Parabola Questions in Gujarati

(A) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 4x$ છે,તેથી $a = 1$.
રેખા $y = 3x + 4$ નો ઢાળ $m = 3$ છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ ના $m$ ઢાળવાળા અભિલંબનું સમીકરણ $y = mx - 2am - am^3$ છે.
સૂત્રમાં $a = 1$ અને $m = 3$ મૂકતા:
$y = 3x - 2(1)(3) - (1)(3)^3$
$y = 3x - 6 - 27$
$y = 3x - 33$.
આમ,અભિલંબનું સમીકરણ $y = 3x - 33$ છે.

(A) પરવલય $y^2 = 2px$ નું નાભિકેન્દ્ર $(p/2, 0)$ છે.
પરવલયની નિયામિકા $x = -p/2$ છે.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(p/2, 0)$ છે અને તે નિયામિકાને સ્પર્શે છે,તેથી વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = p$ થશે.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - p/2)^2 + y^2 = p^2$ છે.
$y^2 = 2px$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(x - p/2)^2 + 2px = p^2$
$x^2 - px + p^2/4 + 2px = p^2$
$x^2 + px - 3p^2/4 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = p/2$ અથવા $x = -3p/2$ મળે.
$x = p/2$ માટે,$y^2 = p^2$ એટલે કે $y = \pm p$.
આમ,છેદબિંદુઓ $(p/2, p)$ અને $(p/2, -p)$ છે.

(D) નાભિજીવા $BC$ ના અંત્યબિંદુઓ $B(at_{1}^{2}, 2at_{1})$ અને $C(at_{2}^{2}, 2at_{2})$ લો.
નાભિજીવા હોવાથી $t_{1}t_{2} = -1$.
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $a^{2} |t_{1} - t_{2}| = 5a^{2}$ છે.
તેથી $|t_{1} - t_{2}| = 5$.
નાભિજીવાની લંબાઈ $a(t_{1} - t_{2})^{2} = a(t_{1} + 1/t_{1})^{2} = a(t_{1} - t_{2})^{2} = a(5)^{2} = 25a$.

(A) ધારો કે પરવલય $y^{2} = 4ax$ પરના બિંદુઓ $P$ અને $Q$ ના પ્રાચલ $t_{1}$ અને $t_{2}$ છે,જેથી $P = (at_{1}^{2}, 2at_{1})$ અને $Q = (at_{2}^{2}, 2at_{2})$.
કોઈપણ બિંદુ $t$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m = 1/t$ છે.
$P$ અને $Q$ આગળના સ્પર્શકો લંબ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય:
$(1/t_{1}) \times (1/t_{2}) = -1 \implies t_{1}t_{2} = -1 \implies t_{2} = -1/t_{1}$.
આપેલ છે કે $P(p, q) = (at_{1}^{2}, 2at_{1})$,તેથી $q = 2at_{1} \implies t_{1} = q/(2a)$.
આમ,$t_{2} = -1/(q/2a) = -2a/q$.
$Q$ ના યામ $(at_{2}^{2}, 2at_{2}) = (a(-2a/q)^{2}, 2a(-2a/q)) = (a(4a^{2}/q^{2}), -4a^{2}/q)$ થાય.
$P(p, q)$ એ $y^{2} = 4ax$ પર હોવાથી,$q^{2} = 4ap$ થાય. $Q$ ના $x$-યામમાં $q^{2} = 4ap$ મૂકતા:
$x_{Q} = (4a^{3})/(4ap) = a^{2}/p$.
તેથી,$Q$ ના યામ $(a^{2}/p, -4a^{2}/q)$ છે.

(A) પરવલય $y^{2} = 4ax$ માટે,જો નાભિ જીવાનું એક અંત્યબિંદુ $(at_{1}^{2}, 2at_{1})$ હોય,તો બીજું અંત્યબિંદુ $(at_{2}^{2}, 2at_{2})$ થાય,જ્યાં $t_{1}t_{2} = -1$.
અહીં $y^{2} = 32x$ આપેલ છે,તેથી $4a = 32$,એટલે કે $a = 8$.
બિંદુ $(2, -8)$ એ $(at_{1}^{2}, 2at_{1})$ ને અનુરૂપ છે.
$2at_{1} = -8 \implies 2(8)t_{1} = -8 \implies 16t_{1} = -8 \implies t_{1} = -\frac{1}{2}$.
$t_{1}t_{2} = -1$ હોવાથી,$t_{2} = -\frac{1}{t_{1}} = -\frac{1}{-1/2} = 2$.
તેથી બીજું અંત્યબિંદુ $(at_{2}^{2}, 2at_{2}) = (8(2)^{2}, 2(8)(2)) = (8 \times 4, 32) = (32, 32)$ થાય.

(A) પરવલય $y^{2} = 4ax$ ના નાભિલંબના અંત્યબિંદુઓના યામ $(a, 2a)$ અને $(a, -2a)$ છે.
$(a, 2a)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{2a}{2a} = 1$ છે,તેથી અભિલંબનો ઢાળ $-1$ થાય.
$(a, 2a)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ: $y - 2a = -1(x - a) \implies x + y - 3a = 0$ $(i)$.
તે જ રીતે,$(a, -2a)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ: $y - (-2a) = 1(x - a) \implies x - y - 3a = 0$ $(ii)$.
બંને અભિલંબનું સંયુક્ત સમીકરણ: $(x + y - 3a)(x - y - 3a) = 0$.
આથી,$(x - 3a)^{2} - y^{2} = 0 \implies x^{2} - 6ax + 9a^{2} - y^{2} = 0$ એટલે કે $x^{2} - y^{2} - 6ax + 9a^{2} = 0$.

