Geometry of complex numbers Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે,$|\frac{z-2i}{z+2i}|=1$
$\Rightarrow |z-2i| = |z+2i|$
$z=x+iy$ મૂકતા:
$|x+i(y-2)| = |x+i(y+2)|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x^2+(y-2)^2 = x^2+(y+2)^2$
$x^2+y^2-4y+4 = x^2+y^2+4y+4$
$-4y = 4y$
$8y = 0$
$y=0$
આ $x$-અક્ષ દર્શાવે છે.

(B) આપેલ છે કે $z = x+iy$,તેથી $z-2-3i = (x-2) + i(y-3)$.
$z-2-3i$ નો કંપવિસ્તાર $\frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$\arg((x-2) + i(y-3)) = \frac{\pi}{4}$.
આથી $\tan^{-1}\left(\frac{y-3}{x-2}\right) = \frac{\pi}{4}$.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા,$\frac{y-3}{x-2} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$.
તેથી,$y-3 = x-2$,જેનું સાદું રૂપ $x-y+1=0$ મળે છે.

(A) ધારો કે $a = x + iy$,જ્યાં $x, y \in \mathbb{R}$. તો $\bar{a} = x - iy$.
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણ $\bar{a} + a + b = 0$ માં મૂકતા:
$(x - iy) + (x + iy) + b = 0$
$2x + b = 0$
$x = -\frac{b}{2}$
અહીં $b$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવાથી,$-\frac{b}{2}$ એક અચળ છે. સમીકરણ $x = \text{constant}$ એ સંકર સમતલમાં એક શિરોલંબ સીધી રેખા દર્શાવે છે.

(C) ધારો કે $z = x + iy$. આપેલી શરત $\operatorname{Arg}\left(\frac{z-3i}{z+2i}\right) = \frac{\pi}{4}$ છે.
આ $A(0, 3)$ અને $B(0, -2)$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનો ચાપ દર્શાવે છે.
$\frac{z-3i}{z+2i} = \frac{x+i(y-3)}{x+i(y+2)}$ લેતા અને સાદું રૂપ આપતા, આપણને મળે છે $\frac{x(y-3) - x(y+2)}{x^2 + (y-3)(y+2)} = 1$.
આથી, $-5x = x^2 + y^2 - y - 6$.
તેથી, $x^2 + y^2 + 5x - y - 6 = 0$, જ્યાં $(x, y) \neq (0, -2)$.

(C) ધારો કે $z = x + iy$. તેથી $\frac{z-3}{z+3i} = \frac{(x-3) + iy}{x + i(y+3)}$.
છેદના અનુબદ્ધ વડે ગુણતા: $x - i(y+3)$.
કાલ્પનિક ભાગ $\frac{-3x + 3y + 9}{x^2 + (y+3)^2} = 0$ મળે છે.
તેથી,$-3x + 3y + 9 = 0$ એટલે કે $x - y - 3 = 0$.
છેદ શૂન્ય ન હોઈ શકે,તેથી $(x, y) \neq (0, -3)$.

(C) શરત $\text{arg}\left(\frac{z-3}{z-2i}\right)=-\frac{\pi}{2}$ સૂચવે છે કે બિંદુ $A(3,0)$ અને $B(0,2)$ ને જોડતા રેખાખંડ દ્વારા બિંદુ $P(x,y)$ પર બનતો ખૂણો $-\frac{\pi}{2}$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $P$ એ $A(3,0)$ અને $B(0,2)$ માંથી પસાર થતા વર્તુળના ચાપ પર આવેલું છે.
$z=x+iy$ લેતા,$\frac{z-3}{z-2i} = \frac{x^2+y^2-3x-2y + i(6-2x-3y)}{x^2+(y-2)^2}$ મળે.
કોણ $-\frac{\pi}{2}$ હોવા માટે,વાસ્તવિક ભાગ $0$ અને કાલ્પનિક ભાગ ઋણ હોવો જોઈએ.
વાસ્તવિક ભાગ: $x^2+y^2-3x-2y=0$,જે એક વર્તુળ છે.
કાલ્પનિક ભાગ: $6-2x-3y < 0$,જેનો અર્થ $2x+3y > 6$ થાય.
આમ,બિંદુપથ એ વર્તુળનો તે ચાપ છે જ્યાં $2x+3y > 6$ છે.

(B) ધારો કે $z = x + iy$. તેથી $\frac{2z-i}{z-2} = \frac{2(x+iy)-i}{(x+iy)-2} = \frac{2x + i(2y-1)}{(x-2) + iy}$.
આને શુદ્ધ વાસ્તવિક બનાવવા માટે,અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $(x-2) - iy$ વડે ગુણો:
$\frac{[2x + i(2y-1)][(x-2) - iy]}{(x-2)^2 + y^2} = \frac{2x(x-2) + y(2y-1) + i[(2y-1)(x-2) - 2xy]}{(x-2)^2 + y^2}$.
પદ શુદ્ધ વાસ્તવિક હોવા માટે,કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$(2y-1)(x-2) - 2xy = 0$.
$2xy - 4y - x + 2 - 2xy = 0$.
$-x - 4y + 2 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $x + 4y - 2 = 0$ થાય છે.
છેદ $z-2 \neq 0$ હોવાથી,$(x, y) \neq (2, 0)$ હોવું જોઈએ.

