Parabola Questions in Gujarati

(A) પરવલય $y^2 = 4x$ ની નાભિ $S(1, 0)$ છે.
નાભિમાંથી નીકળતા કિરણો માટે પરાવર્તિત કિરણો પરવલયની અક્ષને સમાંતર હોય છે.
બિંદુઓ $A(t_1^2, 2t_1)$ અને $B(t_2^2, 2t_2)$ ને અનુરૂપ પરાવર્તિત કિરણો વચ્ચેનું અંતર $2|t_1 - t_2|$ છે.
કિરણો $SA$ અને $SB$ લંબ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય.
$SA$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{2t_1}{t_1^2 - 1}$ અને $SB$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{2t_2}{t_2^2 - 1}$ છે.
$m_1 m_2 = -1$ લેતા,આપણને $t_1t_2 = -1$ મળે છે.
આ કિસ્સામાં,અંતર $2|t_1 - t_2| = 4a = 4(1) = 4$ થાય છે.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 8x$ છે. તેને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a = 8$ મળે,તેથી $a = 2$.
પરવલય $y^2 = 4ax$ પરના બિંદુ $(x, y)$ નું નાભિ અંતર $x + a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે નાભિ અંતર $4$ છે,તેથી $x + 2 = 4$,જેનો અર્થ છે કે $x = 2$.
$x = 2$ ને પરવલયના સમીકરણ $y^2 = 8(2)$ માં મૂકતા,$y^2 = 16$ મળે,તેથી $y = \pm 4$.
આમ,બિંદુના યામ $(2, \pm 4)$ છે.

(D) પરવલયની અક્ષ $y$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનું સમીકરણ $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $(h, k)$ શિરોબિંદુ છે.
આપેલ શિરોબિંદુ $(h, k) = (1, 2)$ હોવાથી,સમીકરણ $(x - 1)^2 = 4a(y - 2)$ બને છે.
પરવલય $(0, 6)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(0 - 1)^2 = 4a(6 - 2)$
$1 = 4a(4)$
$1 = 16a$
$a = 1/16$.
નાભિલંબની લંબાઈ $|4a|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$|4a| = 4 \times (1/16) = 1/4$.

(A) ધારો કે પરવલય $y^{2} = 4ax$ છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(x_1, 0)$ છે.
વર્તુળ પરવલયને $P$ પર સ્પર્શે છે,તેથી ત્રિજ્યા $CP$ એ $P$ આગળના સ્પર્શકને લંબ છે.
$CP$ અને પરવલયની ધરી વચ્ચેનો ખૂણો $120^{\circ}$ છે,તેથી $P$ ના યામ $(x_1 - 2\cos 60^{\circ}, 2\sin 60^{\circ}) = (x_1 - 1, \sqrt{3})$ થાય.
$P$ એ $y^2 = 4ax$ પર હોવાથી,$3 = 4a(x_1 - 1)$.
$P$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \frac{2a}{\sqrt{3}}$ છે.
અભિલંબ $CP$ નો ઢાળ $m_n = \frac{\sqrt{3} - 0}{(x_1 - 1) - x_1} = -\sqrt{3}$ છે.
અભિલંબ સ્પર્શકને લંબ હોવાથી,$m_t \times m_n = -1$.
$\left(\frac{2a}{\sqrt{3}}\right)(-\sqrt{3}) = -1$ $\Rightarrow -2a = -1$ $\Rightarrow a = \frac{1}{2}$.
નાભિલંબ $4a = 4 \times \frac{1}{2} = 2$ થાય.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4x$ છે.
$y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$a = 1$ મળે છે.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (1, 2)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x + x_1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$2y = 2(1)(x + 1)$,જેનું સાદું રૂપ $y = x + 1$ થાય છે.
સ્પર્શક યામ અક્ષોને જ્યાં છેદે છે તે બિંદુઓ $A$ અને $B$ શોધવા માટે:
$x$-અક્ષ માટે,$y = 0$ લેતા: $0 = x + 1 \implies x = -1$. તેથી,બિંદુ $A$ એ $(-1, 0)$ છે.
$y$-અક્ષ માટે,$x = 0$ લેતા: $y = 0 + 1 \implies y = 1$. તેથી,બિંદુ $B$ એ $(0, 1)$ છે.
ત્રિકોણ $\Delta AOB$ એ $O(0, 0)$,$A(-1, 0)$ અને $B(0, 1)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
પાયો $OA = |-1| = 1$ અને વેધ $OB = |1| = 1$.
$\Delta AOB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times 1 \times 1 = 0.5$.

(D) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,અર્ધ-નાભિલંબની લંબાઈ $2a$ છે.
આપેલ પરવલય $y^2 = 16x$ માટે,$4a = 16$,તેથી $a = 4$. અર્ધ-નાભિલંબ $2a = 8$ છે.
જો નાભિગત જીવાને નાભિ દ્વારા $a$ અને $c$ લંબાઈના બે ભાગમાં વિભાજિત કરવામાં આવે,તો આ ભાગોનો હરાત્મક મધ્યક (Harmonic Mean) એ અર્ધ-નાભિલંબ જેટલો થાય.
તેથી,$b = \frac{2ac}{a+c} = 8$.

(B) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 = r^2$ છે. પરવલય $y = x^2 - 100$ આપેલ છે,તેથી $x^2 = y + 100$.
વર્તુળના સમીકરણમાં $x^2$ ની કિંમત મૂકતા: $(y + 100) + y^2 = r^2$,જેનું સાદું રૂપ $y^2 + y + (100 - r^2) = 0$ થાય છે.
વર્તુળ પરવલયમાં અંતર્ગત હોવા માટે,વર્તુળ પરવલયને સ્પર્શતું હોવું જોઈએ. આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $y$ માંના દ્વિઘાત સમીકરણનો વિવેચક $D = 0$ હોય.
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(100 - r^2) = 0$.
$1 - 400 + 4r^2 = 0 \implies 4r^2 = 399 \implies r^2 = \frac{399}{4}$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2 = \frac{399\pi}{4}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $\frac{a\pi}{b}$ આપેલ છે,જ્યાં $a = 399$ અને $b = 4$ છે,જે પરસ્પર અવિભાજ્ય છે.
તેથી $a + b = 399 + 4 = 403$.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = y$ છે,જે $x^2 = 4ay$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $4a = 1$,તેથી $a = 1/4$.
$m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx - am^2$ છે,જે $y = mx - \frac{m^2}{4}$ બને છે.
જો આ સ્પર્શક $(h, k)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય,તો $k = mh - \frac{m^2}{4}$,જેનું સાદું રૂપ $m^2 - 4hm + 4k = 0$ થાય છે.
ધારો કે $(h, k)$ માંથી દોરેલા બે સ્પર્શકોના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે. તો $m_1 + m_2 = 4h$ અને $m_1m_2 = 4k$.
સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $45^{\circ}$ છે,તેથી $\tan 45^{\circ} = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2}| = 1$.
આમ,$(m_1 - m_2)^2 = (1 + m_1m_2)^2$.
$(m_1 - m_2)^2 = (m_1 + m_2)^2 - 4m_1m_2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(4h)^2 - 4(4k) = (1 + 4k)^2$ મળે છે.
$16h^2 - 16k = 1 + 8k + 16k^2$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,આપણને $16x^2 - 16y = 1 + 8y + 16y^2$ અથવા $16y^2 - 16x^2 + 24y + 1 = 0$ મળે છે.
આને $16y^2 - 16x^2 + ky + 1 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 24$ મળે છે.

