Locus Related Problem Questions in Hindi

(B) माना $Q = (3 \cos \theta, 3 \sin \theta)$ वृत्त $x^2+y^2=9$ पर एक बिंदु है।
माना $P = (h, k)$ वह बिंदु है जो रेखाखंड $QA$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$P$ के निर्देशांक हैं:
$h = \frac{1(4) + 2(3 \cos \theta)}{1+2} = \frac{4 + 6 \cos \theta}{3}$
$k = \frac{1(4) + 2(3 \sin \theta)}{1+2} = \frac{4 + 6 \sin \theta}{3}$
इन समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$3h - 4 = 6 \cos \theta$
$3k - 4 = 6 \sin \theta$
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(3h - 4)^2 + (3k - 4)^2 = (6 \cos \theta)^2 + (6 \sin \theta)^2$
$9(h - \frac{4}{3})^2 + 9(k - \frac{4}{3})^2 = 36$
$(h - \frac{4}{3})^2 + (k - \frac{4}{3})^2 = 4$
यह $r = \sqrt{4} = 2$ त्रिज्या वाला एक वृत्त दर्शाता है।
बिंदुपथ की परिधि $2 \pi r = 2 \pi (2) = 4 \pi$ है।

(B) माना $(x, y)$ वह बिंदु है जो बिंदु $(1, 1)$ और रेखा $x+y+1=0$ से समान दूरी पर है।
दूरी के सूत्र के अनुसार,$(x, y)$ की $(1, 1)$ से दूरी $\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2}$ है।
$(x, y)$ की रेखा $x+y+1=0$ से दूरी $\frac{|x+y+1|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|x+y+1|}{\sqrt{2}}$ है।
दोनों दूरियों को बराबर करने पर:
$\sqrt{(x-1)^2+(y-1)^2} = \frac{|x+y+1|}{\sqrt{2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x-1)^2+(y-1)^2 = \frac{(x+y+1)^2}{2}$
$2(x^2-2x+1+y^2-2y+1) = x^2+y^2+1+2xy+2x+2y$
$2x^2+2y^2-4x-4y+4 = x^2+y^2+2xy+2x+2y+1$
$x^2+y^2-2xy-6x-6y+3 = 0$
$(x-y)^2-6(x+y)+3 = 0$.

(A) दिया गया है $x = \frac{3at}{1+t^3}$ और $y = \frac{3at^2}{1+t^3}$.
$x^3 + y^3 = \left(\frac{3at}{1+t^3}\right)^3 + \left(\frac{3at^2}{1+t^3}\right)^3$ लेने पर.
$x^3 + y^3 = \frac{27a^3t^3 + 27a^3t^6}{(1+t^3)^3} = \frac{27a^3t^3(1+t^3)}{(1+t^3)^3} = \frac{27a^3t^3}{(1+t^3)^2}$.
अब,$3axy = 3a \left(\frac{3at}{1+t^3}\right) \left(\frac{3at^2}{1+t^3}\right) = \frac{27a^3t^3}{(1+t^3)^2}$.
अतः,$x^3 + y^3 = 3axy$.

(A) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिया है $PA + PB = 8$।
$\sqrt{(x-2)^2 + (y-3)^2} + \sqrt{(x-2)^2 + (y+3)^2} = 8$
दोनों पक्षों का वर्ग करने और सरल करने पर:
$16x^2 + 7y^2 - 64x - 48 = 0$।

(A) माना $A = (-1, 0)$ और $B = (0, 2)$ है।
दूरियों का अनुपात $\frac{PA}{PB} = \frac{\sqrt{2}}{1}$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{PA^2}{PB^2} = 2$ प्राप्त होता है।
$PA^2 = (x+1)^2 + (y-0)^2 = x^2 + 2x + 1 + y^2$.
$PB^2 = (x-0)^2 + (y-2)^2 = x^2 + y^2 - 4y + 4$.
अनुपात समीकरण में मान रखने पर: $x^2 + 2x + 1 + y^2 = 2(x^2 + y^2 - 4y + 4)$.
$x^2 + 2x + 1 + y^2 = 2x^2 + 2y^2 - 8y + 8$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^2 + y^2 - 2x - 8y + 7 = 0$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 8y + 16) = -7 + 1 + 16$.
$(x-1)^2 + (y-4)^2 = 10$.

(B) माना बिंदु $P(x, y)$ है।
दी गई शर्त के अनुसार,$(a, 0)$ और $(-a, 0)$ से दूरियों के वर्गों का योग $2b^2$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर:
$((x-a)^2 + (y-0)^2) + ((x+a)^2 + (y-0)^2) = 2b^2$
वर्गों का विस्तार करने पर:
$(x^2 - 2ax + a^2 + y^2) + (x^2 + 2ax + a^2 + y^2) = 2b^2$
समान पदों को जोड़ने पर:
$2x^2 + 2y^2 + 2a^2 = 2b^2$
पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर:
$x^2 + y^2 + a^2 = b^2$
पदों को व्यवस्थित करने पर,$P$ का बिंदुपथ प्राप्त होता है:
$x^2 + y^2 = b^2 - a^2$

(D) माना बिंदु $(x, y)$ है।
$(x, y)$ और $(3, -2)$ के बीच की दूरी $4$ इकाई दी गई है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,$\sqrt{(x-3)^2 + (y-(-2))^2} = 4$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x-3)^2 + (y+2)^2 = 16$।
पदों का विस्तार करने पर,$x^2 - 6x + 9 + y^2 + 4y + 4 = 16$।
समीकरण को सरल करने पर,$x^2 + y^2 - 6x + 4y + 13 = 16$।
अतः,बिंदुपथ $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 3 = 0$ है।

