Parabola Questions in Gujarati

(B) ધારો કે $x$-અક્ષ પરનું બિંદુ $(h, 0)$ છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે $m$ ઢાળવાળા અભિલંબનું સમીકરણ $y = mx - 2am - am^3$ છે.
અભિલંબ $(h, 0)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$0 = mh - 2am - am^3$ મળે.
જો $m \neq 0$ લઈએ,તો $h = 2a + am^2$ અથવા $am^2 = h - 2a$ મળે.
ત્રણ વાસ્તવિક અભિલંબો માટે,$m$ માંના ત્રિઘાત સમીકરણના ત્રણ વાસ્તવિક ઉકેલો હોવા જોઈએ.
આ ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે બિંદુ $(h, 0)$ પરવલયના ઇવોલ્યુટની અંદર હોય,જેનો અર્થ છે કે $h > 2a$.
આમ,$x$-યામ $2a$ કરતા મોટો હોવો જોઈએ.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4ax$ છે. નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(a, 2a)$ અને $(a, -2a)$ છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ પરના બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x + x_1)$ થાય.
બિંદુ $(a, 2a)$ માટે,સ્પર્શક $y(2a) = 2a(x + a) \implies y = x + a \implies x - y + a = 0$ મળે.
બિંદુ $(a, -2a)$ માટે,સ્પર્શક $y(-2a) = 2a(x + a) \implies -y = x + a \implies x + y + a = 0$ મળે.
આમ,સ્પર્શકોના સમીકરણો $x - y + a = 0$ અને $x + y + a = 0$ છે.

(C) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,નાભિ જીવાના અંત્યબિંદુઓને $(x_1, y_1) = (at^2, 2at)$ અને $(x_2, y_2) = (a/t^2, -2a/t)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
અહીં,$x_1 = at^2$ અને $x_2 = a/t^2$ છે.
$x_1$ અને $x_2$ નો ગુણોત્તર મધ્યક $(G.M.)$ $\sqrt{x_1 x_2}$ છે.
તેથી,$G.M.$ નો વર્ગ $(\sqrt{x_1 x_2})^2 = x_1 x_2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$x_1 x_2 = (at^2) \times (a/t^2) = a^2$ મળે.
આમ,$G.M.$ નો વર્ગ $a^2$ છે.

(B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = -8y$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^2 = -4ay$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$-4a = -8
\implies a = 2$.
$x^2 = -4ay$ સ્વરૂપના પરવલય માટે નિયામિકાનું સમીકરણ $y = a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $y = 2$ મળે છે.
આમ,નિયામિકાનું સમીકરણ $y = 2$ છે.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4a(x + a)$ છે.
ધારો કે $X = x + a$,તેથી $x = X - a$. આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $y^2 = 4aX$ મળે છે.
રેખા $y = mx + c$ એ પરવલય $y^2 = 4aX$ ને સ્પર્શે તેની શરત $c' = \frac{a}{m}$ છે,જ્યાં $c'$ એ $Y$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ છે.
$y = mx + c$ માં $x = X - a$ મૂકતા,આપણને $y = m(X - a) + c = mX + (c - am)$ મળે છે.
આને $y = mX + c'$ સાથે સરખાવતા,આપણને $c' = c - am$ મળે છે.
$c'$ માટેના બંને પદોને સરખાવતા,$c - am = \frac{a}{m}$ મળે છે.
તેથી,$c = am + \frac{a}{m}$.

(C) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = -ay$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^2 = -4Ay$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4A = a$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $A = a/4$.
પરવલય $x^2 = -4Ay$ નીચેની તરફ ખુલે છે,જેનું શિરોબિંદુ $(0, 0)$ અને નાભિ $(0, -A)$ છે.
પરવલય $x^2 = -4Ay$ માટે નિયામિકાનું સમીકરણ $y = A$ થાય છે.
$A = a/4$ મૂકતા,નિયામિકાનું સમીકરણ $y = a/4$ મળે છે.

(C) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4ax$ છે.
ધારો કે $(x_1, y_1)$ એ પરવલય પરનું કોઈપણ બિંદુ છે.
$y^2 = 4ax$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 4a$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y}$.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y_1}$ થાય.
અવાભિલંબની લંબાઈનું સૂત્ર $|y_1 \cdot \frac{dy}{dx}|$ છે.
ઢાળની કિંમત મૂકતા,અવાભિલંબની લંબાઈ $= |y_1 \cdot \frac{2a}{y_1}| = 2a$ મળે.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 12x$ છે. તેને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a = 12$ મળે છે,તેથી $a = 3$ થાય.
આપેલ રેખા $x + y = K$ છે,જેને $y = -x + K$ તરીકે લખી શકાય. આ રેખાનો ઢાળ $m = -1$ છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે $m$ ઢાળવાળા અભિલંબનું સમીકરણ $y = mx - 2am - am^3$ છે.
આ સમીકરણમાં $a = 3$ અને $m = -1$ મૂકતા:
$y = (-1)x - 2(3)(-1) - (3)(-1)^3$
$y = -x + 6 + 3$
$y = -x + 9$
$x + y = 9$
આને $x + y = K$ સાથે સરખાવતા,આપણને $K = 9$ મળે છે.