(B) ધારો કે $z = x + iy$.
પદાવલિ $\frac{2z-i}{z+2i} = \frac{2(x+iy)-i}{(x+iy)+2i} = \frac{2x + i(2y-1)}{x + i(y+2)}$ છે.
આર્ગ્યુમેન્ટ શોધવા માટે,છેદના અનુબદ્ધ વડે ગુણતા:
$\frac{2x + i(2y-1)}{x + i(y+2)} \times \frac{x - i(y+2)}{x - i(y+2)} = \frac{2x^2 + (2y-1)(y+2) + i[x(2y-1) - 2x(y+2)]}{x^2 + (y+2)^2}$.
વાસ્તવિક ભાગ $R = \frac{2x^2 + 2y^2 + 3y - 2}{x^2 + (y+2)^2}$ અને કાલ્પનિક ભાગ $I = \frac{-5x}{x^2 + (y+2)^2}$ છે.
આપેલ છે કે $\text{Arg}\left(\frac{2z-i}{z+2i}\right) = \frac{\pi}{4}$,તેથી $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{I}{R} = 1$.
આમ,$I = R$,જે સૂચવે છે કે $\frac{-5x}{x^2 + (y+2)^2} = \frac{2x^2 + 2y^2 + 3y - 2}{x^2 + (y+2)^2}$.
આનું સાદું રૂપ $2x^2 + 2y^2 + 5x + 3y - 2 = 0$ મળે છે,જ્યાં $(x, y) \neq (0, -2)$.

(B) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $z^2+az+b=0$ ના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,આપણી પાસે $\alpha+\beta = -a$ અને $\alpha\beta = b$ છે.
કારણ કે ઉગમબિંદુ $(0)$,$\alpha$,અને $\beta$ આર્ગેન્ડ સમતલમાં એક સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે,તેથી ઉગમબિંદુ પર એક શિરોબિંદુ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણ માટેની શરત $\alpha^2 + \beta^2 = \alpha\beta$ છે.
આને આપણે $(\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = \alpha\beta$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ.
બીજના સરવાળા અને ગુણાકારની કિંમતો મૂકતા: $(-a)^2 - 2(b) = b$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $a^2 - 2b = b$ મળે છે,જે $a^2 = 3b$ આપે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $|z-2i|=2$ એ આર્ગેન્ડ સમતલમાં $(0, 2)$ કેન્દ્ર અને $2$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ મહત્તમ હોય તે માટે તે સમબાજુ ત્રિકોણ હોવો જોઈએ.
ધારો કે $A$ બિંદુ $(2, 2)$ છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર $O'(0, 2)$ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ માટે,$A$ માંથી $BC$ પરનો વેધ કેન્દ્ર $O'(0, 2)$ માંથી પસાર થાય છે.
$M$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $M$ ના યામ $(-1, 2)$ મળે છે.
તેથી,$M$ નો કાલ્પનિક ભાગ $2$ છે.
$M$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\frac{\text{Im}(z_2) + \text{Im}(z_3)}{2} = 2$.
તેથી,$\text{Im}(z_2) + \text{Im}(z_3) = 4$.

(D) આર્ગેન્ડ સમતલમાં ચાર બિંદુઓ $A, B, C, D$ ના યામ $(2, 1), (4, 3), (2, 5), (0, 3)$ છે.
બાજુઓના ઢાળની ગણતરી કરતા:
$AB$ નો ઢાળ $= \frac{3-1}{4-2} = 1$.
$BC$ નો ઢાળ $= \frac{5-3}{2-4} = -1$.
ઢાળનો ગુણાકાર $1 \times (-1) = -1$ હોવાથી,$\angle ABC = 90^\circ$ થાય.
આમ,$ABCD$ એક લંબચોરસ છે.
વર્તુળમાં અંતર્ગત લંબચોરસના વિકર્ણો એ વર્તુળના વ્યાસ હોય છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર એ વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$AC$ નું મધ્યબિંદુ $= \left(\frac{2+2}{2}, \frac{1+5}{2}\right) = (2, 3)$.
સંકર સંખ્યા સ્વરૂપે,આ $2+3i$ છે.

(C) સમીકરણ $|z-z_1| + |z-z_2| = \lambda$ એ બે નિશ્ચિત બિંદુઓ $z_1$ અને $z_2$ થી અંતરનો સરવાળો અચળ હોવાનું દર્શાવે છે.
જો $\lambda = |z_1-z_2|$ હોય,તો બિંદુપથ એ $z_1$ અને $z_2$ ને જોડતો રેખાખંડ છે.
જો $\lambda > |z_1-z_2|$ હોય,તો બિંદુપથ એ $z_1$ અને $z_2$ નાભિઓ ધરાવતું ઉપવલય છે.
જો $\lambda < |z_1-z_2|$ હોય,તો બિંદુપથ ખાલી ગણ છે.
તેથી,શરત $|z_1-z_2| < \lambda$ એ ઉપવલય દર્શાવે છે.

(C) આપણને આપેલ છે કે $|z+4| \geq 3$.
ત્રિકોણ અસમતા મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે $|z+4| = |(z+3) + 1| \leq |z+3| + |1|$.
આપેલ શરત મૂકતા,આપણને $3 \leq |z+3| + 1$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $|z+3| \geq 3 - 1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $|z+3| \geq 2$.
તેથી,$|z+3|$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $2$ છે.

