Geometry of complex numbers Questions in Gujarati

(C) આપેલ છે કે $w = \frac{\sqrt{3} + i}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = e^{i\pi/6}$.
તેથી, $P = \{e^{in\pi/6} : n = 1, 2, 3, \ldots\}$.
$H_1 = \{z : \operatorname{Re}(z) > 1/2\}$. $z = e^{in\pi/6} = \cos(n\pi/6) + i \sin(n\pi/6)$ માટે, $\operatorname{Re}(z) = \cos(n\pi/6) > 1/2$ નો અર્થ છે કે $n\pi/6 \in (0, \pi/3) \cup (5\pi/3, 2\pi)$. $n \in Z^+$ માટે, આનાથી $n = 1$ $(z_1 = e^{i\pi/6} = \frac{\sqrt{3}+i}{2})$ અને $n = 11$ $(z_1 = e^{i11\pi/6} = \frac{\sqrt{3}-i}{2})$ મળે છે.
$H_2 = \{z : \operatorname{Re}(z) < -1/2\}$. $\operatorname{Re}(z) = \cos(n\pi/6) < -1/2$ નો અર્થ છે કે $n\pi/6 \in (2\pi/3, 4\pi/3)$. $n \in Z^+$ માટે, આનાથી $n = 5$ $(z_2 = e^{i5\pi/6} = \frac{-\sqrt{3}+i}{2})$ અને $n = 7$ $(z_2 = e^{i7\pi/6} = \frac{-\sqrt{3}-i}{2})$ મળે છે.
શક્ય ખૂણાઓ $\angle z_1 O z_2$ એ કોણાંકનો તફાવત છે: $|\arg(z_1) - \arg(z_2)|$.
$z_1$ માટે શક્ય કોણાંક $\pm \pi/6$ છે. $z_2$ માટે શક્ય કોણાંક $\pm 5\pi/6$ છે.
તફાવતો $|5\pi/6 - \pi/6| = 4\pi/6 = 2\pi/3$, $|-5\pi/6 - \pi/6| = |-\pi| = \pi$, $|5\pi/6 - (-\pi/6)| = \pi$, અને $|-5\pi/6 - (-\pi/6)| = |-4\pi/6| = 2\pi/3$ છે.
તેથી, શક્ય મૂલ્યો $2\pi/3$ અને $\pi$ છે. વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, $2\pi/3$ હાજર છે.

(B,C) $1.$ $S_1$ એ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત $r=4$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનો અંદરનો ભાગ દર્શાવે છે.
$S_2: \operatorname{Im}[\frac{(x-1)+i(y+\sqrt{3})}{1-\sqrt{3} i} \cdot \frac{1+\sqrt{3} i}{1+\sqrt{3} i}] > 0 \implies \operatorname{Im}[\frac{(x-1+i(y+\sqrt{3}))(1+\sqrt{3} i)}{4}] > 0$
$\implies (x-1)\sqrt{3} + (y+\sqrt{3}) > 0 \implies \sqrt{3}x + y > 0$.
$S_3: x > 0$.
પ્રદેશ $S$ એ ડિસ્ક $x^2+y^2 < 16$,અર્ધ-સમતલ $y > -\sqrt{3}x$,અને અર્ધ-સમતલ $x > 0$ નો છેદ છે. આ $\theta = 150^\circ = \frac{5\pi}{6}$ રેડિયન ખૂણા સાથેનો વર્તુળાકાર સેક્ટર બનાવે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{1}{2} \times 16 \times \frac{5\pi}{6} = \frac{20\pi}{3}$.
$2.$ આપણે બિંદુ $P(1, -3)$ થી પ્રદેશ $S$ સુધીનું લઘુત્તમ અંતર શોધવાની જરૂર છે. $S$ ની સીમામાં $x > 0$ માટે રેખા $y = -\sqrt{3}x$ નો સમાવેશ થાય છે.
$(1, -3)$ થી રેખા $\sqrt{3}x + y = 0$ સુધીનું અંતર $d = \frac{|\sqrt{3}(1) + (-3)|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2}} = \frac{|\sqrt{3}-3|}{2} = \frac{3-\sqrt{3}}{2}$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\alpha_k = e^{i \frac{k \pi}{7}}$.
તેથી $|\alpha_{k+1} - \alpha_k| = |e^{i \frac{(k+1) \pi}{7}} - e^{i \frac{k \pi}{7}}| = |e^{i \frac{k \pi}{7}}| |e^{i \frac{\pi}{7}} - 1| = |e^{i \frac{\pi}{7}} - 1|$.
અંશ $\sum_{k=1}^{12} |e^{i \frac{\pi}{7}} - 1| = 12 |e^{i \frac{\pi}{7}} - 1|$ છે.
છેદ $\sum_{k=1}^3 |e^{i \frac{(4k-1) \pi}{7}} - e^{i \frac{(4k-2) \pi}{7}}| = \sum_{k=1}^3 |e^{i \frac{(4k-2) \pi}{7}}| |e^{i \frac{\pi}{7}} - 1| = 3 |e^{i \frac{\pi}{7}} - 1|$ છે.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{12 |e^{i \frac{\pi}{7}} - 1|}{3 |e^{i \frac{\pi}{7}} - 1|} = \frac{12}{3} = 4$ થાય.

(A) ધારો કે $z=x+iy$. વક્રના સમીકરણમાં આ કિંમત મૂકતા:
$(x+iy)(1+i)+(x-iy)(1-i)=4$
$x+ix+iy-y+x-ix-iy-y=4$
$2x-2y=4 \implies x-y=2$.
પ્રદેશ $|z-3| \leq 1$ એ $(3,0)$ કેન્દ્ર અને $r=1$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે,જે $(x-3)^2+y^2 \leq 1$ છે.
રેખા $x-y=2$ વર્તુળને $(2,0)$ અને $(3,1)$ બિંદુઓ પર છેદે છે.
કેન્દ્ર $(3,0)$ થી રેખા $x-y-2=0$ નું અંતર $d = \frac{|3-0-2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
વર્તુળાકાર ખંડનું ક્ષેત્રફળ $A_{segment} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$ છે.
નાનું ક્ષેત્રફળ $\alpha = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$ અને મોટું ક્ષેત્રફળ $\beta = \pi - (\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}) = \frac{3\pi}{4} + \frac{1}{2}$ છે.
તેથી $|\alpha-\beta| = \frac{\pi}{2} + 1$.