(B) આપેલ વક્રો $y = x$ અને $y^2 = 4x$ છે.
$y = x$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતાં,$m_1 = \frac{dy}{dx} = 1$ મળે છે.
$y^2 = 4x$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતાં,$2y \frac{dy}{dx} = 4$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $m_2 = \frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$.
બિંદુ $(4, 4)$ આગળ,ઢાળ $m_1 = 1$ અને $m_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ થાય છે.
છેદન કોણ $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \left| \frac{1 - 1/2}{1 + (1)(1/2)} \right| = \left| \frac{1/2}{3/2} \right| = \frac{1}{3}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$.

(B) આપેલ વક્ર $y^2 = 4ax$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 4a$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y}$.
બિંદુ $(a, 2a)$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \frac{2a}{2a} = 1$ થાય.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{1} = -1$ થાય.
બિંદુ $(a, 2a)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - y_1 = m_n(x - x_1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y - 2a = -1(x - a)$.
$y - 2a = -x + a$.
તેથી,$x + y - 3a = 0$.

(B) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $y^2 = 6x$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતાં:
$2y \frac{dy}{dx} = 6$
$\frac{dy}{dx} = \frac{6}{2y} = \frac{3}{y}$
હવે,બિંદુ $(2, -3)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ શોધીએ:
$m = \left( \frac{dy}{dx} \right)_{(2, -3)} = \frac{3}{-3} = -1$
બિંદુ $(x_1, y_1) = (2, -3)$ માંથી પસાર થતી અને $m = -1$ ઢાળ ધરાવતી સ્પર્શક રેખાનું સમીકરણ:
$y - y_1 = m(x - x_1)$
$y - (-3) = -1(x - 2)$
$y + 3 = -x + 2$
$x + y + 1 = 0$

(A) આપેલ વક્રના પ્રચલ સમીકરણો: $x = at^2$ અને $y = 2at$.
સૌ પ્રથમ,$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{dt} = 2at$ અને $\frac{dy}{dt} = 2a$.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2a}{2at} = \frac{1}{t}$ મળે છે.
જ્યારે સ્પર્શક રેખા $x$-અક્ષને લંબ હોય,ત્યારે તેનો ઢાળ અવ્યાખ્યાયિત (એટલે કે $\frac{dy}{dx} \to \infty$) હોવો જોઈએ.
આ સ્થિતિ ત્યારે સર્જાય છે જ્યારે છેદમાં $t = 0$ હોય.
હવે $t = 0$ ને પ્રચલ સમીકરણોમાં મૂકતા:
$x = a(0)^2 = 0$
$y = 2a(0) = 0$
તેથી,સ્પર્શ બિંદુ $(0, 0)$ છે.

(B) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y^2 = 16x$.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $2y \frac{dy}{dx} = 16$,જેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{8}{y}$ મળે.
બિંદુ $(1, 4)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \frac{8}{4} = 2$ થાય.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{2}$ થાય.
બિંદુ $(1, 4)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - y_1 = m_n(x - x_1)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $y - 4 = -\frac{1}{2}(x - 1)$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $2y - 8 = -x + 1$,જેનું સાદું રૂપ $x + 2y = 9$ થાય છે.

(A) આપેલ વક્ર $y^2 = 4ax$ છે. $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 4a$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y}$.
બિંદુ $(at^2, 2at)$ આગળ,ઢાળ $m = \frac{dy}{dx} = \frac{2a}{2at} = \frac{1}{t}$.
$1$. અવસ્પર્શકની લંબાઈ = $|\frac{y}{m}| = |\frac{2at}{1/t}| = 2at^2$.
$2$. સ્પર્શકની લંબાઈ = $|y \sqrt{1 + \frac{1}{m^2}}| = |2at \sqrt{1 + t^2}| = 2at\sqrt{t^2 + 1}$.
$3$. અવાભિલંબની લંબાઈ = $|y \cdot m| = |2at \cdot \frac{1}{t}| = 2a$.
$4$. અભિલંબની લંબાઈ = $|y \sqrt{1 + m^2}| = |2at \sqrt{1 + \frac{1}{t^2}}| = |2at \frac{\sqrt{t^2 + 1}}{t}| = 2a\sqrt{t^2 + 1}$.
આમ,લંબાઈઓ $2at\sqrt{t^2 + 1}, 2at^2, 2a\sqrt{t^2 + 1}, 2a$ છે.

(D) આપેલ વક્રનું સમીકરણ $x^2 = -4y$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $2x = -4 \frac{dy}{dx}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2}$.
બિંદુ $(-4, -4)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \left( \frac{dy}{dx} \right)_{(-4, -4)} = -\frac{-4}{2} = 2$ થાય.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (-4, -4)$ માંથી પસાર થતી અને $m = 2$ ઢાળ ધરાવતી સ્પર્શક રેખાનું સમીકરણ $(y - y_1) = m(x - x_1)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$y - (-4) = 2(x - (-4))$ મળે છે.
$y + 4 = 2(x + 4)$.
$y + 4 = 2x + 8$.
$2x - y + 4 = 0$.

(C) આપેલ વક્રના પ્રચલ સમીકરણો $x = at^2$ અને $y = 2at$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ શોધીએ:
$\frac{dx}{dt} = 2at$ અને $\frac{dy}{dt} = 2a$.
તેથી,સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2a}{2at} = \frac{1}{t}$ થાય.
બિંદુ $(at^2, 2at)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $(y - y_1) = m(x - x_1)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $(y - 2at) = \frac{1}{t}(x - at^2)$.
બંને બાજુ $t$ વડે ગુણતા,આપણને $ty - 2at^2 = x - at^2$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $ty = x + at^2$ મળે છે.

