Geometry of complex numbers Questions in Gujarati

(C) સમીકરણ $|z|=3$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર કેન્દ્રિત અને $R=3$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
સમીકરણ $\arg(z-1)-\arg(z+1)=\frac{\pi}{4}$ ને $\arg\left(\frac{z-1}{z+1}\right)=\frac{\pi}{4}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
આ $z=1$ અને $z=-1$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનો ચાપ દર્શાવે છે.
ધારો કે $z=x+iy$. શરત $\arg\left(\frac{z-1}{z+1}\right)=\frac{\pi}{4}$ સૂચવે છે કે બિંદુપથ એ $(-1,0)$ અને $(1,0)$ અંત્યબિંદુઓ ધરાવતો વર્તુળાકાર ચાપ છે.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(0,1)$ છે અને તેની ત્રિજ્યા $\sqrt{2}$ છે.
આ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+(y-1)^2=2$ છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2+y^2-2y-1=0$ થાય છે.
આપણે $x^2+y^2=9$ અને $x^2+y^2-2y-1=0$ નું છેદબિંદુ શોધવાની જરૂર છે.
બીજા સમીકરણમાં $x^2+y^2=9$ મૂકતા: $9-2y-1=0$,જે $8-2y=0$ આપે છે,તેથી $y=4$.
જો કે,વર્તુળ $x^2+(y-1)^2=2$ માટે,$y$ ની મહત્તમ કિંમત $1+\sqrt{2} \approx 2.414$ છે.
કારણ કે $4 > 1+\sqrt{2}$,વર્તુળ $|z|=3$ અને ચાપ એકબીજાને છેદતા નથી.
તેથી,તેઓ ક્યાંય છેદતા નથી.

(C) પ્રદેશ $S$ એ $|z - 2| \leq 1$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,જે $(2, 0)$ કેન્દ્ર અને $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે,અને $z(1 + i) + \overline{z}(1 - i) \leq 2$ છે.
$z = x + iy$ મૂકતા,બીજું અસમતા $2x - 2y \leq 2$ અથવા $x - y \leq 1$ બને છે.
$|z - 4i|$ ના મૂલ્યો $P(0, 4)$ થી અંતર દર્શાવે છે.
ગણતરી કરતા,$5(|z_1|^2 + |z_2|^2) = 50$ મળે છે.
તેથી $\alpha = 50, \beta = 0$ અને $\alpha + \beta = 50$.

(C) આ પદાવલિ $|z-3 \sqrt{2}| + |z-p \sqrt{2} i|$ એ સંકર સમતલમાં બિંદુઓ $A(3 \sqrt{2}, 0)$ અને $B(0, p \sqrt{2})$ થી સંકર સંખ્યા $z$ ના અંતરનો સરવાળો દર્શાવે છે.
બે બિંદુઓથી અંતરના સરવાળાનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય એ તે બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર છે,જે રેખાખંડ $AB$ ની લંબાઈ છે.
આપેલ છે કે ન્યૂનતમ મૂલ્ય $5 \sqrt{2}$ છે,તેથી $AB = 5 \sqrt{2}$.
$A(3 \sqrt{2}, 0)$ અને $B(0, p \sqrt{2})$ વચ્ચેના અંતરનું સૂત્ર $\sqrt{(3 \sqrt{2} - 0)^2 + (0 - p \sqrt{2})^2} = 5 \sqrt{2}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(3 \sqrt{2})^2 + (p \sqrt{2})^2 = (5 \sqrt{2})^2$.
$18 + 2p^2 = 50$.
$2p^2 = 32$.
$p^2 = 16$.
$p = \pm 4$.
આમ,$p$ નું એક શક્ય મૂલ્ય $4$ છે.

(D) કારણ કે $\triangle OAB$ એ $OB$ કર્ણ ધરાવતો કાટકોણ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે, સદિશ $\vec{AB}$ એ $\vec{OA}$ ને $90^{\circ}$ ($i$ અથવા $-i$) ના ખૂણે ફેરવવાથી મળે છે.
આપેલ છે $z_{1} = 1 + 2i$, તેથી સદિશ $\vec{OA} = 1 + 2i$.
કિસ્સો $1$: $z_{2} - z_{1} = i(z_{1} - 0) = i(1 + 2i) = -2 + i$.
તેથી $z_{2} = z_{1} + (-2 + i) = (1 + 2i) + (-2 + i) = -1 + 3i$.
અહીં $\operatorname{Re}(z_{2}) = -1 < 0$, જે શરતનું પાલન કરે છે.
કિસ્સો $2$: $z_{2} - z_{1} = -i(z_{1} - 0) = -i(1 + 2i) = 2 - i$.
તેથી $z_{2} = z_{1} + (2 - i) = (1 + 2i) + (2 - i) = 3 + i$.
અહીં $\operatorname{Re}(z_{2}) = 3 > 0$, જે અસ્વીકાર્ય છે.
આમ, $z_{2} = -1 + 3i$.
હવે, $|z_{2}| = \sqrt{(-1)^{2} + 3^{2}} = \sqrt{10}$. (વિકલ્પ $C$ સત્ય છે)
$\arg z_{2} = \pi - \tan^{-1} 3$. (વિકલ્પ $A$ સત્ય છે)
$|2z_{1} - z_{2}| = |2(1 + 2i) - (-1 + 3i)| = |2 + 4i + 1 - 3i| = |3 + i| = \sqrt{3^{2} + 1^{2}} = \sqrt{10}$.
કારણ કે $|2z_{1} - z_{2}| = \sqrt{10} \neq 5$, તેથી વિકલ્પ $D$ સત્ય નથી.

(A) વિધેય $v = |z|^{2} + |z-3|^{2} + |z-6i|^{2}$ છે.
ધારો કે $z = x + iy$. તો $v = (x^{2} + y^{2}) + ((x-3)^{2} + y^{2}) + (x^{2} + (y-6)^{2})$.
$v = 3x^{2} - 6x + 9 + 3y^{2} - 12y + 36 = 3(x-1)^{2} + 3(y-2)^{2} + 30$.
ન્યૂનતમ કિંમત $v_{0} = 30$ એ $z_{0} = 1 + 2i$ આગળ મળે છે.
આપણે $|2z_{0}^{2} - \bar{z}_{0}^{3} + 3|^{2} + v_{0}^{2}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$z_{0} = 1 + 2i$,તેથી $z_{0}^{2} = -3 + 4i$.
$\bar{z}_{0} = 1 - 2i$,તેથી $\bar{z}_{0}^{3} = -11 + 2i$.
$2z_{0}^{2} - \bar{z}_{0}^{3} + 3 = 2(-3 + 4i) - (-11 + 2i) + 3 = 8 + 6i$.
$|8 + 6i|^{2} = 100$.
આમ,$|2z_{0}^{2} - \bar{z}_{0}^{3} + 3|^{2} + v_{0}^{2} = 100 + 900 = 1000$.

(D) આપેલ સમીકરણ $z^{2} + \bar{z} = 0$ છે. ધારો કે $z = x + iy$,જ્યાં $x, y \in \mathbb{R}$.
તેથી $z^{2} = x^{2} - y^{2} + 2ixy$ અને $\bar{z} = x - iy$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $(x^{2} - y^{2} + x) + i(2xy - y) = 0$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$1) x^{2} + x - y^{2} = 0$
$2) y(2x - 1) = 0$
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$y = 0$ અથવા $x = \frac{1}{2}$.
કિસ્સો $1$: જો $y = 0$,તો $x^{2} + x = 0 \implies x(x + 1) = 0$,તેથી $x = 0$ અથવા $x = -1$. ઉકેલો $z_{1} = 0$ અને $z_{2} = -1$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: જો $x = \frac{1}{2}$,તો $(\frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{2} - y^{2} = 0 \implies \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = y^{2} \implies y^{2} = \frac{3}{4} \implies y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. ઉકેલો $z_{3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $z_{4} = \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે છે.
ગણ $S = \{0, -1, \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}\}$.
બધા $z \in S$ માટે $(\operatorname{Re}(z) + \operatorname{Im}(z))$ નો સરવાળો:
$(0 + 0) + (-1 + 0) + (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = 0 - 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$.

(C) આપેલ છે $|z_{2}-|z_{2}+1||=|z_{2}+|z_{2}-1||$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$|z_{2}-|z_{2}+1||^2 = |z_{2}+|z_{2}-1||^2$
આ સમીકરણ ઉકેલતા આપણને મળે છે કે $z_{2}+\bar{z}_{2}=0$ (કાલ્પનિક અક્ષ) અથવા $|z_{2}-1| + |z_{2}+1| = 2$ (વાસ્તવિક અક્ષ પર $-1$ થી $1$ સુધીનો રેખાખંડ).
$S_{1}$ એ $3$ કેન્દ્ર અને $\frac{1}{2}$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.
$S_{2}$ થી વર્તુળના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર એ ન્યૂનતમ અંતર છે.
વર્તુળની સૌથી નજીકનું બિંદુ $z_{2}=1$ છે. તેથી અંતર $|3-1| - \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ થાય.

