Pole and Polar Questions in Gujarati

(A) વર્તુળ $x^2+y^2-2g_ix+c_i^2=0$ ની સાપેક્ષમાં બિંદુ $(\alpha_i, \beta_i)$ ના ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $\alpha_ix + \beta_iy - g_i(x+\alpha_i) + c_i^2 = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$(\alpha_i - g_i)x + \beta_iy + (c_i^2 - \alpha_ig_i) = 0$ મળે.
આને આપેલી રેખા $x - y = 0$ સાથે સરખાવતા,સહગુણકોનો ગુણોત્તર સમાન મળે:
$\frac{\alpha_i - g_i}{1} = \frac{\beta_i}{-1} = \frac{c_i^2 - \alpha_ig_i}{0}$.
ત્રીજા ભાગ પરથી,$c_i^2 - \alpha_ig_i = 0$,જેનો અર્થ છે કે $c_i^2 = \alpha_ig_i$.
પ્રથમ બે ભાગ પરથી,$\alpha_i - g_i = -\beta_i$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha_i + \beta_i = g_i$.
તેથી,$\frac{\alpha_i + \beta_i}{g_i} = \frac{g_i}{g_i} = 1$.
$i=1, 2, 3$ માટે આનો સરવાળો કરતા,$\sum_{i=1}^3 \frac{\alpha_i + \beta_i}{g_i} = 1 + 1 + 1 = 3$ મળે.

(A) વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ના સાપેક્ષમાં બિંદુ $(x_1, y_1)$ ના ધ્રુવીયનું સમીકરણ $T=0$ છે,જે $xx_1+yy_1+g(x+x_1)+f(y+y_1)+c=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2+4x-8y-5=0$ માટે,$g=2, f=-4, c=-5$ છે.
$(k, k+1)$ નો ધ્રુવીય:
$kx + (k+1)y + 2(x+k) - 4(y+k+1) - 5 = 0$
$kx + ky + y + 2x + 2k - 4y - 4k - 4 - 5 = 0$
$(k+2)x + (k-3)y - 2k - 9 = 0$
$k$ ના તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યો માટે આ સમીકરણ સાચું રહે તે માટે:
$k(x+y-2) + (2x-3y-9) = 0$
આથી,$x+y-2 = 0$ અને $2x-3y-9 = 0$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,$x=3$ અને $y=-1$ મળે છે.
તેથી બિંદુ $(3, -1)$ છે.

(D) વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $(x_1, y_1)$ ની ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $xx_1 + yy_1 + g(x+x_1) + f(y+y_1) + c = 0$ છે.
આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-4x-6y+1=0$ માટે,$g=-2, f=-3, c=1$ છે.
બિંદુ $(2k, k-4)$ માટે,ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ:
$x(2k) + y(k-4) - 2(x+2k) - 3(y+k-4) + 1 = 0$
$2kx + ky - 4y - 2x - 4k - 3y - 3k + 12 + 1 = 0$
$k(2x + y - 7) - 2x - 7y + 13 = 0$
આ રેખા $k$ ની કોઈપણ કિંમત માટે નિશ્ચિત બિંદુમાંથી પસાર થાય તે માટે,$k$ નો સહગુણક અને અચળ પદ બંને શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$2x + y - 7 = 0$
$-2x - 7y + 13 = 0$
આ સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $-6y + 6 = 0 \Rightarrow y = 1$.
$y=1$ ને $2x + y - 7 = 0$ માં મૂકતા: $2x + 1 - 7 = 0$ $\Rightarrow 2x = 6$ $\Rightarrow x = 3$.
આમ,ધ્રુવીય રેખા હંમેશા બિંદુ $(3, 1)$ માંથી પસાર થાય છે.

(A) બે રેખાઓ $lx + my + n = 0$ અને $l_1x + m_1y + n_1 = 0$ વર્તુળ $x^2 + y^2 = r^2$ ની સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી હોય જો પ્રથમ રેખાનો ધ્રુવ (pole) બીજી રેખા પર આવેલો હોય.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = r^2$ ની સાપેક્ષમાં રેખા $lx + my + n = 0$ નો ધ્રુવ $(x_1, y_1) = (-\frac{lr^2}{n}, -\frac{mr^2}{n})$ છે.
આ બિંદુ રેખા $l_1x + m_1y + n_1 = 0$ પર હોવાથી:
$l_1(-\frac{lr^2}{n}) + m_1(-\frac{mr^2}{n}) + n_1 = 0$
$-l_1lr^2 - m_1mr^2 + n_1n = 0$
$nn_1 = r^2(ll_1 + mm_1)$.

(C) વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$ ના સાપેક્ષમાં બિંદુ $(1, 2)$ ની પોલર રેખાનું સમીકરણ $x + y - 1 = 0$ છે.
આ બિંદુ $(1, 2)$ માંથી આ રેખા પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ $(\alpha, \beta)$ શોધતા:
$\frac{\alpha - 1}{1} = \frac{\beta - 2}{1} = -\frac{(1 + 2 - 1)}{1^2 + 1^2} = -1$.
તેથી,$\alpha = 0$ અને $\beta = 1$.
આમ,માંગેલ બિંદુ $(0, 1)$ છે.

