Parabola Questions in Gujarati

(A) પરવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y^2 = 4ax$ છે.
$y^2 = 18x$ ને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a = 18$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 18/4 = 9/2$.
પરવલય $y^2 = 4ax$ પરના બિંદુના પ્રાચલ યામ $(at^2, 2at)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુ $(2, 6)$ માટે,આપણી પાસે $at^2 = 2$ અને $2at = 6$ છે.
$2at = 6$ પરથી,આપણને $at = 3$ મળે છે.
$a = 9/2$ ને $at = 3$ માં મૂકતા,આપણને $(9/2)t = 3$ મળે છે.
$t$ માટે ઉકેલતા,આપણને $t = 3 \times (2/9) = 6/9 = 2/3$ મળે છે.
આમ,પ્રાચલ $t$ નું મૂલ્ય $2/3$ છે.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 16x$ છે. તેને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a = 16$,તેથી $a = 4$ મળે.
રેખા $y = mx + c$ એ પરવલય $y^2 = 4ax$ ને સ્પર્શક હોય તેની શરત $c = a/m$ છે.
આપેલી રેખા $2x - y + 2 = 0$ છે,જેને $y = 2x + 2$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$m = 2$ અને $c = 2$ છે.
શરત ચકાસતા: $a/m = 4/2 = 2$,જે $c$ જેટલું છે. આમ,રેખા સ્પર્શક છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે સ્પર્શક $y = mx + c$ નું સ્પર્શ બિંદુ $(a/m^2, 2a/m)$ દ્વારા મળે છે.
$a = 4$ અને $m = 2$ મૂકતા:
સ્પર્શ બિંદુ = $(4/2^2, 2(4)/2) = (4/4, 8/2) = (1, 4)$.

(A) પરવલયની નાભિ $(0, -3)$ છે અને નિયામિકા $y = 3$ છે.
નાભિ $y$-અક્ષ પર છે અને નિયામિકા સમક્ષિતિજ રેખા હોવાથી,પરવલય $y$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત છે.
આવા પરવલયનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^2 = 4ay$ છે.
નાભિ $(0, a)$ છે અને નિયામિકા $y = -a$ છે.
$(0, -3)$ ની સરખામણી $(0, a)$ સાથે કરતા,આપણને $a = -3$ મળે છે.
$a = -3$ ને $x^2 = 4ay$ સમીકરણમાં મૂકતા,$x^2 = 4(-3)y$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 = -12y$ થાય છે.

(D) પરવલયનું આપેલ સમીકરણ $y^2 + 4y = -4x$ છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(y + 2)^2 = -4x + 4$,જે $(y + 2)^2 = -4(x - 1)$ માં પરિણમે છે.
આને $(y - k)^2 = -4a(x - h)$ સાથે સરખાવતા,$h = 1$,$k = -2$,અને $4a = 4$,તેથી $a = 1$ મળે.
પરવલયની નાભિ $(h - a, k) = (1 - 1, -2) = (0, -2)$ છે.
આપેલ બિંદુ $P(-3, 2)$ છે.
$y^2 + 4x + 4y = 0$ માટે બિંદુ $P(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ વિકલન દ્વારા મળે છે: $2y \frac{dy}{dx} + 4 + 4 \frac{dy}{dx} = 0$.
$y = 2$ મૂકતા,$2(2) \frac{dy}{dx} + 4 + 4 \frac{dy}{dx} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $8 \frac{dy}{dx} = -4$,તેથી $\frac{dy}{dx} = -1/2$.
અભિલંબનો ઢાળ $m$ એ સ્પર્શકના ઢાળનો વ્યસ્ત અને વિરોધી છે: $m = -1 / (-1/2) = 2$.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = -12x$ છે. $y^2 = -4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a = 12$,તેથી $a = 3$.
નાભિના યામ $(-a, 0) = (-3, 0)$ છે.
નાભિલંબની રેખા $x = -3$ છે. નાભિલંબનું ઉપરનું અંત્યબિંદુ $(-3, 6)$ છે.
$y^2 = -12x$ નું વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = -12$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{-6}{y}$.
બિંદુ $(-3, 6)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \frac{-6}{6} = -1$.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = 1$.
બિંદુ $(-3, 6)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 6 = 1(x + 3)$ એટલે કે $y = x + 9$.
અક્ષ ($x$-અક્ષ) પર છેદબિંદુ શોધવા $y = 0$ લેતા,$0 = x + 9$,તેથી $x = -9$.
આમ,છેદબિંદુ $(-9, 0)$ છે.

(B) આપેલ પ્રચલિત સમીકરણો:
$x = \frac{t}{4} \Rightarrow t = 4x$
$t$ ની કિંમત $y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = \frac{(4x)^2}{4} = \frac{16x^2}{4} = 4x^2$
$x^2 = \frac{1}{4}y$
આ પરવલયનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^2 = 4ay$ છે,જ્યાં $a = \frac{1}{16}$.