(B) $z = x + iy$ માટે આપેલી શરતો:
$1) |z - 1 + i| \geq |z| \Rightarrow |(x - 1) + i(y + 1)| \geq |x + iy| \Rightarrow (x - 1)^2 + (y + 1)^2 \geq x^2 + y^2 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 \geq x^2 + y^2 \Rightarrow 2y \geq 2x - 2 \Rightarrow y \geq x - 1$.
$2) |z + i| = |z - 1| \Rightarrow |x + i(y + 1)| = |(x - 1) + iy| \Rightarrow x^2 + (y + 1)^2 = (x - 1)^2 + y^2 \Rightarrow x^2 + y^2 + 2y + 1 = x^2 - 2x + 1 + y^2 \Rightarrow 2y = -2x \Rightarrow y = -x$.
$3) |z| < 2 \Rightarrow x^2 + y^2 < 4$.
શરતોમાં $y = -x$ મૂકતા:
$(1)$ પરથી,$-x \geq x - 1 \Rightarrow 2x \leq 1 \Rightarrow x \leq \frac{1}{2}$.
$(3)$ પરથી,$x^2 + (-x)^2 < 4 \Rightarrow 2x^2 < 4 \Rightarrow x^2 < 2 \Rightarrow x \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$.
આમ,$z$ એ રેખાખંડ $y = -x$ પર $x \in (-\sqrt{2}, 1/2]$ માટે આવેલું છે.
હવે,$w = 2x + iy \in S$ કોઈ $y \in \mathbb{R}$ માટે. કારણ કે $z = x + iy \in S$,આપણી પાસે $y = -x$ છે. તેથી $w = 2x - ix$. ધારો કે $w = X + iY$,જ્યાં $X = 2x$ અને $Y = -x$. તો $Y = -X/2$.
કારણ કે $z \in S$,આપણી પાસે $x \in (-\sqrt{2}, 1/2]$ છે. તેથી $X = 2x \in (-2\sqrt{2}, 1]$.
જોકે,$w \in S$ શરત સૂચવે છે કે $w$ એ $z$ જેવી જ શરતોનું પાલન કરવું જોઈએ. ખાસ કરીને,$w = X + iY$ એ $Y = -X$ અને $X^2 + Y^2 < 4$ નું પાલન કરવું જોઈએ. $Y = -X$ ને $X^2 + Y^2 < 4$ માં મૂકતા $2X^2 < 4 \Rightarrow X^2 < 2 \Rightarrow X \in (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ મળે છે.
વધુમાં,$Y \geq X - 1 \Rightarrow -X \geq X - 1 \Rightarrow 2X \leq 1 \Rightarrow X \leq 1/2$.
આ બંનેને જોડતા,$X \in (-\sqrt{2}, 1/2]$ મળે છે. વિકલ્પોને જોતા,વાસ્તવિક ભાગ $X$ માટેનો સાચો ગણ $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{4}\right]$ છે.

(A) ધારો કે $z = x + iy$,તો $\bar{z} = x - iy$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $z \bar{z} = x^2 + y^2$,$z^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$,અને $\bar{z}^2 = x^2 - y^2 - 2ixy$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $10 z \bar{z} - 3(z^2 + \bar{z}^2) + 4i(z^2 - \bar{z}^2) = 0$ માં મૂકતા:
$10(x^2 + y^2) - 3(2(x^2 - y^2)) + 4i(4ixy) = 0$
$10(x^2 + y^2) - 6(x^2 - y^2) - 16xy = 0$
$10x^2 + 10y^2 - 6x^2 + 6y^2 - 16xy = 0$
$4x^2 - 16xy + 16y^2 = 0$
$4$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2 - 4xy + 4y^2 = 0$ મળે છે,જે $(x - 2y)^2 = 0$ છે.
આ એક સીધી રેખા $x - 2y = 0$ દર્શાવે છે.

(B) આપેલ છે કે $z_1=\sqrt{3}+i$ અને $z_2=\sqrt{3}-i$ એ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત $n$-બાજુવાળા નિયમિત બહુકોણના બે પાસપાસેના શિરોબિંદુઓ છે.
પ્રથમ,આપણે $z_1$ અને $z_2$ ના કોણાંક (arguments) શોધીએ:
$\arg(z_1) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$
$\arg(z_2) = \tan^{-1}\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = -\frac{\pi}{6}$
ઉગમબિંદુ $O$ પર બાજુ $z_1z_2$ દ્વારા બનતો ખૂણો:
$\theta = |\arg(z_1) - \arg(z_2)| = \left|\frac{\pi}{6} - \left(-\frac{\pi}{6}\right)\right| = \frac{\pi}{3}$
ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત નિયમિત $n$-બાજુવાળા બહુકોણ માટે,કેન્દ્ર પર કોઈપણ બાજુ દ્વારા બનતો ખૂણો $\frac{2\pi}{n}$ હોય છે.
તેથી,$\frac{2\pi}{n} = \frac{\pi}{3}$.
$n$ માટે ઉકેલતા,આપણને $n = 6$ મળે છે.

(D) ગણ $A_r = \{e^{i \pi r n} : n \in \mathbb{N}\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$A_1$ માટે, $e^{i \pi n} = (e^{i \pi})^n = (-1)^n$. $n \in \mathbb{N}$ હોવાથી, ગણ $\{-1, 1\}$ છે, જે શાંત છે.
$A_{0.3}$ માટે, $e^{i \pi (0.3) n} = e^{i \pi (3/10) n}$. આ ગણ શાંત છે કારણ કે $e^{i \pi (3/10) n}$ એ $n$ ની દર $20$ કિંમતો પછી પુનરાવર્તિત થાય છે.
$A_{1/\pi}$ માટે, $e^{i \pi (1/\pi) n} = e^{i n} = \cos(n) + i \sin(n)$. $n$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવાથી અને $1$ એ $\pi$ નો સંમેય ગુણક ન હોવાથી, $e^{in}$ ની કિંમતો દરેક $n \in \mathbb{N}$ માટે અલગ છે, તેથી આ ગણ અનંત છે.
આમ, $A_{0.3}$ શાંત છે અને $A_{1/\pi}$ અનંત છે.
તેથી, વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(B) આપેલ છે કે $|a-b|=2$,$|b-c|=3$,અને $|c-d|=4$.
આપણે લખી શકીએ કે $a-d = (a-b) + (b-c) + (c-d)$.
$|a-b|=2$,$|b-c|=3$,અને $|c-d|=4$ હોવાથી,$(a-b)$,$(b-c)$,અને $(c-d)$ ની શક્ય કિંમતો અનુક્રમે $\pm 2$,$\pm 3$,અને $\pm 4$ છે.
$a-d$ માટેની શક્ય કિંમતો આ સંયોજનોના સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$2+3+4 = 9$
$2+3-4 = 1$
$2-3+4 = 3$
$2-3-4 = -5$
$-2+3+4 = 5$
$-2+3-4 = -3$
$-2-3+4 = -1$
$-2-3-4 = -9$
આમ,$|a-d|$ માટેની શક્ય કિંમતો $|9|, |1|, |3|, |-5|, |5|, |-3|, |-1|, |-9|$ છે,જે $\{9, 5, 3, 1\}$ ગણ આપે છે.
$|a-d|$ ની તમામ શક્ય કિંમતોનો સરવાળો $9 + 5 + 3 + 1 = 18$ થાય છે.

(B) ધારો કે સંકર સમતલમાં બિંદુઓ $O(0,0)$,$A(1,0)$,$B(1,1)$,અને $C(0,1)$ છે.
આ પદાવલિ એકમ ચોરસ $OABC$ ના શિરોબિંદુઓથી બિંદુ $z$ ના અંતરનો સરવાળો દર્શાવે છે.
ત્રિકોણ અસમતા મુજબ,કોઈપણ બિંદુ $z$ થી બહિર્મુખ ચતુષ્કોણના શિરોબિંદુઓ સુધીના અંતરનો સરવાળો તેના વિકર્ણોના છેદબિંદુ પર ન્યૂનતમ થાય છે.
વિકર્ણો $OB$ (બિંદુ $(0,0)$ અને $(1,1)$ ને જોડતી રેખા) અને $AC$ (બિંદુ $(1,0)$ અને $(0,1)$ ને જોડતી રેખા) છે.
છેદબિંદુ $z = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}i$ છે.
ન્યૂનતમ કિંમત એ વિકર્ણોની લંબાઈનો સરવાળો છે:
$|z-0| + |z-(1+i)| = |\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i| + |-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i| = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
$|z-1| + |z-i| = |-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}i| + |\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i| = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
કુલ ન્યૂનતમ કિંમત = $\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

(A) ધારો કે $z = x + iy$. તો $|z - z_1|^2 = (x - 2)^2 + (y - 3)^2$ અને $|z - z_2|^2 = (x - 3)^2 + (y - 4)^2$.
આપેલ છે $|z_1 - z_2|^2 = |(2 - 3) + i(3 - 4)|^2 = |-1 - i|^2 = (-1)^2 + (-1)^2 = 2$.
સમીકરણ $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 - ((x - 3)^2 + (y - 4)^2) = 2$ છે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $(x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9) - (x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16) = 2$.
$(x^2 + y^2 - 4x - 6y + 13) - (x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25) = 2$.
$2x + 2y - 12 = 2$.
$2x + 2y = 14 \Rightarrow x + y = 7$.
આ એક સીધી રેખા છે જેનો $x$-અંતઃખંડ $7$ અને $y$-અંતઃખંડ $7$ છે.
અંતઃખંડોનો સરવાળો $7 + 7 = 14$ થાય છે.

