Geometry of complex numbers Questions in Gujarati

(D) આપેલ છે કે $|z \omega| = 1$,તેથી $|z| |\omega| = 1$.
વળી,$\operatorname{Arg}(z) - \operatorname{Arg}(\omega) = \frac{\pi}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\operatorname{Arg}(\frac{z}{\omega}) = \frac{\pi}{2}$.
ધારો કે $z = r_1 e^{i \theta_1}$ અને $\omega = r_2 e^{i \theta_2}$.
તેથી $|z| = r_1$ અને $|\omega| = r_2$,એટલે કે $r_1 r_2 = 1$.
$\operatorname{Arg}(z) = \theta_1$ અને $\operatorname{Arg}(\omega) = \theta_2$,તેથી $\theta_1 - \theta_2 = \frac{\pi}{2}$.
આપણે $\bar{z} \omega$ શોધવાનું છે.
$\bar{z} = r_1 e^{-i \theta_1}$.
$\bar{z} \omega = (r_1 e^{-i \theta_1}) (r_2 e^{i \theta_2}) = (r_1 r_2) e^{i(\theta_2 - \theta_1)}$.
કારણ કે $r_1 r_2 = 1$ અને $\theta_2 - \theta_1 = -\frac{\pi}{2}$,તેથી:
$\bar{z} \omega = 1 \cdot e^{-i \frac{\pi}{2}} = \cos(-\frac{\pi}{2}) + i \sin(-\frac{\pi}{2}) = 0 - i = -i$.

(A) ધારો કે $z = x + iy$. શરત મુજબ $\frac{z-2i}{z-2}$ શુદ્ધ કાલ્પનિક છે,તેથી તેનો વાસ્તવિક ભાગ $0$ છે.
ગણતરી કરતા: $(z-2i)(\bar{z}-2) + (\bar{z}+2i)(z-2) = 0$.
આ સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0$ માં પરિણમે છે.
જે $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 2$ તરીકે લખી શકાય.
આ એક વર્તુળ છે જેનું કેન્દ્ર $(1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{2}$ છે.
આ વર્તુળ પ્રથમ ચરણમાં આવેલું છે.
ક્ષેત્રફળ $= \pi r^2 = \pi(\sqrt{2})^2 = 2\pi$.

(C) આપેલ સમીકરણ $|z - 1 + i| = 1$ છે.
આને $|z - (1 - i)| = 1$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય.
સંકર સમતલમાં વર્તુળના પ્રમાણિત સમીકરણ $|z - z_0| = r$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $z_0$ કેન્દ્ર છે અને $r$ ત્રિજ્યા છે,આપણને $z_0 = 1 - i$ અને $r = 1$ મળે છે.
કાર્તેઝિયન યામમાં,$z_0 = 1 - i$ એ બિંદુ $(1, -1)$ ને અનુરૂપ છે.
આમ,$S$ એ $(1, -1)$ કેન્દ્ર અને $1$ એકમ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.

(B) બિંદુઓ $A(-2, 1)$ અને $B(3, -4)$ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,બિંદુ $C$ એ $AB$ નું $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
$C = \left( \frac{1(3) + 2(-2)}{1+2}, \frac{1(-4) + 2(1)}{1+2} \right) = \left( -\frac{1}{3}, -\frac{2}{3} \right)$.
$C$ ત્રીજા ચરણમાં હોવાથી,તેનો કોણાંક $\theta = \tan^{-1}\left( \frac{y}{x} \right) - \pi$ થશે.
$\text{arg}(C) = \tan^{-1}\left( \frac{-2/3}{-1/3} \right) - \pi = \tan^{-1}(2) - \pi$.

(A) આપેલ છે કે $z_1, z_2, z_3$ એ સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે અને $z$ તેનું પરિકેન્દ્ર છે.
$z$ પરિકેન્દ્ર હોવાથી,$z$ થી દરેક શિરોબિંદુનું અંતર પરિત્રિજ્યા $R$ જેટલું થાય.
તેથી,$|z-z_1| = |z-z_2| = |z-z_3| = R$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{|z-z_1|}{|z-z_2|} = \frac{R}{R} = 1$ ધ્યાનમાં લો.
તે જ રીતે,$\frac{|z-z_3|}{|z-z_1|} = \frac{R}{R} = 1$.
આમ,$\frac{|z-z_1|}{|z-z_2|} = \frac{|z-z_3|}{|z-z_1|} = 1$.

(D) આપેલ અસમતા $|z - (1 - i)| \leq 2$ છે. આ આર્ગેન્ડ સમતલમાં કેન્દ્ર $(1, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2$ વાળું વર્તુળ અને તેની અંદરનો ભાગ દર્શાવે છે.
દરેક બિંદુ $z$ માટે $|z - (1 - i)| \leq 2$ ચકાસતા:
$(A)$ $z = \frac{1 - i}{2}$ માટે,$|z - (1 - i)| = \frac{1}{\sqrt{2}} \leq 2$. (અંદર છે)
$(B)$ $z = 1$ માટે,$|z - (1 - i)| = 1 \leq 2$. (અંદર છે)
$(C)$ $z = \frac{1 - i}{4}$ માટે,$|z - (1 - i)| = \frac{3\sqrt{2}}{4} \leq 2$. (અંદર છે)
$(D)$ $z = i$ માટે,$|z - (1 - i)| = \sqrt{5} > 2$. (બહાર છે)
આમ,બિંદુ $i$ પ્રદેશમાં નથી.

