Parabola Questions in Gujarati

(C) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,બિંદુ $t$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y + tx = 2at + at^3$ છે. અહીં $a = 1$ છે,તેથી અભિલંબ $y + tx = 2t + t^3$ થશે.
જો $t_1$ અને $t_2$ ને જોડતી જીવા શિરોબિંદુ $(0,0)$ આગળ કાટખૂણો આંતરે,તો શિરોબિંદુ અને બિંદુઓને જોડતી રેખાઓના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય. ઢાળ $m_1 = \frac{2}{t_1}$ અને $m_2 = \frac{2}{t_2}$ છે.
તેથી,$\frac{2}{t_1} \times \frac{2}{t_2} = -1 \Rightarrow t_1t_2 = -4$.
જીવા અભિલંબ હોવાથી,$t_2 = -t_1 - \frac{2}{t_1}$.
$t_2 = -\frac{4}{t_1}$ મૂકતા,$-\frac{4}{t_1} = -t_1 - \frac{2}{t_1}$ $\Rightarrow t_1^2 = 2$ $\Rightarrow t_1 = \sqrt{2}$ (લઘુકોણ માટે).
અભિલંબનો ઢાળ $m = -t_1 = -\sqrt{2}$ છે.
$x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan(\pi - \theta) = |m| = \sqrt{2}$.
તેથી,$\tan(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \cot^{-1}(\sqrt{2})$.

(A) ધારો કે જીવા $y = mx + c$ છે. રેખા અને પરવલય $y^2 = 4ax$ ના છેદબિંદુઓ $(mx + c)^2 = 4ax$ દ્વારા મળે છે,જે $m^2x^2 + (2mc - 4a)x + c^2 = 0$ માં પરિણમે છે.
ધારો કે બિંદુઓ $A(x_1, y_1)$ અને $B(x_2, y_2)$ છે. તો $x_1x_2 = \frac{c^2}{m^2}$ અને $y_1y_2 = \frac{4ac}{m}$.
જીવા શિરોબિંદુ $(0,0)$ આગળ કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી $OA$ અને $OB$ ના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય,એટલે કે $\frac{y_1}{x_1} \times \frac{y_2}{x_2} = -1$,જેનો અર્થ છે $y_1y_2 = -x_1x_2$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{4ac}{m} = -\frac{c^2}{m^2}$,જે $c = -4am$ આપે છે.
જીવાનું સમીકરણ $y = mx - 4am$ છે.
ધારો કે $(h, k)$ એ ઉગમબિંદુથી આ રેખા પરના લંબનો લંબપાદ છે. લંબ રેખાનો ઢાળ $-\frac{1}{m}$ છે,તેથી $\frac{k}{h} = -\frac{1}{m}$,જે $m = -\frac{h}{k}$ આપે છે.
$(h, k)$ એ રેખા $y = mx - 4am$ પર હોવાથી,$k = mh - 4am = m(h - 4a)$.
$m = -\frac{h}{k}$ મૂકતા,$k = -\frac{h}{k}(h - 4a)$,જે $k^2 = -h^2 + 4ah$ માં પરિણમે છે.
આમ,$h^2 + k^2 - 4ah = 0$. $(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2 + y^2 - 4ax = 0$ મળે છે.

(C) ધારો કે સ્પર્શબિંદુ $(x_1, y_1)$ છે.
પ્રથમ પરવલય $y^2 = 4a(x - l_1)$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા $2y \frac{dy}{dx} = 4a$ મળે,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y_1}$.
બીજા પરવલય $x^2 = 4a(y - l_2)$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા $2x = 4a \frac{dy}{dx}$ મળે,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{x_1}{2a}$.
પરવલયો $(x_1, y_1)$ પર સ્પર્શે છે,તેથી આ બિંદુએ તેમના ઢાળ સમાન હોવા જોઈએ.
તેથી,$\frac{2a}{y_1} = \frac{x_1}{2a}$.
આના પરથી $x_1 y_1 = 4a^2$ મળે છે.
આમ,સ્પર્શબિંદુનો બિંદુપથ $xy = 4a^2$ છે.

(C) પરવલયનું શિરોબિંદુ $(h, k) = (2, 2)$ છે.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(-2, 0)$ અને $(6, 0)$ હોવાથી,પરવલયની અક્ષ શિરોલંબ રેખા $x = 2$ છે.
પરવલય નીચેની તરફ ખુલે છે,તેથી તેનું સમીકરણ $(x - h)^2 = -4a(y - k)$ સ્વરૂપમાં હશે.
શિરોબિંદુ $(2, 2)$ મૂકતા,આપણને $(x - 2)^2 = -4a(y - 2)$ મળે છે.
નાભિલંબની લંબાઈ એ $(-2, 0)$ અને $(6, 0)$ વચ્ચેનું અંતર છે,જે $|6 - (-2)| = 8$ થાય છે.
આમ,$4a = 8$,તેથી $a = 2$.
સમીકરણ $(x - 2)^2 = -8(y - 2)$ બને છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2 - 4x + 4 = -8y + 16$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - 4x + 8y - 12 = 0$ થાય છે.

(D) બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ દુભાગતી પરવલય $y^2 = 4ax$ ની જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$y^2 = x$,તેથી $4a = 1 \Rightarrow a = 1/4$.
જીવાનું સમીકરણ $y y_1 - 2a(x + x_1) = y_1^2 - 4ax_1$ છે.
$(x_1, y_1) = (2, 1)$ અને $a = 1/4$ મૂકતા:
$y(1) - 2(1/4)(x + 2) = 1^2 - 4(1/4)(2)$
$y - 1/2(x + 2) = 1 - 2$
$y - 1/2x - 1 = -1$
$y = 1/2x \Rightarrow x = 2y$.
$x = 2y$ ને $y^2 = x$ માં મૂકતા:
$y^2 = 2y \Rightarrow y(y - 2) = 0$.
તેથી,$y = 0$ અથવા $y = 2$.
જો $y = 0$,તો $x = 0$. બિંદુ $A = (0, 0)$.
જો $y = 2$,તો $x = 4$. બિંદુ $B = (4, 2)$.
જીવા $AB$ ની લંબાઈ $= \sqrt{(4 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.