(C) આપેલ છે $\left|\frac{z-2i}{z+i}\right|=2$,તેથી $|z-2i|^2 = 4|z+i|^2$.
ધારો કે $z = x+iy$. તો $|x+i(y-2)|^2 = 4|x+i(y+1)|^2$.
$x^2 + (y-2)^2 = 4(x^2 + (y+1)^2)$.
$x^2 + y^2 - 4y + 4 = 4(x^2 + y^2 + 2y + 1)$.
$x^2 + y^2 - 4y + 4 = 4x^2 + 4y^2 + 8y + 4$.
$3x^2 + 3y^2 + 12y = 0$.
$3$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2 + y^2 + 4y = 0$ મળે છે.
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $x^2 + (y+2)^2 = 4$.
આ $2$ ત્રિજ્યા અને $(0, -2)$ કેન્દ્ર ધરાવતું વર્તુળ છે.

(A) આપેલ છે $\alpha = 8 - 14i$. ધારો કે $z = x + iy$. તો $\bar{z} = x - iy$.
ગણ $A$ માટેનું સમીકરણ $\frac{\alpha z - \bar{\alpha} \bar{z}}{z^2 - \bar{z}^2 - 112i} = 1$ છે.
અંશ: $\alpha z - \bar{\alpha} \bar{z} = (8 - 14i)(x + iy) - (8 + 14i)(x - iy) = (8x + 14y + i(-14x + 8y)) - (8x + 14y + i(14x - 8y)) = 2i(-14x + 8y)$.
છેદ: $z^2 - \bar{z}^2 = (z - \bar{z})(z + \bar{z}) = (2iy)(2x) = 4ixy$.
તેથી,$\frac{2i(-14x + 8y)}{4ixy - 112i} = 1 \implies \frac{2(-14x + 8y)}{4xy - 112} = 1 \implies -28x + 16y = 4xy - 112$.
ગોઠવતા: $4xy + 28x - 16y - 112 = 0 \implies 4x(y + 7) - 16(y + 7) = 0 \implies (4x - 16)(y + 7) = 0$.
આમ,$x = 4$ અથવા $y = -7$.
ગણ $B$ માટે,$|z + 3i| = 4 \implies x^2 + (y + 3)^2 = 16$.
કિસ્સો $1$: જો $x = 4$,તો $16 + (y + 3)^2 = 16 \implies y = -3$. તેથી $z_1 = 4 - 3i$.
કિસ્સો $2$: જો $y = -7$,તો $x^2 + (-7 + 3)^2 = 16 \implies x^2 + 16 = 16 \implies x = 0$. તેથી $z_2 = 0 - 7i$.
$A \cap B = \{4 - 3i, -7i\}$.
સરવાળો: $(\operatorname{Re}(z_1) - \operatorname{Im}(z_1)) + (\operatorname{Re}(z_2) - \operatorname{Im}(z_2)) = (4 - (-3)) + (0 - (-7)) = 7 + 7 = 14$.

(A) ધારો કે $z = 4e^{i\theta}$. તો $w = z + \frac{1}{z} = 4e^{i\theta} + \frac{1}{4}e^{-i\theta}$.
$w = 4(\cos \theta + i \sin \theta) + \frac{1}{4}(\cos \theta - i \sin \theta) = \left(4 + \frac{1}{4}\right) \cos \theta + i \left(4 - \frac{1}{4}\right) \sin \theta$.
$w = \frac{17}{4} \cos \theta + i \frac{15}{4} \sin \theta$.
ધારો કે $w = x + iy$. તો $x = \frac{17}{4} \cos \theta$ અને $y = \frac{15}{4} \sin \theta$.
$w$ નો બિંદુપથ ઉપવલય $\frac{x^2}{(17/4)^2} + \frac{y^2}{(15/4)^2} = 1$ છે.
વક્ર $C_1$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 16$ છે.
અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $a = 17/4 = 4.25 > 4$ અને અર્ધ-ગૌણ અક્ષ $b = 15/4 = 3.75 < 4$ હોવાથી,ઉપવલય વર્તુળને $4$ બિંદુઓમાં છેદે છે.

(D) ધારો કે $z = x + iy$. આપેલ સમીકરણ $\left|\frac{x+iy-2}{x+iy-3}\right|=2$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{(x-2)^2+y^2}{(x-3)^2+y^2}=4$.
$(x-2)^2+y^2 = 4((x-3)^2+y^2)$.
$x^2-4x+4+y^2 = 4(x^2-6x+9+y^2)$.
$x^2-4x+4+y^2 = 4x^2-24x+36+4y^2$.
$3x^2+3y^2-20x+32=0$.
$3$ વડે ભાગતા,$x^2+y^2-\frac{20}{3}x+\frac{32}{3}=0$.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=-\frac{10}{3}$ અને $f=0$.
કેન્દ્ર $(\alpha, \beta) = (-g, -f) = \left(\frac{10}{3}, 0\right)$.
ત્રિજ્યા $\gamma = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{\left(\frac{10}{3}\right)^2 - \frac{32}{3}} = \sqrt{\frac{100}{9} - \frac{96}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$3(\alpha+\beta+\gamma) = 3\left(\frac{10}{3} + 0 + \frac{2}{3}\right) = 3\left(\frac{12}{3}\right) = 12$.

(C) આપેલ છે કે $\operatorname{Re}(a z^2 + bz) = a$ અને $\operatorname{Re}(b z^2 + az) = b$.
ધારો કે $z = x + iy$. તો $z^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$ થાય.
શરત $\operatorname{Re}(a z^2 + bz) = a$ પરથી $a(x^2 - y^2) + bx = a$ $(1)$ મળે.
શરત $\operatorname{Re}(b z^2 + az) = b$ પરથી $b(x^2 - y^2) + ax = b$ $(2)$ મળે.
સમીકરણ $(1)$ ને $b$ વડે અને $(2)$ ને $a$ વડે ગુણતા:
$ab(x^2 - y^2) + b^2x = ab$ $(3)$
$ab(x^2 - y^2) + a^2x = ab$ $(4)$
સમીકરણ $(4)$ ને $(3)$ માંથી બાદ કરતા:
$(b^2 - a^2)x = 0$ મળે.
અહીં $a \neq b$ હોવાથી, જો $a \neq -b$ હોય, તો $b^2 - a^2 \neq 0$ થાય, જેનો અર્થ છે કે $x = 0$.
$x = 0$ ને $(1)$ માં મૂકતા $a(-y^2) = a$ મળે. $a \neq 0$ હોવાથી, $y^2 = -1$ મળે, જેનો કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ નથી.
આમ, $a \neq \pm b$ માટે, કોઈ ઉકેલ મળતો નથી, તેથી ઘટકોની સંખ્યા $0$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $|z - \alpha|^2 + |z - \beta|^2 = 2\lambda$ છે.
નિત્યસમ $|z - \alpha|^2 + |z - \beta|^2 = 2|z - \frac{\alpha + \beta}{2}|^2 + \frac{1}{2}|\alpha - \beta|^2$ નો ઉપયોગ કરતા,સમીકરણને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$2|z - \frac{\alpha + \beta}{2}|^2 + \frac{1}{2}|\alpha - \beta|^2 = 2\lambda$.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $|z - \frac{\alpha + \beta}{2}|^2 = \lambda - \frac{1}{4}|\alpha - \beta|^2$ મળે છે.
આ વર્તુળ $|z - z_0|^2 = R^2$ નું સમીકરણ છે જ્યાં $R^2 = \lambda - \frac{1}{4}|\alpha - \beta|^2$.
આપેલ ત્રિજ્યા $R = \sqrt{\lambda - 1}$ છે,તેથી $R^2 = \lambda - 1$.
$R^2$ માટેના બંને પદોને સરખાવતા:
$\lambda - \frac{1}{4}|\alpha - \beta|^2 = \lambda - 1$.
$-\frac{1}{4}|\alpha - \beta|^2 = -1$.
$|\alpha - \beta|^2 = 4$.
$|\alpha - \beta| = 2$.

(C) ધારો કે $z = x + iy$. પદાવલિ $\frac{2(x + iy) - 3i}{4(x + iy) + 2i} = \frac{2x + i(2y - 3)}{4x + i(4y + 2)}$ છે.
કોઈ સંકર સંખ્યા $\frac{a + ib}{c + id}$ વાસ્તવિક હોય ત્યારે તેનો કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય થાય.
આથી $2x(4y + 2) - 4x(2y - 3) = 0$ મળે.
જેનું સાદું રૂપ $16x = 0$ એટલે કે $x = 0$ થાય.
છેદ શૂન્ય ન હોવો જોઈએ,તેથી $4y + 2 \neq 0$ એટલે કે $y \neq -\frac{1}{2}$.
આમ,બિંદુ $(0, -\frac{1}{2})$ ગણ $S$ માં નથી. તેથી વિકલ્પ $C$ ખોટો છે.