(D) પગલું $1$: આપેલ પરવલય માટે નાભિલંબનું ઉપરનું અંત્યબિંદુ શોધો.
પરવલય $y^2 = -4ax$ ના નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(-a, \pm 2a)$ છે.
આપેલ પરવલય $y^2 = -12x$ સાથે સરખાવતા,$4a = 12$,તેથી $a = 3$.
આથી,તેના નાભિલંબનું ઉપરનું અંત્યબિંદુ $(-3, 6)$ છે.
પગલું $2$: આ બિંદુએ પરવલયના અભિલંબનો ઢાળ શોધો.
આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = -12x$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = -12$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{-6}{y}$.
$(-3, 6)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \frac{-6}{6} = -1$ છે.
$(-3, 6)$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{-1} = 1$ છે.
પગલું $3$: અભિલંબનું સમીકરણ શોધો.
અભિલંબ એ $(-3, 6)$ માંથી પસાર થતી રેખા છે જેનો ઢાળ $m = 1$ છે.
બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $y - y_1 = m(x - x_1)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y - 6 = 1(x - (-3))$
$y - 6 = x + 3$
$x - y + 9 = 0$.

(C) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી દોરેલી સ્પર્શજીવાનું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x + x_1)$ છે.
અહીં પરવલય $y^2 = -x$ આપેલ છે,તેથી $4a = -1$ એટલે કે $a = -1/4$.
બિંદુ $(2, 3)$ માટે સ્પર્શજીવાનું સમીકરણ $y(3) = 2(-1/4)(x + 2)$ થશે.
$3y = -1/2(x + 2)$.
$6y = -(x + 2)$.
$6y + x + 2 = 0$.

(B) ધારો કે પરવલય $y^2 = 4ax$ છે. જીવાનું એક અંત્યબિંદુ $P(at^2, 2at)$ છે.
જીવા ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,જીવાનો ઢાળ $m = \frac{2at - 0}{at^2 - 0} = \frac{2}{t}$ થાય.
$P(at^2, 2at)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y = -tx + 2at + at^3$ છે.
આ અભિલંબ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતો હોવાથી,$0 = 2at + at^3$ મળે.
$a \neq 0$ અને $t \neq 0$ લેતા,$t^2 = -2$ મળે.
વાસ્તવિક પરવલય માટે,ઢાળ $m = \pm \sqrt{2}$ મળે છે.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4ax$ છે,જ્યાં $4a = 4$,તેથી $a = 1$.
પરવલય $y^2 = 4ax$ ના બિંદુ $(at^2, 2at)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y = -tx + 2at + at^3$ છે.
આપેલ રેખા $x + y = k$ છે,જેને $y = -x + k$ તરીકે લખી શકાય.
$y = -x + k$ ની સરખામણી $y = -tx + 2at + at^3$ સાથે કરતા,આપણને $t = 1$ મળે છે.
$t = 1$ અને $a = 1$ ને $k$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$k = 2at + at^3 = 2(1)(1) + 1(1)^3 = 2 + 1 = 3$.
તેથી,$k$ નું મૂલ્ય $3$ છે.

(B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2 - 4y - 2x - 8 = 0$ છે.
$y$ પદો માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$y^2 - 4y = 2x + 8$
$y^2 - 4y + 4 = 2x + 8 + 4$
$(y - 2)^2 = 2x + 12$
$(y - 2)^2 = 2(x + 6)$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a = 2$ મળે છે.
તેથી,નાભિલંબની લંબાઈ $4a = 2$ છે.

(C) પરવલયનું શિરોબિંદુ $x$-અક્ષ પર $(p, 0)$ છે.
નાભિ $x$-અક્ષ પર $(q, 0)$ છે.
શિરોબિંદુથી નાભિનું અંતર $a = q - p$ છે.
શિરોબિંદુ $(h, k)$ અને $x$-અક્ષને સમાંતર અક્ષ ધરાવતા પરવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ છે.
$h = p$,$k = 0$,અને $a = q - p$ મૂકતા:
$(y - 0)^2 = 4(q - p)(x - p)$
$y^2 = -4(p - q)(x - p)$.