(D) વક્રોના સમીકરણો $y^2 = 4x \dots (i)$ અને $x^2 = 4y \dots (ii)$ છે.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$(i)$ માંથી $x = y^2/4$ ની કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$(y^2/4)^2 = 4y \implies y^4/16 = 4y \implies y^4 - 64y = 0 \implies y(y^3 - 64) = 0$.
આથી $y = 0$ અથવા $y = 4$ મળે. જો $y = 0$,તો $x = 0$. જો $y = 4$,તો $x = 4$. છેદબિંદુઓ $(0, 0)$ અને $(4, 4)$ છે.
$(i)$ નું $x$ સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $2y \frac{dy}{dx} = 4 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{2}{y} = m_1$.
$(ii)$ નું $x$ સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $2x = 4 \frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx} = \frac{x}{2} = m_2$.
$(4, 4)$ આગળ: $m_1 = \frac{2}{4} = 1/2$ અને $m_2 = \frac{4}{2} = 2$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \theta = \left| \frac{2 - 1/2}{1 + (2)(1/2)} \right| = \left| \frac{3/2}{2} \right| = 3/4$.
આમ,$\theta = \tan^{-1}(3/4)$.

(C) ધારો કે $P(x, y)$ એ પરવલય $y = x^2$ પરનું બિંદુ છે અને $Q(0, c)$ એ આપેલ બિંદુ છે.
$P$ એ પરવલય પર હોવાથી,$y = x^2$. અંતર $PQ$ એ $PQ = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - c)^2}$ દ્વારા મળે છે.
અંતરને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે $Z = PQ^2 = x^2 + (x^2 - c)^2$ ને ન્યૂનતમ કરીએ.
$Z = x^2 + x^4 - 2cx^2 + c^2 = x^4 + x^2(1 - 2c) + c^2$.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $\frac{dZ}{dx} = 4x^3 + 2x(1 - 2c) = 2x(2x^2 + 1 - 2c)$.
$\frac{dZ}{dx} = 0$ લેતા,આપણને $x = 0$ અથવા $x^2 = \frac{2c - 1}{2}$ મળે છે.
જો $c \leq \frac{1}{2}$ હોય,તો $x = 0$ એ એકમાત્ર વાસ્તવિક ઉકેલ છે,અને ન્યૂનતમ અંતર $x = 0$ આગળ મળે છે,$PQ = \sqrt{0^2 + (0 - c)^2} = c$.
જો $c > \frac{1}{2}$ હોય,તો $x^2 = \frac{2c - 1}{2}$ ન્યૂનતમ આપે છે. $x^2 = \frac{2c - 1}{2}$ ને $Z$ માં મૂકતા:
$Z = (\frac{2c - 1}{2}) + (\frac{2c - 1}{2} - c)^2 = \frac{2c - 1}{2} + (-\frac{1}{2})^2 = \frac{2c - 1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{4c - 2 + 1}{4} = \frac{4c - 1}{4}$.
આમ,$PQ = \sqrt{\frac{4c - 1}{4}} = \frac{\sqrt{4c - 1}}{2}$.

(B) ધારો કે પરવલય પરનું બિંદુ $(x, x^2)$ છે. બિંદુ $(0, c)$ થી અંતરનો વર્ગ $d^2 = z = x^2 + (x^2 - c)^2$ દ્વારા મળે છે.
ધારો કે $t = x^2$. કારણ કે $0 \leq x \leq 5$,તેથી $0 \leq t \leq 25$. હવે $z = t + (t - c)^2 = t^2 + t(1 - 2c) + c^2$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dz}{dt} = 2t + 1 - 2c$.
$\frac{dz}{dt} = 0$ લેતા,આપણને $t = c - 1/2$ મળે છે.
જો $0 \leq c - 1/2 \leq 25$ (એટલે કે $1/2 \leq c \leq 51/2$),તો ન્યૂનતમ અંતર $t = c - 1/2$ પર મળે છે.
ન્યૂનતમ અંતર $= \sqrt{t + (t - c)^2} = \sqrt{(c - 1/2) + (-1/2)^2} = \sqrt{c - 1/2 + 1/4} = \sqrt{c - 1/4}$.

(D) આપેલ પ્રચલ સમીકરણો $x = t^2$ અને $y = 2t$ છે.
પ્રથમ,વિકલિત $\frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dx}{dt} = 2t$ અને $\frac{dy}{dt} = 2$.
તેથી,સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2}{2t} = \frac{1}{t}$ થાય.
$t = 1$ આગળ,સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \frac{1}{1} = 1$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m' = -\frac{1}{m} = -1$ થાય.
$t = 1$ આગળ,બિંદુના યામ $x = (1)^2 = 1$ અને $y = 2(1) = 2$ છે.
$(1, 2)$ માંથી પસાર થતી અને $-1$ ઢાળ ધરાવતી અભિલંબ રેખાનું સમીકરણ:
$y - 2 = -1(x - 1)$
$y - 2 = -x + 1$
$x + y - 3 = 0$.

