Locus Related Problem Questions in Hindi

(B) मान लीजिए $P = (x, y)$ है। शर्त $PA = nPB$ का अर्थ है $PA^2 = n^2 PB^2$।
$(x - a)^2 + y^2 = n^2((x + a)^2 + y^2)$।
$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = n^2(x^2 + 2ax + a^2 + y^2)$।
$(1 - n^2)x^2 + (1 - n^2)y^2 - 2ax(1 + n^2) + a^2(1 - n^2) = 0$।
$(1 - n^2)$ से विभाजित करने पर ($n \neq 1$ के लिए):
$x^2 + y^2 - 2ax \frac{1 + n^2}{1 - n^2} + a^2 = 0$।
यह एक वृत्त का समीकरण है।
यदि वृत्त $A(a, 0)$ से गुजरता है,तो $a^2 + 0 - 2a^2 \frac{1 + n^2}{1 - n^2} + a^2 = 0$,जिसका अर्थ है $2a^2 = 2a^2 \frac{1 + n^2}{1 - n^2}$,यानी $1 = \frac{1 + n^2}{1 - n^2}$,जो $n = 0$ देता है,जो $n \neq 0$ के विपरीत है।
इसी प्रकार,यह $B(-a, 0)$ से नहीं गुजरता है।

(D) माना $P$ के निर्देशांक $(2x_0, 0)$ और $Q$ के निर्देशांक $(0, 2y_0)$ हैं,ताकि लंबाई $PQ = \sqrt{(2x_0)^2 + (2y_0)^2} = 2a$ हो।
यह $4x_0^2 + 4y_0^2 = 4a^2$,या $x_0^2 + y_0^2 = a^2$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $\Delta OPQ$ मूल बिंदु $O(0,0)$ पर समकोण वाला एक समकोण त्रिभुज है,इसलिए परिकेंद्र $M(h, k)$ कर्ण $PQ$ का मध्य बिंदु है।
अतः,$h = \frac{2x_0 + 0}{2} = x_0$ और $k = \frac{0 + 2y_0}{2} = y_0$।
$x_0 = h$ और $y_0 = k$ को समीकरण $x_0^2 + y_0^2 = a^2$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $h^2 + k^2 = a^2$ प्राप्त होता है।
इसलिए,परिकेंद्र का बिंदुपथ $x^2 + y^2 = a^2$ है।

(C) वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ की $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm a\sqrt{1 + m^2}$ होता है।
माना ढाल $m_1 = \tan \alpha$ और $m_2 = \tan \beta$ हैं।
दिया गया है कि $\cot \alpha + \cot \beta = 0$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} = 0$,इसलिए $m_1 + m_2 = 0$ या $m_2 = -m_1$ है।
इस स्थिति में,प्रतिच्छेदन बिंदु $P(x, y)$ के लिए $x = 0$ या $y = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$P$ का बिंदु पथ $xy = 0$ है।

(C) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(a \cos t, a \sin t)$,$B(b \sin t, -b \cos t)$ और $C(1, 0)$ हैं।
माना केंद्रक $(x, y)$ है।
केंद्रक के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$x = \frac{a \cos t + b \sin t + 1}{3}$ और $y = \frac{a \sin t - b \cos t + 0}{3}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$3x - 1 = a \cos t + b \sin t$ और $3y = a \sin t - b \cos t$.
दोनों पक्षों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(3x - 1)^2 + (3y)^2 = (a \cos t + b \sin t)^2 + (a \sin t - b \cos t)^2$.
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर:
$(3x - 1)^2 + (3y)^2 = a^2 \cos^2 t + b^2 \sin^2 t + 2ab \sin t \cos t + a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2 t - 2ab \sin t \cos t$.
सरल करने पर:
$(3x - 1)^2 + (3y)^2 = a^2(\cos^2 t + \sin^2 t) + b^2(\sin^2 t + \cos^2 t)$.
चूंकि $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$,इसलिए:
$(3x - 1)^2 + (3y)^2 = a^2 + b^2$.

(B) दिए गए वृत्त $S_1: x^2 + y^2 - 5x - 3 = 0$ और $S_2: x^2 + y^2 + \frac{2}{3}x + \frac{4}{3}y - 2 = 0$ हैं।
मान लीजिए $P(x, y)$ एक ऐसा बिंदु है जहाँ से दोनों वृत्तों पर स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान है।
बिंदु $P(x, y)$ से वृत्त $S = 0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{S}$ होती है।
अतः,$\sqrt{x^2 + y^2 - 5x - 3} = \sqrt{x^2 + y^2 + \frac{2}{3}x + \frac{4}{3}y - 2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2 + y^2 - 5x - 3 = x^2 + y^2 + \frac{2}{3}x + \frac{4}{3}y - 2$.
सरल करने पर,$-5x - 3 = \frac{2}{3}x + \frac{4}{3}y - 2$.
$3$ से गुणा करने पर,$-15x - 9 = 2x + 4y - 6$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$17x + 4y + 3 = 0$.
यह दोनों वृत्तों की मूलाक्ष (radical axis) का समीकरण है।

(D) माना बिंदु $P(x, y)$ है। दी गई शर्त $\frac{PA}{PB} = \frac{1}{2}$ है,जहाँ $A = (1, 0)$ और $B = (-1, 0)$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$4PA^2 = PB^2$ प्राप्त होता है।
$4((x-1)^2 + y^2) = (x+1)^2 + y^2$.
$4(x^2 - 2x + 1 + y^2) = x^2 + 2x + 1 + y^2$.
$4x^2 - 8x + 4 + 4y^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2$.
$3x^2 - 10x + 3 + 3y^2 = 0$.
$x^2 - \frac{10}{3}x + y^2 + 1 = 0$.
यह एक वृत्त का समीकरण है जिसका केंद्र $C_0 = \left( \frac{5}{3}, 0 \right)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{(\frac{5}{3})^2 - 1} = \frac{4}{3}$ है।
चूंकि बिंदु $A, B, C$ इस वृत्त पर स्थित हैं,इसलिए त्रिभुज $ABC$ का परिकेंद्र इस वृत्त का केंद्र $\left( \frac{5}{3}, 0 \right)$ होगा।