(A) ધારો કે બિંદુ $(h, k)$ છે. પરવલય $y^{2} = 4ax$ ના અભિલંબનું સમીકરણ $y = mx - 2am - am^{3}$ છે.
તે $(h, k)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$k = mh - 2am - am^{3}$,જે $am^{3} + m(2a - h) + k = 0$ માં પરિણમે છે.
ધારો કે અભિલંબના ઢાળ $m_1, m_2, m_3$ છે. બીજનો ગુણાકાર $m_1 m_2 m_3 = -k/a$ થાય.
આપેલ છે કે $m_1 = \tan \alpha$ અને $m_2 = \tan \beta$,જ્યાં $m_1 m_2 = 2$.
તેથી,$2 m_3 = -k/a$,એટલે કે $m_3 = -k/(2a)$.
$m_3$ એ સમીકરણ $am^{3} + m(2a - h) + k = 0$ નું બીજ હોવાથી,$m = -k/(2a)$ મૂકતા:
$a(-k/(2a))^{3} + (-k/(2a))(2a - h) + k = 0$
$-k^{3}/(8a^{2}) - k + kh/(2a) + k = 0$
$-k^{3}/(8a^{2}) + kh/(2a) = 0$
$k^{2} = 4ah$.
આમ,બિંદુપથ $y^{2} = 4ax$ છે.

(C) ધારો કે પરવલય $y^{2} = 4ax$ પરનું ચલિત બિંદુ $P(at^{2}, 2at)$ છે અને નાભી $S(a, 0)$ છે.
ધારો કે $M(h, k)$ એ $PS$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી $h = \frac{at^{2} + a}{2}$ અને $k = \frac{2at + 0}{2} = at$.
$k = at$ પરથી,$t = \frac{k}{a}$ મળે.
$h$ ના સમીકરણમાં $t$ ની કિંમત મૂકતા: $h = \frac{a(k/a)^{2} + a}{2} = \frac{k^{2}/a + a}{2} = \frac{k^{2} + a^{2}}{2a}$.
આમ,$2ah = k^{2} + a^{2}$,જે $k^{2} = 2a(h - a/2)$ માં પરિણમે છે.
$(h, k)$ નો બિંદુપથ $y^{2} = 2a(x - a/2)$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $Y^{2} = 4AX$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $Y = y$,$X = x - a/2$,અને $4A = 2a \Rightarrow A = a/2$.
નિયામિકા $X = -A$ દ્વારા મળે છે,તેથી $x - a/2 = -a/2$.
તેથી,$x = 0$.

(B) આપેલ પરવલય: $y^{2} = 4x + 4y$
પદોને ગોઠવતા: $y^{2} - 4y = 4x$
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $y^{2} - 4y + 4 = 4x + 4$
$(y - 2)^{2} = 4(x + 1)$
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $Y^{2} = 4AX$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $Y = y - 2$,$X = x + 1$,અને $A = 1$.
શિરોબિંદુ: $(X = 0, Y = 0) \implies (x + 1 = 0, y - 2 = 0) \implies (-1, 2)$.
નાભિ: $(X = A, Y = 0) \implies (x + 1 = 1, y - 2 = 0) \implies (0, 2)$.
અક્ષ: $Y = 0 \implies y - 2 = 0 \implies y = 2$.
નાભિલંબની લંબાઈ: $4A = 4(1) = 4$.
નિયામિકાનું સમીકરણ: $X = -A \implies x + 1 = -1 \implies x = -2$.

(B) ધારો કે પરવલયનું સમીકરણ $y^{2} = 4ax$ છે અને જીવા $PQ$ ના અંત્યબિંદુઓ $P(at_1^{2}, 2at_1)$ અને $Q(at_2^{2}, 2at_2)$ છે.
$P$ અને $Q$ આગળના સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ $T$ ના યામ $(at_1t_2, a(t_1 + t_2))$ છે.
નાભિ $S(a, 0)$ થી બિંદુ $(at^{2}, 2at)$ નું અંતર $a(1 + t^{2})$ થાય.
તેથી,$SP = a(1 + t_1^{2})$ અને $SQ = a(1 + t_2^{2})$.
નાભિ $S(a, 0)$ થી $T(at_1t_2, a(t_1 + t_2))$ નું અંતર $ST$ નીચે મુજબ મળે:
$ST^{2} = (at_1t_2 - a)^{2} + (a(t_1 + t_2) - 0)^{2}$
$ST^{2} = a^{2}(t_1^{2}t_2^{2} + t_1^{2} + t_2^{2} + 1)$
$ST^{2} = a^{2}(1 + t_1^{2})(1 + t_2^{2})$
$ST^{2} = SP \cdot SQ$
આમ,$ST^{2} = SP \cdot SQ$ હોવાથી,$SP, ST, SQ$ એ $G.P.$ માં છે.

(B) ધારો કે $P(at_1^2, 2at_1)$ એ અભિલંબ જીવાનું એક અંત્યબિંદુ છે,તો બીજું અંત્યબિંદુ $Q(at_2^2, 2at_2)$ થાય.
અભિલંબ જીવા માટે,પ્રાચલો વચ્ચેનો સંબંધ $t_2 = -t_1 - \frac{2}{t_1} \dots (1)$ છે.
$OP$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{2at_1}{at_1^2} = \frac{2}{t_1}$ છે.
$OQ$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{2at_2}{at_2^2} = \frac{2}{t_2}$ છે.
જીવા શિરોબિંદુ $O(0,0)$ આગળ કાટખૂણો બનાવતી હોવાથી,ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય:
$m_1 \times m_2 = -1$ $\Rightarrow \frac{2}{t_1} \times \frac{2}{t_2} = -1$ $\Rightarrow t_1t_2 = -4 \dots (2)$.
$(2)$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$-4/t_1 = -t_1 - 2/t_1$ $\Rightarrow -4/t_1 = -(t_1^2 + 2)/t_1$ $\Rightarrow 4 = t_1^2 + 2$ $\Rightarrow t_1^2 = 2$ $\Rightarrow t_1 = \pm \sqrt{2}$.
શિરોબિંદુ અને અંત્યબિંદુ $P$ ને જોડતી રેખાનો ઢાળ $m_1 = \frac{2}{t_1} = \frac{2}{\pm \sqrt{2}} = \pm \sqrt{2}$ થાય.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 8(x - 3)$ છે.
અહીં $4a = 8$,તેથી $a = 2$.
શિરોબિંદુ $(3, 0)$ છે અને નાભિ $S(5, 0)$ છે.
નિયામિકાનું સમીકરણ $x = 1$ છે.
$\triangle SPM$ સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,$SP = PM = SM = L$.
ભૂમિતિ મુજબ,$L = 8$ મળે છે.

