Locus Related Problem Questions in Hindi

(C) माना दो वृत्त $S_1 = 0$ और $S_2 = 0$ हैं।
बिंदु $P(x, y)$ लें।
$P$ से $S_1 = 0$ पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई का वर्ग $t_1^2 = S_1$ है।
$P$ से $S_2 = 0$ पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई का वर्ग $t_2^2 = S_2$ है।
दिया गया है कि $t_1^2 - t_2^2 = k$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
अतः $S_1 - S_2 = k$ प्राप्त होता है।
यह $x$ और $y$ में प्रथम घात का समीकरण है,जो रेडिकल अक्ष $S_1 - S_2 = 0$ के समानांतर एक सरल रेखा को दर्शाता है।

(B) माना वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है। यह वृत्त दिए गए दोनों वृत्तों को लंबकोणीय रूप से काटता है।
दो वृत्तों $x^2 + y^2 + 2g_1x + 2f_1y + c_1 = 0$ और $x^2 + y^2 + 2g_2x + 2f_2y + c_2 = 0$ के लंबकोणीय होने की शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ है।
इस शर्त को हमारे वृत्त पर लागू करने पर:
$2gg_1 + 2ff_1 = c + c_1$ .... $(i)$
$2gg_2 + 2ff_2 = c + c_2$ .... $(ii)$
$(i)$ में से $(ii)$ को घटाने पर:
$2g(g_1 - g_2) + 2f(f_1 - f_2) = c_1 - c_2$
वृत्त का केंद्र $(-g, -f)$ है। माना केंद्र $(x, y)$ है,इसलिए $g = -x$ और $f = -y$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$2(-x)(g_1 - g_2) + 2(-y)(f_1 - f_2) = c_1 - c_2$
$-2x(g_1 - g_2) - 2y(f_1 - f_2) = c_1 - c_2$
$2x(g_1 - g_2) + 2y(f_1 - f_2) + c_1 - c_2 = 0$
यह दिए गए दोनों वृत्तों की मूल अक्ष (radical axis) का समीकरण है।

(D) माना वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ $(i)$ है।
यह वृत्त $x^2 + y^2 - 20x + 4 = 0$ को लंबकोणीय काटता है।
लंबकोणीयता की शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ के अनुसार,$2g(-10) + 2f(0) = c + 4$,जिससे $-20g = c + 4$ $(ii)$ प्राप्त होता है।
वृत्त $(i)$ रेखा $x = 2$ को स्पर्श करता है,अतः केंद्र $(-g, -f)$ से रेखा $x - 2 = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $\sqrt{g^2 + f^2 - c}$ के बराबर होगी।
$|(-g) - 2| = \sqrt{g^2 + f^2 - c} \Rightarrow (g + 2)^2 = g^2 + f^2 - c$.
$g^2 + 4g + 4 = g^2 + f^2 - c \Rightarrow 4g + 4 = f^2 - c$ $(iii)$.
$(ii)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर,$-20g + 4g + 4 = c + 4 + f^2 - c$.
$-16g + 4 = f^2 + 4 \Rightarrow f^2 = -16g$.
$(-g, -f)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,$g = -x$ और $f = -y$ प्राप्त होता है।
अतः,$(-y)^2 = -16(-x) \Rightarrow y^2 = 16x$।

(C) माना अभीष्ट वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
चूंकि यह वृत्त $x^2 + y^2 + 4x - 6y + 9 = 0$ को लंबकोणीय काटता है,हम शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ का उपयोग करते हैं:
$2g(2) + 2f(-3) = c + 9 \Rightarrow 4g - 6f = c + 9$ .....$(i)$
चूंकि यह $x^2 + y^2 - 4x + 6y + 4 = 0$ को भी लंबकोणीय काटता है:
$2g(-2) + 2f(3) = c + 4 \Rightarrow -4g + 6f = c + 4$ .....$(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर $0 = 2c + 13$ प्राप्त होता है,अतः $c = -\frac{13}{2}$।
$(i)$ से $(ii)$ को घटाने पर $8g - 12f = 5$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f)$ है। माना बिंदु पथ $(x, y)$ है,अतः $x = -g$ और $y = -f$,जिसका अर्थ है $g = -x$ और $f = -y$।
इन मानों को $8g - 12f = 5$ में प्रतिस्थापित करने पर $8(-x) - 12(-y) = 5$ प्राप्त होता है,जो $-8x + 12y = 5$ या $8x - 12y + 5 = 0$ में सरल हो जाता है।

(B) माना बिंदु $P$ $(x, y)$ है। वृत्त $S = x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ पर बिंदु $P(x, y)$ से खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई का वर्ग $S_1 = x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c$ द्वारा दिया जाता है।
स्पर्श रेखाओं की लंबाई के वर्गों का अनुपात $2 : 3$ दिया गया है:
$\frac{x^2 + y^2 + 2x - 4y - 20}{x^2 + y^2 - 4x + 2y - 44} = \frac{2}{3}$
$3(x^2 + y^2 + 2x - 4y - 20) = 2(x^2 + y^2 - 4x + 2y - 44)$
$3x^2 + 3y^2 + 6x - 12y - 60 = 2x^2 + 2y^2 - 8x + 4y - 88$
$x^2 + y^2 + 14x - 16y + 28 = 0$
इस समीकरण की तुलना वृत्त के व्यापक समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से करने पर,हमें $2g = 14 \Rightarrow g = 7$ और $2f = -16 \Rightarrow f = -8$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (-7, 8)$ है।