(A) આપેલ સમીકરણ: $|z-1|=|i(z+1)|$
$|i|=1$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ: $|z-1|=|z+1|$
ધારો કે $z = x+iy$. તો: $|x+iy-1|=|x+iy+1|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $|(x-1)+iy|^2 = |(x+1)+iy|^2$
$(x-1)^2 + y^2 = (x+1)^2 + y^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2$
$-2x = 2x$
$4x = 0 \Rightarrow x = 0$
સમીકરણ $x=0$ એ આર્ગેન્ડ સમતલમાં $Y$-અક્ષ દર્શાવે છે.

(A) સંકર સંખ્યાઓ માટે ત્રિકોણની અસમતા મુજબ,આપણી પાસે $|z_1| + |z_2| \geq |z_1 - z_2|$ છે.
ધારો કે $z_1 = z$ અને $z_2 = 1 - z$.
તેથી $|z| + |1 - z| \geq |z + (1 - z)| = |1| = 1$.
કારણ કે $|z-1| = |1-z|$,પદાવલિ $|z| + |z-1| \geq 1$ બને છે.
ન્યૂનતમ મૂલ્ય $1$ છે,જે ત્યારે મળે છે જ્યારે $z$ એ સંકર સમતલમાં $0$ અને $1$ ને જોડતા રેખાખંડ પર હોય.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $|z_1+z_2|^2 = (z_1+z_2)(\overline{z_1}+\overline{z_2}) = |z_1|^2 + |z_2|^2 + z_1\overline{z_2} + \overline{z_1\overline{z_2}}$.
આપેલ છે કે $|z_1+z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2$,તેથી $z_1\overline{z_2} + \overline{z_1\overline{z_2}} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $2 \text{Re}(z_1\overline{z_2}) = 0$,તેથી $z_1\overline{z_2}$ શુદ્ધ કાલ્પનિક છે.
ધારો કે $z_1\overline{z_2} = ki$,જ્યાં $k \in \mathbb{R}$.
તેથી $\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1\overline{z_2}}{|z_2|^2} = \frac{ki}{|z_2|^2}$,જે શુદ્ધ કાલ્પનિક છે.

(A) આપેલ છે $|z-4+3 i| \leq 1$. આ $C(4, -3)$ કેન્દ્ર અને $r=1$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે. ઉગમબિંદુથી કેન્દ્રનું અંતર $OC = \sqrt{4^2+(-3)^2} = 5$ છે.
$|z|$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $m = OC - r = 5 - 1 = 4$ છે.
$|z|$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $n = OC + r = 5 + 1 = 6$ છે.
હવે,$f(x) = \frac{x^4+x^2+4}{x} = x^3 + x + \frac{4}{x}$ લો,જ્યાં $x \in (0, \infty)$.
વિકલન કરતા,$f'(x) = 3x^2 + 1 - \frac{4}{x^2} = \frac{3x^4+x^2-4}{x^2} = \frac{(3x^2+4)(x^2-1)}{x^2}$.
$f'(x) = 0$ લેતા,$x^2 = 1$,તેથી $x=1$ મળે.
ન્યૂનતમ મૂલ્ય $f(1) = 1^3 + 1 + \frac{4}{1} = 6$ છે.
આમ,$k=6$.
$n=6$ હોવાથી,$k=n$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $|z - 3i| = 3$,જે $3$ ત્રિજ્યા અને $(0, 3)$ કેન્દ્ર ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
ધારો કે $z = x + iy$. વર્તુળના સમીકરણ પરથી $x^2 + y^2 - 6y = 0$ મળે.
કોણાંક $\theta$ હોવાથી,$\tan \theta = \frac{y}{x}$ એટલે કે $x = y \cot \theta$.
આ કિંમત વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા,$y^2 \csc^2 \theta = 6y$ મળે,તેથી $y = 6 \sin^2 \theta$.
તેથી $x = 6 \sin \theta \cos \theta$.
આમ,$z = 6 \sin \theta(\cos \theta + i \sin \theta) = 6 \sin \theta e^{i \theta}$.
હવે,$\frac{6}{z} = \frac{1}{\sin \theta} e^{-i \theta} = \cot \theta - i$.
તેથી,$\cot \theta - \frac{6}{z} = i$.

(A) ધારો કે $z = x + iy$. તો $|z|^2 = x^2 + y^2$,$|z-3|^2 = (x-3)^2 + y^2$,અને $|z-i|^2 = x^2 + (y-1)^2$.
ધારો કે $f(x, y) = x^2 + y^2 + (x-3)^2 + y^2 + x^2 + (y-1)^2$.
$f(x, y) = 3x^2 - 6x + 9 + 3y^2 - 2y + 1 = 3(x^2 - 2x) + 3(y^2 - \frac{2}{3}y) + 10$.
$f(x, y)$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે પૂર્ણવર્ગ બનાવીએ:
$f(x, y) = 3(x-1)^2 - 3 + 3(y-\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} + 10 = 3(x-1)^2 + 3(y-\frac{1}{3})^2 + \frac{20}{3}$.
જ્યારે $x = 1$ અને $y = \frac{1}{3}$ હોય ત્યારે વિધેય ન્યૂનતમ થાય છે.
આમ,$z = 1 + \frac{1}{3}i$.

