Arg}\left(\frac{0 - 3}{0 + 2i}\right) = \operatorname{Arg}\left(\frac{-3}{2i}\right) = \operatorname{Arg}\left(\frac{3i}{2}\right) = \frac{\pi}{2}$. \\ કારણ કે $z = 0$ માટે શરત સંતોષાય છે,તેથી બિંદુપથ એ ઉગમબિંદુનો સમાવેશ કરતો અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ છે.
0 likes
View Solution384
MediumMCQ
જો $z=x+iy$ અને આર્ગેન્ડ સમતલમાં બિંદુ $P$ એ $z$ દર્શાવે છે,તો $|z-2|+|z-2i|=4$ સમીકરણનું સમાધાન કરતા $z$ નો બિંદુપથ શું છે?
A
$4x^2+3xy+4y^2-6x-6y+8=0$
B
$3x^2+2xy+3y^2-8x-8y+6=0$
C
$3x^2+2xy+3y^2-8x-8y=0$
D
$4x^2+3xy+4y^2-6x-6y=0$
Solution
(C) આપેલ છે $z=x+iy$. સમીકરણ $|z-2|+|z-2i|=4$ છે.
$z=x+iy$ મૂકતા,આપણને $|(x-2)+iy|+|x+(y-2)i|=4$ મળે છે.
આ $\sqrt{(x-2)^2+y^2} + \sqrt{x^2+(y-2)^2} = 4$ દર્શાવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x-2)^2+y^2 = 16 + x^2+(y-2)^2 - 8\sqrt{x^2+(y-2)^2}$.
સાદું રૂપ આપતા: $x^2-4x+4+y^2 = 16+x^2+y^2-4y+4 - 8\sqrt{x^2+(y-2)^2}$.
$-4x+4y-16 = -8\sqrt{x^2+(y-2)^2}$.
$-4$ વડે ભાગતા: $x-y+4 = 2\sqrt{x^2+(y-2)^2}$.
ફરીથી વર્ગ કરતા: $(x-y+4)^2 = 4(x^2+y^2-4y+4)$.
$x^2+y^2+16-2xy+8x-8y = 4x^2+4y^2-16y+16$.
પદો ગોઠવતા: $3x^2+3y^2+2xy-8x-8y=0$.
$z=x+iy$ મૂકતા,આપણને $|(x-2)+iy|+|x+(y-2)i|=4$ મળે છે.
આ $\sqrt{(x-2)^2+y^2} + \sqrt{x^2+(y-2)^2} = 4$ દર્શાવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x-2)^2+y^2 = 16 + x^2+(y-2)^2 - 8\sqrt{x^2+(y-2)^2}$.
સાદું રૂપ આપતા: $x^2-4x+4+y^2 = 16+x^2+y^2-4y+4 - 8\sqrt{x^2+(y-2)^2}$.
$-4x+4y-16 = -8\sqrt{x^2+(y-2)^2}$.
$-4$ વડે ભાગતા: $x-y+4 = 2\sqrt{x^2+(y-2)^2}$.
ફરીથી વર્ગ કરતા: $(x-y+4)^2 = 4(x^2+y^2-4y+4)$.
$x^2+y^2+16-2xy+8x-8y = 4x^2+4y^2-16y+16$.
પદો ગોઠવતા: $3x^2+3y^2+2xy-8x-8y=0$.
0 likes
View Solution385
MediumMCQ
$z$ નો બિંદુપથ શોધો કે જેથી $\left|\frac{z-i}{z+i}\right|=2$,જ્યાં $z=x+iy$ છે.
A
$3x^2+3y^2+10y+3=0$
B
$3x^2-3y^2-10y-3=0$
C
$3x^2+3y^2+10y-3=0$
D
$x^2+y^2-5y+3=0$
Solution
(A) આપેલ છે કે $\left|\frac{z-i}{z+i}\right|=2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\left|\frac{z-i}{z+i}\right|^2=4$ મળે.
$z=x+iy$ મૂકતા,$\left|\frac{x+i(y-1)}{x+i(y+1)}\right|^2=4$ મળે.
