De Moivre's theorem and Roots of unity Questions in Gujarati

(A) આપેલ સમીકરણ: $(x-1)^3+64=0$
$\Rightarrow (x-1)^3 = -64$
$\Rightarrow (x-1)^3 = (-4)^3$
ધારો કે $y = x-1$,તો $y^3 = (-4)^3$. બીજો $y = -4, -4\omega, -4\omega^2$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
તેથી,$x-1 = -4, -4\omega, -4\omega^2$.
બીજો $x_1 = -3$,$x_2 = 1-4\omega$,અને $x_3 = 1-4\omega^2$ છે.
સંકર બીજો $x_2 = 1-4\omega$ અને $x_3 = 1-4\omega^2$ છે.
સંકર બીજોનો સરવાળો $= (1-4\omega) + (1-4\omega^2) = 2 - 4(\omega + \omega^2)$.
કારણ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$,તેથી $\omega + \omega^2 = -1$.
સરવાળો $= 2 - 4(-1) = 2 + 4 = 6$.

(A) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $2$ ના અવાસ્તવિક ઘનમૂળ છે.
$2$ ના ઘનમૂળ $2^{1/3}, 2^{1/3}\omega, 2^{1/3}\omega^2$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
અવાસ્તવિક ઘનમૂળ $\alpha = 2^{1/3}\omega$ અને $\beta = 2^{1/3}\omega^2$ છે.
હવે,$\alpha^6 + \beta^6 = (2^{1/3}\omega)^6 + (2^{1/3}\omega^2)^6$.
$= 2^2 \omega^6 + 2^2 \omega^{12}$.
$= 4(\omega^3)^2 + 4(\omega^3)^4$.
$\omega^3 = 1$ હોવાથી,$4(1)^2 + 4(1)^4 = 4 + 4 = 8$.

(A) આપેલ સમીકરણ $1+x+x^2=0$ છે.
$(x-1)$ વડે ગુણતા,$(x-1)(1+x+x^2)=0$ મળે,જેનો અર્થ છે $x^3-1=0$,તેથી $x^3=1$.
$1+x+x^2=0$ ના બીજ એ એકમના સંકર ઘનમૂળ $\omega$ અને $\omega^2$ છે.
ધારો કે $\alpha = \omega$ અને $\beta = \omega^2$.
આપણે $\alpha^4+\beta^4+\alpha^{-4}\beta^{-4}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\alpha^3 = 1$ અને $\beta^3 = 1$ હોવાથી,$\alpha^4 = \alpha^3 \cdot \alpha = \alpha = \omega$ અને $\beta^4 = (\omega^2)^4 = \omega^8 = \omega^6 \cdot \omega^2 = \omega^2$ મળે.
વળી,$\alpha^{-4}\beta^{-4} = (\alpha\beta)^{-4} = (\omega \cdot \omega^2)^{-4} = (\omega^3)^{-4} = (1)^{-4} = 1$.
આમ,$\alpha^4+\beta^4+\alpha^{-4}\beta^{-4} = \omega + \omega^2 + 1$.
$1+\omega+\omega^2 = 0$ હોવાથી,જવાબ $0$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે,તેથી $\omega^3 = 1$ અને $1 + \omega + \omega^2 = 0$ થાય.
પદાવલિ $(x+1)(x+\omega)(x-\omega-1)$ ધ્યાનમાં લો.
નોંધો કે $-\omega-1 = \omega^2$ કારણ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$.
તેથી,પદાવલિ $(x+1)(x+\omega)(x+\omega^2)$ બને છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x-a)(x-b)(x-c) = x^3 - (a+b+c)x^2 + (ab+bc+ca)x - abc$.
અહીં,બીજ $-1, -\omega, -\omega^2$ છે.
તેથી,$(x+1)(x+\omega)(x+\omega^2) = x^3 - (-1-\omega-\omega^2)x^2 + (\omega+\omega^2+\omega^3)x - (1)(\omega)(\omega^2)$.
કારણ કે $1+\omega+\omega^2=0$,તેથી $-1-\omega-\omega^2=0$.
વળી,$\omega+\omega^2+\omega^3 = -1 + 1 = 0$.
અને $\omega^3 = 1$.
તેથી,પદાવલિ $x^3 - (0)x^2 + (0)x - 1 = x^3 - 1$ માં પરિણમે છે.

