De Moivre's theorem and Roots of unity Questions in Gujarati

(C) આપેલ સમીકરણ $Z^2 + Z|Z| + |Z|^2 = 0$ છે.
$Z \neq 0$ હોવાથી,$|Z|^2$ વડે ભાગતા:
$\left(\frac{Z}{|Z|}\right)^2 + \left(\frac{Z}{|Z|}\right) + 1 = 0$.
ધારો કે $u = \frac{Z}{|Z|}$. અહીં $|u| = 1$ છે.
સમીકરણ $u^2 + u + 1 = 0$ બને છે.
આ દ્વિઘાત સમીકરણના ઉકેલો $u = \omega$ અને $u = \omega^2$ છે.
તેથી,$\frac{Z}{|Z|} = \omega$ અથવા $\frac{Z}{|Z|} = \omega^2$.
આમ,$Z = |Z|\omega$ અથવા $Z = |Z|\omega^2$ મળે,જ્યાં $|Z| > 0$ છે.

(B) પ્રથમ ઘાતાંક એ $a = \frac{1}{3}$ અને $r = \frac{2}{3}$ ધરાવતી અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે.
તેનો સરવાળો $S_{\infty} = \frac{a}{1-r} = \frac{1/3}{1-2/3} = 1$ થાય છે.
તેથી,$\omega^{\left(\frac{1}{3}+\frac{2}{9}+\ldots\right)} = \omega^1 = \omega$.
બીજો ઘાતાંક એ $a = \frac{1}{2}$ અને $r = \frac{3}{4}$ ધરાવતી અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે.
તેનો સરવાળો $S_{\infty} = \frac{a}{1-r} = \frac{1/2}{1-3/4} = 2$ થાય છે.
તેથી,$\omega^{\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\ldots\right)} = \omega^2$.
આ પરિણામોનો સરવાળો કરતા,$\omega + \omega^2$ મળે છે.
કારણ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$,તેથી $\omega + \omega^2 = -1$ થાય.

(A) આપેલ સમીકરણ $z^3+2z^2+2z+1=0$ ને $(z+1)(z^2+z+1)=0$ તરીકે અવયવ પાડી શકાય છે.
તેના બીજ $-1, \omega, \omega^2$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
ધારો કે $f(z) = z^{2014}+z^{2015}+1$.
$z=-1$ માટે ચકાસતા: $f(-1) = (-1)^{2014}+(-1)^{2015}+1 = 1-1+1 = 1 \neq 0$. તેથી,$-1$ સામાન્ય બીજ નથી.
$z=\omega$ માટે ચકાસતા: $f(\omega) = \omega^{2014}+\omega^{2015}+1 = (\omega^3)^{671} \cdot \omega + (\omega^3)^{671} \cdot \omega^2 + 1 = \omega + \omega^2 + 1 = 0$. તેથી,$\omega$ સામાન્ય બીજ છે.
$z=\omega^2$ માટે ચકાસતા: $f(\omega^2) = (\omega^2)^{2014}+(\omega^2)^{2015}+1 = \omega^{4028}+\omega^{4030}+1 = (\omega^3)^{1342} \cdot \omega^2 + (\omega^3)^{1343} \cdot \omega + 1 = \omega^2 + \omega + 1 = 0$. તેથી,$\omega^2$ સામાન્ય બીજ છે.
આમ,સામાન્ય બીજ $\omega$ અને $\omega^2$ છે.

(C) આપેલ છે કે $n = 3r + 1$,જ્યાં $r$ એક પૂર્ણાંક છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ અને $\omega^2 = \frac{-1-i\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$1+i\sqrt{3} = -2\omega^2$ અને $1-i\sqrt{3} = -2\omega$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$(1+i\sqrt{3})^n + (1-i\sqrt{3})^n = (-2\omega^2)^n + (-2\omega)^n$
$= (-2)^n (\omega^{2n} + \omega^n)$
કારણ કે $n = 3r+1$,તેથી $\omega^n = \omega^{3r+1} = \omega$ અને $\omega^{2n} = \omega^{6r+2} = \omega^2$.
તેથી,પદાવલિ $(-2)^n (\omega^2 + \omega)$ બને છે.
$1 + \omega + \omega^2 = 0$ હોવાથી,$\omega^2 + \omega = -1$.
આમ,પરિણામ $(-2)^n (-1) = -(-2)^n$ મળે છે.

(A) એકમના $n^{\text{th}}$ મૂળ $z_r = e^{i \frac{2\pi r}{n}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r = 0, 1, \dots, n-1$.
ધારો કે $z_1 = e^{i \frac{2\pi r_1}{n}}$ અને $z_2 = e^{i \frac{2\pi r_2}{n}}$.
ઉગમબિંદુ પર $z_1$ અને $z_2$ ને જોડતા રેખાખંડ દ્વારા આંતરેલો ખૂણો તેમના કોણાંકનો તફાવત છે: $\theta = |\arg(z_1) - \arg(z_2)| = |\frac{2\pi r_1}{n} - \frac{2\pi r_2}{n}| = \frac{2\pi}{n} |r_1 - r_2|$.
આ ખૂણો કાટખૂણો હોવાથી,$\frac{2\pi}{n} |r_1 - r_2| = \frac{\pi}{2}$.
આનું સાદુરૂપ આપતા $\frac{2}{n} |r_1 - r_2| = \frac{1}{2}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $n = 4 |r_1 - r_2|$.
અહીં $|r_1 - r_2|$ એ પૂર્ણાંક હોવાથી,ધારો કે $|r_1 - r_2| = k$,જ્યાં $k$ એ ધન પૂર્ણાંક છે.
તેથી,$n$ એ $4k$ સ્વરૂપમાં હશે.