(A) माना बिंदु $P(x, y)$ है। मूल बिंदु $O(0, 0)$ से दूरी $\sqrt{x^2+y^2}$ है।
$A(-2, -3)$ से दूरी $\sqrt{(x+2)^2+(y+3)^2}$ है।
दिया गया अनुपात $\frac{OP}{AP} = \frac{5}{7}$ है,इसलिए $\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{(x+2)^2+(y+3)^2}} = \frac{5}{7}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{x^2+y^2}{(x+2)^2+(y+3)^2} = \frac{25}{49}$।
$49(x^2+y^2) = 25(x^2+4x+4+y^2+6y+9)$।
$49(x^2+y^2) = 25(x^2+y^2+4x+6y+13)$।
$49(x^2+y^2) - 25(x^2+y^2) - 100x - 150y - 325 = 0$।
$24(x^2+y^2) - 100x - 150y - 325 = 0$।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(C) बिंदु $P(x, y)$ की $x$-अक्ष से दूरी $|y|$ है और $y$-अक्ष से दूरी $|x|$ है।
इन दूरियों के वर्गों का योग $x^2 + y^2$ है।
रेखा $x-y-1=0$ से बिंदु $P(x, y)$ की दूरी $d = \frac{|x-y-1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{|x-y-1|}{\sqrt{2}}$ है।
प्रश्न के अनुसार,अक्षों से दूरियों के वर्गों का योग रेखा से दूरी के वर्ग के बराबर है:
$x^2 + y^2 = \left( \frac{|x-y-1|}{\sqrt{2}} \right)^2$
$x^2 + y^2 = \frac{(x-y-1)^2}{2}$
$2(x^2 + y^2) = x^2 + y^2 + 1 - 2xy - 2x + 2y$
$2x^2 + 2y^2 = x^2 + y^2 + 1 - 2xy - 2x + 2y$
$x^2 + y^2 + 2xy + 2x - 2y - 1 = 0$.

(C) दिया गया समीकरण $\sqrt{(x-2)^2+y^2} + \sqrt{(x+2)^2+y^2} = 4$ है।
माना $A = (2, 0)$ और $B = (-2, 0)$ है।
यह समीकरण बिंदु $P(x, y)$ की बिंदुओं $A$ और $B$ से दूरियों का योग दर्शाता है,जो $PA + PB = 4$ है।
बिंदुओं $A(2, 0)$ और $B(-2, 0)$ के बीच की दूरी $AB = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (0 - 0)^2} = 4$ है।
चूंकि $PA + PB = AB$ है,इसलिए बिंदु $P$ को $A$ और $B$ को जोड़ने वाले रेखाखंड पर स्थित होना चाहिए।
अतः,बिंदु $P(x, y)$ का बिंदुपथ $(-2, 0)$ और $(2, 0)$ को जोड़ने वाला रेखाखंड है।
इस प्रकार,विकल्प $C$ सही है।

(B) दी गई सरल रेखाओं के समीकरण हैं:
$x \sin \theta + (1 - \cos \theta) y = a \sin \theta$ ... $(i)$
$x \sin \theta - (1 + \cos \theta) y = -a \sin \theta$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$y(1 - \cos \theta + 1 + \cos \theta) = 2a \sin \theta$
$2y = 2a \sin \theta$
$y = a \sin \theta$
$y$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$x \sin \theta + (1 - \cos \theta)(a \sin \theta) = a \sin \theta$
$x + a - a \cos \theta = a$
$x = a \cos \theta$
अब,बिंदुपथ ज्ञात करने के लिए:
$x^2 + y^2 = (a \cos \theta)^2 + (a \sin \theta)^2$
$x^2 + y^2 = a^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)$
$x^2 + y^2 = a^2$
यह एक वृत्त को दर्शाता है।

(B) माना बिंदु $P(x, y)$ है। दी गई शर्त $PA + PB = 4$ है।
$\sqrt{(x-1)^2 + (y+1)^2} + \sqrt{(x+1)^2 + (y-1)^2} = 4$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x-1)^2 + (y+1)^2 + (x+1)^2 + (y-1)^2 + 2\sqrt{((x-1)^2 + (y+1)^2)((x+1)^2 + (y-1)^2)} = 16$
$2(x^2 + y^2 + 2) + 2\sqrt{(x^2 + y^2 + 2 - 2x + 2y)(x^2 + y^2 + 2 + 2x - 2y)} = 16$
$(x^2 + y^2 + 2) + \sqrt{(x^2 + y^2 + 2)^2 - (2x - 2y)^2} = 8$
$\sqrt{(x^2 + y^2 + 2)^2 - 4(x - y)^2} = 8 - (x^2 + y^2 + 2)$
पुनः वर्ग करने पर:
$(x^2 + y^2 + 2)^2 - 4(x - y)^2 = (6 - (x^2 + y^2))^2$
$(x^2 + y^2 + 2)^2 - (x^2 + y^2 - 6)^2 = 4(x - y)^2$
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करने पर:
$((x^2 + y^2 + 2) - (x^2 + y^2 - 6))((x^2 + y^2 + 2) + (x^2 + y^2 - 6)) = 4(x^2 + y^2 - 2xy)$
$(8)(2x^2 + 2y^2 - 4) = 4(x^2 + y^2 - 2xy)$
$16(x^2 + y^2 - 2) = 4(x^2 + y^2 - 2xy)$
$4x^2 + 4y^2 - 8 = x^2 + y^2 - 2xy$
$3x^2 + 2xy + 3y^2 = 8$

(A) माना त्रिभुज के शीर्ष $A = (a \cos k, a \sin k)$,$B = (b \sin k, -b \cos k)$,और $C = (1, 0)$ हैं।
माना $G(x, y)$ त्रिभुज का केंद्रक है।
केंद्रक के निर्देशांक $x = \frac{a \cos k + b \sin k + 1}{3}$ और $y = \frac{a \sin k - b \cos k + 0}{3}$ हैं।
इससे,हमें $3x - 1 = a \cos k + b \sin k$ ... $(i)$ और $3y = a \sin k - b \cos k$ ... $(ii)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(3x - 1)^2 + (3y)^2 = (a \cos k + b \sin k)^2 + (a \sin k - b \cos k)^2$.
$(3x - 1)^2 + 9y^2 = a^2(\cos^2 k + \sin^2 k) + b^2(\sin^2 k + \cos^2 k) + 2ab \cos k \sin k - 2ab \sin k \cos k$.
चूंकि $\sin^2 k + \cos^2 k = 1$,हमें $(3x - 1)^2 + 9y^2 = a^2 + b^2$ प्राप्त होता है।
यह $(1 - 3x)^2 + 9y^2 = a^2 + b^2$ के बराबर है।