(C) આપેલ છે કે $n = 3r + 1$,જ્યાં $r$ એ પૂર્ણાંક છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ અને $\omega^2 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}$.
તેથી,$1 + i\sqrt{3} = -2\omega^2$ અને $1 - i\sqrt{3} = -2\omega$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$(1 + i\sqrt{3})^n + (1 - i\sqrt{3})^n = (-2\omega^2)^n + (-2\omega)^n$
$= (-2)^n (\omega^{2n} + \omega^n)$
$n = 3r + 1$ હોવાથી,$\omega^n = \omega$ અને $\omega^{2n} = \omega^2$.
તેથી,પદાવલિ $(-2)^n (\omega^2 + \omega)$ બને છે.
$1 + \omega + \omega^2 = 0$ હોવાથી,$\omega^2 + \omega = -1$.
આમ,પરિણામ $(-2)^n (-1) = -(-2)^n$ મળે છે.

(D) આપેલ પદાવલિ: $225+(3 \omega+8 \omega^2)^2+(3 \omega^2+8 \omega)^2$
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા: $225 + (9 \omega^2 + 64 \omega^4 + 48 \omega^3) + (9 \omega^4 + 64 \omega^2 + 48 \omega^3)$
$\omega^3 = 1$ અને $\omega^4 = \omega$ ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા: $225 + 9 \omega^2 + 64 \omega + 48 + 9 \omega + 64 \omega^2 + 48$
પદોને જૂથમાં ગોઠવતા: $225 + 73(\omega^2 + \omega) + 96$
કારણ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$,તેથી $\omega^2 + \omega = -1$: $225 + 73(-1) + 96$
અંતિમ કિંમત: $225 - 73 + 96 = 152 + 96 = 248$

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $1+\omega+\omega^2 = 0$,તેથી $1+\omega = -\omega^2$.
આપણે $-\omega^2$ ના $7^{\text{th}}$ મૂળ શોધી રહ્યા છીએ.
જો $z = -\omega^2$ લઈએ,તો $z^7 = (-\omega^2)^7 = -\omega^{14} = -\omega^2 = 1+\omega$.
આમ,$z = -\omega^2$ એ $1+\omega$ નું એક $7^{\text{th}}$ મૂળ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $x^{14}+x^9-x^5-1=0$
પદાવલિનું અવયવીકરણ કરતા: $x^9(x^5+1) - 1(x^5+1) = 0$
$(x^9-1)(x^5+1) = 0$
આનો અર્થ એ છે કે $x^5 = -1$ અથવા $x^9 = 1$.
$x^5 = -1$ માટે,$x^5 = \cos(180^{\circ}) + i\sin(180^{\circ})$.
બીજ $x = \cos(\frac{180^{\circ}+360^{\circ}k}{5}) + i\sin(\frac{180^{\circ}+360^{\circ}k}{5})$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $k=0, 1, 2, 3, 4$.
$k=0$ માટે,$x = \cos(36^{\circ}) + i\sin(36^{\circ})$.
ત્રિકોણમિતીય કિંમતોનો ઉપયોગ કરતા,$\cos(36^{\circ}) = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ અને $\sin(36^{\circ}) = \frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$.
આમ,$x = \frac{\sqrt{5}+1}{4} + i\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$ એ એક બીજ છે.