(B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $x^2 + 4y = 0$ છે.
આને $4y = -x^2$ તરીકે લખી શકાય,જેનો અર્થ છે કે $y = -\frac{1}{4}x^2$.
કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{4} \times 2x = -\frac{x}{2}$.
બિંદુ $(2, -1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $(m_t)$ છે:
$m_t = -\frac{2}{2} = -1$.
અભિલંબનો ઢાળ $(m_n)$ એ સ્પર્શકના ઢાળનો વ્યસ્ત અને વિરોધી હોય છે:
$m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{-1} = 1$.
તેથી,અભિલંબનો ઢાળ $1$ છે.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4ax$ છે,જ્યાં $4a = 4$,તેથી $a = 1$.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(a, 2a)$ અને $(a, -2a)$ છે,જે $(1, 2)$ અને $(1, -2)$ થાય.
પરવલય $y^2 = 4ax$ ના બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x + x_1)$ છે.
બિંદુ $(1, 2)$ માટે,સ્પર્શક $y(2) = 2(1)(x + 1) \implies y = x + 1$ છે.
બિંદુ $(1, -2)$ માટે,સ્પર્શક $y(-2) = 2(1)(x + 1) \implies -y = x + 1$ છે.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $0 = 2(x + 1) \implies x = -1$.
$x = -1$ ને $y = x + 1$ માં મૂકતા,$y = -1 + 1 = 0$ મળે.
આમ,છેદબિંદુ $(-1, 0)$ છે.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4x$ છે. અહીં, $a = 1$.
પરવલયનું શિરોબિંદુ $(0, 0)$ છે.
જીવા શિરોબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને $x$-અક્ષ સાથે $\theta = 30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા જેનો ઢાળ $m = \tan(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે, તેનું સમીકરણ $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ અથવા $x = \sqrt{3}y$ થાય.
$x = \sqrt{3}y$ ને પરવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y^2 = 4(\sqrt{3}y) \implies y^2 - 4\sqrt{3}y = 0$.
$y(y - 4\sqrt{3}) = 0$.
તેથી, $y = 0$ અથવા $y = 4\sqrt{3}$.
જો $y = 0$, તો $x = 0$. જો $y = 4\sqrt{3}$, તો $x = \sqrt{3}(4\sqrt{3}) = 12$.
જીવાના અંત્યબિંદુઓ $(0, 0)$ અને $(12, 4\sqrt{3})$ છે.
જીવાની લંબાઈ $L = \sqrt{(12 - 0)^2 + (4\sqrt{3} - 0)^2} = \sqrt{144 + 48} = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$.

(C) પરવલય $y^2 = 4ax$ ના અભિલંબનું સમીકરણ $y = mx - 2am - am^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી પસાર થતા અભિલંબ માટે,સમીકરણ $y_1 = mx_1 - 2am - am^3$ થાય,જે $am^3 + (2a - x_1)m + y_1 = 0$ માં પરિણમે છે.
આ $m$ માં ત્રિઘાત સમીકરણ છે. ત્રિઘાત સમીકરણને વધુમાં વધુ $3$ વાસ્તવિક ઉકેલો હોઈ શકે છે,તેથી પરવલય પર કોઈપણ બિંદુમાંથી વધુમાં વધુ $3$ અભિલંબો દોરી શકાય છે.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 8x$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a = 8$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $a = 2$.
પરવલય $y^2 = 4ax$ પરના બિંદુ $(x, y)$ નું નાભિ અંતર $x + a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નાભિ અંતર $4$ આપેલ હોવાથી,$x + a = 4$ થાય.
$a = 2$ મૂકતા,$x + 2 = 4$,તેથી $x = 2$ મળે.
હવે,$x = 2$ ને પરવલયના સમીકરણ $y^2 = 8x$ માં મૂકતા:
$y^2 = 8(2) = 16$.
તેથી,$y = \pm 4$.
આમ,બિંદુઓ $(2, 4)$ અને $(2, -4)$ છે.
વિકલ્પો જોતા,$(2, 4)$ એ વિકલ્પ $A$ માં આપેલ છે.