(D) मान लीजिए वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ है,जहाँ $(h, k)$ केंद्र है और $r$ त्रिज्या है।
$X$-अक्ष पर अंतःखंड $2\sqrt{r^2 - k^2} = 8$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $r^2 - k^2 = 16$,इसलिए $r^2 = k^2 + 16$।
$Y$-अक्ष पर अंतःखंड $2\sqrt{r^2 - h^2} = 6$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $r^2 - h^2 = 9$,इसलिए $r^2 = h^2 + 9$।
$r^2$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $k^2 + 16 = h^2 + 9$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $h^2 - k^2 = 7$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,केंद्र का बिंदु पथ $x^2 - y^2 = 7$,या $x^2 - y^2 - 7 = 0$ है।

(B) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
चूंकि वृत्त मूलबिंदु $(0,0)$ से गुजरता है,इसलिए $c = 0$ है।
समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy = 0$ हो जाता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f)$ है।
वृत्त रेखा $x=2$ को काटता है,इसलिए $2^2 + y^2 + 2g(2) + 2fy = 0$,जो $y^2 + 2fy + (4 + 4g) = 0$ में सरल हो जाता है।
माना इस द्विघात समीकरण के मूल $y_1$ और $y_2$ हैं। अंतःखंड की लंबाई $|y_1 - y_2| = 4$ है।
$|y_1 - y_2| = \sqrt{(y_1+y_2)^2 - 4y_1y_2}$ का उपयोग करते हुए,$4 = \sqrt{(-2f)^2 - 4(4+4g)}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$16 = 4f^2 - 16 - 16g$,जो $32 = 4f^2 - 16g$ या $8 = f^2 - 4g$ में सरल हो जाता है।
चूंकि केंद्र $(h, k) = (-g, -f)$ है,इसलिए $g = -h$ और $f = -k$ है।
इन मानों को $8 = f^2 - 4g$ में प्रतिस्थापित करने पर,$8 = (-k)^2 - 4(-h)$,जो $k^2 + 4h = 8$ है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,केंद्र का बिंदुपथ $y^2 + 4x = 8$ है।

(D) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy = 0$ है क्योंकि यह मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरता है।
वृत्त $x$-अक्ष को $A(-2g, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $B(0, -2f)$ पर काटता है।
रेखा $AB$ का समीकरण $\frac{x}{-2g} + \frac{y}{-2f} = 1$ है,जिसे $\frac{x}{g} + \frac{y}{f} = -2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि यह रेखा निश्चित बिंदु $(x_1, y_1)$ से गुजरती है,इसलिए $\frac{x_1}{g} + \frac{y_1}{f} = -2$ होगा।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f)$ है। माना केंद्र $(x, y)$ है,तो $x = -g$ और $y = -f$,जिसका अर्थ है $g = -x$ और $f = -y$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर,$\frac{x_1}{-x} + \frac{y_1}{-y} = -2$ प्राप्त होता है।
$-1$ से गुणा करने पर,$\frac{x_1}{x} + \frac{y_1}{y} = 2$ प्राप्त होता है।

(B) माना बिंदु $(x, y)$ है।
केंद्र $(-3, 0)$ से कम से कम $2$ इकाई की दूरी पर स्थित बिंदुओं का समूह उस वृत्त पर या उसके बाहर के क्षेत्र को दर्शाता है जिसकी त्रिज्या $r = 2$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $\sqrt{(x - (-3))^2 + (y - 0)^2} \geq 2$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x + 3)^2 + y^2 \geq 2^2$.
व्यंजक का विस्तार करने पर: $x^2 + 6x + 9 + y^2 \geq 4$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^2 + y^2 + 6x + 5 \geq 0$.

(C) दिया गया वृत्त $x^2+y^2+6x-4y-12=0$ है।
केंद्र $O = (-3, 2)$ और त्रिज्या $r = 5$ है।
लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ निर्देशक वृत्त (director circle) होता है।
निर्देशक वृत्त $S$ का केंद्र $(-3, 2)$ और त्रिज्या $R = 5\sqrt{2}$ है।
अतः,वृत्त $S$ का समीकरण $(x+3)^2+(y-2)^2 = 50$ है।
रेखा $6x-4y+k=0$ के लंबवत रेखा का समीकरण $2x+3y+C'=0$ के रूप में होगा।
केंद्र $(-3, 2)$ से स्पर्श रेखा की दूरी त्रिज्या $5\sqrt{2}$ के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|2(-3)+3(2)+C'|}{\sqrt{2^2+3^2}} = 5\sqrt{2} \Rightarrow |C'| = 5\sqrt{26}$.
अतः,स्पर्श रेखा का समीकरण $2x+3y \pm 5\sqrt{26}=0$ है।

(D) हम जानते हैं कि $(x_1, y_1)$ से वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{x_1^2+y_1^2+2gx_1+2fy_1+c}$ होती है।
माना $P = (h, k)$ है।
प्रश्न के अनुसार,स्पर्श रेखाओं की लंबाई का अनुपात $2:1$ है:
$\frac{\sqrt{h^2+k^2-2h+4k-20}}{\sqrt{h^2+k^2-2h-8k+1}} = \frac{2}{1}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{h^2+k^2-2h+4k-20}{h^2+k^2-2h-8k+1} = 4$
$h^2+k^2-2h+4k-20 = 4(h^2+k^2-2h-8k+1)$
$h^2+k^2-2h+4k-20 = 4h^2+4k^2-8h-32k+4$
$3h^2+3k^2-6h-36k+24 = 0$
$3$ से भाग देने पर:
$h^2+k^2-2h-12k+8 = 0$
अतः,$P$ का बिंदुपथ $x^2+y^2-2x-12y+8=0$ है।