(B) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है और इसकी त्रिज्या $r$ है।
चूंकि वृत्त $x$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए त्रिज्या $r = |k|$ है।
यह वृत्त $(0, 3)$ केंद्र और $2$ त्रिज्या वाले वृत्त को भी स्पर्श करता है।
केंद्रों के बीच की दूरी त्रिज्याओं के योग के बराबर होती है: $\sqrt{(h - 0)^2 + (k - 3)^2} = r + 2$.
$r = |k|$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है: $\sqrt{h^2 + (k - 3)^2} = |k| + 2$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $h^2 + (k - 3)^2 = (|k| + 2)^2$.
$h^2 + k^2 - 6k + 9 = k^2 + 4|k| + 4$.
$h^2 = 4|k| + 6k + 5$.
यदि $k > 0$ है,तो $h^2 = 10k + 5 = 10(k + 0.5)$,जो एक परवलय को दर्शाता है।
अतः,केंद्र $(x, y)$ का बिंदुपथ $x^2 = 10y + 5$ है।

(B) दिए गए समीकरण $x = \frac{2at}{1 + t^2}$ और $y = \frac{a(1 - t^2)}{1 + t^2}$ हैं।
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर,हमें $x^2 + y^2 = a^2$ प्राप्त होता है।
यह मूल बिंदु पर केंद्रित $a$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है।

(B) माना $A = (a, 0)$,$B = (-a, 0)$,और $P = (x, y)$ है।
दी गई शर्त $\frac{PA}{PB} = k$ से,$\frac{PA^2}{PB^2} = k^2$ प्राप्त होता है।
निर्देशांक रखने पर,$\frac{(x - a)^2 + y^2}{(x + a)^2 + y^2} = k^2$।
$(x - a)^2 + y^2 = k^2((x + a)^2 + y^2)$।
$(x^2 - 2ax + a^2 + y^2) = k^2(x^2 + 2ax + a^2 + y^2)$।
$(x^2 + y^2)(1 - k^2) - 2ax(1 + k^2) + a^2(1 - k^2) = 0$।
यदि $k = 1$ है,तो समीकरण $-4ax = 0$ हो जाता है,जो एक सीधी रेखा (लंब समद्विभाजक) को दर्शाता है,वृत्त को नहीं।
इसलिए,बिंदु पथ के वृत्त होने के लिए $k$ का मान $1$ नहीं हो सकता है।

(B) माना वृत्त पर स्थित चर बिंदु $B(x_1, y_1)$ है। वृत्त के समीकरण के अनुसार ${x_1}^2 + {y_1}^2 = 4$ है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$AB$ को $3 : 2$ में विभाजित करने वाले बिंदु $P(h, k)$ के लिए:
$h = \frac{3x_1 - 2}{5} \implies x_1 = \frac{5h + 2}{3}$
$k = \frac{3y_1 + 2}{5} \implies y_1 = \frac{5k - 2}{3}$
इन मानों को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{5h + 2}{3})^2 + (\frac{5k - 2}{3})^2 = 4$
$25(h^2 + k^2) + 20(h - k) + 8 = 36$
$25(h^2 + k^2) + 20(h - k) - 28 = 0$
अतः,अभीष्ट बिंदुपथ $25(x^2 + y^2) + 20(x - y) - 28 = 0$ है।

(D) वृत्त का समीकरण ${x^2} + {y^2} + 4x - 6y + 9{\sin ^2}\alpha + 13{\cos ^2}\alpha = 0$ है।
केंद्र $C(-2, 3)$ और त्रिज्या $r = 2\sin \alpha$ है।
माना $P(h, k)$ बिंदुपथ पर कोई बिंदु है। $\triangle PAC$ में,$\sin \alpha = \frac{r}{PC} = \frac{2\sin \alpha}{\sqrt{(h + 2)^2 + (k - 3)^2}}$.
अतः,$\sqrt{(h + 2)^2 + (k - 3)^2} = 2$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(h + 2)^2 + (k - 3)^2 = 4$.
इस प्रकार,बिंदुपथ का समीकरण ${x^2} + {y^2} + 4x - 6y + 9 = 0$ है।

(B) माना बिंदु $M$ के निर्देशांक $(h, k)$ हैं।
दिया है $A = (0, 3)$ और $M = (h, k)$। $M$ जीवा $AB$ पर इस प्रकार स्थित है कि $AM = 2AB$,अतः $B$,$AM$ का मध्य-बिंदु है।
अतः,$B$ के निर्देशांक $\left( \frac{h}{2}, \frac{k+3}{2} \right)$ होंगे।
चूंकि $B$ वृत्त $x^2 + 4x + (y - 3)^2 = 0$ पर स्थित है,$B$ के निर्देशांकों को वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$\left( \frac{h}{2} \right)^2 + 4\left( \frac{h}{2} \right) + \left( \frac{k+3}{2} - 3 \right)^2 = 0$
$\Rightarrow \frac{h^2}{4} + 2h + \frac{(k-3)^2}{4} = 0$
$4$ से गुणा करने पर,$h^2 + 8h + (k-3)^2 = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $h^2 + k^2 + 8h - 6k + 9 = 0$ हो जाता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $x^2 + y^2 + 8x - 6y + 9 = 0$ है,जो एक वृत्त है।

(A) माना $(x', y')$ एक जीवा का मध्य बिंदु है।
वृत्त $x^2 + y^2 - 2x = 0$ के लिए $(x', y')$ मध्य बिंदु वाली जीवा का समीकरण $T = S_1$ द्वारा दिया जाता है।
$x x' + y y' - (x + x') = x'^2 + y'^2 - 2x'$
चूंकि जीवा मूल बिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरती है,इसलिए हम समीकरण में $x = 0$ और $y = 0$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$0 + 0 - (0 + x') = x'^2 + y'^2 - 2x'$
$-x' = x'^2 + y'^2 - 2x'$
$x'^2 + y'^2 - x' = 0$
$(x', y')$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $x^2 + y^2 - x = 0$ प्राप्त होता है,जो एक वृत्त को दर्शाता है।