(A) આપેલ છે $\left|\frac{\bar{z}-i}{2 \bar{z}+i}\right|=\frac{1}{3}$.
અંશ અને છેદને $2$ વડે ભાગતા: $\left|\frac{\bar{z}-i}{2(\bar{z}+i/2)}\right|=\frac{1}{3}$ $\Rightarrow \left|\frac{\bar{z}-i}{\bar{z}+i/2}\right|=\frac{2}{3}$.
ધારો કે $z = x+iy$,તેથી $\bar{z} = x-iy$. આ કિંમત મૂકતા:
$3|x-iy-i| = 2|x-iy+i/2|$
$9(x^2 + (-y-1)^2) = 4(x^2 + (-y+1/2)^2)$
$9(x^2 + y^2 + 2y + 1) = 4(x^2 + y^2 - y + 1/4)$
$9x^2 + 9y^2 + 18y + 9 = 4x^2 + 4y^2 - 4y + 1$
$5x^2 + 5y^2 + 22y + 8 = 0$
$x^2 + y^2 + \frac{22}{5}y + \frac{8}{5} = 0$.
કેન્દ્ર $C$ એ $(0, -11/5)$ છે.
$(0,0)$,$(0, -11/5)$ અને $(\alpha, 0)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)| = 11$ છે.
$\frac{1}{2} |0(-11/5 - 0) + 0(0 - 0) + \alpha(0 - (-11/5))| = 11$.
$\frac{1}{2} |\alpha \cdot \frac{11}{5}| = 11$.
$|\alpha| = 10$.
તેથી,$\alpha^2 = 100$.

(D) $|z|=1$ આપેલ હોવાથી,આપણે $z = e^{i\theta}$ લખી શકીએ,જ્યાં $\theta \in [0, 2\pi)$.
તેથી $\bar{z} = e^{-i\theta}$.
આમ,$\frac{z}{\bar{z}} = e^{i2\theta}$ અને $\frac{\bar{z}}{z} = e^{-i2\theta}$.
આપેલ સમીકરણ $\left|e^{i2\theta} + e^{-i2\theta}\right| = 1$ છે.
ઓઈલરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$e^{i2\theta} + e^{-i2\theta} = 2\cos(2\theta)$.
તેથી,$|2\cos(2\theta)| = 1$,જેનો અર્થ છે કે $|\cos(2\theta)| = \frac{1}{2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\cos(2\theta) = \pm \frac{1}{2}$.
$\theta \in [0, 2\pi)$ માટે,$2\theta \in [0, 4\pi)$.
જો $\cos(2\theta) = \frac{1}{2}$ હોય,તો $2\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{11\pi}{3}$.
જો $\cos(2\theta) = -\frac{1}{2}$ હોય,તો $2\theta = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}, \frac{10\pi}{3}$.
$\theta$ માટે $8$ ભિન્ન કિંમતો મળે છે,તેથી આવી $8$ સંકર સંખ્યાઓ $z$ શક્ય છે.

(D) આપેલ છે $z_1 = \sqrt{3} + 2\sqrt{2}i$. માનાંક $|z_1| = \sqrt{11}$ છે.
આપેલ છે $\sqrt{3}|z_2| = |z_1|$,તેથી $|z_2| = \sqrt{\frac{11}{3}}$.
આપેલ છે $\arg(z_2) - \arg(z_1) = \frac{\pi}{6}$,તેથી $\angle AOB = \frac{\pi}{6}$.
$\triangle ABO$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |z_1| |z_2| \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{11}{4\sqrt{3}}$.
કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$AB^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 - 2|z_1||z_2| \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{11}{3}$.
અહીં $|z_2| = AB$ હોવાથી,$\triangle ABO$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.
ત્રીજો ખૂણો $\angle ABO = \frac{2\pi}{3}$ હોવાથી,તે ગુરુકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે.

(B) આપેલ અસમતાઓ સંકર સમતલમાં બે વર્તુળો દર્શાવે છે:
$|z_1 - (8 + 2i)| \leq 1$ એ $A(8, 2)$ કેન્દ્ર અને $r_1 = 1$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.
$|z_2 - (2 - 6i)| \leq 2$ એ $B(2, -6)$ કેન્દ્ર અને $r_2 = 2$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.
કેન્દ્રો $A(8, 2)$ અને $B(2, -6)$ વચ્ચેનું અંતર:
$d = \sqrt{(8 - 2)^2 + (2 - (-6))^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$.
આ વર્તુળોમાં બે બિંદુઓ $z_1$ અને $z_2$ વચ્ચેનું ન્યૂનતમ અંતર $d - r_1 - r_2$ દ્વારા મળે છે.
$|z_1 - z_2|_{\text{min}} = 10 - 1 - 2 = 7$.

(A) $z_1, z_2, z_3$ શિરોબિંદુઓ અને મધ્યકેન્દ્ર $z_0$ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,$z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1$ થાય.
મધ્યકેન્દ્ર $z_0 = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}$ હોવાથી,$z_1 + z_2 + z_3 = 3z_0$ મળે.
આપણે $\sum_{k=1}^3 (z_k - z_0)^2 = (z_1 - z_0)^2 + (z_2 - z_0)^2 + (z_3 - z_0)^2$ ની કિંમત શોધવી છે.
વિસ્તરણ કરતા,$(z_1^2 + z_2^2 + z_3^2) - 2z_0(z_1 + z_2 + z_3) + 3z_0^2$ મળે.
$z_1 + z_2 + z_3 = 3z_0$ મૂકતા,$(z_1^2 + z_2^2 + z_3^2) - 6z_0^2 + 3z_0^2 = (z_1^2 + z_2^2 + z_3^2) - 3z_0^2$ મળે.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે $z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = 3z_0^2$ હોવાથી,પરિણામ $3z_0^2 - 3z_0^2 = 0$ મળે.