(A) माना वृत्तों के समीकरण $S_1 \equiv x^2+y^2-4x-6y-12=0$ और $S_2 \equiv x^2+y^2+6x+18y+26=0$ हैं।
बिंदु $P(x_1, y_1)$ से वृत्त $S=0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{S}$ होती है।
स्पर्श रेखाओं की लंबाई का अनुपात $2:3$ दिया गया है,अतः:
$\frac{\sqrt{x_1^2+y_1^2-4x_1-6y_1-12}}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+6x_1+18y_1+26}} = \frac{2}{3}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{x_1^2+y_1^2-4x_1-6y_1-12}{x_1^2+y_1^2+6x_1+18y_1+26} = \frac{4}{9}$
वज्र-गुणन करने पर:
$9(x_1^2+y_1^2-4x_1-6y_1-12) = 4(x_1^2+y_1^2+6x_1+18y_1+26)$
$9x_1^2+9y_1^2-36x_1-54y_1-108 = 4x_1^2+4y_1^2+24x_1+72y_1+104$
$5x_1^2+5y_1^2-60x_1-126y_1-212 = 0$
$(x_1, y_1)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $5x^2+5y^2-60x-126y-212=0$ प्राप्त होता है।

(A) माना दो स्पर्श रेखाओं की प्रवणता $m_1$ और $m_2$ है। चूँकि वे $X$-अक्ष के साथ पूरक कोण बनाती हैं,इसलिए $m_1 = \tan(\theta)$ और $m_2 = \cot(\theta)$,अर्थात $m_1 m_2 = 1$.
वृत्त $x^2+y^2=a^2$ के लिए स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx \pm a\sqrt{1+m^2}$ है।
इसे हल करने पर $(y-mx)^2 = a^2(1+m^2)$ या $m^2(x^2-a^2) - 2mxy + (y^2-a^2) = 0$ प्राप्त होता है।
मूलों का गुणनफल $m_1 m_2 = \frac{y^2-a^2}{x^2-a^2} = 1$ है।
अतः $y^2-a^2 = x^2-a^2$,जिससे $x^2-y^2=0$ प्राप्त होता है।

(B) किसी वृत्त की लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ उसका निर्देशक वृत्त (director circle) कहलाता है।
$x^2+y^2=r^2$ समीकरण वाले वृत्त के लिए,निर्देशक वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=2r^2$ होता है।
दिए गए वृत्त $x^2+y^2=10$ के लिए,$r^2=10$ है।
इस मान को निर्देशक वृत्त के सूत्र में रखने पर,हमें $x^2+y^2=2(10) = 20$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट बिंदुपथ $x^2+y^2=20$ है।

(D) दिया गया वृत्त $x^2+y^2+4x-6y+9 \sin^2 \alpha+13 \cos^2 \alpha=0$ है।
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=2$,$f=-3$,और $c=9 \sin^2 \alpha+13 \cos^2 \alpha$ प्राप्त होता है।
केंद्र $C$ $(-2, 3)$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{4+9-(9 \sin^2 \alpha+13 \cos^2 \alpha)} = \sqrt{13-9 \sin^2 \alpha-13 \cos^2 \alpha} = \sqrt{13 \sin^2 \alpha-9 \sin^2 \alpha} = \sqrt{4 \sin^2 \alpha} = 2 \sin \alpha$ है।
माना $P(x_1, y_1)$ बिंदु है। दूरी $PC = \sqrt{(x_1+2)^2+(y_1-3)^2} = \sqrt{x_1^2+y_1^2+4x_1-6y_1+13}$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle PAC$ में,$\sin \alpha = \frac{AC}{PC} = \frac{r}{PC}$ है।
अतः,$\sin \alpha = \frac{2 \sin \alpha}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+4x_1-6y_1+13}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\sin^2 \alpha = \frac{4 \sin^2 \alpha}{x_1^2+y_1^2+4x_1-6y_1+13}$ प्राप्त होता है।
$x_1^2+y_1^2+4x_1-6y_1+13 = 4$।
$x_1^2+y_1^2+4x_1-6y_1+9 = 0$।
$(x_1, y_1)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदु पथ $x^2+y^2+4x-6y+9=0$ है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=25$ है,इसलिए त्रिज्या $r=5$ है।
माना $C(x_1, y_1)$ जीवा $AB$ का मध्य बिंदु है जो मूल बिंदु $O(0, 0)$ पर समकोण अंतरित करती है।
$\triangle OAB$ में,$OA=OB=5$ और $\angle AOB = 90^\circ$ है।
चूँकि $OC$ समकोण त्रिभुज $\triangle OAB$ में कर्ण $AB$ पर माध्यिका है,इसलिए $OC = \frac{1}{2} AB$ है।
वैकल्पिक रूप से,$\triangle OCB$ में,$\angle COB = 45^\circ$ और $\angle OCB = 90^\circ$ है।
अतः,$OC = OB \cos(45^\circ) = 5 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{5}{\sqrt{2}}$ है।
मध्य बिंदु $C(x_1, y_1)$ की मूल बिंदु से दूरी $\sqrt{x_1^2+y_1^2}$ है।
इसलिए,$\sqrt{x_1^2+y_1^2} = \frac{5}{\sqrt{2}}$,जिसका अर्थ है $x_1^2+y_1^2 = \frac{25}{2}$।
$\frac{25}{2}$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x_1^2}{25/2} + \frac{y_1^2}{25/2} = 1$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$ के साथ तुलना करने पर,$a^2 = \frac{25}{2}$ प्राप्त होता है,इसलिए $|a| = \frac{5}{\sqrt{2}}$ है।

(D) माना वृत्त $S$ का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है। इस वृत्त का केंद्र $(-g, -f)$ है।
चूंकि वृत्त बिंदु $(3,4)$ से होकर गुजरता है,इसलिए:
$3^2+4^2+2g(3)+2f(4)+c=0$
$9+16+6g+8f+c=0$
$6g+8f+c+25=0$ ... $(i)$
दो वृत्त $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ लंबकोणीय रूप से प्रतिच्छेद करते हैं यदि $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ हो।
यहाँ,दिया गया वृत्त $x^2+y^2-36=0$ है,इसलिए $g_2=0, f_2=0, c_2=-36$ है।
लंबकोणीय प्रतिच्छेदन की शर्त लागू करने पर:
$2g(0)+2f(0)=c-36$
$0=c-36$,अर्थात $c=-36$ है।
समीकरण $(i)$ में $c=-36$ रखने पर:
$6g+8f-36+25=0$
$6g+8f-11=0$
माना वृत्त $S$ का केंद्र $(x, y)$ है,जहाँ $x=-g$ और $y=-f$ है। अतः $g=-x$ और $f=-y$ है।
इन मानों को $6g+8f-11=0$ में रखने पर:
$6(-x)+8(-y)-11=0$
$-6x-8y-11=0$
$6x+8y+11=0$