(D) અસમતા $2 < |z-(1+i)| < 3$ એ $(1, 1)$ કેન્દ્ર અને $r_1 = 2$ તથા $r_2 = 3$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે સમકેન્દ્રી વર્તુળો વચ્ચેનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
આ પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ (વલય) એ બહારના વર્તુળના ક્ષેત્રફળ અને અંદરના વર્તુળના ક્ષેત્રફળ વચ્ચેનો તફાવત છે.
ક્ષેત્રફળ $= \pi r_2^2 - \pi r_1^2$
ક્ષેત્રફળ $= \pi (3)^2 - \pi (2)^2$
ક્ષેત્રફળ $= 9\pi - 4\pi = 5\pi$.

(A) આપેલ શરત $\left|\frac{z-1+i}{z+1-i}\right|=\left|\operatorname{Re}\left(\frac{z-1+i}{z+1-i}\right)\right|$ છે, જ્યાં $z \neq -1+i$.
ધારો કે $w = \frac{z-1+i}{z+1-i}$. શરત $|w| = |\operatorname{Re}(w)|$ છે.
કોઈપણ સંકર સંખ્યા $w = u + iv$ માટે, $|w| = \sqrt{u^2 + v^2}$ અને $|\operatorname{Re}(w)| = |u| = \sqrt{u^2}$.
તેથી, $\sqrt{u^2 + v^2} = \sqrt{u^2} \implies u^2 + v^2 = u^2 \implies v^2 = 0 \implies v = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\operatorname{Im}(w) = 0$, તેથી $w$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવી જોઈએ.
ધારો કે $z = x + iy$. તો $w = \frac{(x-1) + i(y+1)}{(x+1) + i(y-1)}$.
અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ વડે ગુણતા:
$w = \frac{((x-1) + i(y+1))((x+1) - i(y-1))}{(x+1)^2 + (y-1)^2}$.
$w$ નો કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય થાય જ્યારે અંશનો કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોય:
$(x-1)(-(y-1)) + (y+1)(x+1) = 0$.
$-xy + x + y - 1 + xy + x + y + 1 = 0$.
$2x + 2y = 0 \implies x + y = 0$.
કારણ કે $z \neq -1+i$, બિંદુ $(-1, 1)$ રેખા $x+y=0$ માંથી બાકાત છે.
તેથી, બિંદુપથ એ એક સીધી રેખા છે જેમાં બિંદુ $(-1+i)$ નો સમાવેશ થતો નથી.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A(-3, 5)$,$B(-1, 6)$,$C(-2, 8)$,અને $D(-4, 7)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈની ગણતરી કરતા:
$AB = \sqrt{(-1 - (-3))^2 + (6 - 5)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$
$BC = \sqrt{(-2 - (-1))^2 + (8 - 6)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{5}$
$CD = \sqrt{(-4 - (-2))^2 + (7 - 8)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}$
$DA = \sqrt{(-3 - (-4))^2 + (5 - 7)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}$
બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,તે સમબાજુ ચતુષ્કોણ અથવા ચોરસ છે.
વિકર્ણોની લંબાઈની ગણતરી કરતા:
$AC = \sqrt{(-2 - (-3))^2 + (8 - 5)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$
$BD = \sqrt{(-4 - (-1))^2 + (7 - 6)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{10}$
વિકર્ણો સમાન હોવાથી $(AC = BD = \sqrt{10})$ અને બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,આ આકૃતિ ચોરસ છે.

(C) આપેલ છે કે $|Z| \leq 2$ અને $-\frac{\pi}{3} \leq \operatorname{amp} Z \leq \frac{\pi}{3}$.
આ એક વર્તુળનો વૃતાંશ દર્શાવે છે જેની ત્રિજ્યા $r = 2$ એકમ છે અને કેન્દ્ર આગળનો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{3} - (-\frac{\pi}{3}) = \frac{2 \pi}{3}$ છે.
આકૃતિ પરથી,$Z$ નો બિંદુપથ $OAB$ વૃતાંશ બનાવે છે.
વૃતાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર $A = \frac{1}{2} r^2 \theta$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$A = \frac{1}{2} \times (2)^2 \times \frac{2 \pi}{3}$
$A = \frac{1}{2} \times 4 \times \frac{2 \pi}{3}$
$A = \frac{4 \pi}{3} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$A(z)$,અને $B(z e^{i \alpha})$ છે.
અંતર $OA = |z - 0| = |z|$.
અંતર $OB = |z e^{i \alpha} - 0| = |z| |e^{i \alpha}| = |z| \times 1 = |z|$.
$OA$ અને $OB$ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{z e^{i \alpha}}{z} = e^{i \alpha}$ નો કોણાંક છે,જે $\alpha$ છે.
બે બાજુઓ $a$ અને $b$ તથા તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} ab \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times OA \times OB \times \sin \alpha = \frac{1}{2} |z| |z| \sin \alpha = \frac{1}{2} |z|^2 \sin \alpha$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $z_1=2-3i$ અને $z_2=-1+i$. શરત $\arg \left(\frac{z-z_1}{z-z_2}\right)=\frac{\pi}{2}$ સૂચવે છે કે સદિશ $z-z_1$ એ $z-z_2$ ની સાપેક્ષમાં $\frac{\pi}{2}$ ખૂણે ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં છે. આનો અર્થ એ છે કે $\angle z_1 z z_2 = \frac{\pi}{2}$.
આમ,$z$ નો બિંદુપથ એ $z_1 z_2$ વ્યાસવાળું વર્તુળ છે,જેમાં $z_1$ અને $z_2$ બિંદુઓનો સમાવેશ થતો નથી.
વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ છે.
અહીં,$z_1 = (2, -3)$ અને $z_2 = (-1, 1)$.
$(x-2)(x+1) + (y+3)(y-1) = 0$
$x^2 - x - 2 + y^2 + 2y - 3 = 0$
$x^2 + y^2 - x + 2y - 5 = 0$.
આર્ગ્યુમેન્ટ બરાબર $\frac{\pi}{2}$ થાય તે માટે,બિંદુઓ $z, z_1, z_2$ એ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં ત્રિકોણ બનાવતા હોવા જોઈએ. આ શરત બિંદુપથને $z_1$ અને $z_2$ માંથી પસાર થતી રેખાની એક તરફના અર્ધવર્તુળ સુધી મર્યાદિત કરે છે.
$z_1(2, -3)$ અને $z_2(-1, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $4x+3y+1=0$ છે.
વર્તુળની અંદરનું બિંદુ $(0,0)$ લેતા: $4(0)+3(0)+1 = 1 > 0$. તેથી,શરત $4x+3y+1 > 0$ છે.