$\frac{x^2+(y-1)^2}{x^2+(y+1)^2}=4$.
$x^2+y^2-2y+1=4(x^2+y^2+2y+1)$.
$x^2+y^2-2y+1=4x^2+4y^2+8y+4$.
પદોને ગોઠવતા: $3x^2+3y^2+10y+3=0$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\left|\frac{z-i}{z+i}\right|^2=4$ મળે.
$z=x+iy$ મૂકતા,$\left|\frac{x+i(y-1)}{x+i(y+1)}\right|^2=4$ મળે.
$\frac{x^2+(y-1)^2}{x^2+(y+1)^2}=4$.
$x^2+y^2-2y+1=4(x^2+y^2+2y+1)$.
$x^2+y^2-2y+1=4x^2+4y^2+8y+4$.
પદોને ગોઠવતા: $3x^2+3y^2+10y+3=0$.
0 likes
View Solution386
MediumMCQ
$z=x+iy$ નો બિંદુપથ શોધો, જેથી $\operatorname{Im}\left(\frac{z-3i}{iz+4}\right)=0$ થાય.
A
$x^2-y^2+7y-12=0$
B
$x^2+y^2-7y+12=0$
C
$x^2+y^2-7y+12=0$ અને $(x,y) \neq (0,4)$
D
$x^2-y^2+7y-12=0$ અને $(x,y) \neq (0,4)$
Solution
(C) આપેલ છે $z=x+iy$ અને $\operatorname{Im}\left(\frac{z-3i}{iz+4}\right)=0$.
$z=x+iy$ મૂકતા, $\frac{x+i(y-3)}{i(x+iy)+4} = \frac{x+i(y-3)}{(4-y)+ix}$ મળે.
કાલ્પનિક ભાગ શોધવા માટે, અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા $(4-y)-ix$ વડે ગુણતા.
છેદ $(4-y)^2+x^2$ થાય છે.
અંશ $[x+i(y-3)][(4-y)-ix] = x(4-y)-ix^2+i(y-3)(4-y)+x(y-3)$ થાય છે.
અંશનું સાદું રૂપ: $4x-xy-ix^2+i(-y^2+7y-12)+xy-3x = x - i(x^2+y^2-7y+12)$.
કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવાથી, $i$ નો સહગુણક શૂન્ય થવો જોઈએ: $-(x^2+y^2-7y+12) = 0$, જેનો અર્થ છે $x^2+y^2-7y+12=0$.
વળી, છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ, તેથી $(4-y)^2+x^2 \neq 0$, જેનો અર્થ છે $(x,y) \neq (0,4)$.
$z=x+iy$ મૂકતા, $\frac{x+i(y-3)}{i(x+iy)+4} = \frac{x+i(y-3)}{(4-y)+ix}$ મળે.
કાલ્પનિક ભાગ શોધવા માટે, અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા $(4-y)-ix$ વડે ગુણતા.
છેદ $(4-y)^2+x^2$ થાય છે.
અંશ $[x+i(y-3)][(4-y)-ix] = x(4-y)-ix^2+i(y-3)(4-y)+x(y-3)$ થાય છે.
અંશનું સાદું રૂપ: $4x-xy-ix^2+i(-y^2+7y-12)+xy-3x = x - i(x^2+y^2-7y+12)$.
કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવાથી, $i$ નો સહગુણક શૂન્ય થવો જોઈએ: $-(x^2+y^2-7y+12) = 0$, જેનો અર્થ છે $x^2+y^2-7y+12=0$.
વળી, છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ, તેથી $(4-y)^2+x^2 \neq 0$, જેનો અર્થ છે $(x,y) \neq (0,4)$.
0 likes
View Solution387
EasyMCQ
જો $A = \{z = x + iy : \frac{\bar{z}-1}{z-i} \text{ નો વાસ્તવિક ભાગ } = 2\}$,તો કાર્તેઝિયન સમતલમાં બિંદુ $P(x, y)$ નો બિંદુપથ શું છે?