(D) સંકર સંખ્યા $z$ ને ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં $90^{\circ}$ $(+\pi/2)$ ફેરવવી એટલે $i$ વડે ગુણવા.
$w_1 = z_1 \times i = (5+4i)i = 5i + 4i^2 = -4+5i$.
સંકર સંખ્યા $z$ ને ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં $90^{\circ}$ $(-\pi/2)$ ફેરવવી એટલે $-i$ વડે ગુણવા.
$w_2 = z_2 \times (-i) = (3+5i)(-i) = -3i - 5i^2 = 5-3i$.
હવે,$w_1 - w_2 = (-4+5i) - (5-3i) = -9+8i$.
સંકર સંખ્યા $z = -9+8i$ બીજા ચરણમાં છે.
બીજા ચરણમાં $z = x+iy$ નો મુખ્ય કોણાંક $\pi - \tan^{-1}|y/x|$ છે.
$\text{Arg}(w_1-w_2) = \pi - \tan^{-1}\left|\frac{8}{-9}\right| = \pi - \tan^{-1}\left(\frac{8}{9}\right)$.

(B) ધારો કે $a = x_1 + i y_1$ અને $z = x + i y$, જ્યાં $x, y, x_1, y_1 \in \mathbb{R}$.
ગણ $A$ માટે, શરત $\operatorname{Re}(a + \bar{z}) > \operatorname{Im}(\bar{a} + z)$ છે.
$\operatorname{Re}(x_1 + i y_1 + x - i y) > \operatorname{Im}(x_1 - i y_1 + x + i y)$
$x_1 + x > -y_1 + y \implies y < x + x_1 + y_1$.
જો $z$ એક વાસ્તવિક સંખ્યા હોય, તો $y = 0$. શરત $0 < x + x_1 + y_1$ બને છે, જેનો અર્થ છે કે $x > -(x_1 + y_1)$. આ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે સત્ય નથી (દા.ત., $x$ ની ખૂબ નાની કિંમત લો). આમ, $(S1)$ અસત્ય છે.
ગણ $B$ માટે, શરત $\operatorname{Re}(a + \bar{z}) < \operatorname{Im}(\bar{a} + z)$ છે.
$x_1 + x < -y_1 + y \implies y > x + x_1 + y_1$.
જો $z$ એક વાસ્તવિક સંખ્યા હોય, તો $y = 0$. શરત $0 > x + x_1 + y_1$ બને છે, જેનો અર્થ છે કે $x < -(x_1 + y_1)$. આ તમામ $x \in \mathbb{R}$ માટે સત્ય નથી (દા.ત., $x$ ની ખૂબ મોટી કિંમત લો). આમ, $(S2)$ અસત્ય છે.
તેથી, બંને વિધાનો અસત્ય છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $f(z) = \frac{z^2 + 8iz - 15}{z^2 - 3iz - 2} \in \mathbb{R}$ છે.
બહુપદી ભાગાકાર કરતા: $f(z) = 1 + \frac{11iz - 13}{z^2 - 3iz - 2}$.
$f(z)$ વાસ્તવિક હોય તે માટે,પદાવલિનો કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
ધારો કે $z = \alpha - \frac{13}{11}i$. અહીં $x = \alpha$ અને $y = -\frac{13}{11}$ છે.
છેદ $D = z^2 - 3iz - 2 = (x^2 - y^2 + 3y - 2) + i(2xy - 3x)$ છે.
અંશ $N = 11iz - 13 = (-11y - 13) + i(11x)$ છે.
$\frac{N}{D} \in \mathbb{R}$ માટે,$\text{Re}(N)\text{Im}(D) = \text{Im}(N)\text{Re}(D)$ થવું જોઈએ.
$y = -\frac{13}{11}$ હોવાથી,$\text{Re}(N) = 0$ થાય છે.
તેથી,$\text{Re}(D) = x^2 - y^2 + 3y - 2 = 0$ લેતા:
$\alpha^2 = y^2 - 3y + 2 = (y-1)(y-2)$.
$y = -\frac{13}{11}$ મૂકતા:
$\alpha^2 = (-\frac{24}{11})(-\frac{35}{11}) = \frac{840}{121}$.
તેથી,$242\alpha^2 = 242 \times \frac{840}{121} = 1680$.

(B) આપેલ છે $z_0 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i$ અને $z_1 = 1 + i$.
$|z_1 - z_0| = |(1 - \frac{1}{2}) + (1 - \frac{3}{2})i| = |\frac{1}{2} - \frac{1}{2}i| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ ગણો.
આપેલ છે $|z_1 - z_0| |z_2 - z_0| = 1$,તેથી $\frac{1}{\sqrt{2}} |z_2 - z_0| = 1$,જેનો અર્થ છે કે $|z_2 - z_0| = \sqrt{2}$.
$z_0, z_1, z_2$ સમરેખ હોવાથી,$z_2$ એ $z_0$ અને $z_1$ માંથી પસાર થતી રેખા પર આવેલું છે. આ રેખાની દિશા ખૂણા $\theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે જ્યાં $\tan \theta = \frac{-1/2}{1/2} = -1$,તેથી $\theta = 135^{\circ}$ અથવા $315^{\circ}$.
આમ,$z_2 = z_0 + \sqrt{2} e^{i \theta} = (\frac{1}{2} + \frac{3}{2}i) + \sqrt{2} (\cos \theta + i \sin \theta)$.
$\theta = 135^{\circ}$ માટે,$z_2 = (\frac{1}{2} + \sqrt{2} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}})) + i(\frac{3}{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}) = (\frac{1}{2} - 1) + i(\frac{3}{2} + 1) = -\frac{1}{2} + \frac{5}{2}i$.
તેથી $|z_2|^2 = (-\frac{1}{2})^2 + (\frac{5}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{25}{4} = \frac{26}{4} = \frac{13}{2}$.
$\theta = 315^{\circ}$ માટે,$z_2 = (\frac{1}{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}) + i(\frac{3}{2} + \sqrt{2} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}})) = (\frac{1}{2} + 1) + i(\frac{3}{2} - 1) = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}i$.
તેથી $|z_2|^2 = (\frac{3}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 = \frac{9}{4} + \frac{1}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.
$|z_2|^2$ ની નાની કિંમત $\frac{5}{2}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\omega = z \bar{z} + k_1 z + k_2 i z + \lambda(1 + i)$. ધારો કે $z = x + iy$.
તેથી $\omega = (x^2 + y^2) + k_1(x + iy) + k_2 i(x + iy) + \lambda + i\lambda = (x^2 + y^2 + k_1 x - k_2 y + \lambda) + i(k_1 y + k_2 x + \lambda)$.
$\operatorname{Re}(\omega) = x^2 + y^2 + k_1 x - k_2 y + \lambda = 0$.
વર્તુળ $C$ ની ત્રિજ્યા $1$ છે,તે પ્રથમ ચરણમાં $y = 1$ અને $y$-અક્ષ $(x = 0)$ ને સ્પર્શે છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $(1, 1)$ છે.
$x^2 + y^2 + k_1 x - k_2 y + \lambda = 0$ ની સરખામણી $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1^2$ સાથે કરતા,આપણને $x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$ મળે છે.
આમ $k_1 = -2, k_2 = 2, \lambda = 1$.
$\operatorname{Im}(\omega) = k_1 y + k_2 x + \lambda = -2y + 2x + 1 = 0$,અથવા $2x - 2y + 1 = 0$.
કેન્દ્ર $(1, 1)$ થી રેખા $2x - 2y + 1 = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|2(1) - 2(1) + 1|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2}} = \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$ છે.
જીવા $AB$ ની લંબાઈ $2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{1^2 - \frac{1}{8}} = 2\sqrt{\frac{7}{8}} = 2\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{7}{2}}$ છે.
$(AB)^2 = \frac{7}{2} = 3.5$.
$30(AB)^2 = 30 \times 3.5 = 105$.

(A) ધારો કે $z = x + iy$. આપેલ સમીકરણો $|z - i| = |z + i| = |z - 1|$ છે.
આ સમીકરણો સંકર સમતલમાં બિંદુ $z$ ના બિંદુઓ $A(1, 0)$,$B(0, 1)$,અને $C(0, -1)$ થી અંતર દર્શાવે છે.
$|z - i| = |z + i|$ માટે,બિંદુ $z$ એ $i$ અને $-i$ ને જોડતા રેખાખંડના લંબદ્વિભાજક પર હોવું જોઈએ,જે વાસ્તવિક અક્ષ $(y = 0)$ છે.
$|z - i| = |z - 1|$ માટે,બિંદુ $z$ એ $i$ અને $1$ ને જોડતા રેખાખંડના લંબદ્વિભાજક પર હોવું જોઈએ.
જેમ કે $A, B, C$ એક ત્રિકોણ બનાવે છે,તેથી માત્ર એક જ બિંદુ (પરિકેન્દ્ર) એવું હોય જે ત્રણેય શિરોબિંદુઓથી સમાન અંતરે હોય.
આમ,$n(S) = 1$.

(D) ધારો કે $z = x + iy$. શરત $|z-1|=1$ સૂચવે છે કે $(x-1)^2 + y^2 = 1$,જે $x^2 + y^2 - 2x = 0$ માં પરિણમે છે.
બીજી શરત $(\sqrt{2}-1)(2x) - i(2iy) = 2\sqrt{2}$ છે,જે $(\sqrt{2}-1)x + y = \sqrt{2}$ માં પરિણમે છે,અથવા $y = \sqrt{2} - (\sqrt{2}-1)x$.
પ્રથમ સમીકરણમાં $y$ ની કિંમત મૂકતા: $(x-1)^2 + (\sqrt{2} - (\sqrt{2}-1)x)^2 = 1$.
આનું સાદુરૂપ આપતા: $(2 - \sqrt{2})x^2 - (3 - \sqrt{2})x + 1 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(x-1)((2-\sqrt{2})x - 1) = 0$.
તેથી,$x = 1$ અથવા $x = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$x=1$ માટે,$y = 1$. તેથી $z_2 = 1+i$.
$x = 1 + \frac{1}{\sqrt{2}}$ માટે,$y = \frac{1}{\sqrt{2}}$. તેથી $z_1 = (1 + \frac{1}{\sqrt{2}}) + i\frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી $|\sqrt{2}z_1 - z_2|^2 = |(\sqrt{2} + 1 + i) - (1+i)|^2 = |\sqrt{2}|^2 = 2$.

