Geometry of complex numbers Questions in Gujarati

(B) સમીકરણ $(z + ab)^3 = a^3$ ની બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$z + ab = a, a\omega, a\omega^2$,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે.
આમ,બીજ $z_1 = a - ab$,$z_2 = a\omega - ab$,અને $z_3 = a\omega^2 - ab$ છે.
ત્રિકોણની બાજુની લંબાઈ એ કોઈપણ બે બીજ વચ્ચેનું અંતર છે,ઉદાહરણ તરીકે,$|z_1 - z_2|$.
$|z_1 - z_2| = |(a - ab) - (a\omega - ab)| = |a(1 - \omega)|$.
કારણ કે $1 - \omega = 1 - (-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$|1 - \omega| = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}$.
તેથી,બાજુની લંબાઈ $|a| \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3} |a|$ છે.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A = z$,$B = \omega z$,અને $C = z + \omega z$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ:
$|AB| = |z - \omega z| = |z| |1 - \omega| = |z| \sqrt{3}$.
$|BC| = |z|$.
$|AC| = |\omega z| = |z|$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times |BC| \times |AC| \times \sin(120^{\circ})$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times |z| \times |z| \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} |z|^2$.

(A) આપેલ છે કે,$|z - 2 + 2i| = 1$,જેને $|z - (2 - 2i)| = 1$ તરીકે લખી શકાય.
આ સંકર સમતલમાં એક વર્તુળ દર્શાવે છે જેનું કેન્દ્ર $C(2, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 1$ છે.
ન્યૂનતમ નિરપેક્ષ મૂલ્ય ધરાવતી સંકર સંખ્યા $z$ એ વર્તુળ પરનું બિંદુ $P$ છે જે ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ ની સૌથી નજીક છે.
બિંદુ $P$ એ રેખાખંડ $OC$ પર આવેલું છે.
અંતર $OC = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
અંતર $OP = OC - CP = 2\sqrt{2} - 1$.
$OC$ એ ધન $x$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો $\theta = -\pi/4$ છે.
$P$ ના યામ $((2\sqrt{2} - 1) \cos(-\pi/4), (2\sqrt{2} - 1) \sin(-\pi/4)) = (2 - \frac{1}{\sqrt{2}}, -(2 - \frac{1}{\sqrt{2}}))$ છે.
તેથી,$z = (2 - \frac{1}{\sqrt{2}}) - i(2 - \frac{1}{\sqrt{2}}) = (2 - \frac{1}{\sqrt{2}})(1 - i)$.

(B) ધારો કે $w = a + ib$. શરત મુજબ $|f(z) - z| = |f(z) - 0|$.
$f(z) = wz$ મૂકતા,$|wz - z| = |wz|$ મળે.
$|z||w - 1| = |z||w|$.
$z \neq 0$ લેતા,$|w - 1| = |w|$.
$|(a - 1) + ib|^2 = |a + ib|^2$.
$(a - 1)^2 + b^2 = a^2 + b^2$.
$a^2 - 2a + 1 + b^2 = a^2 + b^2$.
$-2a + 1 = 0 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$.
$|a + bi| = 10$ આપેલ હોવાથી,$a^2 + b^2 = 100$.
$a = \frac{1}{2}$ મૂકતા,$(\frac{1}{2})^2 + b^2 = 100$.
$\frac{1}{4} + b^2 = 100 \Rightarrow b^2 = 100 - \frac{1}{4} = \frac{399}{4}$.
$b^2 = \frac{p}{q}$ હોવાથી,$p = 399$ અને $q = 4$. $\text{gcd}(399, 4) = 1$.
તેથી,$p + q = 399 + 4 = 403$.

(B) સમીકરણ $|\frac{z - 2}{z + 2}| = 3$ એ સંકર સમતલમાં એક વર્તુળ દર્શાવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|z - 2|^2 = 9|z + 2|^2$.
ધારો કે $z = x + iy$. તો $(x - 2)^2 + y^2 = 9((x + 2)^2 + y^2)$.
$x^2 - 4x + 4 + y^2 = 9(x^2 + 4x + 4 + y^2) = 9x^2 + 36x + 36 + 9y^2$.
$8x^2 + 8y^2 + 40x + 32 = 0 \Rightarrow x^2 + y^2 + 5x + 4 = 0$.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-\frac{5}{2}, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{(\frac{5}{2})^2 - 4} = \sqrt{\frac{25}{4} - 4} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ છે.
શરત $z_1 - z_2 = z_4 - z_3$ નો અર્થ છે $z_1 + z_3 = z_2 + z_4$,જેનો અર્થ છે કે વિકર્ણો $PR$ અને $QS$ એકબીજાને દુભાગે છે. આમ,$PQRS$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
વર્તુળમાં અંતર્ગત સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ લંબચોરસ હોવો જોઈએ.
વર્તુળમાં અંતર્ગત લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે તે ચોરસ હોય.
વર્તુળનો વ્યાસ $2r = 2(\frac{3}{2}) = 3$ છે.
$r$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળમાં અંતર્ગત ચોરસ માટે,વિકર્ણ એ વ્યાસ $d = 2r = 3$ છે.
$d$ વિકર્ણવાળા ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2}d^2 = \frac{1}{2}(3)^2 = \frac{9}{2}$ છે.

(A) આપેલ છે $w = \frac{1 + (1 - 8\alpha)z}{1 - z}$. $w$ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોવાથી,$w + \bar{w} = 0$.
$w + \bar{w} = \frac{1 + (1 - 8\alpha)z}{1 - z} + \frac{1 + (1 - 8\alpha)\bar{z}}{1 - \bar{z}} = 0$
$\Rightarrow (1 + (1 - 8\alpha)z)(1 - \bar{z}) + (1 + (1 - 8\alpha)\bar{z})(1 - z) = 0$
$|z| = 1$ હોવાથી,$z\bar{z} = 1$.
સાદુરૂપ આપતા,$-8\alpha(z + \bar{z} - 2) = 0$.
$\text{Re}(z) \neq 1$ હોવાથી,$z + \bar{z} \neq 2$,તેથી $-8\alpha = 0$,જેનો અર્થ છે $\alpha = 0$.

(B) આપેલ સમીકરણ $|z - (3 - 2i)| \leq 4$ એ $C(3, -2)$ કેન્દ્ર અને $R = 4$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
$|z|$ એ ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ થી બિંદુ $z$ નું અંતર દર્શાવે છે.
ઉગમબિંદુથી વર્તુળ સુધીનું મહત્તમ અને ન્યૂનતમ અંતર ઉગમબિંદુ અને કેન્દ્ર $C$ માંથી પસાર થતી રેખા પર મળે છે.
ઉગમબિંદુથી કેન્દ્ર $C(3, -2)$ સુધીનું અંતર $OC = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$ છે.
$|z|$ નું ન્યૂનતમ અંતર $|OC - R| = |\sqrt{13} - 4|$ છે. કારણ કે $\sqrt{13} < 4$,તેથી ન્યૂનતમ અંતર $4 - \sqrt{13}$ છે.
$|z|$ નું મહત્તમ અંતર $OC + R = \sqrt{13} + 4$ છે.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમત વચ્ચેનો તફાવત $(4 + \sqrt{13}) - (4 - \sqrt{13}) = 2\sqrt{13}$ છે.