(C) પરવલય $Y^{2} = 4AX$ ના $m$ ઢાળવાળા અભિલંબનું સમીકરણ $Y = mX - 2Am - Am^{3}$ છે.
અહીં આપેલ પરવલય $y^{2} = 1(x + a)$ છે.
સરખાવતા,$Y = y$,$X = x + a$,અને $4A = 1 \implies A = \frac{1}{4}$ મળે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$y = m(x + a) - 2(\frac{1}{4})m - (\frac{1}{4})m^{3}$
$y = m(x + a) - \frac{1}{2}m - \frac{1}{4}m^{3}$
બંને બાજુ $4$ વડે ગુણતા:
$4y = 4m(x + a) - 2m - m^{3}$
$4y = 4mx + 4am - 2m - m^{3}$

(C) ધારો કે પરવલય પરનું બિંદુ $P(at^2, 2at)$ છે.
$P$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $ty = x + at^2$ છે.
નિયામિકા $x = -a$ છે.
સ્પર્શક અને નિયામિકાનું છેદબિંદુ $Q$ શોધવા માટે,સ્પર્શકના સમીકરણમાં $x = -a$ મૂકતા:
$ty = -a + at^2 \implies y = \frac{a(t^2 - 1)}{t}$.
તેથી,$Q = (-a, \frac{a(t^2 - 1)}{t})$.
નાભિકેન્દ્ર $S(a, 0)$ છે.
$SP$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{2at - 0}{at^2 - a} = \frac{2t}{t^2 - 1}$ છે.
$SQ$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{\frac{a(t^2 - 1)}{t} - 0}{-a - a} = \frac{a(t^2 - 1)}{t(-2a)} = -\frac{t^2 - 1}{2t}$ છે.
કારણ કે $m_1 \times m_2 = \left(\frac{2t}{t^2 - 1}\right) \times \left(-\frac{t^2 - 1}{2t}\right) = -1$,તેથી રેખાઓ $SP$ અને $SQ$ પરસ્પર લંબ છે.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{2}$.

(D) નાભિ $S(0, 1)$ અને નિયામિકા $x + 2 = 0$ છે.
પરવલયની વ્યાખ્યા મુજબ $SP = PM$,જ્યાં $P(x, y)$ એ પરવલય પરનું બિંદુ છે.
$SP^2 = PM^2 \implies (x - 0)^2 + (y - 1)^2 = (x + 2)^2$
$x^2 + (y - 1)^2 = x^2 + 4x + 4$
$(y - 1)^2 = 4(x + 1)$
ધારો કે $Y = y - 1$ અને $X = x + 1$. તેથી સમીકરણ $Y^2 = 4X$ બને છે,જે $Y^2 = 4aX$ સ્વરૂપનું છે જ્યાં $a = 1$.
$Y^2 = 4aX$ માટે પ્રચલ યામ $(at^2, 2at)$ છે.
અહીં,$X = t^2$ અને $Y = 2t$.
$x$ અને $y$ માટે કિંમતો મૂકતા:
$x + 1 = t^2 \implies x = t^2 - 1$
$y - 1 = 2t \implies y = 2t + 1$
આમ,પ્રચલ યામ $(t^2 - 1, 2t + 1)$ છે.

(D) પરવલયની અક્ષ નિયામિકા $x + y - 2 = 0$ ને લંબ છે.
તેથી,અક્ષનું સમીકરણ $x - y + k = 0$ છે.
તે નાભિકેન્દ્ર $S(3, -4)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$3 - (-4) + k = 0$,જે $k = -7$ આપે છે.
અક્ષનું સમીકરણ $x - y - 7 = 0$ છે.
ધારો કે $Z$ એ અક્ષ અને નિયામિકાનું છેદબિંદુ છે. $x + y - 2 = 0$ અને $x - y - 7 = 0$ ને ઉકેલતા,આપણને $Z = (9/2, -5/2)$ મળે છે.
શિરોબિંદુ $A$ એ $SZ$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$A = \left( \frac{3 + 9/2}{2}, \frac{-4 - 5/2}{2} \right) = \left( \frac{15/2}{2}, \frac{-13/2}{2} \right) = \left( \frac{15}{4}, -\frac{13}{4} \right)$.

(C) જો ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય હોય,તો બિંદુઓ સમરેખ હોય છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 0$.
બિંદુઓ $(a, 0)$,$(at_1^2, 2at_1)$ અને $(at_2^2, 2at_2)$ મૂકતા:
$\frac{1}{2} |a(2at_1 - 2at_2) + at_1^2(2at_2 - 0) + at_2^2(0 - 2at_1)| = 0$.
$2a^2$ વડે ભાગતા (ધારો કે $a \neq 0$):
$|(t_1 - t_2) + t_1^2 t_2 - t_2^2 t_1| = 0$.
$t_1 - t_2 + t_1 t_2 (t_1 - t_2) = 0$.
$(t_1 - t_2)(1 + t_1 t_2) = 0$.
અલગ બિંદુઓ માટે $t_1 \neq t_2$ હોવાથી,$1 + t_1 t_2 = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $t_1 t_2 = -1$.

(B) ધારો કે $P, Q, R$ ના યામ $(at_i^2, 2at_i)$ છે,જ્યાં $i = 1, 2, 3$.
યામ $2at_1, 2at_2, 2at_3$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોવાથી,$t_1, t_2, t_3$ પણ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.
તેથી,$t_1 t_3 = t_2^2$.
$P$ અને $R$ આગળના સ્પર્શકોના સમીકરણો $t_1y = x + at_1^2$ અને $t_3y = x + at_3^2$ છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,છેદબિંદુ $(x, y)$ માટે $x = at_1t_3 = at_2^2$ મળે છે.
છેદબિંદુનો $x$-યામ $at_2^2$ છે,જે $Q$ નો $x$-યામ છે,તેથી છેદબિંદુ $Q$ માંથી પસાર થતી $y$-અક્ષને સમાંતર રેખા પર આવેલું છે.