(B) माना चर वृत्त का समीकरण ${x^2} + {y^2} + 2gx + 2fy + c = 0$ है $... (i)$।
चूंकि वृत्त $(i)$,वृत्त ${x^2} + {y^2} - 4 = 0$ को लंबकोणीय काटता है,इसलिए $2g(0) + 2f(0) = c - 4$,जिसका अर्थ है $c = 4$।
चूंकि वृत्त $(i)$,बिंदु $(a, b)$ से गुजरता है,इसलिए ${a^2} + {b^2} + 2ga + 2fb + 4 = 0$।
केंद्र $(-g, -f)$ का बिंदुपथ ज्ञात करने के लिए,$x = -g$ और $y = -f$ लें,जिससे $g = -x$ और $f = -y$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर,${a^2} + {b^2} + 2(-x)a + 2(-y)b + 4 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदुपथ $2ax + 2by - ({a^2} + {b^2} + 4) = 0$ है।

(C) वृत्त ${x^2} + {y^2} = {a^2}$ की $m$ ढाल वाली किसी भी स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm a\sqrt{1 + {m^2}}$ है।
यदि यह स्पर्श रेखा बिंदु $P(h, k)$ से गुजरती है,तो $(k - mh)^2 = {a^2}(1 + {m^2})$ होगा।
इसे सरल करने पर,${m^2}({h^2} - {a^2}) - 2mhk + ({k^2} - {a^2}) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $m = \tan \theta$,इस द्विघात समीकरण के मूल ${m_1} = \tan {\theta _1}$ और ${m_2} = \tan {\theta _2}$ हैं।
दिया गया है कि $\cot {\theta _1} + \cot {\theta _2} = c$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{{{m_1}}} + \frac{1}{{{m_2}}} = c$,यानी $\frac{{{m_1} + {m_2}}}{{{m_1}{m_2}}} = c$।
द्विघात समीकरण से,मूलों का योग ${m_1} + {m_2} = \frac{2hk}{{{h^2} - {a^2}}}$ और गुणनफल ${m_1}{m_2} = \frac{{{k^2} - {a^2}}}{{{h^2} - {a^2}}}$ है।
इन मानों को रखने पर,$\frac{2hk}{{{k^2} - {a^2}}} = c$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $c({k^2} - {a^2}) = 2hk$ मिलता है।
अतः,$P$ का बिंदुपथ $c({y^2} - {a^2}) = 2xy$ है।

(A) माना कि गतिमान बिंदु $P(h, k)$ है।
बिंदु $P(h, k)$ की बिंदु $(a, 0)$ से दूरी $\sqrt{(h - a)^2 + (k - 0)^2}$ है।
बिंदु $P(h, k)$ की $y$-अक्ष (रेखा $x = 0$) से दूरी $|h|$ है।
प्रश्न के अनुसार,ये दूरियाँ समान हैं:
$\sqrt{(h - a)^2 + k^2} = |h|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(h - a)^2 + k^2 = h^2$
$h^2 - 2ah + a^2 + k^2 = h^2$
$-2ah + a^2 + k^2 = 0$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदु पथ का समीकरण है:
$y^2 - 2ax + a^2 = 0$।

(C) मान लीजिए कि दो निश्चित सीधी रेखाएँ $x$ और $y$ अक्ष हैं। मान लीजिए कि छड़ की लंबाई $L = a + b$ है,जहाँ $a$ और $b$ बिंदु $P(h, k)$ द्वारा विभाजित छड़ के खंड हैं।
जब छड़ $x$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाती है,तो बिंदु $P$ के निर्देशांक $h = a \cos \theta$ और $k = b \sin \theta$ द्वारा दिए जाते हैं।
इनसे,हमें $\cos \theta = \frac{h}{a}$ और $\sin \theta = \frac{k}{b}$ प्राप्त होता है।
$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{h^2}{a^2} + \frac{k^2}{b^2} = 1$.
यह एक दीर्घवृत्त का समीकरण है।

(C) माना कि दिए गए दो वृत्तों के केंद्र $C_1$ और $C_2$ हैं और त्रिज्याएँ क्रमशः $r_1$ और $r_2$ हैं।
माना कि केंद्र $P(x, y)$ और त्रिज्या $r$ वाला वृत्त इन दो वृत्तों को बाह्य रूप से स्पर्श करता है।
तब,दूरी $PC_1 = r + r_1$ और $PC_2 = r + r_2$ होगी।
इन समीकरणों को घटाने पर,हमें $PC_1 - PC_2 = (r + r_1) - (r + r_2) = r_1 - r_2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $r_1$ और $r_2$ अचर हैं,इसलिए $PC_1 - PC_2$ एक अचर है।
किसी ऐसे बिंदु का बिंदु पथ जिसका दो निश्चित बिंदुओं (नाभियों) से दूरियों का अंतर अचर होता है,वह एक अतिपरवलय होता है।

(C) यदि समीकरण $f(x, y) = 0$ में $x$ को $-x$ और $y$ को $-y$ से बदलने पर कोई परिवर्तन नहीं होता है,तो $f(-x, -y) = f(x, y) = 0$ होता है।
यह स्थिति दर्शाती है कि वक्र पर स्थित प्रत्येक बिंदु $(x, y)$ के लिए,बिंदु $(-x, -y)$ भी वक्र पर स्थित होता है।
इस ज्यामितीय गुण को मूलबिंदु के सापेक्ष सममिति या विपरीत चतुर्थांशों में सममिति के रूप में जाना जाता है।

(B) वृत्त का दिया गया समीकरण $(x - 1)^2 + y^2 = 1$ है,जिसे सरल करने पर $x^2 + y^2 - 2x = 0$ प्राप्त होता है।
माना जीवा का मध्य बिंदु $(h, k)$ है।
मध्य बिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $T = S_1$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$T = xh + yk - (x + h)$ और $S_1 = h^2 + k^2 - 2h$ है।
अतः,जीवा का समीकरण $xh + yk - x - h = h^2 + k^2 - 2h$ है।
चूंकि यह जीवा मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरती है,इसलिए समीकरण में $x = 0$ और $y = 0$ रखने पर:
$0(h) + 0(k) - 0 - h = h^2 + k^2 - 2h$.
$-h = h^2 + k^2 - 2h$.
$h^2 + k^2 = h$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदु पथ का समीकरण $x^2 + y^2 = x$ प्राप्त होता है।