(C) આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ: $\sum_{k=1}^6 -i \left[ \cos \left(\frac{2 \pi k}{7}\right) + i \sin \left(\frac{2 \pi k}{7}\right) \right]$
આઈલરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\cos \theta + i \sin \theta = e^{i \theta}$,પદાવલિ આ મુજબ બને છે:
$-i \sum_{k=1}^6 e^{i \frac{2 \pi k}{7}} = -i \left[ e^{i \frac{2 \pi}{7}} + e^{i \frac{4 \pi}{7}} + \dots + e^{i \frac{12 \pi}{7}} \right]$
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = e^{i \frac{2 \pi}{7}}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = e^{i \frac{2 \pi}{7}}$ છે,જ્યાં $n = 6$ પદો છે:
$-i \left[ e^{i \frac{2 \pi}{7}} \frac{1 - (e^{i \frac{2 \pi}{7}})^6}{1 - e^{i \frac{2 \pi}{7}}} \right] = -i \left[ \frac{e^{i \frac{2 \pi}{7}} - e^{i \frac{14 \pi}{7}}}{1 - e^{i \frac{2 \pi}{7}}} \right]$
કારણ કે $e^{i \frac{14 \pi}{7}} = e^{i 2 \pi} = 1$:
$-i \left[ \frac{e^{i \frac{2 \pi}{7}} - 1}{1 - e^{i \frac{2 \pi}{7}}} \right] = -i (-1) = i$

(D) કારણ કે $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_{23}$ એ એકમના $23^{rd}$ મૂળ છે,તેઓ $\alpha^{23} - 1 = 0$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha^{23} = 1$.
હવે,સરવાળો $S = \alpha_1^{47} + \alpha_2^{47} + \ldots + \alpha_{23}^{47}$ ધ્યાનમાં લો.
દરેક $k = 1, 2, \ldots, 23$ માટે $\alpha_k^{23} = 1$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ કે $\alpha_k^{47} = \alpha_k^{23 \times 2 + 1} = (\alpha_k^{23})^2 \cdot \alpha_k = (1)^2 \cdot \alpha_k = \alpha_k$.
તેથી,$S = \alpha_1 + \alpha_2 + \ldots + \alpha_{23}$.
એકમના $n^{th}$ મૂળનો સરવાળો $n > 1$ માટે $0$ થાય છે.
આમ,$\alpha_1 + \alpha_2 + \ldots + \alpha_{23} = 0$.

(A) ધારો કે $Z = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આપણે $Z$ ને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં $Z = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} = e^{i \frac{\pi}{3}}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
ચોથું મૂળ શોધવા માટે,આપણે $Z^{1/4} = (e^{i \frac{\pi}{3}})^{1/4} = e^{i \frac{\pi}{12}}$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
વ્યાખ્યા $\operatorname{cis} \theta = \cos \theta + i \sin \theta = e^{i \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $e^{i \frac{\pi}{12}} = \operatorname{cis} \frac{\pi}{12}$ મળે છે.
આમ,ચોથા મૂળ પૈકીનું એક $\operatorname{cis} \frac{\pi}{12}$ છે.

(B) ધારો કે $\omega = a$. એકમના $n$ માં મૂળ $1, \omega, \omega^2, \ldots, \omega^{n-1}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x^n - 1 = (x-1)(x-\omega)(x-\omega^2) \ldots (x-\omega^{n-1})$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\ln(x^n - 1) = \ln(x-1) + \ln(x-\omega) + \ln(x-\omega^2) + \ldots + \ln(x-\omega^{n-1})$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{n x^{n-1}}{x^n - 1} = \frac{1}{x-1} + \sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{x-\omega^i}$.
સરવાળાને અલગ કરતા:
$\sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{x-\omega^i} = \frac{n x^{n-1}}{x^n - 1} - \frac{1}{x-1}$.
$x = 2$ લેતા:
$\sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{2-\omega^i} = \frac{n \cdot 2^{n-1}}{2^n - 1} - \frac{1}{2-1} = \frac{n \cdot 2^{n-1}}{2^n - 1} - 1$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{n \cdot 2^{n-1} - (2^n - 1)}{2^n - 1} = \frac{n \cdot 2^{n-1} - 2 \cdot 2^{n-1} + 1}{2^n - 1} = \frac{(n-2) 2^{n-1} + 1}{2^n - 1}$.

(C) કારણ કે $1, \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_{n-1}$ એ એકમના $n$ માં મૂળ છે,તેથી તેઓ $x^n - 1 = 0$ સમીકરણના બીજ છે.
આમ,આપણે લખી શકીએ $x^n - 1 = (x - 1)(x - \alpha_1)(x - \alpha_2) \ldots (x - \alpha_{n-1})$.
બંને બાજુ $(x - 1)$ વડે ભાગતા,આપણને $(x - \alpha_1)(x - \alpha_2) \ldots (x - \alpha_{n-1}) = \frac{x^n - 1}{x - 1}$ મળે છે.
સમીકરણમાં $x = -1$ મૂકતા,આપણને $(-1 - \alpha_1)(-1 - \alpha_2) \ldots (-1 - \alpha_{n-1}) = \frac{(-1)^n - 1}{-1 - 1}$ મળે છે.
ડાબી બાજુના $(n-1)$ પદોમાંથી $(-1)$ સામાન્ય લેતા,આપણને $(-1)^{n-1}(1 + \alpha_1)(1 + \alpha_2) \ldots (1 + \alpha_{n-1}) = \frac{(-1)^n - 1}{-2}$ મળે છે.
$n$ એ બેકી પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવાથી,$(-1)^n = 1$ થાય.
તેથી,$(-1)^{n-1}(1 + \alpha_1)(1 + \alpha_2) \ldots (1 + \alpha_{n-1}) = \frac{1 - 1}{-2} = 0$.
$(-1)^{n-1} \neq 0$ હોવાથી,$(1 + \alpha_1)(1 + \alpha_2) \ldots (1 + \alpha_{n-1}) = 0$ થાય.