(C) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y = \frac{a^3 x^2}{3} + \frac{a^2 x}{2} - 2a$ છે.
શિરોબિંદુ શોધવા માટે,આપણે $x$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવીએ:
$y = \frac{a^3}{3} \left( x + \frac{3}{4a} \right)^2 - \frac{35a}{16}$.
તેથી,શિરોબિંદુ $(h, k) = \left( -\frac{3}{4a}, -\frac{35a}{16} \right)$ છે.
$h = -\frac{3}{4a} \Rightarrow a = -\frac{3}{4h}$ અને $k = -\frac{35a}{16}$.
$a$ ની કિંમત મૂકતા,$k = -\frac{35}{16} \left( -\frac{3}{4h} \right) = \frac{105}{64h}$.
આમ,$hk = \frac{105}{64}$,તેથી બિંદુપથ $xy = \frac{105}{64}$ છે.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 8x$ છે,જે $y^2 = 4ax$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $4a = 8$,તેથી $a = 2$ મળે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ ની નિયામિકા (directrix) $x = -a$ છે,જે $x = -2$ થાય.
પરવલયનો એક પ્રમાણિત ગુણધર્મ છે કે બે પરસ્પર લંબ સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ હંમેશા નિયામિકા પર હોય છે.
આ બિંદુ આપેલ સ્પર્શક રેખા $y = x + 2$ અને નિયામિકા $x = -2$ બંને પર આવેલું હોવાથી,રેખાના સમીકરણમાં $x = -2$ મૂકતા:
$y = (-2) + 2 = 0$.
આમ,માંગેલ બિંદુ $(-2, 0)$ છે.

(B) પરવલયનું નાભિ $S = (0,0)$ છે.
પરવલયની નિયામિકા રેખા $x = 2$ છે.
પરવલયની અક્ષ એ નાભિમાંથી પસાર થતી અને નિયામિકાને લંબ રેખા છે. નિયામિકા $x = 2$ (શિરોલંબ રેખા) હોવાથી,અક્ષ $x$-અક્ષ $(y = 0)$ છે.
પરવલયનું શિરોબિંદુ એ નાભિ અને અક્ષ તથા નિયામિકાના છેદબિંદુને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે.
અક્ષ $(y = 0)$ અને નિયામિકા $(x = 2)$ નું છેદબિંદુ $(2,0)$ છે.
શિરોબિંદુ એ $(0,0)$ અને $(2,0)$ નું મધ્યબિંદુ છે,જે $(\frac{0+2}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1,0)$ થાય.
આમ,પરવલયનું શિરોબિંદુ $(1,0)$ પર છે.

(D) પરવલયના બે લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ તેની નિયામિકા (directrix) હોય છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,નિયામિકાનું સમીકરણ $x = -a$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y^2 = 4x$ માટે,$4a = 4$ છે,તેથી $a = 1$ મળે.
તેથી,નિયામિકાનું સમીકરણ $x = -1$ થાય.
આમ,$P$ નો બિંદુપથ $x = -1$ છે.

(C) પ્રથમ પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4x$ છે,જે $y^2 = 4ax$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 1$ છે.
$y^2 = 4x$ ને સ્પર્શક રેખાનું સમીકરણ $y = mx + \frac{a}{m} = mx + \frac{1}{m} \quad (1)$ છે.
બીજા પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = -32y$ છે,જે $x^2 = 4Ay$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $4A = -32$,તેથી $A = -8$ છે.
$x^2 = 4Ay$ ને સ્પર્શક રેખાનું સમીકરણ $y = mx - Am^2$ છે. $A = -8$ મૂકતા,આપણને $y = mx - (-8)m^2 = mx + 8m^2 \quad (2)$ મળે છે.
રેખા બંને પરવલયો માટે સામાન્ય હોવાથી,સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ના અંતઃખંડોને સરખાવતા:
$\frac{1}{m} = 8m^2$.
આથી $8m^3 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $m^3 = \frac{1}{8}$.
ઘનમૂળ લેતા,$m = \frac{1}{2}$ મળે છે.

(C) કોઈ બિંદુથી વક્ર સુધીનું ન્યૂનતમ અંતર તે બિંદુએ વક્રના અભિલંબ (normal) પર હોય છે.
પરવલય ${y^2} = 8x$ માટે,$4a = 8$,તેથી $a = 2$.
બિંદુ $P(at^2, 2at) = (2t^2, 4t)$ પર પરવલયનો અભિલંબ $y = -tx + 2at + at^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a = 2$ મૂકતા,અભિલંબ $y = -tx + 4t + 2t^3$ મળે છે.
આ અભિલંબ વર્તુળના કેન્દ્ર $C(0, -6)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી:
$-6 = -t(0) + 4t + 2t^3
$ $\Rightarrow 2t^3 + 4t + 6 = 0
$ $\Rightarrow t^3 + 2t + 3 = 0$.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$t = -1$ એ ઉકેલ છે.
$t = -1$ માટે,બિંદુ $P$ એ $(2(-1)^2, 4(-1)) = (2, -4)$ છે.
અંતર $CP$ એ જરૂરી વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે:
$r^2 = CP^2 = (2 - 0)^2 + (-4 - (-6))^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$.
કેન્દ્ર $P(2, -4)$ અને ત્રિજ્યાનો વર્ગ $r^2 = 8$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ:
$(x - 2)^2 + (y + 4)^2 = 8
$ $\Rightarrow x^2 - 4x + 4 + y^2 + 8y + 16 = 8
$ $\Rightarrow x^2 + y^2 - 4x + 8y + 12 = 0$.