(A) આપેલ $z=x+iy$ માટે,$\frac{2z-3}{z+4i} = \frac{(2x-3)+2iy}{x+i(y+4)}$.
છેદના અનુબદ્ધ $x-i(y+4)$ વડે અંશ અને છેદને ગુણતા:
$\frac{2z-3}{z+4i} = \frac{((2x-3)+2iy)(x-i(y+4))}{x^2+(y+4)^2} = \frac{(2x^2-3x+2y^2+8y) + i(12+3y-8x)}{x^2+(y+4)^2}$.
$\text{Arg}\left(\frac{2z-3}{z+4i}\right) = \frac{\pi}{4}$ હોવાથી,$\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\text{Im}}{\text{Re}} = 1$.
તેથી,$\frac{12+3y-8x}{2x^2-3x+2y^2+8y} = 1$.
$12+3y-8x = 2x^2-3x+2y^2+8y$.
પદોને ગોઠવતા $2x^2+2y^2+5x+5y-12=0$ મળે છે.

(D) આપેલ છે $z=x+iy$,તેથી $\bar{z}=x-iy$.
પદમાં કિંમત મૂકતા:
$\frac{\bar{z}-1}{\bar{z}-i} = \frac{(x-1)-iy}{x-i(y+1)}$.
છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા $x+i(y+1)$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$\frac{[(x-1)-iy][x+i(y+1)]}{x^2+(y+1)^2} = \frac{x(x-1) + y(y+1) + i[(x-1)(y+1) - xy]}{x^2+(y+1)^2}$.
કાલ્પનિક ભાગ $1$ આપેલ છે:
$\frac{(xy+x-y-1) - xy}{x^2+(y+1)^2} = 1$.
$\frac{x-y-1}{x^2+(y+1)^2} = 1$.
$x-y-1 = x^2+y^2+2y+1$.
$x^2+y^2-x+3y+2=0$.
છેદ શૂન્ય ન હોઈ શકે,તેથી $x-i(y+1) \neq 0$,જેનો અર્થ છે કે $(x, y) \neq (0, -1)$.
આમ,બિંદુપથ $x^2+y^2-x+3y+2=0, (x, y) \neq (0, -1)$ છે.

(A) આપેલ છે કે $|z_1| = |z_2| = 1$, તેથી આપણે $z_1 = \cos \alpha + i \sin \alpha$ અને $z_2 = \cos \beta + i \sin \beta$ લખી શકીએ.
$\operatorname{Re}(z_1 \bar{z}_2) = ac + bd = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha - \beta) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\alpha - \beta = \pm \frac{\pi}{2}$.
હવે, $w_1 = a + ic = \cos \alpha + i \cos \beta$ અને $w_2 = b + id = \sin \alpha + i \sin \beta$ માટે, આપણે $\operatorname{Re}(w_1 \bar{w}_2) = ab + cd$ ની ગણતરી કરીએ.
$\operatorname{Re}(w_1 \bar{w}_2) = \cos \alpha \sin \alpha + \cos \beta \sin \beta = \frac{1}{2}(\sin 2\alpha + \sin 2\beta)$.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $\frac{1}{2}(2 \sin(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta))$.
કારણ કે $\cos(\alpha - \beta) = \cos(\pm \frac{\pi}{2}) = 0$, તેથી આ પદની કિંમત $0$ થાય છે.
આમ, $\operatorname{Re}(w_1 \bar{w}_2) = 0$.

(C) આર્ગેન્ડ સમતલમાં આપેલા બિંદુઓના સંકર અનુબદ્ધો $A(1-2i)$,$B(2+3i)$,અને $C(3+4i)$ છે.
યામો $A(1, -2)$,$B(2, 3)$,અને $C(3, 4)$ લો.
બાજુઓની લંબાઈના વર્ગની ગણતરી:
$AB^2 = (2-1)^2 + (3-(-2))^2 = 1^2 + 5^2 = 26$
$BC^2 = (3-2)^2 + (4-3)^2 = 1^2 + 1^2 = 2$
$AC^2 = (3-1)^2 + (4-(-2))^2 = 2^2 + 6^2 = 40$
અહીં $AB^2 + BC^2 = 28 < AC^2 = 40$ હોવાથી,સૌથી મોટી બાજુની સામેનો ખૂણો ગુરુકોણ છે.
તેથી,આ બિંદુઓ ગુરુકોણ ત્રિકોણ બનાવે છે.
આમ,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(D) ધારો કે $z = x + iy$. તો $\frac{z+1}{z+i} = \frac{(x+1) + iy}{x + i(y+1)}$.
આને શુદ્ધ વાસ્તવિક બનાવવા માટે,આપણે છેદની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા વડે અંશ અને છેદને ગુણીએ: $\frac{(x+1) + iy}{x + i(y+1)} \times \frac{x - i(y+1)}{x - i(y+1)}$.
છેદ $x^2 + (y+1)^2$ બને છે,જે વાસ્તવિક છે.
અંશ $(x+1)x + y(y+1) + i[xy - (x+1)(y+1)]$ છે.
પદ શુદ્ધ વાસ્તવિક હોવા માટે,કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$xy - (x+1)(y+1) = 0$.
$xy - (xy + x + y + 1) = 0$.
$-x - y - 1 = 0 \Rightarrow x + y + 1 = 0$.
કારણ કે $z \neq -i$,તેથી બિંદુ $(0, -1)$ બાકાત રાખવું જોઈએ.
આમ,બિંદુપથ $x+y+1=0, (x, y) \neq (0, -1)$ છે.

