બિંદુ $(3, 5)$ માંથી ઉપવલયો $3x^2 + 5y^2 = 32$ અને $25x^2 + 9y^2 = 450$ પર દોરી શકાય તેવા વાસ્તવિક સ્પર્શકોની સંખ્યા શોધો.

ધારો કે ઉપવલય $E : x^2 + 9y^2 = 9$ એ ધન $x$- અને $y$-અક્ષોને અનુક્રમે $A$ અને $B$ બિંદુઓમાં છેદે છે. ધારો કે $E$ ની મુખ્ય અક્ષ એ વર્તુળ $C$ નો વ્યાસ છે. ધારો કે $A$ અને $B$ માંથી પસાર થતી રેખા વર્તુળ $C$ ને $P$ બિંદુમાં મળે છે. જો ત્રિકોણ જેના શિરોબિંદુઓ $A, P$ અને ઉગમબિંદુ $O$ હોય તેનું ક્ષેત્રફળ $\frac{m}{n}$ હોય,જ્યાં $m$ અને $n$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે,તો $m - n$ ની કિંમત શોધો.

જો ઉપવલયનું નાભિ $(-1, -1)$ હોય,આ નાભિને અનુરૂપ નિયામિકાનું સમીકરણ $x + y + 1 = 0$ હોય અને તેની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોય,તો તેના પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ શોધો.

એક ઉપવલય (ellipse) જેનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ છે,તેની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) $1/2$ છે. જો તેની એક નિયામિકા (directrix) $x=4$ હોય,તો ઉપવલયનું સમીકરણ શું થાય?

પરવલય $P : y^2 = 4x$ અને ઉપવલય $E : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $P$ અને $E$ ના છેદબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ તેમનો સામાન્ય નાભિલંબ છે. જો $E$ ની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ હોય,તો $e^2 + 2\sqrt{2}$ ની કિંમત . . . . . . છે.

ઉપવલયના નાભિઓને ગૌણ અક્ષના એક અંત્યબિંદુ સાથે જોડતી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે. ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા કેટલી છે?