ધારો કે r એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે અને n in N એવ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે કે $2x^2+2x+1$ એ $(x+1)^n-r$ ને ભાગે છે, તેથી $2x^2+2x+1=0$ ના બીજ $(x+1)^n-r=0$ ને સંતોષવા જોઈએ.$2x^2+2x+1=0$ ને દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કર

Vedclass · Accepted Answer

$(4000, \frac{1}{4^{1000}})$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે કે $2x^2+2x+1$ એ $(x+1)^n-r$ ને ભાગે છે, તેથી $2x^2+2x+1=0$ ના બીજ $(x+1)^n-r=0$ ને સંતોષવા જોઈએ.$2x^2+2x+1=0$ ને દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ઉકેલતા:$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4-8}}{4} = \frac{-1 \pm i}{2}$.$x = \frac{-1+i}{2}$ ને $(x+1)^n = r$ માં મૂકતા:$(\frac{-1+i}{2} + 1)^n = r \Rightarrow (\frac{1+i}{2})^n = r$.$\frac{1+i}{2}$ ને ધ્રુવીય સ્વરૂપમાં દર્શાવતા: $\frac{1+i}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{i\pi/4}$.તેથી, $(\frac{1}{\sqrt{2}} e^{i\pi/4})^n = r \Rightarrow \frac{1}{2^{n/2}} e^{in\pi/4} = r$.કારણ કે $r$ વાસ્તવિક સંખ્યા છે, કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ, તેથી $\sin(\frac{n\pi}{4}) = 0$, જેનો અર્થ છે કે $n$ એ $4$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.$n=4000$ માટે, $r = \frac{1}{2^{4000/2}} \cos(\frac{4000\pi}{4}) = \frac{1}{2^{2000}} \cos(1000\pi) = \frac{1}{2^{2000}} = \frac{1}{4^{1000}}$.આમ, $(n, r) = (4000, \frac{1}{4^{1000}})$.

ધારો કે $r$ એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે અને $n \in N$ એવા છે કે બહુપદી $2x^2+2x+1$ એ બહુપદી $(x+1)^n-r$ ને ભાગે છે. તો, $(n, r)$ શું હોઈ શકે?

Similar Questions

જો $\omega$ એ સમીકરણ $x^3 - 1 = 0$ નું અવાસ્તવિક બીજ હોય,તો $\sum_{r=1}^{5} (1 + \omega^r + \omega^{2r})$ ની કિંમત શું થાય?

જો $z = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}$,જ્યાં $i = \sqrt{-1}$,તો $(z^{201} - i)^{8}$ ની કિંમત શું થાય?

જો $\alpha$ એ $\alpha^{2}+\alpha+1=0$ સમીકરણનું સમાધાન કરતું સંકર સંખ્યા હોય,તો $\alpha^{31}$ ની કિંમત શું થાય?

જો $2 \alpha = -1 - i \sqrt{3}$ અને $2 \beta = -1 + i \sqrt{3}$ હોય,તો $5 \alpha^4 + 5 \beta^4 + 7 \alpha^{-1} \beta^{-1}$ ની કિંમત શોધો.

$i^{1/3}$ ની કિંમત શું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module