(C) ધારો કે $z = x + iy$.
ગણ $A$ માટે, $|(x - 2) + i(y - 1)| = 3$, જે સૂચવે છે કે $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 9$.
ગણ $B$ માટે, $\operatorname{Re}((x + iy) - i(x + iy)) = \operatorname{Re}((x + y) + i(y - x)) = x + y = 2$.
$A$ ના સમીકરણમાં $y = 2 - x$ મૂકતા:
$(x - 2)^2 + (2 - x - 1)^2 = 9$
$(x - 2)^2 + (1 - x)^2 = 9$
$x^2 - 4x + 4 + 1 - 2x + x^2 = 9$
$2x^2 - 6x - 4 = 0 \implies x^2 - 3x - 2 = 0$.
બીજ $x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$ છે.
કારણ કે $y = 2 - x$, બિંદુઓ $z_1 = x_1 + iy_1$ અને $z_2 = x_2 + iy_2$ છે.
$|z|^2 = x^2 + y^2 = x^2 + (2 - x)^2 = 2x^2 - 4x + 4$.
$x^2 = 3x + 2$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $|z|^2 = 2(3x + 2) - 4x + 4 = 2x + 8$ મળે છે.
સરવાળો $= (2x_1 + 8) + (2x_2 + 8) = 2(x_1 + x_2) + 16$.
કારણ કે $x_1 + x_2 = 3$, સરવાળો $= 2(3) + 16 = 22$.

(C) આપેલ છે કે $\operatorname{Re}\left(\frac{z-1}{2z+i}\right) + \operatorname{Re}\left(\frac{\bar{z}-1}{2\bar{z}-i}\right)=2$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{Re}(w)=\operatorname{Re}(\bar{w})$, તેથી
$\operatorname{Re}\left(\frac{\bar{z}-1}{2\bar{z}-i}\right)=\operatorname{Re}\left(\overline{\left(\frac{\bar{z}-1}{2\bar{z}-i}\right)}\right)=\operatorname{Re}\left(\frac{z-1}{2z+i}\right)$
આમ, $2\operatorname{Re}\left(\frac{z-1}{2z+i}\right)=2 \Rightarrow \operatorname{Re}\left(\frac{z-1}{2z+i}\right)=1$
ધારો કે $z=x+iy$. તો
$\frac{z-1}{2z+i}=\frac{(x-1)+iy}{2x+i(2y+1)}=\frac{((x-1)+iy)(2x-i(2y+1))}{4x^2+(2y+1)^2}$
વાસ્તવિક ભાગ: $\frac{2x(x-1)+y(2y+1)}{4x^2+(2y+1)^2}=1$
$2x^2-2x+2y^2+y=4x^2+4y^2+4y+1$
$2x^2+2y^2+2x+3y+1=0$
$x^2+y^2+x+\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=0$
વર્તુળના પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,
કેન્દ્ર $(a,b)=\left(-\frac{1}{2},-\frac{3}{4}\right)$
$r^2=a^2+b^2-c=\frac{1}{4}+\frac{9}{16}-\frac{1}{2}=\frac{5}{16}$
તેથી, $\frac{15ab}{r^2}=15\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(-\frac{3}{4}\right)\cdot\frac{16}{5}=18$

(B) આપેલ છે $|x + iy - (1 + 2i)| = 2|x + iy - 3i|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 4(x^2 + (y - 3)^2)$ મળે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 4(x^2 + y^2 - 6y + 9)$.
$x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 4x^2 + 4y^2 - 24y + 36$.
પદોને ગોઠવતા: $3x^2 + 3y^2 + 2x - 20y + 31 = 0$.
$3$ વડે ભાગતા: $x^2 + y^2 + \frac{2}{3}x - \frac{20}{3}y + \frac{31}{3} = 0$.
કેન્દ્ર $\left(-\frac{1}{3}, \frac{10}{3}\right)$ છે.
ત્રિજ્યા $\sqrt{\left(-\frac{1}{3}\right)^2 + \left(\frac{10}{3}\right)^2 - \frac{31}{3}} = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{100}{9} - \frac{93}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ છે.
આમ,વિધાન $A$ અને $D$ સાચા છે.

(A) આપેલ છે કે $w = \frac{z-1}{z+1}$.
$|z|=1$ હોવાથી,આપણે $z = x+iy$ લઈ શકીએ જ્યાં $x^2+y^2=1$.
તેથી $w = \frac{(x-1)+iy}{(x+1)+iy}$.
વાસ્તવિક ભાગ શોધવા માટે,છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા $(x+1)-iy$ વડે અંશ અને છેદને ગુણતા:
$w = \frac{((x-1)+iy)((x+1)-iy)}{(x+1)^2+y^2} = \frac{(x^2-1) + y^2 + i(y(x+1) - y(x-1))}{(x+1)^2+y^2}$.
$w = \frac{(x^2+y^2-1) + 2iy}{(x+1)^2+y^2}$.
$|z|=1$ હોવાથી,$x^2+y^2=1$,તેથી $x^2+y^2-1=0$.
આમ,$\operatorname{Re}(w) = \frac{0}{(x+1)^2+y^2} = 0$.

(B) આપેલ કાર્તેઝિયન યામ $(x, y) = (-2 \sqrt{3}, 2)$ છે.
પ્રથમ,માનાંક $r$ ની ગણતરી કરો:
$r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-2 \sqrt{3})^2 + (2)^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4$.
બિંદુ બીજા ચરણમાં હોવાથી $(x < 0, y > 0)$,કોણ $\theta$ નીચે મુજબ મળે:
$\theta = \pi - \tan^{-1} \left| \frac{y}{x} \right| = \pi - \tan^{-1} \left| \frac{2}{-2 \sqrt{3}} \right| = \pi - \tan^{-1} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5 \pi}{6}$.
આમ,ધ્રુવીય યામ $(r, \theta) = (4, \frac{5 \pi}{6})$ છે.

(D) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $z_1 = i$,$z_2 = \omega$,અને $z_3 = \omega^2$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\omega^2 = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
આર્ગેન્ડ સમતલમાં $z_1, z_2, z_3$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\text{Im}(\bar{z_1}z_2 + \bar{z_2}z_3 + \bar{z_3}z_1)|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$z_1 = 0 + i$,$z_2 = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$,$z_3 = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\bar{z_1}z_2 = (-i)(-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$.
$\bar{z_2}z_3 = (-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2})(-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} + i\frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\bar{z_3}z_1 = (-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})(i) = -\frac{\sqrt{3}}{2} - i\frac{1}{2}$.
સરવાળો $= (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}) + i(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}) = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
કાલ્પનિક ભાગ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\frac{\sqrt{3}}{2}| = \frac{\sqrt{3}}{4}$ ચોરસ એકમ.