(C) ધારો કે $z = x + iy$.
પદમાં $z$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{2z+1}{iz+1} = \frac{2(x+iy)+1}{i(x+iy)+1} = \frac{(2x+1) + i(2y)}{(1-y) + ix}$.
છેદના અનુબદ્ધ વડે ગુણતા:
$\frac{[(2x+1) + i(2y)][(1-y) - ix]}{(1-y)^2 + x^2} = \frac{(2x+1)(1-y) + 2xy + i[2y(1-y) - x(2x+1)]}{(1-y)^2 + x^2}$.
કાલ્પનિક ભાગ $-2$ આપેલ છે:
$\frac{2y - 2y^2 - 2x^2 - x}{(1-y)^2 + x^2} = -2$.
$2y - 2y^2 - 2x^2 - x = -2(1 - 2y + y^2 + x^2)$.
$2y - 2y^2 - 2x^2 - x = -2 + 4y - 2y^2 - 2x^2$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$-x - 2y = -2$,અથવા $x + 2y - 2 = 0$.
આ એક સીધી રેખાનું સમીકરણ છે.

(C) ધારો કે $z = x + iy$.
આપેલ સમીકરણ $|z| + |z - 1| = 3$ છે.
આ બિંદુ $z$ નું $0$ અને $1$ બિંદુઓથી અંતરનો સરવાળો અચળ $(3)$ દર્શાવે છે.
કારણ કે $3 > |0 - 1| = 1$,તેથી આ બિંદુપથ $0$ અને $1$ નાભિ ધરાવતો ઉપવલય છે.
બીજગણિતીય રીતે:
$\sqrt{x^2 + y^2} + \sqrt{(x - 1)^2 + y^2} = 3$
$\sqrt{(x - 1)^2 + y^2} = 3 - \sqrt{x^2 + y^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x - 1)^2 + y^2 = 9 + x^2 + y^2 - 6\sqrt{x^2 + y^2}$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 = 9 + x^2 + y^2 - 6\sqrt{x^2 + y^2}$
$-2x + 1 = 9 - 6\sqrt{x^2 + y^2}$
$6\sqrt{x^2 + y^2} = 2x + 8$
$3\sqrt{x^2 + y^2} = x + 4$
ફરીથી વર્ગ કરતા:
$9(x^2 + y^2) = (x + 4)^2$
$9x^2 + 9y^2 = x^2 + 8x + 16$
$8x^2 - 8x + 9y^2 = 16$
$8(x - \frac{1}{2})^2 + 9y^2 = 18$
$\frac{(x - 1/2)^2}{9/4} + \frac{y^2}{2} = 1$
આ ઉપવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ છે.

(A) ધારો કે $z = x + iy$.
આપેલ છે કે $\arg \left(\frac{z-2}{z+2}\right) = \frac{\pi}{3}$.
ગુણધર્મ $\arg \left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg(z_1) - \arg(z_2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\arg(z-2) - \arg(z+2) = \frac{\pi}{3}$.
$z = x + iy$ મૂકતા:
$\arg((x-2) + iy) - \arg((x+2) + iy) = \frac{\pi}{3}$.
$\arg(x+iy) = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x-2}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{y}{x+2}\right) = \frac{\pi}{3}$.
$\tan^{-1} A - \tan^{-1} B = \tan^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^{-1}\left[\frac{\frac{y}{x-2} - \frac{y}{x+2}}{1 + \frac{y}{x-2} \cdot \frac{y}{x+2}}\right] = \frac{\pi}{3}$.
$\frac{4y}{x^2 + y^2 - 4} = \sqrt{3}$.
$x^2 + y^2 - \frac{4}{\sqrt{3}}y - 4 = 0$.
આ એક વર્તુળનું સમીકરણ છે.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $z_j = \frac{1}{x_j - 2i}$ છે. $x_j$ એ $x^8 - 1 = 0$ ના બીજ હોવાથી,તેઓ એકમ વર્તુળ $|x| = 1$ પર આવેલા છે.
મોબિયસ રૂપાંતરણ $f(x) = \frac{1}{x - 2i}$ નો ઉપયોગ કરતા,વર્તુળ $|x|=1$ નું પ્રતિબિંબ પણ એક વર્તુળ મળે છે.
આ વર્તુળની ત્રિજ્યા $R = \frac{1}{3}$ મળે છે.