(C) ધારો કે $z = x + iy$. તેથી $\frac{z-i}{z-1} = \frac{x + i(y-1)}{(x-1) + iy}$.
આને શુદ્ધ કાલ્પનિક બનાવવા માટે,આપણે છેદના અનુબદ્ધ વડે ગુણીએ: $\frac{(x + i(y-1))((x-1) - iy)}{(x-1)^2 + y^2}$.
વાસ્તવિક ભાગ $\frac{x(x-1) + y(y-1)}{(x-1)^2 + y^2} = 0$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $x^2 - x + y^2 - y = 0$,એટલે કે $x^2 + y^2 - x - y = 0$.
વર્ગ પૂર્ણ કરતા,આપણને $\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2$ મળે છે.
આ કેન્દ્ર $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ અને ત્રિજ્યા $\frac{1}{\sqrt{2}}$ વાળું વર્તુળ દર્શાવે છે.
કારણ કે $z = 1$ (એટલે કે $(1, 0)$) પર પદ અવ્યાખ્યાયિત છે અને $z = i$ (એટલે કે $(0, 1)$) પર અંશ શૂન્ય થાય છે,તેથી આ બિંદુઓને બાકાત રાખવા જોઈએ.

(B) આપેલ શરત $Z_1 \bar{Z}_2 + \bar{Z}_1 Z_2 = 0$ છે.
$Z_2 \bar{Z}_2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{Z_1}{Z_2} + \frac{\bar{Z}_1}{\bar{Z}_2} = 0$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $2 \text{Re}(\frac{Z_1}{Z_2}) = 0$,જે દર્શાવે છે કે $\frac{Z_1}{Z_2}$ શુદ્ધ કાલ્પનિક છે.
તેથી,$\theta = \pm \frac{\pi}{2}$ થાય.
આમ,$\sin \theta = \sin(\pm \frac{\pi}{2}) = \pm 1$.

(A) આપેલ છે કે,$\arg \left(\frac{z-2}{z-6i}\right) = \frac{\pi}{2}$.
ધારો કે $z = x + iy$.
આ સમીકરણ એવા બિંદુઓનો ગણ દર્શાવે છે જે $A(2, 0)$ અને $B(0, 6)$ ને જોડતા રેખાખંડ પર $\frac{\pi}{2}$ ખૂણો આંતરે છે.
$\arg(z-2) - \arg(z-6i) = \frac{\pi}{2}$.
$z = x + iy$ મૂકતા:
$\tan^{-1}\left(\frac{y}{x-2}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{y-6}{x}\right) = \frac{\pi}{2}$.
$\tan^{-1}(A) - \tan^{-1}(B) = \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$1+AB = 0$ થાય.
$1 + \left(\frac{y}{x-2}\right)\left(\frac{y-6}{x}\right) = 0$.
$x(x-2) + y(y-6) = 0$.
$x^2 - 2x + y^2 - 6y = 0$.
આ એક વર્તુળનું સમીકરણ છે.

(A) ધારો કે $z = x + iy$, જ્યાં $0 \leq x \leq 1$ અને $0 \leq y \leq 1$.
તેથી $z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$.
આમ, $|e^{z^2}| = |e^{x^2 - y^2} \cdot e^{i(2xy)}| = e^{x^2 - y^2} \cdot |e^{i(2xy)}|$.
કારણ કે $|e^{i(2xy)}| = 1$, તેથી $|e^{z^2}| = e^{x^2 - y^2}$.
$e^{x^2 - y^2}$ ને મહત્તમ કરવા માટે, આપણે ઘાતાંક $f(x, y) = x^2 - y^2$ ને $0 \leq x \leq 1$ અને $0 \leq y \leq 1$ ની શરતો હેઠળ મહત્તમ બનાવવો પડે.
$x^2 - y^2$ ની મહત્તમ કિંમત ત્યારે મળે છે જ્યારે $x$ મહત્તમ $(x=1)$ હોય અને $y$ ન્યૂનતમ $(y=0)$ હોય.
તેથી, મહત્તમ કિંમત $e^{1^2 - 0^2} = e^1 = e$ થાય.

(C) $|z-1|+|z-5|$ પદાવલિ એ સંકર સમતલમાં સંકર સંખ્યા $z$ નું બિંદુઓ $z_1 = 1$ અને $z_2 = 5$ થી અંતરનો સરવાળો દર્શાવે છે.
ત્રિકોણની અસમતા મુજબ,કોઈપણ બિંદુઓ $z, z_1, z_2$ માટે,આપણી પાસે $|z-z_1| + |z-z_2| \ge |z_1 - z_2|$ છે.
અહીં,$|z_1 - z_2| = |1 - 5| = |-4| = 4$.
જ્યારે $z$ એ $1$ અને $5$ ને જોડતા રેખાખંડ પર હોય ત્યારે ન્યૂનતમ કિંમત મળે છે.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $4$ છે.