(B) ગણ $P$ એ કેન્દ્ર $C(-2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r=1$ વાળું વર્તુળ દર્શાવે છે. ગણ $Q$ એ $z(1+i)+\bar{z}(1-i) \leq -8$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. ધારો કે $z=x+iy$,તો $(x+iy)(1+i)+(x-iy)(1-i) \leq -8$,જેનું સાદું રૂપ $2x-2y \leq -8$,અથવા $x-y \leq -4$,એટલે કે $y \geq x+4$ થાય છે.
આપણે અંતર $f(z) = |z-(3-2i)|$ નું મૂલ્ય શોધવું છે,જે $z$ થી બિંદુ $A(3, -2)$ સુધીનું અંતર છે.
રેખા $L: x-y+4=0$ એ કેન્દ્ર $C(-2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે. $C(-2, 3)$ થી રેખા $x-y+4=0$ નું અંતર $\frac{|-2-3+4|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} < 1$ છે,તેથી રેખા વર્તુળને છેદે છે.
બિંદુ $A(3, -2)$ એ રેખા $x+y-1=0$ પર આવેલું છે. $A$ થી રેખા $x-y+4=0$ નું અંતર $\frac{|3-(-2)+4|}{\sqrt{2}} = \frac{9}{\sqrt{2}}$ છે.
મહત્તમ અંતર $A(3, -2)$ થી સૌથી દૂર વર્તુળ પરના બિંદુ $z_1$ પર મળે છે. $A(3, -2)$ અને $C(-2, 3)$ ને જોડતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{3-(-2)}{-2-3} = -1$ છે. રેખા $y-3 = -1(x+2) \Rightarrow x+y-1=0$ છે.
$z_1$ એ વર્તુળ પરનું બિંદુ છે જે $C$ થી $A$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં રેખા $x+y-1=0$ પર $1$ ના અંતરે છે. $C$ થી $A$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં એકમ સદિશ $(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ છે. તેથી $z_1 = (-2+\frac{1}{\sqrt{2}}, 3-\frac{1}{\sqrt{2}})$.
$|z_1|^2 = (-2+\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (3-\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 14-5\sqrt{2}$.
$z_2$ એ $P \cap Q$ માં $A(3, -2)$ ની સૌથી નજીકનું બિંદુ છે. આ રેખા $x-y+4=0$ અને વર્તુળની સીમાનું છેદબિંદુ છે. $x-y+4=0$ અને $(x+2)^2+(y-3)^2=1$ ઉકેલતા $z_2 = (-2-\frac{1}{\sqrt{2}}, 3-\frac{1}{\sqrt{2}})$ મળે છે.
$|z_2|^2 = (-2-\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (3-\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 14-\sqrt{2}$.
$|z_1|^2+2|z_2|^2 = (14-5\sqrt{2}) + 2(14-\sqrt{2}) = 42-7\sqrt{2}$.
આમ,$\alpha=42, \beta=-7$,તેથી $\alpha+\beta=35$.

(D) ધારો કે $z_0 = -\frac{1}{2}(3+4i) = -\frac{3}{2} - 2i$.
આપણે $|z - z_0|$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવી છે,જ્યાં $|z| \geq 1$.
ભૌમિતિક રીતે,આ એકમ વર્તુળ $|z|=1$ પર અથવા તેની બહારના બિંદુ $z$ થી નિશ્ચિત બિંદુ $z_0 = -\frac{3}{2} - 2i$ સુધીનું ન્યૂનતમ અંતર દર્શાવે છે.
ઉગમબિંદુથી બિંદુ $z_0$ નું અંતર $|z_0| = \sqrt{(-\frac{3}{2})^2 + (-2)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 4} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$ છે.
જેহেতু બિંદુ $z_0$ એકમ વર્તુળની બહાર આવેલું છે $(|z_0| = 2.5 > 1)$,તેથી વર્તુળ $|z|=1$ થી બિંદુ $z_0$ સુધીનું ન્યૂનતમ અંતર $|z_0| - r$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $r=1$ એ એકમ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
ન્યૂનતમ કિંમત $= |z_0| - 1 = \frac{5}{2} - 1 = \frac{3}{2}$.

(B) ધારો કે $z = x + iy$.
આપેલ $|z-1| \leq 2$ પરથી, આપણને $(x-1)^2 + y^2 \leq 2^2$ મળે છે, જે $(1, 0)$ કેન્દ્ર અને $r = 2$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે।
આપેલ $(z+\overline{z}) + i(z-\overline{z}) \leq 2$ માં $z = x+iy$ અને $\overline{z} = x-iy$ મૂકતા:
$(x+iy + x-iy) + i(x+iy - (x-iy)) \leq 2$
$2x + i(2iy) \leq 2$
$2x - 2y \leq 2 \Rightarrow x - y \leq 1 \Rightarrow y \geq x - 1$.
આપેલ $\operatorname{Im}(z) \geq 0$ પરથી, $y \geq 0$ મળે છે।
આ પ્રદેશ એ વર્તુળ $(x-1)^2 + y^2 \leq 4$, અર્ધતલ $y \geq x-1$ અને ઉપરના અર્ધતલ $y \geq 0$ નો છેદ છે।
રેખા $y = x-1$ એ $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને ધન $x$-અક્ષ સાથે $45^\circ$ (અથવા $\pi/4$ રેડિયન) નો ખૂણો બનાવે છે।
ક્ષેત્રફળ એ $x$-અક્ષની ઉપરના અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ માઈનસ પ્રથમ ચરણમાં રેખા $y = x-1$ દ્વારા કપાયેલા વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ છે।
અર્ધવર્તુળનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (2)^2 = 2\pi$.
વૃત્તાંશ એ વર્તુળની અંદર રેખા $y=x-1$ અને $x$-અક્ષ વચ્ચેનો પ્રદેશ છે। કેન્દ્ર $(1, 0)$ પર આ વૃત્તાંશ દ્વારા આંતરેલો ખૂણો $\pi/4$ છે।
વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{1}{2} (2)^2 (\pi/4) = \pi/2$.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ = $2\pi - \pi/2 = \frac{3\pi}{2}$.

(D) $S_1$ એ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત $r=5$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનો અંદરનો ભાગ અને સીમા દર્શાવે છે: $x^2 + y^2 \leq 25$.
$S_2$ એ $\operatorname{Im}\left(\frac{z}{1-\sqrt{3}i} + 1\right) \geq 0$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. કારણ કે $\operatorname{Im}(1) = 0$, આ $\operatorname{Im}\left(\frac{x+iy}{1-\sqrt{3}i}\right) \geq 0$ છે.
અનુબદ્ધ વડે ગુણતા: $\operatorname{Im}\left(\frac{(x+iy)(1+\sqrt{3}i)}{4}\right) \geq 0 \implies \sqrt{3}x + y \geq 0$, જે રેખા $y = -\sqrt{3}x$ ની ઉપરનો પ્રદેશ છે.
$S_3$ એ એવો પ્રદેશ છે જ્યાં $x \geq 0$ (જમણું અર્ધ-તલ).
છેદગણ $S_1 \cap S_2 \cap S_3$ એ વર્તુળનો એક વૃતાંશ છે. રેખા $y = -\sqrt{3}x$ એ ધન $x$-અક્ષ સાથે $-60^\circ$ (અથવા $300^\circ$) નો ખૂણો બનાવે છે. પ્રદેશ $S_2 \cap S_3$ એ $-60^\circ$ થી $90^\circ$ સુધીનો કોણીય વિસ્તાર આવરી લે છે, જે $150^\circ$ અથવા $\frac{5\pi}{6}$ રેડિયન છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{\theta}{2\pi} \times \pi r^2 = \frac{5\pi/6}{2\pi} \times \pi(5)^2 = \frac{5}{12} \times 25\pi = \frac{125\pi}{12}$.

(D) ધારો કે $P(x) = 4x^4 + 8x^3 - 17x^2 - 12x + 9 = 4(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$.
આપણે ગુણાકાર $S = (4+x_1^2)(4+x_2^2)(4+x_3^2)(4+x_4^2)$ ની કિંમત શોધવી છે.
નોંધો કે $4+x_k^2 = (2i+x_k)(-2i+x_k) = (x_k - 2i)(x_k + 2i)$.
તેથી,$S = \prod_{k=1}^4 (x_k - 2i) \prod_{k=1}^4 (x_k + 2i) = \prod_{k=1}^4 (2i - x_k) \prod_{k=1}^4 (-2i - x_k)$.
$P(x) = 4(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)$ પરથી,$\prod_{k=1}^4 (x-x_k) = \frac{P(x)}{4}$ મળે.
તેથી,$\prod_{k=1}^4 (2i - x_k) = \frac{P(2i)}{4}$ અને $\prod_{k=1}^4 (-2i - x_k) = \frac{P(-2i)}{4}$.
$P(2i) = 141 - 88i$ અને $P(-2i) = 141 + 88i$.
$S = \frac{P(2i) P(-2i)}{16} = \frac{141^2 + 88^2}{16} = \frac{27625}{16}$.
આપેલ છે કે $S = \frac{125}{16}m$,તેથી $\frac{27625}{16} = \frac{125}{16}m$.
$m = 221$.