(B) ધારો કે પરવલય $y^2 = 4ax$ છે અને તેનું શિરોબિંદુ $A(0, 0)$ છે.
દ્વિ-યામ $x = x_1$ આગળ છે,તેથી બિંદુઓ $P(x_1, 2\sqrt{ax_1})$ અને $Q(x_1, -2\sqrt{ax_1})$ છે.
જો ખૂણો $90^\circ$ હોય,તો $AP$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{y_1}{x_1}$ અને $AQ$ નો ઢાળ $m_2 = -\frac{y_1}{x_1}$ નો ગુણાકાર $-1$ થાય.
$-\frac{y_1^2}{x_1^2} = -1 \implies y_1^2 = x_1^2$.
પરવલયના સમીકરણ $y_1^2 = 4ax_1$ પરથી,$x_1^2 = 4ax_1 \implies x_1 = 4a$.
આમ,$x = 4a$ આગળ બનતો ખૂણો $90^\circ$ છે.

(A) પરવલય $y^2 = 4x$ ના કોઈપણ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{1}{m}$ છે.
જો તે $(-2, -1)$ માંથી પસાર થતો હોય,તો:
$-1 = -2m + \frac{1}{m}$
$2m^2 - m - 1 = 0$
ધારો કે બે સ્પર્શકોના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે. દ્વિઘાત સમીકરણ પરથી:
$m_1 + m_2 = \frac{1}{2}$
$m_1 m_2 = -\frac{1}{2}$
બે સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ માટે:
$\tan \alpha = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$
નિત્યસમ $(m_1 - m_2)^2 = (m_1 + m_2)^2 - 4m_1 m_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(m_1 - m_2)^2 = (\frac{1}{2})^2 - 4(-\frac{1}{2}) = \frac{9}{4}$
$|m_1 - m_2| = \frac{3}{2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\tan \alpha = \left| \frac{3/2}{1 - 1/2} \right| = 3$

(C) શિરોબિંદુ $V(0, 4)$ છે અને નાભિ $S(0, 2)$ છે.
બંને બિંદુઓ $y$-અક્ષ પર હોવાથી,પરવલયની અક્ષ $y$-અક્ષ છે.
શિરોબિંદુ અને નાભિ વચ્ચેનું અંતર $a = |4 - 2| = 2$ છે.
નાભિ એ શિરોબિંદુની નીચે હોવાથી,પરવલય નીચેની તરફ ખુલે છે.
શિરોબિંદુ $(h, k)$ ધરાવતા અને નીચેની તરફ ખુલતા પરવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(x - h)^2 = -4a(y - k)$ છે.
$h = 0, k = 4$,અને $a = 2$ મૂકતા:
$(x - 0)^2 = -4(2)(y - 4)$
$x^2 = -8(y - 4)$
$x^2 = -8y + 32$
$x^2 + 8y = 32$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $y^2 - 2y = x - 2$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(y - 1)^2 - 1 = x - 2$,જેનું સાદું રૂપ $(y - 1)^2 = x - 1$ થાય છે.
ધારો કે $Y = y - 1$ અને $X = x - 1$. સમીકરણ $Y^2 = X$ બને છે.
આ $Y^2 = 4aX$ પ્રકારનો પ્રમાણિત પરવલય છે,જ્યાં $4a = 1$,તેથી $a = 1/4$.
$(X, Y)$ યામ પદ્ધતિમાં નાભિ $(a, 0) = (1/4, 0)$ છે.
મૂળ $(x, y)$ યામ પદ્ધતિમાં નાભિ શોધવા માટે,આપણે $x = X + 1$ અને $y = Y + 1$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
તેથી,$x = 1/4 + 1 = 5/4$ અને $y = 0 + 1 = 1$.
આમ,નાભિ $(5/4, 1)$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $y = \frac{a^3x^2}{3} + \frac{a^2x}{2} - 2a$ છે.
શિરોબિંદુ શોધવા માટે,આપણે $x$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવીએ:
$y = \frac{a^3}{3} \left( x^2 + \frac{3}{2a}x \right) - 2a$
$y = \frac{a^3}{3} \left( x^2 + \frac{3}{2a}x + \left(\frac{3}{4a}\right)^2 - \left(\frac{3}{4a}\right)^2 \right) - 2a$
$y = \frac{a^3}{3} \left( x + \frac{3}{4a} \right)^2 - \frac{a^3}{3} \cdot \frac{9}{16a^2} - 2a$
$y = \frac{a^3}{3} \left( x + \frac{3}{4a} \right)^2 - \frac{3a}{16} - 2a$
$y = \frac{a^3}{3} \left( x + \frac{3}{4a} \right)^2 - \frac{35a}{16}$
શિરોબિંદુ $(x, y)$ એ $x = -\frac{3}{4a}$ અને $y = -\frac{35a}{16}$ દ્વારા મળે છે.
બિંદુપથ શોધવા માટે,આપણે $x$ અને $y$ નો ગુણાકાર કરીએ:
$xy = \left( -\frac{3}{4a} \right) \left( -\frac{35a}{16} \right) = \frac{105}{64}$.
આમ,બિંદુપથ $xy = \frac{105}{64}$ છે.

(C) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $4y^2 + 12x - 20y + 67 = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$4y^2 - 20y = -12x - 67$.
$4$ વડે ભાગતા,$y^2 - 5y = -3x - 67/4$.
ડાબી બાજુ પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(y - 5/2)^2 = -3x - 67/4 + 25/4$.
$(y - 5/2)^2 = -3x - 42/4 = -3x - 21/2$.
$(y - 5/2)^2 = -3(x + 7/2)$.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $Y^2 = 4aX$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $Y = y - 5/2$,$X = x + 7/2$,અને $4a = -3$ (તેથી $a = -3/4$).
$Y^2 = 4aX$ નું નાભિ $(a, 0) = (-3/4, 0)$ છે.
તેથી,$x + 7/2 = -3/4$ અને $y - 5/2 = 0$.
$x = -3/4 - 14/4 = -17/4$ અને $y = 5/2$.
આમ,નાભિ $(-17/4, 5/2)$ છે.