(A) $PA = nPB$ दिया गया है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$PA^2 = n^2 PB^2$ प्राप्त होता है।
$(x - a)^2 + y^2 = n^2((x + a)^2 + y^2)$.
$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = n^2(x^2 + 2ax + a^2 + y^2)$.
$(1 - n^2)x^2 - 2a(1 + n^2)x + (1 - n^2)y^2 + a^2(1 - n^2) = 0$.
$(1 - n^2)$ से विभाजित करने पर,$x^2 - 2a \frac{1 + n^2}{1 - n^2} x + y^2 + a^2 = 0$ प्राप्त होता है।
यह एक वृत्त का समीकरण है जिसका केंद्र $C = (a \frac{1 + n^2}{1 - n^2}, 0)$ और त्रिज्या $r = |a| \frac{2n}{1 - n^2}$ है।
चूंकि $a < 0$,मान लें $a = -k$ जहाँ $k > 0$ है। अतः $A = (-k, 0)$ और $B = (k, 0)$ है।
केंद्र $C = (-k \frac{1 + n^2}{1 - n^2}, 0)$ है।
चूंकि $0 < n < 1$,$\frac{1 + n^2}{1 - n^2} > 1$,इसलिए केंद्र $C$ मूल बिंदु से $k$ से अधिक दूरी पर ऋणात्मक दिशा में है।
अतः,$A$ केंद्र के करीब है और $B$ केंद्र से दूर है,जिसका अर्थ है कि $A$ वृत्त के अंदर है और $B$ वृत्त के बाहर है।

(A) दिया गया वक्र समीकरण: ${y^2 = 4a(x + a \sin \frac{x}{a})}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
${2y \frac{dy}{dx} = 4a(1 + a \cos \frac{x}{a} \cdot \frac{1}{a})}$
${2y \frac{dy}{dx} = 4a(1 + \cos \frac{x}{a})}$
स्पर्श रेखा के $x$-अक्ष के समांतर होने के लिए,ढाल ${\frac{dy}{dx} = 0}$ होनी चाहिए।
इसका अर्थ है ${1 + \cos \frac{x}{a} = 0}$,अर्थात ${\cos \frac{x}{a} = -1}$।
अतः,${\frac{x}{a} = (2n+1)\pi}$। सरलतम स्थिति के लिए,${n=0}$ लेने पर,${x = a\pi}$ प्राप्त होता है।
${x = a\pi}$ को मूल समीकरण में रखने पर:
${y^2 = 4a(a\pi + a \sin \pi)}$
${y^2 = 4a(a\pi + 0)}$
${y^2 = 4a^2\pi}$.
चूंकि ${a}$ एक स्थिरांक है,${y^2 = 4a^2\pi}$ $x$-अक्ष के समांतर रेखाओं का एक समूह (विशेष रूप से ${y = \pm 2a\sqrt{\pi}}$) दर्शाता है। दिए गए विकल्पों में से,क्षैतिज रेखाओं के इस समूह को सीधी रेखाओं के रूप में वर्णित किया गया है।

(D) माना $P = (2, 3)$ दिया गया बिंदु है और $P' = (h, k)$ रेखा $L_k: (2x - 3y + 4) + k(x - 2y + 3) = 0$ में इसका प्रतिबिंब है।
रेखा $L_k$,$L_1: 2x - 3y + 4 = 0$ और $L_2: x - 2y + 3 = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरती है।
$L_1$ और $L_2$ को हल करने पर,हमें $x = 1, y = 2$ प्राप्त होता है। माना यह बिंदु $A = (1, 2)$ है।
चूंकि $P'$,$L_k$ में $P$ का प्रतिबिंब है,इसलिए रेखा $AP$,$AP'$ के लंबवत है और $AP = AP'$ है।
$AP$ की ढाल $m_{AP} = \frac{3-2}{2-1} = 1$ है।
माना $P' = (x, y)$ है। $AP'$ की ढाल $m_{AP'} = \frac{y-2}{x-1}$ है।
चूंकि $AP \perp AP'$,उनकी ढाल का गुणनफल $-1$ होगा,इसलिए $\frac{y-2}{x-1} = -1 \implies y - 2 = -(x - 1) \implies x + y = 3$।
साथ ही,दूरी $AP = \sqrt{(2-1)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{2}$ है।
चूंकि $AP = AP'$,इसलिए $(x-1)^2 + (y-2)^2 = AP^2 = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदुपथ $(1, 2)$ केंद्र और $\sqrt{2}$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है।

(B) दिया गया वृत्त $x^{2} + y^{2} - 8x - 8y - 4 = 0$ है।
इस वृत्त का केंद्र $(4, 4)$ है और इसकी त्रिज्या $r = \sqrt{4^{2} + 4^{2} - (-4)} = 6$ है।
माना अभीष्ट वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है और इसकी त्रिज्या $R = k$ है।
चूंकि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,इसलिए केंद्रों के बीच की दूरी त्रिज्याओं के योग के बराबर होगी:
$\sqrt{(h - 4)^{2} + (k - 4)^{2}} = 6 + k$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(h - 4)^{2} + (k - 4)^{2} = (6 + k)^{2}$.
सरल करने पर:
$h^{2} - 8h + 16 + k^{2} - 8k + 16 = 36 + k^{2} + 12k$.
$h^{2} - 8h - 20k - 4 = 0$.
अतः,बिंदु पथ $x^{2} - 8x - 20y - 4 = 0$ है,जो एक परवलय का समीकरण है।

(D) माना वृत्त $x^2 + (y - k)^2 = r^2$ है। चूँकि यह $y = |x|$ को स्पर्श करता है,$(0, k)$ से $x - y = 0$ की दूरी $r$ है,अतः $\frac{|-k|}{\sqrt{2}} = r$,जिससे $k = r\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
$x^2 = 4 - y$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर: $(4 - y) + (y - k)^2 = r^2$.
$4 - y + y^2 - 2ky + k^2 = \frac{k^2}{2}$.
$y^2 - (2k + 1)y + (4 + \frac{k^2}{2}) = 0$.
स्पर्श करने के लिए,विविक्तकर $D = 0$:
$(2k + 1)^2 - 4(4 + \frac{k^2}{2}) = 0$.
$4k^2 + 4k + 1 - 16 - 2k^2 = 0$.
$2k^2 + 4k - 15 = 0$.
$k$ के लिए हल करने पर ($k > 0$ लेते हुए): $k = \frac{-4 + \sqrt{16 - 4(2)(-15)}}{4} = \frac{-4 + \sqrt{136}}{4} = \frac{-4 + 2\sqrt{34}}{4} = \frac{-2 + \sqrt{34}}{2}$.
चूँकि $r = \frac{k}{\sqrt{2}}$,अतः $r = \frac{-2 + \sqrt{34}}{2\sqrt{2}}$.