(D) माना $S = (x, y)$ है। दिया गया संबंध $SQ^2 + SR^2 = 2SP^2$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर:
$((x + 1)^2 + y^2) + ((x - 2)^2 + y^2) = 2((x - 1)^2 + y^2)$
पदों का विस्तार करने पर:
$(x^2 + 2x + 1 + y^2) + (x^2 - 4x + 4 + y^2) = 2(x^2 - 2x + 1 + y^2)$
$2x^2 - 2x + 5 + 2y^2 = 2x^2 - 4x + 2 + 2y^2$
दोनों पक्षों से $2x^2 + 2y^2$ घटाने पर:
$-2x + 5 = -4x + 2$
$2x = -3$
$x = -\frac{3}{2}$
यह $y$-अक्ष के समांतर एक सीधी रेखा को दर्शाता है।

(D) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है और इसकी त्रिज्या $r$ है। चूंकि वृत्त $X$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए $r = |k|$.
केंद्रों $(h, k)$ और $(0, 3)$ के बीच की दूरी $\sqrt{h^2 + (k - 3)^2}$ है।
चूंकि वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,इसलिए उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होती है: $\sqrt{h^2 + (k - 3)^2} = |k| + 2$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $h^2 + (k - 3)^2 = (|k| + 2)^2$.
$h^2 + k^2 - 6k + 9 = k^2 + 4|k| + 4$.
$h^2 = 4|k| + 6k - 4$.
यदि $k > 0$ है,तो $h^2 = 10k - 4 = 10(k - 0.4)$.
यह एक परवलय को दर्शाता है।

(A) एक वृत्त के लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के बिंदुपथ को निर्देशक वृत्त (director circle) कहा जाता है।
वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ के लिए,निर्देशक वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 2r^2$ होता है।
यहाँ,दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 = 8$ है,इसलिए $r^2 = 8$ है।
निर्देशक वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 2(8) = 16$ होगा।
हमें दिया गया है कि बिंदु रेखा $x = 3$ पर स्थित है।
निर्देशक वृत्त के समीकरण में $x = 3$ रखने पर:
$(3)^2 + y^2 = 16$
$9 + y^2 = 16$
$y^2 = 7$
$y = \pm \sqrt{7}$
अतः,बिंदु $(3, \sqrt{7})$ और $(3, -\sqrt{7})$ हैं।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $A$ सही है।

(C) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
चूंकि यह $(1, 2)$ से गुजरता है,इसलिए $1^2 + 2^2 + 2g(1) + 2f(2) + c = 0$,अर्थात $2g + 4f + c + 5 = 0$ है।
चूंकि वृत्त $x^2 + y^2 - 4 = 0$ को लंबकोणीय काटता है,शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ के अनुसार $2g(0) + 2f(0) = c - 4$ प्राप्त होता है,जिससे $c = 4$ मिलता है।
$c = 4$ का मान रखने पर,$2g + 4f + 4 + 5 = 0$,अर्थात $2g + 4f + 9 = 0$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(-g, -f)$ को $(x, y)$ मानने पर,$g = -x$ और $f = -y$ होता है।
अतः,$2(-x) + 4(-y) + 9 = 0$,जिससे $2x + 4y - 9 = 0$ अभीष्ट बिंदु पथ है।

(C) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिया गया है $A = (c, 0)$ और $B = (-c, 0)$।
$PA^{2} = (x - c)^{2} + (y - 0)^{2} = x^{2} - 2cx + c^{2} + y^{2}$।
$PB^{2} = (x + c)^{2} + (y - 0)^{2} = x^{2} + 2cx + c^{2} + y^{2}$।
$AB^{2} = (c - (-c))^{2} + (0 - 0)^{2} = (2c)^{2} = 4c^{2}$।
शर्त $PA^{2} + PB^{2} = AB^{2}$ के अनुसार:
$(x^{2} - 2cx + c^{2} + y^{2}) + (x^{2} + 2cx + c^{2} + y^{2}) = 4c^{2}$।
$2x^{2} + 2y^{2} + 2c^{2} = 4c^{2}$।
$2x^{2} + 2y^{2} = 2c^{2}$।
$2$ से भाग देने पर,हमें $x^{2} + y^{2} = c^{2}$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्त $x^{2} + y^{2} = 4$ के केंद्र पर अंतरित कोण $= 2 \times 45^{\circ} = 90^{\circ}$ है।
माना जीवा $AB$ का मध्य-बिंदु $(h, k)$ है। जीवा $AB$ का समीकरण $T = S_1$ के अनुसार:
$hx + ky - 4 = h^{2} + k^{2} - 4$
$hx + ky = h^{2} + k^{2}$
$\Rightarrow \frac{hx + ky}{h^{2} + k^{2}} = 1$
इस रेखा का उपयोग करके वृत्त के समीकरण $x^{2} + y^{2} - 4 = 0$ को समघातीय बनाने पर:
$x^{2} + y^{2} - 4 \left( \frac{hx + ky}{h^{2} + k^{2}} \right)^{2} = 0$
यह रेखाओं $OA$ और $OB$ का संयुक्त समीकरण है। चूंकि केंद्र पर कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए रेखाएं $OA$ और $OB$ परस्पर लंबवत हैं।
लंबवत रेखाओं के लिए,$x^{2}$ और $y^{2}$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$(1 - \frac{4h^{2}}{(h^{2} + k^{2})^{2}}) + (1 - \frac{4k^{2}}{(h^{2} + k^{2})^{2}}) = 0$
$2 - \frac{4(h^{2} + k^{2})}{(h^{2} + k^{2})^{2}} = 0$
$2 - \frac{4}{h^{2} + k^{2}} = 0$
$h^{2} + k^{2} = 2$
अतः,बिंदुपथ $x^{2} + y^{2} = 2$ है।