(C) આપેલ છે,$x = t^2 + t + 1 \quad (i)$ અને $y = t^2 - t + 1 \quad (ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા,$x + y = 2t^2 + 2 = 2(t^2 + 1) \quad (iii)$.
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા,$x - y = 2t$,જેનો અર્થ છે $t = \frac{x - y}{2} \quad (iv)$.
$(iv)$ ને $(iii)$ માં મૂકતા:
$x + y = 2 \left[ \left( \frac{x - y}{2} \right)^2 + 1 \right]$
$x + y = 2 \left[ \frac{x^2 + y^2 - 2xy}{4} + 1 \right]$
$x + y = \frac{x^2 + y^2 - 2xy}{2} + 2$
$2x + 2y = x^2 + y^2 - 2xy + 4$
$x^2 - 2xy + y^2 - 2x - 2y + 4 = 0$
આ સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $a=1, h=-1, b=1, g=-1, f=-1, c=4$.
વિવેચક $h^2 - ab = (-1)^2 - (1)(1) = 1 - 1 = 0$.
$h^2 - ab = 0$ હોવાથી,આ સમીકરણ પરવલય દર્શાવે છે.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4x$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1$ મળે છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ પરવલય $y^2 = 4ax$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x + x_1)$ છે.
કિંમતો $(x_1, y_1) = (1, 2)$ અને $a = 1$ સૂત્રમાં મૂકતા:
$y(2) = 2(1)(x + 1)$
$2y = 2(x + 1)$
$y = x + 1$
$x - y + 1 = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4ax$ છે. શિરોબિંદુ $(0, 0)$ છે.
શિરોબિંદુ $(0, 0)$ આગળ પરવલયને સ્પર્શતા $a$ ત્રિજ્યાના વર્તુળનું કેન્દ્ર $(a, 0)$ હોય. તેથી વર્તુળનું સમીકરણ $(x - a)^2 + y^2 = a^2$ થાય.
પરવલય $y^2 = 4ax$ ના નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(a, 2a)$ અને $(a, -2a)$ છે.
ધારો કે બિંદુ $P = (a, 2a)$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી વર્તુળ $S = 0$ પર દોરેલા સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{S(x_1, y_1)}$ છે.
વર્તુળ $(x - a)^2 + y^2 - a^2 = 0$ માટે,$P(a, 2a)$ મૂકતા:
$L = \sqrt{(a - a)^2 + (2a)^2 - a^2} = \sqrt{0 + 4a^2 - a^2} = \sqrt{3a^2} = \sqrt{3}a$.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = ax$ છે. પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y^2 = 4Ax$ સાથે સરખાવતા,$4A = a$,તેથી $A = \frac{a}{4}$ મળે.
શિરોબિંદુના યામ $(0, 0)$ છે.
નાભિલંબ એ નાભિ $(A, 0)$ માંથી પસાર થતી અને પરવલયની અક્ષને લંબ જીવા છે.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(A, 2A)$ અને $(A, -2A)$ એટલે કે $(\frac{a}{4}, \frac{a}{2})$ અને $(\frac{a}{4}, -\frac{a}{2})$ છે.
ધારો કે શિરોબિંદુ $O(0, 0)$ છે અને નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $L(\frac{a}{4}, \frac{a}{2})$ અને $L'(\frac{a}{4}, -\frac{a}{2})$ છે.
$OL$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{a/2}{a/4} = 2$ છે.
$OL'$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{-a/2}{a/4} = -2$ છે.
ધારો કે $OL$ અને $OL'$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. $OL$ એ $x$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો $\alpha$ હોય તો $\tan \alpha = 2$,તેથી $\alpha = \tan^{-1}(2)$.
શિરોબિંદુ આગળ બનતો ખૂણો $\theta = 2\alpha = 2 \tan^{-1}(2)$ છે.
આ કિંમત $\frac{\pi}{2}$,$\frac{\pi}{3}$ કે $\frac{\pi}{4}$ નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x = ay^2 + by + c$ છે.
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવીને આપણે તેને ફરીથી લખી શકીએ:
$x = a(y^2 + \frac{b}{a}y) + c$
$x = a(y^2 + \frac{b}{a}y + \frac{b^2}{4a^2}) + c - \frac{b^2}{4a}$
$x - (c - \frac{b^2}{4a}) = a(y + \frac{b}{2a})^2$
$(y + \frac{b}{2a})^2 = \frac{1}{a}(x - (c - \frac{b^2}{4a}))$
આ પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(y - k)^2 = 4p(x - h)$ માં છે,જ્યાં $4p = \frac{1}{a}$ છે.
નાભિલંબની લંબાઈ $|4p|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,લંબાઈ $|\frac{1}{a}| = \frac{1}{|a|}$ થાય.

(B) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{a}{m}$ છે.
અહીં,પરવલય $y^2 = 4x$ છે,તેથી $a = 1$.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{1}{m}$ છે.
સ્પર્શક બિંદુ $(2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$3 = m(2) + \frac{1}{m}$
$3 = 2m + \frac{1}{m}$
$m$ વડે ગુણતા:
$3m = 2m^2 + 1$
$2m^2 - 3m + 1 = 0$.
આ $m$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે,જેના બીજ $m_1$ અને $m_2$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $am^2 + bm + c = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $m_1 + m_2 = -\frac{b}{a}$ અને ગુણાકાર $m_1 m_2 = \frac{c}{a}$ થાય.
અહીં,$m_1 + m_2 = \frac{3}{2}$ અને $m_1 m_2 = \frac{1}{2}$.
આપણે $\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} = \frac{m_1 + m_2}{m_1 m_2}$ શોધવાનું છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{3/2}{1/2} = 3$.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ: $4y^2 + 6x = 8y + 7$.
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$4(y^2 - 2y) = -6x + 7$.
બંને બાજુ $4(1)^2 = 4$ ઉમેરતા:
$4(y^2 - 2y + 1) = -6x + 7 + 4$.
$4(y - 1)^2 = -6x + 11$.
$4$ વડે ભાગતા:
$(y - 1)^2 = -\frac{6}{4}(x - \frac{11}{6})$.
$(y - 1)^2 = -\frac{3}{2}(x - \frac{11}{6})$.
આ સમીકરણ $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં શિરોબિંદુ $(h, k) = (\frac{11}{6}, 1)$ છે.
પરવલયના શિરોબિંદુ આગળનો સ્પર્શક એ પરવલયની અક્ષને લંબ અને શિરોબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા છે.
પરવલય $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ સ્વરૂપમાં હોવાથી,તેની અક્ષ સમક્ષિતિજ $(y = k)$ છે.
તેથી,શિરોબિંદુ આગળનો સ્પર્શક એ શિરોબિંદુ $(\frac{11}{6}, 1)$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખા છે.
આ શિરોલંબ રેખાનું સમીકરણ $x = h$ એટલે કે $x = \frac{11}{6}$ થાય.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = x$ છે.
પરવલયની અક્ષ $x$-અક્ષ $(y = 0)$ છે.
જીવા $PQ$ એ પરવલયની અક્ષને લંબ છે,તેથી $PQ$ એ શિરોલંબ રેખા છે.
$P(4, -2)$ હોવાથી,રેખા $PQ$ નું સમીકરણ $x = 4$ થાય.
$Q$ ના યામ શોધવા માટે,$x = 4$ ને $y^2 = x$ માં મૂકતા:
$y^2 = 4 \implies y = 2$ અથવા $y = -2$.
$P(4, -2)$ હોવાથી,બીજું અંત્યબિંદુ $Q(4, 2)$ થાય.
હવે,$y^2 = x$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા સ્પર્શકનો ઢાળ મળે:
$2y \frac{dy}{dx} = 1 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$.
$Q(4, 2)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \frac{1}{2(2)} = \frac{1}{4}$ થાય.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t}$ દ્વારા મળે.
તેથી,$m_n = -\frac{1}{1/4} = -4$.