(A) ધારો કે $z = x + iy$.
સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $|(x+1) + i(y-1)| = |(x-1) + i(y+1)|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x+1)^2 + (y-1)^2 = (x-1)^2 + (y+1)^2$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 + 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1$.
સાદુરૂપ આપતા: $2x - 2y = -2x + 2y$.
$4x = 4y$,જેનો અર્થ છે $y = x$.
સમીકરણ $y = x$ એ ઉગમબિંદુ અને પ્રથમ તથા ત્રીજા ચરણમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $|z+3|-|z-3|=6$ છે.
ધારો કે $z = x + iy$. બિંદુઓ $z_1 = -3$ અને $z_2 = 3$ એ અતિવલયના નાભિઓ છે.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2c = |3 - (-3)| = 6$ છે.
અતિવલયની વ્યાખ્યા મુજબ $| |z - z_1| - |z - z_2| | = 2a$.
અહીં,$2a = 6$,તેથી $a = 3$.
$2a = 2c$ હોવાથી,અતિવલય નાભિઓને જોડતા રેખાખંડમાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ચોક્કસ રીતે,$|z+3|-|z-3|=6$ માટે,શરત $|z+3| = |z-3| + 6$ સૂચવે છે કે $z$ એ $x$-અક્ષ પર $3$ ની જમણી બાજુએ હોવું જોઈએ (એટલે કે $x \ge 3$).
આપેલા વિકલ્પોને જોતા,$|z+3|-|z-3|=6$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત બિંદુપથ માટે સૌથી યોગ્ય વર્ણન $x$-અક્ષ પરનું કિરણ છે.

(A) આપેલ છે $\left|\frac{z+i}{z-i}\right| = \sqrt{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{|z+i|^2}{|z-i|^2} = 3$ મળે.
$z = x + iy$ મૂકતા,$|x + i(y+1)|^2 = 3|x + i(y-1)|^2$ મળે.
આનું સાદુંરૂપ $x^2 + (y+1)^2 = 3(x^2 + (y-1)^2)$ થાય.
$x^2 + y^2 + 2y + 1 = 3(x^2 + y^2 - 2y + 1)$.
$x^2 + y^2 + 2y + 1 = 3x^2 + 3y^2 - 6y + 3$.
$2x^2 + 2y^2 - 8y + 2 = 0$.
$2$ વડે ભાગતા,$x^2 + y^2 - 4y + 1 = 0$ મળે.
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $x^2 + (y-2)^2 - 4 + 1 = 0$.
$x^2 + (y-2)^2 = 3$.
આ કેન્દ્ર $(0, 2)$ અને ત્રિજ્યા $\sqrt{3}$ વાળું વર્તુળ છે.

(D) આપેલ છે કે $\left|\frac{z-1}{z+2i}\right| = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $|z-1| = |z+2i|$.
$z = x + iy$ મૂકતા:
$|x + iy - 1| = |x + iy + 2i|$
$|(x-1) + iy| = |x + i(y+2)|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x-1)^2 + y^2 = x^2 + (y+2)^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + y^2 + 4y + 4$
$-2x + 1 = 4y + 4$
$2x + 4y + 3 = 0$.
આ એક સુરેખાનું સમીકરણ છે.

(B) આપેલ છે કે $z=x+iy$ અને $|z+1|=1$.
$z=x+iy$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$|(x+1)+iy|=1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(x+1)^2+y^2=1^2$.
આ વર્તુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ છે,જ્યાં કેન્દ્ર $(h,k)=(-1,0)$ અને ત્રિજ્યા $r=1$ છે.

(B) ધારો કે $w = \frac{z-1}{2z+1}$. $w$ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોવાથી $w + \overline{w} = 0$.
સાદુરૂપ આપતા,$4z\overline{z} - z - \overline{z} - 2 = 0$.
$z\overline{z} - \frac{1}{4}z - \frac{1}{4}\overline{z} = \frac{1}{2}$.
$(z - \frac{1}{4})(\overline{z} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{16} = \frac{9}{16}$.
$|z - \frac{1}{4}|^2 = (\frac{3}{4})^2$.
આમ,ત્રિજ્યા $\frac{3}{4}$ એકમ છે.

(C) પ્રારંભિક સ્થાન $Z_0 = 1 + 2i$ છે.
ઉગમબિંદુથી દૂર આડા $5$ એકમ ખસતા: $Z_{temp} = (1 + 5) + 2i = 6 + 2i$.
ધન $y$-અક્ષને સમાંતર $3$ એકમ ઊભી દિશામાં ખસતા: $Z_1 = 6 + (2 + 3)i = 6 + 5i$.
$Z_1$ થી,કણ $\hat{i} + \hat{j}$ ની દિશામાં $\sqrt{2}$ એકમ ખસે છે. આ દિશામાં એકમ સદિશ $\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i$ છે. તેથી,સ્થાનાંતર $\sqrt{2} \times (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i) = 1 + i$ છે.
નવું સ્થાન $Z_{1.5} = (6 + 5i) + (1 + i) = 7 + 6i$ છે.
છેલ્લે,ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત વર્તુળ પર ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં $\frac{\pi}{2}$ ખૂણે ફરવું એટલે $e^{i\pi/2} = i$ વડે ગુણવું.
$Z_2 = (7 + 6i) \times i = 7i + 6i^2 = 7i - 6 = -6 + 7i$.

(D) આપેલ છે $\left|\frac{z}{1+i}\right|=2$.
$|1+i| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$ હોવાથી,$|z| = 2|1+i| = 2\sqrt{2}$ મળે.
$z=x+iy$ મુકતા,$|x+iy| = 2\sqrt{2}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2+y^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8$ મળે.
આ વર્તુળ $x^2+y^2 = 8$ દર્શાવે છે જેનું કેન્દ્ર $C \equiv (0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ છે.