(B) मान लीजिए कि छड़ी के सिरों के निर्देशांक फर्श पर $(a, 0)$ और दीवार पर $(0, b)$ हैं। छड़ी की लंबाई $l$ है,इसलिए $a^2 + b^2 = l^2$ है।
मान लीजिए छड़ी का मध्य बिंदु $(h, k)$ है।
मध्य बिंदु सूत्र के अनुसार,$h = \frac{a+0}{2} = \frac{a}{2}$ और $k = \frac{0+b}{2} = \frac{b}{2}$ है।
इससे $a = 2h$ और $b = 2k$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समीकरण $a^2 + b^2 = l^2$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(2h)^2 + (2k)^2 = l^2$ प्राप्त होता है।
$4h^2 + 4k^2 = l^2 \Rightarrow h^2 + k^2 = \frac{l^2}{4}$ है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $x^2 + y^2 = \left(\frac{l}{2}\right)^2$ प्राप्त होता है,जो एक वृत्त को दर्शाता है।

(B) दिया गया समीकरण $\sqrt{(x - 2)^2 + y^2} + \sqrt{(x + 2)^2 + y^2} = 4$ है।
यह एक बिंदु $P(x, y)$ की दो निश्चित बिंदुओं $F_1(2, 0)$ और $F_2(-2, 0)$ से दूरियों का योग $4$ के बराबर दर्शाता है।
निश्चित बिंदुओं $F_1$ और $F_2$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (0 - 0)^2} = 4$ है।
चूंकि $PF_1 + PF_2 = F_1F_2$ है,इसलिए बिंदु $P$ को $F_1$ और $F_2$ को जोड़ने वाले रेखाखंड पर स्थित होना चाहिए।
यह रेखाखंड $x$-अक्ष पर स्थित है जहाँ $y = 0$ और $-2 \le x \le 2$ है।
अतः,यह संपाती सरल रेखाओं का एक युग्म दर्शाता है।

(B) माना वर्ग के शीर्ष $xy$-समतल में $(0,0), (1,0), (1,1),$ और $(0,1)$ हैं।
माना बिंदु $P(x, y)$ है।
चार भुजाओं से $P$ की दूरियाँ $x, (1-x), y,$ और $(1-y)$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,इन दूरियों के वर्गों का योग $9$ है:
$x^2 + (1-x)^2 + y^2 + (1-y)^2 = 9$
$2x^2 - 2x + 2y^2 - 2y + 2 = 9$
$x^2 - x + y^2 - y = \frac{7}{2}$
यह $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के रूप का एक वृत्त का समीकरण है।

(A) मान लीजिए $(h, k)$ त्रिज्या $r = 3$ वाले वृत्त का केंद्र है। ऐसे वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = 3^2 = 9$ है।
चूंकि केंद्र $(h, k)$ वृत्त $x^2 + y^2 = 25$ पर स्थित है,इसलिए मूल बिंदु से केंद्र की दूरी $\sqrt{h^2 + k^2} = 5$ है।
केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $3$ वाले वृत्त पर स्थित कोई भी बिंदु $(x, y)$ यह शर्त पूरी करता है कि उसकी $(h, k)$ से दूरी $3$ है।
त्रिभुज असमिका के अनुसार,मूल बिंदु से किसी भी बिंदु $(x, y)$ की दूरी $d$,$|\sqrt{h^2 + k^2} - 3| \le \sqrt{x^2 + y^2} \le \sqrt{h^2 + k^2} + 3$ को संतुष्ट करती है।
$\sqrt{h^2 + k^2} = 5$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $|5 - 3| \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 5 + 3$ प्राप्त होता है।
यह $2 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 8$ में सरल हो जाता है।
वर्ग करने पर,हमें $4 \le x^2 + y^2 \le 64$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ के लिए प्राचलिक कोण $\alpha$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $x \cos \alpha + y \sin \alpha = a$ है।
मान लीजिए कि दो बिंदुओं के प्राचलिक कोण $\theta$ और $\theta + \pi / 2$ हैं।
इन बिंदुओं पर स्पर्श रेखाओं के समीकरण हैं:
$L_1: x \cos \theta + y \sin \theta = a$
$L_2: x \cos(\theta + \pi / 2) + y \sin(\theta + \pi / 2) = a$,जो सरल होकर $-x \sin \theta + y \cos \theta = a$ हो जाता है।
बिंदुपथ ज्ञात करने के लिए,दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(x \cos \theta + y \sin \theta)^2 + (-x \sin \theta + y \cos \theta)^2 = a^2 + a^2$
$x^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + y^2(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = 2a^2$
$x^2 + y^2 = 2a^2$।
यह $a \sqrt{2}$ त्रिज्या वाले एक वृत्त का समीकरण है।