(C) આપેલ છે કે $1, \omega, \omega^2$ એ એકમના ઘનમૂળ છે,તેથી $1+\omega+\omega^2=0$.
એકમના ચતુર્થ મૂળ $1, i, -1, -i$ છે.
ધારો કે $\alpha = i$. તો $\alpha^2 = -1$ અને $\alpha^3 = -i$.
પદાવલિ $\alpha+\alpha \omega-\alpha^3 \omega^2$ માં કિંમતો મૂકતા:
$\alpha+\alpha \omega-\alpha^3 \omega^2 = i + i\omega - (-i)\omega^2$
$= i(1+\omega+\omega^2)$
કારણ કે $1+\omega+\omega^2=0$,તેથી પદાવલિ $i(0) = 0$ થાય છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $(x-1)^5=32(x+1)^5$ છે.
બંને બાજુ $(x+1)^5$ વડે ભાગતા,$\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^5=32$ મળે.
ધારો કે $z = \frac{x-1}{x+1}$. તો $z^5 = 32 = 2^5 \cdot e^{i(2k\pi)}$,જ્યાં $k=0, 1, 2, 3, 4$.
તેથી,$z = 2 e^{\frac{2k\pi i}{5}}$.
કિંમત પાછી મૂકતા,$\frac{x-1}{x+1} = 2 e^{\frac{2k\pi i}{5}}$.
ધારો કે $\alpha = 2 e^{\frac{2k\pi i}{5}}$. તો $\frac{x-1}{x+1} = \alpha$.
$x-1 = \alpha(x+1)$ $\Rightarrow x(1-\alpha) = 1+\alpha$ $\Rightarrow x = \frac{1+\alpha}{1-\alpha}$.
$\alpha$ ની કિંમત મૂકતા,$x = \frac{1+2 e^{\frac{2k\pi i}{5}}}{1-2 e^{\frac{2k\pi i}{5}}}$ જ્યાં $k=0, 1, 2, 3, 4$.

(C) આપેલ સમીકરણ $(z+1)^n = z^n$ છે. $z=0$ એ ઉકેલ ન હોવાથી, આપણે લખી શકીએ $(\frac{z+1}{z})^n = 1$.
ધારો કે $\frac{z+1}{z} = \omega_k = e^{i \frac{2k\pi}{n}}$ જ્યાં $k = 1, 2, \ldots, n-1$.
તેથી $z+1 = z \omega_k \Rightarrow z(1 - \omega_k) = -1 \Rightarrow z = \frac{1}{\omega_k - 1}$.
$\omega_k = \cos(\frac{2k\pi}{n}) + i \sin(\frac{2k\pi}{n})$ મૂકતા, આપણને મળે $z = \frac{1}{\cos(\frac{2k\pi}{n}) - 1 + i \sin(\frac{2k\pi}{n})} = \frac{1}{-2 \sin^2(\frac{k\pi}{n}) + 2i \sin(\frac{k\pi}{n}) \cos(\frac{k\pi}{n})} = \frac{1}{2i \sin(\frac{k\pi}{n}) [\cos(\frac{k\pi}{n}) + i \sin(\frac{k\pi}{n})]} = \frac{1}{2i \sin(\frac{k\pi}{n}) e^{i \frac{k\pi}{n}}} = \frac{1}{2} (-i \csc(\frac{k\pi}{n})) e^{-i \frac{k\pi}{n}} = \frac{1}{2} (-i \csc(\frac{k\pi}{n})) (\cos(\frac{k\pi}{n}) - i \sin(\frac{k\pi}{n})) = \frac{1}{2} (-i \cot(\frac{k\pi}{n}) - 1)$.
આમ, $\operatorname{Re}(z_k) = -\frac{1}{2}$ અને $\operatorname{Im}(z_k) = -\frac{1}{2} \cot(\frac{k\pi}{n})$.
સરવાળો $n-1$ બીજ પર છે. આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા: $\sum_{k=1}^{n-1} \frac{\cot^{-1}(|\cot(\frac{k\pi}{n})|) - 1}{-1} = \sum_{k=1}^{n-1} (1 - \frac{k\pi}{n}) = (n-1) - \frac{\pi}{n} \frac{(n-1)n}{2} = (n-1)(1 - \frac{\pi}{2}) = \frac{n-1}{2}(2 - \pi)$.