(A) આપેલ છે $\left|\frac{z_1-2 z_2}{\frac{1}{2}-z_1 \bar{z}_2}\right|=2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\left|\frac{z_1-2 z_2}{\frac{1}{2}-z_1 \bar{z}_2}\right|^2=4$.
$|z|^2 = z \bar{z}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{(z_1-2 z_2)(\bar{z}_1-2 \bar{z}_2)}{(\frac{1}{2}-z_1 \bar{z}_2)(\frac{1}{2}-\bar{z}_1 z_2)}=4$.
અંશનું વિસ્તરણ કરતા: $|z_1|^2 - 2 z_1 \bar{z}_2 - 2 \bar{z}_1 z_2 + 4 |z_2|^2$.
છેદનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \bar{z}_1 z_2 - \frac{1}{2} z_1 \bar{z}_2 + |z_1|^2 |z_2|^2$.
તેથી,$|z_1|^2 - 2 z_1 \bar{z}_2 - 2 \bar{z}_1 z_2 + 4 |z_2|^2 = 4 (\frac{1}{4} - \frac{1}{2} \bar{z}_1 z_2 - \frac{1}{2} z_1 \bar{z}_2 + |z_1|^2 |z_2|^2)$.
$|z_1|^2 - 2 z_1 \bar{z}_2 - 2 \bar{z}_1 z_2 + 4 |z_2|^2 = 1 - 2 \bar{z}_1 z_2 - 2 z_1 \bar{z}_2 + 4 |z_1|^2 |z_2|^2$.
બંને બાજુથી $-2 z_1 \bar{z}_2 - 2 \bar{z}_1 z_2$ ને દૂર કરતા: $|z_1|^2 + 4 |z_2|^2 = 1 + 4 |z_1|^2 |z_2|^2$.
ગોઠવતા: $|z_1|^2 - 1 - 4 |z_2|^2 + 4 |z_1|^2 |z_2|^2 = 0$.
$(|z_1|^2 - 1) - 4 |z_2|^2 (1 - |z_1|^2) = 0$.
$(|z_1|^2 - 1)(1 - 4 |z_2|^2) = 0$.
આમ,$|z_1| = 1$ અથવા $|2z_2| = 1$,જેનો અર્થ છે કે $|z_1| = 1$ અથવા $|z_2| = \frac{1}{2}$.

(B) આપેલ છે $|z-1| \leq 1$,જ્યાં $z=x+iy$.
$(x-1)^2 + y^2 \leq 1$. આ $(1,0)$ કેન્દ્ર અને $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
વળી,$|z-5| \leq |z-5i|$.
$(x-5)^2 + y^2 \leq x^2 + (y-5)^2$.
$x^2 - 10x + 25 + y^2 \leq x^2 + y^2 - 10y + 25$.
$-10x \leq -10y \Rightarrow x \geq y$.
આપણે $z=x+iy$ શોધવાના છે જ્યાં $x, y \in \mathbb{Z}$ અને $(x-1)^2 + y^2 \leq 1$ તથા $x \geq y$ નું પાલન થાય.
$(x-1)^2 + y^2 \leq 1$ નું પાલન કરતા શક્ય પૂર્ણાંક બિંદુઓ $(x,y)$:
જો $x=0$,$(0-1)^2 + y^2 \leq 1$ $\Rightarrow 1 + y^2 \leq 1$ $\Rightarrow y^2 \leq 0$ $\Rightarrow y=0$. બિંદુ: $(0,0)$. $x \geq y$ ચકાસો: $0 \geq 0$ (સાચું).
જો $x=1$,$(1-1)^2 + y^2 \leq 1$ $\Rightarrow y^2 \leq 1$ $\Rightarrow y \in \{-1, 0, 1\}$. બિંદુઓ: $(1,-1), (1,0), (1,1)$. $x \geq y$ ચકાસો: $1 \geq -1$ (સાચું),$1 \geq 0$ (સાચું),$1 \geq 1$ (સાચું).
જો $x=2$,$(2-1)^2 + y^2 \leq 1$ $\Rightarrow 1 + y^2 \leq 1$ $\Rightarrow y^2 \leq 0$ $\Rightarrow y=0$. બિંદુ: $(2,0)$. $x \geq y$ ચકાસો: $2 \geq 0$ (સાચું).
ઘટકોનો ગણ $z \in \{0, 1-i, 1, 1+i, 2\}$ છે.
માનાંકના વર્ગનો સરવાળો:
$|0|^2 + |1-i|^2 + |1|^2 + |1+i|^2 + |2|^2 = 0 + (1^2+(-1)^2) + 1^2 + (1^2+1^2) + 2^2 = 0 + 2 + 1 + 2 + 4 = 9$.

(A) ધારો કે $w = \frac{z-2i}{z+2i}$. આપેલ છે કે $\text{Re}(w) = 0$,તેથી $w + \bar{w} = 0$.
$\frac{z-2i}{z+2i} + \frac{\bar{z}+2i}{\bar{z}-2i} = 0$
$(z-2i)(\bar{z}-2i) + (\bar{z}+2i)(z+2i) = 0$
$z\bar{z} - 2iz - 2i\bar{z} - 4 + z\bar{z} + 2iz + 2i\bar{z} - 4 = 0$
$2|z|^2 - 8 = 0$ $\Rightarrow |z|^2 = 4$ $\Rightarrow |z| = 2$.
આ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત અને $r = 2$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
આપણે $|z - (6+8i)|$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવી છે,જે વર્તુળ પરના બિંદુ $z$ થી બિંદુ $P = 6+8i$ સુધીનું અંતર છે.
ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ થી $P(6,8)$ સુધીનું અંતર $OP = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = 10$ છે.
વર્તુળ પરના બિંદુથી $P$ સુધીનું મહત્તમ અંતર $OP + r = 10 + 2 = 12$ થાય.

(D) ધારો કે ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ છે. માણસ $N 45^{\circ} E$ દિશામાં $3$ એકમ ચાલે છે,જે ધન $x$-અક્ષ સાથે $\pi / 4$ નો ખૂણો બનાવે છે. બિંદુ $A$ નું સ્થાન $z_A = 3 e^{i \pi / 4}$ છે.
$A$ થી,તે $N 45^{\circ} W$ દિશામાં $4$ એકમ ચાલે છે. $N 45^{\circ} W$ દિશા ધન $x$-અક્ષ સાથે $45^{\circ} + 90^{\circ} = 135^{\circ}$ અથવા $3\pi / 4$ નો ખૂણો બનાવે છે.
$A$ થી $P$ સુધીનો સ્થાનાંતર સદિશ $4 e^{i 3\pi / 4}$ છે.
આમ,$P$ નું સ્થાન $z_P = z_A + 4 e^{i 3\pi / 4} = 3 e^{i \pi / 4} + 4 e^{i 3\pi / 4}$ છે.
કારણ કે $e^{i 3\pi / 4} = e^{i \pi / 4} \cdot e^{i \pi / 2} = i e^{i \pi / 4}$,તેથી:
$z_P = 3 e^{i \pi / 4} + 4 i e^{i \pi / 4} = (3 + 4 i) e^{i \pi / 4}$.

(B, C, D) $1.$ $A$ એ $y \geq 1$ પ્રદેશ દર્શાવે છે. $B$ એ $(2, 1)$ કેન્દ્ર અને $3$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે. $C$ એ રેખા $\operatorname{Re}((1-i)(x+iy)) = x+y = \sqrt{2}$ છે.
વર્તુળના સમીકરણ $(x-2)^2 + (y-1)^2 = 9$ માં $y = \sqrt{2}-x$ મૂકતા $(x-2)^2 + (\sqrt{2}-x-1)^2 = 9$ મળે છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા: $2x^2 - (2+2\sqrt{2})x - 2 - 2\sqrt{2} = 0$ મળે છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા,આપણને $y \geq 1$ હોય તેવું એક બિંદુ મળે છે. તેથી,ઘટકોની સંખ્યા $1$ છે.
$2.$ ધારો કે $z = x+iy$. પદાવલિ $|(x+1)+i(y-1)|^2 + |(x-5)+i(y-1)|^2 = (x+1)^2 + (y-1)^2 + (x-5)^2 + (y-1)^2$ છે.
$z$ એ વર્તુળ $(x-2)^2 + (y-1)^2 = 9$ પર હોવાથી,$(y-1)^2 = 9 - (x-2)^2$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા,પદાવલિ $36$ થાય છે.
$36$ એ $35$ અને $39$ ની વચ્ચે હોવાથી,જવાબ $(C)$ છે.
$3.$ $|z-2-i|=3$ અને $|w-2-i| < 3$ હોવાથી,ત્રિકોણ અસમતા મુજબ $|z-w| < 6$ થાય.
$||z|-|w|| \leq |z-w|$ નો ઉપયોગ કરતા,$-6 < |z|-|w| < 6$ મળે.
$3$ ઉમેરતા,$-3 < |z|-|w|+3 < 9$ મળે છે.