(C) माना चर जीवा का मध्य बिंदु $P(h, k)$ है।
वृत्त $S: x^2 + y^2 - 2ax = 0$ के लिए मध्य बिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $T = S_1$ द्वारा दिया जाता है।
$hx + ky - a(x + h) = h^2 + k^2 - 2ah$.
चूंकि जीवा मूल बिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरती है,इसलिए समीकरण में $x = 0$ और $y = 0$ रखने पर:
$h(0) + k(0) - a(0 + h) = h^2 + k^2 - 2ah$.
$-ah = h^2 + k^2 - 2ah$.
$h^2 + k^2 - ah = 0$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदु पथ $x^2 + y^2 - ax = 0$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$x \cos \alpha - y \sin \alpha = a$ $(1)$
$x \sin \alpha - y \cos \alpha = b$ $(2)$
$(1)$ और $(2)$ का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(x \cos \alpha - y \sin \alpha)^2 + (x \sin \alpha - y \cos \alpha)^2 = a^2 + b^2$
$x^2(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + y^2(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) - 2xy \sin \alpha \cos \alpha - 2xy \sin \alpha \cos \alpha = a^2 + b^2$
$x^2 + y^2 - 2xy \sin(2 \alpha) = a^2 + b^2$
यह समीकरण एक शांकव परिच्छेद को दर्शाता है जो $\alpha$ के मान पर निर्भर करता है। चूंकि यह बिंदुपथ कोई मानक दीर्घवृत्त,अतिपरवलय या परवलय नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(D) दिया गया वक्र $y = \tan(\tan^{-1} x) = x$ है।
चूंकि वृत्त बिंदु $S(1, 0)$ से गुजरता है और रेखा $L: x - y = 0$ को स्पर्श करता है,केंद्र $C(h, k)$ का बिंदुपथ एक परवलय है जहाँ $S(1, 0)$ नाभि है और $L: x - y = 0$ नियता है।
नाभि $S(1, 0)$ से नियता $x - y = 0$ की दूरी $2a = \frac{|1 - 0|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
परवलय का अक्ष नाभि $(1, 0)$ से गुजरने वाली और नियता $x - y = 0$ के लंबवत रेखा है। नियता की ढाल $1$ है,इसलिए अक्ष की ढाल $-1$ है।
अक्ष का समीकरण $y - 0 = -1(x - 1)$ है,जो $x + y = 1$ में सरल होता है।
अक्ष $x + y = 1$ और नियता $x - y = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $Z(1/2, 1/2)$ है।
शीर्ष $V$,नाभि $S(1, 0)$ और बिंदु $Z(1/2, 1/2)$ का मध्यबिंदु है।
$V = \left(\frac{1 + 1/2}{2}, \frac{0 + 1/2}{2}\right) = (3/4, 1/4)$.
अतः,$(A)$ और $(B)$ दोनों सही हैं,उत्तर $(D)$ है।

(D) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2 + 4x + (y - 3)^2 = 0$ है।
माना $M = (h, k)$ और $A = (0, 3)$ है।
चूंकि $AM = 2 AB$ है,इसलिए $B$,$AM$ का मध्य-बिंदु है।
अतः,$B$ के निर्देशांक $(\frac{h}{2}, \frac{k+3}{2})$ हैं।
चूंकि $B$ वृत्त पर स्थित है,इसलिए इन निर्देशांकों को वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$(\frac{h}{2})^2 + 4(\frac{h}{2}) + (\frac{k+3}{2} - 3)^2 = 0$.
$\frac{h^2}{4} + 2h + (\frac{k-3}{2})^2 = 0$.
$\frac{h^2}{4} + 2h + \frac{k^2 - 6k + 9}{4} = 0$.
$4$ से गुणा करने पर,$h^2 + 8h + k^2 - 6k + 9 = 0$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $x^2 + y^2 + 8x - 6y + 9 = 0$ है।

(A) माना जीवा का मध्य बिंदु $M(h, k)$ है।
वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 4x = 0$ है,जिसका केंद्र $O(2, 0)$ है।
चूंकि $M$ जीवा का मध्य बिंदु है,रेखाखंड $OM$ जीवा $PM$ पर लंब है।
इसलिए,$OM$ की ढाल $m_1 = \frac{k - 0}{h - 2} = \frac{k}{h - 2}$ है।
$PM$ की ढाल $m_2 = \frac{k - 4}{h - 3}$ है।
चूंकि $OM \perp PM$,उनकी ढालों का गुणनफल $-1$ होगा:
$\left(\frac{k}{h - 2}\right) \times \left(\frac{k - 4}{h - 3}\right) = -1$
$k(k - 4) = -(h - 2)(h - 3)$
$k^2 - 4k = -(h^2 - 5h + 6)$
$h^2 + k^2 - 5h - 4k + 6 = 0$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $x^2 + y^2 - 5x - 4y + 6 = 0$ है।

(A) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
चूंकि यह वृत्त $x^2 + y^2 - K^2 = 0$ को लंबकोणीय काटता है,इसलिए $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ की शर्त के अनुसार,$2g(0) + 2f(0) = c - K^2$,जिसका अर्थ है $c = K^2$।
वृत्त बिंदु $(a, b)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $a^2 + b^2 + 2ga + 2fb + c = 0$।
$c = K^2$ रखने पर,$a^2 + b^2 + 2ga + 2fb + K^2 = 0$।
केंद्र $(-g, -f)$ है। माना केंद्र $(x, y)$ है,इसलिए $g = -x$ और $f = -y$।
इन मानों को रखने पर,$a^2 + b^2 + 2(-x)a + 2(-y)b + K^2 = 0$।
अतः,केंद्र का बिंदुपथ $2ax + 2by - (a^2 + b^2 + K^2) = 0$ है।

(C) दो दिए गए वृत्तों को लंबकोणीय काटने वाले वृत्त के केंद्र का बिंदुपथ उन दो वृत्तों की मूलाक्ष (radical axis) होती है।
माना दो वृत्त $S_1: x^2 + y^2 + 4x - 6y + 9 = 0$ और $S_2: x^2 + y^2 - 5x + 4y - 2 = 0$ हैं।
मूलाक्ष $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा प्राप्त होती है।
$(x^2 + y^2 + 4x - 6y + 9) - (x^2 + y^2 - 5x + 4y - 2) = 0$
$4x - 6y + 9 + 5x - 4y + 2 = 0$
$9x - 10y + 11 = 0$
अतः,केंद्रों का बिंदुपथ $9x - 10y + 11 = 0$ है।

(B) माना फर्श और दीवार पर छड़ी के सिरों के निर्देशांक क्रमशः $(a, 0)$ और $(0, b)$ हैं।
चूंकि छड़ी की लंबाई $10$ इकाई है,दूरी सूत्र के अनुसार $a^2 + b^2 = 10^2 = 100$ --- $(1)$.
माना $M(h, k)$ छड़ी का मध्य बिंदु है।
मध्य बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर,$h = \frac{a}{2}$ और $k = \frac{b}{2}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $a = 2h$ और $b = 2k$।
इन मानों को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$(2h)^2 + (2k)^2 = 100$ प्राप्त होता है।
$4h^2 + 4k^2 = 100$।
$4$ से विभाजित करने पर,$h^2 + k^2 = 25$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,मध्य बिंदु का बिंदुपथ $x^2 + y^2 = 25$ है।