A
$(-1, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડી
B
$\frac{1}{\sqrt{2}}$ ત્રિજ્યા અને $(\frac{-1}{2}, \frac{3}{2})$ કેન્દ્ર ધરાવતું વર્તુળ
C
$(-1, -2)$ માંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડી
D
$\frac{1}{2}$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ
Solution
(A) ધારો કે $z = x + iy$,તેથી $\bar{z} = x - iy$.
પદમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{\bar{z}-1}{z-i} = \frac{(x-1) - iy}{x + i(y-1)}$.
વાસ્તવિક ભાગ મેળવવા માટે,અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા $x - i(y-1)$ વડે ગુણો.
$\frac{((x-1) - iy)(x - i(y-1))}{x^2 + (y-1)^2} = \frac{x(x-1) - y(y-1) + i(\dots)}{x^2 + (y-1)^2}$.
વાસ્તવિક ભાગ $\frac{x^2 - x - y^2 + y}{x^2 + (y-1)^2} = 2$ છે.
$x^2 - x - y^2 + y = 2(x^2 + y^2 - 2y + 1)$.
$x^2 + 3y^2 + x - 5y + 2 = 0$.
આ સમીકરણ $(-1, 1)$ બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે.
પદમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{\bar{z}-1}{z-i} = \frac{(x-1) - iy}{x + i(y-1)}$.
વાસ્તવિક ભાગ મેળવવા માટે,અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા $x - i(y-1)$ વડે ગુણો.
$\frac{((x-1) - iy)(x - i(y-1))}{x^2 + (y-1)^2} = \frac{x(x-1) - y(y-1) + i(\dots)}{x^2 + (y-1)^2}$.
વાસ્તવિક ભાગ $\frac{x^2 - x - y^2 + y}{x^2 + (y-1)^2} = 2$ છે.
$x^2 - x - y^2 + y = 2(x^2 + y^2 - 2y + 1)$.
$x^2 + 3y^2 + x - 5y + 2 = 0$.
આ સમીકરણ $(-1, 1)$ બિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓની જોડી દર્શાવે છે.
0 likes
View Solution388
EasyMCQ
જો $z-2-3i$ નો કંપવિસ્તાર (amplitude) $\pi/4$ હોય,તો $z=x+iy$ નો બિંદુપથ (locus) શું છે?
A
$x+y-1=0$
B
$x-y-1=0$
C
$x+y+1=0$
D
$x-y+1=0$
Solution
(D) આપેલ છે કે,$\arg(z-2-3i) = \frac{\pi}{4}$.
ધારો કે $z = x+iy$.
તેથી $z-2-3i = (x-2) + i(y-3)$.
$\arg(z-2-3i) = \frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$\tan^{-1}\left(\frac{y-3}{x-2}\right) = \frac{\pi}{4}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{y-3}{x-2} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.
તેથી,$y-3 = x-2$,જેનું સાદું રૂપ $x-y+1 = 0$ થાય છે.
આમ,$z$ નો બિંદુપથ $x-y+1 = 0$ છે.
ધારો કે $z = x+iy$.
તેથી $z-2-3i = (x-2) + i(y-3)$.
$\arg(z-2-3i) = \frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$\tan^{-1}\left(\frac{y-3}{x-2}\right) = \frac{\pi}{4}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{y-3}{x-2} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.
તેથી,$y-3 = x-2$,જેનું સાદું રૂપ $x-y+1 = 0$ થાય છે.
આમ,$z$ નો બિંદુપથ $x-y+1 = 0$ છે.
0 likes
View Solution389
MediumMCQ
જો બિંદુ $\left(\frac{k-1}{k}, \frac{k-2}{k}\right)$ એ અસમતા $\left|\frac{z+3i}{3z+i}\right| < 1$ નું સમાધાન કરતા $z$ ના બિંદુપથ પર આવેલું હોય,તો $k$ કયા અંતરાલમાં હશે?
