Geometry of complex numbers Questions in Gujarati

(D) ચોરસ $ABCD$ માં,જ્યાં શિરોબિંદુઓ $z_1, z_2, z_3, z_4$ ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં છે,સદિશ $\vec{BC}$ એ સદિશ $\vec{BA}$ ને $90^\circ$ ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરવવાથી મળે છે.
તેથી,$\frac{z_3-z_2}{z_1-z_2} = i$ મળે છે.
આથી $z_3-z_2 = i(z_1-z_2)$ થાય.
સાદુરૂપ આપતા $z_3 = i z_1 + (1-i) z_2$ મળે છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધારો કે $a = \alpha + i\beta$ અને $z = x + iy$.
આપેલ સમીકરણ $\bar{a}z + a\bar{z} = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$(\alpha - i\beta)(x + iy) + (\alpha + i\beta)(x - iy) = 0$ મળે.
વિસ્તરણ કરતા,$2(\alpha x + \beta y) = 0$ એટલે કે $\alpha x + \beta y = 0$ મળે.
આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા છે જેનો ઢાળ $m_1 = -\frac{\alpha}{\beta}$ છે.
વાસ્તવિક અક્ષ ($x$-અક્ષ) માં પ્રતિબિંબ લેતા,નવો ઢાળ $m_2 = -m_1 = \frac{\alpha}{\beta}$ થાય.
પ્રતિબિંબિત રેખાનું સમીકરણ $\alpha x - \beta y = 0$ છે.
$x = \frac{z+\bar{z}}{2}$ અને $y = \frac{z-\bar{z}}{2i}$ મૂકતા,$\alpha(\frac{z+\bar{z}}{2}) - \beta(\frac{z-\bar{z}}{2i}) = 0$ મળે.
સાદુરૂપ આપતા,$(\alpha + i\beta)z + (\alpha - i\beta)\bar{z} = 0$ એટલે કે $az + \bar{a}\bar{z} = 0$ મળે.

(D) આપેલ છે: $\left|\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2}\right|=1$
અંશ અને છેદને $z_2$ વડે ભાગતા ($z_2 \neq 0$ ધારીને),આપણને મળે છે:
$\left|\frac{z_1/z_2 + 1}{z_1/z_2 - 1}\right| = 1$
ધારો કે $w = \frac{z_1}{z_2}$. તો $|w+1| = |w-1|$.
આ સમીકરણ એવા બિંદુઓ $w$ નો બિંદુપથ દર્શાવે છે જે સંકર સમતલમાં $-1$ અને $1$ થી સમાન અંતરે છે.
બે બિંદુઓથી સમાન અંતરે આવેલા બિંદુઓનો સમૂહ એ તેમને જોડતા રેખાખંડનો લંબદ્વિભાજક છે.
બિંદુઓ વાસ્તવિક અક્ષ પર $(-1, 0)$ અને $(1, 0)$ છે. આ બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડનો લંબદ્વિભાજક એ કાલ્પનિક અક્ષ છે.
તેથી,$w = \frac{z_1}{z_2}$ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોવું જોઈએ (એટલે કે,તેનો વાસ્તવિક ભાગ $0$ છે).
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ છે કે $|z|-2=0 \implies |z|=2$. આ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત અને $2$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે,તેથી $x^2+y^2=4$.
વળી,$|z+i|-|z-1|=0 \implies |z+i|=|z-1|$.
ધારો કે $z=x+iy$. તો $|x+i(y+1)|=|x-1+iy|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^2+(y+1)^2=(x-1)^2+y^2$.
$x^2+y^2+2y+1=x^2-2x+1+y^2$.
$2y=-2x \implies y=-x$.
$y=-x$ ને $x^2+y^2=4$ માં મૂકતા:
$x^2+(-x)^2=4 \implies 2x^2=4 \implies x^2=2 \implies x=\pm\sqrt{2}$.
જો $x=\sqrt{2}$ હોય,તો $y=-\sqrt{2}$,તેથી $z=\sqrt{2}-i\sqrt{2}=\sqrt{2}(1-i)$.
જો $x=-\sqrt{2}$ હોય,તો $y=\sqrt{2}$,તેથી $z=-\sqrt{2}+i\sqrt{2}=\sqrt{2}(-1+i)$.
આમ,$z$ ની શક્ય કિંમતો $\sqrt{2}(1-i)$ અને $\sqrt{2}(-1+i)$ છે.