(C) दी गई समांतर स्पर्श रेखाएँ: $3x - 4y + 4 = 0$ और $6x - 8y - 7 = 0$ हैं।
तुलना करने के लिए,पहले समीकरण को $6x - 8y + 8 = 0$ के रूप में लिखें।
समांतर रेखाओं के बीच की दूरी वृत्त का व्यास $d$ है:
$d = \frac{|8 - (-7)|}{\sqrt{6^2 + (-8)^2}} = \frac{15}{10} = 1.5$।
त्रिज्या $r = 0.75$ है।
केंद्रों का बिंदुपथ दी गई रेखाओं के समांतर एक रेखा है।
गणना करने पर,बिंदुपथ $12x - 16y + 15 = 0$ के रूप में प्राप्त होता है।

(A) वक्र का समीकरण $2x^2 - y^2 + 3x + 2y = 0$ है।
माना जीवा का समीकरण $y = mx + c$ है,जिसे $\frac{y - mx}{c} = 1$ लिखा जा सकता है।
इसे वक्र के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2x^2 - y^2 + (3x + 2y)(\frac{y - mx}{c}) = 0$.
$c$ से गुणा करने पर:
$(2c - 3m)x^2 + (2 - c)y^2 + (3 - 2m)xy = 0$.
चूंकि जीवा मूल बिंदु पर समकोण बनाती है,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होगा:
$(2c - 3m) + (2 - c) = 0 \Rightarrow c - 3m + 2 = 0$.
$c = 3m - 2$ को $y = mx + c$ में रखने पर:
$y = mx + 3m - 2 \Rightarrow y + 2 = m(x + 3)$.
यह समीकरण बिंदु $(-3, -2)$ से गुजरने वाली रेखाओं के परिवार को दर्शाता है।
अतः,$(\alpha, \beta) = (-3, -2)$.

(B) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है। चूंकि वृत्त $(2, 3)$ से होकर गुजरता है,इसलिए इसकी त्रिज्या $r$ के लिए $r^2 = (h-2)^2 + (k-3)^2$ होगा।
वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = (h-2)^2 + (k-3)^2$ है,जो सरल होकर $x^2 + y^2 - 2hx - 2ky + 4h + 6k - 13 = 0$ बनता है।
यह वृत्त $x^2 + y^2 - 12 = 0$ को लंबकोणीय रूप से काटता है।
लंबकोणीयता की शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ है।
यहाँ,$g_1 = -h, f_1 = -k, c_1 = 4h + 6k - 13$ और $g_2 = 0, f_2 = 0, c_2 = -12$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $2(-h)(0) + 2(-k)(0) = (4h + 6k - 13) - 12$.
$0 = 4h + 6k - 25$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदु पथ $4x + 6y - 25 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है ... $(i)$.
यह वृत्त दिए गए वृत्तों को लंबकोणीय काटता है।
दो वृत्तों $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ के लंबकोणीय काटने की शर्त $2(g_1g_2+f_1f_2) = c_1+c_2$ है।
प्रथम वृत्त $x^2+y^2+4x-6y+9=0$ के लिए,$g_1=2, f_1=-3, c_1=9$ है। शर्त से $2(2g-3f) = c+9$,अतः $4g-6f-c=9$ ... $(ii)$.
द्वितीय वृत्त $x^2+y^2-5x+4y+2=0$ के लिए,$g_2=-2.5, f_2=2, c_2=2$ है। शर्त से $2(-2.5g+2f) = c+2$,अतः $-5g+4f-c=2$ ... $(iii)$.
समीकरण $(ii)$ से $(iii)$ को घटाने पर,$(4g-6f-c) - (-5g+4f-c) = 9-2$,जो $9g-10f=7$ में सरल होता है।
$(g, f)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,केंद्र का बिंदुपथ $9x-10y=7$ या $9x-10y-7=0$ है।

(D) माना वृत्त $S_1: x^2+y^2-4=0$ और $S_2: x^2+y^2-6x-6y+14=0$ हैं।
माना $P(h, k)$ वृत्त $S_1$ पर एक बिंदु है,इसलिए $h^2+k^2=4$ है।
$A$ और $B$ बिंदु $P$ से $S_2$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के स्पर्श बिंदु हैं।
$P, A, B$ से गुजरने वाले वृत्त का व्यास $PC$ है,जहाँ $C$ वृत्त $S_2$ का केंद्र है।
$S_2$ का केंद्र $C(3, 3)$ है।
व्यास $PC$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-h)(x-3) + (y-k)(y-3) = 0$ है।
इसका विस्तार करने पर,$x^2+y^2 - (h+3)x - (k+3)y + 3h+3k = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $P(h, k)$ वृत्त $x^2+y^2=4$ पर स्थित है,इसलिए $h^2+k^2=4$ है।
इस वृत्त के केंद्र का बिंदुपथ $PC$ का मध्य बिंदु है,जो $(\frac{h+3}{2}, \frac{k+3}{2})$ है।
माना $(x, y) = (\frac{h+3}{2}, \frac{k+3}{2})$,इसलिए $h = 2x-3$ और $k = 2y-3$ है।
$h^2+k^2=4$ में मान रखने पर,$(2x-3)^2 + (2y-3)^2 = 4$ प्राप्त होता है।
$4x^2-12x+9 + 4y^2-12y+9 = 4$
$4x^2+4y^2-12x-12y+14 = 0$
$2$ से विभाजित करने पर,$2x^2+2y^2-6x-6y+7 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना $P = (x, y)$,$A = (5, 4)$,और $B = (5, -4)$ है।
दिया है $\tan(\angle APB) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
$PA$ की ढाल $m_1 = \frac{y-4}{x-5}$ और $PB$ की ढाल $m_2 = \frac{y+4}{x-5}$ है।
सूत्र $\tan \theta = |\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}| = 1$ का उपयोग करने पर:
$|\frac{\frac{y-4}{x-5} - \frac{y+4}{x-5}}{1 + \frac{(y-4)(y+4)}{(x-5)^2}}| = 1$
$|\frac{-8(x-5)}{(x-5)^2 + y^2 - 16}| = 1$
$| -8x + 40 | = | x^2 + y^2 - 10x + 9 |$
अतः $x^2 + y^2 - 10x + 9 = \pm(-8x + 40)$.
स्थिति $1$: $x^2 + y^2 - 2x - 31 = 0$।