A
$(-\infty, 2) \cup (3, \infty)$
B
$[2, 3]$
C
$[1, 5]$
D
$(-\infty, 1) \cup (5, \infty)$
Solution
(D) આપેલ છે $\left|\frac{z+3i}{3z+i}\right| < 1$,જ્યાં $z = x + iy$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{|z+3i|^2}{|3z+i|^2} < 1$.
આથી $|x + i(y+3)|^2 < |3x + i(3y+1)|^2$.
$x^2 + (y+3)^2 < (3x)^2 + (3y+1)^2$.
$x^2 + y^2 + 6y + 9 < 9x^2 + 9y^2 + 6y + 1$.
$8x^2 + 8y^2 - 8 > 0$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 > 1$ થાય છે.
બિંદુ $\left(\frac{k-1}{k}, \frac{k-2}{k}\right)$ આ અસમતાનું સમાધાન કરે છે:
$\left(\frac{k-1}{k}\right)^2 + \left(\frac{k-2}{k}\right)^2 > 1$.
$\frac{k^2 - 2k + 1 + k^2 - 4k + 4}{k^2} > 1$.
$2k^2 - 6k + 5 > k^2$.
$k^2 - 6k + 5 > 0$.
$(k-1)(k-5) > 0$.
તેથી,$k \in (-\infty, 1) \cup (5, \infty)$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{|z+3i|^2}{|3z+i|^2} < 1$.
આથી $|x + i(y+3)|^2 < |3x + i(3y+1)|^2$.
$x^2 + (y+3)^2 < (3x)^2 + (3y+1)^2$.
$x^2 + y^2 + 6y + 9 < 9x^2 + 9y^2 + 6y + 1$.
$8x^2 + 8y^2 - 8 > 0$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + y^2 > 1$ થાય છે.
બિંદુ $\left(\frac{k-1}{k}, \frac{k-2}{k}\right)$ આ અસમતાનું સમાધાન કરે છે:
$\left(\frac{k-1}{k}\right)^2 + \left(\frac{k-2}{k}\right)^2 > 1$.
$\frac{k^2 - 2k + 1 + k^2 - 4k + 4}{k^2} > 1$.
$2k^2 - 6k + 5 > k^2$.
$k^2 - 6k + 5 > 0$.
$(k-1)(k-5) > 0$.
તેથી,$k \in (-\infty, 1) \cup (5, \infty)$.
0 likes
View Solution390
EasyMCQ
જો $z=x+iy$ એ એક સંકર સંખ્યા હોય જે $\left|\frac{z-2i}{z+2i}\right|=2$ નું સમાધાન કરે છે અને $z$ નો બિંદુપથ એક વર્તુળ છે,તો તેની ત્રિજ્યા કેટલી છે?
A
$\frac{5}{3}$
B
$\sqrt{\frac{71}{9}}$
C
$\frac{8}{3}$
D
$\frac{1}{3}$
Solution
(C) આપેલ સમીકરણ: $\left|\frac{z-2i}{z+2i}\right|=2$.
$z=x+iy$ મૂકતા: $\left|\frac{x+i(y-2)}{x+i(y+2)} \right|=2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{x^2+(y-2)^2}{x^2+(y+2)^2}=4$.
$x^2+y^2-4y+4 = 4(x^2+y^2+4y+4)$.
$x^2+y^2-4y+4 = 4x^2+4y^2+16y+16$.
$3x^2+3y^2+20y+12=0$.
$3$ વડે ભાગતા: $x^2+y^2+\frac{20}{3}y+4=0$.
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $x^2+(y+\frac{10}{3})^2 = \frac{100}{9}-4 = \frac{100-36}{9} = \frac{64}{9}$.
આમ,$x^2+(y+\frac{10}{3})^2 = (\frac{8}{3})^2$.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $\frac{8}{3}$ છે.
$z=x+iy$ મૂકતા: $\left|\frac{x+i(y-2)}{x+i(y+2)} \right|=2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{x^2+(y-2)^2}{x^2+(y+2)^2}=4$.
$x^2+y^2-4y+4 = 4(x^2+y^2+4y+4)$.