(C) આપેલ શરત $|z+1|=1$ છે.
સમીકરણમાં $z=x+iy$ મૂકતા:
$|x+iy+1|=1$
$|(x+1)+iy|=1$
સંકર સંખ્યાના માનાંકની વ્યાખ્યા $|a+ib|=\sqrt{a^2+b^2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sqrt{(x+1)^2+y^2}=1$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x+1)^2+y^2=1^2$
$(x+1)^2+y^2=1$
આ વર્તુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ છે,જ્યાં કેન્દ્ર $(h,k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
સમીકરણોની સરખામણી કરતા,કેન્દ્ર $(-1,0)$ અને ત્રિજ્યા $1$ એકમ મળે છે.

(A) આપેલ છે,$z\bar{z}^3+\bar{z}z^3=350$
$\Rightarrow z\bar{z}(\bar{z}^2+z^2)=350$
$\Rightarrow |z|^2(x-iy)^2+(x+iy)^2=350$
$\Rightarrow (x^2+y^2)(x^2-y^2-2ixy+x^2-y^2+2ixy)=350$
$\Rightarrow (x^2+y^2)(2x^2-2y^2)=350$
$\Rightarrow 2(x^2+y^2)(x^2-y^2)=350$
$\Rightarrow x^4-y^4=175$
$x$ અને $y$ પૂર્ણાંક હોવાથી,આપણે કિંમતો ચકાસીએ: $x^4-y^4=(x^2-y^2)(x^2+y^2)=175$.
$x=4, y=3$ માટે: $4^4-3^4=256-81=175$.
આમ,શિરોબિંદુઓ $(4,3), (-4,3), (-4,-3), (4,-3)$ છે.
લંબચોરસની લંબાઈ $|4-(-4)|=8$ અને પહોળાઈ $|3-(-3)|=6$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= 8 \times 6 = 48 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) આપેલ છે $w = \frac{z}{z - \frac{1}{3}i}$.
અંશ અને છેદને $3$ વડે ગુણતા,$w = \frac{3z}{3z - i}$ મળે.
$|w| = 1$ હોવાથી,$|\frac{3z}{3z - i}| = 1$,જેનો અર્થ છે કે $3|z| = |3z - i|$.
ધારો કે $z = x + iy$. તો $3|x + iy| = |3x + i(3y - 1)|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$9(x^2 + y^2) = (3x)^2 + (3y - 1)^2$.
$9x^2 + 9y^2 = 9x^2 + 9y^2 - 6y + 1$.
$6y - 1 = 0$,જે એક સીધી રેખાનું સમીકરણ છે.

(C) આપેલ અસમતા $|z-(2-i)| \leq 2$ એ સંકર સમતલમાં $2-i$ કેન્દ્ર અને $r=2$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
ધારો કે $z_0 = 2-i$. ઉગમબિંદુથી કેન્દ્રનું અંતર $|z_0| = |2-i| = \sqrt{2^2+(-1)^2} = \sqrt{5}$ છે.
$|z|$ ની મહત્તમ કિંમત $|z_0| + r = \sqrt{5} + 2$ છે.
$|z|$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $|z_0| - r = \sqrt{5} - 2$ છે.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમત વચ્ચેનો તફાવત $(\sqrt{5} + 2) - (\sqrt{5} - 2) = 4$ છે.

(B) આપેલ છે કે $(z-2-3i)$ નો કંપવિસ્તાર $\frac{3\pi}{4}$ છે અને $z=x+iy$ છે.
$z$ ની કિંમત મૂકતા,$(x-2) + i(y-3)$ મળે.
$\text{arg}((x-2) + i(y-3)) = \frac{3\pi}{4}$ હોવાથી,$\tan^{-1}\left(\frac{y-3}{x-2}\right) = \frac{3\pi}{4}$ થાય.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા,$\frac{y-3}{x-2} = \tan\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -1$.
આથી $y-3 = -(x-2)$,જેનું સાદું રૂપ $y-3 = -x+2$ થાય છે.
તેથી,$x+y=5$.

(D) ધારો કે $z = \frac{(1-i \sqrt{3})(1+i)}{(\sqrt{3}+i)}$.
અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા $(\sqrt{3}-i)$ વડે ગુણતા:
$z = \frac{(1-i \sqrt{3})(1+i)(\sqrt{3}-i)}{(\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i)}$
$z = \frac{(1+i-i\sqrt{3}+\sqrt{3})(\sqrt{3}-i)}{4}$
$z = \frac{(1+\sqrt{3}) + i(1-\sqrt{3})}{4} \cdot (\sqrt{3}-i)$
$z = \frac{1}{4} [4 - 4i] = 1 - i$
Argand સમતલમાં $1-i$ બિંદુ $(1, -1)$ છે.
$x$-યામ ધન અને $y$-યામ ઋણ હોવાથી,આ બિંદુ $IV$ ચરણમાં આવેલું છે.

(B) ધારો કે $z = x + iy$.
તેથી $z^{2} = x^{2} - y^{2} + 2ixy$.
આપેલ છે કે $z^{2} + \overline{z} = 0$,તેથી $(x^{2} - y^{2} + 2ixy) + (x - iy) = 0$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને અલગ કરતા: $(x^{2} + x - y^{2}) + i(2xy - y) = 0$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$x^{2} + x - y^{2} = 0$ $(i)$
$y(2x - 1) = 0$ (ii)
(ii) પરથી,$y = 0$ અથવા $x = 1/2$.
કિસ્સો $1$: જો $y = 0$,તો $x^{2} + x = 0 \Rightarrow x(x + 1) = 0$,તેથી $x = 0$ અથવા $x = -1$. આનાથી $z = 0$ અને $z = -1$ ઉકેલો મળે છે.
કિસ્સો $2$: જો $x = 1/2$,તો $(1/2)^{2} + 1/2 - y^{2} = 0$ $\Rightarrow 1/4 + 1/2 = y^{2}$ $\Rightarrow y^{2} = 3/4$ $\Rightarrow y = \pm \sqrt{3}/2$. આનાથી $z = 1/2 + i\sqrt{3}/2$ અને $z = 1/2 - i\sqrt{3}/2$ ઉકેલો મળે છે.
આમ,કુલ $4$ ઉકેલો છે.

(D) આપેલ છે,$z = x + iy$ અને $\left|\frac{z-1}{z+2i}\right| = 1$.
બંને બાજુ માનાંક લેતા,$|z-1| = |z+2i|$ મળે.
$z = x + iy$ મૂકતા,$|(x-1) + iy| = |x + i(y+2)|$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x-1)^2 + y^2 = x^2 + (y+2)^2$ મળે.
પદ વિસ્તરણ કરતા,$x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + y^2 + 4y + 4$ મળે.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા,$-2x + 1 = 4y + 4$,જે $2x + 4y + 3 = 0$ આપે છે.
આ એક સુરેખાનું સમીકરણ છે.