(D) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-2x-4y-20=0$ है। केंद्र $C(1, 2)$ है और त्रिज्या $r=5$ है।
माना $P(h, k)$ है। चूँकि $A$,$CP$ को $2:3$ के अनुपात में विभाजित करता है,$A$ के निर्देशांक $\left(\frac{2h+3}{5}, \frac{2k+6}{5}\right)$ होंगे।
चूँकि $A$ वृत्त पर स्थित है,इन मानों को वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$\left(\frac{2h+3}{5}\right)^2 + \left(\frac{2k+6}{5}\right)^2 - 2\left(\frac{2h+3}{5}\right) - 4\left(\frac{2k+6}{5}\right) - 20 = 0$.
सरल करने पर: $4h^2 + 4k^2 - 8h - 16k - 605 = 0$.
अतः $P$ का बिंदुपथ $4x^2+4y^2-8x-16y-605=0$ है।

(D) मान लीजिए कि छड़ $x$-अक्ष को बिंदु $(a, 0)$ पर और $y$-अक्ष को बिंदु $(0, b)$ पर काटती है,और $(x, y)$ छड़ का मध्य बिंदु है।
तब,$x = \frac{a+0}{2} \Rightarrow a = 2x$ और $y = \frac{0+b}{2} \Rightarrow b = 2y$।
छड़ की लंबाई $r$ इकाई दी गई है,इसलिए $a^2 + b^2 = r^2$।
$a$ और $b$ के मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(2x)^2 + (2y)^2 = r^2$ प्राप्त होता है।
$4x^2 + 4y^2 = r^2 \Rightarrow x^2 + y^2 = (\frac{r}{2})^2$।
यह मूल बिंदु $(0, 0)$ पर केंद्र और $R = \frac{r}{2}$ त्रिज्या वाला एक वृत्त दर्शाता है।
वक्र की लंबाई (वृत्त की परिधि) $2 \pi R = 2 \pi (\frac{r}{2}) = \pi r$ है।

(B) माना $x = \frac{8t}{1+t^2}$ और $y = \frac{4(1-t^2)}{1+t^2}$ है।
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$x^2 + y^2 = \frac{64t^2 + 16(1-t^2)^2}{(1+t^2)^2}$
$x^2 + y^2 = \frac{16(4t^2 + (1-t^2)^2)}{(1+t^2)^2}$
चूंकि $(1-t^2)^2 + 4t^2 = (1+t^2)^2$ है,
$x^2 + y^2 = \frac{16(1+t^2)^2}{(1+t^2)^2} = 16$ प्राप्त होता है।
यह $4$ त्रिज्या वाला वृत्त $x^2 + y^2 = 4^2$ को दर्शाता है।

(B) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(h, k)$ हैं।
दिए गए बिंदु $A(-2, 1)$ और $B(3, 0)$ हैं।
$AP$ की ढाल $m_1 = \frac{k-1}{h+2}$ है।
$BP$ की ढाल $m_2 = \frac{k-0}{h-3} = \frac{k}{h-3}$ है।
चूंकि $\angle APB = 90^{\circ}$,ढालों का गुणनफल $-1$ होना चाहिए,अर्थात $m_1 m_2 = -1$।
$\frac{k-1}{h+2} \times \frac{k}{h-3} = -1$.
$\frac{k^2-k}{h^2-h-6} = -1$.
$k^2-k = -(h^2-h-6)$.
$h^2+k^2-h-k-6 = 0$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदु $P$ का बिंदुपथ $x^2+y^2-x-y-6=0$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए बिंदु $P$ के निर्देशांक $(h, k)$ हैं,जो जीवा $AB$ का मध्य बिंदु है।
अब,$OP = \sqrt{(h-0)^2 + (k-0)^2} = \sqrt{h^2+k^2}$.
$\triangle AOP$ में,कोण $\angle AOP = \frac{1}{2} \times \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.
$\triangle AOP$ में त्रिकोणमिति का उपयोग करने पर,$\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{OP}{OA}$.
चूंकि $OA$ वृत्त की त्रिज्या है,इसलिए $OA = 3$.
$\Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{h^2+k^2}}{3}$.
$\Rightarrow \sqrt{h^2+k^2} = \frac{3}{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$h^2+k^2 = \frac{9}{4}$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,अभीष्ट बिंदुपथ $x^2+y^2 = \frac{9}{4}$ है।

(C) माना $A$ के निर्देशांक $(a, 0)$ और $B$ के निर्देशांक $(0, b)$ हैं।
चूंकि वृत्त मूल बिंदु $O(0, 0)$ से होकर गुजरता है और अक्षों को $A(a, 0)$ और $B(0, b)$ पर मिलता है, इसलिए $AB$ वृत्त का व्यास है।
व्यास की लंबाई $2 \times \text{त्रिज्या} = 2 \times 6 = 12$ है।
अतः, $a^2 + b^2 = 12^2 = 144$ है।
माना $(h, k)$ $\triangle OAB$ का केंद्रक है। केंद्रक के निर्देशांक $h = \frac{0+a+0}{3} = \frac{a}{3}$ और $k = \frac{0+0+b}{3} = \frac{b}{3}$ हैं।
इसलिए, $a = 3h$ और $b = 3k$ है।
इन मानों को $a^2 + b^2 = 144$ में रखने पर, हमें $(3h)^2 + (3k)^2 = 144$ प्राप्त होता है।
$9h^2 + 9k^2 = 144$ है।
$9$ से भाग देने पर, $h^2 + k^2 = 16$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर, केंद्रक का बिंदुपथ $x^2 + y^2 = 16$ है।