(B) ધારો કે જીવા બિંદુઓ $P(at_1^2, 2at_1)$ અને $Q(at_2^2, 2at_2)$ ને જોડે છે.
જીવા ઉગમબિંદુ પર કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી $OP$ અને $OQ$ ના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય,એટલે કે $t_1 t_2 = -4$.
જીવા $P$ પર અભિલંબ હોવાથી,$P$ પર અભિલંબનો ઢાળ $-t_1$ છે. જીવા $PQ$ નો ઢાળ $m = \frac{2}{t_1 + t_2}$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ અને જીવાનો ઢાળ સરખાવતા: $-t_1 = \frac{2}{t_1 + t_2} \implies -t_1^2 - t_1 t_2 = 2$.
$t_1 t_2 = -4$ મૂકતા,$-t_1^2 + 4 = 2 \implies t_1^2 = 2 \implies t_1 = \pm \sqrt{2}$.
તેથી જીવાનો ઢાળ $m = \mp \sqrt{2}$ મળે છે. મૂલ્ય તરીકે $\sqrt{2}$ સાચો જવાબ છે.

(B) પરવલય $y^2 = 4ax$ (જ્યાં $a=1$) ના અભિલંબનું સમીકરણ $y = mx - 2am - am^3$ છે.
$(3, 0)$ બિંદુ મૂકતા,$0 = 3m - 2m - m^3$ મળે.
$m^3 - m = 0 \Rightarrow m(m-1)(m+1) = 0$.
તેથી,અભિલંબના ઢાળ $m = 0, 1, -1$ છે.
અભિલંબના બિંદુઓના યામ $(am^2, -2am)$ છે.
$m=0$ માટે,$P = (0, 0)$.
$m=1$ માટે,$Q = (1, -2)$.
$m=-1$ માટે,$R = (1, 2)$.
બાજુઓની લંબાઈ:
$PQ = \sqrt{5}$,$PR = \sqrt{5}$,$QR = 4$.
અહીં $(QR)^2 = 16$ અને $(PQ)^2 + (PR)^2 = 10$ હોવાથી,$(QR)^2 > (PQ)^2 + (PR)^2$ થાય છે.
તેથી,$\Delta PQR$ એ ગુરુકોણ ત્રિકોણ છે.

(A) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે $(ap^2, 2ap)$ બિંદુએ અભિલંબનું સમીકરણ $y = -px + 2ap + ap^3$ છે.
આ અભિલંબ પરવલયને $(aq^2, 2aq)$ બિંદુએ મળે છે,તેથી આ બિંદુ અભિલંબના સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
$x = aq^2$ અને $y = 2aq$ મૂકતા:
$2aq = -p(aq^2) + 2ap + ap^3$
$a$ વડે ભાગતા:
$2q = -pq^2 + 2p + p^3$
$pq^2 - 2q + p^3 - 2p = 0$
$p$ અને $q$ વચ્ચેનો સંબંધ $q = -p - \frac{2}{p}$ મળે છે.
તેથી,$p^2 + pq + 2 = 0$ થાય.

(A) પરવલય $y^2 = 4x$ પરના બિંદુઓ $B$ અને $C$ ના યામ અનુક્રમે $(t_1^2, 2t_1)$ અને $(t_2^2, 2t_2)$ લો.
$B(t_1^2, 2t_1)$ અને $C(t_2^2, 2t_2)$ માંથી પસાર થતી રેખા $P(5, -2)$ માંથી પણ પસાર થાય છે.
રેખા $BC$ નો ઢાળ $m = \frac{2t_1 - 2t_2}{t_1^2 - t_2^2} = \frac{2}{t_1 + t_2}$ છે.
રેખા $P(5, -2)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,ઢાળ $m = \frac{2t_1 - (-2)}{t_1^2 - 5} = \frac{2(t_1 + 1)}{t_1^2 - 5}$ પણ થાય.
ઢાળને સરખાવતા: $\frac{2}{t_1 + t_2} = \frac{2(t_1 + 1)}{t_1^2 - 5}$ $\Rightarrow t_1^2 - 5 = (t_1 + t_2)(t_1 + 1) = t_1^2 + t_1 + t_1t_2 + t_2$.
આનું સાદું રૂપ $t_1t_2 + t_1 + t_2 = -5$ મળે છે.
રેખાઓ $AB$ અને $AC$ ના ઢાળ $m_{AB} = \frac{2}{t_1 + 1}$ અને $m_{AC} = \frac{2}{t_2 + 1}$ છે.
ઢાળનો ગુણાકાર $m_{AB} \cdot m_{AC} = \frac{4}{(t_1 + 1)(t_2 + 1)} = \frac{4}{t_1t_2 + t_1 + t_2 + 1}$ થાય.
$t_1t_2 + t_1 + t_2 = -5$ મૂકતા,$m_{AB} \cdot m_{AC} = \frac{4}{-5 + 1} = \frac{4}{-4} = -1$ મળે છે.
ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ હોવાથી,રેખાઓ $AB$ અને $AC$ પરસ્પર લંબ છે,એટલે કે $\angle BAC = 90^\circ$. તેથી,$\Delta ABC$ હંમેશા કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(B) આપેલ શંકુ $C$ નું સમીકરણ $25((x - 1)^2 + (y + 1)^2) = (3x - 4y)^2$ છે.
$25$ વડે ભાગતા,આપણને $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = \left(\frac{3x - 4y}{5}\right)^2$ મળે છે.
આ $SP^2 = PM^2$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $S = (1, -1)$ એ નાભિ છે અને $3x - 4y = 0$ એ નિયામિકા છે.
ઉત્કેન્દ્રિયતા $e = 1$ હોવાથી,શંકુ $C$ એ પરવલય છે.
પરવલયના લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ તેની નિયામિકા છે.
તેથી,વક્ર $E$ એ રેખા $3x - 4y = 0$ છે.
બિંદુ $(2, -1)$ અને રેખા $3x - 4y = 0$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર એ લંબ અંતર $d = \frac{|3(2) - 4(-1)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}$ છે.
$d = \frac{|6 + 4|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{10}{5} = 2$.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y = x^2$ છે. વર્તુળ અને પરવલયના છેદબિંદુઓના $x$-યામનો સરવાળો $0$ થાય છે.
આપેલ બિંદુઓ $(17, 289), (-2, 4), (13, 169)$ છે.
$17 - 2 + 13 + x_4 = 0 \implies x_4 = -28$.
ચોથું બિંદુ $(-28, 784)$ છે.
$y = x^2$ ની નિયામિકા $y = -\frac{1}{4}$ છે.
લંબ અંતરનો સરવાળો $= (289 + \frac{1}{4}) + (4 + \frac{1}{4}) + (169 + \frac{1}{4}) + (784 + \frac{1}{4}) = 1246 + 1 = 1247$.