(A) ધારો કે $z = \sqrt{3}+i$. માનાંક $|z| = 2$ અને કોણાંક $\arg(z) = 30^{\circ}$ છે.
$OPQ$ એ $O$ આગળ $90^{\circ}$ નો ખૂણો ધરાવતો સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,$Q$ મેળવવા માટે $P$ ને $90^{\circ}$ ના ખૂણે ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં અથવા વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરવવું પડે.
જો આપણે $+90^{\circ}$ ફેરવીએ,તો $Q$ નો કોણાંક $30^{\circ} + 90^{\circ} = 120^{\circ}$ થાય. સંકર સંખ્યા $2(\cos 120^{\circ} + i\sin 120^{\circ}) = -1 + i\sqrt{3}$ મળે.
જો આપણે $-90^{\circ}$ ફેરવીએ,તો $Q$ નો કોણાંક $30^{\circ} - 90^{\circ} = -60^{\circ}$ થાય. સંકર સંખ્યા $2(\cos(-60^{\circ}) + i\sin(-60^{\circ})) = 1 - i\sqrt{3}$ મળે.
આમ,$Q$ એ $-1+i\sqrt{3}$ અથવા $1-i\sqrt{3}$ દર્શાવે છે.

(D) આપેલ છે,$z=x+iy$.
સમીકરણ $|z+1|=|z-1|$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|z+1|^2 = |z-1|^2$ મળે.
$z=x+iy$ મુકતા,$|(x+1)+iy|^2 = |(x-1)+iy|^2$ મળે.
આથી $(x+1)^2 + y^2 = (x-1)^2 + y^2$.
સાદું રૂપ આપતા,$(x+1)^2 - (x-1)^2 = 0$.
નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા,$(x+1-x+1)(x+1+x-1) = 0$.
$(2)(2x) = 0$,જે $4x = 0$ આપે છે,તેથી $x = 0$.
સમીકરણ $x=0$ એ સંકર સમતલમાં $Y$-અક્ષ દર્શાવે છે.

(B) ધારો કે $z_1 = e^{i\alpha}$,$z_2 = e^{i\beta}$,અને $z_3 = e^{i\gamma}$.
આપેલ છે કે $z_1 + 2z_2 + 3z_3 = 0$.
જો $x + y + z = 0$ હોય,તો $x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$ થાય.
તેથી,$z_1^3 + (2z_2)^3 + (3z_3)^3 = 3(z_1)(2z_2)(3z_3) = 18z_1 z_2 z_3$.
ઘાતાંકીય સ્વરૂપમાં લખતા: $e^{i3\alpha} + 8e^{i3\beta} + 27e^{i3\gamma} = 18e^{i(\alpha + \beta + \gamma)}$.
$\alpha + \beta + \gamma = \pi$ હોવાથી,$18e^{i\pi} = 18(\cos \pi + i \sin \pi) = -18 + 0i$.
કાલ્પનિક ભાગને સરખાવતા,$\sin 3 \alpha + 8 \sin 3 \beta + 27 \sin 3 \gamma = 0$ મળે છે.

(C) ધારો કે $\alpha = \sqrt{2}+\sqrt{3} i$. સહગુણકો પૂર્ણાંક હોવાથી,તેનો અનુબદ્ધ $\bar{\alpha} = \sqrt{2}-\sqrt{3} i$ પણ બીજ હશે. વધુમાં,$\sqrt{2}$ અસંમેય હોવાથી,$-\sqrt{2}+\sqrt{3} i$ અને $-\sqrt{2}-\sqrt{3} i$ પણ બીજ હશે.
બહુપદી નીચે મુજબ મળે:
$(x-(\sqrt{2}+\sqrt{3} i))(x-(\sqrt{2}-\sqrt{3} i))(x-(-\sqrt{2}+\sqrt{3} i))(x-(-\sqrt{2}-\sqrt{3} i)) = 0$
પદોને ગોઠવતા:
$((x-\sqrt{2})-\sqrt{3} i)((x-\sqrt{2})+\sqrt{3} i) \times ((x+\sqrt{2})-\sqrt{3} i)((x+\sqrt{2})+\sqrt{3} i) = 0$
$((x-\sqrt{2})^2 + 3)((x+\sqrt{2})^2 + 3) = 0$
$(x^2 - 2\sqrt{2}x + 5)(x^2 + 2\sqrt{2}x + 5) = 0$
$(x^2+5)^2 - (2\sqrt{2}x)^2 = 0$
$x^4 + 10x^2 + 25 - 8x^2 = 0$
$x^4 + 2x^2 + 25 = 0$

(A) ધારો કે $Z = x + iy$.
તો $Z - 2 = (x - 2) + iy$.
સંકર સંખ્યા $w = a + ib$ નો કંપવિસ્તાર (argument) $\theta = \tan^{-1}(\frac{b}{a})$ છે.
આપેલ છે કે $\arg(Z - 2) = \frac{\pi}{2}$,જેનો અર્થ છે કે વાસ્તવિક ભાગ $0$ હોવો જોઈએ અને કાલ્પનિક ભાગ ધન હોવો જોઈએ.
તેથી,$x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ અને $y > 0$.
આમ,$Z$ નો બિંદુપથ એ શિરોલંબ રેખા $x = 2$ છે જ્યાં $y > 0$.

(D) ધારો કે $z=x+iy$, તો $z^2=(x+iy)^2 = x^2-y^2+i(2xy)$.
$C_1$ માટે, $\operatorname{Re}(z^2)=x^2-y^2=4$ $(i)$.
$C_2$ માટે, $\operatorname{Im}(z^2)=2xy=4 \Rightarrow xy=2$ $(ii)$.
$(ii)$ પરથી, $y=\frac{2}{x}$. $(i)$ માં મૂકતા:
$x^2 - (\frac{2}{x})^2 = 4 \Rightarrow x^2 - \frac{4}{x^2} = 4$.
ધારો કે $t=x^2$ $(t > 0)$: $t - \frac{4}{t} = 4 \Rightarrow t^2 - 4t - 4 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $t = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4(1)(-4)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{32}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{2}$.
$t=x^2 > 0$ હોવાથી, $t = 2+2\sqrt{2}$ મળે.
આમ, $x^2 = 2+2\sqrt{2}$, જે $x$ ની બે વાસ્તવિક કિંમતો આપે છે $(x = \pm \sqrt{2+2\sqrt{2}})$.
દરેક $x$ માટે, $y = \frac{2}{x}$ એ $y$ ની એક અનન્ય વાસ્તવિક કિંમત આપે છે.
તેથી, $2$ સામાન્ય બિંદુઓ મળે છે.