(A) ધારો કે $z = x + iy$. સમીકરણ $2|x + i(y + 3)| = |x + i(y - 1)|$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$4(x^2 + (y + 3)^2) = x^2 + (y - 1)^2$ મળે.
$4x^2 + 4(y^2 + 6y + 9) = x^2 + y^2 - 2y + 1$.
$3x^2 + 3y^2 + 26y + 35 = 0$.
$3$ વડે ભાગતા,$x^2 + y^2 + \frac{26}{3}y + \frac{35}{3} = 0$ મળે.
આ વર્તુળનું સમીકરણ છે,જ્યાં $g = \frac{13}{3}$.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 - c} = \sqrt{(\frac{13}{3})^2 - \frac{35}{3}} = \sqrt{\frac{169}{9} - \frac{105}{9}} = \sqrt{\frac{64}{9}} = \frac{8}{3}$.

(C) ધારો કે $z = x + iy$.
આપેલ છે $\text{Im}\left( \frac{i(x+iy) - 2}{x+iy - i} \right) + 1 = 0$.
ગણતરી કરતા,આપણને મળે છે:
$x^{2}+\left(y-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$.
તેથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{3}{4}$ છે.

(A) પ્રારંભિક સ્થાન $z_0 = 2 + i$ છે,જે આર્ગેન્ડ સમતલમાં બિંદુ $(2, 1)$ ને અનુરૂપ છે.
$1 \, \text{unit}$ પૂર્વ દિશામાં ખસતા સ્થાન $(2+1, 1) = (3, 1)$ થાય છે.
$2 \, \text{units}$ ઉત્તર દિશામાં ખસતા સ્થાન $(3, 1+2) = (3, 3)$ થાય છે.
અંતે,$2\sqrt{2} \, \text{units}$ દક્ષિણ-પશ્ચિમ દિશામાં ખસવાનો અર્થ એ છે કે $2 \, \text{units}$ પશ્ચિમમાં અને $2 \, \text{units}$ દક્ષિણમાં ખસવું (કારણ કે સ્થાનાંતર સદિશ $(-2, -2)$ છે).
અંતિમ સ્થાન $(3-2, 3-2) = (1, 1)$ છે.
આ સંકર સંખ્યા $1 + i$ ને અનુરૂપ છે.

(A) ગણ $\{ \omega \in \mathbb{C} : |\omega - (4 + i)| \le r \}$ એ $C(4, 1)$ કેન્દ્ર અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
ગણ $\{ z \in \mathbb{C} : |z - 1| \le |z + i| \}$ એ $1$ (અથવા $(1, 0)$) અને $-i$ (અથવા $(0, -1)$) ને જોડતા રેખાખંડના લંબદ્વિભાજકનો પ્રદેશ દર્શાવે છે.
લંબદ્વિભાજક રેખા $x + y = 0$ છે. પ્રદેશ $|z - 1| \le |z + i|$ એ $x + y \ge 0$ ને અનુરૂપ છે.
વર્તુળ $x + y \ge 0$ પ્રદેશમાં સમાયેલ હોય તે માટે,કેન્દ્ર $C(4, 1)$ થી રેખા $x + y = 0$ નું લંબ અંતર $r$ જેટલું અથવા તેનાથી ઓછું હોવું જોઈએ.
$(4, 1)$ થી $x + y = 0$ નું અંતર $d = \frac{|4 + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{5}{\sqrt{2}} = \frac{5}{2}\sqrt{2}$ છે.
આમ,$r$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $\frac{5}{2}\sqrt{2}$ છે.

(D) સમીકરણ $w - \overline{w}z = k(1 - z)$ ધ્યાનમાં લો, જ્યાં $k \in \mathbb{R}$.
$Im\, w \neq 0$ હોવાથી, $w \neq \overline{w}$, તેથી $z \neq 1$.
આમ, $k = \frac{w - \overline{w}z}{1 - z}$.
$k$ વાસ્તવિક હોવાથી, $\frac{w - \overline{w}z}{1 - z} = \overline{\left( \frac{w - \overline{w}z}{1 - z} \right)} = \frac{\overline{w} - w\overline{z}}{1 - \overline{z}}$.
ગુણાકાર કરતા $(w - \overline{w}z)(1 - \overline{z}) = (\overline{w} - w\overline{z})(1 - z)$ મળે.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $w - w\overline{z} - \overline{w}z + \overline{w}z\overline{z} = \overline{w} - \overline{w}z - w\overline{z} + w\overline{z}z$.
સરળ કરતા, $w + \overline{w}|z|^2 = \overline{w} + w|z|^2$ મળે.
પદો ગોઠવતા: $(w - \overline{w})|z|^2 = w - \overline{w}$.
$Im\, w \neq 0$ હોવાથી, $w - \overline{w} \neq 0$, તેથી $|z|^2 = 1$, જેનો અર્થ છે $|z| = 1$.
વળી, મૂળ સમીકરણ પરથી, $z \neq 1$ હોવું જોઈએ.
તેથી, માંગેલ ગણ $\{z : |z| = 1, z \neq 1\}$ છે.

(C) ધારો કે $z = x + iy$.
આપેલ છે કે $\frac{z - i}{z + i}$ શુદ્ધ કાલ્પનિક છે,તેથી તેનો વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
$\frac{z - i}{z + i} = \frac{x^2 + y^2 - 1 - 2xi}{x^2 + (y + 1)^2}$.
વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય લેતા:
$x^2 + y^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1$.
આથી $|z|^2 = 1$,એટલે કે $z \bar{z} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\bar{z} = \frac{1}{z}$.
તેથી $z + \frac{1}{z} = z + \bar{z} = 2x$.
આમ,$z + \frac{1}{z}$ એ કોઈપણ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા છે.

(D) ધારો કે $\frac{{{Z_2}}}{{{Z_1}}} = ki$,જ્યાં $k \in \mathbb{R}$ અને $k \ne 0$.
તેથી,$\left| {\frac{{2{Z_1} + 3{Z_2}}}{{2{Z_1} - 3{Z_2}}}} \right| = \left| {\frac{{{Z_1}(2 + 3\frac{{{Z_2}}}{{{Z_1}}})}}{{{Z_1}(2 - 3\frac{{{Z_2}}}{{{Z_1}}})}}} \right| = \left| {\frac{{2 + 3ki}}{{2 - 3ki}}} \right|$.
કોઈપણ સંકર સંખ્યા $z$ માટે,$|z| = |\bar{z}|$ હોવાથી:
$\left| {\frac{{2 + 3ki}}{{2 - 3ki}}} \right| = \frac{{|2 + 3ki|}}{{|2 - 3ki|}} = \frac{{\sqrt {{2^2} + {{(3k)}^2}} }}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 3k)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {4 + 9{k^2}} }}{{\sqrt {4 + 9{k^2}} }} = 1$.