(D) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = 8y$ છે. તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^2 = 4ay$ સાથે સરખાવતા,$4a = 8$ મળે,તેથી $a = 2$.
પરવલયનું શિરોબિંદુ $V(0, 0)$ છે.
$x^2 = 4ay$ માટે નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(2a, a)$ અને $(-2a, a)$ છે.
$a = 2$ મૂકતા,અંત્યબિંદુઓ $L_1(4, 2)$ અને $L_2(-4, 2)$ મળે.
ત્રિકોણ $V(0, 0)$,$L_1(4, 2)$ અને $L_2(-4, 2)$ દ્વારા રચાય છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |0(2 - 2) + 4(2 - 0) + (-4)(0 - 2)| = \frac{1}{2} |0 + 8 + 8| = \frac{1}{2} |16| = 8$ ચોરસ એકમ.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4x$ છે. તેને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$a = 1$ મળે છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \tan(45^{\circ}) = 1$ છે.
$y^2 = 4ax$ પરવલય માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{a}{m}$ છે.
$a = 1$ અને $m = 1$ મૂકતા,$y = 1(x) + \frac{1}{1}$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $y = x + 1$ થાય છે.
$y^2 = 4ax$ પરવલય માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સ્પર્શબિંદુ $(x_1, y_1) = (\frac{a}{m^2}, \frac{2a}{m})$ છે.
$a = 1$ અને $m = 1$ મૂકતા,સ્પર્શબિંદુ $(x_1, y_1) = (\frac{1}{1^2}, \frac{2(1)}{1}) = (1, 2)$ મળે છે.
આમ,સ્પર્શબિંદુ એક નિશ્ચિત બિંદુ $(1, 2)$ છે,તેથી તેનો બિંદુપથ તે બિંદુ પોતે જ છે,જે આપેલા કોઈ પણ વિકલ્પ સાથે સુસંગત નથી.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $4y^2 = x$ છે,જેને $y^2 = \frac{1}{4}x$ તરીકે લખી શકાય.
તેને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a = \frac{1}{4}$,તેથી $a = \frac{1}{16}$ મળે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $m = \tan(60^{\circ}) = \sqrt{3}$ છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{a}{m}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y = \sqrt{3}x + \frac{1/16}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}x + \frac{1}{16\sqrt{3}}$.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શ બિંદુના યામ $\left( \frac{a}{m^2}, \frac{2a}{m} \right)$ છે.
$a = \frac{1}{16}$ અને $m = \sqrt{3}$ મૂકતા:
$x = \frac{1/16}{(\sqrt{3})^2} = \frac{1}{16 \times 3} = \frac{1}{48}$.
$y = \frac{2(1/16)}{\sqrt{3}} = \frac{1/8}{\sqrt{3}} = \frac{1}{8\sqrt{3}}$.
આમ,સ્પર્શ બિંદુ $\left( \frac{1}{48}, \frac{1}{8\sqrt{3}} \right)$ છે.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 16x$ છે. તેને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a = 16$,તેથી $a = 4$ મળે.
$m$ ઢાળ ધરાવતા પરવલય $y^2 = 4ax$ ના અભિલંબનું સમીકરણ $y = mx - 2am - am^3$ છે.
અહીં $m = -1/4$ અને $a = 4$ આપેલ છે,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$y = (-1/4)x - 2(4)(-1/4) - 4(-1/4)^3$
$y = -x/4 + 2 - 4(-1/64)$
$y = -x/4 + 2 + 1/16$
છેદ દૂર કરવા માટે સમીકરણને $16$ વડે ગુણતા:
$16y = -4x + 32 + 1$
$16y = -4x + 33$
$4x + 16y = 33$