(C) વર્તુળ $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$ માટે,કેન્દ્ર $C = (2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2$ છે.
બિંદુ $P(1, 2)$ માટે પોલર (polar) નું સમીકરણ $x + y - 1 = 0$ મળે છે.
કેન્દ્ર $C(2, 3)$ અને $P(1, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y = x + 1$ છે.
આ બંને રેખાઓનું છેદબિંદુ $(0, 1)$ છે,જે માંગેલ પ્રતિવર્તી બિંદુ છે.

(B) ધારો કે વર્તુળ $x^2+y^2=p^2$ પરનું બિંદુ $(x_1, y_1)$ છે.
તેથી $x_1^2+y_1^2=p^2$.
વર્તુળ $x^2+y^2=q^2$ ની સાપેક્ષ $(x_1, y_1)$ ની ધ્રુવીય રેખાનું સમીકરણ $x x_1+y y_1=q^2$ છે.
આ રેખા વર્તુળ $x^2+y^2=r^2$ ને સ્પર્શે છે.
કેન્દ્ર $(0, 0)$ થી રેખા $x x_1+y y_1-q^2=0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$\frac{|0(x_1)+0(y_1)-q^2|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}} = r$.
$|q^2| = r \sqrt{x_1^2+y_1^2}$.
કારણ કે $x_1^2+y_1^2=p^2$,તેથી $q^2 = r \sqrt{p^2} = rp$.
આમ,$q^2 = pr$,જે દર્શાવે છે કે $p, q, r$ એ $GP$ માં છે.

(A) રેખાનું સમીકરણ $x+4y-4=0$ છે. $lx+my+n=0$ સાથે સરખાવતા,$l=1, m=4, n=-4$ મળે છે.
ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2+4y^2=4$ છે,જેને $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2=4$ અને $b^2=1$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ના સંદર્ભમાં રેખા $lx+my+n=0$ ના ધ્રુવ $(x_1, y_1)$ માટેનું સૂત્ર:
$x_1 = -\frac{a^2l}{n}$ અને $y_1 = -\frac{b^2m}{n}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$x_1 = -\frac{4 \times 1}{-4} = 1$
$y_1 = -\frac{1 \times 4}{-4} = 1$
આમ,ધ્રુવ $(1,1)$ છે.

(C) અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના સાપેક્ષમાં બિંદુ $(\alpha, \beta)$ ના ધ્રુવનું સમીકરણ $\frac{\alpha x}{a^2} - \frac{\beta y}{b^2} = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ અતિવલય $9x^2 - 16y^2 = 144$ છે,જેને $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$(\alpha, \beta)$ ના ધ્રુવનું સમીકરણ $\frac{\alpha x}{16} - \frac{\beta y}{9} = 1$ અથવા $9\alpha x - 16\beta y - 144 = 0$ છે.
આને આપેલ રેખા $3x - 16y + 48 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{9\alpha}{3} = \frac{-16\beta}{-16} = \frac{-144}{48}$.
$3\alpha = \beta = -3$.
આમ,$\alpha = -1$ અને $\beta = -3$.
તેથી,$\alpha - \beta = -1 - (-3) = -1 + 3 = 2$.

(C) રેખા $x \cos \alpha + y \sin \alpha = P$ અને અતિવલય $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{36} = 1$ ના છેદબિંદુઓને ઉગમબિંદુ સાથે જોડતી રેખાઓનું સમીકરણ અતિવલયના સમીકરણને સમઘાત બનાવીને મેળવી શકાય છે: $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{36} = (\frac{x \cos \alpha + y \sin \alpha}{P})^2$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $x^2(\frac{1}{9} - \frac{\cos^2 \alpha}{P^2}) + y^2(-\frac{1}{36} - \frac{\sin^2 \alpha}{P^2}) - \frac{2xy \cos \alpha \sin \alpha}{P^2} = 0$ મળે છે.
રેખાઓ ઉગમબિંદુ આગળ કાટખૂણો આંતરે છે,તેથી $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ: $(\frac{1}{9} - \frac{\cos^2 \alpha}{P^2}) + (-\frac{1}{36} - \frac{\sin^2 \alpha}{P^2}) = 0$.
આ સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{12} - \frac{1}{P^2} = 0$ મળે,તેથી $P^2 = 12$.
અતિવલય $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{36} = 1$ માટે બિંદુ $(h, k)$ નો ધ્રુવ $\frac{xh}{9} - \frac{yk}{36} = 1$ છે.
આને $x \cos \alpha + y \sin \alpha = P$ સાથે સરખાવતા,$\frac{h/9}{\cos \alpha} = \frac{-k/36}{\sin \alpha} = \frac{1}{P}$ મળે.
તેથી,$\cos \alpha = \frac{Ph}{9}$ અને $\sin \alpha = -\frac{Pk}{36}$.
$\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{P^2 h^2}{81} + \frac{P^2 k^2}{1296} = 1$ મળે છે.
$P^2 = 12$ મૂકતા,$\frac{12h^2}{81} + \frac{12k^2}{1296} = 1$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{4h^2}{27} + \frac{k^2}{108} = 1$ થાય છે.
$108$ વડે ગુણતા,$16h^2 + k^2 = 108$ મળે છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $16x^2 + y^2 = 108$ છે.