(D) પ્રારંભિક સ્થાન $z_0 = 1 + 2i$ છે.
આડા $5$ એકમ ખસતા: $z = (1 + 5) + 2i = 6 + 2i$.
ઊભા $3$ એકમ ખસતા: $z_1 = 6 + (2 + 3)i = 6 + 5i$.
$z_1$ થી,$\hat{i} + \hat{j}$ ની દિશામાં $\sqrt{2}$ એકમ ખસતા: એકમ સદિશ $\frac{1+i}{\sqrt{2}}$ છે. સ્થાનાંતર $\sqrt{2} \times \frac{1+i}{\sqrt{2}} = 1 + i$ છે.
તેથી,સ્થાન $z' = (6 + 5i) + (1 + i) = 7 + 6i$ થાય છે.
અંતે,$z'$ ને ઉગમબિંદુની આસપાસ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં $\frac{\pi}{2}$ ખૂણે ફેરવતા,તેને $i$ વડે ગુણવા સમાન છે.
$z_2 = (7 + 6i) \times i = 7i + 6i^2 = 7i - 6 = -6 + 7i$.

(D) આપેલ છે $z = \frac{1}{a+ibt}$.
$x+iy = \frac{a-ibt}{a^2+b^2t^2}$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા,$x = \frac{a}{a^2+b^2t^2}$ અને $y = \frac{-bt}{a^2+b^2t^2}$ મળે.
જો $a \neq 0$ અને $b \neq 0$ હોય,તો $a^2+b^2t^2 = \frac{a}{x}$,તેથી $b^2t^2 = \frac{a}{x} - a^2 = \frac{a(1-ax)}{x}$.
વળી $y^2 = \frac{b^2t^2}{(a^2+b^2t^2)^2} = \frac{a(1-ax)/x}{(a/x)^2} = \frac{x(1-ax)}{a} = \frac{x}{a} - x^2$.
પુનઃગોઠવણ કરતા $x^2 - \frac{x}{a} + y^2 = 0$ મળે,જે $(x - \frac{1}{2a})^2 + y^2 = (\frac{1}{2a})^2$ છે. આ $|\frac{1}{2a}|$ ત્રિજ્યા અને $(\frac{1}{2a}, 0)$ કેન્દ્ર ધરાવતું વર્તુળ છે.
જો $b=0$ હોય,તો $z = \frac{1}{a}$,તેથી $y=0$,જે $x$-અક્ષ છે.
જો $a=0$ હોય,તો $z = \frac{1}{ibt} = -i(\frac{1}{bt})$,તેથી $x=0$,જે $y$-અક્ષ છે.
આમ,વિકલ્પો $A, C, D$ સાચા છે.

(C) ધારો કે નિયમિત અષ્ટકોણના શિરોબિંદુઓ સંકર સંખ્યાઓ $z_k = 2e^{i(\theta_0 + \frac{2\pi(k-1)}{8})}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $k=1, 2, \ldots, 8$. સામાન્યતા ગુમાવ્યા વિના,ધારો કે $\theta_0 = 0$. શિરોબિંદુઓ એ સમીકરણ $z^8 - 2^8 = 0$ ના બીજ છે.
આમ,$z^8 - 2^8 = \prod_{k=1}^8 (z - A_k)$.
ધારો કે $P$ ને સંકર સંખ્યા $z = 2e^{i\theta}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. અંતર $PA_k = |z - A_k|$ છે.
ગુણાકાર $\prod_{k=1}^8 PA_k = |\prod_{k=1}^8 (z - A_k)| = |z^8 - 2^8|$ છે.
$z = 2e^{i\theta}$ મૂકતા,આપણને $|(2e^{i\theta})^8 - 2^8| = |2^8 e^{i8\theta} - 2^8| = 2^8 |e^{i8\theta} - 1|$ મળે છે.
નિત્યસમ $|e^{i\phi} - 1| = 2|\sin(\frac{\phi}{2})|$ નો ઉપયોગ કરતા,અહીં $\phi = 8\theta$ છે,તેથી ગુણાકાર $2^8 \cdot 2|\sin(4\theta)| = 512 |\sin(4\theta)|$ થાય છે.
$|\sin(4\theta)|$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે.
તેથી,ગુણાકારની મહત્તમ કિંમત $512 \times 1 = 512$ છે.

(A) આપેલ છે કે $z = (1-t)z_1 + tz_2$,જ્યાં $0 < t < 1$. આ દર્શાવે છે કે $z$ એ $z_1$ અને $z_2$ ને જોડતા રેખાખંડ પર આવેલું છે.
$1$. $z$ એ રેખાખંડ $AB$ પર હોવાથી,અંતરનો સરવાળો $|z-z_1| + |z-z_2|$ એ કુલ અંતર $|z_1-z_2|$ જેટલો થાય. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
$2$. સદિશ $z-z_1$ એ $z_2-z_1$ ની દિશામાં જ છે કારણ કે $z-z_1 = t(z_2-z_1)$ અને $t > 0$. તેથી,$\operatorname{Arg}(z-z_1) = \operatorname{Arg}(z_2-z_1)$. તેથી,$(D)$ સાચું છે.
$3$. શરત $\frac{z-z_1}{z_2-z_1} = t$ (જ્યાં $t$ વાસ્તવિક છે) સૂચવે છે કે ગુણોત્તર સંપૂર્ણપણે વાસ્તવિક છે. આ $\frac{z-z_1}{z_2-z_1} = \frac{\bar{z}-\bar{z}_1}{\bar{z}_2-\bar{z}_1}$ ને સમતુલ્ય છે. ક્રોસ ગુણાકાર કરતા નિશ્ચાયક સ્વરૂપ $\left|\begin{array}{cc} z-z_1 & \bar{z}-\bar{z}_1 \\ z_2-z_1 & \bar{z}_2-\bar{z}_1 \end{array}\right| = 0$ મળે છે. તેથી,$(C)$ સાચું છે.
$4$. $\operatorname{Arg}(z-z_1)$ અને $\operatorname{Arg}(z-z_2)$ એ સદિશો $P-A$ અને $P-B$ ના ખૂણા દર્શાવે છે. $P$ એ $A$ અને $B$ ની વચ્ચે હોવાથી,આ સદિશો વિરુદ્ધ દિશામાં છે,તેથી $\operatorname{Arg}(z-z_1) \neq \operatorname{Arg}(z-z_2)$. તેથી,$(B)$ ખોટું છે.
તેથી,સાચા વિકલ્પો $(A), (C), (D)$ છે.

(C) $(A)-(q)$: $|z-i|z||=|z+i|z|| \Rightarrow |\frac{z}{|z|}-i|=|\frac{z}{|z|}+i|$,જ્યાં $z \neq 0$. પદ $\frac{z}{|z|}$ એ એકમ વર્તુળ પરનું બિંદુ દર્શાવે છે. આ સમીકરણ સૂચવે છે કે બિંદુ $\frac{z}{|z|}$ એ $i$ અને $-i$ થી સમાન અંતરે છે. આવા બિંદુઓનો બિંદુપથ વાસ્તવિક અક્ષ છે,જ્યાં $\operatorname{Im}(z)=0$ થાય છે.
$(B)-(p)$: $|z+4|+|z-4|=10$ એ $(\pm 4, 0)$ પર નાભિ અને $2a=10$ લંબાઈની મુખ્ય અક્ષ ધરાવતું ઉપવલય દર્શાવે છે. અહીં $2ae=8$ અને $2a=10$ હોવાથી $e=4/5$ મળે. આમ,તે $4/5$ ઉત્કેન્દ્રતા ધરાવતું ઉપવલય છે.
$(C)-(p), (t)$: ધારો કે $\omega=2(\cos \theta+i \sin \theta)$. તો $z = 2(\cos \theta+i \sin \theta) - \frac{1}{2}(\cos \theta-i \sin \theta) = \frac{3}{2} \cos \theta + i \frac{5}{2} \sin \theta$. આ $\frac{x^2}{(3/2)^2} + \frac{y^2}{(5/2)^2} = 1$ ઉપવલય છે,જેમાં $e^2 = 1 - \frac{9/4}{25/4} = 16/25$,તેથી $e=4/5$. અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $2.5 < 3$ હોવાથી,તે $|z| \leq 3$ માં સમાયેલ છે.
$(D)-(q), (t)$: ધારો કે $\omega = \cos \theta + i \sin \theta$. તો $z = (\cos \theta + i \sin \theta) + (\cos \theta - i \sin \theta) = 2 \cos \theta$. $z$ સંપૂર્ણપણે વાસ્તવિક હોવાથી,$\operatorname{Im}(z)=0$ અને $|z| = |2 \cos \theta| \leq 2 < 3$ થાય છે.