(A) माना सिरों से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
$a$ लंबाई की छड़ $x$-अक्ष पर है,इसलिए $x$-अक्ष पर अंतःखंड की लंबाई $2\sqrt{g^2 - c} = a$ है,जिसका अर्थ है $4(g^2 - c) = a^2$।
$b$ लंबाई की छड़ $y$-अक्ष पर है,इसलिए $y$-अक्ष पर अंतःखंड की लंबाई $2\sqrt{f^2 - c} = b$ है,जिसका अर्थ है $4(f^2 - c) = b^2$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $4(g^2 - f^2) = a^2 - b^2$।
चूंकि वृत्त का केंद्र $(h, k) = (-g, -f)$ है,इसलिए $g = -h$ और $f = -k$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $4((-h)^2 - (-k)^2) = a^2 - b^2$,जो $4(h^2 - k^2) = a^2 - b^2$ में सरल हो जाता है।
अतः,केंद्र $(h, k)$ का बिंदुपथ $4(x^2 - y^2) = a^2 - b^2$ है।

(A) माना बिंदु $P(x, y)$ है।
प्रश्न के अनुसार,$P$ की $(0, -1)$ से दूरी,रेखा $3x + 4y + 1 = 0$ से उसकी दूरी की दोगुनी है।
$\sqrt{(x - 0)^2 + (y + 1)^2} = 2 \times \frac{|3x + 4y + 1|}{\sqrt{3^2 + 4^2}}$
$\sqrt{x^2 + (y + 1)^2} = 2 \times \frac{|3x + 4y + 1|}{5}$
$5\sqrt{x^2 + y^2 + 2y + 1} = 2|3x + 4y + 1|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$25(x^2 + y^2 + 2y + 1) = 4(3x + 4y + 1)^2$
$25(x^2 + y^2 + 2y + 1) = 4(9x^2 + 16y^2 + 1 + 24xy + 6x + 8y)$
$25x^2 + 25y^2 + 50y + 25 = 36x^2 + 64y^2 + 4 + 96xy + 24x + 32y$
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$(36 - 25)x^2 + (64 - 25)y^2 + 96xy + 24x + (32 - 50)y + (4 - 25) = 0$
$11x^2 + 39y^2 + 96xy + 24x - 18y - 21 = 0$

(A) माना $P(h, k)$ चर बिंदु है और $A(-5, 1)$ तथा $B(3, 2)$ दिए गए बिंदु हैं।
दी गई शर्त के अनुसार,$\angle APB = 90^{\circ}$ है।
इसका अर्थ है कि बिंदु $P$,$AB$ को व्यास मानकर खींचे गए वृत्त पर स्थित है।
व्यास के अंत बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ होता है।
$A$ और $B$ के निर्देशांक प्रतिस्थापित करने पर:
$(x - (-5))(x - 3) + (y - 1)(y - 2) = 0$
$(x + 5)(x - 3) + (y - 1)(y - 2) = 0$
$x^{2} + 2x - 15 + y^{2} - 3y + 2 = 0$
$x^{2} + y^{2} + 2x - 3y - 13 = 0$
अतः,$P(h, k)$ का बिंदुपथ $x^{2} + y^{2} + 2x - 3y - 13 = 0$ है।

(A) माना व्यास का दूसरा सिरा $B(\alpha, \beta)$ है।
$AB$ को व्यास मानकर वृत्त का समीकरण:
$(x - p)(x - \alpha) + (y - q)(y - \beta) = 0$
$x^{2} + y^{2} - (p + \alpha)x - (q + \beta)y + p\alpha + q\beta = 0$ ... $(i)$
चूंकि वृत्त $x$-अक्ष को स्पर्श करता है,$y = 0$ रखने पर:
$x^{2} - (p + \alpha)x + (p\alpha + q\beta) = 0$
स्पर्श करने के लिए विविक्तकर $D = 0$:
$(p + \alpha)^{2} - 4(p\alpha + q\beta) = 0$
$p^{2} + 2p\alpha + \alpha^{2} - 4p\alpha - 4q\beta = 0$
$(p - \alpha)^{2} = 4q\beta$
$(\alpha, \beta)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $(x - p)^{2} = 4qy$ प्राप्त होता है।

(D) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दी गई शर्त $2PA = 3PB$ के अनुसार,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $4PA^{2} = 9PB^{2}$ प्राप्त होता है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,$PA^{2} = x^{2} + y^{2}$ और $PB^{2} = (x - 4)^{2} + (y + 3)^{2}$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $4(x^{2} + y^{2}) = 9[(x - 4)^{2} + (y + 3)^{2}]$.
पदों का विस्तार करने पर: $4x^{2} + 4y^{2} = 9[x^{2} - 8x + 16 + y^{2} + 6y + 9]$.
$4x^{2} + 4y^{2} = 9x^{2} - 72x + 144 + 9y^{2} + 54y + 81$.
सभी पदों को एक तरफ लाने पर: $5x^{2} + 5y^{2} - 72x + 54y + 225 = 0$.
अतः,बिंदु $P$ का बिंदुपथ $5x^{2} + 5y^{2} - 72x + 54y + 225 = 0$ है।

(D) माना अभीष्ट वृत्त का केंद्र $C_1 = (h, k)$ है। चूंकि यह $y$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसकी त्रिज्या $r_1 = |h|$ है।
दिए गए वृत्त $x^{2} + y^{2} - 6x - 6y + 14 = 0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (3, 3)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{3^{2} + 3^{2} - 14} = 2$ है।
चूंकि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,इसलिए केंद्रों के बीच की दूरी $C_1 C_2 = r_1 + r_2$ है।
$\sqrt{(h - 3)^{2} + (k - 3)^{2}} = |h| + 2$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(h - 3)^{2} + (k - 3)^{2} = (|h| + 2)^{2}$.
$h^{2} - 6h + 9 + k^{2} - 6k + 9 = h^{2} + 4|h| + 4$.
$k^{2} - 6k + 14 = 6h + 4|h|$.
यदि $h > 0$ है,तो $k^{2} - 6k + 14 = 10h$.
अतः,बिंदु पथ $y^{2} - 10x - 6y + 14 = 0$ है।