(C) ધારો કે નાભિ જીવાના અંત્યબિંદુઓ $P(at_1^2, 2at_1)$ અને $Q(at_2^2, 2at_2)$ છે. $PQ$ નાભિ જીવા હોવાથી,$t_1t_2 = -1$.
$P$ અને $Q$ આગળના સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $(x_1, y_1) = (at_1t_2, a(t_1 + t_2))$ છે.
$t_1t_2 = -1$ મૂકતા,$x_1 = -a$ અને $y_1 = a(t_1 + t_2)$ મળે.
$P$ અને $Q$ આગળના અભિલંબનું છેદબિંદુ $(x_2, y_2) = (a(t_1^2 + t_2^2 + t_1t_2 + 2), -at_1t_2(t_1 + t_2))$ છે.
$t_1t_2 = -1$ મૂકતા,$x_2 = a(t_1^2 + t_2^2 + 1)$ અને $y_2 = a(t_1 + t_2)$ મળે.
યામોની સરખામણી કરતા,$y_1 = y_2$ મળે છે.

(A) પરવલય માટે,અર્ધ-નાભિલંબ $l$ એ નાભિના બે ખંડો $SP$ અને $SQ$ નો હરાત્મક મધ્યક છે.
તેથી,$\frac{1}{SP} + \frac{1}{SQ} = \frac{2}{l}$.
આપેલ છે કે $SP = 3$ અને $SQ = 2$,તેથી $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{l}$.
$\frac{2+3}{6} = \frac{2}{l} \implies \frac{5}{6} = \frac{2}{l}$.
$l = \frac{12}{5}$.
નાભિલંબ $L = 2l = 2 \times \frac{12}{5} = \frac{24}{5}$.

(B) ધારો કે પરવલય $y^2 = 4ax$ પરના બે અભિલંબ બિંદુઓ $t_1$ અને $t_2$ આગળ છે. બિંદુ $t$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y + tx = 2at + at^3$ છે.
જો અભિલંબ $(h, k)$ માં છેદતા હોય,તો $at^3 + (2a - h)t + k = 0$. ધારો કે બીજ $t_1, t_2, t_3$ છે.
આપેલ છે કે અભિલંબ કાટખૂણે છે,તેથી તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $m_1 m_2 = -1$. $m = -t$ હોવાથી,$(-t_1)(-t_2) = -1$,એટલે કે $t_1 t_2 = -1$.
$t_1$ અને $t_2$ ને જોડતી જીવાનું સમીકરણ $y(t_1 + t_2) = 2x + 2a t_1 t_2$ છે.
$t_1 t_2 = -1$ મૂકતા,આપણને $y(t_1 + t_2) = 2x - 2a$ મળે,અથવા $2x - 2a - y(t_1 + t_2) = 0$.
આ રેખા $t_1$ અને $t_2$ થી સ્વતંત્ર નિશ્ચિત બિંદુમાંથી પસાર થાય તે માટે,$(t_1 + t_2)$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ,તેથી $y = 0$.
સમીકરણમાં $y = 0$ મૂકતા,$2x - 2a = 0$ મળે,જે $x = a$ આપે છે.
આમ,નિશ્ચિત બિંદુ $(a, 0)$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $y^2 + 4y - 6x - 2 = 0$ છે.
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(y + 2)^2 = 6(x + 1)$ મળે છે.
ધારો કે $Y = y + 2$ અને $X = x + 1$,તેથી $Y^2 = 6X$.
પરવલયના લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ તેની નિયામિકા (directrix) છે.
$Y^2 = 4aX$ માટે નિયામિકા $X = -a$ છે,જ્યાં $4a = 6$ એટલે કે $a = 1.5$.
તેથી $x + 1 = -1.5$,જેનું સાદું રૂપ $2x + 2 = -3$ એટલે કે $2x + 5 = 0$ થાય છે.

(C) ધારો કે નાભિ જીવા $x$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે. નાભિ જીવાની લંબાઈ $L = 4a \csc^2 \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નાભિ જીવાનું શિરોબિંદુ $(0,0)$ થી અંતર $p$ એ ઉગમબિંદુથી નાભિ $(a,0)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું લંબ અંતર છે.
નાભિ જીવાનું સમીકરણ $(x - a) \sin \theta - y \cos \theta = 0$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી અંતર $p = |\frac{-a \sin \theta}{\sqrt{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}}| = |a \sin \theta|$ થાય.
આમ,$\sin \theta = \frac{p}{a}$,જેનો અર્થ છે કે $\csc \theta = \frac{a}{p}$.
આ કિંમત લંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા: $L = 4a (\frac{a}{p})^2 = \frac{4a^3}{p^2}$.

(A) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{a}{m}$ છે.
જો આ સ્પર્શક $(h, k)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય,તો $k = mh + \frac{a}{m}$,જે દ્વિઘાત સમીકરણ $m^2h - km + a = 0$ માં પરિણમે છે.
ધારો કે બે સ્પર્શકોના ઢાળ $m$ અને $2m$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $m + 2m = 3m = \frac{k}{h}$ અને બીજનો ગુણાકાર $m \times 2m = 2m^2 = \frac{a}{h}$ થાય.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$m = \frac{k}{3h}$.
આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $2(\frac{k}{3h})^2 = \frac{a}{h}$.
$2(\frac{k^2}{9h^2}) = \frac{a}{h}$.
$2k^2 = 9ah$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ દ્વારા બદલતા,બિંદુપથ $2y^2 = 9ax$ અથવા $y^2 = \frac{9}{2}ax$ મળે છે.

(A) ધારો કે પરવલય $y^2 = 4ax$ છે. પરવલયના અભિલંબનું સમીકરણ $y = mx - 2am - am^3$ છે.
જો અભિલંબ $P(h, k)$ માંથી પસાર થાય,તો $k = mh - 2am - am^3$,જે $am^3 + (2a - h)m + k = 0$ માં પરિણમે છે.
ધારો કે આ ત્રિઘાત સમીકરણના બીજ $m_1, m_2, m_3$ છે. આ ત્રણ અભિલંબના ઢાળ દર્શાવે છે.
આ અભિલંબો પરવલયની ધરી ($x$-અક્ષ) સાથે $\theta_1, \theta_2, \theta_3$ ખૂણા બનાવે છે,જ્યાં $\tan \theta_i = m_i$.
ખૂણાઓનો સરવાળો $\theta_1 + \theta_2 + \theta_3 = C$ (અચળ) છે.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા,$\tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3) = \tan C$.
નિત્યસમ $\tan(\theta_1 + \theta_2 + \theta_3) = \frac{S_1 - S_3}{1 - S_2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $S_1 = \sum m_i = 0$,$S_2 = \sum m_i m_j = \frac{2a - h}{a}$,અને $S_3 = m_1 m_2 m_3 = -\frac{k}{a}$.
આ કિંમતો મૂકતા,$\frac{0 - (-k/a)}{1 - (2a - h)/a} = \tan C$.
આનું સાદું રૂપ $\frac{k}{h - a} = \tan C$ મળે છે.
આમ,$k = (h - a) \tan C$,જે $(a, 0)$ માંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા દર્શાવે છે.