(B) આપેલ છે કે $a = \cos \left(\frac{8 \pi}{11}\right) + i \sin \left(\frac{8 \pi}{11}\right) = e^{i \frac{8 \pi}{11}}$.
કારણ કે $a^{11} = e^{i 8 \pi} = 1$,તેથી $a$ એ એકમનું $11$મું મૂળ છે.
એકમના તમામ $11$મા મૂળનો સરવાળો $1 + a + a^2 + \dots + a^{10} = 0$ થાય છે.
તેથી,$a + a^2 + a^3 + a^4 + a^5 + a^6 + a^7 + a^8 + a^9 + a^{10} = -1$.
$a^{11} = 1$ હોવાથી,આપણી પાસે $a^{10} = \bar{a}$,$a^9 = \bar{a^2}$,$a^8 = \bar{a^3}$,$a^7 = \bar{a^4}$,અને $a^6 = \bar{a^5}$ છે.
આ કિંમતોને સરવાળામાં મૂકતા,આપણને $(a + \bar{a}) + (a^2 + \bar{a^2}) + (a^3 + \bar{a^3}) + (a^4 + \bar{a^4}) + (a^5 + \bar{a^5}) = -1$ મળે છે.
ગુણધર્મ $z + \bar{z} = 2 \operatorname{Re}(z)$ નો ઉપયોગ કરતા,$2 \operatorname{Re}(a) + 2 \operatorname{Re}(a^2) + 2 \operatorname{Re}(a^3) + 2 \operatorname{Re}(a^4) + 2 \operatorname{Re}(a^5) = -1$ થાય.
તેથી,$2 \operatorname{Re}(a + a^2 + a^3 + a^4 + a^5) = -1$,જેનો અર્થ છે કે $\operatorname{Re}(a + a^2 + a^3 + a^4 + a^5) = -\frac{1}{2}$.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^6-1=0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $x^6=1$.
$\alpha$ એ બીજ હોવાથી,$\alpha^6=1$.
વળી,$\alpha \neq 1$ કારણ કે $\alpha$ એ વાસ્તવિક નથી.
અંશને $\alpha^2(1+\alpha+\alpha^2+\alpha^3)$ તરીકે લખી શકાય.
$\alpha^6-1 = (\alpha-1)(\alpha^5+\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1) = 0$ અને $\alpha \neq 1$ હોવાથી,$\alpha^5+\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2+\alpha+1 = 0$ થાય.
આથી $\alpha^5+\alpha^4+\alpha^3+\alpha^2 = -(\alpha+1)$.
આ કિંમત મૂકતા: $\frac{-(\alpha+1)}{\alpha+1} = -1$.

(C) એકમના $n$ માં મૂળ એ સમીકરણ $z^n - 1 = 0$ ના બીજ છે.
આપણે $z^n - 1$ ને આ રીતે અવયવ પાડી શકીએ:
$z^n - 1 = (z - 1)(z - z_1)(z - z_2) \ldots (z - z_{n-1})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $z^n - 1 = (z - 1)(z^{n-1} + z^{n-2} + \ldots + z + 1)$.
બંને પદોને સરખાવતા:
$(z - 1)(z^{n-1} + z^{n-2} + \ldots + z + 1) = (z - 1)(z - z_1)(z - z_2) \ldots (z - z_{n-1})$.
બંને બાજુ $(z - 1)$ વડે ભાગતા:
$z^{n-1} + z^{n-2} + \ldots + z + 1 = (z - z_1)(z - z_2) \ldots (z - z_{n-1})$.
$z = 1$ મૂકતા:
$1^{n-1} + 1^{n-2} + \ldots + 1 + 1 = (1 - z_1)(1 - z_2) \ldots (1 - z_{n-1})$.
ડાબી બાજુ $n$ પદો હોવાથી,સરવાળો $n$ થાય છે.
તેથી,$(1 - z_1)(1 - z_2) \ldots (1 - z_{n-1}) = n$.

(D) આપેલ શ્રેણી એ $a = 1$ પ્રથમ પદ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = (\cos \theta + i \sin \theta)$ ધરાવતી સમગુણોત્તર શ્રેણી છે.
સમગુણોત્તર શ્રેણીનું $n$ મું પદ $T_n = a \cdot r^{n-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$10$ માં પદ $(n = 10)$ માટે,$T_{10} = 1 \cdot (\cos \theta + i \sin \theta)^9$ થાય.
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) = e^{i n \theta}$.
$\theta = \frac{\pi}{6}$ અને $n = 9$ મૂકતા:
$T_{10} = e^{i 9 (\frac{\pi}{6})} = e^{i \frac{3\pi}{2}}$.
ઓઈલરના સૂત્ર $e^{i \phi} = \cos \phi + i \sin \phi$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_{10} = \cos(\frac{3\pi}{2}) + i \sin(\frac{3\pi}{2}) = 0 + i(-1) = -i$.

(C) આપણી પાસે છે,$\sum_{r=1}^{n-1} r(r+1-\omega)(r+1-\omega^2)$
$= \sum_{r=1}^{n-1} r((r+1)^2 - (r+1)(\omega + \omega^2) + \omega^3)$
કારણ કે $\omega^3 = 1$ અને $1 + \omega + \omega^2 = 0$,તેથી $\omega + \omega^2 = -1$.
$= \sum_{r=1}^{n-1} r((r+1)^2 + (r+1) + 1)$
$= \sum_{r=1}^{n-1} r(r^2 + 2r + 1 + r + 1 + 1) = \sum_{r=1}^{n-1} r(r^2 + 3r + 3)$
$= \sum_{r=1}^{n-1} (r^3 + 3r^2 + 3r)$
$= \left[\frac{(n-1)n}{2}\right]^2 + 3 \cdot \frac{(n-1)n(2n-2+1)}{6} + 3 \cdot \frac{(n-1)n}{2}$
$= \frac{n^2(n-1)^2}{4} + \frac{n(n-1)(2n-1)}{2} + \frac{3n(n-1)}{2}$
$= \frac{n(n-1)}{4} [n(n-1) + 2(2n-1) + 6]$
$= \frac{n(n-1)}{4} [n^2 - n + 4n - 2 + 6]$
$= \frac{n(n-1)}{4} (n^2 + 3n + 4)$