(C) આપેલ સમીકરણ $4x^3 + 4y^3 = xy(xy + 16)$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$4x^3 + 4y^3 - x^2y^2 - 16xy = 0$ મળે છે.
અવયવ પાડતા,$(4x - y^2)(x^2 - 4y) = 0$ મળે છે.
આ બે પરવલયો $y^2 = 4x$ અને $x^2 = 4y$ નું સંયુક્ત સમીકરણ છે.
રેખા $x + \alpha y + \beta = 0$ એ આ બંને પરવલયોનો સામાન્ય સ્પર્શક છે.
$y^2 = 4x$ અને $x^2 = 4y$ નો સામાન્ય સ્પર્શક $x + y + 1 = 0$ છે.
$x + y + 1 = 0$ ને $x + \alpha y + \beta = 0$ સાથે સરખાવતા,$\alpha = 1$ અને $\beta = 1$ મળે છે.
તેથી,$\alpha + \beta = 1 + 1 = 2$.

(B) છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,સમીકરણોને એકબીજાની બરાબર મૂકો:
$-x^2 + 4x + 2 = x^2 + 5x + \frac{17}{8}$
$2x^2 + x + \frac{1}{8} = 0$
સરળ બનાવવા માટે $8$ વડે ગુણો:
$16x^2 + 8x + 1 = 0$
$(4x + 1)^2 = 0$
$x = -\frac{1}{4}$
$x$ માટે માત્ર એક જ વાસ્તવિક ઉકેલ હોવાથી,પરવલયો $P_1$ અને $P_2$ એક બિંદુએ એકબીજાને સ્પર્શે છે.
જ્યારે બે પરવલયો એકબીજાને સ્પર્શે છે,ત્યારે તેઓ સ્પર્શબિંદુ પર બરાબર એક સામાન્ય સ્પર્શક ધરાવે છે.
તેથી,સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા $1$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $9x^2 + 24xy + 16y^2 - 4x + 3y = 0$ છે.
આને $(3x + 4y)^2 - 4x + 3y = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $L = 3x + 4y$ અને $M = 4x - 3y$. નોંધો કે $L$ અને $M$ પરસ્પર લંબ છે કારણ કે તેમના ઢાળ $-3/4$ અને $4/3$ છે.
રેખાઓનું પ્રમાણીકરણ કરતા: $\left(\frac{3x + 4y}{5}\right)^2 = \frac{4x - 3y}{5}$.
આ $Y^2 = 4aX$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $Y = \frac{3x + 4y}{5}$ અને $X = \frac{4x - 3y}{5}$.
અહીં,$4a = 1$,તેથી $a = \frac{1}{4}$.
નાભિલંબની લંબાઈ $4a = 1$ છે.

(C) ધારો કે પરવલય $y^2 = 4ax$ (જ્યાં $a=2$) પરના બિંદુઓ $P, Q, R, T$ ને અનુક્રમે $t_1, t_2, t_4, t_3$ પ્રાચલો દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
$PS$ અને $QS$ નાભિ જીવાઓ હોવાથી,આપણી પાસે $t_1 t_3 = -1$ અને $t_2 t_4 = -1$ છે.
જીવા $PQ$ નું સમીકરણ $y(t_1 + t_2) = 2x + 4 t_1 t_2$ છે.
$PQ$ એ $(-2, 3)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$3(t_1 + t_2) = -4 + 4 t_1 t_2$ મળે.
$t_1 = -1/t_3$ અને $t_2 = -1/t_4$ મૂકતા,$3(-1/t_3 - 1/t_4) = -4 + 4/(t_3 t_4)$ મળે.
$t_3 t_4$ વડે ગુણતા,$-3(t_4 + t_3) = -4 t_3 t_4 + 4$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $3(t_3 + t_4) = 4 t_3 t_4 - 4$ થાય છે.
જીવા $TR$ નું સમીકરણ $y(t_3 + t_4) = 2x + 4 t_3 t_4$ છે.
આને $3(t_3 + t_4) = 4 t_3 t_4 - 4$ શરત સાથે સરખાવતા,આપણે કહી શકીએ કે રેખા $TR$ બિંદુ $(-2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે.

(A) ધારો કે નાભિ જીવા $PQ$ છે,જ્યાં $P(at_1^2, 2at_1)$ અને $Q(at_2^2, 2at_2)$ છે. $PQ$ નાભિ જીવા હોવાથી,$t_1t_2 = -1$ થાય.
$P$ અને $Q$ પરના અભિલંબ $R(h, k)$ માં છેદે છે,જ્યાં $h = a(t_1^2 + t_2^2 + t_1t_2 + 2)$ અને $k = -at_1t_2(t_1 + t_2)$ છે.
$t_1t_2 = -1$ મુકતા:
$h = a(t_1^2 + t_2^2 + 1)$ અને $k = a(t_1 + t_2)$.
$(t_1 + t_2)^2 = t_1^2 + t_2^2 + 2t_1t_2 = t_1^2 + t_2^2 - 2$ હોવાથી,$t_1^2 + t_2^2 = (k/a)^2 + 2$ મળે.
આ કિંમત $h$ માં મુકતા:
$h = a((k/a)^2 + 3) = k^2/a + 3a$.
તેથી,$k^2 = a(h - 3a)$. આમ,બિંદુપથ $y^2 = a(x - 3a)$ છે.

(A) પરવલય $y^2 = 4ax$ ના $m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{a}{m}$ છે.
ધારો કે છેદબિંદુ $(h, k)$ છે. સ્પર્શક $(h, k)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$k = mh + \frac{a}{m}$ મળે.
આને $m$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ તરીકે લખતા: $m^2h - mk + a = 0$.
ધારો કે $m_1 = \tan \theta_1$ અને $m_2 = \tan \theta_2$ તેના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,$m_1 + m_2 = \frac{k}{h}$ અને $m_1 m_2 = \frac{a}{h}$.
આપેલ છે કે $\cot \theta_1 + \cot \theta_2 = c$,જેને $\frac{1}{\tan \theta_1} + \frac{1}{\tan \theta_2} = c$ તરીકે લખી શકાય.
આનું સાદું રૂપ $\frac{\tan \theta_1 + \tan \theta_2}{\tan \theta_1 \tan \theta_2} = c$ થાય.
બીજના સરવાળા અને ગુણાકારની કિંમતો મૂકતા: $\frac{k/h}{a/h} = c$.
આથી $\frac{k}{a} = c$,જેનો અર્થ છે $k = ac$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $y = ac$ મળે છે.

