ઉપવલય $E_1: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ એ એક લંબચોરસ $R$ ની અંદર આવેલ છે જેની બાજુઓ યામાક્ષોને સમાંતર છે. બીજું ઉપવલય $E_2$ એ લંબચોરસ $R$ ની બહારથી પસાર થાય છે અને બિંદુ $(0, 4)$ માંથી પસાર થાય છે. ઉપવલય $E_2$ ની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી છે?

ધારો કે $S(1,0)$ અને $S^{\prime}(0,1)$ એ એક ઉપવલયના નાભિઓ છે,જેથી ઉપવલય પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ માટે $SP+S^{\prime} P=2$ થાય. જો $A(x_1, y_1)$ અને $A^{\prime}(x_2, y_2)$ એ આ ઉપવલયના મુખ્ય અક્ષના અંત્યબિંદુઓ હોય,તો $x_1+x_2=$

ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ ની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો.

બિંદુ $P(3,4)$ માંથી ઉપવલય $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ પર સ્પર્શકો દોરવામાં આવે છે જે ઉપવલયને $A$ અને $B$ બિંદુઓ પર સ્પર્શે છે.
$1.$ $A$ અને $B$ ના યામો છે
$(A)$ $(3,0)$ અને $(0,2)$
$(B)$ $\left(-\frac{8}{5}, \frac{2 \sqrt{161}}{15}\right)$ અને $\left(-\frac{9}{5}, \frac{8}{5}\right)$
$(C)$ $\left(-\frac{8}{5}, \frac{2 \sqrt{161}}{15}\right)$ અને $(0,2)$
$(D)$ $(3,0)$ અને $\left(-\frac{9}{5}, \frac{8}{5}\right)$
$2.$ ત્રિકોણ $PAB$ નું લંબકેન્દ્ર છે
$(A)$ $\left(5, \frac{8}{7}\right)$ $(B)$ $\left(\frac{7}{5}, \frac{25}{8}\right)$
$(C)$ $\left(\frac{11}{5}, \frac{8}{5}\right)$ $(D)$ $\left(\frac{8}{25}, \frac{7}{5}\right)$
$3.$ તે બિંદુના બિંદુપથનું સમીકરણ જેનું બિંદુ $P$ અને રેખા $AB$ થી અંતર સમાન હોય,તે છે
$(A)$ $9 x^2+y^2-6 x y-54 x-62 y+241=0$
$(B)$ $x^2+9 y^2+6 x y-54 x+62 y-241=0$
$(C)$ $9 x^2+9 y^2-6 x y-54 x-62 y-241=0$
$(D)$ $x^2+y^2-2 x y+27 x+31 y-120=0$
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.

$c$ ની કઈ કિંમતો માટે રેખા $y=4x+c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$ ને સ્પર્શે છે?

$(4 \sqrt{2}, 2 \sqrt{6})$ માંથી પસાર થતા ઉપવલયના નાભિઓ $(-4, 0)$ અને $(4, 0)$ છે. તો,તેની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી થાય?