(B) સંકર સમતલમાં વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $z \bar{z} + \bar{a} z + a \bar{z} + b = 0$ છે,જ્યાં કેન્દ્ર $-a$ છે અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{|a|^2 - b}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $z \bar{z} + (2 - 3i) z + (2 + 3i) \bar{z} + 4 = 0$ ને સામાન્ય સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 2 - 3i$ અને $b = 4$ મળે છે.
પ્રથમ,$|a|^2 = |2 - 3i|^2 = 2^2 + (-3)^2 = 4 + 9 = 13$ ગણો.
હવે,ત્રિજ્યા $r = \sqrt{|a|^2 - b} = \sqrt{13 - 4} = \sqrt{9} = 3$.
આમ,વર્તુળની ત્રિજ્યા $3 \text{ એકમ}$ છે.

(D) આપેલ છે $z=x+iy$.
તેથી $\frac{z-1}{z-i} = \frac{(x-1)+iy}{x+i(y-1)}$.
આ પદને વાસ્તવિક બનાવવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ વડે ગુણીએ:
$\frac{(x-1)+iy}{x+i(y-1)} \times \frac{x-i(y-1)}{x-i(y-1)} = \frac{x(x-1) - i(x-1)(y-1) + ixy + y(y-1)}{x^2 + (y-1)^2}$.
આ પદનો કાલ્પનિક ભાગ $\frac{xy - (x-1)(y-1)}{x^2 + (y-1)^2} = \frac{xy - (xy - x - y + 1)}{x^2 + (y-1)^2} = \frac{x+y-1}{x^2 + (y-1)^2}$ છે.
પદ વાસ્તવિક હોવા માટે,કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\frac{x+y-1}{x^2 + (y-1)^2} = 0 \implies x+y-1 = 0$ (જ્યાં $z \neq i$).
આ એક સીધી રેખાનું સમીકરણ છે.

(A) ધારો કે $z = x + iy$. આપેલ સમીકરણ $\text{arg}\left(\frac{z-2}{z+2}\right) = \frac{\pi}{3}$ છે.
આ એક એવા બિંદુ $z$ નો બિંદુપથ છે કે જેથી $2$ અને $-2$ ને જોડતા રેખાખંડ દ્વારા $z$ આગળ બનતો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ થાય.
$\text{arg}\left(\frac{z-z_1}{z-z_2}\right) = \theta$ ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આ બિંદુપથ એક વર્તુળનો ચાપ છે.
તેથી,આ બિંદુઓ એક વર્તુળ પર આવેલા છે.

(B) આપેલ સંકર સંખ્યા $z = (1 - t^2) + i \sqrt{1 + t^2}$ છે.
ધારો કે $z = x + iy$,જ્યાં $x$ અને $y$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$x = 1 - t^2$
$y = \sqrt{1 + t^2}$
કાલ્પનિક ભાગનો વર્ગ કરતા,$y^2 = 1 + t^2$ મળે છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$t^2 = 1 - x$.
આ કિંમત $y^2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y^2 = 1 + (1 - x)$
$y^2 = 2 - x$
$y^2 = -(x - 2)$
આ $Y^2 = -4aX$ પ્રકારના પરવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ છે,જેનું શિરોબિંદુ $(2, 0)$ છે.