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4ax$ છે,જ્યાં $4a = 4$,તેથી $a = 1$ મળે.
પરવલયના બે પરસ્પર લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ તેની નિયામિકા (directrix) હોય છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે નિયામિકાનું સમીકરણ $x = -a$ છે.
$a = 1$ મૂકતા,આપણને $x = -1$ મળે છે.
તેથી,બિંદુ $P$ નો બિંદુપથ $x = -1$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $y^2 - 2y - 12x - 11 = 0$
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(y^2 - 2y + 1) - 1 - 12x - 11 = 0$
$(y - 1)^2 = 12x + 12$
$(y - 1)^2 = 12(x + 1)$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $h = -1, k = 1$ અને $4a = 12 \implies a = 3$ મળે છે.
$(y - k)^2 = 4a(x - h)$ માટે પ્રચલ સમીકરણો $x = h + at^2$ અને $y = k + 2at$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x = -1 + 3t^2$ અને $y = 1 + 2(3)t = 1 + 6t$.
આમ,$x = 3t^2 - 1$ અને $y = 6t + 1$.

(B) પરવલયના નાભિલંબની લંબાઈ $4a = 8$ છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 2$.
નાભિ $(3, 0)$ હોવાથી અને $y$-યામ $0$ હોવાથી,પરવલયની અક્ષ $x$-અક્ષ છે.
આવા પરવલયનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ છે,જ્યાં $(h, k)$ શિરોબિંદુ છે.
નાભિ $(h + a, k) = (3, 0)$ આપેલ છે,તેથી $k = 0$ અને $h + a = 3$.
$a = 2$ મૂકતા,$h + 2 = 3$,તેથી $h = 1$.
આમ,શિરોબિંદુ $(h, k) = (1, 0)$ થાય.

(B) આપેલ સમીકરણો $x + y = 1$ અને $y = x - x^2$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$y = 1 - x$ મળે.
આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$1 - x = x - x^2$
$x^2 - 2x + 1 = 0$
$(x - 1)^2 = 0$
$x = 1$.
હવે,$x = 1$ ની કિંમત $y = 1 - x$ માં મૂકતા:
$y = 1 - 1 = 0$.
આમ,છેદબિંદુ $(1, 0)$ છે.

(A) પરવલય $y^2 = 4ax$ (જ્યાં $a=1$) માટે,બિંદુ $(at^2, 2at)$ આગળનો અભિલંબ $y = -tx + 2at + at^3$ છે.
તે $(3, 0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$0 = -3t + 2t + t^3$,જે $t^3 - t = 0$ માં પરિણમે છે.
આમ,$t(t-1)(t+1) = 0$,જેથી $t_1 = 0, t_2 = 1, t_3 = -1$ મળે.
બિંદુઓ $P(0, 0), Q(1, 2), R(1, -2)$ છે.
$(A)$ પરિવૃતની ત્રિજ્યા $R_{c} = \frac{abc}{4\Delta}$. બાજુઓ $PQ = \sqrt{5}, PR = \sqrt{5}, QR = 4$ છે. ક્ષેત્રફળ $\Delta = 2$. $R_{c} = 5/2$. તેથી $A \to P$.
$(B)$ $\Delta PQR$ નું ક્ષેત્રફળ $= 2$. તેથી $B \to S$.
$(C)$ મધ્યકેન્દ્ર $G = (2/3, 0)$. તેથી $C \to R$.
$(D)$ પરિકેન્દ્ર $O_{c} = (5/2, 0)$. તેથી $D \to Q$.
તેથી,$A \to P, B \to S, C \to R, D \to Q$.

(B) પરવલયનું આપેલ સમીકરણ $y^2 - 6y + 24x - 63 = 0$ છે.
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,આપણને $(y - 3)^2 - 9 + 24x - 63 = 0$ મળે છે.
$(y - 3)^2 = -24x + 72$.
$(y - 3)^2 = -24(x - 3)$.
આ $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ પ્રકારનો પરવલય છે,જ્યાં $4a = -24$,તેથી $a = -6$.
પરવલયના લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ તેની નિયામિકા (directrix) છે.
$(y - k)^2 = 4a(x - h)$ પરવલયની નિયામિકા $x - h = -a$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$h = 3$,$k = 3$,અને $a = -6$.
તેથી,$x - 3 = -(-6) = 6$.
$x = 9$,જેને $x - 9 = 0$ તરીકે લખી શકાય.