(B) ધારો કે $Z_0 = 3 + 4i$. આપેલ સમીકરણ $|Z_1 - Z_0| = 5$ એ $C(3, 4)$ કેન્દ્ર અને $r = 5$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
કેન્દ્ર $C$ નું ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ થી અંતર $|Z_0| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ છે.
વર્તુળ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
$|Z_2| = 15$ હોવાથી,$|Z_1 - Z_2|$ ની મહત્તમ કિંમત $10 + 15 = 25$ અને ન્યૂનતમ કિંમત $5$ મળે છે.
તેથી,મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતોનો સરવાળો $25 + 5 = 30$ થાય છે.

(A) ધારો કે $z_1 = e^{i\alpha}$,$z_2 = e^{i\beta}$,અને $z_3 = e^{i\gamma}$.
આપેલ છે કે $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 0$ અને $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 0$,તેથી $z_1 + z_2 + z_3 = 0$.
$|z_1| = |z_2| = |z_3| = 1$ હોવાથી,$\frac{1}{z_1} + \frac{1}{z_2} + \frac{1}{z_3} = \bar{z_1} + \bar{z_2} + \bar{z_3} = \overline{z_1 + z_2 + z_3} = 0$.
આમ,$\frac{z_2z_3 + z_1z_3 + z_1z_2}{z_1z_2z_3} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $z_1z_2 + z_2z_3 + z_3z_1 = 0$.
હવે,$(z_1 + z_2 + z_3)^2 = z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 + 2(z_1z_2 + z_2z_3 + z_3z_1) = 0$.
$z_1z_2 + z_2z_3 + z_3z_1 = 0$ હોવાથી,$z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = 0$.
$z_k = \cos k + i \sin k$ મૂકતા,આપણને $(\cos 2\alpha + i \sin 2\alpha) + (\cos 2\beta + i \sin 2\beta) + (\cos 2\gamma + i \sin 2\gamma) = 0$ મળે છે.
વાસ્તવિક ભાગોને સરખાવતા,$\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે $u = \cos \alpha + i \sin \alpha$,$v = \cos \beta + i \sin \beta$,અને $w = \cos \gamma + i \sin \gamma$.
આપેલ છે કે $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 0$ અને $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 0$,તેથી $u + v + w = 0$.
$|u| = |v| = |w| = 1$ હોવાથી,$u \bar{u} = 1$,$v \bar{v} = 1$,અને $w \bar{w} = 1$.
$u + v + w = 0$ પરથી,$\bar{u} + \bar{v} + \bar{w} = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{u} + \frac{1}{v} + \frac{1}{w} = 0$.
આ સાદું રૂપ આપતા $uv + vw + wu = 0$ મળે.
હવે,$(u + v + w)^2 = u^2 + v^2 + w^2 + 2(uv + vw + wu) = 0$ લો.
$uv + vw + wu = 0$ હોવાથી,$u^2 + v^2 + w^2 = 0$ મળે.
$u^2 = \cos 2 \alpha + i \sin 2 \alpha$,$v^2 = \cos 2 \beta + i \sin 2 \beta$,અને $w^2 = \cos 2 \gamma + i \sin 2 \gamma$ મૂકતા:
$(\cos 2 \alpha + \cos 2 \beta + \cos 2 \gamma) + i(\sin 2 \alpha + \sin 2 \beta + \sin 2 \gamma) = 0 + 0i$.
કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા,$\sin 2 \alpha + \sin 2 \beta + \sin 2 \gamma = 0$ મળે છે.

(B) આપેલ અસમતા $|z - 25i| \leq 15$ એ સંકર સમતલમાં $(0, 25)$ કેન્દ્ર અને $r = 15$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
ઉગમબિંદુથી વર્તુળ પરના સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો શોધવા માટે,$\sin \theta = \frac{r}{d} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$ લઈએ,જ્યાં $d = 25$ એ ઉગમબિંદુથી કેન્દ્રનું અંતર છે.
આથી,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$.
$\arg(z)$ નો વિસ્તાર $\frac{\pi}{2} - \theta$ થી $\frac{\pi}{2} + \theta$ સુધીનો છે.
તેથી,$\text{Maximum } \arg(z) = \frac{\pi}{2} + \theta$ અને $\text{Minimum } \arg(z) = \frac{\pi}{2} - \theta$.
તફાવત $(\frac{\pi}{2} + \theta) - (\frac{\pi}{2} - \theta) = 2\theta = 2 \sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ થાય.
કારણ કે $\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = \cos^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$,તેથી તફાવત $2 \cos^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$ મળે.

(C) આપેલ છે કે $A = \{(z, w) \mid |z| = |w|\}$ અને $B = \{(z, w) \mid z^2 = w^2\}$.
કોઈપણ $(z, w) \in B$ માટે,$z^2 = w^2$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $z^2 - w^2 = 0$,તેથી $(z - w)(z + w) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $z = w$ અથવા $z = -w$.
જો $z = w$ હોય,તો $|z| = |w|$,તેથી $(z, w) \in A$.
જો $z = -w$ હોય,તો $|z| = |-w| = |w|$,તેથી $(z, w) \in A$.
આમ,$B$ નો દરેક ઘટક $A$ નો પણ ઘટક છે,જેનો અર્થ છે કે $B \subseteq A$.
જો કે,$(z, w) = (1, i)$ ધ્યાનમાં લો. અહીં $|z| = |1| = 1$ અને $|w| = |i| = 1$,તેથી $|z| = |w|$,એટલે કે $(1, i) \in A$.
પરંતુ $z^2 = 1^2 = 1$ અને $w^2 = i^2 = -1$,તેથી $z^2 \neq w^2$,એટલે કે $(1, i) \notin B$.
જેમ કે $A$ માં એવા ઘટકો છે જે $B$ માં નથી,તેથી $B \subset A$ એ સાચો સંબંધ છે.