(C) જેમ બિંદુ $\alpha$ એ વર્તુળ $\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2=r^2$ પર આવેલું છે,તેથી $|\alpha-z_0|^2=r^2$,જ્યાં $z_0=x_0+iy_0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે $|\alpha|^2+|z_0|^2-(\alpha\bar{z}_0+\bar{\alpha}z_0)=r^2 \quad \ldots (i)$
કારણ કે $\frac{1}{\bar{\alpha}}$ એ વર્તુળ $\left(x-x_0\right)^2+\left(y-y_0\right)^2=4r^2$ પર આવેલું છે,તેથી $|\frac{1}{\bar{\alpha}}-z_0|^2=4r^2$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{1}{|\alpha|^2}+|z_0|^2-(\frac{\alpha\bar{z}_0}{|\alpha|^2}+\frac{\bar{\alpha}z_0}{|\alpha|^2})=4r^2$.
$|\alpha|^2$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે $1+|z_0|^2|\alpha|^2-(\alpha\bar{z}_0+\bar{\alpha}z_0)=4r^2|\alpha|^2 \quad \ldots (ii)$
$(i)$ ને $(ii)$ માંથી બાદ કરતા,આપણને મળે છે $(|\alpha|^2-1)|z_0|^2 - (|\alpha|^2-1) = r^2(4|\alpha|^2-1)$.
$(|\alpha|^2-1)(|z_0|^2-1) = r^2(4|\alpha|^2-1)$.
આપેલ છે કે $2|z_0|^2=r^2+2$,તેથી $|z_0|^2-1 = \frac{r^2}{2}$.
આ કિંમત મૂકતા,$(|\alpha|^2-1)\frac{r^2}{2} = r^2(4|\alpha|^2-1)$.
$r^2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે $\frac{|\alpha|^2-1}{2} = 4|\alpha|^2-1$.
$|\alpha|^2-1 = 8|\alpha|^2-2$.
$7|\alpha|^2=1 \Rightarrow |\alpha|=\frac{1}{\sqrt{7}}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $\bar{z}z^3+z(\bar{z})^3=700$ છે.
$z=x+iy$ હોવાથી,$\bar{z}=x-iy$ અને $z\bar{z}=x^2+y^2$ થાય.
સમીકરણને $\bar{z}z(z^2+(\bar{z})^2)=700$ તરીકે લખી શકાય.
કિંમતો મૂકતા,$(x^2+y^2)(2(x^2-y^2))=700$ મળે.
તેથી $(x^2+y^2)(x^2-y^2)=350$.
$x^2+y^2=25$ અને $x^2-y^2=7$ લેતા,$2x^2=32$ $\Rightarrow x^2=16$ $\Rightarrow x=\pm 4$ અને $2y^2=18$ $\Rightarrow y^2=9$ $\Rightarrow y=\pm 3$.
શિરોબિંદુઓ $(\pm 4, \pm 3)$ છે.
લંબચોરસની લંબાઈ $8$ અને પહોળાઈ $6$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= 8 \times 6 = 48$ થાય.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) આપેલ છે કે $z_1 = 12 + 5i$ અને $|z_2| = 9$.
પ્રથમ,$z_1$ નો માનાંક શોધો:
$|z_1| = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$.
ત્રિકોણ અસમતા મુજબ,$|z_1 + z_2|$ ની રેન્જ $||z_1| - |z_2|| \leq |z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ દ્વારા મળે છે.
મહત્તમ કિંમત $b = |z_1| + |z_2| = 13 + 9 = 22$.
ન્યૂનતમ કિંમત $a = ||z_1| - |z_2|| = |13 - 9| = 4$.
તેથી,$a^2 + b^2 = 4^2 + 22^2 = 16 + 484 = 500$.

(D) આપણી પાસે છે,$\frac{z-1}{z+i} = \frac{x+iy-1}{x+i(y+1)}$.
છેદના અનુબદ્ધ $x-i(y+1)$ વડે અંશ અને છેદને ગુણતા:
$\frac{(x-1)+iy}{x+i(y+1)} \times \frac{x-i(y+1)}{x-i(y+1)} = \frac{x(x-1) - i(x-1)(y+1) + ixy + y(y+1)}{x^2+(y+1)^2}$.
વાસ્તવિક ભાગ $\frac{x(x-1)+y(y+1)}{x^2+(y+1)^2}$ છે.
આપેલ છે કે વાસ્તવિક ભાગ $1$ છે,તેથી:
$\frac{x^2-x+y^2+y}{x^2+(y+1)^2} = 1$.
$x^2-x+y^2+y = x^2+y^2+2y+1$.
$-x+y = 2y+1$.
$x+y+1 = 0$.
વિકલ્પો તપાસતા,$(2016, -2017)$ માટે,$2016 + (-2017) + 1 = 0$ મળે છે.
આમ,બિંદુ $(2016, -2017)$ એ બિંદુપથ પર આવેલું છે.

(B) આપેલ છે કે $z = x + iy$,તેથી $\bar{z} = x - iy$.
સમીકરણ $z^2 = (i \bar{z})^2$ આપેલ છે.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $z^2 = i^2 (\bar{z})^2$.
$i^2 = -1$ હોવાથી,$z^2 = -(\bar{z})^2$,જેનો અર્થ છે કે $z^2 + (\bar{z})^2 = 0$.
$z = x + iy$ અને $\bar{z} = x - iy$ મૂકતા:
$(x + iy)^2 + (x - iy)^2 = 0$.
$(x^2 - y^2 + 2ixy) + (x^2 - y^2 - 2ixy) = 0$.
$2(x^2 - y^2) = 0$.
$x^2 - y^2 = 0$.
$x^2 = y^2$,જેનો અર્થ છે કે $y = \pm x$.