(C) ધારો કે $x=\cos \alpha+i \sin \alpha$,$y=\cos \beta+i \sin \beta$,અને $z=\cos \gamma+i \sin \gamma$.
આપેલ છે કે $x+y+z=0$,તેથી $x^3+y^3+z^3=3xyz$.
કિંમતો મૂકતા,$(\cos \alpha+i \sin \alpha)^3+(\cos \beta+i \sin \beta)^3+(\cos \gamma+i \sin \gamma)^3 = 3(\cos \alpha+i \sin \alpha)(\cos \beta+i \sin \beta)(\cos \gamma+i \sin \gamma)$.
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(\cos 3 \alpha+\cos 3 \beta+\cos 3 \gamma)+i(\sin 3 \alpha+\sin 3 \beta+\sin 3 \gamma) = 3 \cos (\alpha+\beta+\gamma)+3 i \sin (\alpha+\beta+\gamma)$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા: $\cos 3 \alpha+\cos 3 \beta+\cos 3 \gamma=3 \cos (\alpha+\beta+\gamma)$ અને $\sin 3 \alpha+\sin 3 \beta+\sin 3 \gamma=3 \sin (\alpha+\beta+\gamma)$.
$\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$4(\cos^3\alpha+\cos^3\beta+\cos^3\gamma) - 3(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma) = 3\cos(\alpha+\beta+\gamma)$.
$\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=0$ હોવાથી,$\cos^3\alpha+\cos^3\beta+\cos^3\gamma = \frac{3}{4}\cos(\alpha+\beta+\gamma)$.
તે જ રીતે,$\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^3\alpha+\sin^3\beta+\sin^3\gamma = -\frac{3}{4}\sin(\alpha+\beta+\gamma)$.
અંતે,પદાવલિ $\left(\frac{3}{4}\cos(\alpha+\beta+\gamma)\right)^2 + \left(-\frac{3}{4}\sin(\alpha+\beta+\gamma)\right)^2 = \frac{9}{16}(\cos^2(\alpha+\beta+\gamma) + \sin^2(\alpha+\beta+\gamma)) = \frac{9}{16}$ થાય છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^{11}-x^7+x^4-1=0$ છે.
પદાવલિનું અવયવીકરણ કરતા:
$x^7(x^4-1) + 1(x^4-1) = 0$
$(x^4-1)(x^7+1) = 0$.
કિસ્સો $(i)$: $x^4-1=0 \implies x^4=1$.
બીજ $k=0, 1, 2, 3$ માટે $x = e^{i(2k\pi/4)}$ છે. આ $1, i, -1, -i$ છે. કુલ $4$ ભિન્ન બીજ છે.
કિસ્સો $(ii)$: $x^7+1=0 \implies x^7=-1$.
બીજ $k=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ માટે $x = e^{i((2k+1)\pi/7)}$ છે. કુલ $7$ ભિન્ન બીજ છે.
કુલ ભિન્ન ઉકેલો શોધવા માટે,સામાન્ય બીજ તપાસીએ:
જો $x^4=1$ અને $x^7=-1$ હોય,તો $|x|=1$ થાય.
જો $x$ સામાન્ય બીજ હોય,તો $x^4=1$ અને $x^7=-1$.
તેથી $x^8 = (x^4)^2 = 1^2 = 1$.
$x^8 = x^7 \cdot x = 1$ હોવાથી,$(-1) \cdot x = 1$,એટલે કે $x = -1$.
ચકાસો કે $x = -1$ બંને સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે:
$(-1)^4 = 1$ (સાચું) અને $(-1)^7 = -1$ (સાચું).
તેથી,$x = -1$ એ એકમાત્ર સામાન્ય બીજ છે.
કુલ ભિન્ન ઉકેલો = ($x^4-1=0$ ના બીજની સંખ્યા) + ($x^7+1=0$ ના બીજની સંખ્યા) - (સામાન્ય બીજની સંખ્યા)
કુલ = $4 + 7 - 1 = 10$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2 - 2\sqrt{3}x + 4 = 0$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,બીજ $\alpha, \beta = \sqrt{3} \pm i$ મળે છે.
ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં,$\alpha = 2(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6})$ અને $\beta = 2(\cos \frac{-\pi}{6} + i \sin \frac{-\pi}{6})$.
તેથી $\alpha^{2024} - \beta^{2024} = 2^{2024} [2i \sin(\frac{2024\pi}{6})] = -i \sqrt{3} \cdot 2^{2024}$.
આમ,$\frac{2}{\sqrt{3}} |\alpha^{2024} - \beta^{2024}| = 2^{2025}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2+2x+2=0$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4-8}}{2} = -1 \pm i$.
ધારો કે $\alpha = -1+i$ અને $\beta = -1-i$.
ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં,$\alpha = \sqrt{2}(\cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4})$ અને $\beta = \sqrt{2}(\cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4})$.
તેથી $\alpha^{15} = (\sqrt{2})^{15} (\cos \frac{45\pi}{4} + i \sin \frac{45\pi}{4}) = 2^{7.5} (-\frac{1}{\sqrt{2}} - i \frac{1}{\sqrt{2}})$.
તે જ રીતે,$\beta^{15} = (\sqrt{2})^{15} (\cos \frac{75\pi}{4} + i \sin \frac{75\pi}{4}) = 2^{7.5} (-\frac{1}{\sqrt{2}} + i \frac{1}{\sqrt{2}})$.
સરવાળો કરતા,$\alpha^{15} + \beta^{15} = 2^{7.5} (-\frac{2}{\sqrt{2}}) = -2^8 = -256$.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^4+x^2+1=0$ છે.
તેના અવયવો $(x^2+x+1)(x^2-x+1)=0$ થાય.
$x^2+x+1=0$ ના બીજ $\omega$ અને $\omega^2$ છે.
$x^2-x+1=0$ ના બીજ $-\omega$ અને $-\omega^2$ છે.
શરતો મુજબ $\alpha=\omega, \beta=\omega^2$ અને $\gamma=-\omega, \delta=-\omega^2$ મળે.
હવે,$\alpha^{2023}+\beta^{2023}+\gamma^{2022}+\delta^{2022} = \omega^{2023} + (\omega^2)^{2023} + (-\omega)^{2022} + (-\omega^2)^{2022}$
$= \omega + \omega^2 + 1 + 1 = -1 + 2 = 1$.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2-2x+4=0$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,બીજ $x = \frac{2 \pm \sqrt{4-16}}{2} = 1 \pm i\sqrt{3}$ મળે છે.
ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં,$1 + i\sqrt{3} = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3}) = 2e^{i\pi/3}$ અને $1 - i\sqrt{3} = 2e^{-i\pi/3}$ છે.
તેથી,$\alpha = 2e^{i\pi/3}$ અને $\beta = 2e^{-i\pi/3}$ થાય.
હવે $\alpha^{12} = (2e^{i\pi/3})^{12} = 2^{12} e^{i4\pi} = 2^{12}(1) = 2^{12}$.
તે જ રીતે,$\beta^{12} = (2e^{-i\pi/3})^{12} = 2^{12} e^{-i4\pi} = 2^{12}(1) = 2^{12}$.
તેથી,$\alpha^{12} + \beta^{12} = 2^{12} + 2^{12} = 2 \times 2^{12} = 2^{13}$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2-x+1=0$ છે.
આ સમીકરણના બીજ $\omega$ અને $\omega^2$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
ધારો કે $\alpha = \omega$ અને $\beta = \omega^2$.
આપણે $\alpha^{2015}$ અને $\beta^{2015}$ બીજ ધરાવતું સમીકરણ શોધવાનું છે.
$\alpha^{2015} = \omega^{2015} = \omega^{3 \times 671 + 2} = \omega^2$.
$\beta^{2015} = (\omega^2)^{2015} = \omega^{4030} = \omega^{3 \times 1343 + 1} = \omega$.
નવા બીજનો સરવાળો $\alpha^{2015} + \beta^{2015} = \omega^2 + \omega = -1$ થાય.
નવા બીજનો ગુણાકાર $\alpha^{2015} \cdot \beta^{2015} = \omega^2 \cdot \omega = \omega^3 = 1$ થાય.
માંગેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^2 - (-1)x + 1 = 0$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + x + 1 = 0$ થાય છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x^3-3x^2+3x+7=0$.
આને $(x-1)^3 + 8 = 0$ તરીકે લખી શકાય,તેથી $(x-1)^3 = -8$.
આમ,$x-1 = -2, -2\omega, -2\omega^2$.
બીજ $\alpha = -1, \beta = 1-2\omega, \gamma = 1-2\omega^2$ છે.
ધારો કે $y = x-h$,તેથી $x = y+h$. સમીકરણમાં મૂકતા: $(y+h-1)^3 + 8 = 0$.
$y^2$ અને $y$ પદો ગેરહાજર રહે તે માટે,$h-1 = 0$ હોવું જોઈએ,તેથી $h=1$.
નવા બીજ $\alpha-h = -2, \beta-h = -2\omega, \gamma-h = -2\omega^2$ છે.
આપણે $S = \frac{\alpha-h}{\beta-h} + \frac{\beta-h}{\gamma-h} + \frac{\gamma-h}{\alpha-h}$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$S = \frac{-2}{-2\omega} + \frac{-2\omega}{-2\omega^2} + \frac{-2\omega^2}{-2} = \frac{1}{\omega} + \frac{1}{\omega} + \omega^2 = \omega^2 + \omega^2 + \omega^2 = 3\omega^2$.