(A) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે $m$ ઢાળવાળા અભિલંબનું સમીકરણ $y = mx - 2am - am^3$ છે. અહીં $a = 1$ હોવાથી,સમીકરણ $y = mx - 2m - m^3$ થશે.
અભિલંબ $(15, 12)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $12 = 15m - 2m - m^3$,જેનું સાદું રૂપ $m^3 - 13m + 12 = 0$ મળે છે.
ધારો કે ત્રણ અભિલંબના ઢાળ $m_1, m_2, m_3$ છે. ઘાત સમીકરણ પરથી,બીજનો સરવાળો $m_1 + m_2 + m_3 = 0$ થાય.
આપેલ બે અભિલંબ $4x + y = 72$ (ઢાળ $m_1 = -4$) અને $3x - y = 33$ (ઢાળ $m_2 = 3$) છે,તેથી $-4 + 3 + m_3 = 0$,જેનો અર્થ $m_3 = 1$ થાય.
$(15, 12)$ માંથી પસાર થતા અને $m = 1$ ઢાળવાળા ત્રીજા અભિલંબનું સમીકરણ $y - 12 = 1(x - 15)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = x - 3$ મળે છે.

(D) પરવલય $y^{2} = 8ax$ ના કોઈપણ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{2a}{m}$ છે.
આ રેખા વર્તુળ $x^{2} + y^{2} = 2a^{2}$ નો સ્પર્શક હોય,તો કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખા $mx - y + \frac{2a}{m} = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r = a\sqrt{2}$ જેટલું હોવું જોઈએ.
અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{|\frac{2a}{m}|}{\sqrt{m^{2} + 1}} = a\sqrt{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{4a^{2}}{m^{2}(m^{2} + 1)} = 2a^{2}$.
$\frac{2}{m^{2}(m^{2} + 1)} = 1 \Rightarrow m^{4} + m^{2} - 2 = 0$.
$(m^{2} + 2)(m^{2} - 1) = 0$. $m$ વાસ્તવિક હોવાથી,$m^{2} = 1$,તેથી $m = \pm 1$.
$m = 1$ ને સ્પર્શકના સમીકરણમાં મૂકતા: $y = x + \frac{2a}{1} = x + 2a$.
આમ,$y = x + 2a$ એ સામાન્ય સ્પર્શક છે.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુ $A(4, -1)$ અને નાભિકેન્દ્ર $S(4, -3)$ છે.
પરવલયની અક્ષ એ નાભિકેન્દ્ર અને શિરોબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા છે,જે $x = 4$ છે.
શિરોબિંદુ $A(4, -1)$ એ નાભિકેન્દ્ર $S(4, -3)$ થી $a = |-1 - (-3)| = 2$ અંતરે છે,અને પરવલય નીચેની તરફ ખુલે છે (કારણ કે નાભિકેન્દ્ર શિરોબિંદુની નીચે છે),તેથી પરવલયનું સમીકરણ $(x - h)^{2} = -4a(y - k)$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $(h, k)$ એ શિરોબિંદુ છે.
અહીં,$(h, k) = (4, -1)$ અને $a = 2$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$(x - 4)^{2} = -4(2)(y - (-1))$
$(x - 4)^{2} = -8(y + 1)$
$x^{2} - 8x + 16 = -8y - 8$
$x^{2} - 8x + 8y + 24 = 0$.

(B) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 64x$ છે,તેથી $4a = 64$,જે $a = 16$ આપે છે.
રેખાનું સમીકરણ $4y = 3x - 48$ છે,જેને $y = \frac{3}{4}x - 12$ તરીકે લખી શકાય. અહીં,$m = \frac{3}{4}$ અને $c = -12$ છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ પર રેખા $y = mx + c$ દ્વારા બનતા અંત:ખંડની લંબાઈનું સૂત્ર $L = \frac{4}{m^2} \sqrt{a(1+m^2)(a-mc)}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $L = \frac{4}{(3/4)^2} \sqrt{16(1 + (3/4)^2)(16 - (3/4)(-12))}$.
$L = \frac{4}{9/16} \sqrt{16(1 + 9/16)(16 + 9)}$.
$L = \frac{64}{9} \sqrt{16(\frac{25}{16})(25)}$.
$L = \frac{64}{9} \sqrt{25 \times 25} = \frac{64}{9} \times 25 = \frac{1600}{9}$.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુ $A(0,0)$ છે. ધારો કે $P$ એ પરવલય $x^2 = 4ay$ પરનું બિંદુ છે જેથી જીવા $AP$ નો ઢાળ $\tan \alpha$ છે. $P$ ના યામ $(2at, at^2)$ છે.
$AP$ નો ઢાળ $\frac{at^2 - 0}{2at - 0} = \frac{t}{2}$ છે.
આપેલ ઢાળ $\tan \alpha$ હોવાથી,$\frac{t}{2} = \tan \alpha$,જેનો અર્થ છે કે $t = 2 \tan \alpha$.
જીવા $AP$ ની લંબાઈ $\sqrt{(2at - 0)^2 + (at^2 - 0)^2} = \sqrt{4a^2t^2 + a^2t^4} = at \sqrt{4 + t^2}$ છે.
$t = 2 \tan \alpha$ મૂકતા:
$AP = a(2 \tan \alpha) \sqrt{4 + (2 \tan \alpha)^2} = 2a \tan \alpha \sqrt{4(1 + \tan^2 \alpha)}$.
$1 + \tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha$ હોવાથી,આપણને મળે:
$AP = 2a \tan \alpha (2 \sec \alpha) = 4a \tan \alpha \sec \alpha$.