(A) પરવલયનું સમીકરણ ${y^2} = 16x$ છે,તેથી $4a = 16$,જેનો અર્થ છે $a = 4$.
બિંદુ $P(16, 16)$ માટે,$y_1^2 = 16x_1$ થાય છે,જે સંતોષાય છે.
$P(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શક $yy_1 = 2a(x + x_1)$ છે,તેથી $16y = 8(x + 16)$,જેનું સાદું રૂપ $2y = x + 16$ થાય છે.
$x$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે $y = 0$ લેતા,$x = -16$ મળે છે,તેથી $A = (-16, 0)$.
$P(x_1, y_1)$ આગળ અભિલંબ $y - y_1 = -\frac{y_1}{2a}(x - x_1)$ છે,તેથી $y - 16 = -\frac{16}{8}(x - 16)$,જેનું સાદું રૂપ $y - 16 = -2(x - 16)$ અથવા $y = -2x + 48$ થાય છે.
$x$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે $y = 0$ લેતા,$2x = 48$,તેથી $x = 24$ મળે છે,આમ $B = (24, 0)$.
વર્તુળ $A(-16, 0)$,$B(24, 0)$ અને $P(16, 16)$ માંથી પસાર થાય છે. $A$ અને $B$ એ $x$-અક્ષ પર હોવાથી,કેન્દ્ર $C$ નો $x$-યામ $\frac{-16 + 24}{2} = 4$ હશે.
ધારો કે $C = (4, k)$. $CA = CP$ હોવાથી,$(4 - (-16))^2 + (k - 0)^2 = (4 - 16)^2 + (k - 16)^2$.
$20^2 + k^2 = (-12)^2 + (k - 16)^2 \Rightarrow 400 + k^2 = 144 + k^2 - 32k + 256$.
$400 = 400 - 32k \Rightarrow k = 0$. આમ,$C = (4, 0)$.
$PC$ નો ઢાળ $(m_1)$ = $\frac{16 - 0}{16 - 4} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$.
$PB$ નો ઢાળ $(m_2)$ = $\frac{16 - 0}{16 - 24} = \frac{16}{-8} = -2$.
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{\frac{4}{3} - (-2)}{1 + (\frac{4}{3})(-2)} \right| = \left| \frac{\frac{10}{3}}{1 - \frac{8}{3}} \right| = \left| \frac{\frac{10}{3}}{-\frac{5}{3}} \right| = |-2| = 2$.

(A) પરવલયના નાભિલંબની લંબાઈ $L.R. = 2 \times d$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ નાભિ $(x_1, y_1)$ થી નિયામિકા $ax + by + c = 0$ નું લંબ અંતર છે.
અંતર $d$ ની ગણતરી $d = \left| \frac{ax_1 + by_1 + c}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right|$ મુજબ થાય છે.
આપેલ નાભિ $(3, 3)$ અને નિયામિકા $3x - 4y - 2 = 0$ માટે:
$d = \left| \frac{3(3) - 4(3) - 2}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \right| = \left| \frac{9 - 12 - 2}{\sqrt{9 + 16}} \right| = \left| \frac{-5}{5} \right| = 1$.
તેથી,નાભિલંબની લંબાઈ $L.R. = 2 \times 1 = 2$ થાય.

(C) આપેલ સમીકરણ: ${y^2} - 2x - 2y + 5 = 0$
પદોને ગોઠવતા: ${y^2} - 2y = 2x - 5$
પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા: ${y^2} - 2y + 1 = 2x - 5 + 1$
${(y - 1)^2} = 2x - 4$
${(y - 1)^2} = 2(x - 2)$
આ ${(y - k)^2} = 4a(x - h)$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $4a = 2$,તેથી $a = \frac{1}{2}$,શિરોબિંદુ $(h, k) = (2, 1)$.
નાભિ $(h + a, k) = (2 + \frac{1}{2}, 1) = (\frac{5}{2}, 1)$ છે.
નિયામિકા $x = h - a = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ છે.

(C) આપેલ છે $x = t^2 + t + 1$ અને $y = t^2 - t + 1$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $x + y = 2t^2 + 2 = 2(t^2 + 1)$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $x - y = 2t$,જેનો અર્થ છે $t = \frac{x - y}{2}$.
$t$ ની કિંમત $x + y$ માં મૂકતા:
$x + y = 2\left(\left(\frac{x - y}{2}\right)^2 + 1\right) = 2\left(\frac{(x - y)^2}{4} + 1\right) = \frac{(x - y)^2}{2} + 2$.
$2$ વડે ગુણતા: $2(x + y) = (x - y)^2 + 4$.
વિસ્તરણ કરતા: $2x + 2y = x^2 - 2xy + y^2 + 4$.
ગોઠવતા: $x^2 - 2xy + y^2 - 2x - 2y + 4 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1, h = -1, b = 1$ મળે છે.
અહીં $h^2 - ab = (-1)^2 - (1)(1) = 1 - 1 = 0$ હોવાથી,આ વક્ર પરવલય દર્શાવે છે.

(B) પરવલય $y^2 = 4ax$ પરના બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x + x_1)$ છે.
આપેલ પરવલય $y^2 = 4x$ માટે,$a = 1$ છે.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓના યામ $L(1, 2)$ અને $L'(1, -2)$ છે.
$L(1, 2)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $2y = 2(x + 1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = x + 1$ થાય છે.
$L'(1, -2)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $-2y = 2(x + 1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = -(x + 1)$ થાય છે.
આ બંને સમીકરણોને ઉકેલતા:
$x + 1 = -(x + 1)$
$2(x + 1) = 0$
$x = -1$
$x = -1$ ને $y = x + 1$ માં મૂકતા,આપણને $y = 0$ મળે છે.
આમ,છેદબિંદુ $(-1, 0)$ છે.