(B) અભિલંબનું પ્રાચલ સ્વરૂપમાં સમીકરણ $y = -tx + 2at + at^3$ છે.
તેને ગોઠવતા,$at^3 + (2a - x)t - y = 0$ મળે છે.
આ $t$ માં ત્રિઘાત સમીકરણ છે,તેથી બીજનો સરવાળો $t_1 + t_2 + t_3 = 0$ થાય,જે સૂચવે છે કે $t_1 + t_3 = -t_2$ $(i)$.
$x = 2a$ પર,સમીકરણ $at^3 + (2a - 2a)t - y = 0$ બને છે,તેથી $y = at^3$.
$x = 2a$ પરના યામ $at_1^3, at_2^3, at_3^3$ છે.
આપેલ છે કે આ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી $2at_2^3 = at_1^3 + at_3^3$,અથવા $2t_2^3 = t_1^3 + t_3^3$.
નિત્યસમ $t_1^3 + t_3^3 = (t_1 + t_3)(t_1^2 + t_3^2 - t_1t_3)$ નો ઉપયોગ કરીને,$t_1 + t_3 = -t_2$ મૂકતા:
$2t_2^3 = -t_2(t_1^2 + t_3^2 - t_1t_3)$.
$-t_2$ વડે ભાગતા,$-2t_2^2 = t_1^2 + t_3^2 - t_1t_3$ મળે છે.
$t_1^2 + t_3^2 = (t_1 + t_3)^2 - 2t_1t_3 = t_2^2 - 2t_1t_3$ હોવાથી:
$-2t_2^2 = t_2^2 - 2t_1t_3 - t_1t_3 = t_2^2 - 3t_1t_3$.
$-3t_2^2 = -3t_1t_3$,તેથી $t_2^2 = t_1t_3$.
અભિલંબનો ઢાળ $m = -t$ છે,તેથી $\tan \phi = -t$.
આમ,$(-\tan \phi_2)^2 = (-\tan \phi_1)(-\tan \phi_3)$,જે $\tan^2 \phi_2 = \tan \phi_1 \tan \phi_3$ માં પરિણમે છે.
તેથી,$\tan \phi_1, \tan \phi_2, \tan \phi_3$ એ $G.P.$ માં છે.

(A) રેખા $y = mx + c$ એ પરવલય $y^2 = 4a(x - h)$ નો સ્પર્શક હોવાની શરત $c = mh + \frac{a}{m}$ છે.
અહીં,$m = 2$,$c = -3$,અને $h = \frac{1}{3}$ છે.
આ કિંમતોને શરતમાં મૂકતા:
$-3 = 2(\frac{1}{3}) + \frac{a}{2}$
$-3 = \frac{2}{3} + \frac{a}{2}$
$-3 - \frac{2}{3} = \frac{a}{2}$
$-\frac{11}{3} = \frac{a}{2}$
$a = -\frac{22}{3}$.

(B) બિંદુ $(x_1, y_1)$ માંથી પરવલય $S: y^2 - 4x = 0$ પરના સ્પર્શકોની જોડીનું સમીકરણ $SS_1 = T^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$S = y^2 - 4x$,$S_1 = (2)^2 - 4(-1) = 4 + 4 = 8$,અને $T = y(2) - 2(x - 1) = 2y - 2x + 2$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$(y^2 - 4x)(8) = (2y - 2x + 2)^2$
$8(y^2 - 4x) = 4(y - x + 1)^2$
$2(y^2 - 4x) = (y - x + 1)^2$
રેખા $x = 2$ પર અંતઃખંડ શોધવા માટે,સમીકરણમાં $x = 2$ મૂકો:
$2(y^2 - 8) = (y - 2 + 1)^2$
$2y^2 - 16 = (y - 1)^2$
$2y^2 - 16 = y^2 - 2y + 1$
$y^2 + 2y - 17 = 0$
ધારો કે બીજ $y_1$ અને $y_2$ છે. તો $y_1 + y_2 = -2$ અને $y_1 y_2 = -17$.
અંતઃખંડની લંબાઈ $|y_1 - y_2| = \sqrt{(y_1 + y_2)^2 - 4y_1 y_2}$ છે.
$|y_1 - y_2| = \sqrt{(-2)^2 - 4(-17)} = \sqrt{4 + 68} = \sqrt{72} = 6 \sqrt{2}$.

(D) આપેલ છે કે $f(x) = ax^2 + bx + c$. નિરપેક્ષ પદ $3$ હોવાથી,$c = 3$. અગ્ર સહગુણક $1$ હોવાથી,$a = 1$. તેથી,$f(x) = x^2 + bx + 3$.
પરવલય રેખા $x = 1$ ની સાપેક્ષે સંમિત હોવાથી,શિરોબિંદુ $x = 1$ પર છે. વિકલન $f'(x) = 2x + b$. $f'(1) = 0$ લેતા,$2(1) + b = 0$,તેથી $b = -2$.
તેથી,બહુપદી $f(x) = x^2 - 2x + 3$ છે.
આને $y = (x - 1)^2 + 2$ અથવા $(x - 1)^2 = 1(y - 2)$ તરીકે લખી શકાય.
પરવલયના પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ સાથે સરખાવતા,$h = 1$,$k = 2$,અને $4a = 1$,એટલે કે $a = 1/4$.
પરવલય $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ નું નાભિ $(h, k + a)$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,નાભિ $(1, 2 + 1/4) = (1, 9/4)$ મળે છે.

(D) ધારો કે પરવલય $y^2 = 4ax$ પરનું ચલ બિંદુ $P(at^2, 2at)$ છે.
પરવલયની નાભિ $S(a, 0)$ છે.
નાભિ ત્રિજ્યા $SP$ છે. $SP$ નું મધ્યબિંદુ $M(x, y)$ નીચે મુજબ છે:
$x = \frac{at^2 + a}{2}, y = \frac{2at + 0}{2} = at$.
$y = at$ પરથી,આપણને $t = \frac{y}{a}$ મળે છે.
$x$ ના સમીકરણમાં $t$ ની કિંમત મૂકતા:
$x = \frac{a(\frac{y}{a})^2 + a}{2} = \frac{\frac{y^2}{a} + a}{2} = \frac{y^2 + a^2}{2a}$.
$2ax = y^2 + a^2 \implies y^2 = 2ax - a^2 = 2a(x - \frac{a}{2})$.
આ એક પરવલય છે જેનું શિરોબિંદુ $(\frac{a}{2}, 0)$ છે.
આ નવા પરવલયનો નાભિલંબ $4A = 2a$ છે,જે મૂળ પરવલયના નાભિલંબ $(4a)$ કરતા અડધો છે.
નિયામિકા $x - \frac{a}{2} = -\frac{a}{2} \implies x = 0$ છે,જે $y$-અક્ષ છે.
આમ,આપેલા તમામ વિધાનો સાચા છે.