(A) माना रेखाएँ $L_1: x - y = 0$, $L_2: x + y - 2 = 0$, और $L_3: x + 3 = 0$ हैं।
त्रिभुज के शीर्ष $(1, 1)$, $(-3, -3)$ और $(-3, 5)$ हैं।
बिंदु $P(\lambda, \lambda^2)$ परवलय $y = x^2$ पर स्थित है।
त्रिभुज के अंदर होने के लिए, बिंदु को रेखाओं द्वारा परिभाषित असमिकाओं को संतुष्ट करना होगा:
$1) \lambda - \lambda^2 \le 0 \implies \lambda \in (-\infty, 0] \cup [1, \infty)$.
$2) \lambda + \lambda^2 - 2 \le 0 \implies \lambda \in [-2, 1]$.
$3) \lambda + 3 \ge 0 \implies \lambda \ge -3$.
अतः, बिंदु $P$ त्रिभुज के अंदर $\lambda \in [-2, 0] \cup \{1\}$ के लिए है।
इसलिए, बिंदु $P$ त्रिभुज के बाहर $(-\infty, -2] \cup [0, \infty)$ के लिए होगा।

(C) मान लीजिए मूल बिंदु $O(0,0)$ से रेखा $PQ$ पर लंब का पाद $R(h, k)$ है।
चूंकि $OR \perp PQ$,$OR$ की ढाल $m_1 = \frac{k}{h}$ है।
रेखा $PQ$ की ढाल $m_2 = -\frac{h}{k}$ है।
बिंदु $(h, k)$ से गुजरने वाली रेखा $PQ$ का समीकरण $y - k = -\frac{h}{k}(x - h)$ है,जो $hx + ky = h^2 + k^2$ में सरल हो जाता है।
अक्षों पर इस रेखा के अंतःखंड $Q\left( \frac{h^2 + k^2}{h}, 0 \right)$ और $P\left( 0, \frac{h^2 + k^2}{k} \right)$ हैं।
चूंकि $O, P, Q$ त्रिज्या $a$ वाले वृत्त पर स्थित हैं,वृत्त का व्यास समकोण त्रिभुज $\triangle OPQ$ का कर्ण $PQ$ है।
लंबाई $PQ = \sqrt{\left( \frac{h^2 + k^2}{h} \right)^2 + \left( \frac{h^2 + k^2}{k} \right)^2} = 2a$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(h^2 + k^2)^2 \left( \frac{1}{h^2} + \frac{1}{k^2} \right) = 4a^2$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $(x^2 + y^2)^2 \left( \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} \right) = 4a^2$ प्राप्त होता है।

(D) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
बिंदुओं $(1, t)$,$(t, 1)$,और $(t, t)$ को समीकरण में रखने पर:
$1$) $1 + t^2 + 2g + 2ft + c = 0$
$2$) $t^2 + 1 + 2gt + 2f + c = 0$
$3$) $t^2 + t^2 + 2gt + 2ft + c = 0$
इन समीकरणों को हल करने पर,वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - (1 + t)(x + y) + t = 0$ प्राप्त होता है।
इसे $(x^2 + y^2 - x - y) + t(1 - x - y) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह वृत्त सदैव $(1, 1)$ बिंदु से होकर गुजरता है।

(A) माना $A$ के निर्देशांक $(a, 0)$ और $B$ के निर्देशांक $(0, b)$ हैं।
चूंकि वृत्त मूल बिंदु $(0, 0)$,$A(a, 0)$ और $B(0, b)$ से होकर गुजरता है,वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - ax - by = 0$ है।
इस वृत्त की त्रिज्या $\sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2} = 3k$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{a^2}{4} + \frac{b^2}{4} = 9k^2$,जिसका अर्थ है $a^2 + b^2 = 36k^2$।
माना $(x, y)$ $\triangle OAB$ का केंद्रक है। तब $x = \frac{a}{3}$ और $y = \frac{b}{3}$।
अतः,$a = 3x$ और $b = 3y$।
इन मानों को $a^2 + b^2 = 36k^2$ में रखने पर,$(3x)^2 + (3y)^2 = 36k^2$ प्राप्त होता है।
$9x^2 + 9y^2 = 36k^2$।
$9$ से विभाजित करने पर,$x^2 + y^2 = 4k^2 = (2k)^2$ प्राप्त होता है।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 11 = 0$ है।
केंद्र $C = (1, 2)$ और त्रिज्या $r = 4$ है।
माना $(h, k)$ जीवा का मध्य-बिंदु है। केंद्र से जीवा की दूरी $d = \sqrt{(h-1)^2 + (k-2)^2}$ है।
त्रिकोणमिति के अनुसार,$\cos 30^o = \frac{d}{r} = \frac{\sqrt{(h-1)^2 + (k-2)^2}}{4}$.
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{(h-1)^2 + (k-2)^2}}{4}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{3}{4} = \frac{(h-1)^2 + (k-2)^2}{16}$.
$(h-1)^2 + (k-2)^2 = 12$.
$h^2 - 2h + 1 + k^2 - 4k + 4 = 12$.
अतः,बिंदुपथ $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 7 = 0$ है।

(D) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 + 16x - 24y + 183 = 0$ है।
केंद्र $(-8, 12)$ और त्रिज्या $r = 5$ है।
रेखा $4x + 7y + 13 = 0$ में केंद्र का प्रतिबिंब $(-16, -2)$ प्राप्त होता है।
नया समीकरण $(x + 16)^2 + (y + 2)^2 = 5^2$ होगा।
जिसका सरलीकरण $x^2 + y^2 + 32x + 4y + 235 = 0$ है।