$x^2+y^2-4y+4 = 4x^2+4y^2+16y+16$.
$3x^2+3y^2+20y+12=0$.
$3$ વડે ભાગતા: $x^2+y^2+\frac{20}{3}y+4=0$.
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $x^2+(y+\frac{10}{3})^2 = \frac{100}{9}-4 = \frac{100-36}{9} = \frac{64}{9}$.
આમ,$x^2+(y+\frac{10}{3})^2 = (\frac{8}{3})^2$.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $\frac{8}{3}$ છે.
0 likes
View Solution391
MediumMCQ
$z = x + iy$ હોય ત્યારે અસમતા $\left|\frac{z+2 i}{2 z+i}\right| < 1$ નું સમાધાન કરતા $z$ નો બિંદુપથ શું છે?
A
$x^2+y^2 < 1$
B
$x^2-y^2 < 1$
C
$x^2+y^2 > 1$
D
$2 x^2+3 y^2 < 1$
Solution
(C) ધારો કે $z = x + iy$.
આપેલ છે કે,$\left|\frac{z + 2i}{2z + i}\right| < 1$.
આનો અર્થ એ થાય કે $|z + 2i| < |2z + i|$.
$z = x + iy$ મૂકતા,આપણને $|x + i(y + 2)| < |2x + i(2y + 1)|$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2 + (y + 2)^2 < (2x)^2 + (2y + 1)^2$.
$x^2 + y^2 + 4y + 4 < 4x^2 + 4y^2 + 4y + 1$.
$3 < 3x^2 + 3y^2$.
$3$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2 + y^2 > 1$ મળે છે.
આપેલ છે કે,$\left|\frac{z + 2i}{2z + i}\right| < 1$.
આનો અર્થ એ થાય કે $|z + 2i| < |2z + i|$.
$z = x + iy$ મૂકતા,આપણને $|x + i(y + 2)| < |2x + i(2y + 1)|$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2 + (y + 2)^2 < (2x)^2 + (2y + 1)^2$.
$x^2 + y^2 + 4y + 4 < 4x^2 + 4y^2 + 4y + 1$.
$3 < 3x^2 + 3y^2$.
$3$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2 + y^2 > 1$ મળે છે.
0 likes
View Solution392
EasyMCQ
$|\frac{z-2i}{z+2i}|=1$ નું સમાધાન કરતા બિંદુ $z=x+iy$ નો બિંદુપથ શું છે?
A
$x$-અક્ષ
B
$y$-અક્ષ
C
$y=2$
D
$x=2$
Solution
(A) આપેલ છે,$|\frac{z-2i}{z+2i}|=1$
$\Rightarrow |z-2i| = |z+2i|$
$z=x+iy$ મૂકતા:
$|x+i(y-2)| = |x+i(y+2)|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x^2+(y-2)^2 = x^2+(y+2)^2$
$x^2+y^2-4y+4 = x^2+y^2+4y+4$
$-4y = 4y$
$8y = 0$
$y=0$
આ $x$-અક્ષ દર્શાવે છે.
$\Rightarrow |z-2i| = |z+2i|$
$z=x+iy$ મૂકતા:
$|x+i(y-2)| = |x+i(y+2)|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x^2+(y-2)^2 = x^2+(y+2)^2$
$x^2+y^2-4y+4 = x^2+y^2+4y+4$
$-4y = 4y$
$8y = 0$
$y=0$
આ $x$-અક્ષ દર્શાવે છે.
0 likes
View Solution4-1.Complex numbers — Geometry of complex numbers · Frequently Asked Questions
1Are these 4-1.Complex numbers questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
Use the Vedclass Exam Paper Generator — select the chapter and subtopic, set difficulty, and generate Sets A, B, C, D automatically. First 3 chapters of every subject are free.
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real JEE/NEET style with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D papers from this chapter in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Live online exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFor Teachers & Institutes
Generate a 4-1.Complex numbers Exam Paper in 2 Minutes
Select subtopic & difficulty — Sets A, B, C, D auto-generated with No Repeat logic.
First 3 chapters of every subject are free — no payment required.