(D) ધારો કે પરવલય $y^2 = 4ax$ પરનું બિંદુ $P(at^2, 2at)$ છે.
શિરોબિંદુ $A(0, 0)$ છે.
રેખા $PA$ નું સમીકરણ $y = \frac{2}{t}x$ છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ $x = -a$ છે.
$D$ મેળવવા માટે,$x = -a$ ને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $y = -\frac{2a}{t}$. તેથી,$D = (-a, -\frac{2a}{t})$.
$M$ એ $P(at^2, 2at)$ માંથી નિયામિકા $x = -a$ પરનો લંબપાદ છે,તેથી $M = (-a, 2at)$.
$MD$ વ્યાસવાળા વર્તુળનું સમીકરણ $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ છે.
અહીં,$(x_1, y_1) = (-a, 2at)$ અને $(x_2, y_2) = (-a, -\frac{2a}{t})$.
$(x + a)^2 + (y - 2at)(y + \frac{2a}{t}) = 0$.
$x$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે $y = 0$ લેતા:
$(x + a)^2 + (-2at)(\frac{2a}{t}) = 0$.
$(x + a)^2 - 4a^2 = 0$.
$(x + a)^2 = 4a^2$.
$x + a = \pm 2a$.
$x = a$ અથવા $x = -3a$.
તેથી,યામ $(a, 0)$ અને $(-3a, 0)$ મળે છે.

(D) ધારો કે જીવા $y = mx + c$ છે. તે પરવલય $y^2 = 4ax$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,શિરોબિંદુ $(0, 0)$ ને જોડતી રેખાઓનું સંયુક્ત સમીકરણ $y^2 = 4ax \left(\frac{y-mx}{c}\right)$ છે.
જીવા શિરોબિંદુ આગળ કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો $0$ થાય.
$1 + \frac{4am}{c} = 0 \implies c = -4am$.
આમ,જીવા $y = mx - 4am$ છે,જે હંમેશા નિશ્ચિત બિંદુ $(4a, 0)$ માંથી પસાર થાય છે.
શિરોબિંદુથી જીવા $y = mx - 4am$ પરના લંબના પાદબિંદુઓનો બિંદુપથ $x^2 + y^2 - 4ax = 0$ છે,જે એક વર્તુળ છે.
જીવાઓના મધ્યબિંદુઓનો બિંદુપથ $y^2 = 2a(x - 4a)$ છે,જે એક પરવલય છે.
તેથી,આપેલા તમામ વિધાનો સાચા છે.

(B) બિંદુઓ $(3, 0)$ અને $(4, 1)$ ને જોડતી જીવાનો ઢાળ $m = \frac{1 - 0}{4 - 3} = 1$ છે.
સ્પર્શક આ જીવાને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ પણ $1$ થશે.
પરવલય $y = (x - 3)^2$ માટે,સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = 2(x - 3)$.
ઢાળને $1$ સાથે સરખાવતા:
$2(x - 3) = 1$ $\Rightarrow x - 3 = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow x = \frac{7}{2}$.
$y$-યામ શોધવા માટે $x = \frac{7}{2}$ ને પરવલયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = (\frac{7}{2} - 3)^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
સ્પર્શબિંદુ $(\frac{7}{2}, \frac{1}{4})$ છે.
ઢાળ $m = 1$ અને બિંદુ $(\frac{7}{2}, \frac{1}{4})$ માંથી પસાર થતા સ્પર્શકનું સમીકરણ:
$y - \frac{1}{4} = 1(x - \frac{7}{2})$
$4x - 4y = 13$.

(D) આપેલ પરવલય: $y^2 - 2y - 4x - 7 = 0$
$(y - 1)^2 = 4x + 8 = 4(x + 2)$
શિરોબિંદુ $A = (-2, 1)$ અને નાભિલંબની લંબાઈ $L = 4$.
નવા પરવલય માટે,શિરોબિંદુ $A(-2, 1)$ છે,નાભિલંબની લંબાઈ $2L = 8$ છે,અને અક્ષ આપેલ પરવલયના અક્ષ $(y = 1)$ ને લંબ છે.
તેથી,નવા પરવલયનો અક્ષ $x = -2$ છે.
નવા પરવલયનું સમીકરણ $(x + 2)^2 = \pm 4(2)(y - 1)$ થશે.
કિસ્સો $1$: $(x + 2)^2 = 8(y - 1) \implies x^2 + 4x - 8y + 12 = 0$.
કિસ્સો $2$: $(x + 2)^2 = -8(y - 1) \implies x^2 + 4x + 8y - 4 = 0$.
બંને સમીકરણો માન્ય છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(D) જો રેખાનું સમીકરણ પરવલયના સમીકરણમાં મૂકતા બનતા દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $D = 0$ હોય,તો રેખા પરવલયને સ્પર્શે છે.
$(A) x^2 + 4y = 0$ માટે:
$y = 1 - x$ મૂકતા:
$x^2 + 4(1 - x) = 0 \Rightarrow x^2 - 4x + 4 = 0$.
$D = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0$. (સ્પર્શે છે)
$(B) x^2 - x + y = 0$ માટે:
$y = 1 - x$ મૂકતા:
$x^2 - x + 1 - x = 0 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 = 0$.
$D = (-2)^2 - 4(1)(1) = 4 - 4 = 0$. (સ્પર્શે છે)
$(C) 4x^2 - 3x + y = 0$ માટે:
$y = 1 - x$ મૂકતા:
$4x^2 - 3x + 1 - x = 0 \Rightarrow 4x^2 - 4x + 1 = 0$.
$D = (-4)^2 - 4(4)(1) = 16 - 16 = 0$. (સ્પર્શે છે)
બધા વિકલ્પો શરતનું પાલન કરતા હોવાથી,સાચો જવાબ $(D)$ છે.