(C) આપેલ સમીકરણ: $y^2 - 12y = -8x - 20$
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(y - 6)^2 - 36 = -8x - 20$
$(y - 6)^2 = -8x + 16$
$(y - 6)^2 = -8(x - 2)$
આ સમીકરણને $(y - k)^2 = -4a(x - h)$ સાથે સરખાવતા,
$h = 2, k = 6$ અને $4a = 8 \implies a = 2$.
શિરોબિંદુ $(h, k) = (2, 6)$.
નાભિ $(h - a, k) = (2 - 2, 6) = (0, 6)$.
નાભિલંબની લંબાઈ $= 4a = 8$.
અક્ષ $y - k = 0 \implies y = 6$.
વિકલ્પ $C$ માં નાભિલંબની લંબાઈ $4$ આપી છે,જે ખોટું છે. સાચી લંબાઈ $8$ છે.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 8x$ છે.
તેને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a = 8$,તેથી $a = 2$ મળે.
આપેલ બિંદુ $(x_1, y_1) = (2, 4)$ છે.
$y^2 = 8x$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 8$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{4}{y}$.
બિંદુ $(2, 4)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $(m_t)$ $\frac{4}{4} = 1$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $(m_n)$ $-\frac{1}{m_t} = -1$ થાય.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ અને $m_n$ ઢાળવાળા અભિલંબનું સમીકરણ $y - y_1 = m_n(x - x_1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y - 4 = -1(x - 2)$ મળે.
$y - 4 = -x + 2$.
$x + y = 6$.

(D) નિયામિકા $(3x + 4y + 15 = 0)$ અને શિરોબિંદુ આગળના સ્પર્શક $(3x + 4y - 5 = 0)$ વચ્ચેનું અંતર એ શિરોબિંદુથી નાભિ સુધીના અંતર $a$ જેટલું હોય છે.
બે સમાંતર રેખાઓ $Ax + By + C_1 = 0$ અને $Ax + By + C_2 = 0$ વચ્ચેનું અંતર $a = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $a = \frac{|15 - (-5)|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{20}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{20}{5} = 4$.
પરવલયના નાભિલંબની લંબાઈ $4a$ છે.
તેથી,નાભિલંબની લંબાઈ $= 4 \times 4 = 16$.

(C) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = -8y$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^2 = -4ay$ સાથે સરખાવતા,આપણને $-4a = -8$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 2$.
પરવલય $x^2 = -4ay$ ની નાભિ $(0, -a)$ છે અને નિયામિકાનું સમીકરણ $y = a$ છે.
અહીં,નાભિ $(0, -2)$ છે અને નિયામિકા $y = 2$ છે.
નાભિ $(0, -2)$ અને નિયામિકા $y = 2$ વચ્ચેનું અંતર $|2 - (-2)| = |4| = 4$ થાય.
વૈકલ્પિક રીતે,પરવલય $x^2 = 4ay$ (અથવા $x^2 = -4ay$) માટે નાભિ અને નિયામિકા વચ્ચેનું અંતર $2a$ હોય છે.
$a = 2$ મૂકતા,અંતર $2 \times 2 = 4$ મળે છે.

(C) ધારો કે $P$ ના યામ,જેનો બિંદુપથ શોધવાનો છે,તે $(h, k)$ છે.
$P$ એ $(0, 0)$ અને $(x, y)$ ને જોડતા રેખાખંડને $1 : 3$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરતું હોવાથી,વિભાજન સૂત્ર મુજબ $P$ ના યામ:
$h = \frac{1 \cdot x + 3 \cdot 0}{1 + 3} = \frac{x}{4} \implies x = 4h$
$k = \frac{1 \cdot y + 3 \cdot 0}{1 + 3} = \frac{y}{4} \implies y = 4k$
આપેલ છે કે $(x, y)$ એ પરવલય $y^2 = 4x$ પર છે,તેથી $x$ અને $y$ ની કિંમતો મૂકતા:
$(4k)^2 = 4(4h)$
$16k^2 = 16h$
$k^2 = h$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,$P$ નો બિંદુપથ $y^2 = x$ મળે છે.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4bx$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2y \frac{dy}{dx} = 4b$,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{2b}{y}$ મળે.
બિંદુ $(bt_1^2, 2bt_1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{2b}{2bt_1} = \frac{1}{t_1}$ છે.
તેથી,$(bt_1^2, 2bt_1)$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $m = -t_1$ થાય.
$(bt_1^2, 2bt_1)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $(y - 2bt_1) = -t_1(x - bt_1^2)$ છે.
બિંદુ $(bt_2^2, 2bt_2)$ આ અભિલંબ પર આવેલું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(2bt_2 - 2bt_1) = -t_1(bt_2^2 - bt_1^2)$
$2b(t_2 - t_1) = -t_1b(t_2 - t_1)(t_2 + t_1)$
$b(t_2 - t_1)$ વડે ભાગતા ($t_2 \neq t_1$ અને $b \neq 0$ ધારતા):
$2 = -t_1(t_2 + t_1)$
$2 = -t_1t_2 - t_1^2$
$t_1t_2 = -t_1^2 - 2$
$t_2 = -t_1 - \frac{2}{t_1}$

(B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = -8x$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y^2 = -4ax$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a = 8$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 2$.
પરવલય $y^2 = -4ax$ ની નાભિ $(-a, 0)$ પર હોય છે.
$a = 2$ મૂકતા,નાભિ $(-2, 0)$ મળે છે.
કારણ કે $2x + y + \lambda = 0$ એ નાભિ જીવા છે,તેથી તે નાભિ $(-2, 0)$ માંથી પસાર થવી જોઈએ.
જીવાના સમીકરણમાં $x = -2$ અને $y = 0$ મૂકતા:
$2(-2) + 0 + \lambda = 0$
$-4 + \lambda = 0$
$\lambda = 4$.

