ધારો કે બિંદુ P એ આર્ગેન્ડ સમતલમાં z=x+iy દર્ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) શરત $(i)$ માટે, $\frac{2z+i}{z-2} = \frac{2(x+iy)+i}{(x-2)+iy} = \frac{2x + i(2y+1)}{(x-2)+iy}$.આ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોવા માટે, વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય હોવ

Vedclass · Accepted Answer

$\left(\frac{5}{37},-\frac{30}{37}\right)$

Vedclass · Answer

(D) શરત $(i)$ માટે, $\frac{2z+i}{z-2} = \frac{2(x+iy)+i}{(x-2)+iy} = \frac{2x + i(2y+1)}{(x-2)+iy}$.આ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોવા માટે, વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:$\operatorname{Re}\left(\frac{2x + i(2y+1)}{(x-2)+iy} \cdot \frac{(x-2)-iy}{(x-2)-iy}\right) = 0 \implies 2x(x-2) + y(2y+1) = 0$.$2x^2 - 4x + 2y^2 + y = 0 \implies x^2 + y^2 - 2x + \frac{1}{2}y = 0$ (વર્તુળ $C_1$).શરત $(ii)$ માટે, $\operatorname{Arg}\left(\frac{z+i}{z+1}\right) = \frac{\pi}{2}$ નો અર્થ છે કે $\frac{z+i}{z+1}$ એ ધન કાલ્પનિક ભાગ સાથે શુદ્ધ કાલ્પનિક છે.ધારો કે $z+i = x+i(y+1)$ અને $z+1 = (x+1)+iy$.$\frac{z+i}{z+1} = \frac{(x+i(y+1))((x+1)-iy)}{(x+1)^2+y^2} = \frac{x(x+1) + y(y+1) + i((x+1)(y+1) - xy)}{(x+1)^2+y^2}$.વાસ્તવિક ભાગ $x(x+1) + y(y+1) = 0 \implies x^2 + x + y^2 + y = 0$ (વર્તુળ $C_2$).$C_1$ અને $C_2$ ના સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:$(x^2 + y^2 - 2x + \frac{1}{2}y) - (x^2 + y^2 + x + y) = 0 \implies -3x - \frac{1}{2}y = 0 \implies y = -6x$.$y = -6x$ ને $x^2 + y^2 + x + y = 0$ માં મૂકતા:$x^2 + 36x^2 + x - 6x = 0 \implies 37x^2 - 5x = 0$.$x(37x - 5) = 0 \implies x = 0$ અથવા $x = \frac{5}{37}$.$x = \frac{5}{37}$ માટે, $y = -6(\frac{5}{37}) = -\frac{30}{37}$.ઉગમબિંદુ સિવાયનું છેદબિંદુ $\left(\frac{5}{37}, -\frac{30}{37}\right)$ છે.

Similar Questions

જો $a$ એ સંકર સંખ્યા હોય અને $b$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા હોય,તો સમીકરણ $\bar{a}+a+b=0$ એ $a$ ને શું દર્શાવે છે?

$\alpha, \beta, z \in \mathbb{C}$ અને $\lambda > 1$ માટે,જો $\sqrt{\lambda - 1}$ એ વર્તુળ $|z - \alpha|^2 + |z - \beta|^2 = 2\lambda$ ની ત્રિજ્યા હોય,તો $|\alpha - \beta|$ ની કિંમત $.............$ થાય.

જો $(Z-2)$ નો કંપવિસ્તાર (amplitude) $\frac{\pi}{2}$ હોય,તો $Z$ નો બિંદુપથ શું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module