(A) વક્રો $y^2 = 4ax$ અને $x^2 = 4ay$ છે. તેમને એકસાથે ઉકેલતા,આપણને $x = 0$ અથવા $x = 4a$ મળે છે. છેદબિંદુઓ $(0, 0)$ અને $(4a, 4a)$ છે.
$(4a, 4a)$ બિંદુએ,$y^2 = 4ax$ માટે વિકલન કરતા $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} = m_1$ મળે છે.
$x^2 = 4ay$ માટે વિકલન કરતા $\frac{dy}{dx} = 2 = m_2$ મળે છે.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે,$\tan \theta = |\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}| = \frac{3}{4}$.
આમ,$\theta = \tan^{-1}(\frac{3}{4})$ એ $a$ થી સ્વતંત્ર છે. તેથી,ખૂણો $a$ ની તમામ કિંમતો માટે અચળ છે.

(B) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે $m$ ઢાળવાળા અભિલંબનું સમીકરણ $y = mx - 2am - am^3$ છે $(1)$.
પરવલય $y^2 = 4c(x - b)$ માટે $m$ ઢાળવાળા અભિલંબનું સમીકરણ $y = m(x - b) - 2cm - cm^3$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = mx - (b + 2c)m - cm^3$ થાય છે $(2)$.
સામાન્ય અભિલંબ માટે,સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ સમાન રેખા દર્શાવવી જોઈએ. અચળ પદોને સરખાવતા:
$-2am - am^3 = -(b + 2c)m - cm^3$
$(c - a)m^3 + (b + 2c - 2a)m = 0$
સામાન્ય અભિલંબ $x$-અક્ષ નથી,તેથી $m \neq 0$. $m$ વડે ભાગતા:
$(c - a)m^2 + (b + 2c - 2a) = 0$
$m^2 = \frac{2a - 2c - b}{c - a} = \frac{2(a - c) - b}{c - a} = -2 + \frac{b}{a - c}$.
વાસ્તવિક અભિલંબ માટે $m^2 > 0$ હોવાથી:
$-2 + \frac{b}{a - c} > 0$
$\frac{b}{a - c} > 2$.

(B) ધારો કે પરવલય $y^2 = 4ax$ પરના બિંદુઓ $P$ અને $Q$ ના યામ $P(at_1^2, 2at_1)$ અને $Q(at_2^2, 2at_2)$ છે.
$PQ$ એ અભિલંબ જીવા હોવાથી,$t_2 = -t_1 - \frac{2}{t_1} \quad \dots(1)$ સંબંધ મળે.
$OP$ અને $OQ$ ના ઢાળ $m_1 = \frac{2}{t_1}$ અને $m_2 = \frac{2}{t_2}$ છે.
$PQ$ શિરોબિંદુ $O(0,0)$ આગળ કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી $m_1 \times m_2 = -1$.
$\frac{2}{t_1} \times \frac{2}{t_2} = -1 \Rightarrow t_1t_2 = -4 \quad \dots(2)$.
$(1)$ માંથી $t_2$ ની કિંમત $(2)$ માં મૂકતા,$t_1(-t_1 - \frac{2}{t_1}) = -4$.
$-t_1^2 - 2 = -4$ $\Rightarrow t_1^2 = 2$ $\Rightarrow t_1 = \pm \sqrt{2}$.
અભિલંબનો ઢાળ $m = -t_1$ છે.
તેથી,અભિલંબ જીવાનો ઢાળ $m = \mp \sqrt{2}$ થાય,જે વિકલ્પ $\pm \sqrt{2}$ દર્શાવે છે.

(C) નાભિ $S(3, 5)$ છે અને નિયામિકા $x + y - 4 = 0$ છે.
પરવલયની અક્ષ નાભિમાંથી પસાર થાય છે અને નિયામિકાને લંબ છે. નિયામિકાનો ઢાળ $-1$ હોવાથી,અક્ષનો ઢાળ $1$ થશે.
અક્ષનું સમીકરણ $y - 5 = 1(x - 3)$ એટલે કે $x - y + 2 = 0$ છે.
નિયામિકાનો લંબપાદ $Z$ એ અક્ષ અને નિયામિકાનું છેદબિંદુ છે:
$x - y + 2 = 0$
$x + y - 4 = 0$
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા $2x - 2 = 0$,તેથી $x = 1$ મળે. $x = 1$ ને $x + y = 4$ માં મૂકતા $y = 3$ મળે. આમ,$Z = (1, 3)$.
શિરોબિંદુ $V$ એ રેખાખંડ $SZ$ નું મધ્યબિંદુ છે,જ્યાં $S(3, 5)$ અને $Z(1, 3)$ છે.
$V = \left( \frac{3 + 1}{2}, \frac{5 + 3}{2} \right) = (2, 4)$.

(C) આપેલ પરવલયો $x_1 = cy^2 + ay + b$ અને $x_2 = cy - y^2$ બિંદુ $(0, 1)$ પર સ્પર્શે છે.
બિંદુ $(0, 1)$ બંને વક્રો પર હોવાથી:
$x_2$ માટે: $0 = c(1) - (1)^2 \Rightarrow c = 1$.
$x_1$ માટે: $0 = c(1)^2 + a(1) + b$ $\Rightarrow 1 + a + b = 0$ $\Rightarrow a + b = -1$.
હવે,$y = 1$ આગળ વિકલન $\frac{dx}{dy}$ શોધો:
$x_1$ માટે: $\frac{dx_1}{dy} = 2cy + a = 2(1)(1) + a = 2 + a$.
$x_2$ માટે: $\frac{dx_2}{dy} = c - 2y = 1 - 2(1) = -1$.
વક્રો સ્પર્શતા હોવાથી,$(0, 1)$ આગળ તેમના સ્પર્શકો સમાન છે,તેથી $y = 1$ આગળ $\frac{dx_1}{dy} = \frac{dx_2}{dy}$.
$2 + a = -1 \Rightarrow a = -3$.
$a + b = -1$ નો ઉપયોગ કરતા,$-3 + b = -1 \Rightarrow b = 2$.
અંતે,$2a + b - c = 2(-3) + 2 - 1 = -6 + 2 - 1 = -5$.