(A) આપેલ છે,$X_{n} = \{z = x + iy : |z|^{2} \leq \frac{1}{n}\}$.
આ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત અને $\frac{1}{\sqrt{n}}$ ત્રિજ્યા ધરાવતો ડિસ્ક દર્શાવે છે.
$n = 1$ માટે,$X_{1} = \{x^{2} + y^{2} \leq 1\}$.
$n = 2$ માટે,$X_{2} = \{x^{2} + y^{2} \leq \frac{1}{2}\}$.
જેમ $n \to \infty$,ત્રિજ્યા $\frac{1}{\sqrt{n}} \to 0$.
તમામ $X_{n}$ નો છેદગણ એવા બિંદુઓનો ગણ છે જે તમામ $n \geq 1$ માટે $x^{2} + y^{2} \leq \frac{1}{n}$ નું પાલન કરે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $x^{2} + y^{2} \leq 0$.
કારણ કે $x^{2} + y^{2}$ ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી એકમાત્ર ઉકેલ $x^{2} + y^{2} = 0$ છે,જેનો અર્થ છે $x = 0$ અને $y = 0$.
આમ,$\bigcap_{n=1}^{\infty} X_{n} = \{0 + 0i\} = \{0\}$.
તેથી,છેદગણ એ એક સિંગલટન ગણ છે.

(C) ગણ $A$ એ $2 + 0i$ કેન્દ્ર અને $R = 4$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.
ગણ $B$ એ $2$ અને $-2$ નાભિ ધરાવતું ઉપવલય છે. નાભિઓથી અંતરનો સરવાળો $2a = 5$ છે,તેથી $a = \frac{5}{2}$. કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જ્યાં $a = \frac{5}{2}$ અને $c = 2$. $b^2 = a^2 - c^2$ હોવાથી,$b^2 = \frac{25}{4} - 4 = \frac{9}{4}$,તેથી $b = \frac{3}{2}$.
$|z_1 - z_2|$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $z_1$ ને $A$ ની સીમા પર અને $z_2$ ને ઉપવલય $B$ પર એવી રીતે પસંદ કરીએ કે જેથી તેઓ એકબીજાથી શક્ય તેટલા દૂર હોય.
ઉપવલય $B$ પરનું કેન્દ્ર $2$ થી સૌથી દૂરનું બિંદુ $z_2 = -\frac{5}{2}$ છે.
વર્તુળ $A$ પરનું $z_2 = -\frac{5}{2}$ થી સૌથી દૂરનું બિંદુ $z_1 = 6$ છે.
તેથી,મહત્તમ અંતર $|6 - (-5/2)| = |6 + 2.5| = 8.5 = \frac{17}{2}$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણો સંકર સમતલમાં બે વર્તુળો દર્શાવે છે:
$|z-6|=5$ એ $C_{1}(6, 0)$ કેન્દ્ર અને $r_{1}=5$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.
$|z-(-2+6i)|=5$ એ $C_{2}(-2, 6)$ કેન્દ્ર અને $r_{2}=5$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_{1}C_{2} = \sqrt{(6 - (-2))^2 + (0 - 6)^2} = 10$ છે.
$C_{1}C_{2} = r_{1} + r_{2} = 10$ હોવાથી,બંને વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે.
બિંદુ $z$ એ કેન્દ્રો $C_{1}$ અને $C_{2}$ ને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે.
$z = (2, 3)$,એટલે કે $z = 2 + 3i$.
$z = 2+3i$ માટે $z^2 = 4z - 13$ અને $z^3 = 3z - 52$ મળે છે.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા: $(3z - 52) + 3(4z - 13) - 15z + 141 = 50$.

(D) આપેલ છે $\left|\frac{z-6i}{z-2i}\right| = 1$,જ્યાં $z = x + iy$. આનો અર્થ થાય છે $|z-6i| = |z-2i|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $x^2 + (y-6)^2 = x^2 + (y-2)^2$.
$y^2 - 12y + 36 = y^2 - 4y + 4$ $\Rightarrow 8y = 32$ $\Rightarrow y = 4$.
હવે,$\left|\frac{z-8+2i}{z+2i}\right| = \frac{3}{5} \Rightarrow 25|z-(8-2i)|^2 = 9|z+2i|^2$.
$25((x-8)^2 + (y+2)^2) = 9(x^2 + (y+2)^2)$.
$y=4$ મૂકતા: $25((x-8)^2 + 36) = 9(x^2 + 36)$.
$25(x^2 - 16x + 64 + 36) = 9(x^2 + 36)$.
$25x^2 - 400x + 2500 = 9x^2 + 324$.
$16x^2 - 400x + 2176 = 0 \Rightarrow x^2 - 25x + 136 = 0$.
$(x-8)(x-17) = 0 \Rightarrow x = 8 \text{ અથવા } x = 17$.
આમ,$z_1 = 8+4i$ અને $z_2 = 17+4i$.
$|z_1|^2 = 8^2 + 4^2 = 64 + 16 = 80$.
$|z_2|^2 = 17^2 + 4^2 = 289 + 16 = 305$.
$\sum_{z \in S} |z|^2 = 80 + 305 = 385$.