(C) ધારો કે $z = (\sqrt{3}-i)^{2/5} = [2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i \sin(-\frac{\pi}{6}))]^{2/5}$.
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$5$ મૂલ્યો $z_k = 2^{2/5} [\cos(\frac{4k\pi}{5} - \frac{\pi}{15}) + i \sin(\frac{4k\pi}{5} - \frac{\pi}{15})]$ છે,જ્યાં $k = 0, 1, 2, 3, 4$.
સમીકરણ $z^5 = (\sqrt{3}-i)^2 = 2 - 2\sqrt{3}i$ ના બીજનો ગુણાકાર $(-1)^{n-1} c$ થાય છે.
અહીં $n=5$ અને $c = 2 - 2\sqrt{3}i$ છે.
તેથી,ગુણાકાર $= (-1)^{5-1} (2 - 2\sqrt{3}i) = 2 - 2\sqrt{3}i = 2(1 - \sqrt{3}i)$.

(B) ધારો કે $z_1 = 1+\sqrt{3}i = 2(\cos \frac{\pi}{3} + i\sin \frac{\pi}{3}) = 2e^{i\pi/3}$.
તે જ રીતે,$z_2 = 1-\sqrt{3}i = 2e^{-i\pi/3}$.
તેથી,$(1+\sqrt{3}i)^{2023} + (1-\sqrt{3}i)^{2023} = 2^{2023} (e^{i2023\pi/3} + e^{-i2023\pi/3})$.
અહીં $\frac{2023\pi}{3} = 674\pi + \frac{\pi}{3}$ હોવાથી,
$e^{i2023\pi/3} = e^{i\pi/3} = \frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,સરવાળો $= 2^{2023} (\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2^{2023}(1) = 2^{2023}$.

