वक्रों $y^2 = x^3$ और $9x^2 + 9y^2 - 30y + 16 = 0$ के बीच की न्यूनतम दूरी क्या है?

एक बिंदु $P(x, y)$ इस प्रकार है कि निर्देशांक अक्षों से इसकी दूरियों के वर्गों का योग रेखा $x-y=1$ से इसकी दूरी के वर्ग के बराबर है। तो $P$ के बिंदु पथ का समीकरण है

यदि एक बिंदु $P$ इस प्रकार गति करता है कि $P$ से बिंदुओं $A(1, -1)$ और $B(-1, 1)$ तक की दूरियों का योग हमेशा $4$ रहता है,तो $P$ के बिंदुपथ का समीकरण क्या है?

मान लीजिए कि उस वृत्त के केंद्र $(\alpha, \beta)$,$\beta > 0$ का बिंदु पथ $L$ है,जो वृत्त $x^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है और $x$-अक्ष को भी स्पर्श करता है। तो $L$ और रेखा $y = 4$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

यदि वृत्तों की एक प्रणाली $(2,3)$ से होकर गुजरती है और वृत्त $x^2+y^2=12$ को लंबकोणीय रूप से काटती है,तो उन वृत्तों की प्रणाली के केंद्रों के बिंदु पथ का समीकरण क्या है?

मान लीजिए $A(5,4)$ और $B(5,-4)$ दो बिंदु हैं। यदि $P(x,y)$ समतल में एक ऐसा बिंदु है कि $\angle APB = \frac{\pi}{4}$ है,तो बिंदु $P$ किस वक्र पर स्थित है?