શૂન્યતર સંકર સંખ્યા z માટે,ધારો કે arg (z) એ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) સરવાળો એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે: $S = \sum_{n=1}^{2025} (-\omega)^n = (-\omega) + (-\omega)^2 + \dots + (-\omega)^{2025}$.આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે

Vedclass · Accepted Answer

$-2$

Vedclass · Answer

(A) સરવાળો એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે: $S = \sum_{n=1}^{2025} (-\omega)^n = (-\omega) + (-\omega)^2 + \dots + (-\omega)^{2025}$.આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = -\omega$,સામાન્ય ગુણોત્તર $r = -\omega$ અને $n = 2025$ પદો છે.$S = \frac{a(1-r^n)}{1-r} = \frac{-\omega(1-(-\omega)^{2025})}{1-(-\omega)} = \frac{-\omega(1 - (-\omega^{2025}))}{1+\omega}$.કારણ કે $\omega^3 = 1$ અને $2025$ એ $3$ નો ગુણક છે,તેથી $\omega^{2025} = 1$.$S = \frac{-\omega(1 - (-1))}{1+\omega} = \frac{-\omega(2)}{1+\omega}$.$1+\omega = -\omega^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$S = \frac{-2\omega}{-\omega^2} = \frac{2}{\omega} = 2\omega^2$.કારણ કે $\omega = e^{i2\pi/3}$,$\omega^2 = e^{i4\pi/3} = e^{-i2\pi/3}$.તેથી,$\alpha = \arg(2\omega^2) = \arg(e^{-i2\pi/3}) = -\frac{2\pi}{3}$.તેથી,$\frac{3\alpha}{\pi} = \frac{3}{\pi} 	imes \left(-\frac{2\pi}{3}ight) = -2$.

Similar Questions

જો $i$ એ સમીકરણ $x^2+1=0$ નું બીજ હોય,તો $(1+\sqrt{3}i)^{2023}+(1-\sqrt{3}i)^{2023}=$

$n$ નું ન્યૂનતમ ધન પૂર્ણાંક મૂલ્ય શોધો જેથી $\left[\frac{1+\sin \frac{2 \pi}{9}+i \cos \frac{2 \pi}{9}}{1+\sin \frac{2 \pi}{9}-i \cos \frac{2 \pi}{9}}\right]^n=1$ થાય.

$(1+\sqrt{3}i)^6-(\sqrt{3}+i)^6=$

${\left( \frac{1 + \cos \phi + i\sin \phi }{1 + \cos \phi - i\sin \phi } \right)^n} = $

જો $r = 1, 2, 3, \ldots$ માટે $Z_r = \cos \left(\frac{\pi}{2^r}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{2^r}\right)$ હોય,તો $Z_1 Z_2 Z_3 \ldots \infty$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module