(A) ધારો કે $z = x + iy$. કારણ કે $|z| = 1$,તેથી $x^2 + y^2 = 1$.
પદ $\frac{1 + z^2}{2iz} = \frac{1 + (x + iy)^2}{2i(x + iy)} = \frac{1 + x^2 - y^2 + 2ixy}{2ix - 2y} = \frac{(1 + x^2 - y^2) + 2ixy}{-2y + 2ix}$ ધ્યાનમાં લો.
$x^2 + y^2 = 1$ હોવાથી,$1 - y^2 = x^2$ થાય. અંશમાં આ કિંમત મૂકતા:
$\frac{(x^2 + x^2) + 2ixy}{-2y + 2ix} = \frac{2x^2 + 2ixy}{2i(x + iy)} = \frac{2x(x + iy)}{2i(x + iy)} = \frac{x}{i} = -ix$.
આમ,$a = \text{Im}(-ix) = -x$.
$|z| = 1$ હોવાથી,$x$ ની કિંમત $-1$ થી $1$ ની વચ્ચે હોય. $z \ne \pm 1$ હોવાથી,$x \ne \pm 1$.
તેથી,$x \in (-1, 1)$,જેનો અર્થ છે કે $a = -x \in (-1, 1)$.
આમ,ગણ $A = (-1, 1)$ છે.

(B) ધારો કે $z = x + iy$. તો શિરોબિંદુઓ $z = (x, y)$,$iz = (-y, x)$ અને $z + iz = (x - y, x + y)$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
કિંમતો મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x(x - (x + y)) + (-y)((x + y) - y) + (x - y)(y - x)|$
$= \frac{1}{2} |-xy - xy - (x - y)^2| = \frac{1}{2} |-x^2 - y^2| = \frac{1}{2} (x^2 + y^2)$.
$|z|^2 = x^2 + y^2$ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |z|^2$ થાય.

(A) ધારો કે $w = \frac{z - \alpha}{z + \alpha}$. $w$ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોવાથી,$w + \bar{w} = 0$.
$\frac{z - \alpha}{z + \alpha} + \frac{\bar{z} - \alpha}{\bar{z} + \alpha} = 0$
$(z - \alpha)(\bar{z} + \alpha) + (\bar{z} - \alpha)(z + \alpha) = 0$
$2z\bar{z} - 2\alpha^2 = 0$
$|z|^2 = \alpha^2$
$|z| = 2$ આપેલ હોવાથી,$2^2 = \alpha^2$,તેથી $\alpha^2 = 4$.
આમ,$\alpha = \pm 2$. વિકલ્પમાં $2$ આપેલ છે.

(A) આપેલ છે કે $|z_1| = 9$,જે $(0, 0)$ કેન્દ્ર અને $r_1 = 9$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ $C_1$ દર્શાવે છે.
આપેલ છે કે $|z_2 - (3 + 4i)| = 4$,જે $(3, 4)$ કેન્દ્ર અને $r_2 = 4$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ $C_2$ દર્શાવે છે.
કેન્દ્રો $C_1(0, 0)$ અને $C_2(3, 4)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ છે.
અહીં કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = 5$ અને ત્રિજ્યાઓનો તફાવત $|r_1 - r_2| = |9 - 4| = 5$ છે,તેથી $d = |r_1 - r_2|$.
આનો અર્થ એ છે કે વર્તુળ $C_2$ એ વર્તુળ $C_1$ ની અંદર આવેલું છે અને તેને આંતરિક રીતે સ્પર્શે છે.
જ્યારે વર્તુળો આંતરિક રીતે સ્પર્શતા હોય,ત્યારે $C_1$ પરના બિંદુ $z_1$ અને $C_2$ પરના બિંદુ $z_2$ વચ્ચેનું ન્યૂનતમ અંતર $0$ થાય છે.

(D) ધારો કે $z = \frac{\alpha + i}{\alpha - i}$.
બંને બાજુ માનાંક લેતા,આપણને $|z| = \left| \frac{\alpha + i}{\alpha - i} \right|$ મળે છે.
કારણ કે $|\alpha + i| = \sqrt{\alpha^2 + 1}$ અને $|\alpha - i| = \sqrt{\alpha^2 + (-1)^2} = \sqrt{\alpha^2 + 1}$,તેથી $|z| = \frac{\sqrt{\alpha^2 + 1}}{\sqrt{\alpha^2 + 1}} = 1$ થાય.
સમીકરણ $|z| = 1$ એ સંકર સમતલમાં ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર કેન્દ્ર અને $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.

(C) આપેલ છે $w = \frac{5 + 3z}{5(1 - z)}$.
$z$ માટે ઉકેલતા:
$5w(1 - z) = 5 + 3z$
$5w - 5wz = 5 + 3z$
$5w - 5 = z(3 + 5w)$
$z = \frac{5w - 5}{5w + 3}$.
$|z| < 1$ હોવાથી,$\left| \frac{5w - 5}{5w + 3} \right| < 1$.
$|5w - 5| < |5w + 3|$.
$5$ વડે ભાગતા:
$|w - 1| < |w + \frac{3}{5}|$.
આ સંકર સમતલમાં $1$ અને $-\frac{3}{5}$ ની વચ્ચેના બિંદુઓ દર્શાવે છે જે $1$ ની નજીક છે.
$1$ અને $-\frac{3}{5}$ ને જોડતા રેખાખંડનો લંબદ્વિભાજક $x = \frac{1 - 3/5}{2} = \frac{1}{5}$ છે.
બિંદુઓ $1$ ની નજીક હોવાથી,$\text{Re}(w) > \frac{1}{5}$,જેનો અર્થ છે કે $5 \text{ Re}(w) > 1$.

(B) ધારો કે $z = x + iy$. તો સમીકરણ $|x + iy - i| = |x + iy - 1|$ બને છે.
આનું સાદું રૂપ $|x + i(y - 1)| = |(x - 1) + iy|$ થાય છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2 + (y - 1)^2 = (x - 1)^2 + y^2$ મળે છે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 + y^2 - 2y + 1 = x^2 - 2x + 1 + y^2$.
બંને બાજુથી $x^2, y^2$ અને $1$ દૂર કરતા,$-2y = -2x$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $y = x$ થાય છે.
આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી $1$ ઢાળવાળી રેખાનું સમીકરણ છે.

(B) આપેલ છે $\operatorname{Re}\left(\frac{z-1}{2z+i}\right)=1.$
$z=x+iy$ મૂકતા:
$\frac{z-1}{2z+i} = \frac{(x-1)+iy}{2x+i(2y+1)} = \frac{((x-1)+iy)(2x-i(2y+1))}{(2x)^2+(2y+1)^2}$
વાસ્તવિક ભાગ $\frac{2x(x-1)+y(2y+1)}{(2x)^2+(2y+1)^2} = 1$ છે.
$2x^2-2x+2y^2+y = 4x^2+4y^2+4y+1.$
$2x^2+2y^2+2x+3y+1 = 0.$
$x^2+y^2+x+\frac{3}{2}y+\frac{1}{2} = 0.$
આ વર્તુળનું સમીકરણ છે જેનું કેન્દ્ર $\left(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}\right)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{3}{4}\right)^2 - \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{5}}{4}$ છે.
વ્યાસ $2r = 2 \times \frac{\sqrt{5}}{4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ થાય.

(D) ધારો કે $z = x + iy.$ આપેલ સમીકરણ $|x| + |y| = 4$ છે.
આ સંકર સમતલમાં $(4, 0), (0, 4), (-4, 0),$ અને $(0, -4)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો એક ચોરસ દર્શાવે છે.
$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ એ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી બિંદુ $(x, y)$ નું અંતર દર્શાવે છે.
ઉગમબિંદુથી $(4, 0)$ અને $(0, 4)$ ને જોડતા રેખાખંડનું લઘુત્તમ અંતર એ રેખા $x + y = 4$ પર ઉગમબિંદુમાંથી દોરેલા લંબનું માપ છે.
બિંદુ $(x_0, y_0)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ ના અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$d = \frac{|0 + 0 - 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} = \sqrt{8}.$
ઉગમબિંદુથી ચોરસનું મહત્તમ અંતર તેના શિરોબિંદુઓ પર મળે છે,જે $4 = \sqrt{16}$ છે.
આમ,$|z|$ એ અંતરાલ $[\sqrt{8}, \sqrt{16}]$ માં હોવું જોઈએ.
તેથી,$\sqrt{7} < \sqrt{8}$ હોવાથી,$|z|$ એ $\sqrt{7}$ ન હોઈ શકે.