(B) दिया गया समीकरण $x^2 - 4x + y^2 + 3 = 0$ है।
$x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x^2 - 4x + 4) + y^2 = 4 - 3$,जो $(x - 2)^2 + y^2 = 1$ में सरल हो जाता है।
यह केंद्र $(2, 0)$ और त्रिज्या $r = 1$ वाला एक वृत्त है।
मान लीजिए $x^2 + y^2 = k$,जो मूल बिंदु $(0, 0)$ से वृत्त पर किसी भी बिंदु $(x, y)$ तक की दूरी का वर्ग दर्शाता है।
मूल बिंदु से केंद्र $(2, 0)$ तक की दूरी $d = \sqrt{(2-0)^2 + (0-0)^2} = 2$ है।
वृत्त पर किसी बिंदु की मूल बिंदु से अधिकतम दूरी $d + r = 2 + 1 = 3$ है,इसलिए $M = 3^2 = 9$ है।
वृत्त पर किसी बिंदु की मूल बिंदु से न्यूनतम दूरी $d - r = 2 - 1 = 1$ है,इसलिए $m = 1^2 = 1$ है।
अतः,$M - m = 9 - 1 = 8$ है।

(C) माना रेखा $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ निर्देशांक अक्षों को $A(a, 0)$ और $B(0, b)$ पर मिलती है।
चूँकि $\triangle OAB$ एक समकोण त्रिभुज है,कर्ण $AB$ वृत्त का व्यास है।
वृत्त का केंद्र $C = (\frac{a}{2}, \frac{b}{2})$ है और त्रिज्या $r = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$ है।
$OC$ की ढाल $\frac{b}{a}$ है,इसलिए मूल बिंदु $O$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $-\frac{a}{b}$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $ax + by = 0$ है।
$A(a, 0)$ से स्पर्श रेखा की दूरी $d_1 = \frac{a^2}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ है।
$B(0, b)$ से स्पर्श रेखा की दूरी $d_2 = \frac{b^2}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ है।
अतः,$d_1 + d_2 = \frac{a^2 + b^2}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \sqrt{a^2 + b^2}$ है।
व्यास $2r = \sqrt{a^2 + b^2}$ है,इसलिए व्यास $d_1 + d_2$ है।

(A) दिया गया वृत्त $4x^2 + 4y^2 - 12x + 4y + 1 = 0$ है।
केंद्र $C = (\frac{3}{2}, -\frac{1}{2})$ और त्रिज्या $r = \frac{3}{2}$ है।
माना $M(h, k)$ जीवा का मध्य बिंदु है।
केंद्र से जीवा की दूरी $d = r \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{3}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$ होगी।
अतः,$(h - \frac{3}{2})^2 + (k + \frac{1}{2})^2 = (\frac{3}{4})^2$.
सरल करने पर,$16(h^2 + k^2) - 48h + 16k + 31 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदुपथ का समीकरण $16(x^2 + y^2) - 48x + 16y + 31 = 0$ है।

(C) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है। चूंकि वृत्त दोनों रेखाओं को स्पर्श करता है,इसलिए $(h, k)$ से दोनों रेखाओं की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$\frac{|3h - 4k + 1|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|12h + 5k - 1|}{\sqrt{12^2 + 5^2}}$.
यह $\frac{|3h - 4k + 1|}{5} = \frac{|12h + 5k - 1|}{13}$ में सरल हो जाता है।
धनात्मक चिह्न लेने पर: $13(3h - 4k + 1) = 5(12h + 5k - 1) \implies 21h + 77k - 18 = 0$.
ऋणात्मक चिह्न लेने पर: $13(3h - 4k + 1) = -5(12h + 5k - 1) \implies 99h - 27k + 8 = 0$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $21x + 77y - 18 = 0$ और $99x - 27y + 8 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना मूल बिंदु से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by = 0$ है,जहाँ $A = (2a, 0)$ और $B = (0, 2b)$ है।
दिया गया है $OA + 2OB = K$,इसलिए $2a + 2(2b) = K$,जो $2a + 4b = K$ हो जाता है।
वृत्त के समीकरण में $2a = K - 4b$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x^{2} + y^{2} - (K - 4b)x - 2by = 0$
$x^{2} + y^{2} - Kx + 4bx - 2by = 0$
$(x^{2} + y^{2} - Kx) + 2b(2x - y) = 0$.
वृत्त के $b$ से स्वतंत्र एक निश्चित बिंदु $P$ से गुजरने के लिए,$x^{2} + y^{2} - Kx = 0$ और $2x - y = 0$ होना चाहिए।
$2x - y = 0$ से,हमें $y = 2x$ प्राप्त होता है।
अतः,निश्चित बिंदु $P$ रेखा $y = 2x$ पर स्थित है।

(B) माना $C$ त्रिज्या $r = 2$ वाले एक वृत्त का केंद्र है। केंद्र $C$,वृत्त $x^2 + y^2 = 36$ पर स्थित है,इसलिए दूरी $OC = 6$ है,जहाँ $O$ मूलबिंदु $(0, 0)$ है।
केंद्र $C$ वाले वृत्त पर किसी भी बिंदु $P$ के लिए,दूरी $OP$ का मान $OC - r \le OP \le OC + r$ को संतुष्ट करता है।
मान रखने पर,हमें $6 - 2 \le OP \le 6 + 2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $4 \le OP \le 8$ हो जाता है।
चूँकि $OP = \sqrt{x^2 + y^2}$,इसलिए $4 \le \sqrt{x^2 + y^2} \le 8$ है।
असमिका का वर्ग करने पर,हमें $16 \le x^2 + y^2 \le 64$ प्राप्त होता है।

(C) $P(x, y)$ का बिंदु पथ $\frac{PA}{PB} = 2$ द्वारा दिया गया है,जिसका अर्थ है $PA^2 = 4PB^2$.
$(x-1)^2 + y^2 = 4(x^2 + (y+1)^2)$.
$x^2 - 2x + 1 + y^2 = 4x^2 + 4y^2 + 8y + 4$.
$3x^2 + 3y^2 + 2x + 8y + 3 = 0$.
$x^2 + y^2 + \frac{2}{3}x + \frac{8}{3}y + 1 = 0$.
केंद्र $C(-\frac{1}{3}, -\frac{4}{3})$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{(-\frac{1}{3})^2 + (-\frac{4}{3})^2 - 1} = \sqrt{\frac{1}{9} + \frac{16}{9} - 1} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ है।
माना $\alpha = -\frac{1}{3} + r \cos \theta$ और $\beta = -\frac{4}{3} + r \sin \theta$.
तब $\alpha + \beta = -\frac{5}{3} + r(\cos \theta + \sin \theta) = -\frac{5}{3} + r\sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4})$.
चूंकि $r = \frac{2\sqrt{2}}{3}$,$r\sqrt{2} = \frac{4}{3}$.
अधिकतम मान $M = -\frac{5}{3} + \frac{4}{3} = -\frac{1}{3}$.
न्यूनतम मान $m = -\frac{5}{3} - \frac{4}{3} = -\frac{9}{3} = -3$.
अतः,$\frac{M}{m} = \frac{-1/3}{-3} = \frac{1}{9}$.
$[\frac{M}{m}] = [\frac{1}{9}] = 0$.