(C) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 - 2y - 4x + 5 = 0$ છે.
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$(y-1)^2 - 1 - 4x + 5 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $(y-1)^2 = 4(x-1)$ થાય છે.
આ પરવલયનું શિરોબિંદુ $V(1, 1)$ અને નાભિ $F(2, 1)$ છે.
આપાત કિરણ $x = 2$ રેખા પર ગતિ કરે છે,જે નાભિ $F(2, 1)$ માંથી પસાર થાય છે અને $y$-અક્ષને સમાંતર છે.
પરવલયના પરાવર્તનના ગુણધર્મ મુજબ,પરવલયની અક્ષને સમાંતર આવતું કિરણ પરાવર્તન બાદ નાભિમાંથી પસાર થાય છે,અને નાભિમાંથી પસાર થતું કિરણ પરાવર્તન બાદ અક્ષને સમાંતર જાય છે.
આ પરવલયની અક્ષ $y = 1$ રેખા છે.
આપાત કિરણ નાભિ $F(2, 1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,પરાવર્તિત કિરણ પરવલયની અક્ષને સમાંતર એટલે કે $y = 1$ ને સમાંતર હશે.
આમ,પરાવર્તિત કિરણ $y = k$ સ્વરૂપની આડી રેખા છે.
આપેલ આકૃતિ મુજબ,પરાવર્તિત કિરણો $y = 3$ અને $y = -1$ છે. વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$y = -1$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $(x-2)^2 + (y-10)^2 = 1$ છે,જેનું કેન્દ્ર $C(2, 10)$ અને ત્રિજ્યા $r = 1$ છે.
પરવલય $y^2 = 4x$ પરનું બિંદુ $P(t^2, 2t)$ લો.
ન્યૂનતમ અંતર માટે,$P$ આગળનો અભિલંબ કેન્દ્ર $C(2, 10)$ માંથી પસાર થવો જોઈએ.
$P$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{1}{t}$ છે,તેથી અભિલંબનો ઢાળ $-t$ થાય.
રેખા $CP$ નો ઢાળ $\frac{2t - 10}{t^2 - 2}$ છે.
તેથી,$-t = \frac{2t - 10}{t^2 - 2}$ $\Rightarrow -t^3 + 2t = 2t - 10$ $\Rightarrow t^3 = 10$ $\Rightarrow t = (10)^{1/3}$.
અહીં $\alpha = t^2 = (10)^{2/3}$ અને $\beta = 2t = 2(10)^{1/3}$ છે.
તેથી,$\alpha \beta = (10)^{2/3} \times 2(10)^{1/3} = 2(10) = 20$.

(B) ધારો કે જીવાનું મધ્યબિંદુ $(h, k)$ છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે મધ્યબિંદુ $(h, k)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ છે,જ્યાં $T = ky - 2a(x + h)$ અને $S_1 = k^2 - 4ah$ છે.
તેથી,સમીકરણ $ky - 2a(x + h) = k^2 - 4ah$ થાય.
આ જીવા ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણે $x = 0$ અને $y = 0$ મૂકીએ:
$k(0) - 2a(0 + h) = k^2 - 4ah$
$-2ah = k^2 - 4ah$
$k^2 = 2ah$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $y^2 = 2ax$ મળે છે.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4x$ છે, તેથી $a = 1$.
સ્પર્શક દોરવાનું બિંદુ $(x_1, y_1) = (-1, 2)$ છે.
સ્પર્શકની જીવાનું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x + x_1)$ છે, જે $y(2) = 2(1)(x - 1)$ એટલે કે $y = x - 1$ થાય છે.
તેને ગોઠવતા, $x - y - 1 = 0$ મળે છે.
સ્પર્શકની જીવાની લંબાઈ $\frac{2}{a} \sqrt{(y_1^2 - 4ax_1)(a^2 + y_1^2)} = \frac{2}{1} \sqrt{(4 - 4(1)(-1))(1^2 + 2^2)} = 2 \sqrt{(8)(5)} = 4\sqrt{10}$ છે.
બિંદુ $(-1, 2)$ થી રેખા $x - y - 1 = 0$ નું લંબ અંતર $h = \frac{|-1 - 2 - 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ છે.
સ્પર્શકો અને સ્પર્શકની જીવા દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{(y_1^2 - 4ax_1)^{3/2}}{2a} = \frac{(4 - 4(1)(-1))^{3/2}}{2(1)} = \frac{8^{3/2}}{2} = 8\sqrt{2}$ છે.

(B) ધારો કે પરવલયનું સમીકરણ $y^{2} = 4ax$ છે અને $P(at_{1}^{2}, 2at_{1}), Q(at_{2}^{2}, 2at_{2})$ એ જીવા $PQ$ ના અંત્યબિંદુઓ છે.
$P$ અને $Q$ પરના સ્પર્શકોના છેદબિંદુ $T$ ના યામ $(at_{1}t_{2}, a(t_{1} + t_{2}))$ છે.
નાભિ $S(a, 0)$ થી $P$ નું અંતર $SP = a(1 + t_{1}^{2})$ છે.
તે જ રીતે,નાભિ $S$ થી $Q$ નું અંતર $SQ = a(1 + t_{2}^{2})$ છે.
નાભિ $S$ થી $T$ નું અંતર $ST = \sqrt{(at_{1}t_{2} - a)^{2} + (a(t_{1} + t_{2}) - 0)^{2}}$ છે.
$ST^{2} = a^{2}(1 + t_{1}^{2})(1 + t_{2}^{2}) = SP \cdot SQ$.
આમ,$SP, ST, SQ$ એ $G.P.$ માં છે.

(A) રેખાનું સમીકરણ $x + by + c = 0$ છે,જેને $y = -\frac{1}{b}x - \frac{c}{b}$ તરીકે લખી શકાય.
$y = mx + k$ સાથે સરખાવતા,$m = -\frac{1}{b}$ અને $k = -\frac{c}{b}$ મળે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,અહીં $4a = 12$,તેથી $a = 3$.
રેખા $y = mx + k$ એ પરવલય $y^2 = 4ax$ નો અભિલંબ હોવાની શરત $k = -2am - am^3$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $-\frac{c}{b} = -2(3)(-\frac{1}{b}) - 3(-\frac{1}{b})^3$.
$-\frac{c}{b} = \frac{6}{b} + \frac{3}{b^3}$.
$-b^3$ વડે ગુણતા: $cb^2 = -6b^2 - 3$.
$b^2(c + 6) = -3$.
$b^2 = \frac{-3}{c + 6}$.
$b^2 > 0$ હોવાથી,$\frac{-3}{c + 6} > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $c + 6 < 0$.
તેથી,$c < -6$.