(A) બિંદુ $(1/2, 2)$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - 2 = m(x - 1/2)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = mx - m/2 + 2$ થાય છે.
આ રેખા પરવલય $y = -x^2/2 + 2$ ને સ્પર્શતી હોવાથી,આપણે $y$ ની કિંમત પરવલયના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$mx - m/2 + 2 = -x^2/2 + 2$
$x^2/2 + mx - m/2 = 0$
$x^2 + 2mx - m = 0$
સ્પર્શક હોવા માટે,વિવેચક $D = 0$ હોવો જોઈએ:
$D = (2m)^2 - 4(1)(-m) = 0$
$4m^2 + 4m = 0$
$4m(m + 1) = 0$
તેથી,$m = 0$ અથવા $m = -1$.
જો $m = 0$ હોય,તો રેખા $y = 2$ મળે,જે પરવલયને $(0, 2)$ બિંદુએ સ્પર્શે છે પરંતુ વક્ર $y = \sqrt{4 - x^2}$ માટે છેદિકા નથી (તે વર્તુળનો સ્પર્શક છે).
જો $m = -1$ હોય,તો રેખા $y - 2 = -1(x - 1/2)$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $y = -x + 5/2$ અથવા $2x + 2y - 5 = 0$ થાય છે. આ રેખા વક્ર $y = \sqrt{4 - x^2}$ ને બે બિંદુઓમાં છેદે છે,તેથી તે છેદિકા રેખા છે.

(D) આપેલ રેખા $y = 2x - 3$ છે. $x = 1$ માટે,$y = 2(1) - 3 = -1$.
પરવલય $y = x^2 + px + q$ એ $(1, -1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $-1 = 1^2 + p(1) + q$,જેનું સાદું રૂપ $p + q = -2$ અથવા $q = -2 - p$ થાય છે.
પરવલય $y = x^2 + px + q$ નું શિરોબિંદુ $x = -p/2$ પર છે.
શિરોબિંદુનો $y$-યામ $y_v = (-p/2)^2 + p(-p/2) + q = p^2/4 - p^2/2 + q = q - p^2/4$ છે.
શિરોબિંદુનું $x$-અક્ષથી અંતર $|y_v| = |q - p^2/4|$ છે.
$q = -2 - p$ મૂકતા,આપણને $d(p) = |(-2 - p) - p^2/4| = |- (p^2/4 + p + 2)|$ મળે છે.
અંતર ન્યૂનતમ કરવા માટે,$f(p) = p^2/4 + p + 2$ નું વિશ્લેષણ કરીએ.
$f'(p) = p/2 + 1 = 0$ લેતા,$p = -2$ મળે છે.
$p = -2$ માટે,$q = -2 - (-2) = 0$ મળે છે.
અંતર $|0 - (-2)^2/4| = |-1| = 1$ છે.
આમ,$(B)$ અને $(C)$ બંને સાચા છે.

(C) પરવલય $y^2 = 8x$ છે,તેથી $4a = 8$,જે $a = 2$ આપે છે. પરવલય પરનું સામાન્ય બિંદુ $P(2t^2, 4t)$ છે.
$P$ પર સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{4}{2t} = \frac{2}{t}$ દ્વારા મળે છે.
લઘુત્તમ અંતર માટે,$P$ પરનો સ્પર્શક રેખા $x + y + 4 = 0$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ,જેનો ઢાળ $-1$ છે.
$\frac{2}{t} = -1$ લેતા,આપણને $t = -2$ મળે છે.
બિંદુ $P$ એ $(2(-2)^2, 4(-2)) = (8, -8)$ છે.
બિંદુ $P(8, -8)$ થી રેખા $x + y + 4 = 0$ સુધીનું અંતર $d = \frac{|8 - 8 + 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ છે.
પરવલય અને તેના પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર એ બિંદુ $P$ થી પરાવર્તનની રેખા સુધીના અંતર કરતા બમણું હોય છે,જે $2 \times (2\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}$ છે.

(B) પરવલયનું નાભિ $(2, 0)$ અને નિયામિકા $x = -2$ છે. શિરોબિંદુ $(0, 0)$ છે. પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 8x$ છે.
આપાત કિરણ $y = -4$ રેખા પર ગતિ કરે છે. $y^2 = 8x$ માં $y = -4$ મૂકતા,$16 = 8x$,તેથી $x = 2$. આમ,બિંદુ $P$ એ $(2, -4)$ છે.
પરવલયના પરાવર્તનના ગુણધર્મ મુજબ,અક્ષને સમાંતર આવતું કિરણ પરાવર્તન પામીને નાભિમાંથી પસાર થાય છે. પરાવર્તિત કિરણ $x = 2$ રેખા છે.
$x = 2$ ને $y^2 = 8x$ માં મૂકતા,$y^2 = 16$,તેથી $y = \pm 4$. બિંદુ $P(2, -4)$ સિવાયનું બીજું બિંદુ $Q(2, 4)$ મળે છે.

(B) ધારો કે પરવલય $x^2 = 4ay$ નું શિરોબિંદુ $A(0, 0)$ છે.
ધારો કે જીવાનું બીજું અંત્યબિંદુ $P(x_1, y_1) = (2at, at^2)$ છે.
જીવા $AP$ નો ઢાળ $m = \frac{at^2 - 0}{2at - 0} = \frac{t}{2}$ છે.
આપેલ છે કે ઢાળ $\tan\alpha$ છે,તેથી $\frac{t}{2} = \tan\alpha$,જેનો અર્થ છે કે $t = 2\tan\alpha$.
જીવા $AP$ ની લંબાઈ $\sqrt{(2at - 0)^2 + (at^2 - 0)^2} = \sqrt{4a^2t^2 + a^2t^4} = at\sqrt{4 + t^2}$ છે.
$t = 2\tan\alpha$ મૂકતા:
$AP = a(2\tan\alpha)\sqrt{4 + (2\tan\alpha)^2} = 2a\tan\alpha \sqrt{4(1 + \tan^2\alpha)} = 2a\tan\alpha \sqrt{4\sec^2\alpha} = 2a\tan\alpha (2\sec\alpha) = 4a\tan\alpha \sec\alpha$.