(C) સમીકરણ $x^2+x+1=0$ ના બીજ $\omega$ અને $\omega^2$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
$\alpha = \omega$ અને $\beta = \omega^2$ લેતા,$\alpha+\beta = -1$ અને $\alpha\beta = 1$ મળે.
કોઈપણ $n$ માટે,$\alpha^n+\beta^n = \omega^n+\omega^{2n}$.
જો $n$ એ $3$ નો ગુણક હોય,તો $\omega^n = 1$ અને $\omega^{2n} = 1$,તેથી $\alpha^n+\beta^n = 1+1 = 2$.
જો $n$ એ $3$ નો ગુણક ન હોય,તો $\alpha^n+\beta^n = \omega^n+\omega^{2n} = -1$.
આપણે $S = \sum_{n=1}^{12} (\alpha^n+\beta^n)^2$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$n=1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11$ ($8$ પદો) માટે,કિંમત $(-1)^2 = 1$ છે.
$n=3, 6, 9, 12$ ($4$ પદો) માટે,કિંમત $(2)^2 = 4$ છે.
તેથી,$S = 8 \times (1) + 4 \times (4) = 8 + 16 = 24$.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2-2x+2=0$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$x = \frac{2 \pm \sqrt{4-8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-4}}{2} = 1 \pm i$.
ધારો કે $\alpha = 1+i$ અને $\beta = 1-i$.
ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં ફેરવતા:
$\alpha = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} e^{i\pi/4}$.
$\beta = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} - i \sin \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} e^{-i\pi/4}$.
તેથી,$\alpha^{2020} = (\sqrt{2})^{2020} e^{i(2020\pi/4)} = 2^{1010} e^{i(505\pi)}$.
કારણ કે $e^{i(505\pi)} = \cos(505\pi) + i \sin(505\pi) = -1 + 0 = -1$,
$\alpha^{2020} = -2^{1010}$.
તે જ રીતે,$\beta^{2020} = (\sqrt{2})^{2020} e^{-i(505\pi)} = 2^{1010} (-1) = -2^{1010}$.
તેથી,$\alpha^{2020} + \beta^{2020} = -2^{1010} - 2^{1010} = -2 \cdot 2^{1010} = -2^{1011}$.

(B) ધારો કે $z = i^{1/4}$,જેનો અર્થ છે $z^4 = i = e^{i\pi/2}$.
સમીકરણ $z^4 - i = 0$ છે.
આ સમીકરણના બીજો $z_k = e^{i\left(\frac{\pi/2 + 2k\pi}{4}\right)}$ છે,જ્યાં $k = 0, 1, 2, 3$.
આ બીજો $e^{i\pi/8}, e^{i5\pi/8}, e^{i9\pi/8}, e^{i13\pi/8}$ છે.
આમાંથી કોઈ પણ બીજ એકબીજાના સંયુગ્મી નથી.
વિએટાના સૂત્રો મુજબ,બહુપદી $z^4 + 0z^3 + 0z^2 + 0z - i = 0$ માટે,બે-બે બીજોના ગુણાકારનો સરવાળો એ $z^2$ નો સહગુણક છે,જે $0$ છે.
તેથી,સરવાળો $0$ છે.

(A) આપેલ છે,$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)^n=1$.
આપણે સંકર સંખ્યાને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = e^{i\pi/6}$ તરીકે લખી શકીએ.
તેથી,સમીકરણ $(e^{i\pi/6})^n = 1$ બને છે,જે $e^{in\pi/6} = 1$ છે.
$e^{i\theta} = 1$ માટે,$\theta$ એ $2\pi$ નો પૂર્ણાંક ગુણક હોવો જોઈએ.
આમ,$\frac{n\pi}{6} = 2k\pi$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે.
$n = 12k$.
$k=1$ માટે,$n=12$.
તેથી,$n=12$ એ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.

(A) ધારો કે $z_1 = (-1)^{1/4}$. આપણે $-1 = \cos(\pi + 2k\pi) + i\sin(\pi + 2k\pi) = e^{i(\pi + 2k\pi)}$ લખી શકીએ.
તેથી,$z_1 = e^{i(\frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2})}$ જ્યાં $k = 0, 1, 2, 3$.
કિંમતો $e^{i\pi/4}, e^{i3\pi/4}, e^{i5\pi/4}, e^{i7\pi/4}$ છે.
ધારો કે $z_2 = (-i)^{1/2}$. આપણે $-i = \cos(\frac{3\pi}{2} + 2n\pi) + i\sin(\frac{3\pi}{2} + 2n\pi) = e^{i(\frac{3\pi}{2} + 2n\pi)}$ લખી શકીએ.
તેથી,$z_2 = e^{i(\frac{3\pi}{4} + n\pi)}$ જ્યાં $n = 0, 1$.
કિંમતો $e^{i3\pi/4}$ અને $e^{i7\pi/4}$ છે.
સામાન્ય કિંમતો $e^{i3\pi/4}$ અને $e^{i7\pi/4}$ છે.
$e^{i3\pi/4}$ માટે,$\alpha = \frac{3\pi}{4}$,તેથી $\tan \alpha = \tan(\frac{3\pi}{4}) = -1$.
$e^{i7\pi/4}$ માટે,$\alpha = \frac{7\pi}{4}$,તેથી $\tan \alpha = \tan(\frac{7\pi}{4}) = -1$.
તેથી,$\tan \alpha = -1$.

(C) આપેલ સમીકરણ $(z-4)^3=8 i$ છે. ધારો કે $w = z-4$,તો $w^3 = 8 i = 8 e^{i \pi/2}$.
બીજ $w_k = 2 e^{i(\pi/2 + 2k\pi)/3}$ છે,જ્યાં $k=0, 1, 2$.
$k=0$ માટે,$w_0 = \sqrt{3} + i$.
$k=1$ માટે,$w_1 = -\sqrt{3} + i$.
$k=2$ માટે,$w_2 = -2 i$.
$z = w+4$ હોવાથી,બીજ $z_0 = 4+\sqrt{3}+i$,$z_1 = 4-\sqrt{3}+i$,અને $z_2 = 4-2 i$ છે.
$a-2 i, b+i, c+i$ સાથે સરખાવતા,$a=4, b=4+\sqrt{3}, c=4-\sqrt{3}$ મળે.
તેથી $abc = 4(4+\sqrt{3})(4-\sqrt{3}) = 4(16-3) = 52$.
આમ,$\sqrt{abc} = \sqrt{52} = 2 \sqrt{13}$.