(A) $S_1: x^2+y^2-1=0$ और $S_2: x^2+y^2-2x+y=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S_1 + kS_2 = 0$ $(k \neq -1)$ है।
$(x^2+y^2-1) + k(x^2+y^2-2x+y) = 0$
$(1+k)x^2 + (1+k)y^2 - 2kx + ky - (1+k) = 0$
$(1+k)$ से विभाजित करने पर,$x^2 + y^2 - \frac{2k}{1+k}x + \frac{k}{1+k}y - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
इस वृत्त का केंद्र $(h, k')$ $(-g, -f) = \left(\frac{k}{1+k}, \frac{-k}{2(1+k)}\right)$ है।
माना $x = \frac{k}{1+k}$ और $y = \frac{-k}{2(1+k)}$।
अतः $2y = \frac{-k}{1+k}$।
$x$ और $2y$ को जोड़ने पर,$x + 2y = \frac{k}{1+k} - \frac{k}{1+k} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदुपथ रेखा $x+2y=0$ है।

(D) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है। वृत्त का केंद्र $(-g, -f)$ है।
वृत्त द्वारा $x$-अक्ष पर बनाए गए अंतःखंड की लंबाई $2\sqrt{g^2-c} = 2a$ है,जिसका अर्थ है $g^2-c = a^2$,अतः $c = g^2-a^2$ है।
वृत्त द्वारा $y$-अक्ष पर बनाए गए अंतःखंड की लंबाई $2\sqrt{f^2-c} = 2b$ है,जिसका अर्थ है $f^2-c = b^2$,अतः $c = f^2-b^2$ है।
$c$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $g^2-a^2 = f^2-b^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $g^2-f^2 = a^2-b^2$ हो जाता है।
केंद्र के निर्देशांक $(x, y)$ को $(-g, -f)$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें बिंदुपथ $x^2-y^2 = a^2-b^2$ प्राप्त होता है।

(B) माना बिंदु $P$ $(x, y)$ है। वृत्त $S=0$ पर बिंदु $(x, y)$ से खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{S}$ होती है।
दिए गए वृत्त $S_1 \equiv x^2+y^2-4x-6y-12=0$ और $S_2 \equiv x^2+y^2+6x+18y+26=0$ हैं।
स्पर्श रेखाओं की लंबाई का अनुपात $\frac{\sqrt{S_1}}{\sqrt{S_2}} = \frac{2}{3}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{S_1}{S_2} = \frac{4}{9}$,जिसका अर्थ है $9S_1 = 4S_2$।
वृत्तों के समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर:
$9(x^2+y^2-4x-6y-12) = 4(x^2+y^2+6x+18y+26)$।
$9x^2+9y^2-36x-54y-108 = 4x^2+4y^2+24x+72y+104$।
$5x^2+5y^2-60x-126y-212 = 0$।
$5$ से विभाजित करने पर,$P$ का बिंदुपथ $x^2+y^2-12x-\frac{126}{5}y-\frac{212}{5}=0$ प्राप्त होता है।

(A) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ है।
चूंकि वृत्त रेखा $x=2a$ को स्पर्श करता है,केंद्र $(h, k)$ से रेखा $x-2a=0$ की दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर है।
अतः,$r = |h-2a|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$r^2 = (h-2a)^2 = h^2 - 4ah + 4a^2$.
वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2hx-2ky+c=0$ है,जहाँ $c = h^2+k^2-r^2$.
$r^2$ का मान रखने पर,$c = h^2+k^2-(h^2-4ah+4a^2) = k^2+4ah-4a^2$.
वृत्त $x^2+y^2=a^2$ को लंबकोणीय प्रतिच्छेद करता है,इसलिए $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1+c_2$.
यहाँ,$g_1 = -h, f_1 = -k, c_1 = c$ और $g_2 = 0, f_2 = 0, c_2 = -a^2$.
अतः,$0 + 0 = c - a^2$,जिसका अर्थ है $c = a^2$.
$c$ के दोनों मानों की तुलना करने पर: $k^2+4ah-4a^2 = a^2$.
$k^2+4ah = 5a^2$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $y^2+4ax-5a^2=0$ प्राप्त होता है।

(A) माना गतिमान बिंदु $P(x, y)$ है।
दिए गए स्थिर बिंदु $A(a, 0)$ और $B(-a, 0)$ हैं।
$AP$ दूरी का वर्ग $AP^2 = (x-a)^2 + (y-0)^2 = (x-a)^2 + y^2$ है।
$BP$ दूरी का वर्ग $BP^2 = (x+a)^2 + (y-0)^2 = (x+a)^2 + y^2$ है।
प्रश्न के अनुसार,इन वर्गों का योग $2c^2$ है:
$AP^2 + BP^2 = 2c^2$
$(x-a)^2 + y^2 + (x+a)^2 + y^2 = 2c^2$
$(x^2 - 2ax + a^2) + y^2 + (x^2 + 2ax + a^2) + y^2 = 2c^2$
$2x^2 + 2y^2 + 2a^2 = 2c^2$
$2$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^2 + y^2 + a^2 = c^2$
$x^2 + y^2 = c^2 - a^2$
अतः,बिंदुपथ का समीकरण $x^2 + y^2 = c^2 - a^2$ है।

(B) माना जीवा का मध्य बिंदु $(h, k)$ है।
वृत्त $x^2+y^2=16$ की जीवा का समीकरण जिसका मध्य बिंदु $(h, k)$ है,$T=S_1$ द्वारा दिया जाता है,जो $xh+yk = h^2+k^2$ है।
यह जीवा अतिपरवलय $9x^2-16y^2=144$ की स्पर्श रेखा है,जिसे $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा $lx+my=n$ के अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $n^2 = a^2l^2 - b^2m^2$ है।
यहाँ,$l=h$,$m=k$,$n=h^2+k^2$,$a^2=16$,और $b^2=9$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(h^2+k^2)^2 = 16h^2 - 9k^2$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $16x^2-9y^2 = (x^2+y^2)^2$ है।