(D) એકમના $n$-મા મૂળ સમીકરણ $x^n - 1 = 0$ નું સમાધાન કરે છે.
તેથી,આપણે $x^n - 1 = (x - \omega_0)(x - \omega_1) \ldots (x - \omega_{n-1})$ લખી શકીએ.
ગુણાકાર $(1+2 \omega_0)(1+2 \omega_1) \ldots (1+2 \omega_{n-1})$ શોધવા માટે,આપણે $2^n$ સામાન્ય કાઢીશું:
$2^n (\frac{1}{2} + \omega_0)(\frac{1}{2} + \omega_1) \ldots (\frac{1}{2} + \omega_{n-1})$.
ધારો કે $x = -\frac{1}{2}$. તો $x^n - 1 = (-\frac{1}{2})^n - 1 = (-\frac{1}{2} - \omega_0)(-\frac{1}{2} - \omega_1) \ldots (-\frac{1}{2} - \omega_{n-1})$.
$(-1)^n$ વડે ગુણતા,આપણને મળે: $(-1)^n (x^n - 1) = (\omega_0 + \frac{1}{2})(\omega_1 + \frac{1}{2}) \ldots (\omega_{n-1} + \frac{1}{2})$.
$x = -\frac{1}{2}$ મૂકતા:
$(-1)^n ((-\frac{1}{2})^n - 1) = (\frac{1}{2} + \omega_0)(\frac{1}{2} + \omega_1) \ldots (\frac{1}{2} + \omega_{n-1})$.
બંને બાજુ $2^n$ વડે ગુણતા:
$2^n (\frac{1}{2} + \omega_0) \ldots (\frac{1}{2} + \omega_{n-1}) = 2^n (-1)^n ((-1)^n \frac{1}{2^n} - 1) = 1 + (-1)^{n-1} 2^n$.

(B) ધારો કે $z = 1+i\sqrt{3}$. આપણે $z$ ના $(2n)^{\text{th}}$ મૂળનો ગુણાકાર શોધવો છે.
સમીકરણ $w^{2n} - z = 0$ ના મૂળનો ગુણાકાર $(-1)^{2n} \times (-z) = -z$ થાય.
તેથી,ગુણાકાર $-(1+i\sqrt{3}) = -1-i\sqrt{3}$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે,તેથી $1 + \omega + \omega^2 = 0$ અને $\omega^3 = 1$ થાય.
$x = \omega^2 - \omega + 2$ હોવાથી,આપણે $\omega^2 = -1 - \omega$ મૂકી શકીએ:
$x = (-1 - \omega) - \omega + 2 = 1 - 2\omega$.
તેથી,$2\omega = 1 - x$,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \frac{1 - x}{2}$.
આ કિંમતને $1 + \omega + \omega^2 = 0$ માં મૂકતા:
$1 + \left(\frac{1 - x}{2}\right) + \left(\frac{1 - x}{2}\right)^2 = 0$.
છેદ દૂર કરવા માટે $4$ વડે ગુણતા:
$4 + 2(1 - x) + (1 - x)^2 = 0$.
$4 + 2 - 2x + 1 - 2x + x^2 = 0$.
$x^2 - 4x + 7 = 0$.

(C) આપેલ સમીકરણ $(x+1)^4 + 81 = 0$ છે.
ધારો કે $y = x+1$,તેથી $y^4 = -81$.
આપણે $-81 = 81 e^{i(\pi + 2k\pi)}$ લખી શકીએ,જ્યાં $k = 0, 1, 2, 3$.
ચોથું મૂળ લેતા,$y = 3 e^{i(\frac{\pi + 2k\pi}{4})}$.
$k=0$ માટે,$y = 3 e^{i\pi/4} = 3(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}) = \frac{3(1+i)}{\sqrt{2}}$.
તેથી $x = y - 1 = -1 + \frac{3(1+i)}{\sqrt{2}}$.
આથી વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) આપેલ છે કે $\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}=2 \cos \theta$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $x+\frac{1}{x}+2=4 \cos^2 \theta$.
તેથી,$x+\frac{1}{x}=2(2 \cos^2 \theta - 1) = 2 \cos 2 \theta$.
ધારો કે $x = e^{i2\theta}$,તો $x^n + x^{-n} = 2 \cos(n \cdot 2\theta) = 2 \cos(2n\theta)$.
$n=6$ માટે,$x^6 + x^{-6} = 2 \cos(2 \times 6 \theta) = 2 \cos 12 \theta$.

(D) સમીકરણ $x^2+x+1=0$ ના બીજ એકમના સંકર ઘનમૂળ $\omega$ અને $\omega^2$ છે.
ધારો કે $\alpha = \omega$ અને $\beta = \omega^2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega^3 = 1$ અને $1 + \omega + \omega^2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\omega + \omega^2 = -1$.
નવા બીજની ગણતરી:
$\alpha^{19} = \omega^{19} = (\omega^3)^6 \cdot \omega = 1^6 \cdot \omega = \omega$.
$\beta^7 = (\omega^2)^7 = \omega^{14} = (\omega^3)^4 \cdot \omega^2 = 1^4 \cdot \omega^2 = \omega^2$.
$\alpha^{19}$ અને $\beta^7$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\alpha^{19} + \beta^7)x + (\alpha^{19} \cdot \beta^7) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$x^2 - (\omega + \omega^2)x + (\omega \cdot \omega^2) = 0$.
કારણ કે $\omega + \omega^2 = -1$ અને $\omega^3 = 1$,સમીકરણ આ મુજબ બને છે:
$x^2 - (-1)x + 1 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + x + 1 = 0$ થાય છે.

(D) સમીકરણ $x^2+x+1=0$ ના બીજ એકમના સંકર ઘનમૂળ $\omega$ અને $\omega^2$ છે.
ધારો કે $\alpha = \omega$ અને $\beta = \omega^2$.
આપણે એવું સમીકરણ શોધવાનું છે જેના બીજ $\alpha^{19}$ અને $\beta^7$ હોય.
$\omega^3 = 1$ હોવાથી,$\alpha^{19} = \omega^{19} = (\omega^3)^6 \cdot \omega = 1^6 \cdot \omega = \omega$.
તે જ રીતે,$\beta^7 = (\omega^2)^7 = \omega^{14} = (\omega^3)^4 \cdot \omega^2 = 1^4 \cdot \omega^2 = \omega^2$.
નવા બીજ $\omega$ અને $\omega^2$ છે,જે મૂળ બીજ સમાન છે.
તેથી,માંગેલ સમીકરણ $x^2+x+1=0$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\phi(x) = f(x^3) + x g(x^3)$ એ $x^2 + x + 1$ વડે વિભાજ્ય છે.
ધારો કે $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે,તેથી $\omega^2 + \omega + 1 = 0$ અને $\omega^3 = 1$.
$\phi(x)$ એ $x^2 + x + 1$ વડે વિભાજ્ય હોવાથી,$\phi(\omega) = 0$ થાય.
$\phi(\omega) = f(\omega^3) + \omega g(\omega^3) = f(1) + \omega g(1) = 0$.
તે જ રીતે,$\phi(\omega^2) = f(\omega^6) + \omega^2 g(\omega^6) = f(1) + \omega^2 g(1) = 0$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(\omega - \omega^2) g(1) = 0$.
$\omega \neq \omega^2$ હોવાથી,$g(1) = 0$ મળે.
$f(1) + \omega g(1) = 0$ માં $g(1) = 0$ મૂકતા,$f(1) = 0$ મળે.
આમ,$f(1) = 0$ અને $g(1) = 0$ હોવાથી,$f(x)$ અને $g(x)$ બંને $(x-1)$ વડે વિભાજ્ય છે.

(D) ધારો કે $z = \frac{3}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2} \right) = \sqrt{3} \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right) = \sqrt{3} e^{i \frac{\pi}{6}}$.
તેથી,$\left( \frac{3}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{50} = (\sqrt{3})^{50} e^{i \frac{50\pi}{6}} = 3^{25} e^{i \frac{25\pi}{3}}$.
કારણ કે $\frac{25\pi}{3} = 8\pi + \frac{\pi}{3}$,તેથી $e^{i \frac{25\pi}{3}} = e^{i \frac{\pi}{3}} = \cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}$.
આમ,$3^{25} (x + iy) = 3^{25} \left( \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા,આપણને $x = \frac{1}{2}$ અને $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે છે.

(C) ધારો કે $p = e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$,જ્યાં $|p| = 1$.
તેથી $p^{4} = e^{i4\theta} = \cos(4\theta) + i \sin(4\theta)$.
$p^{4}$ નો કાલ્પનિક ભાગ $\sin(4\theta)$ છે.
આપણને આપેલ છે કે $\text{Im}(p^{4}) = 0$,તેથી $\sin(4\theta) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $4\theta = n\pi$ કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે,અથવા $\theta = \frac{n\pi}{4}$.
$p$ માટે એકમ વર્તુળ પર અલગ કિંમતો મેળવવા માટે,આપણે $\theta \in [0, 2\pi)$ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
$\theta$ માટે શક્ય કિંમતો $0, \frac{\pi}{4}, \frac{2\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{4\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}, \frac{6\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$ છે.
આમ,$\theta$ ની $8$ કિંમતો મળે છે,જે $8$ અલગ સંકર સંખ્યાઓ $p$ દર્શાવે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \ldots + a_{n-1} x + a_n = 0$ છે.
$x = \cos \theta + i \sin \theta = e^{i \theta}$ એ બીજ હોવાથી,$a_0 (e^{i \theta})^n + a_1 (e^{i \theta})^{n-1} + \ldots + a_n = 0$ થાય.
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$e^{i k \theta} = \cos k \theta + i \sin k \theta$.
કાલ્પનિક ભાગને શૂન્ય સાથે સરખાવતા,આપણને $a_1 \sin \theta + a_2 \sin 2 \theta + \ldots + a_n \sin n \theta = 0$ મળે છે.

(B) ઓઈલરના સૂત્ર $e^{ix} = \cos x + i \sin x$ નો ઉપયોગ કરતા, આપેલ સમીકરણ નીચે મુજબ બને છે:
$e^{i\theta} \cdot e^{i2\theta} \cdot e^{i3\theta} \dots e^{in\theta} = 1$
$e^{i\theta(1 + 2 + 3 + \dots + n)} = 1$
પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $\frac{n(n+1)}{2}$ હોવાથી, આપણને મળે છે:
$e^{i\frac{n(n+1)}{2}\theta} = 1$
$e^{i2k\pi} = 1$ સાથે સરખાવતા, આપણને મળે છે:
$\frac{n(n+1)}{2}\theta = 2k\pi$
$\theta = \frac{4k\pi}{n(n+1)}$

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}+x+1=0$ છે.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,બીજ $x = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ મળે છે.
ધારો કે $\alpha = e^{i(2\pi/3)}$ અને $\beta = e^{-i(2\pi/3)}$.
તેથી,$\alpha^{n}+\beta^{n} = e^{i(2n\pi/3)} + e^{-i(2n\pi/3)}$.
ઓઈલરના સૂત્ર મુજબ,$e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2\cos(\theta)$.
તેથી,$\alpha^{n}+\beta^{n} = 2\cos\left(\frac{2n\pi}{3}\right)$.

(A) આપેલ છે,$z = \sin \theta - i \cos \theta$
$z = \cos \left(\theta - \frac{\pi}{2}\right) + i \sin \left(\theta - \frac{\pi}{2}\right) = e^{i(\theta - \frac{\pi}{2})}$
ડી મોઇવરના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$z^{n} = e^{i(n\theta - \frac{n\pi}{2})} = \cos \left(n \theta - \frac{n \pi}{2}\right) + i \sin \left(n \theta - \frac{n \pi}{2}\right)$
તેથી,$\frac{1}{z^{n}} = z^{-n} = e^{-i(n\theta - \frac{n\pi}{2})} = \cos \left(n \theta - \frac{n \pi}{2}\right) - i \sin \left(n \theta - \frac{n \pi}{2}\right)$
આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$z^{n} + \frac{1}{z^{n}} = 2 \cos \left(n \theta - \frac{n \pi}{2}\right) = 2 \cos \left(\frac{n \pi}{2} - n \theta\right)$
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) આપેલ છે કે $x+\frac{1}{x}=2 \cos \theta$.
ધારો કે $x = \cos \theta + i \sin \theta$.
ડી મોઇવરના પ્રમેય મુજબ,$x^n = \cos n \theta + i \sin n \theta$.
તેથી,$\frac{1}{x^n} = \cos n \theta - i \sin n \theta$.
બંનેનો સરવાળો કરતા:
$x^n + \frac{1}{x^n} = 2 \cos n \theta$.

(B) આપેલ છે કે $Z_{r} = \sin \frac{2 \pi r}{11} - i \cos \frac{2 \pi r}{11}$.
આને $Z_{r} = -i (\cos \frac{2 \pi r}{11} + i \sin \frac{2 \pi r}{11})$ તરીકે લખી શકાય.
ઓઈલરના સૂત્ર $e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$Z_{r} = -i e^{i \frac{2 \pi r}{11}}$ મળે.
હવે,$\sum_{r=0}^{10} Z_{r} = -i \sum_{r=0}^{10} (e^{i \frac{2 \pi}{11}})^{r}$.
આ એક ભૌમિતિક શ્રેણી છે જેમાં $11$ પદો છે અને સામાન્ય ગુણોત્તર $\omega = e^{i \frac{2 \pi}{11}} \neq 1$ છે.
એકમનાં $n$ મૂળનો સરવાળો $\sum_{r=0}^{n-1} e^{i \frac{2 \pi r}{n}} = 0$ થાય છે,જ્યાં $n > 1$.
તેથી,$\sum_{r=0}^{10} e^{i \frac{2 \pi r}{11}} = 0$.
આમ,$\sum_{r=0}^{10} Z_{r} = -i \times 0 = 0$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $|a+b\omega+c\omega^2|^2 = a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$.
આને $\frac{1}{2}[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]$ તરીકે લખી શકાય છે.
જ્યારે $a, b, c$ એ ભિન્ન શૂન્યતર પૂર્ણાંકો હોય,ત્યારે ન્યૂનતમ કિંમત મેળવવા માટે આપણે $\{1, 2, 3\}$ પસંદ કરીએ છીએ.
તેથી,ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{1}{2}(1+1+4) = 3$ મળે છે.

(B) ધારો કે $\omega = \frac{-1+i\sqrt{3}}{2}$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે. તેથી $1+i\sqrt{3} = 2\omega^2$ અને $1-i\sqrt{3} = 2\omega$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\left(\frac{2\omega^2}{2\omega}\right)^{64} + \left(\frac{2\omega}{2\omega^2}\right)^{64} = (\omega)^{64} + \left(\frac{1}{\omega}\right)^{64}$
$\omega^3 = 1$ હોવાથી,$\omega^{64} = (\omega^3)^{21} \cdot \omega = \omega$ અને $\frac{1}{\omega^{64}} = \omega^2$ થાય.
આમ,પદાવલિ $\omega + \omega^2$ બને છે.
નિત્યસમ $1 + \omega + \omega^2 = 0$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\omega + \omega^2 = -1$ મળે છે.

(A) એકમના $1$ સિવાયના ઘનમૂળ $\omega$ અને $\omega^{2}$ છે,જ્યાં $\omega = e^{i 2\pi/3}$.
આપેલ $S = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \left(\frac{\alpha}{\beta}\right)^{n}$ એ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = -\frac{\alpha}{\beta}$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1 - (-\alpha/\beta)} = \frac{\beta}{\alpha + \beta}$ થાય.
$1 + \omega + \omega^{2} = 0$ હોવાથી,$\alpha + \beta = \omega + \omega^{2} = -1$ મળે.
કિસ્સો $I$: જો $\alpha = \omega$ અને $\beta = \omega^{2}$ હોય,તો $S = \frac{\omega^{2}}{\omega + \omega^{2}} = \frac{\omega^{2}}{-1} = -\omega^{2}$.
કિસ્સો $II$: જો $\alpha = \omega^{2}$ અને $\beta = \omega$ હોય,તો $S = \frac{\omega}{\omega^{2} + \omega} = \frac{\omega}{-1} = -\omega$.
આમ,$S$ નું મૂલ્ય $-\omega$ અથવા $-\omega^{2}$ છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-x+1=0$ છે.
આ સમીકરણના બીજ $x = \frac{1 \pm \sqrt{1-4}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$ છે.
આ બીજ $-\omega$ અને $-\omega^{2}$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
ધારો કે $\alpha = -\omega$ અને $\beta = -\omega^{2}$.
તેથી,$\alpha^{2013} + \beta^{2013} = (-\omega)^{2013} + (-\omega^{2})^{2013}$.
કારણ કે $2013$ એકી સંખ્યા છે,$(-\omega)^{2013} = -\omega^{2013} = -(\omega^{3})^{671} = -(1)^{671} = -1$.
તે જ રીતે,$(-\omega^{2})^{2013} = -(\omega^{2})^{2013} = -\omega^{4026} = -(\omega^{3})^{1342} = -(1)^{1342} = -1$.
તેથી,$\alpha^{2013} + \beta^{2013} = -1 + (-1) = -2$.

(A) આપેલ શ્રેણી $S = 1 + 2\omega + 3\omega^2 + \dots + 3n\omega^{3n-1}$ છે.
$\omega$ વડે ગુણતા: $S\omega = \omega + 2\omega^2 + 3\omega^3 + \dots + 3n\omega^{3n}$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $S(1 - \omega) = 1 + \omega + \omega^2 + \dots + \omega^{3n-1} - 3n\omega^{3n}$.
$\omega^3 = 1$ હોવાથી,સમગુણોત્તર શ્રેણી $1 + \omega + \dots + \omega^{3n-1}$ નો સરવાળો $\frac{1 - (\omega^3)^n}{1 - \omega} = \frac{1 - 1}{1 - \omega} = 0$ થાય.
તેથી,$S(1 - \omega) = 0 - 3n(1) = -3n$.
આમ,$S = \frac{-3n}{1 - \omega} = \frac{3n}{\omega - 1}$.

(A) ધારો કે સામાન્ય પદ $T_k = (k-1)(k-\omega)(k-\omega^2)$ છે,જ્યાં $k=2$ થી $n$ સુધી.
$\omega$ એ એકમનું કાલ્પનિક ઘનમૂળ હોવાથી,$\omega^3 = 1$ અને $1 + \omega + \omega^2 = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\omega + \omega^2 = -1$.
પદનું વિસ્તરણ કરતા: $T_k = (k-1)(k^2 - k(\omega + \omega^2) + \omega^3) = (k-1)(k^2 + k + 1) = k^3 - 1$.
સરવાળો $S = \sum_{k=2}^{n} (k^3 - 1)$ છે.
આને $\sum_{k=1}^{n} (k^3 - 1) - (1^3 - 1) = \sum_{k=1}^{n} k^3 - \sum_{k=1}^{n} 1$ તરીકે લખી શકાય.
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રો $\sum_{k=1}^{n} k^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ અને $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$S = \frac{n^2(n+1)^2}{4} - n$.

(D) આપેલ છે કે $z = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2} = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)$.
ડી મોઇવરના પ્રમેય મુજબ,$z^{201} = \cos\left(201 \times \frac{\pi}{6}\right) + i \sin\left(201 \times \frac{\pi}{6}\right)$.
$z^{201} = \cos\left(\frac{67\pi}{2}\right) + i \sin\left(\frac{67\pi}{2}\right)$.
કારણ કે $\frac{67\pi}{2} = 33\pi + \frac{\pi}{2}$,તેથી $\cos\left(\frac{67\pi}{2}\right) = 0$ અને $\sin\left(\frac{67\pi}{2}\right) = -1$.
આમ,$z^{201} = 0 + i(-1) = -i$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $(z^{201} - i)^{8} = (-i - i)^{8} = (-2i)^{8}$.
$(-2i)^{8} = (-2)^{8} \times i^{8} = 256 \times 1 = 256$.

(D) અહીં $\alpha = \omega$ અને $\beta = \omega^2$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે.
$1 + \omega + \omega^2 = 0$ હોવાથી,$\omega + \omega^2 = -1$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા,સાદું રૂપ આપતા $m^{10} = 49^{10}$ મળે છે.
તેથી,$m = 49$.

(D) આપેલ છે $x^2+x+1=0$,જેના બીજ એકમના ઘનમૂળ $\omega$ અને $\omega^2$ છે.
ધારો કે $f(n) = (x^n + \frac{1}{x^n})^4$. કારણ કે $x^3=1$,$f(n)$ દર $3$ પદે પુનરાવર્તિત થાય છે.
$n=1$ માટે,$(x+\frac{1}{x})^4 = (\omega+\omega^2)^4 = (-1)^4 = 1$.
$n=2$ માટે,$(x^2+\frac{1}{x^2})^4 = (\omega^2+\omega)^4 = (-1)^4 = 1$.
$n=3$ માટે,$(x^3+\frac{1}{x^3})^4 = (1+1)^4 = 2^4 = 16$.
મૂલ્યોની શ્રેણી $1, 1, 16, 1, 1, 16, \dots$ છે.
કુલ $25$ પદો છે.
$(1, 1, 16)$ ના પૂર્ણ ચક્રની સંખ્યા $\lfloor 25/3 \rfloor = 8$ છે.
$8$ ચક્રનો સરવાળો $= 8 \times (1+1+16) = 8 \times 18 = 144$.
$25$ મું પદ $n=1$ ને અનુરૂપ છે,જે $1$ છે.
કુલ સરવાળો $= 144 + 1 = 145$.