(D) આપેલ છે કે $A_n = \cos \left(\frac{\pi}{2^n}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{2^n}\right) = e^{i \frac{\pi}{2^n}}$.
તેથી,$A_1 A_2 A_3 A_4 = e^{i \pi \left(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}\right)}$.
ઘાતાંકોનો સરવાળો: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.
તેથી,$(A_1 A_2 A_3 A_4)^4 = (e^{i \pi \frac{15}{16}})^4 = e^{i \pi \frac{15}{4}}$.
$e^{i \frac{15\pi}{4}} = e^{i (4\pi - \frac{\pi}{4})} = \cos(4\pi - \frac{\pi}{4}) + i \sin(4\pi - \frac{\pi}{4})$.
$= \cos(\frac{\pi}{4}) - i \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}} - i \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1-i}{\sqrt{2}}$.

(C) ધારો કે $z_1 = \sqrt{3}-i = 2(\cos(-\frac{\pi}{6}) + i\sin(-\frac{\pi}{6}))$. તેથી $z_1^{2016} = 2^{2016}(\cos(-336\pi) + i\sin(-336\pi)) = 2^{2016}$.
ધારો કે $z_2 = -\sqrt{3}-i = 2(\cos(-\frac{5\pi}{6}) + i\sin(-\frac{5\pi}{6}))$. તેથી $z_2^{2019} = 2^{2019}(\cos(-\frac{3365\pi}{2}) + i\sin(-\frac{3365\pi}{2})) = -i 2^{2019}$.
સરવાળો $2^{2016} - i 2^{2019}$ થાય છે.
તેથી,કાલ્પનિક ભાગ $-2^{2019}$ છે.

(B) આપેલ છે,$i z^4 + 1 = 0$.
$i z^4 = -1$.
$z^4 = \frac{-1}{i} = i$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $i = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}$.
તેથી,$z^4 = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}$.
ડી મોઈવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$z = \left(\cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2}\right)^{\frac{1}{4}} = \cos \frac{\pi}{8} + i \sin \frac{\pi}{8}$.
આમ,$z$ નો વાસ્તવિક ભાગ $\operatorname{Re}(z) = \cos \frac{\pi}{8}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $z = \cos \alpha + i \sin \alpha$,જ્યાં $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$.
ડી-મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$z^n = \cos(n\alpha) + i \sin(n\alpha)$.
$\frac{1+z^4}{1-z^3} = \frac{1 + \cos 4\alpha + i \sin 4\alpha}{1 - \cos 3\alpha - i \sin 3\alpha}$
$= \frac{2 \cos^2 2\alpha + 2i \sin 2\alpha \cos 2\alpha}{2 \sin^2 \frac{3\alpha}{2} - 2i \sin \frac{3\alpha}{2} \cos \frac{3\alpha}{2}}$
$= \frac{2 \cos 2\alpha (\cos 2\alpha + i \sin 2\alpha)}{2 \sin \frac{3\alpha}{2} (\sin \frac{3\alpha}{2} - i \cos \frac{3\alpha}{2})}$
બંને બાજુ માનાંક લેતા:
$\left|\frac{1+z^4}{1-z^3}\right| = \left| \frac{\cos 2\alpha}{\sin \frac{3\alpha}{2}} \right| \times \frac{|\cos 2\alpha + i \sin 2\alpha|}{|\sin \frac{3\alpha}{2} - i \cos \frac{3\alpha}{2}|}$
કારણ કે $|\cos \theta + i \sin \theta| = 1$ અને $|\sin \theta - i \cos \theta| = 1$,
$\left|\frac{1+z^4}{1-z^3}\right| = \frac{\cos 2\alpha}{\sin \frac{3\alpha}{2}}$.

(A) આપેલ છે કે,$n=8$.
આપણે $(\sqrt{3}+i)^8+(\sqrt{3}-i)^8$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પ્રથમ,સંકર સંખ્યાઓને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં ફેરવો: $\sqrt{3}+i = 2(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}) = 2e^{i\pi/6}$ અને $\sqrt{3}-i = 2(\cos \frac{\pi}{6} - i \sin \frac{\pi}{6}) = 2e^{-i\pi/6}$.
તેથી,$(\sqrt{3}+i)^8 = (2e^{i\pi/6})^8 = 2^8 e^{i8\pi/6} = 256 e^{i4\pi/3}$.
અને $(\sqrt{3}-i)^8 = (2e^{-i\pi/6})^8 = 2^8 e^{-i8\pi/6} = 256 e^{-i4\pi/3}$.
બંનેનો સરવાળો કરતા: $256(e^{i4\pi/3} + e^{-i4\pi/3}) = 256(2 \cos \frac{4\pi}{3})$.
કારણ કે $\cos \frac{4\pi}{3} = \cos(240^\circ) = -\frac{1}{2}$,
તેથી અભિવ્યક્તિ $256 \times 2 \times (-\frac{1}{2}) = -256$ થાય છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^{11}-x^7+x^4-1=0$ છે.
અવયવ પાડતા:
$x^7(x^4-1) + 1(x^4-1) = 0$
$(x^7+1)(x^4-1) = 0$
આનો અર્થ એ છે કે $x^7 = -1$ અથવા $x^4 = 1$.
$x^4 = 1$ માટે,બીજ $1, -1, i, -i$ છે. બીજ $i$ નો કોણાંક $\frac{\pi}{2}$ છે,જે પ્રથમ ચરણની સીમા પર છે.
$x^7 = -1$ માટે,બીજ $e^{i(\frac{(2k+1)\pi}{7})}$ છે,જ્યાં $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$.
કોણાંક $\frac{\pi}{7}, \frac{3\pi}{7}, \frac{5\pi}{7}, \pi, \frac{9\pi}{7}, \frac{11\pi}{7}, \frac{13\pi}{7}$ છે.
પ્રથમ ચરણમાં $(0 < \theta < \frac{\pi}{2})$ આવતા કોણાંક $\frac{\pi}{7}$ અને $\frac{3\pi}{7}$ છે.
આમ,આવા $2$ બીજ છે.