(C) રેખાનું સમીકરણ $y = \sqrt{3}x - 3$ છે,જેને $\frac{y - 0}{x - \sqrt{3}} = \sqrt{3} = \tan(60^{\circ})$ તરીકે લખી શકાય.
બિંદુ $P(\sqrt{3}, 0)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું પ્રચલિત સ્વરૂપ $\theta = 60^{\circ}$ સાથે:
$x = \sqrt{3} + r \cos(60^{\circ}) = \sqrt{3} + \frac{r}{2}$
$y = 0 + r \sin(60^{\circ}) = \frac{r\sqrt{3}}{2}$
આ કિંમતોને પરવલય $2y^2 = 2x + 3$ માં મૂકતા:
$2(\frac{r\sqrt{3}}{2})^2 = 2(\sqrt{3} + \frac{r}{2}) + 3$
$\frac{3r^2}{2} = 2\sqrt{3} + r + 3$
$3r^2 - 2r - (6 + 4\sqrt{3}) = 0$
ધારો કે $r_1 = PA$ અને $r_2 = -PB$ એ આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ છે.
બીજનો સરવાળો $r_1 + r_2 = \frac{2}{3}$ અને ગુણાકાર $r_1 r_2 = -\frac{6 + 4\sqrt{3}}{3}$ છે.
આપણે $|PA - PB| = |r_1 - r_2|$ શોધવાનું છે.
$|r_1 - r_2| = \sqrt{(r_1 + r_2)^2 - 4r_1 r_2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|r_1 - r_2| = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 - 4(-\frac{6 + 4\sqrt{3}}{3})} = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{24 + 16\sqrt{3}}{3}} = \frac{\sqrt{76 + 48\sqrt{3}}}{3}$.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 8x$ છે. તેને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a = 8$,તેથી $a = 2$ મળે.
રેખાનું સમીકરણ $x + y = 6$ છે,જેને $y = -x + 6$ તરીકે લખી શકાય. તેને $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,$m = -1$ મળે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે રેખા $y = mx + c$ અભિલંબ હોવાની શરત $c = -2am - am^3$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $c = -2(2)(-1) - 2(-1)^3 = 4 + 2 = 6$. આ સાબિત કરે છે કે રેખા અભિલંબ છે.
$m$ ઢાળવાળા અભિલંબ માટે સ્પર્શબિંદુ $(am^2, -2am)$ છે.
$a = 2$ અને $m = -1$ મૂકતા,આપણને બિંદુ $(2(-1)^2, -2(2)(-1)) = (2, 4)$ મળે છે.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 12x$ છે. તેને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a = 12$,તેથી $a = 3$ મળે.
પરવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P(x, y)$ માટે,નાભિ અંતર $x + a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નાભિ અંતર $12$ આપેલ હોવાથી,$x + 3 = 12$,જેનો અર્થ છે કે $x = 9$.
$x = 9$ ને પરવલયના સમીકરણ $y^2 = 12x$ માં મૂકતા,$y^2 = 12(9) = 108$ મળે.
આમ,$y = \pm \sqrt{108} = \pm 6\sqrt{3}$.
તેથી,બિંદુ $(9, 6\sqrt{3})$ અથવા $(9, -6\sqrt{3})$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચું બિંદુ $(9, 6\sqrt{3})$ છે.

(C) રેખાનું સમીકરણ $ax + by + c = 0$ છે,જેને $y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$ તરીકે લખી શકાય.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે સ્પર્શકની શરત $k = \frac{a}{m}$ છે,જ્યાં $m = -\frac{a}{b}$ અને $k = -\frac{c}{b}$ છે.
તેથી,$-\frac{c}{b} = \frac{a}{-\frac{a}{b}} = -b$.
આમ,$c = b^2$ મળે છે.

(A) $1$. પરવલય નીચેની તરફ ખુલે છે,તેથી $x^2$ નો સહગુણક ઋણ હોવો જોઈએ. આમ,$a < 0$.
$2$. $y$-અંતઃખંડ એ $x = 0$ હોય ત્યારે $y$ ની કિંમત છે. આલેખ પરથી,પરવલય $y$-અક્ષને ઉગમબિંદુની નીચે છેદે છે,તેથી $c < 0$.
$3$. શિરોબિંદુનો $x$-યામ $x = -(-b) / (2a) = b / (2a)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$4$. આલેખ પરથી,શિરોબિંદુ $y$-અક્ષની જમણી બાજુએ છે,તેથી શિરોબિંદુનો $x$-યામ ધન છે,એટલે કે $b / (2a) > 0$.
$5$. કારણ કે $a < 0$,ગુણોત્તર $b / (2a)$ ધન હોવા માટે,$b$ પણ ઋણ હોવો જોઈએ. આમ,$b < 0$.
$6$. તેથી,$a < 0, b < 0, c < 0$.

(C) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(h, k)$ છે. પરવલય $y^2 = 16x$ પરનું બિંદુ $(x, y)$ એ $P$ થી સમાન અંતરે હોય જો તે $P$ કેન્દ્રિત અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળ પર હોય.
આમ,અંતરની શરત $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ છે.
$x = \frac{y^2}{16}$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $(\frac{y^2}{16} - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ મળે છે.
આ $y$ માં ચતુર્થઘાત સમીકરણમાં પરિણમે છે: $\frac{y^4}{256} - \frac{hy^2}{8} + h^2 + y^2 - 2ky + k^2 = r^2$,જે $\frac{y^4}{256} + (1 - \frac{h}{8})y^2 - 2ky + (h^2 + k^2 - r^2) = 0$ છે.
ચતુર્થઘાત સમીકરણના વધુમાં વધુ $4$ વાસ્તવિક ઉકેલો હોઈ શકે છે.
તેથી,એક વર્તુળ પરવલયને મહત્તમ $4$ બિંદુઓમાં છેદી શકે છે.

(B) ધારો કે $P(h, k)$ એ બિંદુ છે જ્યાંથી $y^2 = 4x$ પર બે સ્પર્શકો દોરવામાં આવે છે.
પરવલય $y^2 = 4x$ નો કોઈપણ સ્પર્શક $y = mx + \frac{1}{m}$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
જો તે $P(h, k)$ માંથી પસાર થાય,તો $k = mh + \frac{1}{m}$,જે $m^2h - mk + 1 = 0$ માં પરિણમે છે.
ધારો કે $m_1$ અને $m_2$ આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,$m_1 + m_2 = \frac{k}{h}$ અને $m_1 m_2 = \frac{1}{h}$.
આપેલ છે કે $m_1 = 2m_2$,તેથી:
$3m_2 = \frac{k}{h} \Rightarrow m_2 = \frac{k}{3h}$.
$2m_2^2 = \frac{1}{h} \Rightarrow m_2^2 = \frac{1}{2h}$.
$m_2$ ની કિંમત મૂકતા:
$2(\frac{k}{3h})^2 = \frac{1}{h} \Rightarrow 2k^2 = 9h$.
આમ,$P(h, k)$ નો બિંદુપથ $2y^2 = 9x$ છે.