(D) આપેલી રેખા $x - y + 1 = 0$ છે,જેનો ઢાળ $1$ છે.
લઘુત્તમ અંતર માટે,વક્ર $x = y^2$ નો સ્પર્શક આપેલી રેખાને સમાંતર હોવો જોઈએ.
$x = y^2$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dx}{dy} = 2y$ મળે છે.
સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = 1$ હોવાથી,$\frac{1}{2y} = 1$,જે આપણને $y = \frac{1}{2}$ આપે છે.
$y = \frac{1}{2}$ ને $x = y^2$ માં મૂકતા,આપણને $x = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$ મળે છે.
તેથી,વક્ર પરનું બિંદુ $P$ એ $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)$ છે.
લઘુત્તમ અંતર એ બિંદુ $P\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)$ થી રેખા $x - y + 1 = 0$ સુધીનું લંબ અંતર છે.
અંતર $= \frac{|\frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|\frac{3}{4}|}{\sqrt{2}} = \frac{3}{4\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{8}$.

(C) ઉગમબિંદુ સામાન્ય શિરોબિંદુ હોવાથી,બે પરવલયોના સમીકરણો $y^2 = 4ax$ અને $x^2 = 4by$ લો.
નાભિલંબની લંબાઈ $3$ આપેલ છે,તેથી $4a = 3$ અને $4b = 3$,એટલે કે $a = b = \frac{3}{4}$.
પરવલયોના સમીકરણો $y^2 = 3x$ અને $x^2 = 3y$ છે.
ધારો કે સામાન્ય સ્પર્શક $y = mx + c$ છે.
$y^2 = 3x$ માટે,$y = mx + c$ મૂકતા $(mx + c)^2 = 3x$,એટલે કે $m^2x^2 + (2mc - 3)x + c^2 = 0$.
સ્પર્શક હોવાથી વિવેચક શૂન્ય થાય: $(2mc - 3)^2 - 4m^2c^2 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $9 - 12mc = 0$ એટલે કે $c = \frac{3}{4m}$ મળે.
$x^2 = 3y$ માટે,$y = mx + c$ મૂકતા $x^2 = 3(mx + c)$,એટલે કે $x^2 - 3mx - 3c = 0$.
વિવેચક શૂન્ય લેતા: $(-3m)^2 - 4(1)(-3c) = 0$,જે $9m^2 + 12c = 0$ આપે છે,તેથી $c = -\frac{3m^2}{4}$.
$c$ ની બંને કિંમતો સરખાવતા: $\frac{3}{4m} = -\frac{3m^2}{4}$ $\Rightarrow m^3 = -1$ $\Rightarrow m = -1$.
તેથી $c = \frac{3}{4(-1)} = -\frac{3}{4}$.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = -x - \frac{3}{4}$ છે,જેનું સાદું રૂપ $4(x + y) + 3 = 0$ થાય છે.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 8x$ છે,તેથી $4a = 8$,જેનો અર્થ છે કે $a = 2$. નાભિ $F$ એ $(2, 0)$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1) = (-8, 0)$ માટે સ્પર્શક જીવા $PQ$ નું સમીકરણ $T = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $yy_1 = 2a(x + x_1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $y(0) = 2(2)(x - 8)$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $0 = 4(x - 8)$ થાય છે,તેથી $x = 8$.
$x = 8$ માટે,$y^2 = 8(8) = 64$,તેથી $y = \pm 8$. આમ,બિંદુઓ $P(8, 8)$ અને $Q(8, -8)$ છે.
ત્રિકોણ $PFQ$ ના શિરોબિંદુઓ $P(8, 8)$,$F(2, 0)$ અને $Q(8, -8)$ છે.
પાયો $PQ$ એ $|8 - (-8)| = 16$ લંબાઈનો શિરોલંબ રેખાખંડ છે.
$F(2, 0)$ થી રેખા $x = 8$ સુધીની ત્રિકોણની ઊંચાઈ $|8 - 2| = 6$ છે.
$\triangle PFQ$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 16 \times 6 = 48$ ચોરસ એકમ.

(C) ધારો કે પરવલય $x^2 = 4y$ પરનું બિંદુ $P(2t, t^2)$ છે.
આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 + 6x + 8 = 0$ છે. તેનું કેન્દ્ર $C(-3, 0)$ છે.
અંતર $PC$ ન્યૂનતમ હોય તે માટે,રેખા $PC$ એ $P$ આગળ પરવલયનો અભિલંબ હોવો જોઈએ.
$P(2t, t^2)$ આગળ પરવલયના સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{2} = t$ છે.
તેથી,$P$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{t}$ થાય.
$P(2t, t^2)$ અને $C(-3, 0)$ ને જોડતી રેખા $PC$ નો ઢાળ $\frac{t^2 - 0}{2t - (-3)} = \frac{t^2}{2t + 3}$ છે.
ઢાળને સરખાવતા: $\frac{t^2}{2t + 3} = -\frac{1}{t}$.
$t^3 = -2t - 3 \Rightarrow t^3 + 2t + 3 = 0$.
નિરીક્ષણ દ્વારા,$t = -1$ એ ઉકેલ છે: $(-1)^3 + 2(-1) + 3 = 0$.
$t = -1$ માટે,બિંદુ $P(-2, 1)$ મળે.
$P$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $t = -1$ છે.
$(-2, 1)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 1 = -1(x + 2)$ થાય.
$y - 1 = -x - 2 \Rightarrow x + y + 1 = 0$.

(C) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે, $4a = 8$, તેથી $a = 2$.
પરવલય પરના બિંદુ $(at^2, 2at)$ નું નાભિ અંતર $a(1 + t^2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નાભિ અંતર $8$ આપેલ હોવાથી, $2(1 + t^2) = 8$, જેનો અર્થ છે કે $1 + t^2 = 4$, તેથી $t^2 = 3$ અને $t = \pm\sqrt{3}$.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે પ્રાચલ $t$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y = -tx + 2at + at^3$ છે.
આને $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા, આપણને $m = -t$ અને $c = 2at + at^3 = at(2 + t^2)$ મળે છે.
$a = 2$ અને $t = \sqrt{3}$ મૂકતા:
$|c| = |2(\sqrt{3})(2 + 3)| = |2\sqrt{3}(5)| = 10\sqrt{3}$.

