બિંદુ P એવી રીતે ખસે છે કે જેથી (ae, 0) અને ( | vedclass

Name: PDF Generator App | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

ધારો કે $P\ (h, k)$ એવુ ખસતું બિંદુ છે. કે જેથી $A\ (ae, 0)$ અને $B\ (-ae, 0)$ બિંદુથી તેના અંતરનો સરવાળો $2a$ છે.

માટે, $PA + PB = 2a$

$ \Right

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\,\, + \,\,\frac{{{y^2}}}{{{a^2}(1 - {e^2})}}\,\,\, = \,\,1$

Vedclass · Answer

ધારો કે $P\ (h, k)$ એવુ ખસતું બિંદુ છે. કે જેથી $A\ (ae, 0)$ અને $B\ (-ae, 0)$ બિંદુથી તેના અંતરનો સરવાળો $2a$ છે.

માટે, $PA + PB = 2a$

$ \Rightarrow \,\,\,\sqrt {{{(h - ae)}^2} + \,\,{{(k - 0)}^2}} \,\, + \,\,\,\sqrt {{{(h + ae)}^2}\,\, + \,\,{{(k - 0)}^2}} \,\, = \,\,2a$

$ \Rightarrow \,\,\sqrt {{{(h - ae)}^2}\,\, + \,\,{k^2}} \,\, = \,\,2a\,\, - \,\,\sqrt {{{(h + ae)}^2} + \,\,{k^2}} $

$ \Rightarrow \,\,{(h - ae)^2}\, + \,\,{k^2}\,\, = \,\,4{a^2}\, + \,\,{(h\, + \,\,ae)^2}\,\, + \,\,{k^2}$$\, - \,\,4a\,\sqrt {{{(h\, + \,ae)}^2}\,\, + \,\,{k^2}} $ [બને બાજુ વર્ગ કરતાં]

$ \Rightarrow \,\, - 4\,aeh\,\, - \,\,4{a^2}\, = \,\, - 4a\,\,\sqrt {{{(h\, + \,\,ae)}^2}\, + \,\,{k^2}} \,\,$$ \Rightarrow \,\,(eh\,\, + \,\,a)\,\, = \,\,\sqrt {{{(h\,\, + \,\,ae)}^2} + {k^2}} $

$ \Rightarrow \,\,{(eh\,\, + \,\,a)^2}\, = \,\,{(h\, + \,\,ae)^2}\, + \,{k^2}$[બને બાજુ વર્ગ કરતાં]

$ \Rightarrow \,{e^2}{h^2} + \,\,2eah\,\, + \,{a^2}\, = \,\,{h^{2\,\,}} + \,\,2eah\,\, + \,\,{a^2}{e^2}\, + \,{k^2}$

$ \Rightarrow \,\,{h^2}\,(1 - {e^2})\,\, + \,\,{k^2}\, = \,\,{a^2}\,\,[1 - {e^2}]\,$$ \Rightarrow \,\,\frac{{{h^2}}}{{{a^2}}}\,\, + \,\,\,\frac{{{k^2}}}{{{a^2}(1 - {e^2})}}\,\,\, = \,\,1$

આથી $\,(h\,,\,\,k)$ નો બિંદુ પથ ${\rm{ }}\,\,\,\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}\,\, + \,\,\,\frac{{{y^2}}}{{{a^2}(1 - {e^2})}}\,\, = \,1\,\,\,$   છે.

Similar Questions

$13x^2 - 18xy + 37y^2 + 2x + 14y - 2 = 0$ કયા પ્રકારનો શાંકવ દર્શાવશે ?

સમીકરણ $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ ક્યારે ઉપવલય દર્શાવે ?