(A) ધારો કે $w = z - (3 + 2i)$. આપેલ છે કે $|w| \leq 2$.
આપણે $|2z - 6 + 5i|$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવાની છે.
$|2z - 6 + 5i| = |2(z - 3) + 5i| = |2(z - 3 - 2i + 2i) + 5i| = |2(z - 3 - 2i) + 4i + 5i| = |2(z - 3 - 2i) + 9i|$.
ધારો કે $w = z - 3 - 2i$,જ્યાં $|w| \leq 2$.
પદાવલિ $|2w + 9i| = 2|w + \frac{9}{2}i|$ બને છે.
ત્રિકોણ અસમતા મુજબ,$|w + \frac{9}{2}i| \geq ||\frac{9}{2}i| - |w||$.
કારણ કે $|w| \leq 2$,$|w + \frac{9}{2}i|$ ની ન્યૂનતમ કિંમત ત્યારે મળે છે જ્યારે $w$ એ $\frac{9}{2}i$ ની દિશામાં હોય,જે $|4.5 - 2| = 2.5$ આપે છે.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $2 \times 2.5 = 5$ છે.

(A) ધારો કે $z = x + iy$,$s = s_1 + is_2$,$t = t_1 + it_2$,અને $r = r_1 + ir_2$.
સમીકરણ $sz + t\bar{z} + r = 0$ નીચે મુજબ બને છે:
$(s_1 + is_2)(x + iy) + (t_1 + it_2)(x - iy) + (r_1 + ir_2) = 0$
$(s_1x - s_2y + t_1x + t_2y + r_1) + i(s_2x + s_1y - t_2x + t_1y + r_2) = 0$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$(s_1 + t_1)x + (t_2 - s_2)y + r_1 = 0$
$(s_2 - t_2)x + (s_1 + t_1)y + r_2 = 0$
આ $x$ અને $y$ માં બે સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ છે. સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $D = (s_1 + t_1)^2 + (t_2 - s_2)^2 = |s + t|^2$ છે.
જો $|s| \neq |t|$,તો $D \neq 0$,જે અનન્ય ઉકેલ (એક બિંદુ) આપે છે.
જો $|s| = |t|$,રેખાઓ કાં તો સમાંતર અથવા સંપાતી હોય છે. જો $L$ માં એક કરતા વધુ ઘટક હોય,તો તે રેખા છે (અનંત ઘટકો).
રેખા અને વર્તુળનો છેદબિંદુ વધુમાં વધુ $2$ હોય છે. તેથી,$A, B, C, D$ બધા સાચા છે.

(B) શરત $|z-(2-i)| \geq \sqrt{5}$ એ કેન્દ્ર $C(2, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{5}$ વાળા વર્તુળની બહારનો અથવા વર્તુળ પરનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
$\frac{1}{|z-1|}$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $|z-1|$ ને ન્યૂનતમ કરવું પડે,જે બિંદુ $A(1, 0)$ થી $z$ નું અંતર છે.
વર્તુળ પરનું બિંદુ $z_0$ જે $A(1, 0)$ ની સૌથી નજીક છે તે $A(1, 0)$ અને $C(2, -1)$ ને જોડતા રેખાખંડ પર આવેલું છે.
રેખા $AC$ નું સમીકરણ $y = -x+1$ છે.
આ રેખા અને વર્તુળના છેદબિંદુથી આપણને $z_0$ મળે છે. $z_0 = x_0 + iy_0$ લેતા,$z_0 - \bar{z}_0 = 2iy_0$ અને $z_0 + \bar{z}_0 = 2x_0$ થાય.
પદાવલિ $\frac{4-2x_0}{2iy_0+2i} = \frac{2-x_0}{i(y_0+1)}$ બને છે.
અહીં $y_0 = 1-x_0$ હોવાથી,$y_0+1 = 2-x_0$ થાય.
આમ,પદાવલિ $\frac{2-x_0}{i(2-x_0)} = \frac{1}{i} = -i$ થાય.
$-i$ નો મુખ્ય કોણાંક $-\frac{\pi}{2}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $|z_1| = |z_2| = \ldots = |z_{10}| = 1$.
એકમ વર્તુળ પરના બે બિંદુઓ $z_a$ અને $z_b$ વચ્ચેનું અંતર $|z_a - z_b| = 2 \sin(\frac{\Delta \theta}{2})$ છે,જ્યાં $\Delta \theta$ તેમની વચ્ચેનો ખૂણો છે.
કારણ કે $x \geq 0$ માટે $\sin(x) \leq x$,તેથી $|z_k - z_{k-1}| = 2 \sin(\frac{\theta_k}{2}) \leq 2(\frac{\theta_k}{2}) = \theta_k$.
આનો સરવાળો કરતા,$\sum_{k=1}^{10} |z_{k+1} - z_k| \leq \sum_{k=1}^{10} \theta_k = 2 \pi$ (જ્યાં $z_{11} = z_1$). આમ,$P$ સાચું છે.
$Q$ માટે,ધારો કે $w_k = z_k^2 = e^{i 2 \phi_k}$,જ્યાં $\phi_k = \sum_{j=1}^k \theta_j$. $w_k$ અને $w_{k-1}$ વચ્ચેનો ખૂણો $2 \theta_k$ છે.
તે જ રીતે,$|w_k - w_{k-1}| = |z_k^2 - z_{k-1}^2| = 2 \sin(\frac{2 \theta_k}{2}) = 2 \sin(\theta_k) \leq 2 \theta_k$.
આનો સરવાળો કરતા,$\sum |z_k^2 - z_{k-1}^2| \leq \sum 2 \theta_k = 2(2 \pi) = 4 \pi$. આમ,$Q$ પણ સાચું છે.

(D) શરત $\arg \left(\frac{z+\alpha}{z+\beta}\right)=\frac{\pi}{4}$ એ $(-\alpha, 0)$ અને $(-\beta, 0)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળના ચાપનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે,જ્યાં ચાપ પરના કોઈપણ બિંદુ $z$ પર આ બિંદુઓને જોડતી જીવા દ્વારા બનતો ખૂણો $\frac{\pi}{4}$ છે.
આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2+5x-3y+4=0$ માટે,$y=0$ મૂકીને $x$-અક્ષ સાથેનું છેદબિંદુ શોધીએ:
$x^2+5x+4=0 \Rightarrow (x+1)(x+4)=0 \Rightarrow x=-1, x=-4$.
આમ,બિંદુઓ $(-\alpha, 0)$ અને $(-\beta, 0)$ એ $(-1, 0)$ અને $(-4, 0)$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે ${-\alpha, -\beta} = {-1, -4}$,તેથી ${\alpha, \beta} = {1, 4}$.
$\arg \left(\frac{z+\alpha}{z+\beta}\right)=\frac{\pi}{4}$ ધન હોવા માટે,બિંદુઓનો ક્રમ એવો હોવો જોઈએ કે જેથી સદિશ $(z+\beta)$ થી $(z+\alpha)$ સુધીનું પરિભ્રમણ ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય. પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\arg \left(\frac{z-z_1}{z-z_2}\right) = \theta$ સાથે સરખાવતા,આપણે $\alpha=1$ અને $\beta=4$ મેળવીએ છીએ. વિકલ્પો તપાસતા,$\beta=4$ અને $\alpha\beta = 1 \times 4 = 4$ એ $(B)$ અને $(D)$ સાથે સુસંગત છે.

(C) આપેલ વર્તુળો $|z-z_0|=r$ અને $|z-z_0|=2r$ છે.
$\alpha$ પ્રથમ વર્તુળ પર હોવાથી,$|\alpha-z_0|=r$,જેનો અર્થ છે $|\alpha-z_0|^2=r^2$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$|\alpha|^2 - z_0\bar{\alpha} - \bar{z}_0\alpha + |z_0|^2 = r^2$ $(1)$.
$\frac{1}{\bar{\alpha}}$ બીજા વર્તુળ પર હોવાથી,$|\frac{1}{\bar{\alpha}}-z_0|=2r$,જેનો અર્થ છે $|\frac{1}{\bar{\alpha}}-z_0|^2=4r^2$.
$\bar{\alpha}\alpha = |\alpha|^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$|\frac{\alpha}{|\alpha|^2}-z_0|^2=4r^2$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$\frac{1}{|\alpha|^2} - \frac{z_0\bar{\alpha}}{|\alpha|^2} - \frac{\bar{z}_0\alpha}{|\alpha|^2} + |z_0|^2 = 4r^2$.
$|\alpha|^2$ વડે ગુણતા,$1 - z_0\bar{\alpha} - \bar{z}_0\alpha + |z_0|^2|\alpha|^2 = 4r^2|\alpha|^2$ $(2)$.
$(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા,$(|z_0|^2|\alpha|^2 - |z_0|^2) + (1 - |\alpha|^2) = 4r^2|\alpha|^2 - r^2$.
$|z_0|^2(|\alpha|^2-1) - (|\alpha|^2-1) = r^2(4|\alpha|^2-1)$.
$(|z_0|^2-1)(|\alpha|^2-1) = r^2(4|\alpha|^2-1)$.
આપેલ છે કે $2|z_0|^2 = r^2+2$,તેથી $|z_0|^2 = \frac{r^2+2}{2}$.
આ કિંમત મૂકતા,$(\frac{r^2+2}{2}-1)(|\alpha|^2-1) = r^2(4|\alpha|^2-1)$.
$\frac{r^2}{2}(|\alpha|^2-1) = r^2(4|\alpha|^2-1)$.
$\frac{1}{2}|\alpha|^2 - \frac{1}{2} = 4|\alpha|^2 - 1$.
$\frac{1}{2} = \frac{7}{2}|\alpha|^2$.
$|\alpha|^2 = \frac{1}{7} \Rightarrow |\alpha| = \frac{1}{\sqrt{7}}$.