(D) બિંદુ $P$ ના યામ $(4t^2 + 3, 8t^3 - 1)$ છે.
$P$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{24t^2}{8t} = 3t$ છે.
ધારો કે બિંદુ $Q$ ના યામ $(4\lambda^2 + 3, 8\lambda^3 - 1)$ છે.
રેખા $PQ$ નો ઢાળ $\frac{8\lambda^3 - 8t^3}{4\lambda^2 - 4t^2} = \frac{2(\lambda^3 - t^3)}{\lambda^2 - t^2} = \frac{2(\lambda - t)(\lambda^2 + \lambda t + t^2)}{(\lambda - t)(\lambda + t)} = \frac{2(\lambda^2 + \lambda t + t^2)}{\lambda + t}$ છે.
$PQ$ એ $P$ આગળનો સ્પર્શક હોવાથી,તેનો ઢાળ $3t$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\frac{2(\lambda^2 + \lambda t + t^2)}{\lambda + t} = 3t.$
$2\lambda^2 + 2\lambda t + 2t^2 = 3t\lambda + 3t^2.$
$2\lambda^2 - t\lambda - t^2 = 0.$
$(2\lambda + t)(\lambda - t) = 0.$
અહીં $\lambda \neq t$ હોવાથી (કારણ કે $Q$ એ અલગ બિંદુ છે),આપણને $\lambda = -t/2$ મળે છે.
$\lambda = -t/2$ ને $Q$ ના યામમાં મૂકતા,$x = 4(-t/2)^2 + 3 = t^2 + 3$ અને $y = 8(-t/2)^3 - 1 = -t^3 - 1$ મળે છે.
આમ,$Q$ ના યામ $(t^2 + 3, -t^3 - 1)$ છે.

(A) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે $t$ પ્રાચલ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y = -tx + 2at + at^3$ છે. અહીં $a = 1$ હોવાથી,$P(t)$ આગળનો અભિલંબ $y = -tx + 2t + t^3$ થશે.
આ અભિલંબ $Q(t_1)$ માંથી પસાર થતો હોવાથી,$t_1^2 = -t(t_1) + 2t + t^3$ મળે,જેનું સાદુંરૂપ આપતા $t_1 = -t - \frac{2}{t}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$t_1^2 = (-t - \frac{2}{t})^2 = t^2 + \frac{4}{t^2} + 4$ મળે.
સમાંતર મધ્યક-ભૌમિતિક મધ્યકની અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,$t^2 + \frac{4}{t^2} \ge 2\sqrt{t^2 \cdot \frac{4}{t^2}} = 4$.
તેથી,$t_1^2$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $4 + 4 = 8$ થાય.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = -4x$ છે,જે $y^2 = -4ax$ સ્વરૂપમાં છે જ્યાં $a = 1$ છે.
ધારો કે $P$ ના યામ $(-t^2, 2t)$ અને $Q$ ના યામ $(-t^2, -2t)$ છે,જ્યાં $t > 0$ (કારણ કે $P$ બીજા ચરણમાં છે).
ધારો કે $R(h, k)$ એ બિંદુ છે જે $PQ$ ને $2 : 1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$R$ ના યામ:
$h = \frac{2(-t^2) + 1(-t^2)}{2 + 1} = -t^2$
$k = \frac{2(-2t) + 1(2t)}{2 + 1} = \frac{-4t + 2t}{3} = -\frac{2t}{3}$
$k = -\frac{2t}{3}$ પરથી,આપણને $t = -\frac{3k}{2}$ મળે છે.
$h$ ના સમીકરણમાં $t$ ની કિંમત મૂકતા:
$h = -(-\frac{3k}{2})^2 = -\frac{9k^2}{4}$
$4h = -9k^2$
$9k^2 = -4h$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,$R$ નો બિંદુપથ $9y^2 = -4x$ મળે છે.

(D) પરવલય $y^2 = 4ax$ ના સ્પર્શકો જે એકબીજા સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવે છે,તેમના છેદબિંદુનો બિંદુપથ નીચે મુજબ છે:
$\tan^2 \alpha (x + a)^2 = y^2 - 4ax$
આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4x$ છે,તેથી $a = 1$.
છેદબિંદુ $(x, y) = (-2, -1)$ છે.
આ કિંમતોને બિંદુપથના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\tan^2 \alpha (-2 + 1)^2 = (-1)^2 - 4(1)(-2)$
$\tan^2 \alpha (-1)^2 = 1 + 8$
$\tan^2 \alpha (1) = 9$
$\tan^2 \alpha = 9$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$|\tan \alpha| = 3$

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 6x$ છે,જે $y^2 = 4ax$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $4a = 6$,તેથી $a = \frac{3}{2}$.
નાભિ $S = (\frac{3}{2}, 0)$ છે અને શિરોબિંદુ $V = (0, 0)$ છે.
ધારો કે નાભિમાંથી પસાર થતી જીવાનું સમીકરણ $y - 0 = m(x - \frac{3}{2})$ છે,જે $mx - y - \frac{3m}{2} = 0$ તરીકે લખી શકાય.
શિરોબિંદુ $(0, 0)$ થી આ રેખાનું અંતર $d = \frac{|m(0) - 0 - \frac{3m}{2}|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|-\frac{3m}{2}|}{\sqrt{m^2 + 1}}$ છે.
આપેલ છે કે $d = \frac{\sqrt{5}}{2}$,તેથી $\frac{|\frac{3m}{2}|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{9m^2}{4(m^2 + 1)} = \frac{5}{4}$.
$9m^2 = 5(m^2 + 1)$ $\Rightarrow 9m^2 = 5m^2 + 5$ $\Rightarrow 4m^2 = 5$.
$m^2 = \frac{5}{4} \Rightarrow m = \pm \frac{\sqrt{5}}{2}$.
આમ,ઢાળ $\frac{\sqrt{5}}{2}$ હોઈ શકે છે.

(B) વિધાન $-2$ માટે: પરવલય $y^2 = -2x$ છે,તેથી $4a = -2$,જેનો અર્થ છે કે $a = -1/2$. રેખા $y = mx + c$ એ $y^2 = 4ax$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c = a/m$ છે. અહીં,$c = (-1/2)/m = -1/(2m)$. સ્પર્શબિંદુ $(a/m^2, 2a/m) = (-1/(2m^2), -1/m)$ છે. આમ,વિધાન $-2$ સત્ય છે.
વિધાન $-1$ માટે: રેખા $x = 2y + 2$ છે. $y^2 + 2x = 0$ માં મૂકતા,આપણને $y^2 + 2(2y + 2) = 0$ મળે છે,જે $y^2 + 4y + 4 = 0$ અથવા $(y + 2)^2 = 0$ માં પરિણમે છે. આનાથી $y = -2$ મળે છે. $y = -2$ ને $x = 2y + 2$ માં મૂકતા,આપણને $x = 2(-2) + 2 = -2$ મળે છે. આમ,રેખા પરવલયને માત્ર $(-2, -2)$ બિંદુએ મળે છે. આ વિધાન $-2$ સાથે સુસંગત છે. તેથી,વિધાન $-1$ સત્ય છે અને વિધાન $-2$ એ તેની સાચી સમજૂતી છે.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4x$ છે. તેને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$a = 1$ મળે છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ ના નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $(a, 2a)$ અને $(a, -2a)$ છે.
$a = 1$ માટે,અંત્યબિંદુઓ $(1, 2)$ અને $(1, -2)$ છે.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ આગળના અભિલંબોનું છેદબિંદુ $(3a, 0)$ છે.
$a = 1$ મૂકતા,છેદબિંદુ $(3(1), 0) = (3, 0)$ મળે છે.