(C) આપેલ છે કે $z_1$ અને $z_2$ એ $Z^2+pZ+q=0$ ના બીજ છે,તેથી $z_1+z_2 = -p$ અને $z_1z_2 = q$.
$OA=OB$ હોવાથી,$|z_1| = |z_2|$.
ધારો કે $z_1 = re^{i\theta_1}$ અને $z_2 = re^{i\theta_2}$.
$\angle AOB = \alpha$ આપેલ હોવાથી,$|\theta_1 - \theta_2| = \alpha$.
તેથી $z_1/z_2 = e^{i(\theta_1-\theta_2)} = e^{\pm i\alpha}$.
$z_1+z_2 = -p$ પરથી,$p^2 = (z_1+z_2)^2 = z_1^2 + z_2^2 + 2z_1z_2$.
વળી $p^2 - 4q = (z_1-z_2)^2$.
આમ $p^2 = 4q + (z_1-z_2)^2 = 4q + z_2^2(z_1/z_2 - 1)^2$.
$z_1/z_2 = e^{i\alpha}$ નો ઉપયોગ કરતા,$p^2 = 4q + z_2^2(e^{i\alpha}-1)^2 = 4q + z_2^2 e^{i\alpha}(e^{i\alpha/2} - e^{-i\alpha/2})^2$.
$z_1z_2 = q$ હોવાથી,$z_2^2 e^{i\alpha} = z_1z_2 = q$.
તેથી $p^2 = 4q + q(2i \sin(\alpha/2))^2 = 4q - 4q \sin^2(\alpha/2) = 4q \cos^2(\alpha/2)$.

(A) આર્ગેન્ડ સમતલમાં રેખાનું સમીકરણ $a \bar{z} + \bar{a} z + b = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $z_0$ થી રેખા $a \bar{z} + \bar{a} z + b = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|a \bar{z_0} + \bar{a} z_0 + b|}{2|a|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $z_0 = c$ મૂકતા,આપણને અંતર $d = \frac{|a \bar{c} + \bar{a} c + b|}{2|a|}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $z = x + iy$. તેથી $|z| = \sqrt{x^2 + y^2} = 4$,એટલે કે $x^2 + y^2 = 16$.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A = z$,$B = iz$ અને $C = z + iz$ છે.
અહીં $z$ અને $iz$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^\circ$ છે,તેથી આ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
બંને બાજુઓની લંબાઈ $|z| = 4$ અને $|iz| = 4$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$ ચોરસ એકમ.

(B) આપેલ છે,$|z^2-1|=|z|^2+1$. \\ ધારો કે $z=x+iy$. \\ તેથી,$|(x+iy)^2-1| = |x+iy|^2+1$. \\ $|x^2-y^2+2ixy-1| = x^2+y^2+1$. \\ $|(x^2-y^2-1)+i(2xy)| = x^2+y^2+1$. \\ બંને બાજુ વર્ગ કરતા: \\ $(x^2-y^2-1)^2 + (2xy)^2 = (x^2+y^2+1)^2$. \\ $(x^2-y^2)^2 + 1 - 2(x^2-y^2) + 4x^2y^2 = (x^2+y^2)^2 + 1 + 2(x^2+y^2)$. \\ $x^4+y^4-2x^2y^2 + 1 - 2x^2+2y^2 + 4x^2y^2 = x^4+y^4+2x^2y^2 + 1 + 2x^2+2y^2$. \\ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: \\ $-2x^2 = 2x^2$. \\ $4x^2 = 0 \implies x=0$. \\ $x=0$ હોવાથી,$z$ એ કાલ્પનિક અક્ષ પર આવેલી છે.

(A) આપણને $|z_1+z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2$ આપેલ છે।
$|z|^2 = z \bar{z}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$(z_1+z_2)(\bar{z_1}+\bar{z_2}) = z_1 \bar{z_1} + z_2 \bar{z_2}$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$z_1 \bar{z_1} + z_1 \bar{z_2} + z_2 \bar{z_1} + z_2 \bar{z_2} = z_1 \bar{z_1} + z_2 \bar{z_2}$.
બંને બાજુથી $|z_1|^2$ અને $|z_2|^2$ બાદ કરતા:
$z_1 \bar{z_2} + z_2 \bar{z_1} = 0$.
આને $z_1 \bar{z_2} + \overline{z_1 \bar{z_2}} = 0$ તરીકે લખી શકાય।
$z + \bar{z} = 2 \operatorname{Re}(z)$ હોવાથી, $2 \operatorname{Re}(z_1 \bar{z_2}) = 0$, જેનો અર્થ છે કે $\operatorname{Re}(z_1 \bar{z_2}) = 0$.
$|z_2|^2$ વડે ભાગતા, આપણને $\operatorname{Re}\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = 0$ મળે છે।

(D) આપેલ છે કે $|z \omega| = 1$,તેથી $|z| |\omega| = 1$.
વળી,$\operatorname{Arg}(z) - \operatorname{Arg}(\omega) = \frac{\pi}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\operatorname{Arg}(\frac{z}{\omega}) = \frac{\pi}{2}$.
ધારો કે $z = r_1 e^{i \theta_1}$ અને $\omega = r_2 e^{i \theta_2}$.
તેથી $|z| = r_1$ અને $|\omega| = r_2$,એટલે કે $r_1 r_2 = 1$.
$\operatorname{Arg}(z) = \theta_1$ અને $\operatorname{Arg}(\omega) = \theta_2$,તેથી $\theta_1 - \theta_2 = \frac{\pi}{2}$.
આપણે $\bar{z} \omega$ શોધવાનું છે.
$\bar{z} = r_1 e^{-i \theta_1}$.
$\bar{z} \omega = (r_1 e^{-i \theta_1}) (r_2 e^{i \theta_2}) = (r_1 r_2) e^{i(\theta_2 - \theta_1)}$.
કારણ કે $r_1 r_2 = 1$ અને $\theta_2 - \theta_1 = -\frac{\pi}{2}$,તેથી:
$\bar{z} \omega = 1 \cdot e^{-i \frac{\pi}{2}} = \cos(-\frac{\pi}{2}) + i \sin(-\frac{\pi}{2}) = 0 - i = -i$.