(B) ધારો કે પરવલય $y^2 = 4ax$ છે અને નાભિ $S(a, 0)$ છે.
બિંદુ $P(at^2, 2at)$ પર સ્પર્શકનું સમીકરણ $ty = x + at^2$ છે.
આ સ્પર્શક અક્ષ $(y=0)$ ને $Q(-at^2, 0)$ બિંદુએ મળે છે.
નાભિ અંતર $SP = a + at^2$ અને $SQ = a + at^2$ થાય છે.
તેથી $\triangle SPQ$ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે,જેમાં $\angle SPQ = \angle SQP = \alpha$.
સ્પર્શક અને અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોય,તો $\triangle SPQ$ માં બહિષ્કોણના ગુણધર્મ મુજબ $\theta = \alpha / 2$ મળે છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $x^2 - 4x - 8y + 12 = 0$ છે.
$x$ પદો માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$x^2 - 4x = 8y - 12$
$x^2 - 4x + 4 = 8y - 12 + 4$
$(x - 2)^2 = 8y - 8$
$(x - 2)^2 = 8(y - 1)$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a = 8$ મળે છે.
નાભિલંબની લંબાઈ $|4a|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,નાભિલંબની લંબાઈ $8$ છે.

(A) ધારો કે પરવલય $y^2 = 8x$ પરના બિંદુ $Q$ ના યામ $(2t^2, 4t)$ છે.
ધારો કે $PQ$ નું મધ્યબિંદુ $(h, k)$ છે.
$P = (1, 0)$ અને $Q = (2t^2, 4t)$ હોવાથી,મધ્યબિંદુ $(h, k)$ નીચે મુજબ મળે:
$h = \frac{2t^2 + 1}{2} \implies 2t^2 = 2h - 1$
$k = \frac{4t + 0}{2} = 2t \implies t = \frac{k}{2}$
$t = \frac{k}{2}$ ને $2t^2 = 2h - 1$ સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(\frac{k}{2})^2 = 2h - 1$
$2(\frac{k^2}{4}) = 2h - 1$
$\frac{k^2}{2} = 2h - 1$
$k^2 = 4h - 2$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $y^2 = 4x - 2$ મળે,એટલે કે $y^2 - 4x + 2 = 0$.

(B) પગલું $1$: આપેલ સમીકરણોને એકસાથે ઉકેલો.
આપેલ છે કે રેખા $2y - x + k = 0$ એ પરવલય $x^2 + 4y = 0$ ને સ્પર્શે છે.
રેખાના સમીકરણ પરથી,$2y = x - k$,તેથી $y = \frac{x - k}{2}$.
પરવલયના સમીકરણ $x^2 + 4y = 0$ માં $y = \frac{x - k}{2}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$x^2 + 4\left(\frac{x - k}{2}\right) = 0$
$x^2 + 2(x - k) = 0$
$x^2 + 2x - 2k = 0$
પગલું $2$: સ્પર્શકની શરતનો ઉપયોગ કરો.
રેખા પરવલયને સ્પર્શે તે માટે,દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ સમાન હોવા જોઈએ,એટલે કે વિવેચક $D = 0$ હોવો જોઈએ.
$ax^2 + bx + c = 0$ માટે,$D = b^2 - 4ac$.
અહીં,$a = 1, b = 2, c = -2k$.
$D = (2)^2 - 4(1)(-2k) = 0$
$4 + 8k = 0$
$8k = -4$
$k = -1/2$.

(B) ધારો કે પરવલય $y^2 = 4ax$ નું શિરોબિંદુ $O(0, 0)$ છે.
ધારો કે $Q(at^2, 2at)$ એ પરવલય પરનું એક બિંદુ છે.
જીવા $OQ$ ના મધ્યબિંદુ $P(x, y)$ ના યામ:
$x = \frac{0 + at^2}{2} = \frac{at^2}{2}$
$y = \frac{0 + 2at}{2} = at$
બીજા સમીકરણ પરથી,$t = \frac{y}{a}$.
$t$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા:
$x = \frac{a}{2} \left(\frac{y}{a}\right)^2 = \frac{a}{2} \cdot \frac{y^2}{a^2} = \frac{y^2}{2a}$
$y^2 = 2ax$
આપેલ પરવલય $y^2 = 4x$ માટે,$a = 1$ છે.
$a = 1$ ની કિંમત બિંદુપથના સમીકરણ $y^2 = 2ax$ માં મૂકતા,આપણને $y^2 = 2x$ મળે છે.