(D) माना चर वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
दो वृत्त $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ और $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ लंबकोणीय काटते हैं यदि $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ हो।
प्रथम वृत्त के लिए,$-2g - 4f = c - 1$ .......$(1)$
द्वितीय वृत्त के लिए,$-4g - 2f = c - 1$ .......$(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को घटाने पर,$2g - 2f = 0$ अर्थात $g - f = 0$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(-g, -f) = (x, y)$ लेने पर,$g = -x$ और $f = -y$ प्रतिस्थापित करने पर,$-x - (-y) = 0$ अर्थात $x - y = 0$ प्राप्त होता है।

(A) माना वृत्त $x^2 + y^2 = 5^2$ है। रेखा $AB$ परिधि को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करती है,इसलिए चाप $AB$ केंद्र $O$ पर $\frac{1}{3} \times 360^{\circ} = 120^{\circ}$ का कोण बनाता है।
अतः,$\angle AOB = 120^{\circ}$।
माना $M$,$AB$ का मध्यबिंदु है। तो $\angle AOM = 60^{\circ}$।
$\triangle OAM$ में,$OM = 5 \cos 60^{\circ} = \frac{5}{2}$ और $AM = 5 \sin 60^{\circ} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$।
चूंकि $ABCD$ एक आयत है,आयत की ऊंचाई जीवा $AB$ और स्पर्शरेखा $CD$ के बीच की दूरी है।
केंद्र $O$ से जीवा $AB$ की दूरी $OM = \frac{5}{2}$ है।
केंद्र $O$ से स्पर्शरेखा $CD$ की दूरी त्रिज्या $R = 5$ है।
अतः,आयत की ऊंचाई $AD = BC = 5 - \frac{5}{2} = \frac{5}{2}$ है।
$C$ की केंद्र से दूरी $OC = \sqrt{ON^2 + NC^2}$ है।
यहाँ $ON = 5$ (स्पर्शरेखा की दूरी) और $NC = \frac{AB}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}$ है।
$OC^2 = 5^2 + (\frac{5\sqrt{3}}{2})^2 = 25 + \frac{75}{4} = \frac{175}{4}$।
अतः,बिंदु पथ $x^2 + y^2 = \frac{175}{4}$ है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + (y - \frac{5}{3})^2 = 1$ है। केंद्र $C(0, \frac{5}{3})$ है।
वक्र $y^2 = x^3$ पर कोई बिंदु $D(t^2, t^3)$ है।
दूरी $CD = \sqrt{(t^2 - 0)^2 + (t^3 - \frac{5}{3})^2}$.
$t = 1$ पर,$CD = \sqrt{1^2 + (1 - \frac{5}{3})^2} = \sqrt{1 + \frac{4}{9}} = \frac{\sqrt{13}}{3}$.

(B) मान लीजिए चर वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
चूँकि यह $(4, 6)$ से गुजरता है,हमारे पास $16 + 36 + 8g + 12f + c = 0$,या $8g + 12f + c = -52$ है।
चूँकि यह वृत्त $x^2 + y^2 - 4x - 6y = 0$ को लंबकोणीय प्रतिच्छेद करता है,$2g(-2) + 2f(-3) = c + 0$,इसलिए $c = -4g - 6f$।
$c$ का मान पहले समीकरण में रखने पर: $8g + 12f - 4g - 6f = -52$,जो $4g + 6f = -52$ या $2g + 3f = -26$ में सरल हो जाता है।
चर वृत्त का केंद्र $(-g, -f)$ है। मान लीजिए यह $(x, y)$ है,इसलिए $g = -x$ और $f = -y$।
इन मानों को $2g + 3f = -26$ में रखने पर,हमें $2(-x) + 3(-y) = -26$ प्राप्त होता है,जो $2x + 3y = 26$ है।
यह बिंदु पथ $S = 0$ का समीकरण है।
मूल बिंदु $O(0, 0)$ से रेखा $2x + 3y - 26 = 0$ की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$d = \frac{|2(0) + 3(0) - 26|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = \frac{26}{\sqrt{13}} = 2\sqrt{13}$।

(C) माना मध्य-बिंदु $(h, k)$ है। मध्य-बिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $hx + ky = h^2 + k^2$ है।
जीवा के समीकरण का उपयोग करके वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ को समघातीय बनाने पर:
$x^2 + y^2 = 4 \left( \frac{hx + ky}{h^2 + k^2} \right)^2$.
चूंकि जीवा मूल बिंदु पर समकोण अंतरित करती है,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए।
$1 - \frac{4h^2}{(h^2 + k^2)^2} + 1 - \frac{4k^2}{(h^2 + k^2)^2} = 0$.
$2 - \frac{4(h^2 + k^2)}{(h^2 + k^2)^2} = 0$.
$2 - \frac{4}{h^2 + k^2} = 0$.
$h^2 + k^2 = 2$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $x^2 + y^2 = 2$ प्राप्त होता है।

(A) माना दो रेखाएँ $L_1: x + \sqrt{3}y - 1 = 0$ और $L_2: \sqrt{3}x - y - 2 = 0$ हैं।
इन रेखाओं की ढाल $m_1 = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ और $m_2 = \sqrt{3}$ है।
चूँकि $m_1 \times m_2 = -\frac{1}{\sqrt{3}} \times \sqrt{3} = -1$,इसलिए रेखाएँ एक-दूसरे के लंबवत हैं।
माना प्रतिच्छेदन बिंदु $R$ है। चूँकि रेखाएँ लंबवत हैं,इसलिए $R$ पर कोण $\theta = 90^{\circ}$ है।
वृत्त में,चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर उसी चाप द्वारा अंतरित कोण का दोगुना होता है।
अतः,चाप $PQ$ द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण $2 \times 90^{\circ} = 180^{\circ}$ है।