(D) ધારો કે $z = x+iy$. આપેલ પદ $w = \frac{(x-2) + i(y+1)}{(x+1) + i(y+2)}$ છે.
$w$ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોવા માટે,$w$ નો વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ $(x+1) - i(y+2)$ વડે ગુણતા.
અંશનો વાસ્તવિક ભાગ $(x-2)(x+1) + (y+1)(y+2) = 0$ મળે છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 - x - 2 + y^2 + 3y + 2 = 0$,જે $x^2 + y^2 - x + 3y = 0$ માં પરિણમે છે.
આ એક વર્તુળ દર્શાવે છે જેનું કેન્દ્ર $(\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$ છે.
બિંદુ $z = -1-2i$ છેદને શૂન્ય બનાવે છે,તેથી તે બિંદુપથમાંથી બાકાત છે.
કેન્દ્ર $(\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$ એ રેખા $x+y+1 = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 1 = 0$ નું સમાધાન કરે છે.

(A) ધારો કે $z_1 = 3-2i$ અને $z_2 = -2+3i$. આપેલ સમીકરણ $\operatorname{Arg}\left(\frac{z-z_1}{z-z_2}\right) = \frac{\pi}{4}$ છે.
આ એક વર્તુળનો ચાપ દર્શાવે છે જે $z_1$ અને $z_2$ માંથી પસાર થાય છે.
ગણતરી કરતા,બિંદુપથ એ એક વર્તુળ છે જેનો વ્યાસ $x+y=12$ રેખા પર આધારિત છે.

(B) આપેલ છે કે $z=x+iy$, જ્યાં $P=(x, y)$ છે.
પદાવલિ $\frac{z+i}{z-1} = \frac{x+i(y+1)}{(x-1)+iy}$ ને ધ્યાનમાં લો.
સરળ બનાવવા માટે, અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $(x-1)-iy$ વડે ગુણો:
$\frac{x+i(y+1)}{(x-1)+iy} \times \frac{(x-1)-iy}{(x-1)-iy} = \frac{x(x-1) - ixy + i(y+1)(x-1) + y(y+1)}{(x-1)^2+y^2}$.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા:
$= \frac{x^2-x + y^2+y + i(xy-x+y+1-xy)}{(x-1)^2+y^2} = \frac{(x^2+y^2-x+y) + i(1-x+y)}{(x-1)^2+y^2}$.
કારણ કે $\frac{z+i}{z-1}$ એ શુદ્ધ કાલ્પનિક સંખ્યા છે, તેથી તેનો વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\operatorname{Re}\left(\frac{z+i}{z-1}\right) = 0 \Rightarrow \frac{x^2+y^2-x+y}{(x-1)^2+y^2} = 0$.
આનો અર્થ એ થાય કે $x^2+y^2-x+y=0$, શરત એ છે કે છેદ $(x-1)^2+y^2 \neq 0$, જેનો અર્થ છે કે $(x, y) \neq (1, 0)$.

(A) આપેલ ગણ $S = \{z \in \mathbb{C} : |z - (-1 + i)| = 1\}$ છે.
આ સંકર સમતલમાં વર્તુળનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $|z - z_0| = r$ છે,જ્યાં $z_0$ એ કેન્દ્ર છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
અહીં,$z_0 = -1 + i$,જે કાર્તેઝિયન સમતલમાં $(-1, 1)$ બિંદુ દર્શાવે છે.
ત્રિજ્યા $r = 1$ છે.
આમ,તે $(-1, 1)$ કેન્દ્ર અને $1$ એકમ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.

(B) ધારો કે $Z = x + iy$. આપેલ સમીકરણ $\arg \left(\frac{Z-1}{Z+1}\right) = \frac{\pi}{4}$ છે.
આ એક એવા બિંદુ $Z$ નો બિંદુપથ દર્શાવે છે કે જેથી $A(-1, 0)$ અને $B(1, 0)$ ને જોડતા રેખાખંડ દ્વારા $Z$ આગળ બનતો ખૂણો $\frac{\pi}{4}$ થાય.
વર્તુળના ગુણધર્મ મુજબ,જે બિંદુ નિશ્ચિત રેખાખંડ પર અચળ ખૂણો આંતરે છે તેનો બિંદુપથ વર્તુળનો ચાપ હોય છે.
તેથી,બિંદુપથ એ વર્તુળનો ચાપ છે.