(C) माना जीवा का मध्य-बिंदु $(h, k)$ है। वृत्त $x^2+y^2=16$ के लिए मध्य-बिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $T=S_1$ के अनुसार $hx+ky=h^2+k^2$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$y = -\frac{h}{k}x + \frac{h^2+k^2}{k}$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय $9x^2-16y^2=144$ को $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ $a^2=16$ और $b^2=9$ है।
रेखा $y=mx+c$ के अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ है।
$m = -\frac{h}{k}$ और $c = \frac{h^2+k^2}{k}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\frac{h^2+k^2}{k})^2 = 16(-\frac{h}{k})^2 - 9$.
$k^2$ से गुणा करने पर,$(h^2+k^2)^2 = 16h^2 - 9k^2$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $16x^2-9y^2=(x^2+y^2)^2$ है।

(B) बिंदुओं $A_k$ के $x$-निर्देशांक $a, 2a, 3a, \ldots, na$ हैं। समांतर माध्य $\alpha$ इस प्रकार है:
$\alpha = \frac{a + 2a + 3a + \ldots + na}{n} = \frac{a(1 + 2 + 3 + \ldots + n)}{n} = \frac{a \cdot n(n+1)}{2n} = \frac{a(n+1)}{2}$.
अतः,$a = \frac{2\alpha}{n+1}$.
बिंदुओं $A_k$ के $y$-निर्देशांक $a^1, a^2, a^3, \ldots, a^n$ हैं। गुणोत्तर माध्य $\beta$ इस प्रकार है:
$\beta = (a^1 \cdot a^2 \cdot a^3 \cdot \ldots \cdot a^n)^{1/n} = (a^{1+2+3+\ldots+n})^{1/n} = (a^{\frac{n(n+1)}{2}})^{1/n} = a^{\frac{n+1}{2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\beta^2 = a^{n+1}$ प्राप्त होता है।
$\beta^2$ के व्यंजक में $a = \frac{2\alpha}{n+1}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\beta^2 = \left(\frac{2\alpha}{n+1}\right)^{n+1}$.
$(\alpha, \beta)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $y^2 = \left(\frac{2x}{n+1}\right)^{n+1}$ है।

(B) माना त्रिभुज $ABP$ का केंद्रक $G(x, y)$ है।
शीर्षों के निर्देशांक $A(2, 3)$,$B(3, 2)$ और $P(t, t^2)$ हैं।
केंद्रक $G(x, y)$ के लिए सूत्र:
$x = \frac{2 + 3 + t}{3} \implies 3x = 5 + t \implies t = 3x - 5$
$y = \frac{3 + 2 + t^2}{3} \implies 3y = 5 + t^2$
$t = 3x - 5$ को $y$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$3y = 5 + (3x - 5)^2$
$3y = 5 + 9x^2 - 30x + 25$
$3y = 9x^2 - 30x + 30$
$3$ से भाग देने पर:
$y = 3x^2 - 10x + 10$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$3x^2 - 10x - y + 10 = 0$
अतः,केंद्रक का बिंदुपथ $3x^2 - 10x - y + 10 = 0$ है।

(C) माना $C$ के निर्देशांक $(h, k)$ हैं।
त्रिभुज $ABC$ का केंद्रक $G = \left( \frac{2+3+h}{3}, \frac{3+2+k}{3} \right) = \left( \frac{5+h}{3}, \frac{5+k}{3} \right)$ है।
दिया गया है कि केंद्रक की मूल बिंदु से दूरी $5$ इकाई है,इसलिए $\sqrt{\left( \frac{5+h}{3} \right)^2 + \left( \frac{5+k}{3} \right)^2} = 5$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\left( \frac{5+h}{3} \right)^2 + \left( \frac{5+k}{3} \right)^2 = 25$ प्राप्त होता है।
$9$ से गुणा करने पर,$(h+5)^2 + (k+5)^2 = 225$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,$C$ का बिंदु पथ $(x+5)^2 + (y+5)^2 = 15^2$ है।
यह $15$ इकाई त्रिज्या वाला एक वृत्त है।
वृत्त का व्यास $2 \times 15 = 30$ इकाई है।

(A) माना $\triangle OAB$ का केंद्रक $(x, y)$ है।
चूंकि $O = (0, 0)$,$A = (a \sec t, b \tan t)$,और $B = (-a \tan t, b \sec t)$,केंद्रक के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$x = \frac{0 + a \sec t - a \tan t}{3} \Rightarrow 3x = a(\sec t - \tan t) \dots (i)$
$y = \frac{0 + b \tan t + b \sec t}{3} \Rightarrow 3y = b(\tan t + \sec t) \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ का गुणा करने पर:
$(3x)(3y) = a(\sec t - \tan t) \cdot b(\sec t + \tan t)$
$9xy = ab(\sec^2 t - \tan^2 t)$
चूंकि $\sec^2 t - \tan^2 t = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$9xy = ab$.

(C) दिया गया है $A = (0, 4)$ और $B = (2 \cos \theta, 2 \sin \theta)$।
$P$,$AB$ को $2:3$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$P(x, y)$ के निर्देशांक:
$x = \frac{2(2 \cos \theta) + 3(0)}{2 + 3} = \frac{4 \cos \theta}{5} \Rightarrow \cos \theta = \frac{5x}{4}$
$y = \frac{2(2 \sin \theta) + 3(4)}{2 + 3} = \frac{4 \sin \theta + 12}{5} \Rightarrow \sin \theta = \frac{5y - 12}{4}$
चूँकि $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,इसलिए:
$\left(\frac{5x}{4}\right)^2 + \left(\frac{5y - 12}{4}\right)^2 = 1$
$25x^2 + (5y - 12)^2 = 16$
यह समीकरण एक वृत्त को दर्शाता है।