(D) પરવલય $y^2 = 16x$ માટે,$4a = 16$,તેથી $a = 4$.
બિંદુ $Q(36, -24)$ પરવલય પર છે,તેથી $(36, -24) = (at_2^2, 2at_2)$.
$2at_2 = -24$ $\Rightarrow 2(4)t_2 = -24$ $\Rightarrow t_2 = -3$.
અભિલંબના પ્રાચલ માટેનો સંબંધ $t_2 = -t_1 - \frac{2}{t_1}$ છે.
$t_2 = -3$ મૂકતા,$-3 = -t_1 - \frac{2}{t_1} \Rightarrow t_1^2 - 3t_1 + 2 = 0$.
$t_1$ માટે ઉકેલતા,$(t_1 - 1)(t_1 - 2) = 0$,તેથી $t_1 = 1$ અથવા $t_1 = 2$.
બિંદુ $P(at_1^2, 2at_1)$ નું નાભિ અંતર $a(1 + t_1^2)$ છે.
$t_1 = 1$ માટે,નાભિ અંતર $= 4(1 + 1^2) = 8$.
$t_1 = 2$ માટે,નાભિ અંતર $= 4(1 + 2^2) = 20$.
મહત્તમ નાભિ અંતર $20$ છે.

(A) પરવલય $y^{2}=4ax$ ના કોઈપણ અભિલંબનું સમીકરણ $y=mx-2am-am^{3}$ છે.
જો તે $(h, k)$ માંથી પસાર થાય,તો $k=mh-2am-am^{3}$,અથવા $am^{3}+(2a-h)m+k=0$.
આ $m$ માં ત્રિઘાત સમીકરણ છે. ધારો કે તેના બીજ $m_{1}, m_{2}, m_{3}$ છે.
તો $m_{1}+m_{2}+m_{3}=0$ અને $m_{1}m_{2}+m_{2}m_{3}+m_{3}m_{1}=\frac{2a-h}{a}$.
ત્રણ અભિલંબના પાયા $P, Q, R$ ના યામ $(am_{1}^{2}, -2am_{1}), (am_{2}^{2}, -2am_{2}), (am_{3}^{2}, -2am_{3})$ છે.
ધારો કે $G(\bar{x}, \bar{y})$ એ $\Delta PQR$ નું મધ્યકેન્દ્ર છે.
તો $\bar{x} = \frac{a(m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+m_{3}^{2})}{3} = \frac{a}{3}[(m_{1}+m_{2}+m_{3})^{2}-2(m_{1}m_{2}+m_{2}m_{3}+m_{3}m_{1})] = \frac{a}{3}[0 - 2(\frac{2a-h}{a})] = \frac{2}{3}(h-2a)$.
અને $\bar{y} = \frac{-2a(m_{1}+m_{2}+m_{3})}{3} = -\frac{2a}{3}(0) = 0$.
આમ,$\Delta PQR$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G(\frac{2}{3}(h-2a), 0)$ છે,જે રેખા $y=0$ પર આવેલું છે.

(C) પરવલયનું આપેલ સમીકરણ $y^2=32x$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y^2=4ax$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a=32$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a=8$.
પરવલય $y^2=4ax$ ની નાભિ જીવાની લંબાઈ $L = a(t + \frac{1}{t})^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $t$ એ જીવાના એક છેડાનો પ્રાચલ છે.
નાભિ જીવાની લઘુત્તમ લંબાઈ એ નાભિલંબની લંબાઈ છે,જે $4a$ છે.
તેથી,લઘુત્તમ લંબાઈ $= 4 \times 8 = 32 \text{ units}$.
આમ,$PQ$ ની લંબાઈ ક્યારેય $32$ એકમથી ઓછી હોઈ શકે નહીં.

(A) પરવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,પરવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P(x, y)$ થી નાભિ $S(3, -4)$ સુધીનું અંતર એ $P$ થી નિયામિકા $y - 4 = 0$ સુધીના લંબ અંતર જેટલું હોય છે.
$SP = PM$
$\sqrt{(x - 3)^2 + (y + 4)^2} = |y - 4|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = (y - 4)^2$
$(x - 3)^2 + y^2 + 8y + 16 = y^2 - 8y + 16$
$(x - 3)^2 = -8y - 8y$
$(x - 3)^2 = -16y$

(B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $3y^2 + 4y - 6x + 8 = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા: $3(y^2 + \frac{4}{3}y) = 6x - 8$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $3(y + \frac{2}{3})^2 = 6x - \frac{20}{3}$.
$(y + \frac{2}{3})^2 = 2(x - \frac{10}{9})$.
આ $Y^2 = 4AX$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $Y = y + \frac{2}{3}$,$X = x - \frac{10}{9}$,અને $4A = 2 \implies A = \frac{1}{2}$.
પરવલયની અક્ષ $Y = 0$ છે,જેનો અર્થ છે $y = -\frac{2}{3}$.
અક્ષ પરનું કોઈપણ બિંદુ $(a, -\frac{2}{3})$ છે.
$Y^2 = 4AX$ ની અક્ષ પરના બિંદુ $(X_0, 0)$ માંથી $3$ વાસ્તવિક અભિલંબ દોરવા માટે,$X_0 > 2A$ હોવું જોઈએ.
કિંમતો મૂકતા: $x - \frac{10}{9} > 1 \implies x > \frac{19}{9}$.
આમ,બિંદુ $(a, -\frac{2}{3})$ છે જ્યાં $a > \frac{19}{9}$.

(A) રેખાનું સમીકરણ $y - \sqrt{3}x + 3 = 0$ છે. તેને પ્રાચલ સ્વરૂપમાં $\frac{x - \sqrt{3}}{\cos \theta} = \frac{y - 0}{\sin \theta} = r$ તરીકે લખી શકાય.
ઢાળ $\tan \theta = \sqrt{3}$ હોવાથી,$\theta = 60^\circ$ મળે.
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ અને $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
પ્રાચલ યામ $x = \sqrt{3} + \frac{r}{2}$ અને $y = \frac{\sqrt{3}r}{2}$ છે.
આ કિંમતોને પરવલય $y^2 = -x - 2$ માં મૂકતા:
$(\frac{\sqrt{3}r}{2})^2 = -(\sqrt{3} + \frac{r}{2}) - 2$
$\frac{3r^2}{4} = -\sqrt{3} - \frac{r}{2} - 2$
$3r^2 + 2r + 4(\sqrt{3} + 2) = 0$.
$PA \cdot PB = |r_1 r_2|$ હોવાથી,બીજના ગુણાકારના સૂત્ર મુજબ,$|r_1 r_2| = |\frac{c}{a}| = \frac{4(\sqrt{3} + 2)}{3}$.

