ઉપવલય $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{12} = 1$ ના બિંદુ $(1, 3)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ શોધો:

જો ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2 + 1} + \frac{y^2}{a^2 + 2} = 1$ ની ઉત્કેન્દ્રીતા $\frac{1}{\sqrt{6}}$ હોય,તો ઉપવલયના નાભિલંબની લંબાઈ શોધો.

ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{4}=1$,જ્યાં $a > 2$,માં અંતર્ગત ત્રિકોણનું મહત્તમ ક્ષેત્રફળ,જેનો એક શિરોબિંદુ ઉપવલયની મુખ્ય અક્ષના એક અંત્યબિંદુ પર હોય અને એક બાજુ $y$-અક્ષને સમાંતર હોય,તે $6 \sqrt{3}$ છે. તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

ઉપવલય $x^2+2y^2=2$ ને દોરેલા સ્પર્શકો દ્વારા યામ અક્ષો પર કપાતા ભાગના મધ્યબિંદુઓનો બિંદુપથ શોધો.

એવા ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો જેના શિરોબિંદુઓ $(\pm 13, 0)$ અને નાભિઓ $(\pm 5, 0)$ છે.

$L_1^{\prime}$ એ ઉપવલય $3x^2 + 4y^2 = 12$ ના નાભિલંબનું અંત્યબિંદુ છે જે ત્રીજા ચરણમાં આવેલું છે. જો આ ઉપવલય પર $L_1^{\prime}$ આગળ દોરેલો અભિલંબ ઉપવલયને ફરીથી બિંદુ $P(a, b)$ માં છેદે,તો $a =$