(A) ધારો કે $P\ (x, y)$ એ પરવલય પરનું કોઈ બિંદુ છે જેનું નાભિકેન્દ્ર $S\ (-1, -2)$ અને નિયામિકા $x - 2y + 3 = 0$ છે.
પરવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,બિંદુ $P$ થી નાભિકેન્દ્ર $S$ નું અંતર એ બિંદુ $P$ થી નિયામિકાના લંબ અંતર જેટલું હોય છે.
$SP = PM$
$SP^2 = PM^2$
$(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = \left( \frac{|x - 2y + 3|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} \right)^2$
$(x^2 + 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = \frac{(x - 2y + 3)^2}{5}$
$5(x^2 + y^2 + 2x + 4y + 5) = x^2 + 4y^2 + 9 - 4xy + 6x - 12y$
$5x^2 + 5y^2 + 10x + 20y + 25 = x^2 + 4y^2 - 4xy + 6x - 12y + 9$
$4x^2 + y^2 + 4xy + 4x + 32y + 16 = 0$

(B) પરવલયનું શિરોબિંદુ $V(0, a)$ અને નાભિ $S(0, 0)$ છે.
નાભિ અને શિરોબિંદુ $y$-અક્ષ પર હોવાથી,પરવલયની ધરી $y$-અક્ષ છે.
શિરોબિંદુ અને નાભિ વચ્ચેનું અંતર $a = |a - 0| = |a|$ છે.
નાભિ એ શિરોબિંદુની નીચે હોવાથી,પરવલય નીચેની તરફ ખુલે છે.
શિરોબિંદુ $(h, k)$ ધરાવતા નીચેની તરફ ખુલતા પરવલયનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(x - h)^2 = -4a(y - k)$ છે.
અહીં,$(h, k) = (0, a)$ અને શિરોબિંદુથી નાભિનું અંતર $a$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $(x - 0)^2 = -4a(y - a)$ મળે છે.
$x^2 = -4a(y - a)$.
$x^2 = 4a(a - y)$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $4y^2 - 4y = 6x + 5$
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $4(y^2 - y) = 6x + 5$
$4(y^2 - y + \frac{1}{4}) = 6x + 5 + 1$
$4(y - \frac{1}{2})^2 = 6(x + 1)$
$(y - \frac{1}{2})^2 = \frac{6}{4}(x + 1) = \frac{3}{2}(x + 1)$
$(Y)^2 = 4aX$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $Y = y - \frac{1}{2}$,$X = x + 1$,અને $4a = \frac{3}{2} \Rightarrow a = \frac{3}{8}$.
અક્ષ $Y = 0$ $\Rightarrow y - \frac{1}{2} = 0$ $\Rightarrow 2y - 1 = 0$ છે.
નિયામિકા $X + a = 0$ $\Rightarrow x + 1 + \frac{3}{8} = 0$ $\Rightarrow x + \frac{11}{8} = 0$ $\Rightarrow 8x + 11 = 0$ છે.

(A) મધ્યબિંદુ $(h, k)$ ધરાવતી જીવાનું સમીકરણ $T = S_1$ સૂત્ર દ્વારા મેળવી શકાય છે.
પરવલય $x^2 + 4y = 0$ માટે,મધ્યબિંદુ $(h, k)$ વાળી જીવાનું સમીકરણ $xh + 2(y + k) = h^2 + 4k$ થાય.
આ જીવા નાભિ $(0, -1)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$x(0) + 2(-1 + k) = h^2 + 4k$
$-2 + 2k = h^2 + 4k$
$h^2 + 2k + 2 = 0$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x^2 + 2y + 2 = 0$ મળે છે.

(B) શિરોબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી અને $x-$ અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવતી જીવાનું સમીકરણ $y = x \tan \theta$ છે.
પરવલયના સમીકરણ $y^2 = 4ax$ માં $y = x \tan \theta$ મૂકતા:
$(x \tan \theta)^2 = 4ax$
$x^2 \tan^2 \theta = 4ax$
$x(x \tan^2 \theta - 4a) = 0$
તેથી,$x = 0$ અથવા $x = \frac{4a}{\tan^2 \theta}$.
જ્યારે $x = \frac{4a}{\tan^2 \theta}$,ત્યારે $y = \frac{4a}{\tan \theta}$ મળે.
છેદબિંદુઓ $(0, 0)$ અને $(\frac{4a}{\tan^2 \theta}, \frac{4a}{\tan \theta})$ છે.
જીવાની લંબાઈ $L$ અંતરના સૂત્ર દ્વારા:
$L = \sqrt{(\frac{4a}{\tan^2 \theta})^2 + (\frac{4a}{\tan \theta})^2}$
$L = \frac{4a}{\tan \theta} \sqrt{\frac{1}{\tan^2 \theta} + 1} = \frac{4a}{\tan \theta} \csc \theta = 4a \cos \theta \csc^2 \theta$.

(C) પગલું $1$: પરવલય પરનું બિંદુ નક્કી કરો.
પરવલય $y^2 = 4ax$ છે. નાભિલંબનું એક અંત્યબિંદુ $P(a, 2a)$ છે.
પગલું $2$: સ્પર્શક અને અભિલંબના સમીકરણો શોધો.
$P(a, 2a)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y} = \frac{2a}{2a} = 1$ છે.
$P(a, 2a)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - 2a = 1(x - a) \Rightarrow y = x + a$ છે.
આ સ્પર્શક $x$-અક્ષ $(y=0)$ ને $T(-a, 0)$ બિંદુએ મળે છે.
$P(a, 2a)$ આગળ અભિલંબનો ઢાળ $-1$ છે (કારણ કે સ્પર્શકનો ઢાળ $1$ છે).
$P(a, 2a)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 2a = -1(x - a) \Rightarrow y = -x + 3a$ છે.
આ અભિલંબ $x$-અક્ષ $(y=0)$ ને $N(3a, 0)$ બિંદુએ મળે છે.
પગલું $3$: ત્રિકોણ $PTN$ નું ક્ષેત્રફળ શોધો.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $P(a, 2a)$,$T(-a, 0)$ અને $N(3a, 0)$ છે.
પાયો $TN$ એ $x$-અક્ષ પર છે,જેની લંબાઈ $TN = |3a - (-a)| = 4a$ છે.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ $P$ નો $y$-યામ છે,જે $2a$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 4a \times 2a = 4a^2$.