(C) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $(y - 2)^2 = 4(x + 1)$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ સાથે સરખાવતા,આપણને શિરોબિંદુ $(h, k) = (-1, 2)$ મળે છે અને $4a = 4$,જેનો અર્થ છે કે $a = 1$.
પરવલયની ધરી $y - 2 = 0$ છે,જે $x$-અક્ષને સમાંતર છે.
પરવલયના ઓપ્ટિકલ ગુણધર્મ મુજબ,પરવલયની ધરીને સમાંતર ગતિ કરતું કોઈપણ પ્રકાશનું કિરણ પરાવર્તન પછી તેના નાભિ (focus) માંથી પસાર થાય છે.
પરવલયનું નાભિ $(h + a, k) = (-1 + 1, 2) = (0, 2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,પરાવર્તિત કિરણ બિંદુ $(0, 2)$ માંથી પસાર થવું જોઈએ.

(D) આપેલ સમીકરણ $2\{(x - 1)^2 + (y - 3)^2\} = (x + y - 1)^2$ છે.
તેને $2$ વડે ભાગતા,$(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = \left(\frac{x + y - 1}{\sqrt{2}}\right)^2$ મળે.
આ પરવલયનું સમીકરણ છે જ્યાં નાભિ $S(1, 3)$ અને નિયામિકા $x + y - 1 = 0$ છે.
નાભિ $S(1, 3)$ થી નિયામિકા $x + y - 1 = 0$ નું લંબઅંતર $d = \frac{|1 + 3 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ છે.
પરવલયના નાભિલંબની લંબાઈ $2d$ થાય.
તેથી,લંબાઈ $= 2 \times \frac{3}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$.

(C) ધારો કે બિંદુ $T$ ના યામ $(h, k)$ છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે બિંદુ $(h, k)$ માંથી દોરેલી સ્પર્શકની જીવાનું સમીકરણ $ky = 2a(x + h)$ છે.
આપેલ પરવલય $y^2 = 8x$ માટે,$4a = 8$,તેથી $a = 2$.
આમ,સ્પર્શકની જીવાનું સમીકરણ $ky = 4(x + h)$ થશે.
જીવા $PQ$ બિંદુ $(-2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = -2$ અને $y = 3$ મૂકતા:
$3k = 4(-2 + h)$
$3k = 4h - 8$
$T$ નો બિંદુપથ મેળવવા માટે $(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા:
$3y = 4x - 8$
$y = \frac{4}{3}x - \frac{8}{3}$
$y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,$m = \frac{4}{3}$ અને $c = -\frac{8}{3}$ મળે છે.
તેથી,$m + c = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} = -\frac{4}{3}$.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 8x$ છે. તેને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a = 8$,તેથી $a = 2$ મળે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ પરના બિંદુ $P(x_1, y_1)$ નું નાભિ અંતર $x_1 + a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે નાભિ અંતર $4$ છે,તેથી $x_1 + 2 = 4$,જેનો અર્થ છે કે $x_1 = 2$.
$x_1 = 2$ ને પરવલયના સમીકરણ $y^2 = 8x$ માં મૂકતા,$y^2 = 8(2) = 16$ મળે.
તેથી,$y = \pm 4$.
આમ,બિંદુના યામ $(2, 4)$ અને $(2, -4)$ છે.

(D) પરવલય $y^2 = 4ax$ ના નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(a, 2a)$ અને $(a, -2a)$ છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે બિંદુ $(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x + x_1)$ છે.
બિંદુ $(a, 2a)$ માટે:
$y(2a) = 2a(x + a)$
$y = x + a$
$x - y + a = 0$
બિંદુ $(a, -2a)$ માટે:
$y(-2a) = 2a(x + a)$
$-y = x + a$
$x + y + a = 0$
આમ,સ્પર્શકોના સમીકરણો $x - y + a = 0$ અને $x + y + a = 0$ છે.

(C) ધારો કે પરવલયની નાભિ $F = (3, 2)$ છે.
પરવલયના નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ પરના સ્પર્શકો તે બિંદુએ છેદે છે જ્યાં પરવલયની અક્ષ નિયામિકાને મળે છે.
આ છેદબિંદુ $x + y = 2$ રેખા પર આવેલું છે.
અક્ષ નાભિ $(3, 2)$ માંથી પસાર થાય છે અને તે સ્પર્શકોના છેદબિંદુમાંથી પણ પસાર થાય છે.
વિકલ્પો તપાસતા,રેખા $x - y = 1$ એ $(3, 2)$ માંથી પસાર થાય છે કારણ કે $3 - 2 = 1$ થાય છે. તેથી,$x - y = 1$ એ સાચી અક્ષ છે.

(B) પરવલય $y^2 = 4ax$ (જ્યાં $a=1$) માટે અભિલંબનું સમીકરણ $y = mx - 2am - am^3$ છે. $a=1$ મુકતા,$y = mx - 2m - m^3$ મળે.
અભિલંબ $(3, 0)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$0 = 3m - 2m - m^3$,જેનું સાદું રૂપ $m^3 - m = 0$ થાય.
$m$ માટે ઉકેલતા,$m(m-1)(m+1) = 0$,તેથી $m = 0, 1, -1$.
બિંદુઓના યામ $(am^2, -2am)$ દ્વારા મળે છે.
$m=0$ માટે,$P = (0, 0)$.
$m=1$ માટે,$Q = (1, -2)$.
$m=-1$ માટે,$R = (1, 2)$.
બાજુઓની લંબાઈ:
$PQ = \sqrt{(1-0)^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{5}$.
$PR = \sqrt{(1-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{5}$.
$QR = \sqrt{(1-1)^2 + (2-(-2))^2} = 4$.
અહીં $(QR)^2 = 16$ અને $(PQ)^2 + (PR)^2 = 5 + 5 = 10$ હોવાથી,$(QR)^2 > (PQ)^2 + (PR)^2$.
તેથી,$\Delta PQR$ એ ગુરુકોણ ત્રિકોણ છે.

(A) $y = x^2$ પરના બિંદુઓ $(x_i, x_i^2)$ છે.
$x_1 = -1$,તેથી $y_1 = 1$.
$y_3 = 9 \Rightarrow x_3^2 = 9$. $x_1, x_2, x_3$ વધતી સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,$x_3 = 3$.
સામાન્ય તફાવત $d = \frac{3 - (-1)}{2} = 2$.
તેથી,$x_2 = 1$,અને $y_2 = 1$.
બિંદુઓ $A(-1, 1)$,$B(1, 1)$,અને $C(3, 9)$ છે.
સ્પર્શકોના સમીકરણો: $A$ આગળ $y = -2x - 1$,$B$ આગળ $y = 2x - 1$,અને $C$ આગળ $y = 6x - 9$.
છેદબિંદુઓ: $P(0, -1)$,$Q(2, 3)$,અને $R(1, -3)$.
ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} |0(3 - (-3)) + 2(-3 - (-1)) + 1(-1 - 3)| = 4$.