(C) આપેલ છે કે $\left|\frac{z-i}{z+2i}\right|=1$,જેનો અર્થ છે કે $|z-i|=|z+2i|$.
આનો અર્થ એ છે કે $z$ એ $(0, 1)$ અને $(0, -2)$ બિંદુઓના લંબદ્વિભાજક પર આવેલું છે.
લંબદ્વિભાજક રેખા $\text{Im}(z) = -\frac{1}{2}$ છે.
ધારો કે $z = x - \frac{i}{2}$.
$|z| = \frac{5}{2}$ આપેલ હોવાથી,$x^2 + (-\frac{1}{2})^2 = (\frac{5}{2})^2$.
$x^2 + \frac{1}{4} = \frac{25}{4} \Rightarrow x^2 = 6$.
હવે,$|z+3i| = |x - \frac{i}{2} + 3i| = |x + \frac{5i}{2}|$.
$|z+3i| = \sqrt{x^2 + (\frac{5}{2})^2} = \sqrt{6 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{49}{4}} = \frac{7}{2}$.

(N/A) ધારો કે સંકર સંખ્યા $z = -3 + 0i$ છે.
આપણે તેને $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ તરીકે દર્શાવીએ,જ્યાં $r \cos \theta = -3$ અને $r \sin \theta = 0$ છે.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$r^{2}(\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta) = (-3)^{2} + 0^{2}$
$r^{2} = 9$
$r > 0$ હોવાથી,$r = 3$ મળે.
હવે,$3 \cos \theta = -3 \Rightarrow \cos \theta = -1$ અને $3 \sin \theta = 0 \Rightarrow \sin \theta = 0$.
$\cos \theta = -1$ અને $\sin \theta = 0$ નું સમાધાન કરતો ખૂણો $\theta = \pi$ છે.
આમ,ધ્રુવીય સ્વરૂપ $3(\cos \pi + i \sin \pi)$ છે.

(B) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(z)$,$B(iz)$,અને $C(z+iz)$ છે.
આ ત્રિકોણ ઉગમબિંદુ $O(0)$,બિંદુ $P(z)$,અને બિંદુ $Q(iz)$ દ્વારા રચાય છે.
$iz$ એ $z$ ને ઉગમબિંદુની આસપાસ $90^{\circ}$ ફેરવીને મેળવવામાં આવે છે,તેથી સદિશો $\vec{OP}$ અને $\vec{OQ}$ પરસ્પર લંબ છે અને તેમનું માન $|z|$ સમાન છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times |z| \times |iz| = \frac{1}{2}|z|^2$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $\operatorname{Re}(z)=|z-1|$. ધારો કે $z=x+iy$. તેથી $x=\sqrt{(x-1)^2+y^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, $x^2=(x-1)^2+y^2$ $\Rightarrow x^2=x^2-2x+1+y^2$ $\Rightarrow y^2=2x-1$.
આ પરવલય $y^2=4a(x-h)$ દર્શાવે છે, જ્યાં $4a=2 \Rightarrow a=\frac{1}{2}$ અને શિરોબિંદુ $(\frac{1}{2}, 0)$ છે.
બિંદુઓ $z_1$ અને $z_2$ આ પરવલય પર આવેલા છે. જીવા $z_1z_2$ નો ઢાળ $\tan(\arg(z_1-z_2)) = \tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.
પરવલય $y^2=4ax$ માટે, પ્રાચલ $t_1$ અને $t_2$ વાળા બિંદુઓને જોડતી જીવાનો ઢાળ $m = \frac{2}{t_1+t_2}$ છે.
$y=2at$ હોવાથી, $y_1+y_2 = 2a(t_1+t_2) = 2a(\frac{2}{m}) = \frac{4a}{m}$.
$a=\frac{1}{2}$ અને $m=\frac{1}{\sqrt{3}}$ મુકતા, $y_1+y_2 = \frac{4(1/2)}{1/\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$.
તેથી, $\operatorname{Im}(z_1+z_2) = y_1+y_2 = 2\sqrt{3}$.

(C) આપેલ છે $u = \frac{2z + i}{z - ki} = \frac{2(x + iy) + i}{(x + iy) - ki} = \frac{2x + i(2y + 1)}{x + i(y - k)}$.
અંશ અને છેદને અનુબદ્ધ $x - i(y - k)$ વડે ગુણતા:
$u = \frac{2x^2 + (2y + 1)(y - k) + i[x(2y + 1) - 2x(y - k)]}{x^2 + (y - k)^2}$.
$\operatorname{Re}(u) + \operatorname{Im}(u) = 1$ આપેલ હોવાથી:
$2x^2 + (2y + 1)(y - k) + x(2y + 1) - 2x(y - k) = x^2 + (y - k)^2$.
$y$-અક્ષ પરના છેદબિંદુ માટે $x = 0$ લેતા:
$(2y + 1)(y - k) = (y - k)^2$.
$(y - k)[(2y + 1) - (y - k)] = 0 \Rightarrow (y - k)(y + k + 1) = 0$.
આથી $y_1 = k$ અને $y_2 = -k - 1$ મળે.
અંતર $PQ = |y_1 - y_2| = |k - (-k - 1)| = |2k + 1| = 5$.
$k > 0$ હોવાથી, $2k + 1 = 5$ $\Rightarrow 2k = 4$ $\Rightarrow k = 2$.

(D) ધારો કે $z = x + iy$. તેથી $\overline{z} = x - iy$.
$\operatorname{Re}(z) = x$ અને $\operatorname{Re}(\overline{z}) = x$.
ચાર શિરોબિંદુઓ $A(x + iy)$,$B(x - iy)$,$C(-x - iy)$ અને $D(-x + iy)$ છે.
ચોરસની બાજુની લંબાઈ $4$ એકમ છે.
$A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $|(x + iy) - (x - iy)| = |2iy| = 2|y| = 4$,જેનો અર્થ છે કે $|y| = 2$.
$B$ અને $C$ વચ્ચેનું અંતર $|(x - iy) - (-x - iy)| = |2x| = 2|x| = 4$,જેનો અર્થ છે કે $|x| = 2$.
તેથી,$|z| = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

(C) આપેલ છે $z = x + iy$ અને $z^{2} = i|z|^{2}.$
$z = x + iy$ અને $|z|^{2} = x^{2} + y^{2}$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x + iy)^{2} = i(x^{2} + y^{2})$
$x^{2} - y^{2} + 2ixy = i(x^{2} + y^{2})$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
વાસ્તવિક ભાગ: $x^{2} - y^{2} = 0 \Rightarrow (x - y)(x + y) = 0$
કાલ્પનિક ભાગ: $2xy = x^{2} + y^{2}$ $\Rightarrow x^{2} - 2xy + y^{2} = 0$ $\Rightarrow (x - y)^{2} = 0$
કાલ્પનિક ભાગ પરથી,આપણને $x = y$ મળે છે.
$x = y$ ને વાસ્તવિક ભાગના સમીકરણમાં મૂકતા: $y^{2} - y^{2} = 0,$ જે સંતોષાય છે.
તેથી,$z$ એ રેખા $y = x$ પર આવેલી છે.