(B) આપેલ પરવલય $y^2 = 4x$ છે.
રેખા $y = x$ માટે,પરવલયના સમીકરણમાં $y$ ની કિંમત મૂકતા: $x^2 = 4x \implies x(x - 4) = 0$.
$x \neq 0$ હોવાથી,$x = 4$ મળે,તેથી $y = 4$. આમ,બિંદુ $A = (4, 4)$.
રેખા $y = -x$ માટે,પરવલયના સમીકરણમાં $y$ ની કિંમત મૂકતા: $(-x)^2 = 4x \implies x^2 = 4x \implies x(x - 4) = 0$.
$x \neq 0$ હોવાથી,$x = 4$ મળે,તેથી $y = -4$. આમ,બિંદુ $B = (4, -4)$.
$AB$ ની લંબાઈ એ $(4, 4)$ અને $(4, -4)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
$AB = \sqrt{(4 - 4)^2 + (4 - (-4))^2} = \sqrt{0^2 + 8^2} = 8$.

(A) જીવાની લંબાઈ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ પરવલય $y = x^2 + 3x$ અને રેખા $y = 5 - x$ ના છેદબિંદુઓ શોધીએ.
$y$ માટે બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$x^2 + 3x = 5 - x$
$x^2 + 4x - 5 = 0$
$(x + 5)(x - 1) = 0$
તેથી,$x = 1$ અને $x = -5$.
$x = 1$ માટે,$y = 5 - 1 = 4$. બિંદુ $(1, 4)$ છે.
$x = -5$ માટે,$y = 5 - (-5) = 10$. બિંદુ $(-5, 10)$ છે.
જીવાની લંબાઈ એ $(1, 4)$ અને $(-5, 10)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$L = \sqrt{(-5 - 1)^2 + (10 - 4)^2}$
$L = \sqrt{(-6)^2 + (6)^2}$
$L = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$.

(D) આપેલ સમીકરણ: $y^2 + 4y + 4x + 2 = 0$
$y$ માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(y^2 + 4y + 4) - 4 + 4x + 2 = 0$
$(y + 2)^2 = -4x + 2$
$(y + 2)^2 = -4(x - \frac{1}{2})$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $(Y)^2 = -4a(X)$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $Y = y + 2$,$X = x - \frac{1}{2}$,અને $4a = 4 \Rightarrow a = 1$.
શિરોબિંદુ $(\frac{1}{2}, -2)$ છે.
$Y^2 = -4aX$ માટે નિયામિકાનું સમીકરણ $X = a$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x - \frac{1}{2} = 1$
$x = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

(A) આપેલ સમીકરણ $y = x \tan \alpha - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \alpha}$ છે.
પરવલયના પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^2 = -4ay$ માં ગોઠવતા:
$\frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \alpha} = x \tan \alpha - y$
$x^2 = \frac{2 u^2 \cos^2 \alpha}{g} (x \tan \alpha - y)$.
આ સમીકરણ $(x - h)^2 = -4a(y - k)$ સ્વરૂપનું છે.
$y$ ના સહગુણકની સરખામણી કરતા,આપણને $4a = \frac{2 u^2 \cos^2 \alpha}{g}$ મળે છે.
તેથી,નાભિલંબની લંબાઈ $4a = \frac{2 u^2 \cos^2 \alpha}{g}$ છે.

(D) પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = \frac{25}{7}x$ છે. તેને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a = \frac{25}{7}$,તેથી $a = \frac{25}{28}$ મળે.
આપેલ સમાંતર જીવાઓની સંહતિનું સમીકરણ $4x - y + \lambda = 0$ છે,તેથી જીવાનો ઢાળ $m = 4$ છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે $m$ ઢાળવાળી જીવાઓને સંગત વ્યાસનું સમીકરણ $y = \frac{2a}{m}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$y = \frac{2 \times (25/28)}{4} = \frac{50/28}{4} = \frac{50}{112} = \frac{25}{56}$.
આમ,$56y = 25$.

(A) પરવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $x^2 = 4ay$ અથવા $x^2 = -4ay$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $x^2 = -y$ ને $x^2 = -4ay$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$4a = 1$
$a = 1/4$
પરવલયના નાભિલંબની લંબાઈ $|4a|$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,નાભિલંબની લંબાઈ $= |4 \times (1/4)| = 1$.

(C) પરવલય $y^2 = 4ax$ માટે,$m$ ઢાળવાળા સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{a}{m}$ છે.
$y^2 = 4x$ માટે,$a = 1$ છે,તેથી સ્પર્શક $y = mx + \frac{1}{m}$ છે.
જો બિંદુ $P(h, k)$ સ્પર્શક પર હોય,તો $k = mh + \frac{1}{m}$,જે $m^2h - mk + 1 = 0$ માં પરિણમે છે.
ધારો કે $m_1 = \tan \theta_1$ અને $m_2 = \tan \theta_2$ એ $P(h, k)$ માંથી પસાર થતા બે સ્પર્શકોના ઢાળ છે.
તો $m_1$ અને $m_2$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $m^2h - km + 1 = 0$ ના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,$m_1 + m_2 = \frac{k}{h}$ અને $m_1 m_2 = \frac{1}{h}$.
આપેલ છે કે $\theta_1 + \theta_2 = \frac{\pi}{4}$,તેથી $\tan(\theta_1 + \theta_2) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
સૂત્ર $\tan(\theta_1 + \theta_2) = \frac{m_1 + m_2}{1 - m_1 m_2} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{k/h}{1 - 1/h} = 1$.
$\frac{k/h}{(h-1)/h} = 1 \Rightarrow \frac{k}{h-1} = 1$.
આમ,$k = h - 1$,અથવા $h - k - 1 = 0$.
$P(h, k)$ નો બિંદુપથ $x - y - 1 = 0$ છે.

(B) ધારો કે પરવલય $y^2 = 4ax$ પરના બે બિંદુઓ $P(at_1^2, 2at_1)$ અને $Q(at_2^2, 2at_2)$ છે.
બિંદુ $t$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y = -tx + 2at + at^3$ છે.
જો $t_1$ અને $t_2$ આગળના અભિલંબ પરવલય પરના કોઈ બિંદુ $(x, y)$ પર મળતા હોય,તો છેદબિંદુ $x = 2a + a(t_1^2 + t_1t_2 + t_2^2)$ અને $y = -at_1t_2(t_1 + t_2)$ દ્વારા મળે છે.
આ છેદબિંદુ પરવલય $y^2 = 4ax$ પર હોવાથી,$(-at_1t_2(t_1 + t_2))^2 = 4a(2a + a(t_1^2 + t_1t_2 + t_2^2))$ થાય.
આનું સાદું રૂપ આપતા $a^2t_1^2t_2^2(t_1 + t_2)^2 = 4a^2(2 + t_1^2 + t_1t_2 + t_2^2)$ મળે.
અભિલંબ પરવલય પર મળે તે માટેની શરત $t_1t_2 = 2$ છે.
બિંદુઓના યામ $y_1 = 2at_1$ અને $y_2 = 2at_2$ છે.
યામનો ગુણાકાર $y_1y_2 = (2at_1)(2at_2) = 4a^2(t_1t_2)$ થાય.
$t_1t_2 = 2$ કિંમત મૂકતા,$y_1y_2 = 4a^2(2) = 8a^2$ મળે.