(D) $|z-5| \le 3$ એ $(5, 0)$ કેન્દ્ર અને $3$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે. $z$ નો કોણાંક મહત્તમ હોય તે માટે,ઉગમબિંદુમાંથી દોરેલી રેખા વર્તુળને બિંદુ $P(z)$ પર સ્પર્શવી જોઈએ.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$,કેન્દ્ર $(5, 0)$ અને બિંદુ $P(z)$ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ $5$ છે અને ત્રિજ્યા $3$ છે. તેથી,ઉગમબિંદુથી $P$ નું અંતર $\sqrt{5^2 - 3^2} = 4$ છે.
ધારો કે $z = x + iy$. ભૂમિતિ પરથી,$\cos \theta = \frac{4}{5}$ અને $\sin \theta = \frac{3}{5}$.
તેથી,$z = 4(\cos \theta + i \sin \theta) = 4(\frac{4}{5} + i \frac{3}{5}) = \frac{16}{5} + i \frac{12}{5}$.
હવે,$z$ ની કિંમત પદમાં મૂકતા:
$5z - 12 = 5(\frac{16}{5} + i \frac{12}{5}) - 12 = 16 + 12i - 12 = 4 + 12i$.
$5iz + 16 = 5i(\frac{16}{5} + i \frac{12}{5}) + 16 = 16i - 12 + 16 = 4 + 16i$.
તેથી,$|\frac{5z-12}{5iz+16}|^2 = |\frac{4+12i}{4+16i}|^2 = |\frac{1+3i}{1+4i}|^2 = \frac{1^2 + 3^2}{1^2 + 4^2} = \frac{1+9}{1+16} = \frac{10}{17}$.
અંતે,$34 \times \frac{10}{17} = 2 \times 10 = 20$.

(A) આપેલ છે $4z^2 + \overline{z} = 0$. ધારો કે $z = x + iy$.
સમીકરણમાં $z$ ની કિંમત મૂકતા: $4(x + iy)^2 + (x - iy) = 0$.
$4(x^2 - y^2 + 2xyi) + x - iy = 0$.
$4x^2 - 4y^2 + x + i(8xy - y) = 0$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$4x^2 - 4y^2 + x = 0$ અને $y(8x - 1) = 0$.
કિસ્સો $1$: $y = 0$. તો $4x^2 + x = 0 \Rightarrow x(4x + 1) = 0$. તેથી $x = 0$ અથવા $x = -1/4$.
આનાથી $z_1 = 0$ $(|z_1|^2 = 0)$ અને $z_2 = -1/4$ $(|z_2|^2 = 1/16)$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: $x = 1/8$. તો $4(1/8)^2 - 4y^2 + 1/8 = 0$.
$4/64 - 4y^2 + 1/8 = 0$ $\Rightarrow 1/16 + 1/8 = 4y^2$ $\Rightarrow 3/16 = 4y^2$ $\Rightarrow y^2 = 3/64$.
તેથી $y = \pm \sqrt{3}/8$. આનાથી $z_3 = 1/8 + i\sqrt{3}/8$ અને $z_4 = 1/8 - i\sqrt{3}/8$ મળે છે.
$|z_3|^2 = (1/8)^2 + (\sqrt{3}/8)^2 = 1/64 + 3/64 = 4/64 = 1/16$.
$|z_4|^2 = (1/8)^2 + (-\sqrt{3}/8)^2 = 1/64 + 3/64 = 4/64 = 1/16$.
માનાંકના વર્ગોનો સરવાળો: $0 + 1/16 + 1/16 + 1/16 = 3/16$.