(B) ધારો કે $P(at_1^2, 2at_1)$ અને $Q(at_2^2, 2at_2)$ એ પરવલય $y^2 = 4ax$ પરના બે બિંદુઓ છે.
ત્યારે $P$ અને $Q$ આગળના સ્પર્શકો $T(at_1t_2, a(t_1 + t_2))$ માં છેદે છે.
હવે,$SP = \sqrt{(at_1^2 - a)^2 + (2at_1 - 0)^2} = a(t_1^2 + 1)$.
$SQ = a(t_2^2 + 1)$.
$ST = \sqrt{(at_1t_2 - a)^2 + (a(t_1 + t_2) - 0)^2} = a\sqrt{(1 + t_1^2)(1 + t_2^2)}$.
તેથી,$ST^2 = a^2(1 + t_1^2)(1 + t_2^2) = SP \cdot SQ$.
આમ,$ST^2 = SP \cdot SQ$ હોવાથી,$SP, ST, SQ$ એ $G.P.$ માં છે.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4ax$ છે. આ પરવલયનું નાભિ $(a, 0)$ પર છે.
રેખા $x - y - a = 0$ ના સમીકરણમાં નાભિના યામ $(a, 0)$ મૂકતા,આપણને $a - 0 - a = 0$ મળે છે,જે $0 = 0$ છે.
આમ,રેખા નાભિમાંથી પસાર થાય છે,તેથી તે પરવલયની નાભિ-જીવા છે.
પરવલયનો એક ગુણધર્મ છે કે કોઈપણ નાભિ-જીવાના અંત્યબિંદુઓ આગળ દોરેલા સ્પર્શકો પરસ્પર કાટખૂણે $(\frac{\pi}{2})$ છેદે છે.
તેથી,સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(A) પરવલય ${y^2} = 4ax$ માટે,$4a = 12$,તેથી $a = 3$.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓના યામ $(a, 2a)$ અને $(a, -2a)$ છે,જે $(3, 6)$ અને $(3, -6)$ થાય.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x + x_1)$ છે.
બિંદુ $(3, 6)$ માટે,સ્પર્શક $6y = 6(x + 3) \implies y = x + 3$ છે.
બિંદુ $(3, -6)$ માટે,સ્પર્શક $-6y = 6(x + 3) \implies y = -(x + 3)$ છે.
આ બંને સમીકરણો ઉકેલતા: $x + 3 = -(x + 3) \implies 2x + 6 = 0 \implies x = -3$.
પરવલય ${y^2} = 12x$ માટે નિયામિકાનું સમીકરણ $x = -a$ એટલે કે $x = -3$ હોવાથી,સ્પર્શકો નિયામિકા પર મળે છે.

(C) ધારો કે $P(at^2, 2at)$ એ પરવલય $y^2 = 4ax$ પરનું કોઈપણ બિંદુ છે. $P$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $ty = x + at^2$ છે. તે અક્ષ $(y=0)$ ને $T(-at^2, 0)$ માં મળે છે.
$P$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y = -tx + 2at + at^3$ છે. તે અક્ષ $(y=0)$ ને $G(2a + at^2, 0)$ માં મળે છે.
નાભિ $S$ એ $(a, 0)$ પર છે.
$SP = \sqrt{(at^2 - a)^2 + (2at - 0)^2} = a(t^2+1)$.
$ST = |x_S - x_T| = |a - (-at^2)| = a(1 + t^2)$.
$SG = |x_G - x_S| = |(2a + at^2) - a| = a(1 + t^2)$.
આમ,$ST = SG = SP$.

(C) પરવલય $y^2 = 4ax$ ના અભિલંબનું ઢાળ સ્વરૂપ $y = mx - 2am - am^3$ છે.
આપેલ પરવલય $y^2 = x$ માટે,$4a = 1$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{1}{4}$.
અભિલંબના સમીકરણમાં $a$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $y = mx - \frac{1}{2}m - \frac{1}{4}m^3$ મળે છે.
અભિલંબ બિંદુ $(C, 0)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,આપણે $x = C$ અને $y = 0$ મૂકીએ છીએ:
$0 = mC - \frac{1}{2}m - \frac{1}{4}m^3$.
આનું સાદું રૂપ $m(C - \frac{1}{2} - \frac{1}{4}m^2) = 0$ થાય છે.
એક ઉકેલ $m = 0$ છે. અન્ય બે અભિલંબ વાસ્તવિક અને ભિન્ન હોવા માટે,દ્વિઘાત સમીકરણ $C - \frac{1}{2} - \frac{1}{4}m^2 = 0$ ના $m^2$ માટે બે ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલો હોવા જોઈએ.
આ માટે $C - \frac{1}{2} > 0$ હોવું જરૂરી છે,જેનો અર્થ છે કે $C > \frac{1}{2}$.