(C) ધારો કે $z = x + iy$.
તેથી $|z|^2 = x^2 + y^2$.
આપેલ સમીકરણ $|z|^2 = \operatorname{Re}(z)$ માં કિંમતો મૂકતા:
$x^2 + y^2 = x$.
પદોને ગોઠવતા:
$x^2 - x + y^2 = 0$.
$x$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + y^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2$.
આ વર્તુળનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ સ્વરૂપમાં છે, જ્યાં કેન્દ્ર $(h, k)$ છે।
સરખામણી કરતા, કેન્દ્ર $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ મળે છે।

(A) આપેલ છે,$|z-3 i|+|z+5 i|=4$.
આ સમીકરણ $|z-z_1|+|z-z_2|=k$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $z_1=3 i$ અને $z_2=-5 i$ છે.
બે નિશ્ચિત બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $|z_1-z_2| = |3 i - (-5 i)| = |8 i| = 8$ છે.
ઉપવલય માટે,શરત $k > |z_1-z_2|$ સંતોષાવી જોઈએ.
અહીં,$k=4$ અને $|z_1-z_2|=8$ છે.
કારણ કે $k < |z_1-z_2|$,બે નિશ્ચિત બિંદુઓથી અંતરનો સરવાળો તે બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર કરતા ઓછો છે,જે સંકર સમતલમાં અશક્ય છે.
તેથી,આવું કોઈ બિંદુ $z$ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.

(B) આપેલ છે કે $|z-2|=|z-1|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|z-2|^2 = |z-1|^2$ મળે.
ગુણધર્મ $|w|^2 = w \bar{w}$ નો ઉપયોગ કરતા,$(z-2)(\bar{z}-2) = (z-1)(\bar{z}-1)$ મળે.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $z\bar{z} - 2z - 2\bar{z} + 4 = z\bar{z} - z - \bar{z} + 1$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $-2z - 2\bar{z} + 4 = -z - \bar{z} + 1$.
પદોને ગોઠવતા: $z + \bar{z} = 3$.
$z = x + iy$ અને $\bar{z} = x - iy$ મૂકતા:
$(x + iy) + (x - iy) = 3$.
$2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$.
આ $x = 1.5$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખા દર્શાવે છે,જે $y$-અક્ષને સમાંતર છે.

(B) આપેલ છે કે,$\left|\frac{z-i}{z-2i}\right|=2$.
ધારો કે $z=x+iy$.
તેથી,$|x+i(y-1)|=2|x+i(y-2)|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2+(y-1)^2=4[x^2+(y-2)^2]$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2+y^2-2y+1=4[x^2+y^2-4y+4]$.
$x^2+y^2-2y+1=4x^2+4y^2-16y+16$.
પદોને ગોઠવતા,$3x^2+3y^2-14y+15=0$.
$3$ વડે ભાગતા,$x^2+y^2-\frac{14}{3}y+5=0$.
આ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સ્વરૂપમાં વર્તુળનું સમીકરણ છે.
આમ,$z$ નો બિંદુપથ એક વર્તુળ છે.
તેથી,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $\left|z-z_1\right|+\left|z-z_2\right|=k$ છે.
આ એક એવા બિંદુ $z$ નો બિંદુપથ દર્શાવે છે કે જેનું બે નિશ્ચિત બિંદુઓ $z_1$ અને $z_2$ થી અંતરનો સરવાળો અચળ $k$ છે.
શરત $\left|z_1-z_2\right| < k$ સંતોષાય છે,તેથી અંતરનો સરવાળો એ બે નિશ્ચિત બિંદુઓ (નાભિઓ) વચ્ચેના અંતર કરતા વધારે છે.
ઉપવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,જે બિંદુનું બે નિશ્ચિત બિંદુઓ (નાભિઓ) થી અંતરનો સરવાળો અચળ હોય તે ઉપવલય છે.
તેથી,$z$ એ ઉપવલય પર આવેલું છે.
આમ,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(B) ધારો કે $z = x + iy$. તો,$\frac{z-1}{z+1} = \frac{(x-1) + iy}{(x+1) + iy}$.
અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ વડે ગુણતા: $\frac{((x-1) + iy)((x+1) - iy)}{(x+1)^2 + y^2} = \frac{(x^2 + y^2 - 1) + i(2y)}{(x+1)^2 + y^2}$.
આપેલ છે કે $\arg \left(\frac{z-1}{z+1}\right) = \frac{\pi}{4}$,તેથી $\tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\text{Im}}{\text{Re}} = \frac{2y}{x^2 + y^2 - 1} = 1$.
આ સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2y - 1 = 0$ માં પરિણમે છે,જે એક વર્તુળનું સમીકરણ છે.
આમ,આ ગણ એક વર્તુળનો ચાપ દર્શાવે છે.

(C) ધારો કે $z=x+iy$. આપેલ છે કે $|z|^2+1=|z^2-1|$.
$z=x+iy$ મૂકતા,આપણને મળે $x^2+y^2+1 = |(x+iy)^2-1| = |x^2-y^2-1+2ixy|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x^2+y^2+1)^2 = (x^2-y^2-1)^2 + (2xy)^2$.
$(x^2+y^2+1)^2 - (x^2-y^2-1)^2 = 4x^2y^2$.
$a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$[(x^2+y^2+1) + (x^2-y^2-1)] \times [(x^2+y^2+1) - (x^2-y^2-1)] = 4x^2y^2$.
$(2x^2)(2y^2+2) = 4x^2y^2$.
$4x^2y^2 + 4x^2 = 4x^2y^2$.
$4x^2 = 0 \implies x=0$.
બિંદુપથ $x=0$ એ કાલ્પનિક અક્ષ દર્શાવે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $|z-z_1| + |z-z_2| = 2a$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $z_1 = 3i$ અને $z_2 = -3i$ છે.
આ એક ઉપવલય દર્શાવે છે જેના નાભિઓ $(0, 3)$ અને $(0, -3)$ પર છે.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = |z_1 - z_2| = |3i - (-3i)| = |6i| = 6$ છે.
અહીં $2a = 10$ આપેલ છે,તેથી $a = 5$.
સંબંધ $2ae = 6$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $5e = 3$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $e = \frac{3}{5}$.
આમ,બિંદુપથ એ $\frac{3}{5}$ ઉત્કેન્દ્રિયતા વાળું ઉપવલય છે.