(B) माना चर वृत्त का समीकरण $x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + c = 0$ है ... $(i)$.
चूंकि वृत्त $(i)$,वृत्त $x^{2} + y^{2} - 4 = 0$ को लंबकोणीय काटता है,इसलिए शर्त $2g_{1}g_{2} + 2f_{1}f_{2} = c_{1} + c_{2}$ लागू होती है।
यहाँ,$g_{2} = 0, f_{2} = 0, c_{2} = -4$ है।
अतः,$2g(0) + 2f(0) = c - 4$,जिससे $c = 4$ प्राप्त होता है।
चूंकि वृत्त बिंदु $(a, b)$ से गुजरता है,इसलिए $a^{2} + b^{2} + 2ga + 2fb + 4 = 0$ है।
केंद्र $(-g, -f)$ का बिंदुपथ ज्ञात करने के लिए,$x = -g$ और $y = -f$ लें,अर्थात $g = -x$ और $f = -y$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $a^{2} + b^{2} + 2(-x)a + 2(-y)b + 4 = 0$।
यह $a^{2} + b^{2} - 2ax - 2by + 4 = 0$ में सरल हो जाता है,या $2ax + 2by - (a^{2} + b^{2} + 4) = 0$।

(A) माना वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ की जीवा $AB$ का मध्य-बिंदु $P(h, k)$ है।
केंद्र $(0, 0)$ से जीवा की दूरी $d = \sqrt{h^2 + k^2}$ है।
समकोण त्रिभुज की ज्यामिति के अनुसार,केंद्र से जीवा की दूरी $d = a \cos(45^\circ) = \frac{a}{\sqrt{2}}$ होती है।
अतः,$\sqrt{h^2 + k^2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$h^2 + k^2 = \frac{a^2}{2}$.
इस प्रकार,$2(h^2 + k^2) = a^2$ या $2(h^2 + k^2) - a^2 = 0$.
अतः,बिंदुपथ $2(x^2 + y^2) - a^2 = 0$ है।

(C) मान लीजिए $AB$ वृत्त की एक जीवा है जो केंद्र $C(0, 0)$ पर $\frac{2\pi}{3}$ का कोण अंतरित करती है।
मान लीजिए $D$ जीवा $AB$ का मध्यबिंदु है। अतः $CD \perp AB$.
$\Delta ACD$ में,$\angle ACD = \frac{1}{2} \angle ACB = \frac{1}{2} \times \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.
वृत्त की त्रिज्या $CA = 3$ है।
मान लीजिए मध्यबिंदु $D$ के निर्देशांक $(h, k)$ हैं। अतः $CD = \sqrt{h^2 + k^2}$.
समकोण त्रिभुज $\Delta ACD$ में,$\cos(\angle ACD) = \frac{CD}{CA}$.
$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{h^2 + k^2}}{3}$.
$\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{h^2 + k^2}}{3}$.
$\sqrt{h^2 + k^2} = \frac{3}{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$h^2 + k^2 = \frac{9}{4}$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ का समीकरण $x^2 + y^2 = \frac{9}{4}$ प्राप्त होता है।

(C) अतिपरवलय $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ के लिए स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx \pm \sqrt{16m^2 - 9} \dots (i)$ है।
माना $(x_1, y_1)$ वृत्त $x^2 + y^2 = 16$ की जीवा का मध्य-बिंदु है,तो जीवा का समीकरण $T = S_1$ के अनुसार $xx_1 + yy_1 = x_1^2 + y_1^2 \dots (ii)$ होगा।
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,$m = -\frac{x_1}{y_1}$ और $\sqrt{16m^2 - 9} = \frac{x_1^2 + y_1^2}{y_1}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$16m^2 - 9 = \frac{(x_1^2 + y_1^2)^2}{y_1^2}$.
$m$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,$16\left(-\frac{x_1}{y_1}\right)^2 - 9 = \frac{(x_1^2 + y_1^2)^2}{y_1^2}$.
अतः,अभीष्ट बिंदुपथ $(x^2 + y^2)^2 = 16x^2 - 9y^2$ है।

(D) वृत्त $x^2 + y^2 + 4x - 6y + 9\sin^2\alpha + 13\cos^2\alpha = 0$ का केंद्र $C(-2, 3)$ है।
इसकी त्रिज्या $r = \sqrt{(-2)^2 + (3)^2 - (9\sin^2\alpha + 13\cos^2\alpha)} = \sqrt{4 + 9 - 9\sin^2\alpha - 13\cos^2\alpha} = \sqrt{13 - 9\sin^2\alpha - 13\cos^2\alpha} = \sqrt{13\sin^2\alpha - 9\sin^2\alpha} = \sqrt{4\sin^2\alpha} = 2\sin\alpha$ है।
माना $P(h, k)$ बिंदु है। स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $2\alpha$ है,इसलिए रेखा $PC$ और स्पर्श रेखा के बीच का कोण $\alpha$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle PAC$ में,$\sin\alpha = \frac{AC}{PC} = \frac{r}{PC}$।
अतः,$\sin\alpha = \frac{2\sin\alpha}{\sqrt{(h+2)^2 + (k-3)^2}}$।
इससे $\sqrt{(h+2)^2 + (k-3)^2} = 2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(h+2)^2 + (k-3)^2 = 4$।
विस्तार करने पर,$h^2 + 4h + 4 + k^2 - 6k + 9 = 4$।
$h^2 + k^2 + 4h - 6k + 9 = 0$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदु पथ का समीकरण $x^2 + y^2 + 4x - 6y + 9 = 0$ है।

(A) माना तीसरा शीर्ष $P(x, y)$ है।
चूंकि यह एक समकोण त्रिभुज है जिसके कर्ण के बिंदु $(2, 0)$ और $(0, 2)$ हैं,इसलिए शीर्ष $P$ पर कोण $90^{\circ}$ होगा।
$P$ पर मिलने वाली दो भुजाओं की प्रवणता (slopes) का गुणनफल $-1$ होना चाहिए।
प्रवणता $m_1 = \frac{y - 0}{x - 2} = \frac{y}{x - 2}$.
प्रवणता $m_2 = \frac{y - 2}{x - 0} = \frac{y - 2}{x}$.
$m_1 \times m_2 = -1$ रखने पर:
$\frac{y}{x - 2} \times \frac{y - 2}{x} = -1$
$y(y - 2) = -x(x - 2)$
$y^2 - 2y = -x^2 + 2x$
$x^2 + y^2 - 2x - 2y = 0$.