(B) બિંદુઓ $(au^2, 2au)$ અને $(av^2, 2av)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - 2au = \frac{2av - 2au}{av^2 - au^2}(x - au^2)$
$y - 2au = \frac{2a(v - u)}{a(v - u)(v + u)}(x - au^2)$
$y - 2au = \frac{2}{v + u}(x - au^2)$
આ નાભિસ્થ જીવા હોવાથી,તે નાભિ $(a, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
$(a, 0)$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$0 - 2au = \frac{2}{v + u}(a - au^2)$
$-2au = \frac{2a(1 - u^2)}{v + u}$
$-u(v + u) = 1 - u^2$
$-uv - u^2 = 1 - u^2$
$-uv = 1$
$uv + 1 = 0$

(D) ધારો કે પરવલય $y^2 = 4ax$ પરના બિંદુ $P$ ના યામ $(at^2, 2at)$ છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y} = \frac{1}{t}$ છે.
તેથી,અભિલંબનો ઢાળ $-t$ થાય.
બિંદુ $P(at^2, 2at)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ:
$y - 2at = -t(x - at^2)$
$tx + y = 2at + at^3$.
$x$-અક્ષ પરના છેદબિંદુ $N$ માટે $y = 0$ લેતા:
$tx = 2at + at^3 \implies x = 2a + at^2$.
બિંદુ $M$ એ $P$ નો $x$-અક્ષ પરનો પ્રક્ષેપ છે,તેથી $M$ ના યામ $(at^2, 0)$ છે.
અભિલંબના અદ્રિતીય ભાગ (subnormal) ની લંબાઈ $MN = |x_N - x_M| = |(2a + at^2) - at^2| = 2a$ થાય.

(B) શંકુ આડછેદની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ એ બિંદુના નાભિથી અંતર અને નિયામિકાથી અંતરના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
પરવલય માટે,નાભિથી અંતર એ નિયામિકાથી અંતર જેટલું જ હોય છે.
તેથી,ઉત્કેન્દ્રતા $e = 1$ થાય છે.

(B) કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx}$ છે.
બિંદુ $(x, y)$ પર અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{dx}{dy}$ છે.
બિંદુ $(x, y)$ પર અભિલંબનું સમીકરણ:
$Y - y = -\frac{dx}{dy}(X - x)$
અભિલંબ $x$-અક્ષને $(x + 1, 0)$ પર છેદે છે,તેથી $X = x + 1$ અને $Y = 0$ મૂકતા:
$0 - y = -\frac{dx}{dy}(x + 1 - x)$
$-y = -\frac{dx}{dy}(1)$
$y = \frac{dx}{dy}$
$y \, dy = dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int y \, dy = \int dx$
$\frac{y^2}{2} = x + C$
શંકુ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $0 = 0 + C$,એટલે કે $C = 0$.
આમ,શંકુનું સમીકરણ $y^2 = 2x$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a = 2$ મળે છે,જે નાભિલંબની લંબાઈ છે.
તેથી,નાભિલંબની લંબાઈ $2$ છે.

(B) વિકલ્પ $(A): x = 3 \cos t, y = 4 \sin t$
$t$ નો લોપ કરતા,$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{16} = 1$ મળે છે,જે ઉપવલય (ellipse) છે.
વિકલ્પ $(B): x^2 - 2 = -2 \cos t \Rightarrow x^2 = 2 - 2 \cos t = 2(1 - \cos t)$.
તેમજ,$y = 4 \cos^2 \frac{t}{2} = 2(1 + \cos t)$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$\cos t = 1 - \frac{x^2}{2}$.
$y$ માં મૂકતા: $y = 2(1 + 1 - \frac{x^2}{2}) = 2(2 - \frac{x^2}{2}) = 4 - x^2$.
આ $x^2 = -(y - 4)$ છે,જે પરવલય (parabola) છે.
વિકલ્પ $(C): \sqrt{x} = \tan t, \sqrt{y} = \sec t$
$\sec^2 t - \tan^2 t = 1$ નો ઉપયોગ કરીને $t$ નો લોપ કરતા,$y - x = 1$ મળે છે,જે એક સીધી રેખા છે.
વિકલ્પ $(D): x = \sqrt{1 - \sin t}, y = \sin \frac{t}{2} + \cos \frac{t}{2}$
$x^2 = 1 - \sin t$ અને $y^2 = 1 + \sin t$.
બંનેનો સરવાળો કરતા,$x^2 + y^2 = 2$ મળે છે,જે વર્તુળ છે.

(B) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી સ્પર્શજીવા (chord of contact) નું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x + x_1)$ છે.
અહીં,$a = 1$ અને બિંદુ $(2, 3)$ છે,તેથી સ્પર્શજીવાનું સમીકરણ $3y = 2(x + 2)$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $3y = 2x + 4$ અથવા $x = \frac{3y - 4}{2}$ છે.
આ કિંમતને પરવલયના સમીકરણ $y^2 = 4x$ માં મૂકતા:
$y^2 = 4(\frac{3y - 4}{2})$
$y^2 = 2(3y - 4)$
$y^2 - 6y + 8 = 0$
$(y - 2)(y - 4) = 0$
તેથી,$y = 2$ અથવા $y = 4$.
જો $y = 2$ હોય,તો $x = \frac{3(2) - 4}{2} = 1$.
જો $y = 4$ હોય,તો $x = \frac{3(4) - 4}{2} = 4$.
આમ,સ્પર્શબિંદુઓ $(1, 2)$ અને $(4, 4)$ છે.

(C) પરવલય $y^2 = 4x$ ના $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{1}{m}$ છે.
સ્પર્શક $P(h, k)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$k = mh + \frac{1}{m}$,જે $m^2h - mk + 1 = 0$ માં પરિણમે છે.
ધારો કે $m_1 = \tan \theta_1$ અને $m_2 = \tan \theta_2$ એ આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,$m_1 + m_2 = \frac{k}{h}$ અને $m_1 m_2 = \frac{1}{h}$.
આપેલ છે કે $\theta_1 + \theta_2 = \frac{\pi}{4}$,તેથી $\tan(\theta_1 + \theta_2) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
સૂત્ર $\tan(\theta_1 + \theta_2) = \frac{m_1 + m_2}{1 - m_1 m_2} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{k/h}{1 - 1/h} = 1$.
$\frac{k}{h-1} = 1 \Rightarrow k = h - 1$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $y = x - 1$ અથવા $x - y - 1 = 0$ મળે છે.