(D) આપેલ અસમતા $|z|-\operatorname{Re}(z) \leq 1$ છે,જ્યાં $z = x+iy$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\sqrt{x^{2}+y^{2}} - x \leq 1$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$\sqrt{x^{2}+y^{2}} \leq 1+x$.
વર્ગમૂળ હંમેશા અ-ઋણ હોવાથી,$1+x \geq 0$ એટલે કે $x \geq -1$ હોવું જોઈએ.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^{2}+y^{2} \leq (1+x)^{2}$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,$x^{2}+y^{2} \leq 1+2x+x^{2}$.
બંને બાજુથી $x^{2}$ બાદ કરતા,$y^{2} \leq 2x+1$.
$2$ સામાન્ય કાઢતા,આપણને $y^{2} \leq 2\left(x+\frac{1}{2}\right)$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $a|z|^2 + \overline{\bar{\alpha}z + \alpha\bar{z}} + d = 0$ છે.
કારણ કે $\overline{\bar{\alpha}z + \alpha\bar{z}} = \alpha\bar{z} + \bar{\alpha}z$,સમીકરણ $az\bar{z} + \bar{\alpha}z + \alpha\bar{z} + d = 0$ બને છે.
$a$ વડે ભાગતા ($a \neq 0$ ધારીને),આપણને $z\bar{z} + \frac{\bar{\alpha}}{a}z + \frac{\alpha}{a}\bar{z} + \frac{d}{a} = 0$ મળે છે.
આ વર્તુળનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $z\bar{z} + \bar{\beta}z + \beta\bar{z} + c = 0$ છે,જ્યાં $\beta = \frac{\alpha}{a}$.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{|\beta|^2 - c} = \sqrt{\left|\frac{\alpha}{a}\right|^2 - \frac{d}{a}} = \sqrt{\frac{|\alpha|^2 - ad}{a^2}}$.
વર્તુળ માટે ત્રિજ્યા વાસ્તવિક અને ધન હોવી જોઈએ,તેથી $|\alpha|^2 - ad > 0$ અને $a \neq 0$.

(B) ઉગમબિંદુ $(0)$,$z_{1}$ અને $z_{2}$ સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે તે માટેની શરત છે:
$z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = z_{1}z_{2}$
બંને બાજુ $2z_{1}z_{2}$ ઉમેરતા,આપણને મળે:
$(z_{1} + z_{2})^{2} = 3z_{1}z_{2}$
આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $z^{2} + az + 12 = 0$ પરથી,બીજનો સરવાળો $z_{1} + z_{2} = -a$ અને બીજનો ગુણાકાર $z_{1}z_{2} = 12$ છે.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા:
$(-a)^{2} = 3(12)$
$a^{2} = 36$
$|a| = 6$

(C) $S_{1} = \{ z \in C : |z - 1| \leq \sqrt{2} \}$ માટે, $z$ એ $(1, 0)$ કેન્દ્ર અને $\sqrt{2}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળ પરના અને અંદરના બિંદુઓ દર્શાવે છે.
$S_{2} = \{ z \in C : \operatorname{Re}((1 - i)z) \geq 1 \}$ માટે, ધારો કે $z = x + iy$.
તો $(1 - i)(x + iy) = x + iy - ix - i^2y = (x + y) + i(y - x)$.
તેથી, $\operatorname{Re}((1 - i)z) = x + y \geq 1$.
$S_{3} = \{ z \in C : \operatorname{Im}(z) \leq 1 \}$ માટે, આપણી પાસે $y \leq 1$ છે.
છેદગણ $S_{1} \cap S_{2} \cap S_{3}$ એ સંકર સમતલમાં એક પ્રદેશ દર્શાવે છે જે વર્તુળ $(x - 1)^2 + y^2 = 2$, રેખા $x + y = 1$ અને રેખા $y = 1$ દ્વારા સીમિત છે.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ, આ છેદગણ શૂન્યતર ક્ષેત્રફળ ધરાવતો પ્રદેશ બનાવે છે, જેનો અર્થ છે કે આ ગણ અનંત ઘટકો ધરાવે છે.

(B) આપેલ છે $w = 1 - \sqrt{3} i$,તેથી માનાંક $|w| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2$ છે.
આપેલ છે $|zw| = 1$,તેથી $|z| |w| = 1$,જેનો અર્થ છે કે $|z| = \frac{1}{|w|} = \frac{1}{2}$.
આપેલ છે $\arg(z) - \arg(w) = \frac{\pi}{2}$,એટલે કે ઉગમબિંદુ પર $z$ અને $w$ ને દર્શાવતા સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.
બે બાજુઓ $a$ અને $b$ અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} ab \sin(\theta)$ છે.
અહીં,બાજુઓ $|z|$ અને $|w|$ છે,અને ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |z| |w| \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = \frac{1}{2}$.

(B) ધારો કે $z = x + iy$. સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$x + iy + \alpha|x + iy - 1| + 2i = 0$
$x + \alpha\sqrt{(x-1)^2 + y^2} + i(y + 2) = 0$
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$y + 2 = 0 \implies y = -2$
$x + \alpha\sqrt{(x-1)^2 + (-2)^2} = 0 \implies \alpha = -\frac{x}{\sqrt{x^2 - 2x + 5}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\alpha^2 = \frac{x^2}{x^2 - 2x + 5}$
ધારો કે $f(x) = \frac{x^2}{x^2 - 2x + 5}$. વિસ્તાર શોધવા માટે,$f(x)$ નો વિસ્તાર $[0, \frac{5}{4}]$ મળે છે.
તેથી,$\alpha^2 \in [0, \frac{5}{4}]$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha \in [-\frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{\sqrt{5}}{2}]$.
અહીં,$p = -\frac{\sqrt{5}}{2}$ અને $q = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
તેથી $4(p^2 + q^2) = 4(\frac{5}{4} + \frac{5}{4}) = 10$.