(A) ત્રિકોણ અસમતા મુજબ,કોઈપણ સંકર સંખ્યા $z_1$ અને $z_2$ માટે,$|z_1| + |z_2| \geq |z_1 + z_2|$ થાય છે.
ધારો કે $z_1 = z$ અને $z_2 = 1 - z$.
તેથી $|z| + |1 - z| \geq |z + (1 - z)|$.
કારણ કે $|1 - z| = |z - 1|$,તેથી $|z| + |z - 1| \geq |1|$.
આમ,$|z| + |z - 1| \geq 1$.
ન્યૂનતમ કિંમત $1$ છે.

(D) ધારો કે $w = \frac{z_{1}+z_{2}}{z_{1}-z_{2}}$.
$w$ શુદ્ધ કાલ્પનિક છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે, આપણે $w + \bar{w}$ ની ગણતરી કરીએ.
$w + \bar{w} = \frac{z_{1}+z_{2}}{z_{1}-z_{2}} + \frac{\bar{z}_{1}+\bar{z}_{2}}{\bar{z}_{1}-\bar{z}_{2}}$
$= \frac{(z_{1}+z_{2})(\bar{z}_{1}-\bar{z}_{2}) + (\bar{z}_{1}+\bar{z}_{2})(z_{1}-z_{2})}{(z_{1}-z_{2})(\bar{z}_{1}-\bar{z}_{2})}$
$= \frac{(z_{1}\bar{z}_{1} - z_{1}\bar{z}_{2} + z_{2}\bar{z}_{1} - z_{2}\bar{z}_{2}) + (\bar{z}_{1}z_{1} - \bar{z}_{1}z_{2} + \bar{z}_{2}z_{1} - \bar{z}_{2}z_{2})}{|z_{1}-z_{2}|^2}$
કારણ કે $|z_{1}| = |z_{2}|$, તેથી $z_{1}\bar{z}_{1} = z_{2}\bar{z}_{2} = |z_{1}|^2 = |z_{2}|^2$.
આ કિંમત મૂકતા, અંશ શૂન્ય થાય છે:
$|z_{1}|^2 - z_{1}\bar{z}_{2} + z_{2}\bar{z}_{1} - |z_{2}|^2 + |z_{1}|^2 - \bar{z}_{1}z_{2} + \bar{z}_{2}z_{1} - |z_{2}|^2$
$= 2|z_{1}|^2 - 2|z_{2}|^2 = 0$.
તેથી $w + \bar{w} = 0$, જે દર્શાવે છે કે $w$ શુદ્ધ કાલ્પનિક છે.

(D) આપેલ છે $z = x + iy$. તેથી $\frac{z+i}{z-i} = \frac{x + iy + i}{x + iy - i} = \frac{x + i(y+1)}{x + i(y-1)}$.
છેદના અનુબદ્ધ વડે ગુણતા:
$\frac{z+i}{z-i} = \frac{[x + i(y+1)][x - i(y-1)]}{x^2 + (y-1)^2} = \frac{x^2 + y^2 - 1 + 2xi}{x^2 + (y-1)^2}$.
શુદ્ધ કાલ્પનિક હોવા માટે,વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\frac{x^2 + y^2 - 1}{x^2 + (y-1)^2} = 0$.
આથી $x^2 + y^2 = 1$,જે એક વર્તુળનું સમીકરણ છે.

(C) ધારો કે $z = x + iy$.
તેથી પદાવલિ $|x+iy|^2 + |(x-3)+iy|^2 + |x+i(y-1)|^2$ બને છે.
$= (x^2 + y^2) + ((x-3)^2 + y^2) + (x^2 + (y-1)^2)$.
$= x^2 + y^2 + x^2 - 6x + 9 + y^2 + x^2 + y^2 - 2y + 1$.
$= 3x^2 - 6x + 3y^2 - 2y + 10$.
$= 3(x-1)^2 + 3(y - \frac{1}{3})^2 + \frac{20}{3}$.
આ પદાવલિ ન્યૂનતમ ત્યારે થાય જ્યારે $x-1 = 0$ અને $y - \frac{1}{3} = 0$ હોય.
તેથી,$x = 1$ અને $y = \frac{1}{3}$.
આમ,$z = 1 + \frac{i}{3}$.

(C) આપેલ છે,$z_{1}=2+3i$ અને $z_{2}=3+4i$.
આપણી પાસે સમીકરણ $|z-z_{1}|^{2}+|z-z_{2}|^{2}=|z_{1}-z_{2}|^{2}$ છે.
ધારો કે $z=x+iy$.
તેથી $|(x-2)+i(y-3)|^{2}+|(x-3)+i(y-4)|^{2}=|(2-3)+i(3-4)|^{2}$.
$(x-2)^{2}+(y-3)^{2}+(x-3)^{2}+(y-4)^{2}=|-1-i|^{2}$.
$(x^{2}-4x+4)+(y^{2}-6y+9)+(x^{2}-6x+9)+(y^{2}-8y+16)=1+1$.
$2x^{2}+2y^{2}-10x-14y+38=2$.
$2x^{2}+2y^{2}-10x-14y+36=0$.
$x^{2}+y^{2}-5x-7y+18=0$.
આ એક વર્તુળનું સમીકરણ છે જેનું કેન્દ્ર $(\frac{5}{2}, \frac{7}{2})$ અને ત્રિજ્યા $\frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.