(B) આપેલ છે કે $z+\frac{1}{z}=1$,જેનો અર્થ છે $z^2-z+1=0$.
આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $z = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} = -\omega$ અને $-\omega^2$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
ધારો કે $E = \frac{(z^{20}+1)(z^{40}+1)(z^{60}+1)}{z^{60}}$.
$z = -\omega$ માટે:
$z^{20} = \omega^2, z^{40} = \omega, z^{60} = 1$.
કિંમતો મૂકતા:
$E = \frac{(\omega^2+1)(\omega+1)(1+1)}{1} = 2(\omega^3 + \omega^2 + \omega + 1) = 2(1 + 0) = 2$.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2-4x+8=0$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,બીજ $\alpha, \beta = \frac{4 \pm \sqrt{16-32}}{2} = \frac{4 \pm 4i}{2} = 2 \pm 2i$ મળે છે.
ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં ફેરવતા: $\alpha, \beta = 2\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} \pm i\sin \frac{\pi}{4})$.
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\alpha^{2n} = 2^{3n}(\cos \frac{n\pi}{2} + i\sin \frac{n\pi}{2})$ અને $\beta^{2n} = 2^{3n}(\cos \frac{n\pi}{2} - i\sin \frac{n\pi}{2})$.
બંનેનો સરવાળો કરતા,$\alpha^{2n} + \beta^{2n} = 2^{3n} \cdot 2 \cos \frac{n\pi}{2} = 2^{3n+1} \cos \frac{n\pi}{2}$.

(A) આપેલ છે કે $\alpha = \omega + 2\omega^2 - 3$.
કારણ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$,તેથી $\omega + \omega^2 = -1$.
આ કિંમત $\alpha$ માં મૂકતા:
$\alpha = (\omega + \omega^2) + \omega^2 - 3 = -1 + \omega^2 - 3 = \omega^2 - 4$.
તેથી,$\omega^2 = \alpha + 4$.
બંને બાજુ ઘન કરતા,$(\omega^2)^3 = (\alpha + 4)^3$.
કારણ કે $\omega^3 = 1$,તેથી $\omega^6 = 1$.
આમ,$1 = \alpha^3 + 3(\alpha^2)(4) + 3(\alpha)(4^2) + 4^3$.
$1 = \alpha^3 + 12\alpha^2 + 48\alpha + 64$.
બંને બાજુથી $61$ બાદ કરતા:
$\alpha^3 + 12\alpha^2 + 48\alpha + 3 = 1 - 64 = -63$.

(C) સમીકરણ $x^2+2x+4=0$ ને $(x+1)^2+3=0$ તરીકે લખી શકાય.
$x$ માટે ઉકેલતા,$x = -1 \pm \sqrt{3}i$ મળે.
$\alpha$ બીજા ચરણમાં હોવાથી,$\alpha = -1 + \sqrt{3}i = 2\text{cis}(\frac{2\pi}{3})$.
તેથી $\beta = -1 - \sqrt{3}i = 2\text{cis}(-\frac{2\pi}{3})$.
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$\alpha^{2024} = 2^{2024}\text{cis}(\frac{4\pi}{3})$ અને $\beta^{2024} = 2^{2024}\text{cis}(-\frac{4\pi}{3})$.
હવે,$\alpha^{2024}-\beta^{2024} = 2^{2024}(\text{cis}(\frac{4\pi}{3}) - \text{cis}(-\frac{4\pi}{3}))$.
$= 2^{2024}(i\sin(\frac{4\pi}{3}) - i\sin(-\frac{4\pi}{3})) = 2^{2024}(-i\sqrt{3}) = -2^{2024}\sqrt{3}i$.
$ik$ સાથે સરખાવતા,$k = -2^{2024}\sqrt{3}$ મળે.

(C) આપેલ છે કે $x_n = \cos \frac{\pi}{2^n} + i \sin \frac{\pi}{2^n} = e^{i \frac{\pi}{2^n}}$.
આપણે ગુણાકાર $P = \prod_{n=1}^{\infty} x_n$ શોધવો છે.
$P = \prod_{n=1}^{\infty} e^{i \frac{\pi}{2^n}} = e^{i \pi \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}}$.
ભૌમિતિક શ્રેણીનો સરવાળો $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} = \frac{1/2}{1 - 1/2} = 1$ છે.
તેથી,$P = e^{i \pi (1)} = e^{i \pi}$.
ઓઈલરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1 + 0i = -1$.

(C) ધારો કે $z = \frac{1+\sin \frac{2 \pi}{9}+i \cos \frac{2 \pi}{9}}{1+\sin \frac{2 \pi}{9}-i \cos \frac{2 \pi}{9}}$.
$\sin \theta = \cos(\frac{\pi}{2} - \theta)$ અને $\cos \theta = \sin(\frac{\pi}{2} - \theta)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\pi}{2} - \frac{2 \pi}{9} = \frac{5 \pi}{18}$ મળે.
તેથી,$z = \frac{1+\cos \frac{5 \pi}{18}+i \sin \frac{5 \pi}{18}}{1+\cos \frac{5 \pi}{18}-i \sin \frac{5 \pi}{18}}$.
અડધા ખૂણાના સૂત્રો $1+\cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$ અને $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$z = \frac{2 \cos^2 \frac{5 \pi}{36} + i 2 \sin \frac{5 \pi}{36} \cos \frac{5 \pi}{36}}{2 \cos^2 \frac{5 \pi}{36} - i 2 \sin \frac{5 \pi}{36} \cos \frac{5 \pi}{36}} = \frac{\cos \frac{5 \pi}{36} + i \sin \frac{5 \pi}{36}}{\cos \frac{5 \pi}{36} - i \sin \frac{5 \pi}{36}} = \frac{e^{i 5 \pi / 36}}{e^{-i 5 \pi / 36}} = e^{i 5 \pi / 18}$.
$z^n = 1$ આપેલ હોવાથી,$(e^{i 5 \pi / 18})^n = e^{i 5 n \pi / 18} = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{5 n \pi}{18} = 2 k \pi$ કોઈ પૂર્ણાંક $k$ માટે.
$n = \frac{36 k}{5}$.
$n$ ન્યૂનતમ ધન પૂર્ણાંક હોય તે માટે,$k=5$ લેતા,$n = 36$ મળે.