(B) આપેલ છે $|z+5| \leq 4$. ધારો કે $z = x+iy$. તો $(x+5)^2 + y^2 \leq 16$ (કેન્દ્ર $(-5, 0)$ અને ત્રિજ્યા $4$ વાળું વર્તુળ).
આપેલ છે $z(1+i)+\bar{z}(1-i) \geq -10$. $z=x+iy$ અને $\bar{z}=x-iy$ મૂકતા:
$(x+iy)(1+i) + (x-iy)(1-i) \geq -10$
$(x-y + i(x+y)) + (x-y - i(x+y)) \geq -10$
$2(x-y) \geq -10 \implies x-y+5 \geq 0$.
આપણે $|z+1|^2$ ને મહત્તમ બનાવવું છે,જે બિંદુ $P(-1, 0)$ થી $z$ ના અંતરનો વર્ગ છે.
પ્રદેશ એ વર્તુળ $(x+5)^2 + y^2 \leq 16$ અને અર્ધ-સમતલ $x-y+5 \geq 0$ નો છેદ છે.
$P(-1, 0)$ થી પ્રદેશના બિંદુઓનું મહત્તમ અંતર શોધવા માટે,આપણે સીમાબિંદુઓ તપાસીએ છીએ. મહત્તમ કિંમત રેખા $x-y+5=0$ અને વર્તુળ $(x+5)^2 + y^2 = 16$ ના છેદબિંદુ પર મળે છે.
વર્તુળના સમીકરણમાં $y = x+5$ મૂકતા:
$(x+5)^2 + (x+5)^2 = 16 \implies 2(x+5)^2 = 16 \implies (x+5)^2 = 8 \implies x+5 = \pm 2\sqrt{2}$.
તેથી $x = -5 \pm 2\sqrt{2}$.
જો $x = -5 - 2\sqrt{2}$,તો $y = x+5 = -2\sqrt{2}$. બિંદુ $B = (-5-2\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$.
જો $x = -5 + 2\sqrt{2}$,તો $y = x+5 = 2\sqrt{2}$. બિંદુ $A = (-5+2\sqrt{2}, 2\sqrt{2})$.
$P(-1, 0)$ થી અંતરના વર્ગની ગણતરી:
$PB^2 = (-5-2\sqrt{2} - (-1))^2 + (-2\sqrt{2} - 0)^2 = (-4-2\sqrt{2})^2 + 8 = (16 + 8 + 16\sqrt{2}) + 8 = 32 + 16\sqrt{2}$.
$PA^2 = (-5+2\sqrt{2} - (-1))^2 + (2\sqrt{2} - 0)^2 = (-4+2\sqrt{2})^2 + 8 = (16 + 8 - 16\sqrt{2}) + 8 = 32 - 16\sqrt{2}$.
મહત્તમ કિંમત $32 + 16\sqrt{2}$ છે.
આમ $\alpha = 32$ અને $\beta = 16$.
$\alpha + \beta = 32 + 16 = 48$.

(B) ધારો કે $z = x + iy$. સમીકરણ $\arg \left(\frac{z-1}{z+1}\right) = \frac{\pi}{4}$ એ બિંદુ $z$ નો બિંદુપથ દર્શાવે છે કે જેથી $A(1, 0)$ અને $B(-1, 0)$ ને જોડતા રેખાખંડ દ્વારા $z$ પર બનતો ખૂણો $\frac{\pi}{4}$ થાય.
આ $A(1, 0)$ અને $B(-1, 0)$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનો એક ચાપ છે.
ધારો કે વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(0, k)$ છે. પરિઘ પરનો ખૂણો $\frac{\pi}{4}$ હોવાથી,જીવા $AB$ દ્વારા કેન્દ્ર $C$ પર બનતો ખૂણો $2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ થશે.
$\triangle OAC$ માં (જ્યાં $O$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છે),$\angle COA = 90^\circ$ અને $\angle OCA = \frac{\pi}{4}$.
$OA = 1$ હોવાથી,$\tan \left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{OA}{OC} = \frac{1}{OC} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $OC = 1$.
આમ,કેન્દ્ર $C(0, 1)$ છે.
ત્રિજ્યા $R = AC = \sqrt{OA^2 + OC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
તેથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(0, 1)$ અને ત્રિજ્યા $\sqrt{2}$ છે.

(D) ધારો કે $z = x + iy$. શરત $\frac{z-i}{z+2i} \in \mathbb{R}$ સૂચવે છે કે સંકર સંખ્યાનો કોણાંક $0$ અથવા $\pi$ છે (અથવા સંખ્યા અવ્યાખ્યાયિત છે).
આ એવા બિંદુઓ $z$ નો બિંદુપથ દર્શાવે છે કે જેથી સદિશો $(z-i)$ અને $(z+2i)$ સમરેખ હોય.
ભૌમિતિક રીતે,આ બિંદુઓ $i$ (જે $(0, 1)$ છે) અને $-2i$ (જે $(0, -2)$ છે) માંથી પસાર થતી રેખા છે.
આ બંને બિંદુઓ કાલ્પનિક અક્ષ પર આવેલા હોવાથી,આ રેખા પોતે કાલ્પનિક અક્ષ છે (બિંદુ $-2i$ સિવાય જ્યાં પદ અવ્યાખ્યાયિત છે).
આમ,$S$ એ સંકર સમતલમાં એક સીધી રેખા છે.

(C) આપેલ છે $|z-3|=\operatorname{Re}(z)$. ધારો કે $z=x+iy$.
$(x-3)^{2}+y^{2}=x^{2}$
$x^{2}-6x+9+y^{2}=x^{2}$
$y^{2}=6x-9=6(x-\frac{3}{2})$.
આ $(\frac{3}{2}, 0)$ શિરોબિંદુ ધરાવતું પરવલય છે.
ધારો કે $z_{1}=x_{1}+iy_{1}$ અને $z_{2}=x_{2}+iy_{2}$.
કારણ કે $\arg(z_{1}-z_{2})=\frac{\pi}{4}$, $z_{1}$ અને $z_{2}$ ને જોડતા રેખાખંડનો ઢાળ $\tan(\frac{\pi}{4})=1$ છે.
તેથી, $\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=1 \Rightarrow y_{1}-y_{2}=x_{1}-x_{2} \Rightarrow x_{1}-y_{1}=x_{2}-y_{2}$.
પરવલયના સમીકરણ પરથી, $x_{1}=\frac{y_{1}^{2}}{6}+\frac{3}{2}$ અને $x_{2}=\frac{y_{2}^{2}}{6}+\frac{3}{2}$.
આ કિંમતોને $x_{1}-x_{2}=y_{1}-y_{2}$ માં મૂકતા:
$(\frac{y_{1}^{2}}{6}+\frac{3}{2})-(\frac{y_{2}^{2}}{6}+\frac{3}{2})=y_{1}-y_{2}$
$\frac{1}{6}(y_{1}-y_{2})(y_{1}+y_{2})=y_{1}-y_{2}$.
કારણ કે $z_{1} \neq z_{2}$, $y_{1} \neq y_{2}$, તેથી આપણે $(y_{1}-y_{2})$ વડે ભાગી શકીએ છીએ:
$\frac{1}{6}(y_{1}+y_{2})=1 \Rightarrow y_{1}+y_{2}=6$.
$z_{1}+z_{2}$ નો કાલ્પનિક ભાગ $y_{1}+y_{2}=6$ છે.

(C) ધારો કે $z=x+iy$.
$\arg \left(\frac{z-2}{z+2}\right)=\frac{\pi}{4}$ એ વર્તુળનો એક ચાપ દર્શાવે છે.
ધારો કે $z-2 = r_1 e^{i\theta_1}$ અને $z+2 = r_2 e^{i\theta_2}$. તેથી $\theta_1 - \theta_2 = \frac{\pi}{4}$.
આ એવા બિંદુઓ $z$ નો બિંદુપથ છે કે જેથી $(-2, 0)$ અને $(2, 0)$ ને જોડતા રેખાખંડ દ્વારા $z$ આગળ બનતો ખૂણો $\frac{\pi}{4}$ થાય.
સમીકરણ $\tan^{-1}\left(\frac{y}{x-2}\right) - \tan^{-1}\left(\frac{y}{x+2}\right) = \frac{\pi}{4}$ છે.
$\tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{\frac{y}{x-2} - \frac{y}{x+2}}{1 + \frac{y^2}{x^2-4}} = 1$ મળે છે.
$\frac{4y}{x^2+y^2-4} = 1 \implies x^2+y^2-4y-4=0$.
આ કેન્દ્ર $O(0, 2)$ અને ત્રિજ્યા $R = \sqrt{0^2 + 2^2 - (-4)} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ વાળું વર્તુળ છે.
આપણે $|z - (9\sqrt{2} + 2i)|^2$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવું છે. ધારો કે $P = 9\sqrt{2} + 2i$,જે બિંદુ $(9\sqrt{2}, 2)$ છે.
અંતર $OP = \sqrt{(9\sqrt{2}-0)^2 + (2-2)^2} = 9\sqrt{2}$.
વર્તુળથી $P$ નું ન્યૂનતમ અંતર $OP - R = 9\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = 7\sqrt{2}$ છે.
$|z-P|^2$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $(7\sqrt{2})^2 = 49 \times 2 = 98$ છે.