(B) ધારો કે $\omega = \frac{z-1}{z+1}$ એ શુદ્ધ કાલ્પનિક સંખ્યા છે.
સંકર સંખ્યા $\omega$ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોય જો અને માત્ર જો $\omega + \overline{\omega} = 0$ થાય (જ્યાં $\omega \neq 0$).
તેથી,$\frac{z-1}{z+1} + \overline{\left(\frac{z-1}{z+1}\right)} = 0$
$\frac{z-1}{z+1} + \frac{\overline{z}-1}{\overline{z}+1} = 0$
$(z-1)(\overline{z}+1) + (\overline{z}-1)(z+1) = 0$
$(z\overline{z} + z - \overline{z} - 1) + (z\overline{z} - z + \overline{z} - 1) = 0$
$2z\overline{z} - 2 = 0$
$z\overline{z} = 1$
કારણ કે $|z|^2 = z\overline{z}$,તેથી $|z|^2 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $|z| = 1$.

(B) ત્રિકોણ અસમતા મુજબ,કોઈપણ સંકર સંખ્યાઓ $z_1$ અને $z_2$ માટે,$|z_1| + |z_2| \geq |z_1 - z_2|$ થાય છે.
ધારો કે $z_1 = z$ અને $z_2 = 1 - z$.
તેથી $|z| + |1 - z| \geq |z + (1 - z)| = |1| = 1$.
કારણ કે $|z - 1| = |1 - z|$,તેથી $|z| + |z - 1| \geq 1$.
ન્યૂનતમ કિંમત $1$ છે,જે ત્યારે મળે છે જ્યારે $z$ સંકર સમતલમાં $0$ અને $1$ ને જોડતા રેખાખંડ પર હોય.

(B) આપેલ છે કે $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ એ એકમ વર્તુળ $|z| = 1$ માં અંતર્ગત સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે.
ત્રિકોણ સમબાજુ હોવાથી અને ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત વર્તુળમાં હોવાથી,શિરોબિંદુઓ $z_{2}$ અને $z_{3}$ ને $z_{1}$ ને અનુક્રમે $\frac{2\pi}{3}$ અને $\frac{4\pi}{3}$ રેડિયનના ખૂણે ફેરવીને મેળવી શકાય છે.
તેથી,$z_{2} = z_{1}\omega$ અને $z_{3} = z_{1}\omega^{2}$,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે.
તેથી,ગુણાકાર $z_{1} z_{2} z_{3} = z_{1} \times (z_{1}\omega) \times (z_{1}\omega^{2}) = z_{1}^{3} \omega^{3}$.
કારણ કે $\omega^{3} = 1$,તેથી $z_{1} z_{2} z_{3} = z_{1}^{3}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $1+z+z^{3}+z^{4}=0$ છે.
પદાવલિનું અવયવીકરણ કરતા: $(1+z) + z^{3}(1+z) = 0$.
$(1+z)(1+z^{3}) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $1+z=0$ અથવા $1+z^{3}=0$.
તેથી,$z = -1$ અથવા $z^{3} = -1$.
$z^{3} = -1$ ના બીજ $e^{i\pi/3}, e^{i\pi}, e^{i5\pi/3}$ છે.
આમ,ભિન્ન બીજ $z = -1, e^{i\pi/3}, e^{i5\pi/3}$ છે.
આ ત્રણ બિંદુઓ આર્ગેન્ડ સમતલમાં એક સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે.

(D) ધારો કે $z = e^{i \theta}$,જ્યાં $\theta \in \mathbb{R}$ અને $\theta \neq n\pi$ $(n \in \mathbb{Z})$.
$w = \frac{z}{1-z^2}$ લો.
$z = e^{i \theta}$ મૂકતા:
$w = \frac{e^{i \theta}}{1 - e^{i 2 \theta}}$
અંશ અને છેદને $e^{i \theta}$ વડે ભાગતા:
$w = \frac{1}{e^{-i \theta} - e^{i \theta}}$
$e^{-i \theta} - e^{i \theta} = -2i \sin \theta$ હોવાથી,
$w = \frac{1}{-2i \sin \theta} = \frac{i}{2 \sin \theta}$.
અહીં $w$ નો વાસ્તવિક ભાગ $0$ છે.
તેથી,$w$ નો બિંદુપથ $y$-અક્ષ છે.

(A) આપેલ છે કે $|Z_1|=|Z_2|=|Z_3|=1$,તેથી બિંદુઓ $Z_1, Z_2, Z_3$ આર્ગેન્ડ સમતલમાં એકમ વર્તુળ પર આવેલા છે.
$Z_1+Z_2+Z_3=0$ હોવાથી,$Z_1, Z_2, Z_3$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે.
એકમ વર્તુળ પરના બિંદુઓ માટે,ઉગમબિંદુથી દરેક શિરોબિંદુનું અંતર $R=1$ (પરિત્રિજ્યા) છે.
$R$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળમાં અંતર્ગત સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ $s = R\sqrt{3}$ થાય.
અહીં,$s = 1 \times \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
$s$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4}s^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{\sqrt{3}}{4}(\sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 3 = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