(C) આપેલ છે કે,$\log _{\frac{1}{\sqrt{3}}}\left\{\frac{|z|^2-|z|+1}{2+|z|}\right\}>-2$.
અહીં આધાર $a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ એ $0 < a < 1$ શરતનું પાલન કરે છે,તેથી લઘુગણક દૂર કરતી વખતે અસમતા ઉલટાય છે:
$\frac{|z|^2-|z|+1}{2+|z|} < \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{-2}$.
જમણી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા: $\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{-2} = (\sqrt{3})^2 = 3$.
આમ,$\frac{|z|^2-|z|+1}{2+|z|} < 3$.
બંને બાજુ $(2+|z|)$ વડે ગુણતા (કારણ કે $|z| \ge 0$,તેથી $2+|z| > 0$):
$|z|^2-|z|+1 < 3(2+|z|)$.
$|z|^2-|z|+1 < 6+3|z|$.
$|z|^2-4|z|-5 < 0$.
અવયવ પાડતા: $(|z|-5)(|z|+1) < 0$.
કારણ કે $|z| \ge 0$,$|z|+1$ હંમેશા ધન છે,તેથી $|z|-5 < 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $|z| < 5$.
આ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત $5$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનો અંદરનો ભાગ દર્શાવે છે.

(C) ધારો કે સંકર સંખ્યા $z = x + iy$ છે.
આપેલ સમીકરણ $|z+3|^2 - |z-3|^2 = 15$ છે.
$z = x + iy$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$|x + iy + 3|^2 - |x + iy - 3|^2 = 15$
$|(x+3) + iy|^2 - |(x-3) + iy|^2 = 15$
$(x+3)^2 + y^2 - ((x-3)^2 + y^2) = 15$
$(x^2 + 6x + 9 + y^2) - (x^2 - 6x + 9 + y^2) = 15$
$x^2 + 6x + 9 + y^2 - x^2 + 6x - 9 - y^2 = 15$
$12x = 15$
$x = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$
કારણ કે $x = \frac{5}{4}$ એ સંકર સમતલમાં એક ઉભી રેખા દર્શાવે છે,તેથી બિંદુપથ એક સીધી રેખા છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\left|\frac{z-1}{z+1}\right|=1$
$z=x+iy$ મૂકતા:
$\left|\frac{(x-1)+iy}{(x+1)+iy}\right|=1$
આનો અર્થ છે: $|(x-1)+iy| = |(x+1)+iy|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x-1)^2 + y^2 = (x+1)^2 + y^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2$
$-2x = 2x$
$4x = 0$
$x = 0$
આમ,બિંદુપથ કાલ્પનિક અક્ષ છે,$x=0$.

(A) આપેલ છે,$\left|z+\frac{i}{2}\right|^2=\left|z-\frac{i}{2}\right|^2$.
$z=x+iy$ મૂકતા:
$\left|x+i\left(y+\frac{1}{2}\right)\right|^2 = \left|x+i\left(y-\frac{1}{2}\right)\right|^2$.
ગુણધર્મ $|a+ib|^2 = a^2+b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x^2 + \left(y+\frac{1}{2}\right)^2 = x^2 + \left(y-\frac{1}{2}\right)^2$.
$x^2 + y^2 + y + \frac{1}{4} = x^2 + y^2 - y + \frac{1}{4}$.
બંને બાજુથી $x^2 + y^2 + \frac{1}{4}$ બાદ કરતા:
$y = -y$ $\Rightarrow 2y = 0$ $\Rightarrow y = 0$.
સમીકરણ $y=0$ એ $x$-અક્ષ દર્શાવે છે.

(A) ધારો કે $a = x + iy$,જ્યાં $x, y \in \mathbb{R}$. તો $\bar{a} = x - iy$.
આ કિંમતોને આપેલા સમીકરણ $\bar{a} + a + b = 0$ માં મૂકતા:
$(x - iy) + (x + iy) + b = 0$
$2x + b = 0$
$x = -\frac{b}{2}$
અહીં $x$ અચળ હોવાથી,આ સમીકરણ સંકર સમતલમાં એક સીધી રેખા દર્શાવે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $2|z - (2 + 3i)| = 3|z - (2 - i)|$ છે.
ધારો કે $z = x + iy$. તો $z - (2 + 3i) = (x - 2) + i(y - 3)$ અને $z - (2 - i) = (x - 2) + i(y + 1)$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$4|z - (2 + 3i)|^2 = 9|z - (2 - i)|^2$ મળે.
$4((x - 2)^2 + (y - 3)^2) = 9((x - 2)^2 + (y + 1)^2)$.
$4(x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9) = 9(x^2 - 4x + 4 + y^2 + 2y + 1)$.
$4x^2 - 16x + 16 + 4y^2 - 24y + 36 = 9x^2 - 36x + 36 + 9y^2 + 18y + 9$.
પદોને એક બાજુ ગોઠવતા: $5x^2 + 5y^2 - 20x + 42y + 3 = 0$.
$5$ વડે ભાગતા: $x^2 + y^2 - 4x + \frac{42}{5}y + \frac{3}{5} = 0$.
વર્તુળ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ નું કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે.
અહીં,$2g = -4 \implies g = -2$ અને $2f = \frac{42}{5} \implies f = \frac{21}{5}$.
તેથી,કેન્દ્ર $(2, -\frac{21}{5})$ છે.