(D) माना बिंदु $P(x, y)$ है।
बिंदु $P(x, y)$ की $X$-अक्ष से दूरी $|y|$ है।
बिंदु $P(x, y)$ की $Y$-अक्ष से दूरी $|x|$ है।
प्रश्न के अनुसार,इन दूरियों के वर्गों का योग $4$ है।
अतः,$|x|^2 + |y|^2 = 4$।
यह समीकरण $x^2 + y^2 = 4$ में सरल हो जाता है।

(D) माना बिंदु $(h, k)$ है।
दिया गया अनुपात $\frac{1}{3}$ है:
$\frac{\sqrt{(h-1)^2 + k^2}}{\sqrt{(h+1)^2 + k^2}} = \frac{1}{3}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$9((h-1)^2 + k^2) = (h+1)^2 + k^2$
$9(h^2 - 2h + 1 + k^2) = h^2 + 2h + 1 + k^2$
$9h^2 - 18h + 9 + 9k^2 = h^2 + 2h + 1 + k^2$
$8h^2 + 8k^2 - 20h + 8 = 0$
$8$ से भाग देने पर:
$h^2 + k^2 - \frac{5}{2}h + 1 = 0$
$h$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$(h^2 - \frac{5}{2}h + \frac{25}{16}) + k^2 = \frac{25}{16} - 1$
$(h - \frac{5}{4})^2 + k^2 = \frac{9}{16} = (\frac{3}{4})^2$
यह एक वृत्त का समीकरण है जिसका केंद्र $(\frac{5}{4}, 0)$ और त्रिज्या $\frac{3}{4}$ है।
चूंकि बिंदु $A, B$ और $C$ इस वृत्त पर स्थित हैं,इसलिए त्रिभुज $ABC$ इस वृत्त के भीतर है।
किसी वृत्त के भीतर स्थित त्रिभुज का परिकेंद्र उस वृत्त का केंद्र ही होता है।
अतः,परिकेंद्र $(\frac{5}{4}, 0)$ है।

(B) दिया गया है कि बिंदु $P$ के निर्देशांक $x = \cos \theta + \sin \theta$ और $y = \sin \theta - \cos \theta$ हैं।
बिंदुपथ ज्ञात करने के लिए,हम $x$ और $y$ के व्यंजकों का वर्ग करके और उन्हें जोड़कर प्राचल $\theta$ को विलुप्त करते हैं:
$x^2 + y^2 = (\cos \theta + \sin \theta)^2 + (\sin \theta - \cos \theta)^2$
वर्गों का विस्तार करने पर:
$x^2 + y^2 = (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta) + (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta)$
सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$x^2 + y^2 = (1 + 2 \sin \theta \cos \theta) + (1 - 2 \sin \theta \cos \theta)$
व्यंजक को सरल करने पर:
$x^2 + y^2 = 1 + 1 = 2$
अतः,$P$ का बिंदुपथ $x^2 + y^2 = 2$ है।

(C) दिया गया समीकरण $PF_1 + PF_2 = 2a$ के रूप में है,जहाँ $P = (x, y)$,$F_1 = (2, -1)$,और $F_2 = (-2, -4)$ है।
सबसे पहले,दो निश्चित बिंदुओं $F_1$ और $F_2$ के बीच की दूरी ज्ञात करें:
$d = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-1 - (-4))^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
यहाँ,बिंदु $P$ से दो निश्चित बिंदुओं $F_1$ और $F_2$ तक की दूरियों का योग उन दो निश्चित बिंदुओं के बीच की दूरी के बराबर है $(PF_1 + PF_2 = F_1F_2 = 5)$।
जब किसी बिंदु से दो निश्चित बिंदुओं तक की दूरियों का योग उन निश्चित बिंदुओं के बीच की दूरी के बराबर होता है,तो बिंदु $P$ का बिंदुपथ उन दो निश्चित बिंदुओं $F_1$ और $F_2$ को जोड़ने वाला रेखाखंड होता है।
अतः,यह समीकरण एक रेखाखंड को दर्शाता है।

(B) मान लीजिए $P = (x, y)$ है। शर्त $PA = nPB$ का अर्थ है $PA^2 = n^2 PB^2$।
$(x - a)^2 + y^2 = n^2((x + a)^2 + y^2)$।
$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = n^2(x^2 + 2ax + a^2 + y^2)$।
$(n^2 - 1)x^2 + (n^2 - 1)y^2 + 2ax(n^2 + 1) + a^2(n^2 - 1) = 0$।
$(n^2 - 1)$ से विभाजित करने पर,$x^2 + y^2 + 2ax \frac{n^2 + 1}{n^2 - 1} + a^2 = 0$ प्राप्त होता है।
यह एक वृत्त का समीकरण है जिसका केंद्र $C = (-a \frac{n^2 + 1}{n^2 - 1}, 0)$ और त्रिज्या $r = |\frac{2an}{n^2 - 1}|$ है।
चूंकि $a < 0$ है,$n > 1$ के लिए बिंदु $B$ वृत्त के अंदर और $A$ वृत्त के बाहर स्थित है।