(A) કારણ કે $z_{1}, z_{2}$ અને $z_{3}$ એ સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે,તેથી $|z_{1} - z_{2}| = |z_{2} - z_{3}| = |z_{3} - z_{1}| = k$.
આપેલ છે કે $\alpha = \frac{1}{2}(\sqrt{3} + i)$,તેથી $|\alpha| = \frac{1}{2} \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \frac{1}{2} \sqrt{4} = 1$.
ધારો કે $A = \alpha z_{1} + \beta$,$B = \alpha z_{2} + \beta$,અને $C = \alpha z_{3} + \beta$.
હવે $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $|A - B| = |(\alpha z_{1} + \beta) - (\alpha z_{2} + \beta)| = |\alpha(z_{1} - z_{2})| = |\alpha| |z_{1} - z_{2}| = 1 \cdot k = k$.
તે જ રીતે,$|B - C| = |\alpha(z_{2} - z_{3})| = k$ અને $|C - A| = |\alpha(z_{3} - z_{1})| = k$.
નવા બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર સમાન હોવાથી,તેઓ એક સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે.

(C) સમીકરણ $z^{2}+pz+q=0$ ના બીજ $z_{1}$ અને $z_{2}$ છે.
આર્ગેન્ડ સમતલમાં બિંદુઓ $z_{1}, z_{2}$ અને ઉગમબિંદુ $(0)$ સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે તે માટેની શરત $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+0^{2} = z_{1}z_{2} + z_{2}(0) + (0)z_{1}$ છે,જેનું સાદું રૂપ $z_{1}^{2}+z_{2}^{2} = z_{1}z_{2}$ થાય છે.
બંને બાજુ $2z_{1}z_{2}$ ઉમેરતા,આપણને $(z_{1}+z_{2})^{2} = 3z_{1}z_{2}$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,$z_{1}+z_{2} = -p$ અને $z_{1}z_{2} = q$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $(-p)^{2} = 3q$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $p^{2} = 3q$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે જો $z_{1}, z_{2}$ અને $z_{3}$ એ સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ હોય,તો $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{1}z_{2}-z_{2}z_{3}-z_{3}z_{1}=0$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{z_{1}}{z_{2}}+\frac{z_{2}}{z_{1}}=1$,તેથી $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}=z_{1}z_{2}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{1}z_{2}=0$.
જો આપણે ઉગમબિંદુને ત્રીજા બિંદુ $z_{3}=0$ તરીકે લઈએ,તો શરત $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+0^{2}-z_{1}z_{2}-z_{2}(0)-0(z_{1})=0$ બને છે,જે $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{1}z_{2}=0$ માં પરિણમે છે.
આ સમબાજુ ત્રિકોણની શરતનું પાલન કરે છે.
તેથી,ઉગમબિંદુ અને $z_{1}$ તથા $z_{2}$ બિંદુઓ સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે.

(C) આપેલ છે કે,$|z-i|=|z+1|=1$.
ધારો કે $z=x+iy$.
તેથી $|z-i|=1$ $\Rightarrow |x+i(y-1)|=1$ $\Rightarrow x^2+(y-1)^2=1$ $(i)$.
તે જ રીતે,$|z+1|=1$ $\Rightarrow |(x+1)+iy|=1$ $\Rightarrow (x+1)^2+y^2=1$ (ii).
$(i)$ નું વિસ્તરણ કરતા: $x^2+y^2-2y+1=1 \Rightarrow x^2+y^2=2y$.
(ii) નું વિસ્તરણ કરતા: $x^2+2x+1+y^2=1 \Rightarrow x^2+y^2=-2x$.
બંનેને સરખાવતા: $2y=-2x \Rightarrow y=-x$.
$y=-x$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $x^2+(-x-1)^2=1$ $\Rightarrow x^2+x^2+2x+1=1$ $\Rightarrow 2x^2+2x=0$ $\Rightarrow 2x(x+1)=0$.
આમ,$x=0$ અથવા $x=-1$.
જો $x=0$,તો $y=0$,તેથી $z=0$.
જો $x=-1$,તો $y=1$,તેથી $z=-1+i$.
તેથી,સંકર સંખ્યાઓ $0$ અને $-1+i$ છે.

(A) સમીકરણ $|z-z_{1}|+|z-z_{2}|=k$ એ ઉપવલય દર્શાવે છે જો $k > |z_{1}-z_{2}|$ હોય.
આપેલ સમીકરણમાં,$k = 2|z_{1}-z_{2}|$ છે.
કારણ કે $2|z_{1}-z_{2}| > |z_{1}-z_{2}|$,તેથી ઉપવલયની શરત સંતોષાય છે.
તેથી,$z$ નો બિંદુપથ એ $z_{1}$ અને $z_{2}$ પર નાભિ ધરાવતો ઉપવલય છે.

(B) ઉગમબિંદુ $O(0)$,$z_1$ અને $z_2$ સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે જો $z_1^2 + z_2^2 = z_1 z_2$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે સમીકરણ $z^2+az+b=0$ માટે,બીજનો સરવાળો $z_1+z_2 = -a$ અને બીજનો ગુણાકાર $z_1 z_2 = b$ છે.
ઉગમબિંદુ,$z_1$ અને $z_2$ સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે તેની શરત $z_1^2 + z_2^2 = z_1 z_2$ છે.
બંને બાજુ $2z_1 z_2$ ઉમેરતા,આપણને $z_1^2 + z_2^2 + 2z_1 z_2 = 3z_1 z_2$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $(z_1+z_2)^2 = 3z_1 z_2$ થાય છે.
બીજના સરવાળા અને ગુણાકારની કિંમતો મૂકતા,આપણને $(-a)^2 = 3b$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a^2 = 3b$.