(D) ધારો કે $z = x + iy$. તો $\frac{z-1}{z-i} = \frac{(x-1) + iy}{x + i(y-1)}$.
છેદના અનુબદ્ધ વડે ગુણતા: $\frac{((x-1) + iy)(x - i(y-1))}{x^2 + (y-1)^2}$.
પદ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોવા માટે,વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ: $x(x-1) + y(y-1) = 0$.
આનું સાદું રૂપ $x^2 - x + y^2 - y = 0$ અથવા $(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = \frac{1}{2}$ થાય છે.
વર્તુળના સમીકરણ $(x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = r^2$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = \frac{1}{2}$,$\beta = \frac{1}{2}$,અને $r^2 = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આમ,$\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{1/2}{1/2} + \frac{1/2}{1/2} = 1 + 1 = 2$.
ચૂકી $r^2 = \frac{1}{2}$,તેથી $2 = 4r^2$. તેથી,સાચો વિકલ્પ $4r^2$ છે.

(B) ધારો કે $a, b, c$ એ બાજુઓ $BC, AC, AB$ ની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે $|z_1-z_2| = c = \sqrt{25-12\sqrt{3}}$.
આપેલ છે કે $\frac{|z_1-z_3|}{|z_2-z_3|} = \frac{b}{a} = \frac{3}{4}$,તેથી $b = \frac{3}{4}a$.
ત્રિકોણ $ABC$ માં,કોસાઇનના નિયમ મુજબ:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(30^{\circ})$
$25-12\sqrt{3} = a^2 + (\frac{3}{4}a)^2 - 2a(\frac{3}{4}a)(\frac{\sqrt{3}}{2})$
$25-12\sqrt{3} = a^2(\frac{25-12\sqrt{3}}{16})$
તેથી,$a^2 = 16$,એટલે કે $a = 4$.
તેથી $b = \frac{3}{4}(4) = 3$.
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2}ab \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}(4)(3)(\frac{1}{2}) = 3$ ચોરસ એકમ.

(D) સંકર સમતલમાં વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $z \bar{z} + a \bar{z} + \bar{a} z + b = 0$ છે,જ્યાં $a$ સંકર અચળાંક છે અને $b$ વાસ્તવિક અચળાંક છે.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $-a$ છે અને ત્રિજ્યા $\sqrt{|a|^2 - b}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $z \bar{z} + (4 - 3i) \bar{z} + (4 + 3i) z + c = 0$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$a = 4 - 3i$ અને $b = c$ મળે છે.
વર્તુળ અસ્તિત્વમાં રહે તે માટે,ત્રિજ્યા $\geq 0$ હોવી જોઈએ,તેથી $|a|^2 - b \geq 0$.
અહીં,$|a|^2 = |4 - 3i|^2 = 4^2 + (-3)^2 = 16 + 9 = 25$.
આમ,$25 - c \geq 0$,જેનો અર્થ છે કે $c \leq 25$.
તેથી,$c$ ની તમામ વાસ્તવિક કિંમતોનો ગણ $(-\infty, 25]$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\text{arg}\left(\frac{z - z_1}{z - z_2}\right) = \frac{\pi}{4}$.
આ $z$ નો બિંદુપથ $z_1$ અને $z_2$ માંથી પસાર થતા વર્તુળના ચાપ તરીકે દર્શાવે છે.
જીવા $z_1z_2$ દ્વારા પરિઘ પર આંતરેલો ખૂણો $\frac{\pi}{4}$ છે,તેથી કેન્દ્ર $O$ પર આંતરેલો ખૂણો $2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ થશે.
$z_1z_2$ નું મધ્યબિંદુ $\left(\frac{10+4}{2}, \frac{6+6}{2}\right) = (7, 6)$ છે.
$z_1$ અને $z_2$ વચ્ચેનું અંતર $|10+6i - (4+6i)| = 6$ છે. તેથી,જીવાની અડધી લંબાઈ $3$ છે.
કેન્દ્ર અને જીવા દ્વારા બનતો ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,મધ્યબિંદુ $(7, 6)$ થી કેન્દ્ર $O$ નું અંતર $3$ છે.
ખૂણો $\frac{\pi}{4}$ હોવાથી,કેન્દ્ર $O$ એ $(7, 6+3) = (7, 9)$ પર છે,જે $7+9i$ ને અનુરૂપ છે.
ત્રિજ્યા $R$ એ $(7, 9)$ થી $(10, 6)$ સુધીનું અંતર છે,જે $\sqrt{(10-7)^2 + (6-9)^2} = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ છે.
આમ,વર્તુળનું સમીકરણ $|z - (7+9i)| = 3\sqrt{2}$ છે.