(B) આપેલ ગણ $S = \{z : 3 \le |2z - 3(1 + i)| \le 7\}$ છે.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{3}{2} \le |z - \frac{3}{2}(1 + i)| \le \frac{7}{2}$.
આ એક વલય (annulus) દર્શાવે છે જેનું કેન્દ્ર $C(\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$ છે,આંતરિક ત્રિજ્યા $r_1 = \frac{3}{2}$ અને બાહ્ય ત્રિજ્યા $r_2 = \frac{7}{2}$ છે.
આપણે બિંદુ $P(-\frac{5}{2}, -\frac{3}{2})$ થી ગણ $S$ સુધીનું ન્યૂનતમ અંતર શોધવાનું છે.
અંતર $PC = \sqrt{(\frac{3}{2} - (-\frac{5}{2}))^2 + (\frac{3}{2} - (-\frac{3}{2}))^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$.
$P$ થી વલય સુધીનું ન્યૂનતમ અંતર $PC - r_2 = 5 - \frac{7}{2} = \frac{3}{2}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $|z + 2| = |z - 2|$,જે $-2$ અને $2$ ને જોડતા રેખાખંડનો લંબદ્વિભાજક દર્શાવે છે,જે કાલ્પનિક અક્ષ (imaginary axis) છે. તેથી,$z = iy$ જ્યાં $y \in \mathbb{R}$.
$z = iy$ ને આર્ગ્યુમેન્ટના પદમાં મૂકતા:
$\frac{z + 3}{z - i} = \frac{3 + iy}{iy - i} = \frac{3 + iy}{i(y - 1)}$.
સરળ બનાવવા માટે,અંશ અને છેદને $-i$ વડે ગુણતા:
$\frac{(3 + iy)(-i)}{i(y - 1)(-i)} = \frac{-3i - i^2y}{y - 1} = \frac{y - 3i}{y - 1} = \frac{y}{y - 1} - i\frac{3}{y - 1}$.
આપેલ છે કે $\arg\left(\frac{z + 3}{z - i}\right) = \frac{\pi}{4}$,તેથી $\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\text{Im}}{\text{Re}} = \frac{-3/(y - 1)}{y/(y - 1)} = \frac{-3}{y} = 1$.
$y$ માટે ઉકેલતા,આપણને $y = -3$ મળે છે.
તેથી,$z = -3i$,અને $|z|^2 = |-3i|^2 = 9$.

(B) પ્રથમ સમીકરણ $|z - (4 + 8i)| = \sqrt{10}$ એ $C(4, 8)$ કેન્દ્ર અને $r = \sqrt{10}$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
બીજું સમીકરણ $|z - (3 + 5i)| + |z - (5 + 11i)| = 4\sqrt{5}$ એ $F_1(3, 5)$ અને $F_2(5, 11)$ નાભિ ધરાવતું ઉપવલય દર્શાવે છે.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = \sqrt{(5-3)^2 + (11-5)^2} = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ છે.
પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $2a = 4\sqrt{5}$ છે,તેથી $a = 2\sqrt{5}$.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{2\sqrt{10}}{2(2\sqrt{5})} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
ઉપવલયનું કેન્દ્ર $F_1F_2$ નું મધ્યબિંદુ છે,જે $(\frac{3+5}{2}, \frac{5+11}{2}) = (4, 8)$ છે. આ વર્તુળના કેન્દ્ર સાથે સમાન છે.
ગૌણ અક્ષનો અર્ધ-અક્ષ $b$ માટે $b^2 = a^2(1 - e^2) = (2\sqrt{5})^2(1 - 1/2) = 20(1/2) = 10$,તેથી $b = \sqrt{10}$ મળે છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{10}$ એ ઉપવલયના ગૌણ અર્ધ-અક્ષ $b = \sqrt{10}$ જેટલી હોવાથી,વર્તુળ ઉપવલયને ગૌણ અક્ષના બે અંત્યબિંદુઓ પર સ્પર્શે છે.
તેથી,બંને સમીકરણોનું સમાધાન કરતા $z$ ના $2$ મૂલ્યો મળે છે.