(D) પરવલય $y^2 = -4ax$ માટે,$m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{a}{m}$ છે.
અહીં,$4a = 4$,તેથી $a = 1$. પરવલય $y^2 = -4x$ છે,તેથી તે ડાબી બાજુ ખુલે છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx - \frac{1}{m}$ થાય છે. આમ,વિધાન $1$ સાચું છે.
સ્પર્શક $y = mx - \frac{1}{m}$ માટે,અક્ષ $(y=0)$ સાથેનું છેદબિંદુ $0 = mx - \frac{1}{m}$ છે,જે $x = \frac{1}{m^2}$ આપે છે.
તમામ $m \neq 0$ માટે $m^2 > 0$ હોવાથી,$x = \frac{1}{m^2} > 0$ થાય. આમ,$x$-યામ હંમેશા ધન (અઋણ) હોય છે. વિધાન $2$ સાચું છે.
વિધાન $2$ એ સ્પર્શકના ગુણધર્મનું વર્ણન કરે છે,પરંતુ તે વિધાન $1$ માં આપેલા સ્પર્શકના સમીકરણ માટેનું તાર્કિક કારણ નથી. તેથી,વિધાન $2$ એ વિધાન $1$ ની સાચી સમજૂતી નથી.

(B) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = 8y$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^2 = 4ay$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a = 8$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 2$.
પરવલયનું શિરોબિંદુ $C = (0, 0)$ છે.
નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓ $A = (-2a, a) = (-4, 2)$ અને $B = (2a, a) = (4, 2)$ છે.
આપણે શિરોબિંદુઓ $A(-4, 2)$,$B(4, 2)$,અને $C(0, 0)$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ જેનાં શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$,અને $(x_3, y_3)$ હોય,તેનું સૂત્ર $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ છે.
યામોને સૂત્રમાં મૂકતા: ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-4(2 - 0) + 4(0 - 2) + 0(2 - 2)|$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-4(2) + 4(-2) + 0| = \frac{1}{2} |-8 - 8| = \frac{1}{2} |-16| = 8$.
આમ,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $8$ ચોરસ એકમ છે.

(D) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $x^2 = 8y$ છે.
જ્યારે $x = 4$ હોય,ત્યારે સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $4^2 = 8y \Rightarrow 16 = 8y \Rightarrow y = 2$.
તેથી,સ્પર્શબિંદુ $(4, 2)$ છે.
$x^2 = 8y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$2x = 8 \frac{dy}{dx}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{8} = \frac{x}{4}$.
$x = 4$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \left. \frac{x}{4} \right|_{x=4} = 1$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{1} = -1$ થાય.
$(4, 2)$ બિંદુ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - y_1 = m_n(x - x_1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $y - 2 = -1(x - 4)$.
$y - 2 = -x + 4$.
$x + y = 6$.

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = x$ છે.
આપેલ છે કે જીવા $PQ$ એ પરવલયની અક્ષ ($x$-અક્ષ) ને લંબ છે અને એક અંત્યબિંદુ $P(4, -2)$ છે,તેથી $Q$ નો $x$-યામ પણ $4$ થશે.
$Q$ એ પરવલય $y^2 = x$ પર હોવાથી,$x = 4$ મૂકતા $y^2 = 4$ મળે,તેથી $y = \pm 2$. $P(4, -2)$ હોવાથી,$Q(4, 2)$ થશે.
પરવલય $y^2 = x$ નું $x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા $2y \frac{dy}{dx} = 1$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$.
$Q(4, 2)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} \Big|_{(4, 2)} = \frac{1}{2(2)} = \frac{1}{4}$ થાય.
$Q$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ એ સ્પર્શકના ઢાળનો વ્યસ્ત અને વિરોધી હોય છે.
તેથી,અભિલંબનો ઢાળ $-\frac{1}{1/4} = -4$ થાય.

(B) શિરોબિંદુ $(2, 0)$ છે અને નાભિ $(4, 0)$ છે.
પરવલયની ધરી $x$-અક્ષ હોવાથી,પરવલયનું સમીકરણ $(y - 0)^2 = 4a(x - 2)$ થશે.
અહીં $a = 4 - 2 = 2$ છે,તેથી સમીકરણ $y^2 = 8(x - 2)$ મળે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $y^2 = 6^2 = 36$ અને $8(8 - 2) = 48$.
$36 \neq 48$ હોવાથી,બિંદુ $(8, 6)$ પરવલય પર નથી.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4x$ છે,તેથી $a = 1$. ધારો કે બિંદુ $C$ ના યામ $(t^2, 2t)$ છે.
શિરોબિંદુઓ $A(4, -4)$,$B(9, 6)$ અને $C(t^2, 2t)$ ધરાવતા $\Delta ACB$ નું ક્ષેત્રફળ નિશ્ચાયક સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|$
$= \frac{1}{2} |4(6 - 2t) + 9(2t - (-4)) + t^2(-4 - 6)|$
$= \frac{1}{2} |24 - 8t + 18t + 36 - 10t^2|$
$= \frac{1}{2} |-10t^2 + 10t + 60| = |-5t^2 + 5t + 30|$
ક્ષેત્રફળ મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $f(t) = -5t^2 + 5t + 30$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ અને તેને $0$ લઈએ:
$f'(t) = -10t + 5 = 0 \implies t = \frac{1}{2}$.
$t = \frac{1}{2}$ ને ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{Area} = |-5(\frac{1}{4}) + 5(\frac{1}{2}) + 30| = |-\frac{5}{4} + \frac{10}{4} + \frac{120}{4}| = \frac{125}{4} = 31\frac{1}{4}$ ચોરસ એકમ.

(B) પરવલય $y^2 = 4b(x - c)$ માટે $m$ ઢાળવાળા અભિલંબનું સમીકરણ $y = m(x - c) - 2bm - bm^3$ છે.
પરવલય $y^2 = 8ax$ માટે $m$ ઢાળવાળા અભિલંબનું સમીકરણ $y = mx - 4am - 2am^3$ છે.
આ બંને પરવલયો $m \neq 0$ ઢાળવાળો સામાન્ય અભિલંબ ધરાવે તે માટે,સમીકરણો સમાન રેખા દર્શાવતા હોવા જોઈએ.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$m^2 = \frac{c}{2a - b} - 2$.
સામાન્ય અભિલંબના અસ્તિત્વ માટે,$m^2 > 0$ હોવું જરૂરી છે,તેથી $\frac{c}{2a - b} > 2$.
વિકલ્પ $(B)$ $(a=1, b=1, c=3)$ ચકાસતા:
$m^2 = \frac{3}{2(1) - 1} - 2 = 1 > 0$.
આમ,$(1, 1, 3)$ એક માન્ય વિકલ્પ છે.