(B) वृत्त का दिया गया समीकरण $\frac{1}{2} (x^2 + y^2) + x \cos \theta + y \sin \theta - 4 = 0$ है।
$2$ से गुणा करने पर,$x^2 + y^2 + 2x \cos \theta + 2y \sin \theta - 8 = 0$ प्राप्त होता है।
वृत्त का मानक समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है,जहाँ केंद्र $(-g, -f)$ होता है।
गुणांकों की तुलना करने पर,$2g = 2 \cos \theta \implies g = \cos \theta$ और $2f = 2 \sin \theta \implies f = \sin \theta$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(h, k) = (-g, -f) = (-\cos \theta, -\sin \theta)$ है।
अतः,$h = -\cos \theta$ और $k = -\sin \theta$ है।
बिंदुपथ ज्ञात करने के लिए,$\theta$ का विलोपन करने पर: $h^2 + k^2 = (-\cos \theta)^2 + (-\sin \theta)^2 = \cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $x^2 + y^2 = 1$ प्राप्त होता है।

(A) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है।
चूंकि वृत्त $(0, 1)$ से गुजरता है,त्रिज्या $r$,$(h, k)$ और $(0, 1)$ के बीच की दूरी है,इसलिए $r^2 = h^2 + (k - 1)^2$ है।
चूंकि वृत्त रेखा $y - x = 0$ को स्पर्श करता है,त्रिज्या $r$,$(h, k)$ से रेखा $y - x = 0$ की लंबवत दूरी है,इसलिए $r = \frac{|k - h|}{\sqrt{2}}$ है।
$r^2$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$h^2 + (k - 1)^2 = \frac{(k - h)^2}{2}$
$2(h^2 + k^2 - 2k + 1) = k^2 + h^2 - 2hk$
$h^2 + k^2 + 2hk = 4k - 2$
$(h + k)^2 = 4k - 2$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदु पथ $(x + y)^2 = 4y - 2$ प्राप्त होता है।

(C) माना त्रिभुज $ABC$ का परिमाप $P$ है,जहाँ $P = AB + BC + CA = \text{अचर}$.
चूँकि आधार $BC$ स्थिर है,इसकी लंबाई $BC = k$ अचर है।
अतः,$AB + AC = P - BC = \text{अचर}$.
दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,उस बिंदु का बिंदु पथ जिसके दो स्थिर बिंदुओं (नाभियों $B$ और $C$) से दूरियों का योग अचर होता है,एक दीर्घवृत्त होता है।

(A) दी गई रेखाएँ:
$L_1: \sqrt{2}x - y + 4\sqrt{2}k = 0 \Rightarrow y = \sqrt{2}x + 4\sqrt{2}k \quad (i)$
$L_2: \sqrt{2}kx + ky - 4\sqrt{2} = 0 \quad (ii)$
$(i)$ से $y$ का मान $(ii)$ में रखने पर:
$\sqrt{2}kx + k(\sqrt{2}x + 4\sqrt{2}k) - 4\sqrt{2} = 0$
$2\sqrt{2}kx = 4\sqrt{2}(1 - k^2) \Rightarrow x = \frac{2(1 - k^2)}{k}$
इसी प्रकार,$y = \frac{2\sqrt{2}(1 + k^2)}{k}$
अतः,$(\frac{y}{4\sqrt{2}})^2 - (\frac{x}{4})^2 = 1$ प्राप्त होता है।
यह एक अतिपरवलय का समीकरण है,जिसमें अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a = 2(4\sqrt{2}) = 8\sqrt{2}$ है।

(D) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है और इसकी त्रिज्या $r$ है।
चूंकि वृत्त $x$-अक्ष पर $4a$ लंबाई की जीवा काटता है,केंद्र $(h, k)$ से $x$-अक्ष की दूरी $|k|$ है। जीवा के गुणधर्म से,$r^2 = k^2 + (2a)^2 = k^2 + 4a^2$ है।
चूंकि वृत्त $y$-अक्ष पर स्थित बिंदु $(0, 2b)$ से होकर गुजरता है,केंद्र $(h, k)$ से $(0, 2b)$ की दूरी $r$ है। अतः,$r^2 = (h - 0)^2 + (k - 2b)^2 = h^2 + (k - 2b)^2$ है।
$r^2$ के दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$k^2 + 4a^2 = h^2 + (k - 2b)^2$
$k^2 + 4a^2 = h^2 + k^2 - 4bk + 4b^2$
$h^2 = 4bk - 4b^2 + 4a^2$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदु पथ $x^2 = 4b(y - b + a^2/b)$ प्राप्त होता है,जो एक परवलय को दर्शाता है।

(B) माना मूल बिंदु $O(0,0)$ से रेखा $AB$ पर लंब का पाद $P(h, k)$ है।
चूंकि $OP \perp AB,$ $OP$ की ढाल $m_1 = \frac{k}{h}$ है।
अतः,$AB$ की ढाल $m_2 = -\frac{h}{k}$ है।
$P(h, k)$ से गुजरने वाली रेखा $AB$ का समीकरण $y - k = -\frac{h}{k}(x - h)$ है,जो $hx + ky = h^2 + k^2$ में सरल हो जाता है।
अक्षों पर इस रेखा के अंतःखंड $A\left(\frac{h^2 + k^2}{h}, 0\right)$ और $B\left(0, \frac{h^2 + k^2}{k}\right)$ हैं।
चूंकि $AB$ त्रिज्या $R$ वाले वृत्त की जीवा है और $\angle AOB = 90^\circ$ है,इसलिए $AB$ वृत्त का व्यास है।
अतः,लंबाई $AB = 2R.$
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए,$AB^2 = (2R)^2 = 4R^2.$
$\left(\frac{h^2 + k^2}{h}\right)^2 + \left(\frac{h^2 + k^2}{k}\right)^2 = 4R^2.$
$(h^2 + k^2)^2 \left(\frac{1}{h^2} + \frac{1}{k^2}\right) = 4R^2.$
$(h^2 + k^2)^2 \left(\frac{h^2 + k^2}{h^2k^2}\right) = 4R^2.$
$(h^2 + k^2)^3 = 4R^2h^2k^2.$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $(x^2 + y^2)^3 = 4R^2x^2y^2$ है।