(A) माना बिंदु $P$ $(h, k)$ है।
$P(h, k)$ से वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ पर स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण $SS_1 = T^2$ द्वारा दिया जाता है।
$(x^2 + y^2 - a^2)(h^2 + k^2 - a^2) = (xh + yk - a^2)^2$.
इसका विस्तार करने पर,$x^2$ का गुणांक $(h^2 + k^2 - a^2) - h^2 = k^2 - a^2$ है।
$y^2$ का गुणांक $(h^2 + k^2 - a^2) - k^2 = h^2 - a^2$ है।
चूंकि स्पर्श रेखाएँ लंबवत हैं,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए।
$(k^2 - a^2) + (h^2 - a^2) = 0 \implies h^2 + k^2 = 2a^2$.
हालाँकि,प्रश्न के अनुसार पहले वृत्त की स्पर्श रेखाएँ दूसरे वृत्त की स्पर्श रेखाओं के लंबवत हैं,इसलिए $P$ का बिंदुपथ $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ होगा।

(A) माना स्पर्श जीवा का मध्य बिंदु $(h, k)$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 = 9$ के लिए मध्य बिंदु $(h, k)$ वाली स्पर्श जीवा का समीकरण $hx + ky = h^2 + k^2$ है ... $(1)$.
रेखा $4x - 5y = 20$ पर एक बिंदु $P(\alpha, \beta)$ लीजिए,जहाँ $4\alpha - 5\beta = 20$,अतः $\beta = \frac{4\alpha - 20}{5}$.
बिंदु $P(\alpha, \beta)$ से वृत्त $x^2 + y^2 = 9$ पर स्पर्श जीवा का समीकरण $\alpha x + \beta y = 9$ है ... $(2)$.
$(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,$\frac{h}{\alpha} = \frac{k}{\beta} = \frac{h^2 + k^2}{9}$.
अतः,$\alpha = \frac{9h}{h^2 + k^2}$ और $\beta = \frac{9k}{h^2 + k^2}$.
इन मानों को रेखा के समीकरण $4\alpha - 5\beta = 20$ में रखने पर:
$4\left(\frac{9h}{h^2 + k^2}\right) - 5\left(\frac{9k}{h^2 + k^2}\right) = 20$.
$36h - 45k = 20(h^2 + k^2)$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,अभीष्ट बिंदुपथ $20(x^2 + y^2) - 36x + 45y = 0$ है।

(B) माना बिंदु $A(5, 0)$ और $B(10 \cos \theta, 10 \sin \theta)$ हैं।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$AB$ को $2 : 3$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु $P(x, y)$ के निर्देशांक हैं:
$x = \frac{2(10 \cos \theta) + 3(5)}{2 + 3} = \frac{20 \cos \theta + 15}{5} = 4 \cos \theta + 3$
$y = \frac{2(10 \sin \theta) + 3(0)}{2 + 3} = \frac{20 \sin \theta}{5} = 4 \sin \theta$
इन समीकरणों से:
$x - 3 = 4 \cos \theta \implies \cos \theta = \frac{x - 3}{4}$
$y = 4 \sin \theta \implies \sin \theta = \frac{y}{4}$
सर्वसमिका $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$(\frac{x - 3}{4})^2 + (\frac{y}{4})^2 = 1$
$(x - 3)^2 + y^2 = 16$
यह केंद्र $(3, 0)$ और त्रिज्या $4$ वाले एक वृत्त का समीकरण है।

(A) माना बिंदु $P$ $(h, k)$ है।
चूँकि स्पर्श रेखाएँ लंबवत हैं,उनके बीच का कोण $90^{\circ}$ है।
एक वृत्त की दो लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ 'निर्देशक वृत्त' (director circle) कहलाता है।
वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ के लिए,त्रिज्या $a$ है और केंद्र $(0, 0)$ है।
केंद्र $(0, 0)$ से बिंदु $P(h, k)$ की दूरी $\sqrt{h^2 + k^2}$ है।
केंद्र,स्पर्श बिंदु और $P$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,दूरी $PC = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$ होती है।
अतः,$\sqrt{h^2 + k^2} = a\sqrt{2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$h^2 + k^2 = 2a^2$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ का समीकरण $x^2 + y^2 = 2a^2$ है।

(B) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिया है $PA = nPB$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $PA^2 = n^2 PB^2$ प्राप्त होता है।
निर्देशांक प्रतिस्थापित करने पर,$(x - a)^2 + (y - 0)^2 = n^2 ((x + a)^2 + (y - 0)^2)$ प्राप्त होता है।
पदों का विस्तार करने पर: $x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = n^2 (x^2 + 2ax + a^2 + y^2)$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^2(1 - n^2) + y^2(1 - n^2) - 2ax(1 + n^2) + a^2(1 - n^2) = 0$।
चूंकि $|n| \neq 1$,इसलिए $1 - n^2 \neq 0$ है। $(1 - n^2)$ से भाग देने पर,$x^2 + y^2 - 2ax \frac{1 + n^2}{1 - n^2} + a^2 = 0$ प्राप्त होता है।
यह $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के रूप का एक वृत्त का समीकरण है।

(A) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 + 4x - 2y - 4 = 0$ है।
$x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$g = 2, f = -1, c = -4$ प्राप्त होता है।
केंद्र $C(-g, -f) = (-2, 1)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{4 + 1 - (-4)} = \sqrt{9} = 3$ है।
माना $P(h, k)$ बिंदुपथ पर एक बिंदु है। स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए केंद्र और $P$ को जोड़ने वाली रेखा और त्रिज्या के बीच का कोण $30^{\circ}$ होगा।
समकोण त्रिभुज में,$\sin(30^{\circ}) = \frac{r}{CP}$।
$\frac{1}{2} = \frac{3}{CP} \implies CP = 6$।
$CP^2 = 36$।
$(h + 2)^2 + (k - 1)^2 = 36$।
$h^2 + 4h + 4 + k^2 - 2k + 1 = 36$।
$h^2 + k^2 + 4h - 2k - 31 = 0$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $x^2 + y^2 + 4x - 2y - 31 = 0$ है।