(D) આપેલ છે કે $\frac{z-i}{z-1}$ શુદ્ધ કાલ્પનિક છે,તેથી તેનો વાસ્તવિક ભાગ $0$ થાય.
ધારો કે $z = x+iy$. તેથી $\frac{z-i}{z-1} = \frac{x+i(y-1)}{(x-1)+iy}$.
છેદની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $(x-1)-iy$ વડે ગુણતા:
$\frac{x(x-1)+y(y-1) + i((y-1)(x-1)-xy)}{(x-1)^2+y^2}$.
શુદ્ધ કાલ્પનિક હોવા માટે,વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$x(x-1)+y(y-1) = 0 \Rightarrow x^2-x+y^2-y = 0$.
આ એક વર્તુળ દર્શાવે છે જેનું કેન્દ્ર $C(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ અને ત્રિજ્યા $r = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
આપણે $|z-(3+3i)|$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવી છે,જે બિંદુ $P(3,3)$ થી વર્તુળ સુધીનું લઘુત્તમ અંતર છે.
$P(3,3)$ થી કેન્દ્ર $C(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ સુધીનું અંતર $PC = \sqrt{(3-\frac{1}{2})^2 + (3-\frac{1}{2})^2} = \frac{5}{\sqrt{2}}$ છે.
ન્યૂનતમ અંતર $PC - r = \frac{5}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ થાય.

(C) આપેલ શરત $|z-(2+2 i)| \leq 1$ છે. આ સંકર સમતલમાં $2+2 i$ કેન્દ્ર અને $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
આપણે $|3 i z+6|$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધવું છે.
$|3 i z+6| = 3 |z - (-2 i)|$.
આ પદ $z$ નું $0-2 i$ બિંદુથી અંતર $3$ ગણું દર્શાવે છે.
આ અંતરને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે વર્તુળ પરનું એવું બિંદુ $z$ શોધવું પડે જે $0-2 i$ થી સૌથી દૂર હોય.
આકૃતિ મુજબ,મહત્તમ અંતર $3+2 i$ બિંદુ પર મળે છે.
તેથી $a+i b = 3+2 i$.
આમ,$a=3$ અને $b=2$.
$a+b = 3+2 = 5$.

(A) આપેલ છે કે $S_{1} = \{z \in C : |z-(3+2i)|^{2}=8\}$. ધારો કે $z = x+iy$. તો $|(x-3)+i(y-2)|^{2}=8$,જે સૂચવે છે કે $(x-3)^{2}+(y-2)^{2}=8$. આ $(3, 2)$ કેન્દ્ર અને $r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
$S_{2} = \{z \in C : x \geq 5\}$.
$S_{3} = \{z \in C : |z-\bar{z}| \geq 8\}$. કારણ કે $z-\bar{z} = 2iy$,તેથી $|2iy| = 2|y| \geq 8$,જે સૂચવે છે કે $|y| \geq 4$,એટલે કે $y \geq 4$ અથવા $y \leq -4$.
આપણે $S_{1} \cap S_{2} \cap S_{3}$ નો છેદગણ શોધવાનો છે.
$S_{1} \cap S_{2}$ માટે,આપણે વર્તુળના સમીકરણમાં $x=5$ મૂકીએ: $(5-3)^{2} + (y-2)^{2} = 8$ $\Rightarrow 4 + (y-2)^{2} = 8$ $\Rightarrow (y-2)^{2} = 4$ $\Rightarrow y-2 = \pm 2$. આમ $y=4$ અથવા $y=0$.
$S_{1} \cap S_{2} \cap S_{3}$ માટે,આપણે $S_{3}$ ની શરત $y \geq 4$ અથવા $y \leq -4$ ચકાસીએ.
$x=5$ આગળ,વર્તુળ પરના બિંદુઓ $(5, 4)$ અને $(5, 0)$ છે.
માત્ર $(5, 4)$ બિંદુ જ $y \geq 4$ ની શરતનું પાલન કરે છે.
આમ,છેદગણમાં માત્ર એક જ બિંદુ $z = 5+4i$ છે.
તેથી ઘટકોની સંખ્યા $1$ છે.

(D) આપેલ છે $S_{1}: |z-2| \leq 1$,જે $(2, 0)$ કેન્દ્ર અને $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
આપેલ છે $S_{2}: z(1+i)+\overline{z}(1-i) \geq 4$. ધારો કે $z = x+iy$. તો $\overline{z} = x-iy$.
આ કિંમતો અસમતામાં મૂકતા:
$(x+iy)(1+i) + (x-iy)(1-i) \geq 4$
$(x - y + i(x+y)) + (x - y - i(x+y)) \geq 4$
$2x - 2y \geq 4 \implies y \leq x-2$.
આપણે $z \in S_{1} \cap S_{2}$ માટે $|z - 2.5|^2$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવાની છે.
રેખા $y = x-2$ એ વર્તુળના કેન્દ્ર $(2,0)$ માંથી પસાર થાય છે.
વર્તુળ $(x-2)^2 + y^2 = 1$ અને રેખા $y = x-2$ ના છેદબિંદુઓ શોધવા માટે $y = x-2$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x-2)^2 + (x-2)^2 = 1 \implies 2(x-2)^2 = 1 \implies x-2 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી $x = 2 \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$. અનુરૂપ $y$ કિંમતો $y = x-2 = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.
છેદબિંદુઓ $(2 + \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ અને $(2 - \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ છે.
બિંદુ $P = (2 - \frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ એ છેદગણમાં $2.5 + 0i$ થી સૌથી દૂરનું બિંદુ છે.
$|z - 2.5|^2 = |(2 - \frac{1}{\sqrt{2}} - 2.5) - i\frac{1}{\sqrt{2}}|^2 = |-\frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} - i\frac{1}{\sqrt{2}}|^2$
$= (-\frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}})^2 + (-\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = (\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} = \frac{5}{4} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{5 + 2\sqrt{2}}{4}$.

(C) શરત $|z-3| \leq 1$ એ $(3, 0)$ પર કેન્દ્રિત $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
શરત $z(4+3i) + \bar{z}(4-3i) \leq 24$ ને $z = x + iy$ મૂકીને સરળ બનાવી શકાય છે:
$8x - 6y \leq 24 \Rightarrow 4x - 3y \leq 12$.
આપણે $S$ પ્રદેશમાં $(0, 4)$ ની સૌથી નજીકનું બિંદુ $(\alpha, \beta)$ શોધવું છે.
રેખા $4x - 3y = 12$ એ $(3, 0)$ અને $(0, -4)$ માંથી પસાર થાય છે.
$(0, 4)$ અને $(3, 0)$ ને જોડતી રેખાનું સમીકરણ $4x + 3y = 12$ છે.
સમીકરણો ઉકેલતા:
$4x + 3y = 12$
$(x-3)^2 + y^2 = 1$
ઉકેલતા $y = \frac{4}{5}$ અને $x = \frac{12}{5}$ મળે છે.
તેથી,$\alpha = \frac{12}{5}$ અને $\beta = \frac{4}{5}$.
$25(\alpha + \beta) = 25(\frac{12}{5} + \frac{4}{5}) = 80$.