(C) આપેલ પરવલય $y^2 = x$ છે. તેને $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,$4a = 1$ મળે,તેથી $a = 1/4$.
ધારો કે પરવલય પરનું બિંદુ $P(x_1, y_1)$ છે. પરવલય $y^2 = 4ax$ પરના બિંદુ $P(x_1, y_1)$ નું નાભિ અંતર $x_1 + a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $x_1 + 1/4 = 17/4$,તેથી $x_1 = 16/4 = 4$.
$y^2 = x$ હોવાથી,$y^2 = 4$,તેથી $y = \pm 2$. બિંદુ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$y_1 = 2$.
આમ,બિંદુ $P(4, 2)$ છે.
$(x_1, y_1)$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_t = \frac{1}{2y_1} = \frac{1}{2(2)} = 1/4$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_n = -1/m_t = -4$ છે.
$(4, 2)$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y - 2 = -4(x - 4)$ છે.
$y - 2 = -4x + 16$.
$4x + y = 18$.

(B) નાભિ $S$ એ $(0, 0)$ પર છે.
નિયામિકા એ રેખા $x = 2$ છે.
પરવલયની અક્ષ એ નાભિમાંથી પસાર થતી અને નિયામિકાને લંબ રેખા છે,જે $x$-અક્ષ $(y = 0)$ છે.
શિરોબિંદુ $V$ એ નાભિ $(0, 0)$ અને અક્ષ તથા નિયામિકાના છેદબિંદુને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે.
અક્ષ $(y = 0)$ અને નિયામિકા $(x = 2)$ નું છેદબિંદુ $(2, 0)$ છે.
શિરોબિંદુ $V$ એ $(0, 0)$ અને $(2, 0)$ નું મધ્યબિંદુ છે,જે $(\frac{0+2}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1, 0)$ થાય.

(D) પરવલય $y^2 = 4ax$ ના બિંદુ $(at^2, 2at)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y = -tx + 2at + at^3$ છે.
અહીં $a = 1$ હોવાથી,$(t_1^2, 2t_1)$ આગળનો અભિલંબ $y = -t_1x + 2t_1 + t_1^3$ થશે.
આ અભિલંબ $(t_2^2, 2t_2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી:
$2t_2 = -t_1(t_2^2) + 2t_1 + t_1^3$.
પદોને ગોઠવતા:
$2(t_2 - t_1) = -t_1(t_2^2 - t_1^2)$.
$2(t_2 - t_1) = -t_1(t_2 - t_1)(t_2 + t_1)$.
$t_1 \neq t_2$ હોવાથી,$(t_2 - t_1)$ વડે ભાગતા:
$2 = -t_1(t_2 + t_1)$.
$2 = -t_1t_2 - t_1^2$.
$t_1t_2 = -(t_1^2 + 2)$.

(A) આપેલ પરવલયનું સમીકરણ $y^2 = 12x$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $y^2 = 4ax$ સાથે સરખાવતા,આપણને $4a = 12$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 3$.
પરવલય $y^2 = 4ax$ ની નાભિ $(a, 0)$ છે,તેથી અહીં નાભિ $(3, 0)$ છે.
પરવલય $y^2 = 4ax$ પરના કોઈપણ બિંદુ $(x_1, y_1)$ નું નાભિ અંતર $|x_1 + a|$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$a = 3$ ની કિંમત મૂકતા,નાભિ અંતર $|x_1 + 3|$ થાય છે.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ પરવલય $y^2 = 12x$ પર હોવાથી,$x_1 \ge 0$ હોવું જોઈએ,તેથી $x_1 + 3$ હંમેશા ધન રહેશે.
આમ,નાભિ અંતર $x_1 + 3$ છે.

(A) પરવલયનું શિરોબિંદુ $V(0, 1)$ છે અને નાભિ $F(0, 0)$ છે.
$x$-યામ સમાન હોવાથી,પરવલયની અક્ષ $y$-અક્ષ $(x = 0)$ છે.
નાભિ શિરોબિંદુની નીચે હોવાથી પરવલય નીચેની તરફ ખુલે છે.
શિરોબિંદુ અને નાભિ વચ્ચેનું અંતર $a = |1 - 0| = 1$ છે.
શિરોબિંદુ $(h, k)$ ધરાવતા નીચેની તરફ ખુલતા પરવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(x - h)^2 = -4a(y - k)$ છે.
$h = 0, k = 1$,અને $a = 1$ મૂકતા:
$(x - 0)^2 = -4(1)(y - 1)$
$x^2 = -4y + 4$
$x^2 + 4y - 4 = 0$.

(A) આપેલ રેખા $2x + y - 1 = 0$ પરથી,$y = 1 - 2x$ લખી શકાય.
આ કિંમતને પરવલયના સમીકરણ $y^2 = 4x$ માં મૂકતા:
$(1 - 2x)^2 = 4x$
$1 - 4x + 4x^2 = 4x$
$4x^2 - 8x + 1 = 0$
હવે,આ દ્વિઘાત સમીકરણ માટે વિવેચક $D = b^2 - 4ac$ શોધો:
$D = (-8)^2 - 4(4)(1) = 64 - 16 = 48$.
અહીં $D > 0$ હોવાથી,દ્વિઘાત સમીકરણના બે ભિન્ન વાસ્તવિક ઉકેલો મળે છે.
તેથી,રેખા પરવલયને બે વાસ્તવિક અને ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે.