જો 1, a, a^2, ldots, a^{n-1} એ એકમના n માં મૂ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $\omega = a$. એકમના $n$ માં મૂળ $1, \omega, \omega^2, \ldots, \omega^{n-1}$ છે.આપણે જાણીએ છીએ કે $x^n - 1 = (x-1)(x-\omega)(x-\omega^2) \l

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{(n-2) 2^{n-1}+1}{2^n-1}$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $\omega = a$. એકમના $n$ માં મૂળ $1, \omega, \omega^2, \ldots, \omega^{n-1}$ છે.આપણે જાણીએ છીએ કે $x^n - 1 = (x-1)(x-\omega)(x-\omega^2) \ldots (x-\omega^{n-1})$.બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:$\ln(x^n - 1) = \ln(x-1) + \ln(x-\omega) + \ln(x-\omega^2) + \ldots + \ln(x-\omega^{n-1})$.$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:$\frac{n x^{n-1}}{x^n - 1} = \frac{1}{x-1} + \sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{x-\omega^i}$.સરવાળાને અલગ કરતા:$\sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{x-\omega^i} = \frac{n x^{n-1}}{x^n - 1} - \frac{1}{x-1}$.$x = 2$ લેતા:$\sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{2-\omega^i} = \frac{n \cdot 2^{n-1}}{2^n - 1} - \frac{1}{2-1} = \frac{n \cdot 2^{n-1}}{2^n - 1} - 1$.પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:$\frac{n \cdot 2^{n-1} - (2^n - 1)}{2^n - 1} = \frac{n \cdot 2^{n-1} - 2 \cdot 2^{n-1} + 1}{2^n - 1} = \frac{(n-2) 2^{n-1} + 1}{2^n - 1}$.

જો $1, a, a^2, \ldots, a^{n-1}$ એ એકમના $n$ માં મૂળ હોય,તો $\sum_{i=1}^{n-1} \frac{1}{2-a^i}$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

જો $\sin \theta + 2\sin \phi + 3\sin \psi = 0$ અને $\cos \theta + 2\cos \phi + 3\cos \psi = 0$ હોય,તો $\cos 3\theta + 8\cos 3\phi + 27\cos 3\psi = $ ની કિંમત શોધો.

જો $z^2+z+1=0$ હોય,તો $\left(z^3+\frac{1}{z^3}\right)^2+\left(z^4+\frac{1}{z^4}\right)^2$ ની કિંમત શોધો,જ્યાં $z$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.

જો $1, \omega, \omega^2, \ldots, \omega^{10}$ એ એકમના $11$ માં મૂળ (roots of unity) હોય,તો આ મૂળનો ગુણાકાર કેટલો થાય?

$1+i\sqrt{3}$ ના ભિન્ન $(2n)^{\text{th}}$ મૂળનો ગુણાકાર કેટલો થાય?

$i z^4+1=0$ નું સમાધાન કરતા $z$ નો વાસ્તવિક ભાગ કયો છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module