(B) પરવલય $y^2 = 4ax$ (જ્યાં $a=1$) માટે $t$ પ્રાચલ પરના અભિલંબનું સમીકરણ $y + tx = 2at + at^3$ છે,જે $y + tx = 2t + t^3$ તરીકે લખી શકાય.
આ અભિલંબનો ઢાળ $-t$ છે. આપેલ છે કે અભિલંબ $x$-અક્ષ સાથે $\frac{\pi}{4}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી તેનો ઢાળ $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ થાય.
તેથી,$-t = 1$,જે આપણને $t = -1$ આપે છે.
બિંદુ $P$ ના યામ $(at^2, 2at) = (1, -2)$ છે.
જો $t_1$ પરનો અભિલંબ પરવલયને ફરીથી $t_2$ પર મળે,તો $t_2 = -t_1 - \frac{2}{t_1}$ થાય.
$t_1 = -1$ મૂકતા,આપણને $t_2 = -(-1) - \frac{2}{-1} = 1 + 2 = 3$ મળે છે.
બિંદુ $Q$ ના યામ $(at_2^2, 2at_2) = (3^2, 2(3)) = (9, 6)$ છે.
અભિલંબ જીવા $PQ$ ની લંબાઈ એ બિંદુ $P(1, -2)$ અને $Q(9, 6)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$PQ = \sqrt{(9-1)^2 + (6 - (-2))^2} = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{64 + 64} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}$.

(B) ધારો કે નાભિસ્થ જીવાના અંત્યબિંદુઓના પ્રાચલ $t_1$ અને $t_2$ છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,યામ $(at_1^2, 2at_1)$ અને $(at_2^2, 2at_2)$ છે.
તે નાભિસ્થ જીવા હોવાથી,પ્રાચલોનો ગુણાકાર $t_1t_2 = -1$ થાય.
અહીં $x_1 = at_1^2$ અને $x_2 = at_2^2$ છે,તેથી $x_1x_2 = a^2(t_1t_2)^2 = a^2(-1)^2 = a^2$.
અહીં $y_1 = 2at_1$ અને $y_2 = 2at_2$ છે,તેથી $y_1y_2 = 4a^2(t_1t_2) = 4a^2(-1) = -4a^2$.
તેથી,$x_1x_2 + y_1y_2 = a^2 - 4a^2 = -3a^2$.

(D) પરવલય $y^2 = 4ax$ ના $t_1$ બિંદુએ અભિલંબનું સમીકરણ $y + t_1x = 2at_1 + at_1^3$ છે.
આ અભિલંબ પરવલયને $t_2$ બિંદુએ છેદે છે,તેથી $t_2 = -(t_1 + \frac{2}{t_1})$ સંબંધ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$t_2^2 = (t_1 + \frac{2}{t_1})^2 = (t_1 - \frac{2}{t_1})^2 + 8$ મળે.
કારણ કે $(t_1 - \frac{2}{t_1})^2 \geq 0$,તેથી $t_2^2 \geq 8$ થાય.

(A) ધારો કે સામાન્ય નાભિ $(h, k)$ છે.
નાભિ $(h, k)$ અને નિયામિકા $L = 0$ ધરાવતા પરવલયનું સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = L^2$ છે.
પ્રથમ પરવલય માટે નિયામિકા $y = 0$ ($x$-અક્ષ) છે,તેથી સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = y^2$ છે.
બીજા પરવલય માટે નિયામિકા $x = 0$ ($y$-અક્ષ) છે,તેથી સમીકરણ $(x - h)^2 + (y - k)^2 = x^2$ છે.
સામાન્ય જીવા શોધવા માટે,આપણે બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરીએ:
$((x - h)^2 + (y - k)^2 - y^2) - ((x - h)^2 + (y - k)^2 - x^2) = 0$
આનું સાદું રૂપ $x^2 - y^2 = 0$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $x^2 = y^2$,અથવા $y = \pm x$.
આમ,સામાન્ય જીવાનો ઢાળ $m = 1$ અને $m = -1$ છે,જેને $\pm 1$ તરીકે લખી શકાય છે.

(B) ધારો કે પરવલય $y^2 = 4ax$ પરનું બિંદુ $P(at^2, 2at)$ છે.
$P$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $ty = x + at^2$ છે $....(1)$
પરવલયની નાભિ $S(a, 0)$ છે.
સ્પર્શક $(1)$ ને લંબ અને $S(a, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $-t$ છે. તેનું સમીકરણ $tx + y = at$ થાય $....(2)$
શિરોબિંદુ $O(0, 0)$ અને $P(at^2, 2at)$ ને જોડતી રેખાનો ઢાળ $\frac{2}{t}$ છે. તેનું સમીકરણ $y = \frac{2}{t}x$ અથવા $2x - ty = 0$ થાય $....(3)$
$R(h, k)$ ના બિંદુપથ માટે,$(2)$ અને $(3)$ માંથી $t$ નો લોપ કરતા:
$(3)$ પરથી,$t = \frac{2h}{k}$.
આ કિંમત $(2)$ માં મૂકતા: $(\frac{2h}{k})h + k = a(\frac{2h}{k})$.
$k$ વડે ગુણતા: $2h^2 + k^2 = 2ah$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $2x^2 + y^2 - 2ax = 0$ મળે છે.