(D) ગણ $A$ એ સંકર સમતલમાં $z_0 = 1 + i$ કેન્દ્ર અને $r_1 = 1$ તથા $r_2 = 2$ ત્રિજ્યા ધરાવતો વલયાકાર પ્રદેશ દર્શાવે છે.
ગણ $B$ એવા બિંદુઓ $z$ નો બનેલો છે જે આ વલયાકાર પ્રદેશ $A$ માં આવેલા છે અને સમીકરણ $|z - (1 - i)| = 1$ નું સમાધાન કરે છે. આ સમીકરણ $z_1 = 1 - i$ કેન્દ્ર અને $r = 1$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
કેન્દ્રો $z_0 = 1 + i$ અને $z_1 = 1 - i$ વચ્ચેનું અંતર:
$|z_0 - z_1| = |(1 + i) - (1 - i)| = |2i| = 2$.
$B$ વ્યાખ્યાયિત કરતા વર્તુળની ત્રિજ્યા $1$ છે. આ વર્તુળ પરના બિંદુઓ કેન્દ્ર $(1, -1)$ થી $1$ ના અંતરે છે.
બિંદુ $z = 1$ ધ્યાનમાં લો.
$z = 1$ માટે,$|z - (1 + i)| = |1 - 1 - i| = |-i| = 1$,તેથી $z = 1$ એ $A$ ની અંદરની સીમા પર છે.
વળી,$|z - (1 - i)| = |1 - 1 + i| = |i| = 1$,તેથી $z = 1$ એ $B$ વ્યાખ્યાયિત કરતા વર્તુળ પર છે.
આમ,$z = 1$ એ $B$ માં છે.
વર્તુળ $|z - (1 - i)| = 1$ નો ચાપ પ્રદેશ $A$ ની અંદર આવેલો હોવાથી,$B$ માં અનંત બિંદુઓ છે.

(B) ગણ $A$ માટે: $|z+1| < |z-1|$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x+1)^2 + y^2 < (x-1)^2 + y^2$,જેનું સાદું રૂપ $x < 0$ મળે છે. આ કાલ્પનિક અક્ષની ડાબી બાજુનો વિસ્તાર દર્શાવે છે.
ગણ $B$ માટે: $\arg(\frac{z-1}{z+1}) = \frac{2\pi}{3}$. આ $(-1, 0)$ અને $(1, 0)$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનો ચાપ દર્શાવે છે. વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + \frac{2y}{\sqrt{3}} - 1 = 0$ છે,જેનું કેન્દ્ર $(0, -\frac{1}{\sqrt{3}})$ છે.
શરત $\arg(\frac{z-1}{z+1}) = \frac{2\pi}{3}$ એ આ વર્તુળના તે ચાપને અનુરૂપ છે જ્યાં $x < 0$ હોય.
આમ,$A \cap B$ એ બીજા ચરણમાં આવેલો વર્તુળનો ચાપ છે.

(C) ધારો કે $z = x + iy$,જ્યાં $x, y \in \mathbb{R}$.
આપેલ સમીકરણ $\bar{z} = i z^{2}$ છે.
$z = x + iy$ મૂકતા,આપણને મળે $x - iy = i(x + iy)^{2}$.
$x - iy = i(x^{2} - y^{2} + 2xyi) = i(x^{2} - y^{2}) - 2xy$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$x = -2xy$ $\Rightarrow x(1 + 2y) = 0$ $\Rightarrow x = 0$ અથવા $y = -\frac{1}{2}$.
$-y = x^{2} - y^{2}$.
કિસ્સો $1$: જો $x = 0$,તો $-y = -y^{2}$ $\Rightarrow y^{2} - y = 0$ $\Rightarrow y(y - 1) = 0$. તેથી $y = 0$ અથવા $y = 1$.
બીજ $z = 0$ અને $z = i$ છે. પ્રશ્નમાં બિન-વાસ્તવિક બીજ પૂછ્યા હોવાથી,આપણે $z = i$ લઈએ છીએ.
કિસ્સો $2$: જો $y = -\frac{1}{2}$,તો $-(-\frac{1}{2}) = x^{2} - (-\frac{1}{2})^{2}$ $\Rightarrow \frac{1}{2} = x^{2} - \frac{1}{4}$ $\Rightarrow x^{2} = \frac{3}{4}$ $\Rightarrow x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.
બીજ $z = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$ અને $z = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$ છે.
બહુકોણના શિરોબિંદુઓ $(0, 1)$,$(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$,અને $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$ છે.
આ એક ત્રિકોણ બનાવે છે જેનો પાયો $b = \sqrt{3}$ અને ઊંચાઈ $h = \frac{3}{2}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times \frac{3}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

(A) આપેલ શરત $1 < |z - (3 - 2i)| < 4$ છે. ધારો કે $z = a + ib$,જ્યાં $a, b \in \mathbb{Z}$.
આ $(3, -2)$ કેન્દ્ર અને $r_1 = 1$ તથા $r_2 = 4$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે વર્તુળો વચ્ચેનો વિસ્તાર દર્શાવે છે.
અસમતા $1 < (a - 3)^2 + (b + 2)^2 < 16$ છે.
ધારો કે $x = a - 3$ અને $y = b + 2$. $a, b \in \mathbb{Z}$ હોવાથી,$x, y \in \mathbb{Z}$ થાય.
આપણે એવા પૂર્ણાંક જોડાણો $(x, y)$ શોધવાના છે કે જેથી $1 < x^2 + y^2 < 16$ થાય.
$x^2 + y^2$ માટે શક્ય કિંમતો $2, 4, 5, 8, 9, 10, 13$ છે.
- $x^2 + y^2 = 2$ માટે: $(\pm 1, \pm 1)$ $\rightarrow 4$ બિંદુઓ.
- $x^2 + y^2 = 4$ માટે: $(\pm 2, 0), (0, \pm 2)$ $\rightarrow 4$ બિંદુઓ.
- $x^2 + y^2 = 5$ માટે: $(\pm 1, \pm 2), (\pm 2, \pm 1)$ $\rightarrow 8$ બિંદુઓ.
- $x^2 + y^2 = 8$ માટે: $(\pm 2, \pm 2)$ $\rightarrow 4$ બિંદુઓ.
- $x^2 + y^2 = 9$ માટે: $(\pm 3, 0), (0, \pm 3)$ $\rightarrow 4$ બિંદુઓ.
- $x^2 + y^2 = 10$ માટે: $(\pm 1, \pm 3), (\pm 3, \pm 1)$ $\rightarrow 8$ બિંદુઓ.
- $x^2 + y^2 = 13$ માટે: $(\pm 2, \pm 3), (\pm 3, \pm 2)$ $\rightarrow 8$ બિંદુઓ.
બિંદુઓની કુલ સંખ્યા = $4 + 4 + 8 + 4 + 4 + 8 + 8 = 40$.